উদাহরণ 1

দুটি জটিল সংখ্যা যোগ করুন,

দুটি জটিল সংখ্যা যোগ করার জন্য, আপনাকে তাদের বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশ যোগ করতে হবে:

সহজ, তাই না? ক্রিয়াটি এতটাই স্পষ্ট যে এটির জন্য অতিরিক্ত মন্তব্যের প্রয়োজন নেই।

এই সহজ উপায়ে আপনি যেকোনো সংখ্যক পদের যোগফল খুঁজে পেতে পারেন: বাস্তব অংশের যোগফল এবং কাল্পনিক অংশের যোগফল।

জটিল সংখ্যার জন্য, প্রথম শ্রেণীর নিয়মটি বৈধ:

- শর্তাবলী পুনর্বিন্যাস যোগফল পরিবর্তন করে না.

জটিল সংখ্যা বিয়োগ করা

উদাহরণ 2

জটিল সংখ্যার পার্থক্য খুঁজুন এবং, যদি,

ক্রিয়াটি যোগের অনুরূপ, একমাত্র বিশেষত্ব হল সাবট্রাহেন্ডটি অবশ্যই বন্ধনীতে রাখতে হবে, এবং তারপর বন্ধনীগুলি অবশ্যই চিহ্নের পরিবর্তনের সাথে আদর্শ উপায়ে খুলতে হবে:

ফলাফল বিভ্রান্তিকর হওয়া উচিত নয়; সহজভাবে আসল অংশ হল যৌগ: . স্পষ্টতার জন্য, উত্তরটি নিম্নরূপ পুনর্লিখন করা যেতে পারে:

আসুন দ্বিতীয় পার্থক্যটি গণনা করি:

এখানে আসল অংশটিও যৌগিক:

কোনো অবমূল্যায়ন এড়াতে, আমি একটি "খারাপ" কাল্পনিক অংশ সহ একটি ছোট উদাহরণ দেব: . এখানে আপনি বন্ধনী ছাড়া আর করতে পারবেন না।

জটিল সংখ্যা গুণ করা

বিখ্যাত সমতার সাথে আপনাকে পরিচয় করিয়ে দেওয়ার সময় এসেছে:

উদাহরণ 3

জটিল সংখ্যার গুণফল বের কর,

স্পষ্টতই, কাজটি এভাবে লেখা উচিত:

এই পরামর্শ কি? এটি বহুপদী গুণনের নিয়ম অনুসারে বন্ধনীগুলি খুলতে অনুরোধ করে। যে আপনি কি করতে হবে! সমস্ত বীজগাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলি আপনার কাছে পরিচিত, প্রধান জিনিসটি এটি মনে রাখা এবং সতর্ক থাকুন.

বহুপদী গুণের জন্য স্কুলের নিয়মের পুনরাবৃত্তি করা যাক: একটি বহুপদকে বহুপদী দ্বারা গুণ করার জন্য, আপনাকে একটি বহুপদীর প্রতিটি পদকে অন্য বহুপদীর প্রতিটি পদ দ্বারা গুণ করতে হবে।

আমি এটি বিস্তারিতভাবে লিখব:

আমি আশা করি এটা সবার কাছে পরিষ্কার ছিল

মনোযোগ, এবং আবার মনোযোগ, প্রায়শই চিহ্নগুলিতে ভুল করা হয়।

যোগফলের মতো, জটিল সংখ্যার গুণফল পরিবর্তনযোগ্য, অর্থাৎ, সমতা সত্য: .

শিক্ষামূলক সাহিত্যে এবং ইন্টারনেটে, জটিল সংখ্যার গুণফল গণনার জন্য একটি বিশেষ সূত্র খুঁজে পাওয়া সহজ। আপনি যদি চান তবে এটি ব্যবহার করুন, কিন্তু আমার কাছে মনে হচ্ছে বহুপদী গুন করার পদ্ধতিটি আরও সর্বজনীন এবং স্পষ্ট। আমি সূত্র দেব না;

জটিল সংখ্যার বিভাজন

উদাহরণ 4

জটিল নম্বর দেওয়া আছে। ভাগফল বের কর।

একটি ভাগফল তৈরি করা যাক:

সংখ্যার বিভাজন করা হয় হর এবং লবকে হর এর সংযোজিত রাশি দ্বারা গুণ করে.

