የከፍተኛ ትእዛዞችን ተመሳሳይነት የሌላቸው ልዩነት እኩልታዎችን በLagrange ቋሚዎች መለዋወጥ ዘዴ በቋሚ ቅንጅቶች የመፍታት ዘዴ ይታሰባል። መሰረታዊ የመፍትሄዎች ስርዓት የሚታወቅ ከሆነ የላግራንጅ ዘዴ ማንኛውንም ቀጥተኛ ያልሆኑ እኩልታዎችን ለመፍታት ተፈጻሚ ይሆናል ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ.

ይዘት

በተጨማሪ ይመልከቱ፡

Lagrange ዘዴ (የቋሚዎች ልዩነት)

ከቋሚ የዘፈቀደ nth ቅደም ተከተሎች ጋር ቀጥተኛ ተመጣጣኝ ያልሆነ ልዩነት እኩልታ ያስቡበት፡
(1) .
ለአንደኛ ደረጃ እኩልታ የተመለከትነው የቋሚ መለዋወጥ ዘዴ ለከፍተኛ ደረጃ እኩልታዎችም ተፈጻሚ ይሆናል።

መፍትሄው በሁለት ደረጃዎች ይካሄዳል. በመጀመሪያው ደረጃ, በቀኝ በኩል ያለውን ጎን እናስወግዳለን እና ተመሳሳይነት ያለውን እኩልነት እንፈታዋለን. በውጤቱም, n የዘፈቀደ ቋሚዎችን የያዘ መፍትሄ እናገኛለን. በሁለተኛው እርከን ቋሚዎችን እንለዋወጣለን. ያም ማለት፣ እነዚህ ቋሚዎች የነጻ ተለዋዋጭ x ተግባራት ናቸው እናም የእነዚህን ተግባራት ቅርፅ እናገኛለን ብለን እናምናለን።

ምንም እንኳን እዚህ ከቋሚ ቅንጅቶች ጋር እኩልታዎችን እያሰብን ቢሆንም, ግን የላግራንጅ ዘዴ ማናቸውንም ቀጥተኛ ያልሆኑ እኩልታዎችን ለመፍታትም ተግባራዊ ይሆናል።. ለዚህ ግን, ተመሳሳይነት ያለው እኩልነት የመፍትሄዎች መሰረታዊ ስርዓት መታወቅ አለበት.

ደረጃ 1. ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ መፍታት

ልክ እንደ አንደኛ-ትዕዛዝ እኩልታዎች፣ መጀመሪያ የቀኝ-እጅ-ተመጣጣኝ ያልሆነውን ጎን ከዜሮ ጋር በማነፃፀር፣ ተመሳሳይ የሆነ እኩልታ ያለውን አጠቃላይ መፍትሄ እንፈልጋለን።
(2) .
የዚህ እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ የሚከተለው ነው-
(3) .
እዚህ የዘፈቀደ ቋሚዎች አሉ; - ለዚህ እኩልታ መሰረታዊ የመፍትሄ ስርዓት የሚመሰረቱ ተመሳሳይ ተመሳሳይ እኩልታ (2) ቀጥተኛ ገለልተኛ መፍትሄዎች።

ደረጃ 2. የቋሚዎች ልዩነት - ቋሚዎችን በተግባሮች መተካት

በሁለተኛው ደረጃ የቋሚዎችን ልዩነት እንሰራለን. በሌላ አነጋገር ቋሚዎችን በገለልተኛ ተለዋዋጭ x ተግባራት እንተካቸዋለን፡-
.
ማለትም፣ ለዋናው እኩልታ (1) በሚከተለው ቅፅ መፍትሄ እየፈለግን ነው።
(4) .

(4)ን በ (1) ከተተካን ለ n ተግባራት አንድ ልዩነት እኩልታ እናገኛለን።

በዚህ ሁኔታ, እነዚህን ተግባራት ከተጨማሪ እኩልታዎች ጋር ማገናኘት እንችላለን. ከዚያ n ተግባራትን ሊወስኑ የሚችሉባቸውን እኩልታዎች ያገኛሉ።
.
ተጨማሪ እኩልታዎች በተለያዩ መንገዶች ሊጻፉ ይችላሉ. ነገር ግን መፍትሄው በጣም ቀላሉ ቅርጽ እንዲኖረው ይህን እናደርጋለን. ይህንን ለማድረግ, በሚለዩበት ጊዜ, የተግባሮቹ ተዋጽኦዎችን ያካተቱ ቃላትን ከዜሮ ጋር ማመሳሰል ያስፈልግዎታል.

