ትይዩነት በጂኦሜትሪ ውስጥ በጣም ጠቃሚ ንብረት ነው. አት እውነተኛ ሕይወትትይዩ ጎኖች ለየትኛውም ዓይን ደስ የሚያሰኙ, የሚያማምሩ እና ሚዛናዊ ነገሮችን እንዲፈጥሩ ያስችሉዎታል, ስለዚህ ጂኦሜትሪ ሁልጊዜ ይህንን ትይዩነት ለመፈተሽ መንገዶችን ይፈልጋል. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ስለ ትይዩ መስመሮች ምልክቶች እንነጋገራለን.
ለትይዩነት ፍቺ
የሁለት መስመር ትይዩ ምልክቶችን ለማረጋገጥ ማወቅ ያለብዎትን ፍቺዎች ለይተን እናሳይ።
የመስመሮች መገናኛ ነጥብ ከሌላቸው ትይዩ ይባላሉ። በተጨማሪም, በመፍትሄዎች ውስጥ, ትይዩ መስመሮች ብዙውን ጊዜ ከሴካንት መስመር ጋር አብረው ይሄዳሉ.
ሴካንት መስመር ሁለቱንም ትይዩ መስመሮች የሚያቋርጥ መስመር ነው። በዚህ ሁኔታ, ውሸት, ተጓዳኝ እና አንድ-ጎን ማዕዘኖች በተሻጋሪ አቅጣጫ ይመሰረታሉ. የማዕዘን 1 እና 4 ጥንዶች ይዋሻሉ; 2 እና 3; 8 እና 6; 7 እና 5. ተጓዳኝ 7 እና 2 ይሆናሉ. 1 እና 6; 8 እና 4; 3 እና 5.
ነጠላ 1 እና 2; 7 እና 6; 8 እና 5; 3 እና 4.
በትክክል ሲቀረጹ “ተሻጋሪ ማዕዘኖች በሁለት ትይዩ መስመሮች ሀ እና ለ እና ሴካንት ሐ” ተጽፎአል።
እንዲሁም, ለማረጋገጫው, በሶስት ማዕዘን ውጫዊ ማዕዘን ላይ ያለው ቲዎሬም ያስፈልገናል, እሱም የሶስት ማዕዘን ውጫዊ ማዕዘን ከእሱ አጠገብ ከሌላቸው የሶስት ማዕዘን ሁለት ማዕዘናት ድምር ጋር እኩል ነው.
ምልክቶች
ሁሉም ትይዩ መስመሮች ምልክቶች በማእዘኖች ባህሪያት እውቀት እና በሶስት ማዕዘን ውጫዊ ማዕዘን ላይ ያለውን ቲዎሪ እውቀት ጋር የተሳሰሩ ናቸው.
ባህሪ 1
የተቆራረጡ ማዕዘኖች እኩል ከሆኑ ሁለት መስመሮች ትይዩ ናቸው.
ሁለት መስመሮችን ሀ እና ለ ከሴካንት ሐ ጋር አስቡ። ተሻጋሪ የውሸት ማዕዘኖች 1 እና 4 እኩል ናቸው። መስመሮቹ ትይዩ እንዳልሆኑ አስቡ። ይህ ማለት መስመሮቹ እርስ በርስ ይገናኛሉ እና የመገናኛ ነጥብ መኖር አለባቸው M. ከዚያም ሶስት ማዕዘን AVM ከውጫዊ አንግል 1 ጋር ይመሰረታል. ውጫዊው አንግል ከ 4 ኛ ማዕዘኖች ድምር ጋር እኩል መሆን እና AVM ከእሱ ጋር የማይቀራረብ መሆን አለበት. በሶስት ማዕዘን ውስጥ ባለው ውጫዊ ማዕዘን ላይ ያለው ቲዎሪ. ግን ከዚያ በኋላ አንግል 1 ከማዕዘን 4 የበለጠ ነው ፣ እና ይህ ከችግሩ ሁኔታ ጋር ይቃረናል ፣ ይህ ማለት ነጥቡ M የለም ፣ መስመሮቹ አይገናኙም ፣ ማለትም ፣ ትይዩ ናቸው።
ሩዝ. 1. ለማረጋገጫ መሳል.
ባህሪ 2
ተጓዳኝ ሴካንት ማዕዘኖች እኩል ከሆኑ ሁለት መስመሮች ትይዩ ናቸው.
ሁለት መስመሮችን ሀ እና ለ ከሴካንት ሐ ጋር አስቡ። ተጓዳኝ ማዕዘኖች 7 እና 2 እኩል ናቸው. ወደ አንግል ትኩረት እንስጥ 3. ለማእዘን ቀጥ ያለ ነው 7. ስለዚህ, ማዕዘኖች 7 እና 3 እኩል ናቸው. ስለዚህ 3 እና 2 ማዕዘኖች እንዲሁ እኩል ናቸው ፣ ምክንያቱም<7=<2 и <7=<3. А угол 3 и угол 2 являются накрест лежащими. Следовательно, прямые параллельны, что и требовалось доказать.
ሩዝ. 2. ለማረጋገጫ መሳል.
ባህሪ 3
የአንድ-ጎን ማዕዘኖች ድምር 180 ዲግሪ ከሆነ ሁለት መስመሮች ትይዩ ናቸው.
ሩዝ. 3. ለማረጋገጫ መሳል.
ሁለት መስመሮችን ሀ እና ለ ከሴካንት ሐ ጋር አስቡ። የአንድ ጎን አንግል 1 እና 2 ድምር 180 ዲግሪ ነው። ወደ ማዕዘኖች 1 እና 7 ትኩረት እንስጥ እነሱ በአጠገብ ናቸው. ያውና:
$$<1+<7=180$$
$$<1+<2=180$$
ሁለተኛውን ከመጀመሪያው አገላለጽ ቀንስ፡-
$$(<1+<7)-(<1+<2)=180-180$$
$$(<1+<7)-(<1+<2)=0$$
$$<1+<7-<1-<2=0$$
$$<7-<2=0$$
$<7=<2$ - а они являются соответственными. Значит, прямые параллельны.
