የሁለተኛው ተዋጽኦ አካላዊ ሜካኒካዊ ፍቺን እንመልከት። ሁለተኛ ቅደም ተከተል ተወላጅ እና ሜካኒካል ትርጉሙ። የልዩነት ስሌት አተገባበር

መነሻ(በአንድ ነጥብ ላይ ያሉ ተግባራት) - የአንድን ተግባር የመለወጥ መጠን (በአንድ ነጥብ ላይ) በመለየት የልዩነት ስሌት መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳብ። ይህ ገደብ ካለ የክርክሩ መጨመር ወደ ዜሮ ስለሚሄድ የአንድ ተግባር መጨመር ጥምርታ እና የክርክሩ መጨመር ገደብ ተብሎ ይገለጻል። ውሱን አመጣጥ ያለው ተግባር (በተወሰነ ጊዜ) ልዩነት ይባላል (በዚያ ነጥብ)።

መነሻ። እስቲ አንዳንድ ተግባራትን እንመልከት y = ረ (x ) በሁለት ነጥብ x 0 እና x 0 + : ረ (x 0) እና ረ (x 0+) እዚህ ፣ በክርክሩ ውስጥ አንዳንድ ጥቃቅን ለውጦችን ያሳያል ፣ ይባላል የክርክር መጨመር; በዚህ መሠረት በሁለት የተግባር እሴቶች መካከል ያለው ልዩነት: ረ (x 0 + )  ረ (x 0 ) ይባላል የተግባር መጨመር.መነሻተግባራት y = ረ (x ) ነጥብ ላይ x 0 ገደብ ይባላል፡-

ይህ ገደብ ካለ, ከዚያ ተግባሩ ረ (x ) ይባላል ሊለያይ የሚችልነጥብ ላይ x 0 . የአንድ ተግባር መነሻ ረ (x ) እንደሚከተለው ይገለጻል።

የመነጩ ጂኦሜትሪክ ትርጉም። የተግባሩን ግራፍ አስቡበት y = ረ (x ):

ከሥዕል 1 ጀምሮ ለተግባሩ ግራፍ ለማንኛውም ሁለት ነጥቦች A እና B ግልጽ ነው፡

የሴካንት AB የማዘንበል አንግል የት አለ.

ስለዚህ, የልዩነት ሬሾው ከሴክተሩ ቁልቁል ጋር እኩል ነው. ነጥብ Aን አስተካክለው ነጥብ ቢን ወደ እሱ ካዘዋወሩ፣ ያለ ገደብ ይቀንሳል እና ወደ 0 ይጠጋል፣ እና ሴካንት AB ወደ ታንጀንት AC ይጠጋል። ስለዚህ የልዩነት ሬሾው ወሰን በ A ነጥብ ላይ ካለው ታንጀንት ቁልቁል ጋር እኩል ነው። በአንድ ነጥብ ላይ ያለው የተግባር ተወላጅ የታንጀንት ተዳፋት ወደዚህ ተግባር ግራፍ በዚያ ነጥብ ላይ ነው።ይሄው ነው። ጂኦሜትሪክ ትርጉም ተዋጽኦ።

የታንጀንት እኩልታ. ነጥብ A ላይ ያለውን የተግባርን ግራፍ ያለውን የታንጀንት እኩልታ እናምጣ። x 0 , ረ (x 0 ))። በአጠቃላይ የቀጥተኛ መስመር እኩልታ ከዳገታማ ኮፊደል ጋር ረ ’(x 0 ) ቅጹ አለው፡-

y = ረ ’(x 0 ) · x + b

ለማግኘት ለ, ታንጀንት በነጥብ A ውስጥ ያልፋል የሚለውን እውነታ እንጠቀም፡-

ረ (x 0 ) = ረ ’(x 0 ) · x 0 + ለ ,

ከዚህ፣ ለ = ረ (x 0 ) – ረ ’(x 0 ) · x 0 , እና በምትኩ ይህን አገላለጽ በመተካት ለ, እናገኛለን የታንጀንት እኩልታ:

y =ረ (x 0 ) + ረ ’(x 0 ) · ( x - x 0 ) .

የመነጩ ሜካኒካል ትርጉም። በጣም ቀላሉን ጉዳይ እናስብ፡ የቁሳቁስ ነጥብ እንቅስቃሴ በተቀናጀ ዘንግ ላይ እና የእንቅስቃሴ ህግ ተሰጥቷል፡ አስተባባሪ xየሚንቀሳቀስ ነጥብ - የታወቀ ተግባር x (ቲ) ጊዜ ቲ. በጊዜ ክፍተት ከ ቲ 0 ወደ ቲ 0 + ነጥቡ ርቀትን ያንቀሳቅሳል; x (ቲ 0 + ) x (ቲ 0) = እና እሷ አማካይ ፍጥነት እኩል ነው፡- ቁ ሀ =  . በ 0, አማካኝ ፍጥነት ወደ አንድ የተወሰነ እሴት ያቀናል, እሱም ይባላል ፈጣን ፍጥነት ቁ ( ቲ 0 ) በጊዜው ቁሳዊ ነጥብ ቲ 0 . ነገር ግን በመነጩ ፍቺ አለን።

ከዚህ፣ ቁ (ቲ 0 ) = x' (ቲ 0 ) ማለትም እ.ኤ.አ. ፍጥነት የመጋጠሚያው መነሻ ነው በ ጊዜ. ይሄው ነው። ሜካኒካዊ ስሜትተዋጽኦ . እንደዚሁ ማጣደፍ በጊዜ ረገድ የፍጥነት መነሻ ነው።: ሀ = ቪ' (ቲ).

8. የመነሻዎች እና የልዩነት ደንቦች ሰንጠረዥ

ተዋጽኦ ምን ማለት እንደሆነ “የተዋዋይ ጂኦሜትሪክ ትርጉም” በሚለው መጣጥፍ ውስጥ ተነጋግረናል። አንድ ተግባር በግራፍ ከተሰጠ በእያንዳንዱ ነጥብ ላይ ያለው ተዋጽኦ ከታንጀንት ታንጀንት ወደ ተግባሩ ግራፍ ጋር እኩል ነው። እና ተግባሩ በቀመር ከተሰጠ, የመነሻዎች ሰንጠረዥ እና የልዩነት ህጎች ይረዱዎታል, ማለትም, ተዋጽኦውን የማግኘት ደንቦች.

