এই বিষয়ে ম্যাট্রিক্স যোগ এবং বিয়োগ করা, একটি সংখ্যা দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সকে গুণ করা, একটি ম্যাট্রিক্সকে একটি ম্যাট্রিক্স দ্বারা গুণ করা এবং একটি ম্যাট্রিক্স স্থানান্তর করার মতো ক্রিয়াকলাপগুলি কভার করা হবে। এই পৃষ্ঠায় ব্যবহৃত সমস্ত প্রতীক পূর্ববর্তী বিষয় থেকে নেওয়া হয়েছে।

ম্যাট্রিক্সের যোগ ও বিয়োগ।

$A_(m\times n)=(a_(ij))$ এবং $B_(m\times n)=(b_(ij))$ ম্যাট্রিক্সের $A+B$ এর যোগফলকে $C_(m) বলা হয় \times n) =(c_(ij))$, যেখানে $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ সকল $i=\overline(1,m)$ এবং $j=\overline( 1, n) $।

ম্যাট্রিক্সের পার্থক্যের জন্য একটি অনুরূপ সংজ্ঞা চালু করা হয়েছে:

$A-B$ ম্যাট্রিক্স $A_(m\times n)=(a_(ij))$ এবং $B_(m\times n)=(b_(ij))$ এর মধ্যে পার্থক্য হল $C_(m\times) ম্যাট্রিক্স n)=( c_(ij))$, যেখানে $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ $i=\overline(1,m)$ এবং $j=\overline(1, n)$।

এন্ট্রির ব্যাখ্যা $i=\overline(1,m)$: show\hide

স্বরলিপি "$i=\overline(1,m)$" মানে হল প্যারামিটার $i$ 1 থেকে m পর্যন্ত পরিবর্তিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, $i=\overline(1,5)$ এন্ট্রিটি নির্দেশ করে যে $i$ প্যারামিটারটি 1, 2, 3, 4, 5 মান নেয়।

এটি লক্ষণীয় যে যোগ এবং বিয়োগের ক্রিয়াকলাপগুলি শুধুমাত্র একই আকারের ম্যাট্রিসের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়। সাধারণভাবে, ম্যাট্রিক্সের যোগ এবং বিয়োগ হল এমন ক্রিয়াকলাপ যা স্বজ্ঞাতভাবে পরিষ্কার, কারণ তারা মূলত সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলির যোগফল বা বিয়োগকেই বোঝায়।

উদাহরণ নং 1

তিনটি ম্যাট্রিক্স দেওয়া হয়:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right)। $$

ম্যাট্রিক্স $A+F$ খুঁজে পাওয়া কি সম্ভব? $C=A+B$ এবং $D=A-B$ হলে $C$ এবং $D$ ম্যাট্রিক্স খুঁজুন।

ম্যাট্রিক্স $A$-এ 2টি সারি এবং 3টি কলাম রয়েছে (অন্য কথায়, ম্যাট্রিক্স $A$-এর আকার হল $2\গুন 3$), এবং ম্যাট্রিক্স $F$টিতে 2টি সারি এবং 2টি কলাম রয়েছে। ম্যাট্রিক্সের আকার $A$ এবং $F$ মিলে যায় না, তাই আমরা সেগুলি যোগ করতে পারি না, যেমন $A+F$ অপারেশন এই ম্যাট্রিক্সের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় না।

$A$ এবং $B$ ম্যাট্রিক্সের মাপ একই, যেমন ম্যাট্রিক্স ডেটাতে সমান সংখ্যক সারি এবং কলাম রয়েছে, তাই সংযোজন ক্রিয়াকলাপ তাদের জন্য প্রযোজ্য।

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 এবং 9+0 এবং -8+(-14) \end(অ্যারে) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 এবং 9 এবং -22 \end(অ্যারে) \right) $$

আসুন ম্যাট্রিক্স খুঁজে বের করি $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 এবং 9 এবং 6 \শেষ(অ্যারে) \right) $$

উত্তর: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 এবং 23 এবং -97 \\ 2 এবং 9 এবং 6 \end(অ্যারে) \right)$।

একটি ম্যাট্রিক্সকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করা।

$A_(m\times n)=(a_(ij))$ $\alpha$ সংখ্যা দ্বারা ম্যাট্রিক্সের গুণফল হল $B_(m\times n)=(b_(ij))$, যেখানে $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ সকল $i=\overline(1,m)$ এবং $j=\overline(1,n)$ এর জন্য।

সহজ কথায়, একটি ম্যাট্রিক্সকে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা দ্বারা গুণ করার অর্থ হল একটি প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি উপাদানকে সেই সংখ্যা দ্বারা গুণ করা।

উদাহরণ নং 2

ম্যাট্রিক্স দেওয়া হয়েছে: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$। ম্যাট্রিক্স $3\cdot A$, $-5\cdot A$ এবং $-A$ খুঁজুন।

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( অ্যারে) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12 & 27 & 0 \ end(array) \right)\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (অ্যারে) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right)। $$

স্বরলিপি $-A$ হল $-1\cdot A$ এর জন্য একটি সংক্ষিপ্ত স্বরলিপি। অর্থাৎ, $-A$ খুঁজে পেতে আপনাকে $A$ ম্যাট্রিক্সের সমস্ত উপাদানকে (-1) দ্বারা গুণ করতে হবে। মূলত, এর মানে হল যে $A$ ম্যাট্রিক্সের সমস্ত উপাদানের চিহ্ন বিপরীতে পরিবর্তিত হবে:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= বাম(\শুরু(অ্যারে) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

উত্তর: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12&27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \ end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$।