ምን ተማርን?
ትይዩ መስመሮችን በሶስተኛ መስመር ሲቆርጡ ምን ማዕዘኖች እንደሚገኙ በዝርዝር ተንትነናል ፣ ተለይተን እና በዝርዝር የተገለፀው የመስመሮች ትይዩ ሶስት ምልክቶች።
ርዕስ ጥያቄዎች
የአንቀጽ ደረጃ
አማካኝ ደረጃ 4.1. አጠቃላይ የተሰጡ ደረጃዎች፡ 220
በመጀመሪያ፣ በባህሪ፣ በንብረት እና በአክሲዮም ጽንሰ-ሀሳቦች መካከል ያለውን ልዩነት እንመልከት።
ፍቺ 1
ምልክትስለ አንድ ፍላጎት ነገር የፍርድን እውነት ለመወሰን የሚያስችል የተወሰነ እውነታ ይባላል።
ምሳሌ 1
መስመሮቻቸው ተሻጋሪ ማዕዘኖች እኩል ከሆኑ መስመሮች ትይዩ ናቸው።
ፍቺ 2
ንብረትበፍርዱ ትክክለኛነት ላይ እምነት በሚኖርበት ጊዜ በጉዳዩ ውስጥ ተቀርጿል.
ምሳሌ 2
በትይዩ መስመሮች ፣ ሴክተናቸው እኩል ተሻጋሪ ማዕዘኖች ይመሰርታሉ።
ፍቺ 3
axiomማስረጃን የማይፈልግ እና ያለ እሱ እውነት ሆኖ የሚቀበለውን እንደዚህ ያለ መግለጫ ይደውሉ።
እያንዳንዱ ሳይንስ ተከታይ ፍርዶች እና ማረጋገጫዎቻቸው የተገነቡባቸው አክሲሞች አሉት።
ትይዩ መስመሮች Axiom
አንዳንድ ጊዜ ትይዩ መስመሮች axiom በትይዩ መስመሮች ባህሪያት እንደ አንዱ ይወሰዳል, ነገር ግን በተመሳሳይ ጊዜ ሌሎች የጂኦሜትሪ ማረጋገጫዎች በውስጡ ትክክለኛነት ላይ የተገነቡ ናቸው.
ቲዎሪ 1
በተሰጠው መስመር ላይ በማይተኛ ነጥብ, በአውሮፕላኑ ላይ አንድ መስመር ብቻ መሳል ይቻላል, ይህም ከተሰጠው ጋር ትይዩ ይሆናል.
አክሱም ማረጋገጫ አይፈልግም።
ትይዩ መስመሮች ባህሪያት
ቲዎሪ 2
ንብረት1. የትይዩ መስመሮች የመሸጋገሪያ ንብረት፡-
ከሁለት ትይዩ መስመሮች አንዱ ከሦስተኛው ጋር ሲመሳሰል, ሁለተኛው መስመርም ከእሱ ጋር ትይዩ ይሆናል.
ንብረቶች ማረጋገጫ ያስፈልጋቸዋል.
ማረጋገጫ፡-
ሁለት ትይዩ መስመሮች $a$ እና $b$ ይኑር። መስመር $c$ ከመስመር $a$ ጋር ትይዩ ነው። በዚህ ሁኔታ $с$ ከመስመሩ $b$ ጋር ትይዩ መሆኑን እንፈትሽ።
ለማረጋገጫ ተቃራኒውን ሃሳብ እንጠቀማለን፡-
መስመር $c$ ከአንዱ መስመሮች ጋር ትይዩ የሆነበት እንዲህ አይነት ልዩነት እንዳለ አስብ፣ ለምሳሌ፣ መስመር $a$፣ እና ሌላኛው - መስመር $ b$ - በአንድ ነጥብ $K$ ይቋረጣል።
በትይዩ መስመሮች አክሲየም መሰረት ተቃርኖ እናገኛለን. ሁለት መስመሮች በአንድ ነጥብ ላይ እርስ በርስ የሚገናኙበት ሁኔታ ይወጣል, በተጨማሪም, ከተመሳሳይ መስመር $ a $ ጋር ትይዩ ናቸው. እንዲህ ዓይነቱ ሁኔታ የማይቻል ነው, ስለዚህ መስመሮች $ b$ እና $c$ ሊገናኙ አይችሉም.
ስለዚህም ከሁለቱ ትይዩ መስመሮች አንዱ ከሶስተኛው መስመር ጋር ትይዩ ከሆነ ሁለተኛው መስመር ደግሞ ከሶስተኛው መስመር ጋር ትይዩ እንደሆነ ተረጋግጧል።
ቲዎሪ 3
ንብረት 2.
ከሁለቱ ትይዩ መስመሮች አንዱ ከሶስተኛው ጋር ከተገናኘ, ሁለተኛው መስመርም ከእሱ ጋር ይገናኛል.
ማረጋገጫ፡-
ሁለት ትይዩ መስመሮች $a$ እና $b$ ይኑር። እንዲሁም፣ ከትይዩ መስመሮች ውስጥ አንዱን የሚያቋርጥ አንዳንድ መስመር $c$ ይሁን፣ ለምሳሌ፣ መስመር $a$። መስመር $c$ ደግሞ ሁለተኛውን መስመር ማለትም መስመር $ b$ን እንደሚያቋርጥ ማሳየት ያስፈልጋል።
በተቃርኖ ማስረጃ እንገንባ።
መስመር $c$ መስመር $ b$ን እንደማያቋርጥ አስብ። ከዚያም ሁለት መስመሮች $a$ እና $c$ በ $ K$ ነጥብ ውስጥ ያልፋሉ እና መስመር $ b$ን አያቋርጡም, ማለትም, ከእሱ ጋር ትይዩ ናቸው. ነገር ግን ይህ ሁኔታ ትይዩ መስመሮች ያለውን axiom ይቃረናል. ስለዚህ፣ ግምት የተሳሳተ ነበር እና መስመር $c$ መስመሩን $b$ ያቋርጣል።
ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.