§ 2. የመነሻ ፍቺ.

ተግባሩ ይፍቀድ y= ረ(x) በክፍተቱ ላይ ይገለጻል ( ሀ;ለ). የክርክሩን ዋጋ ግምት ውስጥ ያስገቡ

(ሀ;ለ) . ክርክሩን አንድ ጭማሪ እንስጥ ∆ x 0, ስለዚህ ሁኔታው x 0 +∆ x)

ሀ;ለ). ተጓዳኝ የተግባር እሴቶችን በ y 0 እና y 1 እንጥቀስ፡

y 0 = ረ(x 0 ), y 1 = ረ(x 0 +∆ x). ከ ሲንቀሳቀሱ x 0 ለ x 0 +∆ xተግባሩ ይጨምራል

∆y = y 1 - y 0 = ረ(x 0 +∆ x) -ረ(x 0 ). እየጣሩ ከሆነ ∆ xወደ ዜሮ የተግባር መጨመር ጥምርታ ገደብ አለ ∆ yለተፈጠረው ክርክር መጨመር ∆ x,

እነዚያ። ገደብ አለው።

=

,

ከዚያም ይህ ገደብ የተግባር መነሻው ይባላል y= ረ(x) ነጥብ ላይ x 0 . ስለዚህ, የተግባሩ አመጣጥ y= ረ(x) ነጥብ ላይ x=x 0 የክርክሩ መጨመር ወደ ዜሮ በሚሄድበት ጊዜ የአንድ ተግባር መጨመር ሬሾ ወሰን ነው። የአንድ ተግባር መነሻ y= ረ(x) ነጥብ ላይ xበምልክቶች ተጠቁሟል (x) ወይም (x). ማስታወሻዎችም ጥቅም ላይ ይውላሉ , , ,. የመጨረሻዎቹ ሶስት ማስታወሻዎች ተወላጁ ከተለዋዋጭ አንፃር መወሰዱን ያጎላሉ x.

ተግባሩ ከሆነ y= ረ(x) በእያንዳንዱ የተወሰነ የጊዜ ክፍተት ላይ ተውሳክ አለው ፣ ከዚያ በዚህ የጊዜ ክፍተት ላይ ተዋጽኦው ( x) የተግባር ክርክር ነው። x.

§ 3. የመነጩ ሜካኒካል እና ጂኦሜትሪክ ትርጉም.

የመደበኛ እና የታንጀንት እኩልታዎች ለአንድ ተግባር ግራፍ።

በ§ 1 ላይ እንደሚታየው የአንድ ነጥብ ፈጣን ፍጥነት ነው።

ቁ = .

ነገር ግን ይህ ማለት ፍጥነት ማለት ነው ቁ የተጓዘው ርቀት መነሻ ነው። ኤስ በጊዜ ቲ ,

ቁ =. ስለዚህ, ተግባሩ ከሆነ y= ረ(x) የሚለውን ህግ ይገልፃል። rectilinear እንቅስቃሴቁሳዊ ነጥብ የት yመንቀሳቀስ ከጀመረበት ጊዜ አንስቶ እስከ ጊዜ ቅፅበት ድረስ በቁሳዊ ነጥብ የተጓዘበት መንገድ ነው። xከዚያም ተዋጽኦው ( x) የአንድን ነጥብ ፈጣን ፍጥነት በአንድ ጊዜ ይወስናል x. ይህ የመነጩ ሜካኒካዊ ትርጉም ነው።

በ § 1 ውስጥ የታንጀንት ወደ ተግባሩ ግራፍ ያለው አንግል ኮፊሸን እንዲሁ ተገኝቷል y= ረ(x) ክ= tgα= . ይህ ግንኙነት ማለት የታንጀንት ቁልቁል ከመነጩ ጋር እኩል ነው ( x). የበለጠ ጥብቅ አነጋገር፣ ተዋጽኦው ( x) ተግባራት y= ረ(x) , እኩል በሆነ የነጋሪት እሴት ይሰላል x, ከታንጀንት ተዳፋት ወደ የዚህ ተግባር ግራፍ ጋር እኩል ነው abscissa እኩል በሆነበት ቦታ ላይ x. ይህ የመነጩ ጂኦሜትሪክ ትርጉም ነው።

እስቲ በ x=x 0 ተግባር y= ረ(x) ዋጋውን ይወስዳል y 0 =ረ(x 0 ) ፣ እና የዚህ ተግባር ግራፍ ከመጋጠሚያዎች ጋር በነጥቡ ላይ ታንጀንት አለው ( x 0 ;y 0) ከዚያም የታንጀንት ቁልቁል

k = ( x 0) ከትንታኔ ጂኦሜትሪ አካሄድ የሚታወቀውን በተሰጠው አቅጣጫ በአንድ ነጥብ በኩል የሚያልፈውን መስመር እኩልታ በመጠቀም ( y-y 0 =ክ(x-x 0)) ፣ የታንጀንት እኩልታውን እንጽፋለን-

በታንጀንት ነጥብ በኩል ወደ ታንጀንት ቀጥ ብሎ የሚያልፈው ቀጥተኛ መስመር ወደ ኩርባው መደበኛ ይባላል። መደበኛው ከታንጀንት ጋር ቀጥ ያለ ስለሆነ ቁልቁለቱ ነው። ክደንቦች ከታንጀንት ቁልቁል ጋር ይዛመዳሉ ክበግንኙነቱ ከትንታኔ ጂኦሜትሪ የሚታወቅ፡- ክደንቦች = ─, ማለትም. ነጥቡን ከመገጣጠሚያዎች ጋር ለማለፍ ለተለመደው ( x 0 ;y 0),ክመደበኛ = ─. ስለዚህ, የዚህ መደበኛው እኩልነት ቅጹ አለው:

(የቀረበው)

).

§ 4. የመነሻ ስሌቶች ምሳሌዎች.

የአንድ ተግባር ተዋጽኦን ለማስላት y= ረ(x) ነጥብ ላይ x, አስፈላጊ:

ክርክር xጭማሪ ∆ x;

የተግባሩን ተጓዳኝ ጭማሪ ያግኙ ∆ y=ረ(x+∆x) -ረ(x);

ግንኙነት ይፍጠሩ ;

የዚህን ጥምርታ ገደብ በ∆ ያግኙ x→0.

