একটি পূর্ণ সংখ্যা মানে কি?

তাহলে, আসুন দেখি কোন সংখ্যাগুলোকে পূর্ণসংখ্যা বলা হয়।

এইভাবে, নিম্নলিখিত সংখ্যাগুলিকে পূর্ণসংখ্যা দ্বারা চিহ্নিত করা হবে: $0$, $±1$, $±2$, $±3$, $±4$, ইত্যাদি।

অনেক প্রাকৃতিক সংখ্যাপূর্ণসংখ্যার সেটের একটি উপসেট, যেমন যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যা একটি পূর্ণসংখ্যা হবে, কিন্তু প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা একটি স্বাভাবিক সংখ্যা নয়।

ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা

সংজ্ঞা 2

প্লাস.

$3, 78, 569, 10450$ সংখ্যাগুলি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

সংজ্ঞা 3

স্বাক্ষরিত পূর্ণসংখ্যা বিয়োগ.

$−3, −78, −569, -10450$ সংখ্যাগুলি হল পূর্ণসংখ্যা নেতিবাচক সংখ্যা.

নোট ১

শূন্য সংখ্যাটি ধনাত্মক বা ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যাও নয়।

ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাশূন্যের চেয়ে বড় পূর্ণসংখ্যা।

ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যাশূন্যের চেয়ে কম পূর্ণসংখ্যা।

প্রাকৃতিক পূর্ণসংখ্যার সেট হল সমস্ত ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেট, এবং সমস্ত বিপরীত প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট হল সমস্ত ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেট।

অ-ধনাত্মক এবং অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা

সমস্ত ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং শূন্য বলা হয় অ নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যা.

অ-ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাসমস্ত ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং সংখ্যা $0$।

নোট 2

এইভাবে, অ নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যাপূর্ণসংখ্যা হল শূন্যের চেয়ে বড় বা শূন্যের সমান, এবং অ-ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা- পূর্ণসংখ্যা শূন্যের চেয়ে কম বা শূন্যের সমান।

উদাহরণস্বরূপ, অ-ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা: $−32, −123, 0, −5$, এবং পূর্ণসংখ্যা অ নেতিবাচক সংখ্যা: $54, 123, 0, 856 342.$

পূর্ণসংখ্যা ব্যবহার করে পরিমাণের পরিবর্তন বর্ণনা করা

বস্তুর সংখ্যার পরিবর্তন বর্ণনা করতে পূর্ণসংখ্যা ব্যবহার করা হয়।

এর উদাহরণ তাকান.

উদাহরণ 1

একটি দোকান একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক পণ্য বিক্রি করতে দিন। যখন দোকানটি $520$ আইটেম পায়, তখন দোকানে আইটেমের সংখ্যা বাড়বে এবং $520$ নম্বরটি ইতিবাচক দিক থেকে সংখ্যার পরিবর্তন দেখায়। যখন দোকানটি পণ্য আইটেমগুলির $50$ বিক্রি করে, তখন দোকানে পণ্যের আইটেমের সংখ্যা হ্রাস পাবে এবং $50$ সংখ্যাটি নেতিবাচক দিক থেকে সংখ্যার পরিবর্তনকে প্রকাশ করবে। যদি দোকানটি পণ্য আনে বা বিক্রি করে না, তবে পণ্যের সংখ্যা অপরিবর্তিত থাকবে (অর্থাৎ আমরা সংখ্যায় শূন্য পরিবর্তন সম্পর্কে কথা বলতে পারি)।

উপরের উদাহরণে, পণ্যের সংখ্যার পরিবর্তন যথাক্রমে $520$, $−50$ এবং $0$ পূর্ণসংখ্যা ব্যবহার করে বর্ণনা করা হয়েছে। পূর্ণসংখ্যার একটি ধনাত্মক মান $520$ একটি ইতিবাচক দিকে সংখ্যার পরিবর্তন নির্দেশ করে। নেতিবাচক মানপূর্ণসংখ্যা $−50$ একটি নেতিবাচক দিকে সংখ্যার পরিবর্তন নির্দেশ করে। পূর্ণসংখ্যা $0$ নির্দেশ করে যে সংখ্যাটি অপরিবর্তনীয়।

পূর্ণসংখ্যাগুলি ব্যবহার করা সুবিধাজনক কারণ... সংখ্যা বৃদ্ধি বা হ্রাসের সুস্পষ্ট ইঙ্গিতের কোন প্রয়োজন নেই - পূর্ণসংখ্যার চিহ্ন পরিবর্তনের দিক নির্দেশ করে এবং মানটি পরিমাণগত পরিবর্তন নির্দেশ করে।

পূর্ণসংখ্যা ব্যবহার করে আপনি শুধুমাত্র পরিমাণের পরিবর্তনই নয়, যেকোনো পরিমাণের পরিবর্তনও প্রকাশ করতে পারেন।

আসুন একটি পণ্যের মূল্য পরিবর্তনের একটি উদাহরণ বিবেচনা করা যাক।

উদাহরণ 2

মূল্য বৃদ্ধি, উদাহরণস্বরূপ, $20$ রুবেল দ্বারা একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $20$ ব্যবহার করে প্রকাশ করা হয়। মূল্য হ্রাস, উদাহরণস্বরূপ, $5$ রুবেল দ্বারা একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা $−5$ ব্যবহার করে বর্ণনা করা হয়েছে। যদি মানের কোন পরিবর্তন না হয়, তাহলে এই ধরনের পরিবর্তন পূর্ণসংখ্যা $0$ ব্যবহার করে নির্ধারণ করা হয়।

ঋণের পরিমাণ হিসাবে ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার অর্থ আলাদাভাবে বিবেচনা করা যাক।

উদাহরণ 3

উদাহরণস্বরূপ, একজন ব্যক্তির $5,000$ রুবেল আছে। তারপর, ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $5,000$ ব্যবহার করে, আপনি তার কাছে থাকা রুবেলের সংখ্যা দেখাতে পারেন। একজন ব্যক্তিকে অবশ্যই $7,000$ রুবেল পরিমাণে ভাড়া দিতে হবে, কিন্তু তার কাছে সেই ধরনের টাকা নেই, যে ক্ষেত্রে এই ধরনের পরিস্থিতি একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা $−7,000$ দ্বারা বর্ণনা করা হয়। এই ক্ষেত্রে, ব্যক্তির $−7,000$ রুবেল আছে, যেখানে "–" ঋণ নির্দেশ করে এবং $7,000$ সংখ্যাটি ঋণের পরিমাণ নির্দেশ করে৷

যদি আমরা প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি সিরিজের বাম দিকে 0 সংখ্যাটি যোগ করি তবে আমরা পাব ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সিরিজ:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা

একটি ছোট উদাহরণ দেখা যাক. বাম দিকের ছবিটি একটি থার্মোমিটার দেখায় যা 7 ডিগ্রি সেলসিয়াস তাপমাত্রা দেখায়। যদি তাপমাত্রা 4 ডিগ্রি সেলসিয়াস কমে যায়, থার্মোমিটারটি 3 ডিগ্রি সেলসিয়াস তাপ দেখাবে। তাপমাত্রার হ্রাস বিয়োগের ক্রিয়ার সাথে মিলে যায়:

দ্রষ্টব্য: সমস্ত ডিগ্রি সি (সেলসিয়াস) অক্ষর দিয়ে লেখা হয়, ডিগ্রি চিহ্নটি একটি স্থান দ্বারা সংখ্যা থেকে পৃথক করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, 7 ° সে.