দুটি ম্যাট্রিকের পণ্য।

এই অপারেশনের সংজ্ঞা কষ্টকর এবং, প্রথম নজরে, অস্পষ্ট। অতএব, আমি প্রথমে উল্লেখ করব সাধারণ সংজ্ঞা, এবং তারপরে আমরা এর অর্থ কী এবং কীভাবে এটির সাথে কাজ করব তা বিশদভাবে দেখব।

$B_(n\times k)=(b_(ij))$ ম্যাট্রিক্স দ্বারা $A_(m\times n)=(a_(ij))$ ম্যাট্রিক্সের গুণফল হল $C_(m\times k) )=(c_(ij))$, যার জন্য প্রতিটি উপাদান $c_(ij)$ সংশ্লিষ্ট পণ্যের যোগফলের সমান i-th এর উপাদানম্যাট্রিক্সের সারি $A$ ম্যাট্রিক্সের j-তম কলামের উপাদানগুলিতে $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \ ;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

আসুন একটি উদাহরণ ব্যবহার করে ধাপে ধাপে ম্যাট্রিক্স গুণন দেখি। যাইহোক, আপনার অবিলম্বে মনে রাখা উচিত যে সমস্ত ম্যাট্রিক্সকে গুণ করা যাবে না। যদি আমরা ম্যাট্রিক্স $A$ কে ম্যাট্রিক্স $B$ দ্বারা গুণ করতে চাই, তাহলে প্রথমে আমাদের নিশ্চিত করতে হবে যে ম্যাট্রিক্স $A$ এর কলামের সংখ্যা ম্যাট্রিক্স $B$ এর সারির সংখ্যার সমান (এই ধরনের ম্যাট্রিক্সকে প্রায়ই বলা হয় একমত) উদাহরণস্বরূপ, ম্যাট্রিক্স $A_(5\times 4)$ (ম্যাট্রিক্সে 5টি সারি এবং 4টি কলাম রয়েছে) ম্যাট্রিক্স $F_(9\times 8)$ (9 সারি এবং 8 কলাম) দ্বারা গুণ করা যাবে না, যেহেতু সংখ্যাটি ম্যাট্রিক্সের কলাম $A $ ম্যাট্রিক্স $F$ এর সারির সংখ্যার সমান নয়, যেমন $4\neq 9$। কিন্তু আপনি ম্যাট্রিক্স $A_(5\times 4)$ কে ম্যাট্রিক্স $B_(4\times 9)$ দিয়ে গুণ করতে পারেন, যেহেতু ম্যাট্রিক্সের কলামের সংখ্যা $A$ ম্যাট্রিক্সের সারির সংখ্যার সমান B$। এই ক্ষেত্রে, ম্যাট্রিক্স $A_(5\times 4)$ এবং $B_(4\times 9)$ গুণ করার ফলাফল হবে ম্যাট্রিক্স $C_(5\times 9)$, যেখানে 5টি সারি এবং 9টি কলাম রয়েছে:

উদাহরণ নং 3

প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (অ্যারে) \right)$ এবং $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(অ্যারে) \right) $ $C=A\cdot B$ ম্যাট্রিক্স খুঁজুন।

প্রথমে, আসুন অবিলম্বে ম্যাট্রিক্স $C$ এর আকার নির্ধারণ করি। যেহেতু ম্যাট্রিক্স $A$-এর মাপ $3\times 4$, এবং ম্যাট্রিক্স $B$-এর মাপ $4\times 2$, তাহলে ম্যাট্রিক্স $C$-এর মাপ হল: $3\times 2$:

সুতরাং, ম্যাট্রিক্স $A$ এবং $B$ এর গুণফলের ফলে, আমাদের একটি ম্যাট্রিক্স $C$ পাওয়া উচিত, যার মধ্যে তিনটি সারি এবং দুটি কলাম রয়েছে: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) এবং c_(12) \\ c_(21) এবং c_(22) \\ c_(31) এবং c_(32) \end(অ্যারে) \right)$। যদি উপাদানগুলির উপাধি প্রশ্ন উত্থাপন করে, তাহলে আপনি পূর্ববর্তী বিষয়টি দেখতে পারেন: "ম্যাট্রিক্সের মৌলিক পদ" যার শুরুতে ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলির পদবি ব্যাখ্যা করা হয়েছে৷ আমাদের লক্ষ্য: ম্যাট্রিক্স $C$ এর সমস্ত উপাদানের মান খুঁজে বের করা।

আসুন $c_(11)$ এলিমেন্ট দিয়ে শুরু করি। $c_(11)$ উপাদানটি পেতে, আপনাকে ম্যাট্রিক্স $A$ এবং ম্যাট্রিক্সের প্রথম কলাম $B$ এর উপাদানগুলির উপাদানগুলির যোগফল খুঁজে বের করতে হবে:

$c_(11)$ নিজেই উপাদানটি খুঁজে পেতে, আপনাকে ম্যাট্রিক্স $A$ এর প্রথম সারির উপাদানগুলিকে ম্যাট্রিক্স $B$ এর প্রথম কলামের সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলির দ্বারা গুণ করতে হবে, যেমন প্রথম থেকে প্রথম উপাদান, দ্বিতীয় থেকে দ্বিতীয়, তৃতীয় থেকে তৃতীয়, চতুর্থ থেকে চতুর্থ। আমরা প্রাপ্ত ফলাফলগুলি সংক্ষিপ্ত করি:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0। $$

আসুন সমাধানটি চালিয়ে যাই এবং $c_(12)$ খুঁজে পাই। এটি করার জন্য, আপনাকে ম্যাট্রিক্স $A$ এর প্রথম সারির উপাদান এবং ম্যাট্রিক্স $B$ এর দ্বিতীয় কলামের উপাদানগুলিকে গুণ করতে হবে:

আগেরটির মতো, আমাদের আছে:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37। $$

ম্যাট্রিক্স $C$ এর প্রথম সারির সমস্ত উপাদান পাওয়া গেছে। আসুন দ্বিতীয় লাইনে চলে যাই, যা $c_(21)$ দিয়ে শুরু হয়। এটি খুঁজে পেতে, আপনাকে ম্যাট্রিক্স $A$ এর দ্বিতীয় সারির উপাদানগুলি এবং ম্যাট্রিক্স $B$ এর প্রথম কলামকে গুণ করতে হবে:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23। $$

আমরা $c_(22)$ ম্যাট্রিক্সের দ্বিতীয় সারির উপাদানগুলিকে $B$ ম্যাট্রিক্সের দ্বিতীয় কলামের সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলি দ্বারা গুণ করে পরবর্তী উপাদানটি খুঁজে পাই:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

$c_(31)$ খুঁজে পেতে, ম্যাট্রিক্স $A$ এর তৃতীয় সারির উপাদানগুলিকে ম্যাট্রিক্স $B$ এর প্রথম কলামের উপাদান দিয়ে গুণ করুন:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8। $$

এবং অবশেষে, $c_(32)$ উপাদানটি খুঁজে পেতে, আপনাকে ম্যাট্রিক্স $A$ এর তৃতীয় সারির উপাদানগুলিকে ম্যাট্রিক্স $B$ এর দ্বিতীয় কলামের সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলির দ্বারা গুণ করতে হবে:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

$C$ ম্যাট্রিক্সের সমস্ত উপাদান পাওয়া গেছে, যা বাকি আছে তা হল $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( অ্যারে) \ right)$। অথবা, সম্পূর্ণ লিখতে:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(অ্যারে) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(অ্যারে) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)। $$

উত্তর: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$।

যাইহোক, ফলাফল ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি উপাদানের অবস্থান বিস্তারিতভাবে বর্ণনা করার কোন কারণ নেই। ম্যাট্রিক্সের জন্য যাদের আকার ছোট, আপনি এটি করতে পারেন:

এটিও লক্ষণীয় যে ম্যাট্রিক্স গুণনটি অ-পরিবর্তনমূলক। এর মানে হল সাধারণ ক্ষেত্রে $A\cdot B\neq B\cdot A$। শুধুমাত্র কিছু ধরণের ম্যাট্রিক্সের জন্য যা বলা হয় পরিবর্তনযোগ্য(বা যাতায়াত), সমতা $A\cdot B=B\cdot A$ সত্য। এটি সঠিকভাবে গুণনের অ-পরিবর্তনশীলতার উপর ভিত্তি করে যে আমাদের নির্দেশ করতে হবে যে আমরা একটি নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স দ্বারা অভিব্যক্তিকে কীভাবে গুণ করি: ডানে বা বামে। উদাহরণ স্বরূপ, "সমান $3E-F=Y$-এর উভয় দিককে ডানদিকে $A$ ম্যাট্রিক্স দ্বারা গুণ করুন" এর অর্থ হল আপনি নিম্নলিখিত সমতা পেতে চান: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$।

$A_(m\times n)=(a_(ij))$ ম্যাট্রিক্সের সাপেক্ষে স্থানান্তরিত হল $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, উপাদানগুলির জন্য যা $a_(ij)^(T)=a_(ji)$।

সহজ কথায়, একটি ট্রান্সপোজড ম্যাট্রিক্স $A^T$ পাওয়ার জন্য, আপনাকে মূল ম্যাট্রিক্স $A$-এর কলামগুলিকে এই নীতি অনুসারে সংশ্লিষ্ট সারিগুলির সাথে প্রতিস্থাপন করতে হবে: একটি প্রথম সারি ছিল - একটি প্রথম কলাম থাকবে ; একটি দ্বিতীয় লাইন ছিল - একটি দ্বিতীয় কলাম থাকবে; একটি তৃতীয় সারি ছিল - একটি তৃতীয় কলাম থাকবে ইত্যাদি। উদাহরণস্বরূপ, আসুন ম্যাট্রিক্সে স্থানান্তরিত ম্যাট্রিক্স খুঁজে বের করি $A_(3\times 5)$:

তদনুসারে, যদি মূল ম্যাট্রিক্সের আকার $3\গুণ 5$ হয়, তাহলে ট্রান্সপোজড ম্যাট্রিক্সের আকার $5\গুন 3$ হয়।

ম্যাট্রিসে অপারেশনের কিছু বৈশিষ্ট্য।

এখানে ধরে নেওয়া হয় যে $\alpha$, $\beta$ হল কিছু সংখ্যা, এবং $A$, $B$, $C$ হল ম্যাট্রিক্স। প্রথম চারটি বৈশিষ্ট্যের জন্য আমি নামগুলি নির্দেশ করেছি;

$A+B=B+A$ (সংযোজনের কম্যুটেটিভিটি)
$A+(B+C)=(A+B)+C$ (সংযোজনের সহযোগীতা)
$(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (সংখ্যা যোগ করার ক্ষেত্রে একটি ম্যাট্রিক্স দ্বারা গুণের বন্টন)
$\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (ম্যাট্রিক্স যোগের সাপেক্ষে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণের বন্টন)
$A(BC)=(AB)C$
$(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
$A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$।
$A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, যেখানে $E$ হল সংশ্লিষ্ট ক্রমটির পরিচয় ম্যাট্রিক্স।
$A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, যেখানে $O$ হল উপযুক্ত আকারের একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স।
$\left(A^T \right)^T=A$
$(A+B)^T=A^T+B^T$
$(AB)^T=B^T\cdot A^T$
$\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