ምሳሌ 4.1. የአንድ ተግባር ተዋጽኦን ያግኙ y=C=const

ክርክር xጭማሪ ∆ x.

ምንም ይሁን ምን x, ∆y=0: ∆y=ረ(x+∆x) ─ረ(x)=С─С=0;

ከዚህ =0 እና =0፣ ማለትም =0.

ምሳሌ 4.2. የአንድ ተግባር ተዋጽኦን ያግኙ y=x.

∆ y=ረ(x+∆x) ─ረ(x)= x+∆x– x=∆ x;

1, =1፣ ማለትም =1.

ምሳሌ 4.3. የአንድ ተግባር ተዋጽኦን ያግኙ y=x 2.

∆ y= (x+∆ x)2–x 2= 2 x∙∆ x+ (∆ x)2;

= 2 x+ ∆ x, = 2 x፣ ማለትም እ.ኤ.አ. =2 x.

ምሳሌ 4.4. የተግባር y= sin አመጣጥን ያግኙ x.

∆ y=ኃጢአት( x+∆x) - ኃጢአት x= 2ኃጢአት ኮስ( x+);

=

;

=

=ኮስ x፣ ማለትም እ.ኤ.አ. =ኮስ x.

ምሳሌ 4.5. የአንድ ተግባር ተዋጽኦን ያግኙ y=

.

=

፣ ማለትም እ.ኤ.አ. = .

የመነጩ መካኒካል ስሜት

ከፊዚክስ አንድ ወጥ የሆነ እንቅስቃሴ ህግ መልክ እንዳለው ይታወቃል s = v t፣ የት ኤስ- መንገዱ እስከ ጊዜ ድረስ ተጉዟል ቲ, ቁ- የአንድ ወጥ እንቅስቃሴ ፍጥነት።

ቢሆንም, ምክንያቱም በተፈጥሮ ውስጥ የሚከሰቱ አብዛኛዎቹ እንቅስቃሴዎች ያልተስተካከሉ ናቸው, ከዚያም በአጠቃላይ ፍጥነቱ, እና, በዚህም ምክንያት, ርቀቱ ኤስበጊዜው ይወሰናል ቲ፣ ማለትም እ.ኤ.አ. የጊዜ ተግባር ይሆናል።

ስለዚህ በሕጉ መሠረት አንድ የቁሳቁስ ነጥብ በአንድ አቅጣጫ ወደ አንድ ቀጥተኛ መስመር ይሂድ s=s(t)።

የተወሰነ ነጥብ በጊዜ ላይ ምልክት እናድርግ ቲ 0 . በዚህ ጊዜ ነጥቡ መንገዱን አልፏል s=s(t 0 ). ፍጥነቱን እንወስን ቁየቁሳቁስ ነጥብ በጊዜ ውስጥ ቲ 0 .

ይህንን ለማድረግ በጊዜ ውስጥ ሌላ ነጥብ እንመልከት ቲ 0 + Δ ቲ. ከተጓዥው መንገድ ጋር ይዛመዳል s = ሰ (ቲ 0 + Δ ቲ). ከዚያም በተወሰነ ጊዜ ውስጥ Δ ቲነጥቡ በ Δs መንገድ ተጉዟል = ሰ (ቲ 0 + Δ ቲ)–ኤስ (ቲ)

አመለካከቱን እናስብ። በጊዜ ክፍተት ውስጥ አማካይ ፍጥነት ይባላል ቲ. አማካይ ፍጥነት በአሁኑ ጊዜ የአንድን ነጥብ እንቅስቃሴ ፍጥነት በትክክል ሊያመለክት አይችልም ቲ 0 (እንቅስቃሴው ያልተስተካከለ ስለሆነ). አማካይ ፍጥነትን በመጠቀም ይህንን ትክክለኛ ፍጥነት በበለጠ በትክክል ለመግለጽ, አጭር ጊዜ Δ መውሰድ ያስፈልግዎታል ቲ.

ስለዚህ ፣ የእንቅስቃሴው ፍጥነት በአሁኑ ጊዜጊዜ ቲ 0 (ቅጽበታዊ ፍጥነት) በአማካይ የፍጥነት ገደብ ከ ቲ 0 ወደ ቲ 0 +Δ ቲ, መቼ Δ ቲ→0:

እነዚያ። ያልተስተካከለ ፍጥነትይህ በጊዜ ረገድ የተጓዘው ርቀት መነሻ ነው.

የመነጩ ጂኦሜትሪክ ትርጉም

በመጀመሪያ የታንጀንት ፍቺን በተወሰነ ነጥብ ላይ ወደ ኩርባ እናስተዋውቅ።

በላዩ ላይ ጠመዝማዛ እና ቋሚ ነጥብ ይኑረን ኤም 0(ሥዕሉን ተመልከት) ኤምይህ ኩርባ እና ሴካንት ይሳሉ ኤም 0 ሚ. ነጥቡ ከሆነ ኤምበኩርባው ላይ መንቀሳቀስ ይጀምራል, እና ነጥቡ ኤም 0እንቅስቃሴ አልባ ሆኖ ይቆያል፣ ከዚያም ሴካኑ ቦታውን ይለውጣል። የነጥቡ ገደብ በሌለው ግምት ከሆነ ኤምከጥምዝ ጋር ወደ አንድ ነጥብ ኤም 0በየትኛውም ጎን ሴካኑ የአንድ የተወሰነ ቀጥተኛ መስመር ቦታ የመያዝ አዝማሚያ አለው ኤም 0 ቲ፣ ከዚያ ቀጥታ ኤም 0 ቲበተወሰነ ቦታ ላይ ታንጀንት ወደ ኩርባ ይባላል ኤም 0.

ያ.፣ ታንጀንትበተሰጠው ነጥብ ላይ ወደ ኩርባው ኤም 0የሴክተሩ ገደብ አቀማመጥ ይባላል ኤም 0 ሚመቼ ነጥብ ኤምኩርባውን ወደ አንድ ነጥብ ያዞራል። ኤም 0.