যদি তাপমাত্রা 7 ডিগ্রি সেলসিয়াস কমে যায়, থার্মোমিটারটি 0 ডিগ্রি সেলসিয়াস দেখাবে। তাপমাত্রার হ্রাস বিয়োগের ক্রিয়ার সাথে মিলে যায়:

যদি তাপমাত্রা 8 °সে কমে যায়, থার্মোমিটার দেখাবে -1 °C (শূন্যের নিচে 1 °C)। কিন্তু 7 - 8 বিয়োগের ফলাফল স্বাভাবিক সংখ্যা এবং শূন্য ব্যবহার করে লেখা যাবে না।

আসুন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি সিরিজ ব্যবহার করে বিয়োগ চিত্রিত করি:

1) 7 নম্বর থেকে, বাম দিকে 4টি সংখ্যা গণনা করুন এবং 3 পান:

2) 7 নম্বর থেকে, বাম দিকে 7টি সংখ্যা গণনা করুন এবং 0 পান:

ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি সিরিজে 7 নম্বর থেকে বাম দিকে 8টি সংখ্যা গণনা করা অসম্ভব। ক্রিয়া 7 - 8কে সম্ভবপর করতে, আমরা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার পরিসর প্রসারিত করি। এটি করার জন্য, শূন্যের বাম দিকে, আমরা সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যাকে (ডান থেকে বামে) ক্রমানুসারে লিখি, তাদের প্রতিটিতে চিহ্ন যোগ করে - , নির্দেশ করে যে এই সংখ্যাটি শূন্যের বাম দিকে।

এন্ট্রিগুলি -1, -2, -3, ... পড়ুন বিয়োগ 1, বিয়োগ 2, বিয়োগ 3, ইত্যাদি:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

সংখ্যার ফলে সিরিজ বলা হয় পূর্ণসংখ্যার সিরিজ. এই এন্ট্রিতে বাম এবং ডানদিকে বিন্দুগুলির মানে হল যে সিরিজটি ডান এবং বামে অনির্দিষ্টকালের জন্য চালিয়ে যেতে পারে।

এই সারিতে 0 নম্বরের ডানদিকে নম্বরগুলি বলা হয় প্রাকৃতিকবা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা(সংক্ষেপে- ইতিবাচক).

এই সারিতে 0 নম্বরের বামদিকে নম্বরগুলি বলা হয় পূর্ণসংখ্যা ঋণাত্মক(সংক্ষেপে- নেতিবাচক).

সংখ্যা 0 একটি পূর্ণসংখ্যা, তবে এটি একটি ধনাত্মক বা ঋণাত্মক সংখ্যা নয়। এটি ইতিবাচক এবং নেতিবাচক সংখ্যা পৃথক করে।

তাই, পূর্ণসংখ্যার সিরিজটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা, শূন্য এবং ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা নিয়ে গঠিত.

পূর্ণসংখ্যা তুলনা

দুটি পূর্ণসংখ্যার তুলনা করুন- মানে খুঁজে বের করা কোনটি বড়, কোনটি ছোট, বা নির্ধারণ করা যে সংখ্যাগুলি সমান।

আপনি পূর্ণসংখ্যার একটি সারি ব্যবহার করে পূর্ণসংখ্যার তুলনা করতে পারেন, যেহেতু আপনি বাম থেকে ডানে সারি বরাবর সরে গেলে এতে সংখ্যাগুলি ছোট থেকে বৃহত্তম পর্যন্ত সাজানো হয়। অতএব, পূর্ণসংখ্যার একটি সিরিজে, আপনি কম চিহ্ন দিয়ে কমা প্রতিস্থাপন করতে পারেন:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

তাই, দুটি পূর্ণসংখ্যার মধ্যে, সিরিজের ডানদিকের সংখ্যাটি বেশি এবং বামদিকে ছোটটি, মানে:

1) যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যা শূন্যের চেয়ে বড় এবং যেকোনো ঋণাত্মক সংখ্যার চেয়ে বড়:

1 > 0; 15 > -16

2) শূন্যের চেয়ে কম যেকোনো ঋণাত্মক সংখ্যা:

7 < 0; -357 < 0

3) দুটি ঋণাত্মক সংখ্যার মধ্যে, পূর্ণসংখ্যার সিরিজের ডানদিকে যেটি আছে সেটি বড়।

1) আমি অবিলম্বে দ্বারা ভাগ করি, যেহেতু উভয় সংখ্যাই 100% দ্বারা বিভাজ্য:

2) আমি অবশিষ্ট বৃহৎ সংখ্যা দ্বারা ভাগ করব (এবং), যেহেতু তারা অবশিষ্টাংশ ছাড়াই বিভাজ্য (একই সময়ে, আমি পচব না - এটি ইতিমধ্যে একটি সাধারণ ভাজক):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) আমি একা চলে যাব এবং সংখ্যাগুলি দেখতে শুরু করব এবং। উভয় সংখ্যাই ঠিক দ্বারা বিভাজ্য (সম সংখ্যা দিয়ে শেষ (এই ক্ষেত্রে, আমরা কল্পনা করি কিভাবে, বা আপনি দ্বারা ভাগ করতে পারেন)):

4) আমরা সংখ্যা এবং সঙ্গে কাজ. তাদের কি সাধারণ বিভাজক আছে? এটি আগের ধাপগুলির মতো সহজ নয়, তাই আমরা সেগুলিকে সহজভাবে ভেঙে দেব৷ প্রধান কারণ:

5) আমরা যেমন দেখি, আমরা ঠিক ছিলাম: এবং কোন সাধারণ ভাজক নেই, এবং এখন আমাদের গুণ করতে হবে।
জিসিডি

টাস্ক নং 2। 345 এবং 324 নম্বরের জিসিডি খুঁজুন

আমি এখানে দ্রুত অন্তত একটি সাধারণ ভাজক খুঁজে পাচ্ছি না, তাই আমি এটিকে প্রধান কারণগুলিতে বিভক্ত করতে পারি (যতটা সম্ভব ছোট):

ঠিক, gcd, কিন্তু আমি প্রাথমিকভাবে বিভাজ্যতার পরীক্ষাটি পরীক্ষা করিনি এবং সম্ভবত আমাকে এতগুলি অ্যাকশন করতে হত না।

কিন্তু আপনি চেক করেছেন, তাই না?

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এটি মোটেও কঠিন নয়।

সর্বনিম্ন সাধারণ মাল্টিপল (এলসিএম) - সময় বাঁচায়, অ-মানক উপায়ে সমস্যা সমাধানে সহায়তা করে

ধরা যাক আপনার দুটি সংখ্যা আছে - এবং। ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে কি দিয়ে ভাগ করা যায় একটি ট্রেস ছাড়া(অর্থাৎ সম্পূর্ণরূপে)? এটা কি কল্পনা করা কঠিন? এখানে আপনার জন্য একটি চাক্ষুষ ইঙ্গিত:

আপনার কি মনে আছে চিঠিটির অর্থ কী? এটা ঠিক, শুধু পূর্ণ সংখ্যাতাহলে x এর জায়গায় ফিট করা ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কী? :

এই ক্ষেত্রে.