የማዕዘን ባህሪያት, እሱም ሁለት ትይዩ መስመሮችን እና ሴካንት ይፈጥራል: ተሻጋሪ ማዕዘኖች እኩል ናቸው ፣ተጓዳኝ ማዕዘኖች እኩል ናቸው, * የአንድ-ጎን ማዕዘኖች ድምር ከ $ 180 ^ (\ cir) $ ጋር እኩል ነው.
ምሳሌ 3
ሁለት ትይዩ መስመሮች እና ሶስተኛው መስመር ከአንዱ ጋር ቀጥ ብሎ ተሰጥቷል። ይህ መስመር ከሌላው ትይዩ መስመሮች ጎን ለጎን መሆኑን ያረጋግጡ።
ማረጋገጫ.
መስመሮች $a \ትይዩ b$ እና $c \ perp a$ ይኑረን።
መስመሩ $c$ መስመርን $a$ ስለሚያቋርጥ፣ እንደ ትይዩ መስመሮች ንብረት፣ እንዲሁም $ b$ን ያቋርጣል።
ሴካንት $c$፣ ትይዩ መስመሮችን $a$ እና $b$ የሚያቋርጥ፣ ከነሱ ጋር እኩል የሆነ የውስጥ ተሻጋሪ ማዕዘኖችን ይመሰርታል።
ምክንያቱም $c \ perp a$፣ ከዚያ ማዕዘኖቹ $90^(\circ)$ ይሆናሉ።
ስለዚህ $c \perp b$.
ማስረጃው ሙሉ ነው።
ገጽ 1 ከ 2
ጥያቄ 1.ከሦስተኛው ጋር ትይዩ የሆኑ ሁለት መስመሮች ትይዩ መሆናቸውን ያረጋግጡ።
መልስ። ቲዎረም 4.1. ከሦስተኛው ጋር ትይዩ የሆኑ ሁለት መስመሮች ትይዩ ናቸው.
ማረጋገጫ።መስመሮች ሀ እና b ከመስመር ሐ ጋር ትይዩ ይሁኑ። a እና b ትይዩ እንዳልሆኑ አስብ (ምሥል 69)። ከዚያም በአንድ ነጥብ ሐ ላይ አይገናኙም።ስለዚህ ሁለት መስመሮች በነጥብ ሐ በኩል ያልፋሉ እና ከመስመሩ ሐ ጋር ትይዩ ናቸው። ነገር ግን ይህ የማይቻል ነው ፣ ምክንያቱም በተሰጠው መስመር ላይ በማይተኛ ነጥብ ፣ ቢበዛ ከተሰጠው መስመር ጋር ትይዩ የሆነ አንድ መስመር ሊወጣ ይችላል። ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.
ጥያቄ 2.ውስጣዊ አንድ-ጎን የሚባሉትን ማዕዘኖች ያብራሩ. የውስጥ መስቀል ውሸት የሚባሉት ማዕዘኖች ምንድን ናቸው?
መልስ።መስመሮች AB እና ሲዲ AC ሲገናኙ የሚፈጠሩት ጥንዶች ማዕዘኖች ልዩ ስሞች አሏቸው።
ነጥቦቹ B እና D ከቀጥታ መስመር AC አንጻር በተመሳሳይ ግማሽ አውሮፕላን ውስጥ ቢዋሹ BAC እና DCA ማዕዘኖች ውስጣዊ አንድ-ጎን ይባላሉ (ምስል 71, ሀ)።
ነጥቦቹ B እና D በተለያዩ የግማሽ አውሮፕላኖች ውስጥ ከኤሲ መስመር አንፃር ቢዋሹ፣ ማዕዘኖቹ BAC እና DCA ውስጣዊ ተሻጋሪ ውሸት ይባላሉ (ምስል 71፣ ለ)።
ሩዝ. 71
ጥያቄ 3.የአንድ ጥንድ ውስጣዊ ተሻጋሪ ማዕዘኖች እኩል ከሆኑ የሌሎቹ ጥንድ ውስጣዊ ተሻጋሪ ማዕዘኖች እንዲሁ እኩል መሆናቸውን ያረጋግጡ እና የእያንዳንዱ ጥንድ ውስጣዊ አንድ-ጎን ማዕዘኖች ድምር 180 ° ነው።
መልስ።ሴካንት AC በመስመሮች AB እና ሲዲ ሁለት ጥንድ ከውስጥ አንድ-ጎን እና ሁለት ጥንድ የውስጥ ተሻጋሪ ማዕዘኖች አሉት። የአንድ ጥንድ የውስጥ መስቀል የውሸት ማዕዘኖች ፣ ለምሳሌ ፣ አንግል 1 እና አንግል 2 ፣ ከሌላው ጥንድ ውስጣዊ መስቀል ጋር የተቆራኙ ናቸው-አንግል 3 እና አንግል 4 (ምስል 72)።
ሩዝ. 72
ስለዚህ, የአንድ ጥንድ ውስጣዊ ተሻጋሪ ማዕዘኖች እኩል ከሆኑ, የሌላው ጥንድ ውስጣዊ አግድም ማዕዘኖች እኩል ናቸው.
እንደ አንግል 1 እና አንግል 2 ያሉ ጥንድ የውስጥ ተሻጋሪ ማዕዘኖች እና እንደ አንግል 2 እና አንግል 3 ያሉ ጥንድ ውስጣዊ ባለ አንድ ጎን ማዕዘኖች አንድ የጋራ አንግል ፣ አንግል 2 እና ሌሎች ሁለት ተያያዥ ማዕዘኖች ፣ አንግል አላቸው ። 1 እና አንግል 3.