আসুন দাড়ি রাখার সূত্রটি মনে করি এবং আমাদের তাকান হর: হর আগে থেকেই আছে, তাই এই ক্ষেত্রে কনজুগেট এক্সপ্রেশন হল, অর্থাৎ

নিয়ম অনুসারে, হরকে অবশ্যই গুন করতে হবে, এবং, যাতে কিছুই পরিবর্তন না হয়, লবটিকে অবশ্যই একই সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে হবে:

আমি এটি বিস্তারিতভাবে লিখব:

কিছু ক্ষেত্রে, একটি ভগ্নাংশ ভাগ করার আগে, এটি সরলীকরণ করার পরামর্শ দেওয়া হয়, উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যার ভাগফল বিবেচনা করুন: . ভাগ করার আগে, আমরা অপ্রয়োজনীয় বিয়োগ থেকে পরিত্রাণ পাই: লব এবং হর-এ আমরা বিয়োগগুলি বন্ধনী থেকে বের করি এবং এই বিয়োগগুলি হ্রাস করি: . যারা সমস্যা সমাধান করতে পছন্দ করেন, তাদের জন্য এখানে সঠিক উত্তর রয়েছে:

কদাচিৎ, কিন্তু নিম্নলিখিত কাজটি ঘটে:

উদাহরণ 5

কৌশলটি একই - আমরা একটি জটিল সংখ্যা দিয়ে হর এবং লবকে গুণ করি। প্রদত্ত সংখ্যাটি বীজগণিত আকারে লিখুন (অর্থাৎ ফর্ম)।

হর অভিব্যক্তি। আসুন আবার সূত্রটি দেখি। হরটি ইতিমধ্যেই বিদ্যমান, তাই হর এবং লবকে কনজুগেট এক্সপ্রেশন দ্বারা গুণ করতে হবে, অর্থাৎ:

উদাহরণ 6

দুটি জটিল সংখ্যা দেওয়া হয়েছে,. তাদের যোগফল, পার্থক্য, গুণফল এবং ভাগফল খুঁজুন।

জটিল সংখ্যা।একটি জটিল সংখ্যা হল z=a+biabRi2=−1 ফর্মের একটি সংখ্যা

মন্তব্য করুন।
আসল সংখ্যা a হল z সংখ্যার আসল অংশ এবং a=Rez দ্বারা চিহ্নিত করা হয়
আসল সংখ্যা b হল z সংখ্যার কাল্পনিক অংশ এবং b=Imz নির্দেশ করা হয়
বাস্তব সংখ্যাগুলি সংখ্যার একটি সম্পূর্ণ সেট এবং তাদের উপর ক্রিয়াকলাপ উপস্থাপন করে, যা মনে হয়, একটি গণিত কোর্সে যে কোনও সমস্যা সমাধানের জন্য যথেষ্ট হওয়া উচিত। কিন্তু বাস্তব সংখ্যা x2+1=0 এই ধরনের একটি সমীকরণ কিভাবে সমাধান করবেন? সংখ্যার আরেকটি এক্সটেনশন আছে - জটিল সংখ্যা। জটিল সংখ্যা থেকে আপনি শিকড় নিতে পারেন নেতিবাচক সংখ্যা.
একটি জটিল সংখ্যার বীজগণিতীয় রূপ।একটি জটিল সংখ্যার বীজগণিত রূপ হল z=a+bi(aRbRi2=−1)

মন্তব্য করুন। যদি a=ReZ=0b=Imz=0 হয়, তাহলে z সংখ্যাটিকে কাল্পনিক বলা হয়। যদি a=ReZ=0b=Imz=0, তাহলে z সংখ্যাটিকে সম্পূর্ণ কাল্পনিক বলা হয়