.
ይህንን በተግባር እናሳይ።
(5.1) .
የቀረበውን መፍትሄ (4) ወደ ዋናው እኩልታ (1) ለመተካት በቅጹ (4) ላይ የተፃፈውን የተግባር የመጀመሪያ n ትዕዛዞች ተዋፅኦዎችን መፈለግ አለብን። ድምር እና ምርትን የመለየት ህጎችን በመጠቀም (4) እንለያለን፡-
(6.1) .

አባላቱን እናቧድናቸው። በመጀመሪያ፣ ቃላቶቹን ከ ተዋጽኦዎች እና ከዛም ከሚከተሉት ተዋጽኦዎች ጋር ውል እንጽፋለን፡-

.
በተግባሮቹ ላይ የመጀመሪያውን ሁኔታ እናስገድድ፡-
(5.2) .
ከዚያ ጋር በተያያዘ ለመጀመሪያው ተዋጽኦ አገላለጽ ቀለል ያለ ቅርጽ ይኖረዋል፡-
(6.2) .
ተመሳሳዩን ዘዴ በመጠቀም ሁለተኛውን አመጣጥ እናገኛለን-

በተግባሮቹ ላይ ሁለተኛ ሁኔታን እናስገድድ፡-
ከዚያም ,
እና ሌሎችም። በተጨማሪ ሁኔታዎች፣ የተግባር መነሻዎችን የያዙ ቃላትን ከዜሮ ጋር እናነፃፅራለን።
ስለዚህ፣ ለተግባሮቹ የሚከተሉትን ተጨማሪ እኩልታዎች ከመረጥን፡- .
(5.k)

ከዚያ ጋር በተያያዘ የመጀመሪያዎቹ ተዋጽኦዎች ቀላሉ ቅርፅ ይኖራቸዋል።
(6.k)
.

እዚህ.
(1) ;






.
nth ተዋጽኦን ያግኙ፡-
.
(6.n)
(7) .

በዋናው እኩልታ (1) ይተኩ፡
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
ሁሉም ተግባራት እኩልነትን የሚያሟሉ መሆናቸውን ከግምት ውስጥ እናስገባ (2) ;
ከዚያም ዜሮን የያዙ ቃላት ድምር ዜሮ ይሰጣል። በውጤቱም እኛ እናገኛለን: .

በውጤቱም፣ ለተዋጽኦዎች የመስመር እኩልታዎች ስርዓት አግኝተናል፡-
.
(5.n-1)

(7′) ይህንን ሥርዓት በመፍታት፣ ተዋጽኦዎችን እንደ x ተግባር ሆኖ እናገኛለን።በማዋሃድ, እኛ እናገኛለን:

ከአሁን በኋላ በ x ላይ የማይመሰረቱ ቋሚዎች እዚህ አሉ። ወደ (4) በመተካት ለዋናው እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ እናገኛለን።

የመነሻዎቹን እሴቶች ለመወሰን፣ Coefficients a i ቋሚ ናቸው የሚለውን እውነታ በጭራሽ አልተጠቀምንበትም። ለዚህ ነው


የላግራንጅ ዘዴ ማንኛውንም ቀጥተኛ ተመጣጣኝ ያልሆነ እኩልታዎችን ለመፍታት ተፈጻሚ ይሆናል።

, ለተመሳሳይ እኩልነት (2) የመፍትሄዎች መሰረታዊ ስርዓት የሚታወቅ ከሆነ. ምሳሌዎች
የቋሚዎች መለዋወጥ ዘዴን (Lagrange) በመጠቀም እኩልታዎችን ይፍቱ.
ምሳሌዎች መፍትሄ >>

በተጨማሪ ይመልከቱ፡

በዲፈረንሺያል እኩልታዎች ንድፈ ሃሳብ ውስጥ፣ ለዚህ ​​ፅንሰ-ሀሳብ በቂ የሆነ ሁለንተናዊነት አለኝ የሚል ዘዴ አለ።
እየተነጋገርን ያለነው ስለ የዘፈቀደ ቋሚ የመለዋወጥ ዘዴ ነው ፣ ይህም የተለያዩ የልዩነት እኩልታዎችን ለመፍታት እና
ስርዓቶች ይህ በትክክል ነው ቲዎሪ - የመግለጫዎቹን ማስረጃዎች ከቅንፍ ውስጥ ከወሰድን - በጣም ትንሽ ነው, ነገር ግን እንድንሳካ ያስችለናል.
ጉልህ ውጤቶች, ስለዚህ አጽንዖቱ በምሳሌዎች ላይ ይሆናል.