ስለዚህ, የውስጣዊው ተሻጋሪ ማዕዘኖች እኩል ከሆኑ, የውስጥ ማዕዘኖች ድምር 180 ° ነው. እና በተገላቢጦሽ: የውስጣዊ ተሻጋሪ ማዕዘኖች ድምር ከ 180 ° ጋር እኩል ከሆነ, ውስጣዊ አግድም አንግሎች እኩል ናቸው. ጥ.ኢ.ዲ.
ጥያቄ 4.ለትይዩ መስመሮች መስፈርቱን ያረጋግጡ.
መልስ። ቲዎረም 4.2 (ለትይዩ መስመሮች ሙከራ).የውስጥ ተሻጋሪ ማዕዘኖች እኩል ከሆኑ ወይም የውስጥ አንድ-ጎን ማዕዘኖች ድምር 180 ° ከሆነ መስመሮቹ ትይዩ ናቸው።
ማረጋገጫ።መስመሮቹ ሀ እና ለ ከሴካንት AB ጋር እኩል የሆነ ውስጣዊ ተሻጋሪ የውሸት ማዕዘኖች እንዲፈጠሩ ያድርጉ (ምሥል 73፣ ሀ)። መስመሮች a እና b ትይዩ አይደሉም እንበል, ይህም ማለት በተወሰነ ነጥብ C ላይ ይገናኛሉ (ምሥል 73, ለ).
ሩዝ. 73
ሴካንት AB አውሮፕላኑን ለሁለት ግማሽ አውሮፕላኖች ይከፍላል. ነጥብ C ከነሱ በአንደኛው ውስጥ ይገኛል፡ ትሪያንግል BAC 1ን እንገንባ፣ ከሶስት ማዕዘን ኤቢሲ ጋር እኩል ነው፣ በሌላኛው ግማሽ አውሮፕላን ከ vertex C 1 ጋር። እንደ ሁኔታው, በትይዩ a, b እና secant AB ውስጥ ውስጣዊ ተሻጋሪ ማዕዘኖች እኩል ናቸው. ተጓዳኝ የሶስት ማዕዘኖች ABC እና BAC 1 ከቁመቶች ሀ እና ቢ ጋር እኩል ስለሆኑ ከውስጥ ተሻጋሪ ማዕዘኖች ጋር ይጣጣማሉ። ስለዚህ፣ መስመር AC 1 ከመስመር ሀ ጋር ይገጣጠማል፣ እና መስመር BC 1 ከመስመር ለ ጋር ይገጣጠማል። ሁለት የተለያዩ መስመሮች ሀ እና b በነጥብ C እና C 1 ውስጥ ያልፋሉ። እና ይህ የማይቻል ነው. ስለዚህ መስመሮች a እና b ትይዩ ናቸው.
መስመሮች a እና b እና secant AB ከውስጥ አንድ-ጎን ማዕዘኖች ድምር ከ180° ጋር እኩል ከሆነ፣ እንደምናውቀው፣ የውስጥ ተሻጋሪ ማዕዘኖች እኩል ናቸው። ስለዚህም ከላይ በተረጋገጠው ሀ እና ለ ያሉት መስመሮች ትይዩ ናቸው። ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.
ጥያቄ 5.ምን ዓይነት ማዕዘኖች ተጓዳኝ ተብለው እንደሚጠሩ ያብራሩ። የውስጥ ተሻጋሪ ማዕዘኖች እኩል ከሆኑ ፣ ከዚያ ተጓዳኝ ማዕዘኖች እንዲሁ እኩል መሆናቸውን ያረጋግጡ ፣ እና በተቃራኒው።
መልስ።አንድ ጥንድ የውስጥ ተሻጋሪ ማዕዘኖች አንድ አንግል በአቀባዊ ከተተካ ፣ ከዚያ ጥንድ ማዕዘኖች ይገኛሉ ፣ እነዚህም ከሴክታንት ጋር የተሰጡትን የመስመሮች ተጓዳኝ ማዕዘኖች ይባላሉ። ማብራራት ያለበት የትኛው ነው።
ከውስጥ ተሻጋሪ ማዕዘኖች እኩልነት ተጓዳኝ ማዕዘኖችን እኩልነት ይከተላል, እና በተቃራኒው. ሁለት ትይዩ መስመሮች አሉን እንበል (ምክንያቱም በሁኔታዎች ውስጣዊ ተሻጋሪ ማዕዘኖች እኩል ናቸው) እና ሴካንት ፣ ማዕዘኖች 1 ፣ 2 ፣ 3። ማዕዘኖች 1 እና 2 ከውስጥ መስቀል-ውሸት ጋር እኩል ናቸው። እና 2 እና 3 ማዕዘኖች እንደ ቋሚ እኩል ናቸው. እኛ እናገኛለን: \ (\ አንግል \) 1 = \ (\ አንግል \) 2 እና \ (\ አንግል \) 2 = \ (\ አንግል \) 3. የእኩል ምልክት የመሸጋገሪያ ባህሪው እንደሚከተለው ነው \ (\ አንግል \) 1 = \ (\ አንግል \) 3. የውይይት መግለጫው በተመሳሳይ መልኩ ተረጋግጧል።
ይህ በተመጣጣኝ ማዕዘኖች ላይ ትይዩ መስመሮችን ምልክት ያመጣል. ማለትም, ተጓዳኝ ማዕዘኖች እኩል ከሆኑ መስመሮች ትይዩ ናቸው. ጥ.ኢ.ዲ.
ጥያቄ 6.በተሰጠው መስመር ላይ በማይተኛ ነጥብ በኩል, ከእሱ ጋር ትይዩ የሆነ መስመር መሳል እንደሚቻል ያረጋግጡ. ከተሰጠው መስመር ጋር ትይዩ የሆኑ ስንት መስመሮች በዚህ መስመር ላይ ባልሆነ ነጥብ መሳል ይቻላል?