አሁን ቀጣይነት ያለውን ተግባር እንመልከት y=f(x)እና ከዚህ ተግባር ጋር የሚዛመደው ኩርባ. በተወሰነ ዋጋ X 0 ተግባር ዋጋ ይወስዳል y 0 = f(x 0)።እነዚህ እሴቶች x 0 እና yበመጠምዘዣው ላይ 0 ከአንድ ነጥብ ጋር ይዛመዳል M 0 (x 0; y 0)ክርክሩን እንስጥ x 0መጨመር Δ X. የክርክሩ አዲስ እሴት ከተግባሩ ጭማሪ እሴት ጋር ይዛመዳል y 0 +Δ y=f(x 0 –Δ x). ነጥቡን አግኝተናል ኤም (x 0+Δ x; y 0+Δ y)ሴኮንድ እንሳል ኤም 0 ሚእና በ φ በሴኮንድ የተሰራውን አንግል ከዘንግ አወንታዊ አቅጣጫ ጋር ያመለክታሉ ኦክስ. ዝምድና እንፍጠር እና ያንን እናስተውል .

አሁን ከሆነ Δ x→0, ከዚያም በተግባሩ Δ ቀጣይነት ምክንያት በ→ 0, እና ስለዚህ ነጥቡ ኤም, ከርቭ ጋር መንቀሳቀስ, ያለ ገደብ ወደ ነጥቡ ይቀርባል ኤም 0. ከዚያም ሴካንት ኤም 0 ሚየታንጀንት ቦታን ወደ ነጥቡ ወደ ኩርባ የመውሰድ አዝማሚያ ይኖረዋል ኤም 0, እና አንግል φ→α በ Δ x→0፣ α በታንጀንት እና በዘንጉ አወንታዊ አቅጣጫ መካከል ያለውን አንግል የሚያመለክት ነው። ኦክስ. ተግባሩ ታን φ ያለማቋረጥ በ φ ለ φ≠π/2 ላይ ስለሚወሰን ፣ ከዚያ ለ φ→α tan φ → ታን α እና ፣ ስለሆነም ፣ የታንጀሉ ቁልቁል እንደሚከተለው ይሆናል

እነዚያ። ረ"(x)= tg α

ስለዚህ, በጂኦሜትሪ y" (x 0)በነጥቡ ላይ ያለውን የዚህን ተግባር ግራፍ ወደ የታንጀንት ቁልቁል ይወክላል x 0፣ ማለትም እ.ኤ.አ. ለተወሰነ ነጋሪ እሴት x, ተዋጽኦው በታንጀንት ከተሰራው የማዕዘን ታንጀንት ወደ ተግባሩ ግራፍ ጋር እኩል ነው። ረ(x)በተገቢው ቦታ ላይ M 0 (x; y)ከአዎንታዊ ዘንግ አቅጣጫ ጋር ኦክስ.

ለምሳሌ።የታንጀኑን ቁልቁል ወደ ኩርባ ያግኙ y = x 2 ነጥብ ላይ ኤም(-1; 1).

ቀደም ሲል አይተናል ( x 2)" = 2X. ነገር ግን የታንጀንት ወደ ከርቭ ያለው የማዕዘን መጠን ታን α = ነው። y" | x=-1 = - 2.

የመነጩ ጂኦሜትሪክ ፣ ሜካኒካል ፣ ኢኮኖሚያዊ ትርጉም

የመነጩ ፍቺ.

ትምህርት ቁጥር 7-8

ያገለገሉ ጽሑፎች ዝርዝር

1 Ukhobotov, V.I. ሒሳብ; አጋዥ ስልጠና.- ቼልያቢንስክ: ቸልያብ. ሁኔታ univ., 2006.- 251 p.

2 ኤርማኮቭ, ቪ.አይ. በከፍተኛ ሂሳብ ውስጥ ያሉ የችግሮች ስብስብ. የጥናት መመሪያ. -ኤም.: INFRA-M, 2006. - 575 p.

3 ኤርማኮቭ, ቪ.አይ. አጠቃላይ ኮርስከፍተኛ የሂሳብ. የመማሪያ መጽሐፍ. -ኤም.: INFRA-M, 2003. - 656 p.

ጭብጥ "መነጩ"

ዒላማ፡የመነጩን ፅንሰ-ሀሳብ ያብራሩ ፣ በአንድ ተግባር ቀጣይነት እና ልዩነት መካከል ያለውን ግንኙነት ይፈልጉ ፣ ተዋጽኦዎችን በምሳሌዎች የመጠቀምን ተፈጻሚነት ያሳዩ።

ይህ በኢኮኖሚክስ ውስጥ ያለው ገደብ የምርት ህዳግ ዋጋ ይባላል።

የመነጩ ፍቺ. የመነጩ ጂኦሜትሪክ እና ሜካኒካል ትርጉም ፣ የአንድ ተግባር ታንጀንት ወደ ግራፉ እኩልነት።

አጭር መልስ እፈልጋለሁ (ያለ አላስፈላጊ ውሃ)

የሞተ_ነጭ_በረዶ

ዲሪቭቲቭ የአንድ ተግባር ለውጥ ፍጥነትን የሚያመለክት የልዩነት ካልኩለስ መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳብ ነው።
ጂኦሜትሪክ?
በአንድ ነጥብ ላይ ወደ አንድ ተግባር ታንጀንት… .
ተግባሩን ለመጨመር ሁኔታ፡ f" (x) > 0.
ተግባሩ የሚቀንስበት ሁኔታ፡ f" (x)< 0.
የመቀየሪያ ነጥብ (አስፈላጊ ሁኔታ): f "" (x0) = 0.
ወደላይ፡- f "" (x) ወደታች ዝቅ አድርግ፡ f" " (x) >0
መደበኛ እኩልታ፡ y=f(x0)-(1/f `(x0))(x-x0)
ሜካኒካል?
ፍጥነት ከርቀት አንፃር የተገኘ ነው፣ ማጣደፍ ከፍጥነት አንፃር የመነጨ ሲሆን ሁለተኛው ደግሞ ከርቀት ጋር በተያያዘ...
የታንጀን እኩልነት ከተግባሩ ግራፍ ጋር ረ ነጥብ x0
y=f(x0)+f `(x0)(x-x0)