এর থেকে সহজ উদাহরণবেশ কিছু নিয়ম মেনে চলে।

দ্রুত NOC খুঁজে পাওয়ার নিয়ম

নিয়ম 1: যদি দুটি স্বাভাবিক সংখ্যার একটি অন্য সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে দুটি সংখ্যার মধ্যে বড়টি তাদের সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক।

নিম্নলিখিত সংখ্যা খুঁজুন:

• NOC (7;21)
• NOC (6;12)
• NOC (5;15)
• NOC (3;33)

অবশ্যই, আপনি অসুবিধা ছাড়াই এই কাজটি মোকাবেলা করেছেন এবং আপনি উত্তর পেয়েছেন - , এবং।

দয়া করে মনে রাখবেন যে নিয়মে আমরা দুটি সংখ্যার কথা বলছি; যদি বেশি সংখ্যা থাকে তবে নিয়মটি কাজ করে না।

উদাহরণস্বরূপ, LCM (7;14;21) 21 এর সমান নয়, যেহেতু এটি দ্বারা বিভাজ্য নয়।

নিয়ম 2. যদি দুটি (বা দুইটির বেশি) সংখ্যা কপ্রিম হয়, তাহলে সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতকটি তাদের গুণফলের সমান।

খুঁজুন এনওসিনিম্নলিখিত সংখ্যা:

• NOC (1;3;7)
• NOC (3;7;11)
• NOC (2;3;7)
• NOC (3;5;2)

আপনি গণনা করেছেন? এখানে উত্তর আছে - , ; .

আপনি যেমন বুঝতে পেরেছেন, এই একই x এত সহজে তোলা সবসময় সম্ভব নয়, তাই সামান্য জটিল সংখ্যার জন্য নিম্নলিখিত অ্যালগরিদম রয়েছে:

আমরা কি অনুশীলন করব?

আসুন সর্বনিম্ন সাধারণ মাল্টিপল খুঁজে বের করি - LCM (345; 234)

আসুন প্রতিটি সংখ্যা ভাঙ্গুন:

কেন আমি এখনই লিখলাম?

এই দ্বারা বিভাজ্যতার চিহ্নগুলি মনে রাখবেন: দ্বারা বিভাজ্য (শেষ অঙ্কটি জোড়) এবং অঙ্কগুলির যোগফল দ্বারা বিভাজ্য।

তদনুসারে, আমরা অবিলম্বে ভাগ করতে পারি, এটি লিখতে।

এখন আমরা একটি লাইনে দীর্ঘতম পচন লিখি - দ্বিতীয়টি:

আসুন এটিতে প্রথম সম্প্রসারণের সংখ্যাগুলি যোগ করি, যা আমরা যা লিখেছি তাতে নেই:

দ্রষ্টব্য: আমরা সবকিছু লিখেছি কারণ আমাদের কাছে এটি ইতিমধ্যে আছে।

এখন আমাদের এই সমস্ত সংখ্যাকে গুণ করতে হবে!

সর্বনিম্ন সাধারণ মাল্টিপল (এলসিএম) নিজেই খুঁজুন

আপনি কি উত্তর পেয়েছেন?

আমি যা পেয়েছি তা এখানে:

আপনি খুঁজে পেতে কত সময় ব্যয় করেছেন এনওসি? আমার সময় 2 মিনিট, আমি সত্যিই জানি একটি কৌশল, যা আমি আপনাকে এখনই খোলার পরামর্শ দিচ্ছি!

আপনি যদি খুব মনোযোগী হন, তবে আপনি সম্ভবত লক্ষ্য করেছেন যে আমরা ইতিমধ্যে প্রদত্ত নম্বরগুলি অনুসন্ধান করেছি জিসিডিএবং আপনি সেই উদাহরণ থেকে এই সংখ্যাগুলির ফ্যাক্টরাইজেশন নিতে পারেন, যার ফলে আপনার কাজকে সহজ করা যায়, কিন্তু এটিই সব নয়।

ছবিটি দেখুন, হয়তো আপনার মনে অন্য কিছু চিন্তা আসবে:

আচ্ছা? আমি আপনাকে একটি ইঙ্গিত দেব: গুণ করার চেষ্টা করুন এনওসিএবং জিসিডিনিজেদের মধ্যে এবং গুণ করার সময় উপস্থিত হবে এমন সমস্ত কারণ লিখুন। আপনি কি পরিচালনা করেছেন? আপনি এই মত একটি চেইন সঙ্গে শেষ করা উচিত:

এটিকে আরও ঘনিষ্ঠভাবে দেখুন: গুণকগুলি কীভাবে এবং কীভাবে সাজানো হয়েছে তার সাথে তুলনা করুন।

আপনি এই থেকে কি উপসংহার টানতে পারেন? ঠিক! যদি আমরা মান গুন করি এনওসিএবং জিসিডিনিজেদের মধ্যে, তারপর আমরা এই সংখ্যার গুণফল পেতে.

তদনুসারে, সংখ্যা এবং অর্থ হচ্ছে জিসিডি(বা এনওসি), আমরা খুঁজে পেতে পারি এনওসি(বা জিসিডি) এই স্কিম অনুযায়ী:

1. সংখ্যার গুণফল খুঁজুন:

2. ফলিত পণ্যটি আমাদের দ্বারা ভাগ করুন জিসিডি (6240; 6800) = 80:

এতটুকুই।

আসুন নিয়মটি সাধারণ আকারে লিখি:

খোঁজার চেষ্টা করুন জিসিডি, যদি এটি জানা যায় যে:

আপনি কি পরিচালনা করেছেন? .

নেতিবাচক সংখ্যা হল "মিথ্যা সংখ্যা" এবং মানবতার দ্বারা তাদের স্বীকৃতি।

আপনি ইতিমধ্যেই বুঝতে পেরেছেন, এগুলি প্রাকৃতিক সংখ্যার বিপরীত সংখ্যা, যা হল:

মনে হবে, তাদের মধ্যে বিশেষ কী আছে?

কিন্তু বাস্তবতা হল নেতিবাচক সংখ্যাগুলি 19 শতক পর্যন্ত গণিতে তাদের সঠিক স্থান "জিতেছে" (সেই মুহূর্ত পর্যন্ত তাদের অস্তিত্ব আছে কিনা তা নিয়ে প্রচুর বিতর্ক ছিল)।

"বিয়োগ" হিসাবে প্রাকৃতিক সংখ্যার সাথে এই জাতীয় ক্রিয়াকলাপের কারণে নেতিবাচক সংখ্যাটি নিজেই উদ্ভূত হয়েছিল।

প্রকৃতপক্ষে, এটি থেকে বিয়োগ করুন এবং আপনি একটি ঋণাত্মক সংখ্যা পাবেন। তাই ঋণাত্মক সংখ্যার সেটকে প্রায়ই বলা হয় "প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটের সম্প্রসারণ।"

নেতিবাচক সংখ্যা দীর্ঘ সময়ের জন্য মানুষ দ্বারা স্বীকৃত ছিল না.

