Παραπάνω γνωρίσαμε τους νόμους της διανομής τυχαίες μεταβλητές. Κάθε νόμος κατανομής περιγράφει αναλυτικά τις ιδιότητες των πιθανοτήτων μιας τυχαίας μεταβλητής και καθιστά δυνατό τον υπολογισμό των πιθανοτήτων οποιωνδήποτε γεγονότων που σχετίζονται με μια τυχαία μεταβλητή. Ωστόσο, σε πολλά πρακτικά ζητήματα δεν υπάρχει ανάγκη για μια τέτοια πλήρη περιγραφή και συχνά αρκεί να υποδεικνύονται μόνο μεμονωμένες αριθμητικές παράμετροι που χαρακτηρίζουν τα βασικά χαρακτηριστικά της κατανομής. Για παράδειγμα, ο μέσος όρος γύρω από τον οποίο είναι διασκορπισμένες οι τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής, κάποιος αριθμός που χαρακτηρίζει το μέγεθος αυτής της διασποράς. Αυτοί οι αριθμοί προορίζονται να εκφράσουν με συνοπτική μορφή τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά της διανομής και καλούνται αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας τυχαίας μεταβλητής.

Μεταξύ των αριθμητικών χαρακτηριστικών των τυχαίων μεταβλητών, εξετάζουμε κυρίως τα χαρακτηριστικά που καθορίζουν τη θέση της τυχαίας μεταβλητής στον αριθμητικό άξονα, δηλ. κάποια μέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής γύρω από την οποία ομαδοποιούνται οι πιθανές τιμές της. Από τα χαρακτηριστικά της θέσης στη θεωρία πιθανοτήτων, τον μεγαλύτερο ρόλο παίζει μαθηματική προσδοκία, το οποίο μερικές φορές ονομάζεται απλώς μέσος όρος της τυχαίας μεταβλητής.

Ας υποθέσουμε ότι το διακριτό SV παίρνει τις τιμές x ( , x 2 ,..., x nμε πιθανότητες r j, σελ 2,... στο Ptvεκείνοι. δίνεται ανά σειρά διανομής

Είναι πιθανό σε αυτά τα πειράματα η τιμή x xπαρατηρήθηκε N(φορές, αξία x 2 - N 2φορές,..., αξία x n - N nμια φορά. Ταυτόχρονα + Ν 2 +... + N n =N.

Αριθμητικός μέσος όρος των αποτελεσμάτων παρατήρησης

Αν Νυπέροχο, δηλ. Ν-" Α, τότε

περιγράφοντας το κέντρο διανομής. Η μέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής που λαμβάνεται με αυτόν τον τρόπο θα ονομάζεται μαθηματική προσδοκία. Ας δώσουμε μια λεκτική διατύπωση του ορισμού.

Ορισμός 3.8. Μαθηματική προσδοκία Το (MO) διακριτό SV% είναι ένας αριθμός ίσος με το άθροισμα των γινομένων όλων των πιθανών τιμών του και την πιθανότητα αυτών των τιμών (σημείωση M;):

Τώρα εξετάστε την περίπτωση όταν ο αριθμός των πιθανών τιμών του διακριτού SV είναι μετρήσιμος, δηλ. έχουμε RR

Ο τύπος για τη μαθηματική προσδοκία παραμένει ο ίδιος, μόνο στο ανώτατο όριο του ποσού nαντικαθίσταται από το oo, δηλ.

Σε αυτή την περίπτωση, έχουμε ήδη μια σειρά που μπορεί να αποκλίνουν, π.χ. το αντίστοιχο CB^ μπορεί να μην έχει μαθηματική προσδοκία.

Παράδειγμα 3.8. SV?, που δίνεται από τη σειρά διανομής

Ας βρούμε το MO αυτού του SV.

Διάλυμα.Εξ ορισμού. εκείνοι. Mt.δεν υπάρχει.

Έτσι, στην περίπτωση ενός αριθμήσιμου αριθμού τιμών του SV, λαμβάνουμε τον ακόλουθο ορισμό.

Ορισμός 3.9. Μαθηματική προσδοκίαή μέση τιμή, διακριτό SV,έχοντας έναν αριθμήσιμο αριθμό τιμών είναι ένας αριθμός ίσος με το άθροισμα μιας σειράς προϊόντων όλων των πιθανών τιμών του με τις αντίστοιχες πιθανότητες, με την προϋπόθεση ότι αυτή η σειρά συγκλίνει απόλυτα, δηλ.