የአሰራር ዘዴው አጠቃላይ ሀሳብ ለመቅረጽ በጣም ቀላል ነው። የተሰጠው እኩልታ (የእኩልታዎች ስርዓት) ለመፍታት አስቸጋሪ ወይም ለመረዳት የማይቻል ይሁን።
እንዴት እንደሚፈታ. ሆኖም ግን, አንዳንድ ቃላትን ከሂሳብ ውስጥ በማስወገድ, እንደሚፈታ ግልጽ ነው. ከዚያ በትክክል ይህንን ቀለል አድርገው ይፈታሉ
እኩልነት (ስርዓት) ፣ የተወሰነ የዘፈቀደ ቋሚ ቋሚዎችን የያዘ መፍትሄ እናገኛለን - እንደ ቀመር ቅደም ተከተል (ቁጥሩ)።
በስርዓቱ ውስጥ ያሉ እኩልታዎች). ከዚያም በተገኘው መፍትሄ ውስጥ ያሉት ቋሚዎች በትክክል ያልተቀመጡ ናቸው ተብሎ ይታሰባል
በዋናው እኩልዮሽ (ሲስተም) ውስጥ ተተክቷል, "ቋሚዎችን" ለመወሰን ልዩ እኩልታ (ወይም የእኩልታዎች ስርዓት) ተገኝቷል.
የዘፈቀደ ቋሚ የመቀየሪያ ዘዴን ለተለያዩ ችግሮች በመተግበር ላይ የተወሰነ ልዩነት አለ ፣ ግን እነዚህ ቀድሞውኑ ልዩ ናቸው ።
በምሳሌዎች አሳይቷል።

የከፍተኛ ትእዛዞችን ቀጥተኛ ያልሆነ እኩልታዎች መፍትሄን በተናጠል እንመልከታቸው፣ ማለትም። የቅጹ እኩልታዎች
.
የአንድ ቀጥተኛ ያልሆነ እኩልታ አጠቃላይ መፍትሔ የተመጣጣኝ ተመሳሳይ እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ እና የአንድ የተወሰነ መፍትሄ ድምር ነው።
የዚህ እኩልታ. ለተመሳሳይ እኩልዮሽ አጠቃላይ መፍትሄ ቀድሞውኑ እንደተገኘ እናስብ ፣ ማለትም ፣ መሠረታዊ የመፍትሄዎች ስርዓት (FSS) ተገንብቷል ።
. ከዚያም ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ እኩል ነው.
ተመሳሳይነት ለሌለው እኩልታ ማንኛውንም የተለየ መፍትሄ መፈለግ አለብን። ለዚሁ ዓላማ, ቋሚዎች በተለዋዋጭ ላይ የተመሰረቱ ናቸው.
በመቀጠል የእኩልታዎችን ስርዓት መፍታት ያስፈልግዎታል
.
ንድፈ ሀሳቡ ይህ የአልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት የተግባር ተዋጽኦዎችን በተመለከተ ልዩ መፍትሄ እንዳለው ዋስትና ይሰጣል።
ተግባራቶቹን እራሳቸው ሲያገኙ, የመዋሃድ ቋሚዎች አይታዩም: ከሁሉም በኋላ, ማንኛውም መፍትሄ ይፈለጋል.

የቅጹን ቀጥተኛ ያልሆነ የመጀመሪያ ቅደም ተከተል እኩልታዎች ስርዓቶችን ሲፈታ

አልጎሪዝም ከሞላ ጎደል ሳይለወጥ ይቆያል። በመጀመሪያ የ FSR ተዛማጅ ማግኘት አለብዎት ተመሳሳይነት ያለው ስርዓትእኩልታዎች, መሰረታዊ ማትሪክስ ይፍጠሩ
ስርዓት, የ FSR አካላትን የሚወክሉ ዓምዶች. በመቀጠል, እኩልታው ተዘጋጅቷል
.
ስርዓቱን በሚፈታበት ጊዜ ተግባራቶቹን እንወስናለን, ስለዚህ ለዋናው ስርዓት የተለየ መፍትሄ እናገኛለን
(መሰረታዊ ማትሪክስ በተገኙት ተግባራት አምድ ተባዝቷል)።
ቀደም ሲል በተገኘው FSR መሠረት የተገነባውን ተመሳሳይነት ያላቸው እኩልታዎች ተጓዳኝ ስርዓት ወደ አጠቃላይ መፍትሄ እንጨምረዋለን.
የዋናው ስርዓት አጠቃላይ መፍትሄ ተገኝቷል.

ምሳሌዎች።

ምሳሌ 1. የመጀመሪያው ቅደም ተከተል ቀጥተኛ ያልሆነ እኩልታዎች.