তাই, প্রাচীন মিশর, ব্যাবিলন এবং প্রাচীন গ্রীস- তাদের সময়ের আলোকিত ব্যক্তিরা, নেতিবাচক সংখ্যাগুলিকে চিনতে পারেনি এবং একটি সমীকরণে নেতিবাচক শিকড় পাওয়ার ক্ষেত্রে (উদাহরণস্বরূপ, আমাদের মতো), শিকড়গুলিকে অসম্ভব হিসাবে প্রত্যাখ্যান করা হয়েছিল।

নেতিবাচক সংখ্যাগুলি প্রথমে চীনে তাদের অস্তিত্বের অধিকার লাভ করে এবং তারপরে 7 ম শতাব্দীতে ভারতে।

এই স্বীকৃতির কারণ কী বলে আপনি মনে করেন?

এটা ঠিক, নেতিবাচক সংখ্যা বোঝাতে শুরু করে ঋণ (অন্যথায় - ঘাটতি)।

এটি বিশ্বাস করা হয়েছিল যে নেতিবাচক সংখ্যাগুলি একটি অস্থায়ী মান, যা ফলস্বরূপ ধনাত্মক তে পরিবর্তিত হবে (অর্থাৎ, অর্থ এখনও ঋণদাতাকে ফেরত দেওয়া হবে)। যাইহোক, ভারতীয় গণিতবিদ ব্রহ্মগুপ্ত ইতিমধ্যেই ধনাত্মক সংখ্যার সাথে সমান ভিত্তিতে ঋণাত্মক সংখ্যা বিবেচনা করেছেন।

ইউরোপে, ঋণাত্মক সংখ্যার উপযোগিতা, সেইসাথে তারা ঋণকে বোঝাতে পারে তা অনেক পরে, সম্ভবত এক সহস্রাব্দে আবিষ্কৃত হয়েছিল।

প্রথম উল্লেখটি 1202 সালে পিসার লিওনার্ডের "বুক অফ অ্যাবাকাস" তে লক্ষ্য করা হয়েছিল (আমি এখনই বলব যে পিসার হেলানো টাওয়ারের সাথে বইটির লেখকের কোনও সম্পর্ক নেই, তবে ফিবোনাচি সংখ্যাগুলি তাঁর কাজ ( পিসার লিওনার্দোর ডাকনাম ফিবোনাচি))।

সুতরাং, 17 শতকে, প্যাসকেল এটি বিশ্বাস করেছিলেন।

আপনি কিভাবে তিনি এই ন্যায়সঙ্গত মনে করেন?

এটা সত্য, "কিছুই NOTHING থেকে কম হতে পারে না।"

সেই সময়ের একটি প্রতিধ্বনি এই সত্যটি থেকে যায় যে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা এবং বিয়োগের ক্রিয়াকলাপ একই প্রতীক - বিয়োগ "-" দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এবং সত্য:. সংখ্যাটি কি "" ধনাত্মক, যা থেকে বিয়োগ করা হয়, নাকি ঋণাত্মক, যার সমষ্টি হয়?... সিরিজের কিছু "প্রথমে কী আসে: মুরগি না ডিম?" এটি এমন একটি অদ্ভুত গাণিতিক দর্শন।

বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির আবির্ভাবের সাথে নেতিবাচক সংখ্যাগুলি তাদের অস্তিত্বের অধিকার সুরক্ষিত করেছিল, অন্য কথায়, যখন গণিতবিদরা সংখ্যা অক্ষের মতো একটি ধারণা চালু করেছিলেন।

এই মুহূর্ত থেকেই সমতা এসেছিল। যাইহোক, উত্তরের চেয়ে আরও প্রশ্ন ছিল, উদাহরণস্বরূপ:

অনুপাত

এই অনুপাতটিকে "আর্নডস প্যারাডক্স" বলা হয়। এটা নিয়ে ভাবুন, এতে সন্দেহের কী আছে?

আসুন একসাথে তর্ক করি "" কি "" এর চেয়ে বেশি? সুতরাং, যুক্তি অনুসারে, অনুপাতের বাম দিকটি ডানের চেয়ে বড় হওয়া উচিত, তবে তারা সমান... এটি হল প্যারাডক্স।

ফলস্বরূপ, গণিতবিদরা এই বিষয়ে একমত হন যে কার্ল গাউস (হ্যাঁ, হ্যাঁ, এই একই ব্যক্তি যিনি যোগফল (বা) সংখ্যা গণনা করেছিলেন) এটি 1831 সালে শেষ করেছিলেন।

তিনি বলেছিলেন যে নেতিবাচক সংখ্যার ধনাত্মক সংখ্যার সমান অধিকার রয়েছে এবং তারা যে সমস্ত জিনিসের জন্য প্রযোজ্য নয় তার অর্থ কিছুই নয়, যেহেতু ভগ্নাংশগুলিও অনেক কিছুতে প্রযোজ্য নয় (এটি ঘটে না যে একজন খননকারী একটি গর্ত খনন করে, আপনি সিনেমার টিকিট কিনতে পারবেন না, ইত্যাদি)।

গণিতবিদরা শুধুমাত্র 19 শতকে শান্ত হয়েছিলেন, যখন উইলিয়াম হ্যামিল্টন এবং হারম্যান গ্রাসম্যান দ্বারা ঋণাত্মক সংখ্যার তত্ত্ব তৈরি হয়েছিল।

তারা তাই বিতর্কিত, এই নেতিবাচক সংখ্যা.

"শূন্যতার" উত্থান, বা শূন্যের জীবনী।

গণিতে এটি একটি বিশেষ সংখ্যা।

প্রথম নজরে, এটি কিছুই নয়: যোগ বা বিয়োগ - কিছুই পরিবর্তন হবে না, তবে আপনাকে কেবল এটি "" এর ডানদিকে যোগ করতে হবে, এবং ফলস্বরূপ সংখ্যাটি আসলটির চেয়ে বহুগুণ বড় হবে।

শূন্য দিয়ে গুণ করলে আমরা সবকিছুকে শূন্যে পরিণত করি, কিন্তু "কিছুই না" দিয়ে ভাগ করলে, অর্থাৎ আমরা পারি না। এক কথায়, জাদু সংখ্যা)

শূন্যের ইতিহাস দীর্ঘ এবং জটিল।

খ্রিস্টীয় দ্বিতীয় সহস্রাব্দে চীনাদের লেখায় শূন্যের চিহ্ন পাওয়া গেছে। এবং মায়ানদের মধ্যে আরও আগে। শূন্য চিহ্নের প্রথম ব্যবহার, যেমনটি আজ, গ্রীক জ্যোতির্বিজ্ঞানীদের মধ্যে দেখা গিয়েছিল।

কেন এই উপাধিটি "কিছুই না" বেছে নেওয়া হয়েছিল তার অনেকগুলি সংস্করণ রয়েছে৷

কিছু ঐতিহাসিক বিশ্বাস করতে আগ্রহী যে এটি একটি ওমিক্রন, অর্থাৎ শূন্যের জন্য গ্রীক শব্দের প্রথম অক্ষর হল ওডেন। অন্য সংস্করণ অনুসারে, "ওবোল" শব্দটি (প্রায় কোন মূল্যহীন একটি মুদ্রা) শূন্যের প্রতীককে জীবন দিয়েছে।

শূন্য (বা শূন্য) গাণিতিক প্রতীক হিসেবে ভারতীয়দের মধ্যে প্রথম দেখা যায়(উল্লেখ্য যে নেতিবাচক সংখ্যা সেখানে "বিকশিত" হতে শুরু করে)।