መልስ።ችግር (8) መስመር AB እና ነጥብ C በዚህ መስመር ላይ አለመዋሸት ተሰጥቷል። ነጥብ C በኩል መስመር AB ጋር ትይዩ መስመር መሳል እንደሚቻል ያረጋግጡ.
መፍትሄ። ቀጥተኛ መስመር AC አውሮፕላኑን ወደ ሁለት ግማሽ አውሮፕላኖች ይከፍላል (ምሥል 75). ነጥብ B በአንደኛው ውስጥ ይገኛል። ከግማሽ መስመር CA፣ ከ CAB አንግል ጋር እኩል የሆነውን አንግል ACD ወደ ሌላኛው ግማሽ አውሮፕላን እናስቀድም። ከዚያም AB እና ሲዲ መስመሮች ትይዩ ይሆናሉ. በእርግጥ፣ ለእነዚህ መስመሮች እና ሴካንት ኤሲ፣ ማዕዘኖቹ BAC እና DCA ውስጣዊ አቋራጭ ናቸው። እና እኩል ስለሆኑ መስመሮች AB እና ሲዲ ትይዩ ናቸው. ጥ.ኢ.ዲ.
የችግር 8 እና የ axiom IX (የትይዩ መስመሮች ዋና ንብረት) መግለጫን በማነፃፀር አንድ አስፈላጊ መደምደሚያ ላይ ደርሰናል-በተወሰነ መስመር ላይ በማይተኛ ነጥብ በኩል አንድ ሰው ከእሱ ጋር ትይዩ መስመርን መሳል ይችላል እና አንድ ብቻ።
ጥያቄ 7.ሁለት መስመሮች ከሶስተኛው መስመር ጋር ከተጣመሩ ውስጣዊው ተሻጋሪ ማዕዘኖች እኩል መሆናቸውን ያረጋግጡ እና የውስጠኛው አንድ-ጎን ማዕዘኖች ድምር 180 ° ነው።
መልስ። ቲዎረም 4.3(ወደ Theorem 4.2 ይነጋገሩ)። ሁለት ትይዩ መስመሮች ከሶስተኛው መስመር ጋር ከተጣመሩ, የውስጥ ተሻጋሪ ማዕዘኖች እኩል ናቸው, እና የውስጥ አንድ-ጎን ማዕዘኖች ድምር 180 ° ነው.
ማረጋገጫ።ሀ እና ለ ትይዩ መስመሮች ይሁኑ እና ሐ በነጥብ ሀ እና ለ ላይ የሚያቆራርጣቸው መስመር ይሁኑ። ከ 1 እስከ ነጥብ ሀ መስመር ይሳሉ በዚህም ሴካንት ሐ ከ መስመር ሀ 1 እና b ጋር የተፈጠሩት የውስጥ ተሻጋሪ ማዕዘኖች እኩል ይሆናሉ። (ምስል 76).
በመስመሮች ትይዩነት መስፈርት፣ መስመር ሀ 1 እና ለ ትይዩ ናቸው። እና አንድ መስመር ብቻ በነጥብ A በኩል ስለሚያልፍ ፣ ከመስመሩ ለ ጋር ትይዩ ፣ ከዚያ መስመሩ ከመስመሩ ሀ 1 ጋር ይገጣጠማል።
ይህ ማለት በሴክታንት የተፈጠሩ ውስጣዊ ተሻጋሪ ማዕዘኖች ማለት ነው
ትይዩ መስመሮች a እና b እኩል ናቸው. ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.
ጥያቄ 8.ከሶስተኛው ጋር ቀጥ ያሉ ሁለት መስመሮች ትይዩ መሆናቸውን ያረጋግጡ። አንድ መስመር ከሁለት ትይዩ መስመሮች ወደ አንዱ ቀጥ ያለ ከሆነ፣ እሱ ደግሞ ከሌላው ጋር ቀጥ ያለ ነው።
መልስ።ከቲዎሬም 4.2 ተከትሎ ሁለት መስመሮች ከሶስተኛው ጋር ቀጥ ያሉ ትይዩ ናቸው.
ማንኛቸውም ሁለት መስመሮች ከሦስተኛው መስመር ጋር ቀጥ ያሉ መሆናቸውን አስብ። ስለዚህ እነዚህ መስመሮች ከ 90 ዲግሪ ጋር እኩል በሆነ አንግል ከሶስተኛው መስመር ጋር ይገናኛሉ.
በትይዩ መስመሮች መስቀለኛ መንገድ ላይ በሴካንት ከተፈጠሩት ማዕዘኖች ንብረቱ ፣ አንድ መስመር ወደ አንዱ ትይዩ መስመር ከሆነ ፣ ከዚያ ከሌላው ጋር ተመሳሳይ ነው።
ጥያቄ 9.የሶስት ማዕዘን ማዕዘኖች ድምር 180 ° መሆኑን ያረጋግጡ.
መልስ። ቲዎረም 4.4.የሶስት ማዕዘን ማዕዘኖች ድምር 180 ° ነው.
ማረጋገጫ።ኤቢሲ የተሰጠው ትሪያንግል ይሁን። ከኤሲ መስመር ጋር ትይዩ በ vertex B በኩል መስመር ይሳሉ። ነጥብ D በላዩ ላይ ምልክት ያድርጉበት ስለዚህም ነጥቦች A እና D ከክርስቶስ ልደት በፊት በተቃራኒ ጎኖች ላይ ይተኛሉ (ምስል 78)።
አንግል ዲቢሲ እና ኤሲቢ ከውስጣዊ መስቀለኛ መንገድ ጋር እኩል ናቸው፣ በሴካንት ዓ.ዓ. ትይዩ መስመሮች AC እና BD። ስለዚህ, የሶስት ማዕዘን ማዕዘኖች ድምር በቢ እና ሲ ከ ABD አንግል ጋር እኩል ነው.