Εάν αυτή η σειρά αποκλίνει ή συγκλίνει υπό όρους, τότε λένε ότι το CB ^ δεν έχει μαθηματική προσδοκία.

Ας περάσουμε από ένα διακριτό SV σε ένα συνεχές με πυκνότητα p(x).

Ορισμός 3.10. Μαθηματική προσδοκίαή μέση τιμή, συνεχής CBονομάζεται αριθμός ίσος με

με την προϋπόθεση ότι αυτό το ολοκλήρωμα συγκλίνει απόλυτα.

Εάν αυτό το ολοκλήρωμα αποκλίνει ή συγκλίνει υπό όρους, τότε λένε ότι το συνεχές SV δεν έχει μαθηματική προσδοκία.

Παρατήρηση 3.8.Εάν όλες οι πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής J;

ανήκουν μόνο στο διάστημα ( ΕΝΑ; σι),Οτι

Η μαθηματική προσδοκία δεν είναι το μόνο χαρακτηριστικό θέσης που χρησιμοποιείται στη θεωρία πιθανοτήτων. Μερικές φορές χρησιμοποιούνται, για παράδειγμα, ως λειτουργία και διάμεσος.

Ορισμός 3.11. Μόδα CB^ (ονομασία Ευφυολόγημα,)η πιο πιθανή τιμή του ονομάζεται, δηλ. αυτό για το οποίο η πιθανότητα p iή πυκνότητα πιθανότητας p(x)φτάνει στη μεγαλύτερη αξία του.

Ορισμός 3.12. Διάμεσος SV?, (ονομασία Met)η αξία του καλείται για το οποίο P(t> Met) = P(? > Met) = 1/2.

Γεωμετρικά, για μια συνεχή ΒΑ, η διάμεσος είναι η τετμημένη αυτού του σημείου στον άξονα Ω,για το οποίο οι περιοχές που βρίσκονται αριστερά και δεξιά από αυτό είναι ίδιες και ίσες με το 1/2.

Παράδειγμα 3.9. ΒΑt,έχει σειρά διανομής

Ας βρούμε τη μαθηματική προσδοκία, τον τρόπο και τη διάμεσο του SV

Διάλυμα. ΜΙ,= 0-0,1 + 1 0,3 + 2 0,5 + 3 0,1 = 1,6. Λ/ο; = 2. Εγώ(;) δεν υπάρχει.

Παράδειγμα 3.10. Το συνεχές CB% έχει πυκνότητα

Ας βρούμε τη μαθηματική προσδοκία, τη διάμεσο και τον τρόπο λειτουργίας.

Διάλυμα.

p(x)φτάνει στο μέγιστο, τότε Προφανώς, η διάμεσος είναι επίσης ίση αφού οι περιοχές στη δεξιά και την αριστερή πλευρά της γραμμής που διέρχεται από το σημείο είναι ίσες.

Εκτός από τα χαρακτηριστικά θέσης, μια σειρά από αριθμητικά χαρακτηριστικά για διάφορους σκοπούς χρησιμοποιούνται στη θεωρία πιθανοτήτων. Ανάμεσά τους ιδιαίτερη σημασία έχουν οι αρχικές και κεντρικές στιγμές.

Ορισμός 3.13. Αρχική στιγμή kth τάξης SV?, που ονομάζεται μαθηματική προσδοκία κ-ουβαθμούς αυτής της ποσότητας: =M(t > k).

Από τους ορισμούς της μαθηματικής προσδοκίας για διακριτές και συνεχείς τυχαίες μεταβλητές προκύπτει ότι

Παρατήρηση 3.9.Προφανώς, η αρχική στιγμή της 1ης τάξης είναι η μαθηματική προσδοκία.

Πριν ορίσουμε την κεντρική στιγμή, εισάγουμε μια νέα έννοια μιας κεντραρισμένης τυχαίας μεταβλητής.

Ορισμός 3.14. Κέντρο SV είναι η απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία, δηλ.

Είναι εύκολο να το επαληθεύσετε

Το κεντράρισμα μιας τυχαίας μεταβλητής είναι προφανώς ισοδύναμο με τη μετακίνηση της αρχής στο σημείο M;. Οι ροπές μιας κεντραρισμένης τυχαίας μεταβλητής ονομάζονται κεντρικά σημεία.

Ορισμός 3.15. Κεντρική στιγμή kth τάξης Το SV% ονομάζεται μαθηματική προσδοκία κ-ουβαθμός κεντραρισμένης τυχαίας μεταβλητής:

Από τον ορισμό της μαθηματικής προσδοκίας προκύπτει ότι

Προφανώς, για οποιαδήποτε τυχαία μεταβλητή ^ η κεντρική ροπή της 1ης τάξης είναι ίση με μηδέν: γ x= M(? 0) = 0.