পরবর্তী অংশে, আমরা একটি ম্যাট্রিক্সকে একটি অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা শক্তিতে উন্নীত করার ক্রিয়াকলাপ বিবেচনা করব এবং ম্যাট্রিসে বেশ কয়েকটি ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করা প্রয়োজন এমন উদাহরণগুলিও সমাধান করব।

ম্যাট্রিক্স, এর মৌলিক ধারণাগুলির সাথে পরিচিত হন। একটি ম্যাট্রিক্সের সংজ্ঞায়িত উপাদান হল এর কর্ণ এবং পার্শ্ব কর্ণ। হোম প্রথম সারি, প্রথম কলামের উপাদান দিয়ে শুরু হয় এবং শেষ কলামে, শেষ সারির উপাদানটিতে চলতে থাকে (অর্থাৎ এটি বাম থেকে ডানে যায়)। পার্শ্ব তির্যকটি প্রথম সারির বিপরীতে শুরু হয়, কিন্তু শেষ কলামে এবং প্রথম কলাম এবং শেষ সারির স্থানাঙ্ক রয়েছে (ডান থেকে বামে যায়) এলিমেন্টে চলতে থাকে।

ম্যাট্রিসের সাথে নিম্নলিখিত সংজ্ঞা এবং বীজগণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলিতে যেতে, ম্যাট্রিসের প্রকারগুলি অধ্যয়ন করুন। সহজতমগুলি হল বর্গ, একক, শূন্য এবং বিপরীত। কলাম এবং সারির সংখ্যা মেলে। ট্রান্সপোজড ম্যাট্রিক্স, একে B বলি, কলামগুলিকে সারি দিয়ে প্রতিস্থাপন করে ম্যাট্রিক্স A থেকে পাওয়া যায়। ইউনিটে, প্রধান কর্ণের সমস্ত উপাদান এক, এবং অন্যগুলি শূন্য। এবং শূন্যে, এমনকি কর্ণের উপাদানগুলিও শূন্য। ইনভার্স ম্যাট্রিক্স হল সেই একটি যার উপর মূল ম্যাট্রিক্সটি আইডেন্টিটি ফর্মে আসে।

এছাড়াও, ম্যাট্রিক্স প্রধান বা গৌণ অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম হতে পারে। অর্থাৎ, a(1;2) স্থানাঙ্ক বিশিষ্ট একটি উপাদান, যেখানে 1 হল সারি সংখ্যা এবং 2 হল কলাম সংখ্যা, a(2;1) এর সমান। A(3;1)=A(1;3) ইত্যাদি। মিলে যাওয়া ম্যাট্রিকগুলি হল সেইগুলি যেখানে একটির কলামের সংখ্যা অন্যটির সারির সংখ্যার সমান (যেমন ম্যাট্রিক্সগুলিকে গুণ করা যেতে পারে)।

প্রধান ক্রিয়াগুলি যা ম্যাট্রিক্সের সাথে সঞ্চালিত হতে পারে তা হল যোগ, গুণন এবং নির্ধারক সন্ধান করা। যদি ম্যাট্রিক্সগুলি একই আকারের হয়, অর্থাৎ, তাদের সমান সংখ্যক সারি এবং কলাম থাকে, তবে সেগুলি যোগ করা যেতে পারে। ম্যাট্রিক্সে একই জায়গায় থাকা উপাদানগুলি যোগ করা প্রয়োজন, অর্থাৎ, c in (m; n) এর সাথে a (m; n) যোগ করুন, যেখানে m এবং n হল কলাম এবং সারির সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্ক। ম্যাট্রিক্স যোগ করার সময়, সাধারণ গাণিতিক যোগের প্রধান নিয়মটি প্রযোজ্য হয় - যখন পদগুলির স্থান পরিবর্তন করা হয়, তখন যোগফল পরিবর্তিত হয় না। এইভাবে, যদি একটি সাধারণ উপাদান a এর পরিবর্তে a + b একটি অভিব্যক্তি থাকে, তবে এটি a + (b + c) = (a + b) + c নিয়ম অনুসারে অন্য সামঞ্জস্যপূর্ণ ম্যাট্রিক্সের একটি উপাদান c-এ যোগ করা যেতে পারে।

আপনি উপরে দেওয়া মিলিত ম্যাট্রিক্সগুলিকে গুণ করতে পারেন। এটি একটি ম্যাট্রিক্স তৈরি করে যেখানে প্রতিটি উপাদান ম্যাট্রিক্স A এর একটি সারির জোড়া গুণিত উপাদানের যোগফল এবং ম্যাট্রিক্স B এর একটি কলাম। গুণ করার সময়, ক্রিয়াগুলির ক্রম অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। m*n n*m এর সমান নয়।

এছাড়াও, প্রধান ক্রিয়াগুলির মধ্যে একটি হল সন্ধান করা। এটিকে নির্ধারকও বলা হয় এবং নিম্নরূপ মনোনীত করা হয়: det. এই মান নির্ধারণ করা হয় মডিউল, অর্থাৎ, এটি কখনই নেতিবাচক নয়। নির্ধারক খুঁজে বের করার সবচেয়ে সহজ উপায় হল একটি 2x2 বর্গ ম্যাট্রিক্স। এটি করার জন্য, আপনাকে প্রধান তির্যকের উপাদানগুলিকে গুণ করতে হবে এবং তাদের থেকে গৌণ কর্ণের গুণিত উপাদানগুলিকে বিয়োগ করতে হবে।

১ম বর্ষ, উচ্চতর গণিত, অধ্যয়নরত ম্যাট্রিক্সএবং তাদের উপর মৌলিক কর্ম। এখানে আমরা মৌলিক ক্রিয়াকলাপগুলিকে পদ্ধতিগত করি যা ম্যাট্রিক্সের সাথে সঞ্চালিত হতে পারে। কোথায় ম্যাট্রিক্সের সাথে পরিচিত হওয়া শুরু করবেন? অবশ্যই, সহজ জিনিস থেকে - সংজ্ঞা, মৌলিক ধারণা এবং সহজ অপারেশন। আমরা আপনাকে আশ্বাস দিচ্ছি যে ম্যাট্রিক্সগুলি প্রত্যেকে বুঝতে পারবে যারা তাদের জন্য কমপক্ষে কিছুটা সময় দেয়!