ተጠቃሚ ተሰርዟል።

በዴልታ y እና በዴልታ x ሬሾ ላይ ገደብ ካለ የዴልታ y ተግባር መጨመር ዴልታ x ያመጣው ክርክር መጨመር፣ ዴልታ x ወደ ዜሮ ሲዘዋወር፣ ይህ ወሰን የ ‹derivative› ይባላል። ተግባር y = f(x) በተሰጠው ነጥብ x እና በy" ወይም f"(x) ይገለጻል
የፍጥነት v የ rectilinear እንቅስቃሴ የመንገዱን s ከጊዜ አንፃር t: v = ds/dt. ይህ የመነጩ ሜካኒካዊ ትርጉም ነው።
የታንጀንት አንግል ኮፊፊሸንት ወደ ኩርባ y = f(x) ከ abcissa x ጋር ባለው ነጥብ ዜሮ የf"(x ዜሮ ነው) የመነጨ ነው። ይህ የመነጩ ጂኦሜትሪክ ፍቺ ነው።
በነጥብ M ዜሮ ላይ ያለ የታንጀንት ኩርባ ቀጥተኛ መስመር M ዜሮ ቲ ነው፣ የማዕዘን ኮፊፊሽኑ ከሴካንት ኤም ዜሮ M አንድ የማዕዘን ኮፊሸን ወሰን ጋር እኩል ነው ዴልታ x ወደ ዜሮ ሲጠጋ።
tg phi = lim tg alpha እንደ ዴልታ x ወደ ዜሮ = ሊም (ዴልታ x / ዴልታ y) ዴልታ x ወደ ዜሮ እንደሚሄድ
ከመነጩ ጂኦሜትሪክ ትርጉም፣ የታንጀንት እኩልታ ቅጹን ይወስዳል፡-
y - ዜሮ = f"(x ዜሮ)(x - x ዜሮ)

ተግባር እንደ ተግባር y = f [φ(x)] ፣ y = f(u) ፣ аu = φ(x) ፣ u መካከለኛ ክርክር ሆኖ መወከል ከቻለ ውስብስብ ነው። ማንኛውም ውስብስብ ተግባር በአንደኛ ደረጃ ተግባራት (ቀላል) መልክ ሊወከል ይችላል, እነሱም መካከለኛ ክርክሮች ናቸው.

ምሳሌዎች፡-

ቀላል ተግባራት፡ ውስብስብ ተግባራት፡-

y= x 2 y = (x+1) 2 ;u= (x+1); y=u 2;

y = six; y = sin2x;u= 2x; y = ሳይን;

y = e x y = e 2x; u= 2x; y = e u;

y = lnx y = ln(x+2) u= x+2; y = lnu.

ውስብስብ ተግባርን የመለየት አጠቃላይ ህግ ከላይ በተጠቀሰው ቲዎሪ ያለ ማረጋገጫ ተሰጥቷል.

ተግባር u=φ(x) u" x =φ"(x) በነጥብ x ፣ እና ተግባር y =f(u) ተዋፅኦ u" u =f ካለው " (u) በሚዛመደው ነጥብ u, ከዚያም ተዋጽኦው ውስብስብ ተግባር y =f [φ(x)] ነጥብ x በቀመር ይገኛል፡ y" x =f " (u) u"(x)

የዚህ ቲዎሬም ያነሰ ትክክለኛ ግን አጭር አጻጻፍ ብዙ ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል : የተወሳሰቡ ተግባራት ተዋጽኦዎች ከመካከለኛው ተለዋዋጭ እና ከገለልተኛ ተለዋዋጭ ልዩነት ጋር እኩል ናቸው.

ለምሳሌ፥ y = sin2x 2; u= 2x 2; y = ሳይን;

y" x = (sinu)" u · (2x 2)" x = cosu · 4x = 4x · cos2x 2.

3. ሁለተኛ ቅደም ተከተል ተወላጅ. የሁለተኛው ተዋጽኦ ሜካኒካል ትርጉም።

የተግባር y =f(x) ተወላጅ የመጀመሪያ ቅደም ተከተል ተወላጅ ወይም በቀላሉ የተግባሩ የመጀመሪያ አመጣጥ ይባላል። ይህ ተዋጽኦ የ x ተግባር ሲሆን ለሁለተኛ ጊዜ ሊለይ ይችላል። የመነጩ ተዋጽኦ የሁለተኛ ደረጃ መገኛ ወይም ሁለተኛ ተዋጽኦ ይባላል። የተሰየመው፡ y" xx ነው። - (ተጫዋች ሁለት ስትሮክ በርቷል x);f"(x) – ( ef ሁለት ስትሮክ በ x)፣ d 2 y/dх 2 – (de two yrek on de x ሁለት ጊዜ)፣ d 2 f/dх 2 – (de two ef on de x ሁለት ጊዜ)።

የሁለተኛው ተዋጽኦ ፍቺ ላይ በመመስረት፣ መጻፍ እንችላለን፡-

y" xx = (y" x)" x; f" (x) = " x d 2 y/dx 2 = d/dx (dу/dx)።

ሁለተኛው ተዋጽኦ፣ በተራው፣ የ x ተግባር ነው እና የሶስተኛ ደረጃ ተዋጽኦን ለማግኘት ወዘተ ሊለይ ይችላል።

ለምሳሌ፥ y = 2x 3 +x 2;

y" xx = [(2x 3 +x 2)" x ]" x = (6x 2 +2x)" x = 12x+2;

የሁለተኛው ተዋጽኦ ሜካኒካል ትርጉም በቅጽበት መፋጠን ላይ ተብራርቷል፣ እሱም ተለዋጭ እንቅስቃሴን ያሳያል። S=f(t) የእንቅስቃሴ እኩልታ ከሆነ፡=S" t;ሀ

S=f(t) የእንቅስቃሴ እኩልታ ከሆነ፡=S" t;ረቡዕ =;
S=f(t) የእንቅስቃሴ እኩልታ ከሆነ፡=S" t;ቅጽበታዊ =
አማካይ = S=f(t) የእንቅስቃሴ እኩልታ ከሆነ፡=S" t;=" t;

ቅጽበታዊ

ለምሳሌ፥= " t = (S" t)" t = S" tt . S=f(t) የእንቅስቃሴ እኩልታ ከሆነ፡=S" t;ስለዚህም የመንገዱን ሁለተኛ ተውላጠ ጊዜን በተመለከተ ከተለዋጭ እንቅስቃሴ ፈጣን ፍጥነት ጋር እኩል ነው። ይህ የ 2 ኛ ተወላጅ አካላዊ (ሜካኒካል) ትርጉም ነው።

በሕጉ S = t 3/3 መሠረት የአንድ የቁሳቁስ ነጥብ ቀጥተኛ እንቅስቃሴ ይከሰት። የቁሳቁስ ነጥብ ማፋጠን እንደ ሁለተኛው ተወቃሽ S" tt ይወሰናል፡

= S" tt = (t 3/3)" = 2t.