Το δεύτερο κεντρικό σημείο έχει ιδιαίτερη σημασία για την πρακτική. με 2.Λέγεται διασπορά.

Ορισμός 3.16. Διακύμανση SV?, ονομάζεται η μαθηματική προσδοκία του τετραγώνου της αντίστοιχης κεντραρισμένης ποσότητας (σημ. ΡΕ;)

Για να υπολογίσετε τη διακύμανση, μπορείτε να λάβετε τους ακόλουθους τύπους απευθείας από τον ορισμό:

Μετασχηματίζοντας τον τύπο (3.4), μπορούμε να λάβουμε τον ακόλουθο τύπο για τον υπολογισμό DL;.

Η διασπορά SV είναι ένα χαρακτηριστικό διασπορά, η διασπορά των τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής γύρω από τις μαθηματικές προσδοκίες της.

Η διακύμανση έχει τη διάσταση του τετραγώνου μιας τυχαίας μεταβλητής, κάτι που δεν είναι πάντα βολικό. Επομένως, για λόγους σαφήνειας, είναι βολικό να χρησιμοποιηθεί ένας αριθμός του οποίου η διάσταση συμπίπτει με τη διάσταση της τυχαίας μεταβλητής ως χαρακτηριστικό της διασποράς. Για να γίνει αυτό, εκχυλίστε από τη διασπορά τετραγωνική ρίζα. Η τιμή που προκύπτει ονομάζεται τυπική απόκλισητυχαία μεταβλητή. Θα το συμβολίσουμε α: a = l/s.

Για μη αρνητικό SV?, μερικές φορές χρησιμοποιείται ως χαρακτηριστικό συντελεστής διακύμανσης, ίσο με τον λόγο της τυπικής απόκλισης προς τη μαθηματική προσδοκία:

Γνωρίζοντας τη μαθηματική προσδοκία και την τυπική απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής, μπορείτε να πάρετε μια κατά προσέγγιση ιδέα για το εύρος των πιθανών τιμών της. Σε πολλές περιπτώσεις, μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής % μόνο περιστασιακά βρίσκονται εκτός του διαστήματος M. ± Για. Αυτός ο κανόνας για την κανονική κατανομή, που θα αιτιολογήσουμε αργότερα, ονομάζεται κανόνας τριών σίγμα.

Η προσδοκία και η διακύμανση είναι τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας τυχαίας μεταβλητής. Από τον ορισμό της μαθηματικής προσδοκίας και διασποράς, ακολουθούν μερικές απλές και αρκετά προφανείς ιδιότητες αυτών των αριθμητικών χαρακτηριστικών.

Πρωτόζωαιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας και της διασποράς.

1. Μαθηματική προσδοκία μιας μη τυχαίας τιμής Μείση με την ίδια την τιμή c: M(s) = s.

Πράγματι, δεδομένου ότι η αξία Μεπαίρνει μόνο μία τιμή με πιθανότητα 1, τότε M(c) = Με 1 = s.

2. Η διακύμανση του μη τυχαίου μεγέθους c είναι ίση με μηδέν, δηλ. D(c) = 0.

Πραγματικά, Dc = M(s - Mc) 2 = M(s- γ) 2 = Μ( 0) = 0.

3. Ένας μη τυχαίος πολλαπλασιαστής μπορεί να αφαιρεθεί ως σημάδι της μαθηματικής προσδοκίας: Μ(γ^) = γΜ(?,).

Ας δείξουμε την εγκυρότητα αυτής της ιδιότητας χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός διακριτού SV.

Έστω το SV που δίνεται από μια σειρά διανομής

Τότε

Οθεν,

Η ιδιότητα αποδεικνύεται παρόμοια για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή.

4. Ο μη τυχαίος πολλαπλασιαστής μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της τετραγωνικής διασποράς:

Όσο περισσότερες ροπές μιας τυχαίας μεταβλητής είναι γνωστές, τόσο πιο λεπτομερής κατανόηση του νόμου κατανομής έχουμε.

Στη θεωρία πιθανοτήτων και τις εφαρμογές της, χρησιμοποιούνται δύο ακόμη αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας τυχαίας μεταβλητής, με βάση τις κεντρικές ροπές της 3ης και 4ης τάξης - συντελεστής ασυμμετρίας)