বাস্তব সংখ্যার জ্যামিতিক ব্যাখ্যা হল বাস্তব রেখা। উপরন্তু, বাস্তব লাইনে "নতুন বিন্দুর জন্য কোন স্থান নেই" অর্থাৎ, বাস্তব অক্ষের যেকোনো বিন্দু একটি বাস্তব সংখ্যার সাথে মিলে যায়। ফলস্বরূপ, এই লাইনে জটিল সংখ্যা স্থাপন করা আর সম্ভব নয়, তবে আমরা বাস্তব অক্ষের সাথে বিবেচনা করার চেষ্টা করতে পারি যার উপর আমরা জটিল সংখ্যার আসল অংশটি প্লট করব, এটির লম্ব আরেকটি অক্ষ; আমরা এটাকে কাল্পনিক অক্ষ বলব। তাহলে যেকোন জটিল সংখ্যা z = a + ib স্থানাঙ্ক সমতলের একটি বিন্দুর সাথে যুক্ত হতে পারে। আমরা অ্যাবসিসা অক্ষের উপর একটি জটিল সংখ্যার বাস্তব অংশ এবং অর্ডিনেট অক্ষের কাল্পনিক অংশটি প্লট করব। এইভাবে, সমস্ত জটিল সংখ্যা এবং সমতলের সমস্ত বিন্দুর মধ্যে একটি এক থেকে এক চিঠিপত্র প্রতিষ্ঠিত হয়। যদি এমন একটি চিঠিপত্র নির্মিত হয়, তাহলে সমতল সমন্বয়জটিল সমতল বলা হয়। জটিল সংখ্যা z = a + b i এর ব্যাখ্যা হল O(a,b) বিন্দুতে O(0,0) শুরু এবং A(a,b) বিন্দুতে সমাপ্তি সহ স্থানাঙ্ক সহ ভেক্টর OA

সংযুক্ত সংখ্যা। z=a+bi এবং z=a−bi সংখ্যাগুলোকে বলা হয় সমন্বিত জটিল সংখ্যা

সম্পত্তি। দুটি সমন্বিত জটিল সংখ্যার যোগফল এবং গুণফল হল বাস্তব সংখ্যা: z+z=2azz=a2+b2

বিপরীত সংখ্যা। z=a+bi এবং −z=−a−bi সংখ্যাগুলোকে বিপরীত জটিল সংখ্যা বলা হয়।

সম্পত্তি। দুটি বিপরীত জটিল সংখ্যার যোগফল শূন্য:
z+(−z)=0

সমান সংখ্যা। দুটি জটিল সংখ্যাকে সমান বলা হয় যদি তাদের বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশ সমান হয়।

বীজগাণিতিক আকারে দেওয়া জটিল সংখ্যা সহ ক্রিয়া:

যোগের বৈশিষ্ট্য: দুটি জটিল সংখ্যা z1=a+bi এবং z2=c+di এর যোগফল z=z1+z2=a+bi+c+di=a+c+(b+d) ফর্মের একটি জটিল সংখ্যা হবে ) i
উদাহরণ: 5+3i+3−i=8+2i

বিয়োগের বৈশিষ্ট্য: দুটি জটিল সংখ্যা z1=a+bi এবং z2=c+di এর পার্থক্য z=z1−z2=a+bi−c+di=a−c+(b−d) ফর্মের একটি জটিল সংখ্যা হবে। i

উদাহরণ: . 5+3i−3−i=2+4i

গুণের বৈশিষ্ট্য: দুটি জটিল সংখ্যা z1=a+bi এবং z2=c+di এর গুণফল z=z1z2=a+bic+di=ac−bd+(ad+bc)i ফর্মের একটি জটিল সংখ্যা হবে।

উদাহরণ: 3+2i4−i=12−3i+8i−2i2=14+5i

ভাগের বৈশিষ্ট্য: দুটি জটিল সংখ্যা z1=a+bi এবং z2=c+di এর ভাগফল z=z2z1=c+dia+bi=c2+d2ac+bd+c2+d2bc−adi ফর্মের একটি জটিল সংখ্যা হবে।