እና የሶስቱም የሶስት ማዕዘኖች ድምር ከ ABD እና BAC ማዕዘኖች ድምር ጋር እኩል ነው። እነዚህ ማዕዘኖች ለትይዩ AC እና BD እና ሴካንት AB ውስጣዊ አንድ-ጎን ስለሆኑ ድምራቸው 180° ነው። ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.
ጥያቄ 10.ማንኛውም ትሪያንግል ቢያንስ ሁለት አጣዳፊ ማዕዘኖች እንዳሉት ያረጋግጡ።
መልስ።በእርግጥ፣ ትሪያንግል አንድ አጣዳፊ አንግል ብቻ ነው ያለው ወይም ምንም አጣዳፊ ማዕዘኖች የሉትም እንበል። ከዚያም ይህ ሶስት ማዕዘን ሁለት ማዕዘኖች ያሉት ሲሆን እያንዳንዳቸው ቢያንስ 90 ° ናቸው. የእነዚህ ሁለት ማዕዘኖች ድምር ከ 180 ° ያነሰ አይደለም. ነገር ግን ይህ የማይቻል ነው, ምክንያቱም የሁሉም የሶስት ማዕዘን ማዕዘኖች ድምር 180 ° ነው. ጥ.ኢ.ዲ.
የእርስዎ ግላዊነት ለእኛ አስፈላጊ ነው። በዚህ ምክንያት፣ የእርስዎን መረጃ እንዴት እንደምንጠቀም እና እንደምናከማች የሚገልጽ የግላዊነት ፖሊሲ አዘጋጅተናል። እባኮትን የግላዊነት መመሪያችንን ያንብቡ እና ማንኛውም አይነት ጥያቄ ካለዎት ያሳውቁን።
የግል መረጃ መሰብሰብ እና መጠቀም
የግል መረጃ አንድን የተወሰነ ሰው ለመለየት ወይም ለመገናኘት የሚያገለግል ውሂብን ያመለክታል።
እኛን በሚያገኙበት በማንኛውም ጊዜ የግል መረጃዎን እንዲያቀርቡ ሊጠየቁ ይችላሉ።
የሚከተሉት ልንሰበስብ የምንችላቸው የግል መረጃ ዓይነቶች እና እንደዚህ ያለውን መረጃ እንዴት መጠቀም እንደምንችል አንዳንድ ምሳሌዎች ናቸው።
የምንሰበስበው የግል መረጃ፡-
- በጣቢያው ላይ ማመልከቻ በሚያስገቡበት ጊዜ, የእርስዎን ስም, ስልክ ቁጥር, የኢሜል አድራሻ, ወዘተ ጨምሮ የተለያዩ መረጃዎችን ልንሰበስብ እንችላለን.
የእርስዎን የግል መረጃ እንዴት እንደምንጠቀም፡-
- የምንሰበስበው የግል መረጃ እርስዎን እንድናገኝ እና ስለ ልዩ ቅናሾች፣ ማስተዋወቂያዎች እና ሌሎች ዝግጅቶች እና መጪ ክስተቶች ለእርስዎ ለማሳወቅ ያስችለናል።
- ከጊዜ ወደ ጊዜ፣ አስፈላጊ ማስታወቂያዎችን እና መልዕክቶችን ለመላክ የእርስዎን የግል መረጃ ልንጠቀም እንችላለን።
- የምንሰጣቸውን አገልግሎቶች ለማሻሻል እና አገልግሎታችንን በተመለከተ ምክሮችን ለመስጠት የግል መረጃን ለውስጣዊ ዓላማዎች ለምሳሌ ኦዲት ማድረግ፣ የመረጃ ትንተና እና የተለያዩ ጥናቶችን ልንጠቀም እንችላለን።
- የሽልማት ዕጣ፣ ውድድር ወይም ተመሳሳይ ማበረታቻ ካስገቡ፣ ያቀረቡትን መረጃ መሰል ፕሮግራሞችን ለማስተዳደር ልንጠቀምበት እንችላለን።
ለሶስተኛ ወገኖች ይፋ ማድረግ
ከእርስዎ የተቀበልነውን መረጃ ለሶስተኛ ወገኖች አንገልጽም።
ልዩ ሁኔታዎች፡-
- አስፈላጊ ሆኖ ሲገኝ - በህግ, በፍትህ ስርዓት, በህግ ሂደቶች እና / ወይም በሩሲያ ፌዴሬሽን ግዛት ውስጥ ባሉ የመንግስት አካላት የህዝብ ጥያቄዎች ወይም ጥያቄዎች ላይ በመመስረት - የግል መረጃዎን ይፋ ማድረግ. እንዲህ ዓይነቱን ይፋ ማድረግ ለደህንነት፣ ለህግ አስከባሪ አካላት ወይም ለሌሎች የህዝብ ጥቅም ዓላማዎች አስፈላጊ እንደሆነ ከወሰንን ስለእርስዎ መረጃ ልንገልጽ እንችላለን።
- መልሶ ማደራጀት፣ ውህደት ወይም ሽያጭ በሚደረግበት ጊዜ የምንሰበስበውን የግል መረጃ ለሚመለከተው የሶስተኛ ወገን ተተኪ ማስተላለፍ እንችላለን።
የግል መረጃ ጥበቃ
የእርስዎን ግላዊ መረጃ ከመጥፋት፣ ስርቆት እና አላግባብ መጠቀም እንዲሁም ካልተፈቀደ መዳረሻ፣ ይፋ ከማድረግ፣ ከመቀየር እና ከመበላሸት ለመጠበቅ አስተዳደራዊ፣ ቴክኒካል እና አካላዊ ጨምሮ ጥንቃቄዎችን እናደርጋለን።
በኩባንያ ደረጃ የእርስዎን ግላዊነት መጠበቅ
የእርስዎ የግል መረጃ ደህንነቱ የተጠበቀ መሆኑን ለማረጋገጥ፣ የግላዊነት እና የደህንነት ልማዶችን ለሰራተኞቻችን እናስተላልፋለን እና የግላዊነት ልማዶችን በጥብቅ እናስፈጽማለን።
1. የመጀመሪያው ትይዩ ምልክት.