ম্যাট্রিক্স সংজ্ঞা

ম্যাট্রিক্সউপাদানগুলির একটি আয়তক্ষেত্রাকার টেবিল। আচ্ছা, তাহলে কি হবে সহজ ভাষায়- সংখ্যার সারণী।

সাধারণত, ম্যাট্রিক্সগুলি বড় ল্যাটিন অক্ষরে চিহ্নিত করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, ম্যাট্রিক্স ক , ম্যাট্রিক্স খ এবং তাই ম্যাট্রিসগুলি বিভিন্ন আকারের হতে পারে: আয়তক্ষেত্রাকার, বর্গক্ষেত্র এবং এছাড়াও সারি এবং কলামের ম্যাট্রিসগুলিকে ভেক্টর বলা হয়। ম্যাট্রিক্সের আকার সারি এবং কলামের সংখ্যা দ্বারা নির্ধারিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, আসুন আকারের একটি আয়তক্ষেত্রাকার ম্যাট্রিক্স লিখি মি অন n , কোথায় মি - লাইনের সংখ্যা, এবং n - কলাম সংখ্যা।

আইটেম যার জন্য i=j (a11, a22, .. ) ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণ গঠন করে এবং কর্ণ বলা হয়।

আপনি matrices সঙ্গে কি করতে পারেন? যোগ/বিয়োগ করুন, একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করুন, নিজেদের মধ্যে সংখ্যাবৃদ্ধি, স্থানান্তর. এখন ক্রমানুসারে ম্যাট্রিক্সে এই সমস্ত মৌলিক ক্রিয়াকলাপ সম্পর্কে।

ম্যাট্রিক্স যোগ এবং বিয়োগ অপারেশন

আসুন আমরা অবিলম্বে আপনাকে সতর্ক করি যে আপনি শুধুমাত্র একই আকারের ম্যাট্রিক্স যোগ করতে পারেন। ফলাফল একই আকারের একটি ম্যাট্রিক্স হবে। ম্যাট্রিক্স যোগ করা (বা বিয়োগ) সহজ - আপনি শুধু তাদের সংশ্লিষ্ট উপাদান যোগ করতে হবে . একটা উদাহরণ দেওয়া যাক। চলুন দুই দ্বারা দুই আকারের দুটি ম্যাট্রিস A এবং B যোগ করি।

বিয়োগ সাদৃশ্য দ্বারা সঞ্চালিত হয়, শুধুমাত্র বিপরীত চিহ্ন দিয়ে।

যেকোন ম্যাট্রিক্সকে একটি নির্বিচারে সংখ্যা দ্বারা গুণ করা যেতে পারে। এটা করতে আপনাকে এর প্রতিটি উপাদানকে এই সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, প্রথম উদাহরণ থেকে ম্যাট্রিক্স A কে 5 নম্বর দিয়ে গুণ করা যাক:

ম্যাট্রিক্স গুণন অপারেশন

সব ম্যাট্রিক্স একসাথে গুণ করা যায় না। উদাহরণ স্বরূপ, আমাদের দুটি ম্যাট্রিক্স রয়েছে - A এবং B। ম্যাট্রিক্স A এর কলামের সংখ্যা ম্যাট্রিক্স B এর সারির সংখ্যার সমান হলেই তাদের একে অপরের দ্বারা গুণ করা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে ফলস্বরূপ ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি উপাদান, i-th সারি এবং j-th কলামে অবস্থিত, প্রথম ফ্যাক্টরের i-th সারিতে এবং j-তম কলামের সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলির গুণফলের সমষ্টির সমান হবে দ্বিতীয়. এই অ্যালগরিদমটি বোঝার জন্য, আসুন লিখি কিভাবে দুটি বর্গ ম্যাট্রিক্সকে গুণ করা হয়:

এবং বাস্তব সংখ্যা সহ একটি উদাহরণ। আসুন ম্যাট্রিক্সগুলিকে গুণ করি:

ম্যাট্রিক্স ট্রান্সপোজ অপারেশন

ম্যাট্রিক্স ট্রান্সপোজিশন হল একটি অপারেশন যেখানে সংশ্লিষ্ট সারি এবং কলামগুলি অদলবদল করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, প্রথম উদাহরণ থেকে ম্যাট্রিক্স A স্থানান্তর করা যাক:

ম্যাট্রিক্স নির্ধারক

নির্ধারক, বা নির্ধারক, রৈখিক বীজগণিতের মৌলিক ধারণাগুলির মধ্যে একটি। এক সময় মানুষ নিয়ে এসেছিল রৈখিক সমীকরণ, এবং তাদের পিছনে আমাদের একটি নির্ধারক নিয়ে আসতে হয়েছিল। শেষ পর্যন্ত, এই সব মোকাবেলা করা আপনার উপর নির্ভর করে, তাই, শেষ ধাক্কা!