উদাহরণ: . 1+i2+i=1+i1−i2+i1−i=1−i22−2i+i−i2=23−21i

ত্রিকোণমিতিক আকারে দেওয়া জটিল সংখ্যা সহ ক্রিয়াকলাপ
z=rcos+isin আকারে একটি জটিল সংখ্যা z = a + bi লিখলে তাকে জটিল সংখ্যার ত্রিকোণমিতিক রূপ বলে।

একটি জটিল সংখ্যার মডুলাস: r=a2+b2

জটিল সংখ্যা যুক্তি: cos=rasin=rb

কাল্পনিক এবং জটিল সংখ্যা

অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ বিবেচনা করুন:
x 2 = a,
যেখানে a একটি পরিচিত পরিমাণ। এই সমীকরণের সমাধান এভাবে লেখা যেতে পারে:
এখানে তিনটি সম্ভাব্য কেস আছে:

1)। a = 0 হলে, x = 0।

2)। a যদি একটি ধনাত্মক সংখ্যা হয়, তাহলে তার বর্গমূলএর দুটি অর্থ রয়েছে: একটি ইতিবাচক, অন্যটি নেতিবাচক; উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণ x 2 = 25 এর দুটি মূল রয়েছে: 5 এবং – 5। এটি প্রায়শই একটি দ্বিমূল হিসাবে লেখা হয়:
3) যদি a একটি ঋণাত্মক সংখ্যা হয়, তবে এই সমীকরণটি আমাদের কাছে পরিচিত ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক সংখ্যাগুলির মধ্যে কোনও সমাধান নেই, কারণ যে কোনও সংখ্যার দ্বিতীয় শক্তি একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা (এটি সম্পর্কে চিন্তা করুন!)। কিন্তু যদি আমরা সমীকরণ x 2 = a এর জন্যও সমাধান পেতে চাই নেতিবাচক মানঠিক আছে, আমরা একটি নতুন ধরণের সংখ্যা প্রবর্তন করতে বাধ্য হচ্ছি - কাল্পনিক সংখ্যা। সুতরাং, একটি সংখ্যা যার দ্বিতীয় শক্তি একটি ঋণাত্মক সংখ্যা বলা হয় কাল্পনিক। কাল্পনিক সংখ্যার এই সংজ্ঞা অনুসারে, আমরা একটি কাল্পনিক একককেও সংজ্ঞায়িত করতে পারি:
তারপর x 2 = – 25 সমীকরণের জন্য আমরা দুটি কাল্পনিক মূল পাই:
আমাদের সমীকরণে এই দুটি মূলকে প্রতিস্থাপন করে, আমরা পরিচয়টি পাই। (চেক করুন!) কাল্পনিক সংখ্যার বিপরীতে, অন্যান্য সমস্ত সংখ্যাকে (ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক, পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশ, মূলদ এবং অমূলদ) বলা হয় বাস্তব বা বাস্তব সংখ্যা। একটি বাস্তব এবং একটি কাল্পনিক সংখ্যার যোগফলকে একটি জটিল সংখ্যা বলা হয় এবং এটি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়:

যেখানে a, b বাস্তব সংখ্যা, i একটি কাল্পনিক একক।

জটিল সংখ্যার উদাহরণ: 3 + 4 i, 7 – 13.6 i, 0 + 25 i = 25 i, 2 + i।

বিষয়জটিল সংখ্যা এবং বহুপদ

বক্তৃতা 22

§1। জটিল সংখ্যা: মৌলিক সংজ্ঞা

প্রতীক অনুপাত দ্বারা প্রবর্তিত হয়
এবং কাল্পনিক একক বলা হয়। অন্য কথায়,
.

সংজ্ঞা। রূপের অভিব্যক্তি
, কোথায়
, একটি জটিল সংখ্যা বলা হয়, এবং সংখ্যা একটি জটিল সংখ্যার প্রকৃত অংশ বলা হয় এবং বোঝান
, সংখ্যা - কাল্পনিক অংশ এবং বোঝান
.