4. ልዩነት ተግባር. Xከመነጩ ጽንሰ-ሐሳብ ጋር በቅርበት የሚዛመደው የአንድ ተግባር ልዩነት ጽንሰ-ሐሳብ ነው, እሱም ጠቃሚ ተግባራዊ አፕሊኬሽኖች አሉት.
ተግባር ረ( " ) መነሻ አለው።

በንድፈ ሀሳቡ መሰረት (ንድፈ-ሀሳቡን አንመለከትም) ስለ ማለቂያ የሌለው ብዛት α (∆х) (
α(∆х)=0) ከመነጩ ጋር፡- ተግባር ረ( " (x)+ α (∆x)፣ ከየት ነው ∆f = f " (x) ∆х+α(∆х) · ∆х.

ከመጨረሻው እኩልነት አንጻር የተግባሩ መጨመር ድምርን ያካትታል, እያንዳንዱ ቃል ለ ∆x→ 0 ማለቂያ የሌለው እሴት ነው.

የዚህ ድምር ወሰን የሌለውን ∆xን በተመለከተ የእያንዳንዱን አነስተኛነት ቅደም ተከተል እንወስን፡-

በውጤቱም፣ ወሰን የሌለው f (x) ∆х እና ∆х የትንሽነት ተመሳሳይ ቅደም ተከተል አላቸው.

ስለዚህ፣ ማለቂያ የሌለው እሴት α(∆x)∆x የበለጠ አለው። ከፍተኛ ትዕዛዝከማያልቀው እሴት ጋር በተያያዘ ትንሽነት ∆х. ይህ ማለት በ ∆f አገላለጾች ውስጥ፣ ሁለተኛው ቃል α(∆x)∆x ከመጀመሪያው ቃል f ይልቅ ∆x→0 ወደ 0 ይፈጥናል። " (x) ∆x.

ይህ የመጀመሪያው ቃል ነው f " (x) ∆x በ x ነጥብ ላይ ያለው የተግባር ልዩነት ይባላል። የተሰየመ ነው። dy (de igrek) ወይም df (de ef)። ስለዚህ dy=df= f " (x)∆х ordy= ረ " (x) dx፣ ምክንያቱም የክርክሩ ልዩነት dх ከጨመረው ጋር እኩል ነው ∆х (በቀመር ውስጥ ከሆነ df = f " (x) dx f(x)=x ብለን እንገምታለን፣ ከዚያም df=dx=x" x ∆x፣ butx" x =1፣ i.e. dx=∆x እናገኛለን። ስለዚህ የአንድ ተግባር ልዩነት ከዚህ ተግባር ውጤት እና ከክርክሩ ልዩነት ጋር እኩል ነው።

የልዩነት የትንታኔ ትርጉሙ የአንድ ተግባር ልዩነት የተግባር መጨመር ዋና አካል ነው ∆f ፣ ከክርክሩ ∆x አንፃር መስመራዊ ነው። የአንድ ተግባር ልዩነት የአንድ ተግባርን በማይገደብ እሴት ከመጨመር ይለያል α(∆х)∆х ከ ∆х ከፍ ያለ የትንሽነት ቅደም ተከተል. በእርግጥ ∆f=f " (x) ∆x+α(∆x)∆x ወይም ∆f=df+α(∆x)∆x; wherecedf= ∆f- α(∆х)∆х.

ለምሳሌ፥ y = 2x 3 +x 2; dу =?ዱ = y"dx = (2x 3 +x 2)" x dx= (6x 2 +2x)dx.

ከፍተኛውን ወሰን የሌለውን እሴት α(∆х)∆х ችላ ማለት ትንሽ ይበልጣል ∆X, እናገኛለን df≈ ∆f≈ ረ " (x) dх ማለትም. ልዩነቱ ብዙውን ጊዜ ለማስላት ቀላል ስለሆነ የአንድ ተግባር ልዩነት የአንድ ተግባር መጨመርን ለመገመት ሊያገለግል ይችላል። ልዩነቱ የአንድ ተግባር ዋጋ ግምታዊ ስሌት ላይም ሊተገበር ይችላል። ተግባር y = f(x) እና በ x ነጥቡን እንወቅ። በተወሰነ ቅርብ ቦታ (x+∆x) f(x+∆x) የተግባርን ዋጋ ማግኘት ያስፈልጋል። ይህንን ለማድረግ ግምታዊውን እኩልነት እንጠቀማለን ∆у ≈dyor ∆у ≈f " (x) ∆x. ያንን ∆у=f(х+∆х)-f (х) ስናገኘው (х+∆х)-f (х) ≈f " (x) dх , wherecef(x+∆x) = f(x)+f " (x) dx. የተገኘው ቀመር ችግሩን ይፈታል.

የመመሪያ ካርድ ቁጥር 20

ታኪሪቢ/ርዕሰ ጉዳይ: « ሁለተኛው ተወላጅ እና አካላዊ ትርጉሙ».

Maksaty/ ዓላማ፡-

የታንጀሩን እኩልታ ማግኘት መቻል, እንዲሁም የታንጀሉን የማዕዘን አቅጣጫ ወደ ኦክስ ዘንግ. የተግባር ለውጥን እና የፍጥነት መጠንን ማግኘት መቻል።

የተጠኑ እውነታዎችን እና ፅንሰ-ሀሳቦችን ለማነፃፀር እና ለመከፋፈል ክህሎቶችን ለመፍጠር ሁኔታዎችን ይፍጠሩ።

የታንጀንት እኩልታን ለማግኘት እንዲሁም የተግባር ለውጥ እና የፍጥነት መጠንን በመፈለግ ረገድ ለትምህርታዊ ሥራ ፣ ፈቃድ እና ጽናት ኃላፊነት ያለው አመለካከት ማሳደግ።

ቲዎሪካል ቁሳቁስ፡

(ጂኦሜትሪክ ትርጉም የተገኘ)

የአንድ ተግባር ግራፍ የታንጀንት እኩልታ፡-

ምሳሌ 1፡ ከብልግና 2 ጋር ነጥብ ላይ ያለውን የታንጀንት እኩልታ ከተግባሩ ግራፍ ጋር እንፈልግ።

መልስ፡ y = 4x-7

ከ abscissa x o ጋር ባለው ነጥብ ላይ ካለው የተግባር ግራፍ ጋር ያለው የታንጀንት አንግል ኮፊሸን k ከ f / (x o) (k= f / (x o)) ጋር እኩል ነው። በተወሰነ ነጥብ ላይ የታንጀንት ወደ ተግባሩ ግራፍ የማዘንበል አንግል እኩል ነው።

arctg k = arctg f / (x o) ፣ ማለትም እ.ኤ.አ. k= f / (x o)= tg

ምሳሌ 2፡ የሲን ሞገድ በየትኛው ማዕዘን ላይ ነው በመነሻው ላይ የ x-ዘንግን ያቋርጣል?