ከሶስተኛው ጋር በሁለት መስመሮች መጋጠሚያ ላይ, ውስጣዊ ማዕዘኖች የተቀመጡት እኩል ከሆኑ, እነዚህ መስመሮች ትይዩ ናቸው.
መስመሮች AB እና ሲዲ በመስመር EF እና ∠1 = ∠2 እንዲቆራረጡ ያድርጉ። ነጥቡን O እንውሰድ - የሴከንት EF ክፍል KL መካከለኛ (ምስል).
ቀጥተኛውን OM ከነጥቡ O ወደ AB መስመር እንተወውና ከመስመሩ ሲዲ AB ⊥ MN ጋር እስኪያቋርጥ ድረስ እንቀጥል። ያንን ሲዲ ⊥ ኤምኤንም እናረጋግጥ።
ይህንን ለማድረግ ሁለት ትሪያንግሎችን ተመልከት MOE እና NOK. እነዚህ ትሪያንግሎች እርስ በርስ እኩል ናቸው. በእርግጥ: ∠1 = ∠2 በቲዎሬም መላምት; እሺ = ኦኤል - በግንባታ;
∠MOL = ∠NOK እንደ ቋሚ ማዕዘኖች። ስለዚህ, ከጎኑ እና ከጎኑ ያሉት ሁለት ማዕዘኖች ከአንድ ሶስት ማዕዘን ጎን ለጎን እና ሁለት ማዕዘኖች ከሌላው ሶስት ማዕዘን ጋር እኩል ናቸው; ስለዚህ፣ ΔMOL = ΔNOK፣ እና ስለዚህ ∠LMO = ∠KNO፣
ግን ∠LMO ቀጥተኛ ነው፣ ስለዚህ ∠KNO እንዲሁ ቀጥተኛ ነው። ስለዚህ, AB እና ሲዲ መስመሮች ከተመሳሳይ መስመር MN ጋር ቀጥ ያሉ ናቸው, ስለዚህም, ትይዩ ናቸው, ይህም ሊረጋገጥ ነበር.
ማስታወሻ. የመስመሮቹ MO እና ሲዲ መገናኛ ሶስት ማዕዘን MOL በነጥብ O ዙሪያ በ180° በማዞር ሊመሰረት ይችላል።
2. ሁለተኛው ትይዩ ምልክት.
በሦስተኛው መስመር EF መስቀለኛ መንገድ ላይ ፣ AB እና ሲዲ መስመሮቹ ትይዩ መሆናቸውን እንይ ፣ ተጓዳኝ ማዕዘኖች እኩል ናቸው።
አንዳንድ ተጓዳኝ ማዕዘኖች እኩል ይሁኑ, ለምሳሌ ∠ 3 = ∠2 (ምስል);
∠3 = ∠1 እንደ ቋሚ ማዕዘኖች; ስለዚህ ∠2 ከ∠1 ጋር እኩል ይሆናል። ግን ማዕዘኖች 2 እና 1 ውስጣዊ ተሻጋሪ ማዕዘኖች ናቸው ፣ እና በሁለት መስመሮች መጋጠሚያ ላይ በሦስተኛ ደረጃ ፣ የውስጥ ተሻጋሪ የውሸት ማዕዘኖች እኩል ከሆኑ ፣ እነዚህ መስመሮች ትይዩ መሆናቸውን እናውቃለን። ስለዚ ኣብ || ሲዲ
በሦስተኛው ሁለት መስመሮች መገናኛ ላይ ተጓዳኝ ማዕዘኖች እኩል ከሆኑ, እነዚህ ሁለት መስመሮች ትይዩ ናቸው.
በገዥ እና በስዕል ትሪያንግል እርዳታ ትይዩ መስመሮችን መገንባት በዚህ ንብረት ላይ የተመሰረተ ነው. ይህ እንደሚከተለው ይከናወናል.
በሥዕሉ ላይ እንደሚታየው ሶስት ማዕዘን ወደ ገዥው እንይ. የሶስት ማዕዘኑ አንድ ጎን በገዥው ላይ እንዲንሸራተት እናንቀሳቅሳለን እና ከየትኛውም የሶስት ማዕዘኑ ጎን ብዙ ቀጥታ መስመሮችን እናስቀምጣለን። እነዚህ መስመሮች ትይዩ ይሆናሉ.
3. ሦስተኛው ትይዩ ምልክት.
በሁለት መስመር AB እና በሲዲ መጋጠሚያ ላይ በሦስተኛው መስመር የማንኛውም የውስጥ አንድ-ጎን ማዕዘኖች ድምር ከ 2 ጋር እኩል መሆኑን እንወቅ። መ(ወይም 180 °). መስመሮች AB እና ሲዲ በዚህ ጉዳይ ላይ ትይዩ ይሆናሉ (ምስል).
∠1 እና ∠2 አንድ-ጎን የውስጥ ማዕዘኖች ይሁኑ እና እስከ 2 ይደመር መ.
ግን ∠3 + ∠2 = 2 መእንደ አጎራባች ማዕዘኖች. ስለዚህ፣ ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2።
ስለዚህም ∠1 = ∠3፣ እና እነዚህ የውስጥ ማዕዘኖች ተሻጋሪ ናቸው። ስለዚ ኣብ || ሲዲ
በሁለት መስመሮች መጋጠሚያ ላይ በሦስተኛው ከሆነ ፣ የውስጠኛው ክፍል አንድ-ጎን ማዕዘኖች ድምር እኩል ነው። 2 d (ወይም 180 °), ከዚያም ሁለቱ መስመሮች ትይዩ ናቸው.