এই সংজ্ঞা থেকে এটি অনুসরণ করে যে বাস্তব সংখ্যা হল সেই জটিল সংখ্যা যার কাল্পনিক অংশ শূন্যের সমান।

একটি সমতলের বিন্দু দ্বারা জটিল সংখ্যাগুলি উপস্থাপন করা সুবিধাজনক যেখানে একটি কার্টেসিয়ান আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম দেওয়া আছে, যথা: একটি জটিল সংখ্যা
একটি বিন্দুর সাথে মিলে যায়
এবং তদ্বিপরীত। অক্ষে
চিত্রিত করা হয় বাস্তব সংখ্যাএবং একে বাস্তব অক্ষ বলা হয়। ফর্মের জটিল সংখ্যা

বলা হয় সম্পূর্ণ কাল্পনিক। তারা অক্ষের বিন্দু দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়
, যাকে কাল্পনিক অক্ষ বলা হয়। এই সমতল, যা জটিল সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করে, তাকে জটিল সমতল বলা হয়। একটি জটিল সংখ্যা যা বাস্তব নয়, যেমন যেমন
, কখনও কখনও কাল্পনিক বলা হয়।

দুটি জটিল সংখ্যাকে সমান বলা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তাদের বাস্তব এবং কাল্পনিক উভয় অংশই একই হয়।

জটিল সংখ্যার যোগ, বিয়োগ এবং গুণন বহুপদী বীজগণিতের স্বাভাবিক নিয়ম অনুযায়ী করা হয়, এই বিষয়টি বিবেচনায় নিয়ে

. বিভাজন ক্রিয়াকে গুণন ক্রিয়াকলাপের বিপরীত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে এবং ফলাফলের স্বতন্ত্রতা প্রমাণ করা যেতে পারে (যদি ভাজকটি শূন্য হয় না)। যাইহোক, বাস্তবে একটি ভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়।

জটিল সংখ্যা
এবং
জটিল সমতলে এগুলিকে বাস্তব অক্ষের প্রতিসম বিন্দু দ্বারা উপস্থাপিত করা হয়। এটা স্পষ্ট যে:

1)

;

2)
;

3)
.

এখন বিভক্ত অন নিম্নলিখিত হিসাবে করা যেতে পারে:

.

এটা দেখানো কঠিন নয়

,

প্রতীক কোথায় কোন পাটিগণিত অপারেশন জন্য দাঁড়িয়েছে.

যাক
কিছু কাল্পনিক সংখ্যা, এবং - বাস্তব পরিবর্তনশীল। দুটি দ্বিপদীর গুণফল

বাস্তব সহগ সহ একটি দ্বিঘাত ত্রিনামিক।

এখন, আমাদের হাতে জটিল সংখ্যা থাকায়, আমরা যেকোনো দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে পারি
.যদি, তাহলে

এবং সমীকরণের দুটি জটিল সংযোজিত মূল রয়েছে

.

যদি
, তারপর সমীকরণ দুটি ভিন্ন বাস্তব মূল আছে. যদি
, তাহলে সমীকরণটির দুটি অভিন্ন মূল রয়েছে।

§2। একটি জটিল সংখ্যার ত্রিকোণমিতিক রূপ

উপরে উল্লিখিত হিসাবে, একটি জটিল সংখ্যা
একটি বিন্দু হিসাবে উপস্থাপন সুবিধাজনক
. এই সংখ্যাটি এই বিন্দুর ব্যাসার্ধ ভেক্টর দিয়েও চিহ্নিত করা যেতে পারে
. এই ব্যাখ্যার মাধ্যমে, ভেক্টরের যোগ ও বিয়োগের নিয়ম অনুযায়ী জটিল সংখ্যার যোগ ও বিয়োগ করা হয়। জটিল সংখ্যাগুলিকে গুণ ও ভাগ করার জন্য, আরেকটি ফর্ম আরও সুবিধাজনক।