নির্ধারক একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের একটি সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য, যা অনেক সমস্যা সমাধানের জন্য প্রয়োজন।
সহজতম বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক গণনা করতে, আপনাকে প্রধান এবং গৌণ কর্ণের উপাদানগুলির পণ্যগুলির মধ্যে পার্থক্য গণনা করতে হবে।

প্রথম ক্রমে একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক, অর্থাৎ একটি উপাদান নিয়ে গঠিত, এই উপাদানটির সমান।

ম্যাট্রিক্স তিন বাই তিন হলে কি হবে? এটি আরও কঠিন, তবে আপনি এটি পরিচালনা করতে পারেন।

এই ধরনের ম্যাট্রিক্সের জন্য, নির্ধারকের মান প্রধান তির্যকের উপাদানগুলির গুণফলের সমষ্টি এবং মূল কর্ণের সমান্তরাল মুখের সাথে ত্রিভুজগুলির উপর থাকা উপাদানগুলির গুণফলের সমষ্টির সমান, যেখান থেকে এর গুণফল সেকেন্ডারি কর্ণের উপাদান এবং সমান্তরাল গৌণ কর্ণের মুখের সাথে ত্রিভুজের উপর থাকা উপাদানগুলির গুণফল বিয়োগ করা হয়।

সৌভাগ্যবশত, বাস্তবে বড় আকারের ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক গণনা করা খুব কমই প্রয়োজন।

এখানে আমরা ম্যাট্রিক্সের মৌলিক ক্রিয়াকলাপগুলি দেখেছি। অবশ্যই, মধ্যে বাস্তব জীবনআপনি সমীকরণের একটি ম্যাট্রিক্স সিস্টেমের একটি ইঙ্গিতও সম্মুখীন নাও হতে পারেন, অথবা, বিপরীতে, আপনি আরও অনেক কিছুর সম্মুখীন হতে পারেন জটিল ক্ষেত্রেযখন আপনি সত্যিই আপনার মস্তিষ্ক তাক আছে. এই ধরনের ক্ষেত্রে পেশাদার ছাত্র পরিষেবা বিদ্যমান। সাহায্যের জন্য জিজ্ঞাসা করুন, একটি উচ্চ-মানের এবং বিস্তারিত সমাধান পান, একাডেমিক সাফল্য এবং বিনামূল্যে সময় উপভোগ করুন।

ম্যাট্রিক্স সংযোজন$ A $ এবং $ B $ হল একটি গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ, যার ফলস্বরূপ $ C $ ম্যাট্রিক্স প্রাপ্ত করা উচিত, যার প্রতিটি উপাদান যোগ করা ম্যাট্রিক্সের সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলির যোগফলের সমান:

$$ c_(ij) = a_(ij) + b_(ij) $$

আরো বিস্তারিত দুটি ম্যাট্রিক্স যোগ করার সূত্রটি এইরকম দেখাচ্ছে:

$$ A + B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) এবং a_(33) \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) b_(11) এবং b_(12) এবং b_(13) \\ b_(21) এবং b_(22) এবং b_(23) \\ b_(31) এবং b_(32) এবং b_(33) \end(pmatrix) = $$

$$ = \begin(pmatrix) a_(11) + b_(11) & a_(12)+b_(12) & a_(13)+b_(13) \\ a_(21)+b_(21) & a_ (22)+b_(22) এবং a_(23)+b_(23) \\ a_(31)+b_(31) এবং a_(32)+b_(32) এবং a_(33)+b_(33) \ end(pmatrix) = C$$

অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে আপনি শুধুমাত্র একই মাত্রার ম্যাট্রিক্স যোগ এবং বিয়োগ করতে পারেন। যোগফল বা পার্থক্যের সাথে, ফলাফলটি $ A $ এবং $ B $ ম্যাট্রিক্সের পদ (বিয়োগ) হিসাবে একই মাত্রার একটি ম্যাট্রিক্স $ C $ হবে৷ যদি ম্যাট্রিক্স $A $ এবং $B $ একে অপরের থেকে আকারে আলাদা হয়, তাহলে এই ধরনের ম্যাট্রিক্স যোগ করা (বিয়োগ) একটি ত্রুটি হবে!

সূত্রটি 3 বাই 3 ম্যাট্রিক্স যোগ করে, যার মানে ফলাফলটি 3 বাই 3 ম্যাট্রিক্স হওয়া উচিত।

ম্যাট্রিক্সের বিয়োগযোগ অ্যালগরিদমের সম্পূর্ণ অনুরূপ, শুধুমাত্র একটি বিয়োগ চিহ্ন সহ। প্রয়োজনীয় ম্যাট্রিক্স $C$ এর প্রতিটি উপাদান $A$ এবং $B$ ম্যাট্রিক্সের সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলিকে বিয়োগ করে প্রাপ্ত হয়:

$$ c_(ij) = a_(ij) - b_(ij) $$

চলুন বিস্তারিত লিখি দুটি ম্যাট্রিক্স বিয়োগের সূত্র:

$$ A - B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) এবং a_(33) \end(pmatrix) - \begin(pmatrix) b_(11) এবং b_(12) এবং b_(13) \\ b_(21) এবং b_(22) এবং b_(23) \\ b_(31) এবং b_(32) এবং b_(33) \end(pmatrix) = $$

$$ = শুরু(pmatrix) a_(11) - b_(11) & a_(12)-b_(12) & a_(13)-b_(13) \\ a_(21)-b_(21) & a_ (22)-b_(22) & a_(23)-b_(23) \\ a_(31)-b_(31) & a_(32)-b_(32) & a_(33)-b_(33) \ end(pmatrix) = C$$

এটিও লক্ষণীয় যে আপনি সাধারণ সংখ্যার পাশাপাশি কিছু অন্যান্য উপাদানের সাথে ম্যাট্রিক্স যোগ বা বিয়োগ করতে পারবেন না