ተጓዳኝ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ እንይ (የተፈለገውን ተግባር እንጠቁማለን)
.
ይህ እኩልታ የተለዋዋጮችን መለያየት ዘዴን በመጠቀም በቀላሉ ሊፈታ ይችላል፡-

.
አሁን በቅጹ ላይ ለዋናው እኩልነት መፍትሄውን እናስብ , ተግባሩ ገና ያልተገኘበት.
የዚህ ዓይነቱን መፍትሄ ወደ መጀመሪያው እኩልነት እንተካለን-
.
እንደሚመለከቱት ፣ በግራ በኩል ያሉት ሁለተኛው እና ሦስተኛው ቃላት እርስ በእርስ ይሰረዛሉ - ይህ ነው። ባህሪይ ባህሪየዘፈቀደ ቋሚ የመለዋወጥ ዘዴ።

እዚህ ቀድሞውኑ በእውነት የዘፈቀደ ቋሚ ነው። ስለዚህም
.

ምሳሌ 2. የቤርኑሊ እኩልታ.

ከመጀመሪያው ምሳሌ ጋር በተመሳሳይ መልኩ እንቀጥላለን - እኩልታውን እንፈታዋለን

ተለዋዋጭዎችን የመለየት ዘዴ. ተለወጠ, ስለዚህ በቅጹ ውስጥ ለዋናው እኩልነት መፍትሄ እንፈልጋለን
.
ይህንን ተግባር ወደ መጀመሪያው እኩልታ እንተካለን፡-
.
እና እንደገና መቀነስ ይከሰታል-
.
እዚህ በመፍትሔው ሲከፋፈሉ የማይጠፋ መሆኑን ለማረጋገጥ ማስታወስ ያስፈልግዎታል. እና ለዋናው መፍትሄ ከጉዳዩ ጋር ይዛመዳል
እኩልታዎች እናስታውስ። ስለዚህ፣
.
እንጽፈው።
ይህ ነው መፍትሄው። መልሱን በሚጽፉበት ጊዜ, ከማንኛውም የመጨረሻ እሴት ጋር ስለማይዛመድ ቀደም ሲል የተገኘውን መፍትሄ ማመልከት አለብዎት
ቋሚዎች

ምሳሌ 3. የከፍተኛ ትዕዛዞች መስመራዊ ተመጣጣኝ ያልሆነ እኩልታዎች.

ወዲያውኑ ይህ እኩልታ በቀላሉ ሊፈታ እንደሚችል እናስተውል, ነገር ግን እሱን በመጠቀም ዘዴውን ለማሳየት ምቹ ነው. ምንም እንኳን አንዳንድ ጥቅሞች
በዚህ ምሳሌ ውስጥ የልዩነት ዘዴው የዘፈቀደ ቋሚነት አለው።
ስለዚህ፣ በተዛማጅ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ በ FSR መጀመር ያስፈልግዎታል። እናስታውስ FSR ን ለማግኘት የባህሪይ ኩርባ ተሰብስቧል
እኩልታ
.
ስለዚህ, ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ
.
እዚህ የተካተቱት ቋሚዎች የተለያዩ መሆን አለባቸው. ስርዓት መፍጠር

የዘፈቀደ ቋሚ የመቀየሪያ ዘዴ ወይም የላግራንጅ ዘዴ ሌላው የአንደኛ ደረጃ የመስመር ልዩነት እኩልታዎችን እና የቤርኑሊ እኩልታዎችን ለመፍታት መንገድ ነው።

የመጀመርያው ቅደም ተከተል የመስመር ልዩነት እኩልታዎች የቅጽ y’+p(x)y=q(x) እኩልታዎች ናቸው። በቀኝ በኩል ዜሮ ካለ፡ y'+p(x)y=0፣ ይህ መስመራዊ ነው። ተመሳሳይነት ያለው 1 ኛ ትዕዛዝ እኩልታ. በዚህ መሠረት፣ ዜሮ ካልሆነ የቀኝ እጅ፣ y’+p(x)y=q(x) ጋር እኩልነት ነው። የተለያዩ መስመራዊ እኩልታ 1 ኛ ትዕዛዝ.

የዘፈቀደ ቋሚ የመለዋወጥ ዘዴ (የላግራንጅ ዘዴ) እንደሚከተለው ነው።

1) ለተመሳሳይ እኩልታ y'+p(x)y=0: y=y* አጠቃላይ መፍትሄ እየፈለግን ነው።

2) በአጠቃላይ መፍትሄ, C ቋሚ አይደለም, ነገር ግን የ x: C = C (x) ተግባር እንመለከታለን. የአጠቃላይ የመፍትሄውን (y*)' ተወላጅ አግኝተናል እና የተገኘውን አገላለጽ y * እና (y*)' ወደ መጀመሪያው ሁኔታ እንተካለን። ከተፈጠረው እኩልታ C (x) የሚለውን ተግባር እናገኛለን.