শূন্য রেকর্ডিংয়ের প্রথম নির্ভরযোগ্য প্রমাণটি 876 সালের, এবং তাদের মধ্যে "" সংখ্যাটির একটি উপাদান।

জিরোও দেরীতে ইউরোপে এসেছিল - শুধুমাত্র 1600 সালে, এবং নেতিবাচক সংখ্যার মতো এটিও প্রতিরোধের সম্মুখীন হয়েছিল (আপনি কী করতে পারেন, ইউরোপীয়রা এমনই হয়)।

"জিরোকে প্রায়ই ঘৃণা করা হয়েছে, দীর্ঘকাল ভয় করা হয়েছে বা এমনকি নিষিদ্ধ করা হয়েছে।"- লিখেছেন আমেরিকান গণিতবিদ চার্লস সেফ।

এইভাবে, 19 শতকের শেষের দিকে তুর্কি সুলতান দ্বিতীয় আবদুল হামিদ। সমস্ত রসায়নের পাঠ্যপুস্তক থেকে জল H2O-এর সূত্রটি মুছে ফেলার জন্য তার সেন্সরকে নির্দেশ দিয়েছিলেন, শূন্যের জন্য "O" অক্ষরটি নিয়েছিলেন এবং চান না যে তার আদ্যক্ষরগুলি অপমানিত শূন্যের সান্নিধ্যে অসম্মানিত হোক।"

ইন্টারনেটে আপনি এই বাক্যাংশটি খুঁজে পেতে পারেন: "শূন্য মহাবিশ্বের সবচেয়ে শক্তিশালী শক্তি, সে যে কোনও কিছু করতে পারে! শূন্য গণিতে শৃঙ্খলা তৈরি করে, এবং এটি এতে বিশৃঙ্খলাও প্রবর্তন করে।" একেবারে সঠিক পয়েন্ট :)

বিভাগ এবং মৌলিক সূত্রের সারাংশ

পূর্ণসংখ্যার সেটটি 3 টি অংশ নিয়ে গঠিত:

• প্রাকৃতিক সংখ্যা (আমরা নীচে আরও বিস্তারিতভাবে তাদের দেখব);
• স্বাভাবিক সংখ্যার বিপরীত সংখ্যা;
• শূন্য - ""

পূর্ণসংখ্যার সেটকে নির্দেশ করা হয় অক্ষর Z

1. প্রাকৃতিক সংখ্যা

প্রাকৃতিক সংখ্যা হল সংখ্যা যা আমরা বস্তু গণনা করতে ব্যবহার করি।

প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটকে নির্দেশ করা হয় অক্ষর N

পূর্ণসংখ্যার সাথে ক্রিয়াকলাপে, আপনার GCD এবং LCM খুঁজে পাওয়ার ক্ষমতা প্রয়োজন।

সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক (GCD)

একটি GCD খুঁজে পেতে আপনার প্রয়োজন:

1. সংখ্যাগুলিকে প্রাইম ফ্যাক্টরগুলিতে বিভক্ত করা যায় (যে সংখ্যাগুলিকে নিজেরা ছাড়া অন্য কিছু দ্বারা ভাগ করা যায় না, উদাহরণস্বরূপ, ইত্যাদি)।
2. উভয় সংখ্যার অংশ যে গুণনীয়কগুলি লেখ।
3. তাদের গুণ করুন।

সর্বনিম্ন সাধারণ একাধিক (এলসিএম)

NOC খুঁজে পেতে আপনার প্রয়োজন:

1. সংখ্যাগুলিকে প্রাইম ফ্যাক্টরগুলিতে ভাগ করুন (আপনি ইতিমধ্যেই জানেন কীভাবে এটি করতে হয়)।
2. একটি সংখ্যার প্রসারণে অন্তর্ভুক্ত কারণগুলি লিখুন (দীর্ঘতম চেইন নেওয়া ভাল)।
3. অবশিষ্ট সংখ্যার সম্প্রসারণ থেকে অনুপস্থিত কারণগুলি তাদের সাথে যোগ করুন।
4. ফলস্বরূপ কারণগুলির গুণফল খুঁজুন।

2. নেতিবাচক সংখ্যা

এগুলি প্রাকৃতিক সংখ্যার বিপরীত সংখ্যা, যা হল:

এখন আমি তোমার কথা শুনতে চাই...

আমি আশা করি আপনি এই বিভাগে অতি-প্রয়োজনীয় "কৌশলগুলি" প্রশংসা করেছেন এবং বুঝতে পেরেছেন যে তারা কীভাবে আপনাকে পরীক্ষায় সহায়তা করবে।

এবং আরও গুরুত্বপূর্ণ - জীবনে। আমি এটি সম্পর্কে কথা বলি না, তবে বিশ্বাস করুন, এটি সত্য। দ্রুত এবং ত্রুটি ছাড়াই গণনা করার ক্ষমতা আপনাকে জীবনের অনেক পরিস্থিতিতে বাঁচায়।

এখন আপনার পালা!

লিখুন, আপনি গণনার ক্ষেত্রে গ্রুপিং পদ্ধতি, বিভাজ্যতা পরীক্ষা, GCD এবং LCM ব্যবহার করবেন?

হয়তো আপনি তাদের আগে ব্যবহার করেছেন? কোথায় এবং কিভাবে?

সম্ভবত আপনি প্রশ্ন আছে. বা পরামর্শ।

লেখাটি কেমন লেগেছে কমেন্টে লিখুন।

এবং আপনার পরীক্ষায় শুভকামনা!

সংখ্যা- একটি গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক ধারণা যা শতাব্দী ধরে পরিবর্তিত হয়েছে।

সংখ্যা সম্পর্কে প্রথম ধারণাগুলি মানুষ, প্রাণী, ফল, বিভিন্ন পণ্য ইত্যাদি গণনা থেকে উদ্ভূত হয়েছিল৷ ফলাফল হল প্রাকৃতিক সংখ্যা: 1, 2, 3, 4, ...

ঐতিহাসিকভাবে, সংখ্যার ধারণার প্রথম সম্প্রসারণ হল প্রাকৃতিক সংখ্যার সাথে ভগ্নাংশের সংখ্যার যোগ।

ভগ্নাংশএকটি ইউনিটের একটি অংশ (ভাগ) বা একাধিক সমান অংশ বলা হয়।

দ্বারা মনোনীত: , কোথায় m, n- পূর্ণসংখ্যা;

হর 10 সহ ভগ্নাংশ n, কোথায় n- একটি পূর্ণসংখ্যা, বলা হয় দশমিক: .

দশমিক ভগ্নাংশের মধ্যে, একটি বিশেষ স্থান দখল করা হয় পর্যায়ক্রমিক ভগ্নাংশ: - বিশুদ্ধ পর্যায়ক্রমিক ভগ্নাংশ, - মিশ্র পর্যায়ক্রমিক ভগ্নাংশ।

গণিতের (বীজগণিত) বিকাশের কারণে সংখ্যার ধারণার আরও বিস্তৃতি ঘটে। 17 শতকে ডেকার্টেস। ধারণা প্রবর্তন করে ঋণাত্মক সংখ্যা.