የአንድ የተወሰነ ተግባር ግራፍ የ x-ዘንግን የሚያቋርጥበት አንግል ነው። ከአንግል ጋር እኩልበዚህ ነጥብ ላይ የተግባር f(x) ግራፍ ላይ የተሳለው የታንጀንት ቁልቁል. ተዋጽኦውን እንፈልግ፡ የመነጩን ጂኦሜትሪክ ትርጉም ከግምት ውስጥ በማስገባት፡ እና a = 60° አለን። መልስ: = 60 0.

አንድ ተግባር በትርጉሙ ጎራ ውስጥ በእያንዳንዱ ነጥብ ላይ ተዋጽኦ ካለው፣ የእሱ ተዋጽኦ ተግባር ነው። ተግባሩ, በተራው, ተወላጅ ሊኖረው ይችላል, እሱም ይባላል ሁለተኛ ቅደም ተከተል ተዋጽኦተግባራት (ወይም ሁለተኛ ተዋጽኦ) እና በምልክቱ የተሰየሙ ናቸው።

ምሳሌ 3፡ የተግባሩ ሁለተኛ ተዋጽኦን ያግኙ፡ f(x)=x 3 -4x 2 +2x-7።

በመጀመሪያ፣ የዚህን ተግባር የመጀመሪያ ተዋጽኦ እናገኝ f"(x)=(x 3 -4x 2 +2x-7)'=3x 2 -8x+2፣

ከዚያም, የተገኘውን የመጀመሪያ ተዋጽኦ ሁለተኛውን ተዋጽኦ እናገኛለን

f""x)=(3x 2 -8x+2)''=6x-8። መልስ፡ f""x) = 6x-8።

(የሁለተኛው ተዋጽኦ ሜካኒካል ትርጉም)

አንድ ነጥብ በሬክቲላይንላይን ከተንቀሳቀሰ እና የእንቅስቃሴው ህግ ከተሰጠ ፣ የነጥቡ ማጣደፍ ከጊዜ አንፃር ከሁለተኛው የመንገዱ አመጣጥ ጋር እኩል ነው።

የቁሳዊ አካል ፍጥነት ከመጀመሪያው የመንገዱ አመጣጥ ጋር እኩል ነው ፣ ማለትም፡-

የቁሳቁስ አካል ማፋጠን ከመጀመሪያው የፍጥነት አመጣጥ ጋር እኩል ነው፡

ምሳሌ 4፡ ሰውነቱ በህጉ መሰረት ይንቀሳቀሳል s (t) = 3 + 2t + t 2 (m). ፍጥነቱን እና ፍጥነቱን በጊዜ ይወስኑ t = 3 s. (ርቀት የሚለካው በሜትር፣ በሰከንዶች ጊዜ ነው)።
መፍትሄ
ቁ (ቲ) = ኤስ (ቲ) =(3+2t+t 2)’= 2 + 2t
ሀ (ቲ) = ቪ (ቲ) = (2+2t)'= 2 (ሜ/ሰ 2)
ቁ(3) = 2 + 2∙3 = 8 (ሜ/ሰ)። መልስ: 8 ሜትር / ሰ; 2 m/s 2 .

ተግባራዊ ክፍል፡-

1 አማራጭ	አማራጭ 2	አማራጭ 3	አማራጭ 4	አማራጭ 5
በተጠቀሰው ነጥብ M በኩል ወደሚያልፈው የታንጀንት x-ዘንግ ላይ ያለውን የማዕዘን ታንጀንት ይፈልጉ የተግባር ግራፍ ረ.
ረ(x)=x 2፣ M(-3;9)	ረ(x)=x 3፣ M(-1;-1)
የታንጀኑን እኩልታ ወደ ተግባር ግራፍ ይፃፉ ረ ከ abcissa x 0 ጋር።
f(x)= x 3 -1፣ x 0 =2	f(x)= x 2 +1፣ x 0 =1	ረ(x)= 2x-x 2፣ x 0 = -1	f(x)=3sinx፣ x 0 =	ረ(x)= x 0 = -1
ከ abcissa x 0 ጋር ባለው ነጥብ ላይ የታንጀኑን ቁልቁል ወደ ተግባር ረ ያግኙ።

ሁለተኛውን የተግባር መነሻ ያግኙ፡-

			f(x)= 2cosx-x 2	f(x)= -2sinx+x 3
በሕጉ x (t) መሠረት ሰውነቱ በሬክቲላይን ይንቀሳቀሳል። ፍጥነቱን እና ፍጥነቱን በወቅቱ ይወስኑ ጊዜ t. (መፈናቀሉ የሚለካው በሜትር፣ በሰከንዶች ጊዜ ነው)።
x (t) = t 2 -3t፣ t=4	x(t)=t 3 +2t፣ t=1	x (t) = 2t 3 -t 2 ፣ t=3	x(t)=t 3 -2t 2 +1፣t=2	x (t) = t 4 -0.5t 2 =2, t=0.5

የደህንነት ጥያቄዎች፡-

የመነጩን አካላዊ ትርጉም ምን ግምት ውስጥ ያስገባሉ - ፈጣን ፍጥነት ነው ወይስ አማካይ ፍጥነት?

በማንኛውም ነጥብ በኩል ወደ ተግባር ግራፍ በተሳለው ታንጀንት እና በመነሻ ጽንሰ-ሀሳብ መካከል ያለው ግንኙነት ምንድነው?

በ M(x 0;f(x 0)) ነጥብ ላይ የአንድ ተግባር ግራፍ የታንጀንት ፍቺ ምንድ ነው?