3) በተመጣጣኝ እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ, በ C ምትክ, የተገኘውን ሐ (x) አገላለጽ እንተካለን.

የዘፈቀደ ቋሚ መለዋወጥ ዘዴን ምሳሌዎችን እንመልከት። እንደ ውስጥ ያሉ ተመሳሳይ ስራዎችን እንውሰድ, የመፍትሄውን ሂደት እናነፃፅር እና የተገኙት መልሶች አንድ ላይ መሆናቸውን ያረጋግጡ.

1) y'=3x-y/x

እኩልታውን በመደበኛ ፎርም እንደገና እንፃፍ (እንደ ከበርኑሊ ዘዴ ሳይሆን፣ እኩልታው መስመራዊ መሆኑን ለማየት ብቻ የማስታወሻ ቅጹን እንፈልጋለን)።

y'+y/x=3x (I)። አሁን በእቅዱ መሰረት እንቀጥላለን.

1) ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ y'+y/x=0 ን ይፍቱ። ይህ ሊነጣጠሉ ከሚችሉ ተለዋዋጮች ጋር እኩልነት ነው። አስቡት y’=dy/dx፣ ምትክ፡ dy/dx+y/x=0፣ dy/dx=-y/x። የእኩልቱን ሁለቱንም ጎኖች በ dx እናባዛለን እና በ xy≠0: dy/y=-dx/x እንካፈላለን። እንዋሃድ፡

2) በተፈጠረው ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ፣ C ቋሚ ሳይሆን የ x፡ C=C(x) ተግባር እንመለከታለን። ከዚህ

የተገኙትን መግለጫዎች ወደ ሁኔታ (I) እንተካቸዋለን፡-

የእኩልታውን ሁለቱንም ወገኖች እናዋህድ፡-

እዚህ C አስቀድሞ የተወሰነ አዲስ ቋሚ ነው።

3) በተመሳሳዩ እኩልታ y=C/x አጠቃላይ መፍትሄ C=C(x) ማለትም y=C(x)/x ብለን በወሰድንበት በC(x) ፈንታ የተገኘውን አገላለፅ x³ እንተካለን። +C: y=(x³ +C)/x ወይም y=x²+C/x። በበርኑሊ ዘዴ ሲፈታ ተመሳሳይ መልስ አግኝተናል።

መልስ፡ y=x²+C/x

2) y'+y=cosx።

እዚህ እኩልቱ ቀድሞውኑ በመደበኛ መልክ ተጽፏል;

1) ተመሳሳይ የሆነ መስመራዊ እኩልታ y'+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx እንዋሃድ፡

ይበልጥ ምቹ የሆነ የማስታወሻ ቅጽ ለማግኘት፣ አርቢውን እንደ አዲሱ ሐ ወደ ሐ ኃይል እንወስደዋለን፡-

ይህ ለውጥ የተከናወነው ተዋጽኦውን ለማግኘት የበለጠ አመቺ ለማድረግ ነው።

2) በመስመራዊ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ፣ C ቋሚ ሳይሆን የ x፡ C=C(x) ተግባር ነው የምንመለከተው። በዚህ ሁኔታ ውስጥ

የ y እና y ን መግለጫዎች ወደ ሁኔታው ​​እንተካቸዋለን፡-

የእኩልቱን ሁለቱንም ጎኖች በ ማባዛት።

ውህደቱን በክፍሎች ቀመር በመጠቀም ሁለቱንም የእኩልታ ጎኖች እናዋህዳለን፡-

እዚህ C ከአሁን በኋላ ተግባር አይደለም, ግን ተራ ቋሚ ነው.

3) ተመሳሳይነት ባለው እኩልነት አጠቃላይ መፍትሄ

የተገኘውን ተግባር C (x) ይተኩ

በበርኑሊ ዘዴ ሲፈታ ተመሳሳይ መልስ አግኝተናል።

የዘፈቀደ ቋሚ የመቀየሪያ ዘዴም ለመፍታት ተግባራዊ ይሆናል.

y'x+y=-xy²።

እኩልታውን ወደ መደበኛ ቅጽ እናመጣለን፡ y'+y/x=-y² (II)።

1) ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ y'+y/x=0 ን ይፍቱ። dy/dx=-y/x የእኩልታውን ሁለቱንም ጎኖች በ dx እናባዛለን እና በ y: dy/y=-dx/x እንካፈላለን። አሁን እንዋሃድ፡-