সংখ্যা পূর্ণসংখ্যা (ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক), ভগ্নাংশ (ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক), এবং শূন্য বলা হয় মূলদ সংখ্যা. যেকোন মূলদ সংখ্যাকে সসীম এবং পর্যায়ক্রমিক ভগ্নাংশ হিসাবে লেখা যেতে পারে।

ক্রমাগত পরিবর্তনশীল পরিমাণ অধ্যয়ন করার জন্য, এটি সংখ্যার ধারণার একটি নতুন সম্প্রসারণ প্রয়োজনীয় বলে প্রমাণিত হয়েছে - আসল (বাস্তব) সংখ্যার প্রবর্তন - মূলদ সংখ্যার সাথে অমূলদ সংখ্যা যোগ করে: অমূলদ সংখ্যাঅসীম দশমিক অ পর্যায়ক্রমিক ভগ্নাংশ।

অযৌক্তিক সংখ্যাগুলি দেখা যায় যখন অসংলগ্ন অংশগুলি পরিমাপ করা হয় (একটি বর্গক্ষেত্রের পার্শ্ব এবং তির্যক), বীজগণিতে - মূল বের করার সময়, একটি অতীন্দ্রিয়, অমূলদ সংখ্যার উদাহরণ হল π, e .

সংখ্যা প্রাকৃতিক(1, 2, 3,...), সম্পূর্ণ(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), যুক্তিবাদী(একটি ভগ্নাংশ হিসাবে প্রতিনিধিত্বযোগ্য) এবং যুক্তিহীন(একটি ভগ্নাংশ হিসাবে প্রতিনিধিত্বযোগ্য নয় ) একটি সেট গঠন বাস্তব (বাস্তব)সংখ্যা

জটিল সংখ্যাগুলিকে গণিতে আলাদাভাবে আলাদা করা হয়।

জটিল সংখ্যামামলার জন্য স্কোয়ার সমাধানের সমস্যার সাথে সম্পর্কিত ডি< 0 (здесь ডি- একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বৈষম্যকারী)। দীর্ঘ সময়ের জন্য, এই সংখ্যাগুলি শারীরিক প্রয়োগ খুঁজে পায়নি, তাই তাদের "কাল্পনিক" সংখ্যা বলা হয়। যাইহোক, এখন তারা পদার্থবিদ্যা এবং প্রযুক্তির বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়: বৈদ্যুতিক প্রকৌশল, হাইড্রো- এবং অ্যারোডাইনামিকস, স্থিতিস্থাপকতা তত্ত্ব ইত্যাদি।

জটিল সংখ্যা আকারে লেখা আছে: z= ক+ দ্বি. এখানে কএবং খ – বাস্তব সংখ্যা, এ i – কাল্পনিক একক, যেমনe. i 2 = -1। সংখ্যা কডাকা abscissa, ক খ -আদেশ করাজটিল সংখ্যা ক+ দ্বি. দুটি জটিল সংখ্যা ক+ দ্বিএবং a-biবলা হয় সংঘবদ্ধজটিল সংখ্যা।

বৈশিষ্ট্য:

1. বাস্তব সংখ্যা কজটিল সংখ্যা আকারেও লেখা যেতে পারে: ক+ 0iবা একটি - 0i. উদাহরণস্বরূপ 5 + 0 iএবং 5 – 0 iমানে একই সংখ্যা 5।

2. কমপ্লেক্স নম্বর 0 + দ্বিডাকা সম্পূর্ণ কাল্পনিক সংখ্যা. রেকর্ড দ্বিমানে 0 এর মতই + দ্বি.

3. দুটি জটিল সংখ্যা ক+ দ্বিএবং গ+ diসমান বিবেচিত হয় যদি ক= গএবং খ= d. অন্যথায় জটিল সংখ্যাসমান না

কর্ম:

সংযোজন। জটিল সংখ্যার যোগফল ক+ দ্বিএবং গ+ diএকটি জটিল সংখ্যা বলা হয় ( ক+ গ) + (খ+ d)i. এইভাবে, জটিল সংখ্যা যোগ করার সময়, তাদের abscissas এবং ordinates আলাদাভাবে যোগ করা হয়।

বিয়োগ. দুটি জটিল সংখ্যার পার্থক্য ক+ দ্বি(হ্রাস) এবং গ+ di(সাবট্রাহেন্ড) একটি জটিল সংখ্যা বলা হয় ( a–c) + (b–d)i. এইভাবে, দুটি জটিল সংখ্যা বিয়োগ করার সময়, তাদের অ্যাবসিসাস এবং অর্ডিনেটগুলি আলাদাভাবে বিয়োগ করা হয়।

গুণ. জটিল সংখ্যার গুণফল ক+ দ্বিএবং গ+ diএকটি জটিল সংখ্যা বলা হয়:

(ac–bd) + (বিজ্ঞাপন+ bc)i. এই সংজ্ঞা দুটি প্রয়োজনীয়তা থেকে অনুসরণ করে:

1) সংখ্যা ক+ দ্বিএবং গ+ diবীজগাণিতিক দ্বিপদীর মত গুণ করতে হবে,

2) সংখ্যা iপ্রধান সম্পত্তি আছে: i 2 = –1.

উদাহরণ ( a+ দ্বি)(a-bi)= ক 2 + খ 2 . তাই, কাজদুটি সমন্বিত জটিল সংখ্যা একটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার সমান।

বিভাগ। একটি জটিল সংখ্যা ভাগ করুন ক+ দ্বি(বিভাজ্য) অন্যের দ্বারা গ+ di (বিভাজক) - মানে তৃতীয় সংখ্যা খুঁজে বের করা e+ f i(চ্যাট), যা ভাজক দ্বারা গুণিত হলে গ+ di, লভ্যাংশ ফলাফল ক+ দ্বি. ভাজক শূন্য না হলে, বিভাজন সর্বদা সম্ভব।

উদাহরণ খুঁজুন (8 + i) : (2 – 3i) .

সমাধান একটি ভগ্নাংশ হিসাবে এই অনুপাত পুনরায় লিখুন:

এর লব এবং হরকে 2 + 3 দ্বারা গুণ করা হচ্ছে iএবং সমস্ত রূপান্তর সম্পাদন করার পরে, আমরা পাই:

কাজ 1: z যোগ করুন, বিয়োগ করুন, গুণ করুন এবং ভাগ করুন 1 z এর উপর 2

বর্গমূল বের করা: সমীকরণটি সমাধান করুন x 2 = -ক এই সমীকরণ সমাধান করতেআমরা একটি নতুন ধরণের সংখ্যা ব্যবহার করতে বাধ্য হচ্ছি - কাল্পনিক সংখ্যা . এইভাবে, কাল্পনিক নম্বরটি বলা হয় যার দ্বিতীয় শক্তি একটি ঋণাত্মক সংখ্যা. কাল্পনিক সংখ্যার এই সংজ্ঞা অনুসারে আমরা সংজ্ঞায়িত করতে পারি এবং কাল্পনিক ইউনিট:

তারপর সমীকরণের জন্য x 2 = – 25 আমরা দুটি পাই কাল্পনিকমূল:

টাস্ক 2: সমীকরণটি সমাধান করুন:

1) এক্স 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121

জটিল সংখ্যার জ্যামিতিক উপস্থাপনা। বাস্তব সংখ্যাগুলিকে সংখ্যারেখার বিন্দু দ্বারা উপস্থাপন করা হয়:

এখানে বিন্দু কমানে সংখ্যা -3, বিন্দু খ- নম্বর 2, এবং ও-শূন্য। বিপরীতে, জটিল সংখ্যাগুলি স্থানাঙ্ক সমতলে বিন্দু দ্বারা উপস্থাপিত হয়। এই উদ্দেশ্যে, আমরা উভয় অক্ষে একই স্কেল সহ আয়তক্ষেত্রাকার (কার্টেসিয়ান) স্থানাঙ্ক নির্বাচন করি। তারপর জটিল সংখ্যা ক+ দ্বিএকটি বিন্দু দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হবে আবসিসা সহ পিক এবং নির্দেশখ. এই সমন্বয় সিস্টেম বলা হয় জটিল সমতল .