ম্যাট্রিক্সের সমস্যাগুলির আরও সমাধানের জন্য যোগ (বিয়োগ) এর বৈশিষ্ট্যগুলি জানতে এটি কার্যকর হবে।

বৈশিষ্ট্য

যদি ম্যাট্রিক্স $ A, B, C $ আকারে একই হয়, তাহলে অ্যাসোসিয়েটিভিটি বৈশিষ্ট্য তাদের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য: $$ A + (B + C) = (A + B) + C $$
প্রতিটি ম্যাট্রিক্সের জন্য একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স থাকে, $O $ বোঝানো হয়, যোগ (বিয়োগ) এর সাথে সাথে মূল ম্যাট্রিক্স পরিবর্তন হয় না: $$ A \pm O = A $$
প্রতিটি অ-শূন্য ম্যাট্রিক্স $ A $ এর জন্য একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্স $ (-A) $ আছে যার যোগফল অদৃশ্য হয়ে যায়: $ $ A + (-A) = 0 $ $
ম্যাট্রিক্স যোগ (বিয়োগ) করার সময়, কম্যুটেটিভিটির সম্পত্তি অনুমোদিত, অর্থাৎ, ম্যাট্রিক্স $ A $ এবং $ B $ অদলবদল করা যেতে পারে: $$ A + B = B + A $$ $$ A - B = B - A $$

সমাধানের উদাহরণ

উদাহরণ 1
প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স $ A = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1&4 \end(pmatrix) $ এবং $B = \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) $। ম্যাট্রিক্স যোগ এবং তারপর বিয়োগ সঞ্চালন.
সমাধান
প্রথমত, আমরা মাত্রিকতার জন্য ম্যাট্রিক্স পরীক্ষা করি। ম্যাট্রিক্স $A $-এর মাত্রা $2 \times 2 $, এবং দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্স $B$-এর মাত্রা $2 \times 2 $। এর মানে হল যে এই ম্যাট্রিক্সগুলির সাহায্যে যোগ এবং বিয়োগের একটি যৌথ অপারেশন করা সম্ভব। মনে রাখবেন যে যোগফলের জন্য ম্যাট্রিক্স $ A \text( এবং ) B$ এর অনুরূপ উপাদানগুলির জোড়া অনুসারে যোগ করা প্রয়োজন। $$ A + B = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1&4 \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) = $$ $$ = \begin(pmatrix) 2 + 1 & 3 + (-3) \\ -1 + 2 & 4 + 5 \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 3 & 0 \\ 1 & 9 \ end( pmatrix) $$ যোগফলের অনুরূপভাবে, আমরা "প্লাস" চিহ্নটিকে "বিয়োগ" দিয়ে প্রতিস্থাপন করে ম্যাট্রিক্সের পার্থক্য খুঁজে পাই: $$ A - B = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1&4 \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) = $$ $$ = \begin(pmatrix) 2 - 1 & 3 - (-3) \\ -1 - 2 & 4 - 5 \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 1 & 6 \\ -3 & -1 \ শেষ(pmatrix) $$ আপনি যদি আপনার সমস্যার সমাধান করতে না পারেন, তাহলে আমাদের কাছে পাঠান। আমরা বিস্তারিত সমাধান প্রদান করব। আপনি গণনার অগ্রগতি দেখতে এবং তথ্য লাভ করতে সক্ষম হবেন। এটি আপনাকে সময়মত আপনার শিক্ষকের কাছ থেকে আপনার গ্রেড পেতে সাহায্য করবে!
উত্তর
$$ A + B = \begin(pmatrix) 3 & 0 \\ 1 & 9 \end(pmatrix); A - B = \begin(pmatrix) 1 & 6 \\ -3 & -1 \end(pmatrix) $$

নিবন্ধে: "ম্যাট্রিসের যোগ এবং বিয়োগ" সংজ্ঞা, নিয়ম, মন্তব্য, ক্রিয়াকলাপের বৈশিষ্ট্য এবং সমাধানগুলির ব্যবহারিক উদাহরণ দেওয়া হয়েছিল।

>> ম্যাট্রিস

4.1.ম্যাট্রিক্স। ম্যাট্রিক্সে অপারেশন

mxn আকারের একটি আয়তক্ষেত্রাকার ম্যাট্রিক্স হল mxn সংখ্যার একটি সংগ্রহ যা m সারি এবং n কলাম সমন্বিত একটি আয়তক্ষেত্রাকার টেবিলের আকারে সাজানো। আমরা এটি ফর্মে লিখব

বা সংক্ষেপে A = (a i j) (i = ; j = ), সংখ্যা a i j কে এর উপাদান বলা হয়; প্রথম সূচকটি সারি সংখ্যা নির্দেশ করে, দ্বিতীয়টি - কলাম সংখ্যা। একই আকারের A = (a i j) এবং B = (b i j) সমান বলা হয় যদি একই স্থানে দাঁড়ানো তাদের উপাদান জোড়া সমান হয়, অর্থাৎ, A = B যদি a i j = b i j হয়।

একটি সারি বা একটি কলাম নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্সকে যথাক্রমে একটি সারি ভেক্টর বা একটি কলাম ভেক্টর বলা হয়। কলাম ভেক্টর এবং সারি ভেক্টরকে সহজভাবে ভেক্টর বলা হয়।