የተገኙትን መግለጫዎች ወደ ሁኔታ (II) እንተካቸዋለን፡-

ቀላል እናድርግ፡-

ለ C እና x ከተለዋዋጮች ጋር እኩልነት አግኝተናል፡-

እዚህ C ቀድሞውኑ ተራ ቋሚ ነው። በማዋሃድ ሂደት ውስጥ, ማስታወሻውን ከመጠን በላይ ላለመጫን, ከ C (x) ይልቅ በቀላሉ C ጻፍን. እና መጨረሻ ላይ C (x) ከአዲሱ C ጋር ላለማሳሳት ወደ C (x) ተመለስን.

3) በተመሳሳዩ እኩልታ y=C(x)/x አጠቃላይ መፍትሄ የተገኘውን ተግባር C(x) እንተካለን።

የቤርኑሊ ዘዴን በመጠቀም ሲፈታው እንደነበረው ተመሳሳይ መልስ አግኝተናል።

ራስን መፈተሽ ምሳሌዎች

1. ቀመርን በመደበኛ ፎርም እንደገና እንፃፍ፡ y’-2y=x።

1) ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ y'-2y=0 ን ይፍቱ። y’=dy/dx፣ስለዚህ dy/dx=2y፣የቀመርውን ሁለቱንም ጎኖች በdx ማባዛ፣ በ y ተከፋፍል እና አዋህድ፡-

ከዚህ y እናገኛለን፡-

የ y እና y ን መግለጫዎች ወደ ሁኔታው ​​እንተካቸዋለን (ለአጭር ጊዜ በ C (x) ፈንታ C እና በ C"(x) ፋንታ C እንጠቀማለን)፡

ውህደቱን በቀኝ በኩል ለማግኘት፣ ውህደቱን በክፍሎች ቀመር እንጠቀማለን፡-

አሁን እርስዎ, ዱ እና ቪን ወደ ቀመር እንተካለን፡-

እዚህ C = const.

3) አሁን ተመሳሳይነት ወደ መፍትሄው እንተካለን

የዘፈቀደ ቋሚዎች የመለዋወጥ ዘዴ

ወደ መስመራዊ ተመጣጣኝ ያልሆነ ልዩነት እኩልታ መፍትሄን ለመገንባት የዘፈቀደ ቋሚዎች መለዋወጥ ዘዴ

ሀ n (ቲ)ዝ (n) (ቲ) + ሀ n − 1 (ቲ)ዝ (n − 1) (ቲ) + ... + ሀ 1 (ቲ)ዝ"(ቲ) + ሀ 0 (ቲ)ዝ(ቲ) = ረ(ቲ)

የዘፈቀደ ቋሚዎችን መተካት ያካትታል ሐ ክበአጠቃላይ መፍትሄ

ዝ(ቲ) = ሐ 1 ዝ 1 (ቲ) + ሐ 2 ዝ 2 (ቲ) + ... + ሐ n ዝ n (ቲ)

ተጓዳኝ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ

ሀ n (ቲ)ዝ (n) (ቲ) + ሀ n − 1 (ቲ)ዝ (n − 1) (ቲ) + ... + ሀ 1 (ቲ)ዝ"(ቲ) + ሀ 0 (ቲ)ዝ(ቲ) = 0

ለረዳት ተግባራት ሐ ክ (ቲ) የማን ተዋጽኦዎች የመስመር አልጀብራ ሥርዓትን ያረካሉ

የስርዓት (1) ወሳኙ ተግባራቱ ዎሮንስኪያን ነው። ዝ 1 ,ዝ 2 ,...,ዝ n ጋር በተያያዘ ልዩ መፍታትን የሚያረጋግጥ።

ፀረ ተዋጽኦዎች ከሆኑ በውህደት ቋሚዎች ቋሚ እሴቶች የተወሰዱ፣ ከዚያ ተግባሩ

ለዋናው መስመራዊ ተመጣጣኝ ያልሆነ ልዩነት እኩልታ መፍትሄ ነው። ለተዛማጅ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ በሚኖርበት ጊዜ የማይመሳሰል እኩልታ ውህደት ወደ አራት ማዕዘኖች ይቀነሳል።