মডিউল জটিল সংখ্যা হল ভেক্টরের দৈর্ঘ্য ওপি, স্থানাঙ্কে একটি জটিল সংখ্যা প্রতিনিধিত্ব করে ( ব্যাপক) সমতল। একটি জটিল সংখ্যার মডুলাস ক+ দ্বিচিহ্নিত | ক+ দ্বি| বা) চিঠি rএবং এর সমান:

সমন্বিত জটিল সংখ্যাগুলির একই মডুলাস রয়েছে।

একটি ড্রয়িং আপ করার নিয়মগুলি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক সিস্টেমে অঙ্কনের জন্য প্রায় একই অক্ষগুলির সাথে আপনাকে মাত্রা সেট করতে হবে, নোট করুন:

e
বাস্তব অক্ষ বরাবর ইউনিট; রেজ

কাল্পনিক অক্ষ বরাবর কাল্পনিক একক। আমি z

কাজ 3. জটিল সমতলে নিম্নলিখিত জটিল সংখ্যাগুলি তৈরি করুন: , , , , , , ,

1. সংখ্যাগুলি সঠিক এবং আনুমানিক।অনুশীলনে আমরা যে সংখ্যার মুখোমুখি হই তা দুই ধরনের। কিছু পরিমাণের প্রকৃত মান দেয়, অন্যরা শুধুমাত্র আনুমানিক। প্রথমটিকে সঠিক বলা হয়, দ্বিতীয়টিকে আনুমানিক বলা হয়। প্রায়শই সঠিক সংখ্যার পরিবর্তে একটি আনুমানিক সংখ্যা ব্যবহার করা সুবিধাজনক, বিশেষত যেহেতু অনেক ক্ষেত্রে সঠিক সংখ্যা খুঁজে পাওয়া অসম্ভব।

সুতরাং, যদি তারা বলে যে একটি ক্লাসে 29 জন শিক্ষার্থী আছে, তাহলে 29 নম্বরটি সঠিক। যদি তারা বলে যে মস্কো থেকে কিয়েভের দূরত্ব 960 কিলোমিটার, তবে এখানে 960 নম্বরটি আনুমানিক, যেহেতু একদিকে, আমাদের পরিমাপ যন্ত্রগুলি একেবারে সঠিক নয়, অন্যদিকে, শহরগুলির নিজেরাই একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ রয়েছে।

আনুমানিক সংখ্যা সহ কর্মের ফলাফলও একটি আনুমানিক সংখ্যা। সঠিক সংখ্যার উপর কিছু ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করে (বিভাগ, মূল নিষ্কাশন), আপনি আনুমানিক সংখ্যাও পেতে পারেন।

আনুমানিক গণনার তত্ত্ব অনুমতি দেয়:

1) ডেটার নির্ভুলতার ডিগ্রি জেনে, ফলাফলের নির্ভুলতার ডিগ্রি মূল্যায়ন করুন;

2) ফলাফলের প্রয়োজনীয় নির্ভুলতা নিশ্চিত করার জন্য পর্যাপ্ত পরিমাণ নির্ভুলতার সাথে ডেটা নিন;

3) গণনা প্রক্রিয়াটিকে যুক্তিযুক্ত করুন, এটিকে সেই গণনা থেকে মুক্ত করুন যা ফলাফলের নির্ভুলতাকে প্রভাবিত করবে না।

2. বৃত্তাকার।আনুমানিক সংখ্যা প্রাপ্তির একটি উৎস হল রাউন্ডিং। আনুমানিক এবং সঠিক সংখ্যা উভয়ই বৃত্তাকার।

প্রদত্ত সংখ্যাকে একটি নির্দিষ্ট অঙ্কে বৃত্তাকার করাকে একটি নতুন সংখ্যা দিয়ে প্রতিস্থাপন করাকে বলা হয়, যেটি এই সংখ্যার অঙ্কের ডানদিকে লেখা সমস্ত সংখ্যা বাতিল করে বা শূন্য দিয়ে প্রতিস্থাপন করে প্রদত্ত থেকে পাওয়া যায়। এই শূন্য সাধারণত আন্ডারলাইন বা ছোট লেখা হয়। বৃত্তাকার সংখ্যাটি বৃত্তাকার সংখ্যার যতটা সম্ভব কাছাকাছি রয়েছে তা নিশ্চিত করতে, আপনার নিম্নলিখিত নিয়মগুলি ব্যবহার করা উচিত: একটি সংখ্যাকে একটি নির্দিষ্ট অঙ্কের একটিতে বৃত্তাকার করতে, আপনাকে অবশ্যই এই সংখ্যার অঙ্কের পরে সমস্ত সংখ্যা বাতিল করতে হবে এবং প্রতিস্থাপন করতে হবে পূর্ণ সংখ্যায় শূন্য সহ তাদের। নিম্নলিখিতগুলি বিবেচনায় নেওয়া হয়:

1) যদি বাতিল করা অঙ্কগুলির প্রথম (বাম দিকে) 5 এর কম হয়, তবে শেষ অবশিষ্ট সংখ্যাটি পরিবর্তন করা হয় না (নিচে রাউন্ডিং);

2) যদি বাতিল করা প্রথম অঙ্কটি 5-এর বেশি বা 5-এর সমান হয়, তাহলে শেষ অঙ্ক বাম এক দ্বারা বৃদ্ধি করা হয় (অতিরিক্তের সাথে বৃত্তাকার)।

আসুন উদাহরণ সহ এটি দেখাই। বৃত্তাকার:

ক) দশম 12.34 পর্যন্ত;

খ) শততম থেকে ৩.২৪৬৫; 1038.785;

গ) হাজারতম 3.4335 পর্যন্ত।

ঘ) হাজার 12375 পর্যন্ত; 320729।

ক) 12.34 ≈ 12.3;

খ) 3.2465 ≈ 3.25; 1038.785 ≈ 1038.79;

গ) 3.4335 ≈ 3.434।

ঘ) 12375 ≈ 12,000; 320729 ≈ 321000।

3. পরম এবং আপেক্ষিক ত্রুটি.সঠিক সংখ্যা এবং এর আনুমানিক মানের মধ্যে পার্থক্যকে আনুমানিক সংখ্যার পরম ত্রুটি বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি সঠিক সংখ্যা 1.214টিকে নিকটতম দশম সংখ্যায় বৃত্তাকার করা হয়, আমরা 1.2 এর আনুমানিক সংখ্যা পাব। এই ক্ষেত্রে, আনুমানিক সংখ্যা 1.2 এর পরম ত্রুটি হল 1.214 - 1.2, i.e. 0.014।