የሁለተኛው ተዋጽኦ ሜካኒካዊ ትርጉም ምንድን ነው?

የመነጩ ሜካኒካል ትርጉም

የመነጩ ሜካኒካል ትርጓሜ በመጀመሪያ የተሰጠው በ I. Newton ነው. እንደሚከተለው ነው-በተወሰነ ጊዜ ውስጥ የቁሳቁስ ነጥብ የመንቀሳቀስ ፍጥነት ከመንገዱ አመጣጥ ጋር እኩል ነው, ማለትም, ማለትም. ስለዚህ የቁሳቁስ ነጥብ የመንቀሳቀስ ህግ በቀመር የሚሰጥ ከሆነ በማንኛውም ጊዜ የነጥቡን ፈጣን ፍጥነት ለማግኘት ተጓዳኝ ፈልጎ ማግኘት እና በውስጡ ያለውን ተዛማጅ እሴት t መተካት ያስፈልግዎታል።

የሁለተኛ ደረጃ ተወላጅ እና ሜካኒካል ትርጉሙ

ያገኘነው (በሊሲችኪን V.T. Soloveichik I.L. “ሒሳብ” ገጽ 240 ላይ ከተሰራው ነገር የተገኘውን ስሌት)።

ስለዚህም በአንድ ቅጽበት የአንድ አካል ቀጥተኛ እንቅስቃሴ ማፋጠን ለተወሰነ ጊዜ ከተሰላው ጊዜ አንፃር ከሁለተኛው የመንገዱ አመጣጥ ጋር እኩል ነው።ይህ የሁለተኛው ተወላጅ ሜካኒካዊ ትርጉም ነው።

የልዩነት ፍቺ እና ጂኦሜትሪክ ትርጉም

ፍቺ 4.የአንድ ተግባር መጨመር ዋናው ክፍል, ከሥራው መጨመር አንጻር ቀጥተኛ, ገለልተኛ ተለዋዋጭ መጨመርን በተመለከተ ቀጥተኛ, ይባላል. ልዩነትተግባር እና በ d ይገለጻል, i.e. .

የአንድ ተግባር ልዩነት በጂኦሜትሪያዊ መልኩ የሚወከለው ለተሰጡት የ x እና?x እሴቶች በ M (x; y) በተሳለው የታንጀንት ordinate መጨመር ነው።

ስሌት ልዩነት - .

በግምታዊ ስሌቶች ውስጥ ልዩነትን መተግበር -, የተግባር መጨመር ግምታዊ እሴት ከልዩነቱ ጋር ይጣጣማል.

ቲዎሪ 1.ልዩነት ያለው ተግባር በተወሰነ የጊዜ ክፍተት ውስጥ ከጨመረ (ከቀነሰ) ፣ በዚህ ጊዜ ውስጥ የዚህ ተግባር አመጣጥ አሉታዊ አይደለም (አዎንታዊ አይደለም)።

ቲዎሪ 2.የመነጩ ተግባር ከሆነ በተወሰነ የጊዜ ክፍተት ውስጥ አዎንታዊ (አሉታዊ) ነው, ከዚያም በዚህ የጊዜ ክፍተት ውስጥ ያለው ተግባር monotonically ይጨምራል (በአንድ ጊዜ ይቀንሳል).

አሁን የተግባሩ ነጠላነት ክፍተቶችን ለማግኘት ደንቡን እንፍጠር

1. የዚህን ተግባር አመጣጥ አስላ.

2. ዜሮ የሆነበት ወይም የሌለበትን ነጥቦች ያግኙ. እነዚህ ነጥቦች ይባላሉ ወሳኝለተግባር

3. የተገኙትን ነጥቦች በመጠቀም, የተግባር ፍቺው ጎራ ወደ ክፍተቶች ይከፋፈላል, በእያንዳንዱ ጊዜ ተውጣጣው ምልክቱን ይይዛል. እነዚህ ክፍተቶች የአንድ ነጠላነት ክፍተቶች ናቸው።

4. በእያንዳንዱ የተገኙ ክፍተቶች ላይ ምልክቱን ይፈትሹ. ከግምት ውስጥ ባለው የጊዜ ክፍተት ላይ ከሆነ ፣ በዚህ የጊዜ ክፍተት ላይ ይጨምራል ። ከሆነ, ከዚያም እንዲህ ባለው ክፍተት ላይ ይቀንሳል.

በችግሩ ሁኔታዎች ላይ በመመስረት, የ monotonicity ክፍተቶችን ለማግኘት ደንቡ ቀላል ሊሆን ይችላል.

ፍቺ 5.ነጥቡ ከፍተኛው (ዝቅተኛ) የተግባር ነጥብ ይባላል።

የተግባሩ ከፍተኛው (ዝቅተኛው) ነጥብ ከሆነ እነሱም ይላሉ (ቢያንስ)ነጥብ ላይ. ከፍተኛው እና ዝቅተኛ ተግባራት ስሙን ያጣምራሉ ጽንፈኛተግባራት, እና ከፍተኛ እና ዝቅተኛው ነጥቦች ይባላሉ ጽንፈኛ ነጥቦች (ከፍተኛ ነጥቦች).

ቲዎሪ 3.(የአክራሪነት አስፈላጊ ምልክት). የአንድ ተግባር ጽንፈኛ ነጥብ ከሆነ እና ተዋጽኦው በዚህ ነጥብ ላይ ካለ፣ ከዜሮ ጋር እኩል ነው።

ቲዎሪ 4.(በቂ የአክራሪነት ምልክት)። የመነጩ ለውጦች x በ a ውስጥ ሲያልፍ ምልክት ከሆነ፣ a የተግባሩ ጽንፍ ነጥብ ነው።

በመነሻ ምርምር ውስጥ ቁልፍ ነጥቦች፡-

1. ተዋጽኦውን ያግኙ።

2. ሁሉንም ነገር ያግኙ ወሳኝ ነጥቦችከተግባሩ ጎራ.

3. ወሳኝ በሆኑ ነጥቦች ውስጥ በሚያልፉበት ጊዜ የተግባሩን አመጣጥ ምልክቶችን ያዘጋጁ እና የጭራጎቹን ነጥቦች ይፃፉ.

4. በእያንዳንዱ ጽንፍ ነጥብ ላይ የተግባር ዋጋዎችን አስሉ.