በቬክተር መደበኛ ቅርፅ ውስጥ የመስመራዊ ልዩነት እኩልታዎች ስርዓት መፍትሄዎችን ለመገንባት የዘፈቀደ ቋሚዎች መለዋወጥ ዘዴ

በቅጹ ውስጥ አንድ የተወሰነ መፍትሄ (1) መገንባትን ያካትታል

የት ዜድ(ቲ) በማትሪክስ መልክ የተጻፈው ለተዛማጅ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ የመፍትሄዎች መሰረት ነው እና የዘፈቀደ ቋሚዎችን ቬክተር የሚተካው የቬክተር ተግባር በግንኙነቱ ይገለጻል። የሚፈለገው ልዩ መፍትሄ (ከዜሮ የመጀመሪያ ዋጋዎች ጋር በ ቲ = ቲ 0 ይመስላል

ቋሚ ቅንጅቶች ላለው ስርዓት ፣ የመጨረሻው አገላለጽ ቀላል ነው-

ማትሪክስ ዜድ(ቲ)ዜድ- 1 (τ)ተብሎ ይጠራል Cauchy ማትሪክስኦፕሬተር ኤል = ሀ(ቲ) .

አሁን ቀጥተኛ ያልሆነውን እኩልታ እንመልከት
. (2)
y 1፣y 2፣..፣ y n መሠረታዊ የመፍትሄዎች ሥርዓት ይሁን፣ እና የተመሳሳይ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ L(y)=0 አጠቃላይ መፍትሄ ይሁን። ከአንደኛ ደረጃ እኩልታዎች ጋር በሚመሳሰል መልኩ፣ በቀመር (2) ላይ መፍትሄን እንፈልጋለን።
. (3)
በዚህ ቅጽ ውስጥ መፍትሄ መኖሩን እናረጋግጥ. ይህንን ለማድረግ, ተግባሩን ወደ እኩልታው እንተካለን. ይህንን ተግባር ወደ እኩልታው ለመተካት, የእሱን ተዋጽኦዎች እናገኛለን. የመጀመሪያው ተዋጽኦ እኩል ነው።
. (4)
ሁለተኛውን ተዋጽኦ ሲያሰሉ አራት ቃላት በ(4) በቀኝ በኩል ይታያሉ፣ ሶስተኛውን ውፅዓት ሲያሰሉ ስምንት ቃላት ይታያሉ፣ እና የመሳሰሉት። ስለዚህ, ለቀጣይ ስሌቶች ምቾት, በ (4) ውስጥ ያለው የመጀመሪያው ቃል ከዜሮ ጋር እኩል ነው. ይህንን ግምት ውስጥ በማስገባት የሁለተኛው ተወላጅ እኩል ነው
. (5)
ልክ እንደበፊቱ ባሉት ተመሳሳይ ምክንያቶች፣ በ (5) ውስጥ የመጀመሪያውን ቃል ከዜሮ ጋር እኩል እናስቀምጣለን። በመጨረሻም, nth ተዋጽኦው ነው
. (6)
የተገኙትን ተዋጽኦዎች እሴቶች ወደ መጀመሪያው እኩልነት በመተካት እኛ አለን።
. (7)
በ (7) ውስጥ ያለው ሁለተኛው ቃል ከዜሮ ጋር እኩል ነው, ምክንያቱም ተግባሮቹ y j, j=1,2,..,n, ለተዛማጅ ተመሳሳይነት እኩልነት L(y)=0 መፍትሄዎች ናቸው. ከቀዳሚው ጋር በማጣመር፣ C" j (x) ተግባራትን ለማግኘት የአልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት እናገኛለን።
(8)
የዚህ ሥርዓት ወሳኙ Wronski የሚወስነው የመፍትሄዎች መሠረታዊ ሥርዓት y 1፣y 2፣...፣y n ተዛማጅ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ L(y)=0 ስለሆነ ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም። በዚህ ምክንያት ለስርዓት (8) ልዩ መፍትሄ አለ. ካገኘን በኋላ፣ C” j (x)፣ j=1፣2፣…፣n፣ እና፣ በዚህም ምክንያት፣ C j (x)፣ j=1,2፣…, n እነዚህን እሴቶች በመተካት እናገኛለን። (3)፣ ወደ መስመራዊ ተመጣጣኝ ያልሆነ እኩልታ መፍትሄ እናገኛለን።
የተዘረዘረው ዘዴ የዘፈቀደ ቋሚ ወይም የላግራንጅ ዘዴ የመለዋወጥ ዘዴ ይባላል።