কিন্তু বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, বিবেচনাধীন মানের সঠিক মান অজানা, তবে শুধুমাত্র একটি আনুমানিক। তারপর পরম ত্রুটি অজানা. এই ক্ষেত্রে, সীমা নির্দেশ করুন যে এটি অতিক্রম না। এই সংখ্যাটিকে সীমাবদ্ধ পরম ত্রুটি বলা হয়। তারা বলে যে একটি সংখ্যার সঠিক মান প্রান্তিক ত্রুটির চেয়ে কম ত্রুটি সহ তার আনুমানিক মানের সমান। উদাহরণস্বরূপ, 23.71 সংখ্যাটি 0.01 এর নির্ভুলতা সহ 23.7125 সংখ্যার একটি আনুমানিক মান, যেহেতু আনুমানিকতার পরম ত্রুটিটি 0.0025 এবং 0.01 এর কম। এখানে সীমিত পরম ত্রুটি 0.01 *।

আনুমানিক সংখ্যার সীমানা পরম ত্রুটি কΔ চিহ্ন দ্বারা চিহ্নিত ক. রেকর্ড

x≈ক(±Δ ক)

নিম্নরূপ বোঝা উচিত: পরিমাণ সঠিক মান xসংখ্যার মধ্যে আছে ক– Δ কএবং ক+ Δ ক, যাকে যথাক্রমে নিম্ন এবং উপরের সীমানা বলা হয় এক্সএবং NG বোঝান xভিজি এক্স.

উদাহরণস্বরূপ, যদি x≈ 2.3 (±0.1), তারপর 2.2<x< 2,4.

তদ্বিপরীত, যদি 7.3< এক্স< 7,4, тоএক্স≈ 7.35 (±0.05)। পরম বা প্রান্তিক পরম ত্রুটি সম্পাদিত পরিমাপের গুণমানকে চিহ্নিত করে না। যে সংখ্যা দিয়ে পরিমাপ করা মান প্রকাশ করা হয়েছে তার উপর নির্ভর করে একই পরম ত্রুটিটিকে তাৎপর্যপূর্ণ এবং নগণ্য বলে বিবেচনা করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা এক কিলোমিটারের নির্ভুলতার সাথে দুটি শহরের মধ্যে দূরত্ব পরিমাপ করি, তাহলে এই পরিবর্তনের জন্য এই ধরনের নির্ভুলতা যথেষ্ট, কিন্তু একই সময়ে, একই রাস্তায় দুটি বাড়ির মধ্যে দূরত্ব পরিমাপ করার সময়, এই ধরনের নির্ভুলতা হবে অগ্রহণযোগ্য ফলস্বরূপ, একটি পরিমাণের আনুমানিক মানের নির্ভুলতা শুধুমাত্র পরম ত্রুটির মাত্রার উপর নয়, পরিমাপ করা পরিমাণের মানের উপরও নির্ভর করে। অতএব, আপেক্ষিক ত্রুটি নির্ভুলতার একটি পরিমাপ।

আপেক্ষিক ত্রুটি হল আনুমানিক সংখ্যার মানের সাথে পরম ত্রুটির অনুপাত। আনুমানিক সংখ্যার সাথে সীমাবদ্ধ পরম ত্রুটির অনুপাতকে সীমাবদ্ধ আপেক্ষিক ত্রুটি বলা হয়; তারা এটি এই মত মনোনীত: . আপেক্ষিক এবং প্রান্তিক আপেক্ষিক ত্রুটিগুলি সাধারণত শতাংশ হিসাবে প্রকাশ করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি পরিমাপ দেখায় যে দূরত্ব এক্সদুটি বিন্দুর মধ্যে 12.3 কিলোমিটারের বেশি, কিন্তু 12.7 কিলোমিটারের কম, তাহলে এই দুটি সংখ্যার গাণিতিক গড়টি তার আনুমানিক মান হিসাবে নেওয়া হয়, যেমন তাদের অর্ধ-সমষ্টি, তারপর প্রান্তিক পরম ত্রুটি এই সংখ্যাগুলির অর্ধ-পার্থক্যের সমান। এই ক্ষেত্রে এক্স≈ 12.5 (±0.2)। এখানে সীমাবদ্ধ পরম ত্রুটি 0.2 কিমি, এবং সীমাবদ্ধ আপেক্ষিক

সংখ্যা অনেক ধরনের আছে, তার মধ্যে একটি হল পূর্ণসংখ্যা। পূর্ণসংখ্যাগুলি কেবল ইতিবাচক দিক নয়, নেতিবাচক দিক থেকেও গণনা করা সহজ করে তোলে।

আসুন একটি উদাহরণ দেখি:
দিনের বেলা বাইরের তাপমাত্রা ছিল ৩ ডিগ্রি। সন্ধ্যা নাগাদ তাপমাত্রা কমেছে ৩ ডিগ্রি।
3-3=0
এটি বাইরে 0 ডিগ্রি হয়ে গেছে। এবং রাতে তাপমাত্রা 4 ডিগ্রি কমে যায় এবং থার্মোমিটার দেখাতে শুরু করে -4 ডিগ্রি।
0-4=-4

পূর্ণসংখ্যার একটি সিরিজ।

আমরা প্রাকৃতিক সংখ্যা ব্যবহার করে এই ধরনের সমস্যা বর্ণনা করতে পারি না;

আমরা সংখ্যার একটি সিরিজ পেয়েছি:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

সংখ্যার এই সিরিজ বলা হয় পূর্ণসংখ্যার সিরিজ.

ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

পূর্ণসংখ্যার সিরিজ ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক সংখ্যা নিয়ে গঠিত। শূন্যের ডানদিকে প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি রয়েছে বা তাদের বলা হয় ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা. এবং তারা শূন্যের বামে যায় ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

শূন্য একটি ধনাত্মক বা ঋণাত্মক সংখ্যা নয়। এটি ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক সংখ্যার মধ্যে সীমানা।

প্রাকৃতিক সংখ্যা, ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং শূন্য সমন্বিত সংখ্যাগুলির একটি সেট।

একটি ধনাত্মক এবং নেতিবাচক দিকে পূর্ণসংখ্যার একটি সিরিজ একটি অসীম সংখ্যা।

আমরা যদি যেকোনো দুটি পূর্ণসংখ্যা নিই, তাহলে এই পূর্ণসংখ্যার মধ্যবর্তী সংখ্যাগুলোকে বলা হবে সসীম সেট।

যেমন:
আসুন -2 থেকে 4 পর্যন্ত পূর্ণসংখ্যা নিই। এই সংখ্যাগুলির মধ্যে সমস্ত সংখ্যা সসীম সেটের অন্তর্ভুক্ত। আমাদের সংখ্যার চূড়ান্ত সেট এইরকম দেখাচ্ছে:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

প্রাকৃতিক সংখ্যা ল্যাটিন অক্ষর N দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
পূর্ণসংখ্যাগুলি ল্যাটিন অক্ষর Z দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। প্রাকৃতিক সংখ্যা এবং পূর্ণসংখ্যার সম্পূর্ণ সেট একটি ছবিতে চিত্রিত করা যেতে পারে।


অ-ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাঅন্য কথায়, তারা ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা।
অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যাধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।