ትይዩ መስመሮች ምልክቶች:
1. በሁለት ቀጥታ መስመሮች መስቀለኛ መንገድ ላይ በሶስተኛ ደረጃ, የውስጥ መስቀል የውሸት ማዕዘኖች እኩል ናቸው, ከዚያም እነዚህ መስመሮች ትይዩ ናቸው.2. በሦስተኛው ሁለት መስመሮች መገናኛ ላይ, ተጓዳኝ ማዕዘኖች እኩል ናቸው, ከዚያም እነዚህ ሁለት መስመሮች ትይዩ ናቸው.
3. በሦስተኛው ሁለት መስመሮች መገናኛ ላይ, የውስጣዊው አንድ-ጎን ማዕዘኖች ድምር 180 ° ከሆነ, እነዚህ ሁለት መስመሮች ትይዩ ናቸው.
4. ሁለት መስመሮች ከሦስተኛው መስመር ጋር ትይዩ ከሆኑ, ከዚያም እርስ በርስ ትይዩ ናቸው.
5. ሁለት መስመሮች በሦስተኛው መስመር ላይ ቀጥ ያሉ ከሆኑ, ከዚያም እርስ በርስ ትይዩ ናቸው.
የዩክሊድ አክሲየም ትይዩነት
ተግባር። ከመስመሩ AB ውጭ በተወሰደው ነጥብ M፣ ከመስመሩ AB ጋር ትይዩ የሆነ መስመር ይሳሉ።
በመስመሮች ትይዩ ምልክቶች ላይ የተረጋገጡ ንድፈ ሃሳቦችን በመጠቀም ይህ ችግር በተለያዩ መንገዶች ሊፈታ ይችላል.
መፍትሄ። 1 ኛ ሰ o ሰ o ለ (ምስል 199).
MN⊥AB እናስባለን እና በነጥብ M በኩል ሲዲ⊥MN እንሳሉ።
ሲዲ⊥MN እና AB⊥MN እናገኛለን።
በንድፈ ሀሳቡ መሰረት ("ሁለት መስመሮች ወደ አንድ መስመር ቀጥ ያሉ ከሆኑ ትይዩ ናቸው" ማለት ነው) СD || AB
2 ኛ ሰ p os o b (ምስል 200).
በማንኛውም አንግል α ላይ MK intersecting AB ን እናስባለን እና በነጥቡ M በኩል ቀጥ ያለ መስመር EF እናስባለን ፣ ከማዕዘን α ጋር እኩል የሆነ EMK ከቀጥታ መስመር MK ጋር። በቲዎሪ () ላይ በመመስረት EF || AB
ይህንን ችግር ከፈታን በኋላ ፣ ከመስመር AB ውጭ በተወሰደ በማንኛውም ነጥብ M በኩል ፣ ከእሱ ጋር ትይዩ የሆነ መስመር መሳል እንደሚቻል ልንገምት እንችላለን። ጥያቄው የሚነሳው ከተጠቀሰው መስመር ጋር ትይዩ የሆኑ እና በተሰጠው ነጥብ ውስጥ የሚያልፍ ስንት መስመሮች ሊኖሩ ይችላሉ?
የግንባታዎች ልምምድ አንድ መስመር ብቻ እንዳለ ለመገመት ያስችለናል, ምክንያቱም በጥንቃቄ ከተተገበረው ስዕል ጋር, በተለያየ መንገድ መስመሮች ከተመሳሳይ መስመር ውህደት ጋር ተመሳሳይ በሆነ ነጥብ በኩል ይሳሉ.
በንድፈ, የዚህ ጥያቄ መልስ Euclid ትይዩ ያለውን axiom የሚባሉት ነው; የተቀረጸው እንደሚከተለው ነው።
ከተጠቀሰው መስመር ውጭ በተወሰደ ነጥብ አንድ መስመር ብቻ ከዚህ መስመር ጋር ትይዩ ሊሆን ይችላል።
በሥዕሉ 201 ላይ፣ ቀጥታ መስመር SK ከቀጥታ መስመር AB ጋር ትይዩ በሆነው ነጥብ O በኩል ተስሏል።
በ O ነጥብ በኩል የሚያልፍ ሌላ ማንኛውም መስመር ከ AB መስመር ጋር ትይዩ አይሆንም፣ ግን ያቋርጠዋል።
ኤውክሊድ በኤለመንቶች የወሰደው አክሲዮም ከተጠቀሰው መስመር ውጭ ባለ ነጥብ በአውሮፕላን ላይ አንድ መስመር ብቻ ከዚህ መስመር ጋር ትይዩ ሊሆን እንደሚችል የሚናገረው አክሲየም ይባላል። የዩክሊድ አክሲየም ትይዩነት.
ከዩክሊድ በኋላ ከሁለት ሺህ ለሚበልጡ ዓመታት ብዙ የሒሳብ ሊቃውንት ይህንን የሂሳብ ሐሳብ ለማረጋገጥ ሞክረዋል፣ ግን ሙከራቸው ሁልጊዜ አልተሳካም። በ 1826 ብቻ, ታላቁ የሩሲያ ሳይንቲስት, የካዛን ዩኒቨርሲቲ ፕሮፌሰር ኒኮላይ ኢቫኖቪች ሎባቼቭስኪ, ሁሉንም ሌሎች የዩክሊድ አክሲሞችን በመጠቀም, ይህ የሂሳብ አስተያየት ሊረጋገጥ እንደማይችል አረጋግጠዋል, በእርግጥ እንደ አክሲየም መወሰድ አለበት. N. I. Lobachevsky አዲስ ጂኦሜትሪ ፈጠረ, እሱም ከዩክሊድ ጂኦሜትሪ በተቃራኒው የሎባቼቭስኪ ጂኦሜትሪ ተብሎ ይጠራ ነበር.