ምሳሌ ቁጥር 1 ለእኩል አጠቃላይ መፍትሄ እንፈልግ y"" + 4ይ" + 3y = 9e -3 x. ተዛማጅ ተመሳሳይ እኩልታ y"" + 4y" + 3y = 0. የባህሪው እኩልታ ሥሮች r 2 + 4r + 3 = 0 ከ -1 እና - 3 ጋር እኩል ናቸው። ስለዚህ, ለተመሳሳይ እኩልነት የመፍትሄዎች መሰረታዊ ስርዓት y 1 = e - x እና y 2 = e -3 x ተግባራትን ያቀፈ ነው. በ y = C 1 (x) e - x + C 2 (x) e -3 x ቅጽ ውስጥ ለተመጣጣኝ እኩልዮሽ መፍትሄ እንፈልጋለን. ተዋጽኦዎችን ለማግኘት C" 1, C" 2 የእኩልታዎች ስርዓት እንፈጥራለን (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
መፍታት የትኛውን, እናገኛለን, የተገኙትን ተግባራት በማዋሃድ, እኛ አለን
በመጨረሻም እናገኛለን

ምሳሌ ቁጥር 2. የዘፈቀደ ቋሚዎችን የመለዋወጥ ዘዴን በመጠቀም የሁለተኛ-ትዕዛዝ መስመራዊ ልዩነት እኩልታዎችን ከቋሚ መጋጠሚያዎች ጋር ይፍቱ፡

y (0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

መፍትሄ፡-
ይህ የልዩነት እኩልታ የሚያመለክተው ከቋሚ ቅንጅቶች ጋር የመስመራዊ ልዩነት እኩልታዎችን ነው።
በ y = e rx ቅፅ ላይ ያለውን ስሌት መፍትሄ እንፈልጋለን. ይህንን ለማድረግ የአንድ መስመራዊ ተመሳሳይነት ያለው ልዩነት እኩልታ ከቋሚ መጋጠሚያዎች ጋር የባህሪ እኩልታ እንፈጥራለን-
r 2 -6 r + 8 = 0
መ = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

የባህሪው እኩልታ ሥሮች፡ r 1 = 4፣ r 2 = 2
በዚህ ምክንያት የመፍትሄው መሰረታዊ ስርዓት ተግባራትን ያቀፈ ነው-y 1 = e 4x, y 2 = e 2x
ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄው ቅጹ አለው፡ y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
የዘፈቀደ ቋሚ መለዋወጥ ዘዴ አንድ የተወሰነ መፍትሄ ይፈልጉ።
የC" i ተዋጽኦዎችን ለማግኘት የእኩልታዎች ስርዓት እንዘጋጃለን፡-
C′ 1 · ሠ 4x +C′ 2 · e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
ከመጀመሪያው ስሌት C" 1ን እንግለጽ፡-
ሐ" 1 = -c 2 ሠ -2x
እና በሁለተኛው ውስጥ ይተኩ. በውጤቱም እኛ እናገኛለን:
ሐ" 1 = 2/(ሠ 2x +2e 4x)
ሐ" 2 = -2e 2x /(ሠ 2x +2e 4x)
የተገኙትን ተግባራት እናዋህዳለን C" i:
C 1 = 2ln (e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln (2e 2x +1) - 2x+ C * 2

ከ y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x ጀምሮ የተገኙትን መግለጫዎች በቅጹ እንጽፋለን፡-
C 1 = (2ln (e -2x +2) - e -2x + C * 1) ሠ 4x = 2 ሠ 4x ln (ሠ -2x +2) - ሠ 2x + C * 1 ሠ 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
ስለዚህ ፣ የልዩነት እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ ቅጹ አለው ።
y = 2 ሠ 4x ln (ሠ -2x +2) - ሠ 2x + ሐ * 1 ሠ 4x + ሠ 2x ln(2e 2x +1) – 2x ሠ 2x + ሐ * 2 ሠ 2x
ወይም
y = 2 ሠ 4x ln(ሠ -2x +2) - ሠ 2x + ሠ 2x ln(2e 2x +1) – 2x ሠ 2x + C * 1 ሠ 4x + C * 2 ሠ 2x

በሁኔታው ውስጥ አንድ የተለየ መፍትሄ እንፈልግ-
y (0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

በተገኘው ቀመር ውስጥ x = 0ን በመተካት የሚከተለውን እናገኛለን፡-
y (0) = 2 ln (3) - 1 + ln (3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
የተገኘውን አጠቃላይ መፍትሄ የመጀመሪያውን አመጣጥ እናገኛለን-
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
x = 0ን በመተካት የሚከተለውን እናገኛለን፡-
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

የሁለት እኩልታዎች ስርዓት እናገኛለን
3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
ወይም
C*1+C*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
ወይም
C*1+C*2=2
2C 1 + C 2 = 2
ከ፡ C 1 = 0፣ C * 2 = 2
የግል መፍትሔው እንደሚከተለው ይጻፋል፡-
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - ሠ 2x + ሠ 2x ln(2e 2x +1) – 2x ሠ 2x + 2 ሠ 2x