একটি সংখ্যা নিয়ে গঠিত একটি ম্যাট্রিক্স এই সংখ্যার সাথে চিহ্নিত করা হয়। A আকারের mxn, যার সমস্ত উপাদান শূন্যের সমান, তাকে শূন্য বলা হয় এবং 0 দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। একই সূচকের উপাদানগুলিকে প্রধান কর্ণের উপাদান বলা হয়। যদি সারির সংখ্যা কলামের সংখ্যার সমান হয়, অর্থাৎ m = n, তাহলে ম্যাট্রিক্সটিকে ক্রম n এর বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা হয়। বর্গাকার ম্যাট্রিক্স যেখানে শুধুমাত্র প্রধান তির্যকের উপাদানগুলি অশূন্য হয় তাকে কর্ণ বলা হয় এবং নিম্নরূপ লেখা হয়:

যদি কর্ণের সমস্ত উপাদান a i i 1 এর সমান হয়, তবে একে একক বলা হয় এবং E অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়:

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সকে ত্রিভুজাকার বলা হয় যদি মূল কর্ণের উপরের (বা নীচে) সমস্ত উপাদান শূন্যের সমান হয়। ট্রান্সপোজিশন হল একটি রূপান্তর যেখানে সারি এবং কলামগুলি তাদের সংখ্যা বজায় রাখার সময় অদলবদল করা হয়। স্থানান্তর শীর্ষে একটি T দ্বারা নির্দেশিত হয়।

যদি আমরা সারি এবং কলামগুলিকে (4.1) তে পুনর্বিন্যাস করি তবে আমরা পাব

যেটি A-তে স্থানান্তরিত হবে। বিশেষ করে, একটি কলাম ভেক্টর স্থানান্তর করার সময়, একটি সারি ভেক্টর পাওয়া যায় এবং এর বিপরীতে।

A এবং সংখ্যা b এর গুণফল একটি ম্যাট্রিক্স যার উপাদানগুলি A এর সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলি থেকে b সংখ্যা দ্বারা গুণ করে প্রাপ্ত হয়: b A = (b a i j)।

একই মাপের সমষ্টি A = (a i j) এবং B = (b i j) একই আকারের C = (c i j) বলা হয়, যার উপাদানগুলি c i j = a i j + b i j সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়।

A-এর কলামের সংখ্যা B-এর সারির সংখ্যার সমান এই অনুমানে AB গুণফল নির্ধারণ করা হয়।

পণ্য AB, যেখানে A = (a i j) এবং B = (b j k), যেখানে i = , j= , k= , একটি নির্দিষ্ট ক্রমে AB দেওয়া হয়, তাকে C = (c i k) বলা হয়, যার উপাদানগুলি দ্বারা নির্ধারিত হয় নিম্নলিখিত নিয়ম:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

অন্য কথায়, পণ্য AB এর উপাদানটিকে নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: উপাদান i-th লাইনএবং k-ম কলাম C i-ম সারির A উপাদানগুলির গুণফলের যোগফল এবং k-তম কলাম B এর সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলির সমষ্টির সমান।

উদাহরণ 2.1। AB এবং এর গুণফল নির্ণয় কর।

সমাধান। আমাদের আছে: 2x3 আকারের A, 3x3 আকারের B, তারপর AB = C গুণফল বিদ্যমান এবং C এর উপাদানগুলি সমান

11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8 থেকে, 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5 থেকে, 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 থেকে ,

s 22 = 3×2 + 1 × 0 + 0 × 5 = 6, s 13 = 1 × 3 + 2 × 1 + 1 × 4 = 9, s 23 = 3 × 3 + 1 × 1 + 0 × 4 = 10 .

, এবং পণ্য BA বিদ্যমান নেই।

উদাহরণ 2.2। সারণীটি দেখায় যে ডেইরি 1 এবং 2 থেকে প্রতিদিন M 1, M 2 এবং M 3 স্টোরে পাঠানো হয় এবং M 1 সঞ্চয় করার জন্য প্রতিটি ডেইরি থেকে পণ্যের একক ডেলিভারির জন্য 50 ডেন খরচ হয়। ইউনিট, এম 2 স্টোর - 70 এবং এম 3 - 130 ডেন। ইউনিট প্রতিটি উদ্ভিদের দৈনিক পরিবহন খরচ গণনা করুন।

দুগ্ধজাত উদ্ভিদ

সমাধান। আমাদের কন্ডিশনে এবং দ্বারা দেওয়া ম্যাট্রিক্সকে A দ্বারা বোঝানো যাক
B - স্টোরগুলিতে পণ্যের একটি ইউনিট সরবরাহ করার ব্যয়ের বৈশিষ্ট্যযুক্ত ম্যাট্রিক্স, যেমন,

তারপর পরিবহন খরচ ম্যাট্রিক্স এর মত দেখাবে:

সুতরাং, প্রথম উদ্ভিদ প্রতিদিন পরিবহনে 4,750 ডিনিয়ার ব্যয় করে। ইউনিট, দ্বিতীয় - 3680 আর্থিক ইউনিট।

উদাহরণ 2.3। সেলাই কোম্পানি শীতকালীন কোট, ডেমি-সিজন কোট এবং রেইনকোট উত্পাদন করে। এক দশকের জন্য পরিকল্পিত আউটপুট ভেক্টর X = (10, 15, 23) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। চার ধরনের কাপড় ব্যবহার করা হয়: T 1, T 2, T 3, T 4। টেবিলটি প্রতিটি পণ্যের জন্য ফ্যাব্রিক ব্যবহারের হার (মিটারে) দেখায়। ভেক্টর C = (40, 35, 24, 16) প্রতিটি ধরণের ফ্যাব্রিকের এক মিটারের দাম নির্দিষ্ট করে এবং ভেক্টর P = (5, 3, 2, 2) প্রতিটি ধরণের কাপড়ের একটি মিটার পরিবহনের খরচ নির্দিষ্ট করে৷