জটিল সমতলে পরিচয় করিয়ে দেওয়া যাক
মেরু সমন্বয় সিস্টেম। তাহলে কোথায়
,
এবং জটিল সংখ্যা
হিসাবে লেখা যেতে পারে:

স্বরলিপির এই ফর্মটিকে ত্রিকোণমিতিক বলা হয় (বীজগণিতীয় ফর্মের বিপরীতে
) এই ফর্ম সংখ্যা একটি মডিউল বলা হয়, এবং - একটি জটিল সংখ্যার যুক্তি . তারা মনোনীত করা হয়:
,

. মডিউলের জন্য আমাদের কাছে সূত্র আছে

একটি সংখ্যার যুক্তি স্বতন্ত্রভাবে সংজ্ঞায়িত নয়, তবে একটি পদ পর্যন্ত
,
. অসমতা সন্তুষ্ট যুক্তির মান
, প্রধান এক বলা হয় এবং চিহ্নিত করা হয়
. তারপর,
. আর্গুমেন্টের প্রধান মানের জন্য, আপনি নিম্নলিখিত অভিব্যক্তি পেতে পারেন:

,

সংখ্যা যুক্তি
অনিশ্চিত বলে মনে করা হয়।

ত্রিকোণমিতিক আকারে দুটি জটিল সংখ্যার সমতার শর্তটি হল: সংখ্যাগুলির মডিউলগুলি সমান, এবং আর্গুমেন্টগুলি একাধিক দ্বারা পৃথক
.

ত্রিকোণমিতিক আকারে দুটি জটিল সংখ্যার গুণফল বের করা যাক:

সুতরাং, যখন সংখ্যাগুলি গুণ করা হয়, তাদের মডিউলগুলি গুণিত হয় এবং তাদের আর্গুমেন্ট যোগ করা হয়।

একইভাবে, আমরা স্থাপন করতে পারি যে ভাগ করার সময়, সংখ্যার মডিউলগুলি ভাগ করা হয় এবং আর্গুমেন্টগুলি বিয়োগ করা হয়।

সূচককে বারবার গুণন হিসাবে বোঝার জন্য, আমরা একটি জটিল সংখ্যাকে একটি ঘাতে উন্নীত করার জন্য একটি সূত্র পেতে পারি:

এর জন্য একটি সূত্র বের করা যাক
- মূল - একটি জটিল সংখ্যার তম ঘাত (একটি বাস্তব সংখ্যার গাণিতিক মূলের সাথে বিভ্রান্ত হবেন না!) মূল নিষ্কাশনের অপারেশনটি সূচকের ক্রিয়াকলাপের বিপরীত। এজন্যই
একটি জটিল সংখ্যা যেমন
.

যাক
পরিচিত হয়, কিন্তু
খুঁজে পাওয়া প্রয়োজন। তারপর

ত্রিকোণমিতিক আকারে দুটি জটিল সংখ্যার সমতা থেকে এটি অনুসরণ করে

,
,
.

এখান থেকে
(এটি একটি গাণিতিক মূল!),

,
.

এটা যাচাই করা সহজ শুধুমাত্র গ্রহণ করতে পারেন মূলত বিভিন্ন মান, উদাহরণস্বরূপ, কখন
. অবশেষে আমরা সূত্র আছে:

,
.

তাই মূল একটি জটিল সংখ্যার তম শক্তি আছে বিভিন্ন অর্থ। জটিল সমতলে, এই মানগুলি শীর্ষে সঠিকভাবে অবস্থিত - ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তে খোদিত একটি ত্রিভুজ
মূলে কেন্দ্রের সাথে। "প্রথম" মূলের একটি যুক্তি আছে
, দুটি "প্রতিবেশী" শিকড়ের আর্গুমেন্ট দ্বারা ভিন্ন
.

উদাহরণ। কাল্পনিক এককের কিউব রুট নেওয়া যাক:
,
,
. তারপর:

,