Στα «παλιά» σχολικά βιβλία ονομάζεται επίσης κανόνας της «αλυσίδας». Αν λοιπόν y = f (u), και u = φ (x), δηλαδή

y = f (φ (x))

σύνθετη - σύνθετη συνάρτηση (σύνθεση συναρτήσεων) τότε

Οπου , μετά τον υπολογισμό θεωρείται στο u = φ (x).

Σημειώστε ότι εδώ πήραμε «διαφορετικές» συνθέσεις από τις ίδιες λειτουργίες και το αποτέλεσμα της διαφοροποίησης φυσικά αποδείχθηκε ότι εξαρτάται από τη σειρά «ανάμιξης».

Ο κανόνας της αλυσίδας επεκτείνεται φυσικά σε συνθέσεις τριών ή περισσότερων λειτουργιών. Σε αυτήν την περίπτωση, θα υπάρχουν τρεις ή περισσότεροι «κρίκοι» στην «αλυσίδα» που συνθέτει το παράγωγο. Εδώ είναι μια αναλογία με τον πολλαπλασιασμό: "έχουμε" έναν πίνακα παραγώγων. "εκεί" - πίνακας πολλαπλασιασμού. «Μαζί μας» είναι ο κανόνας της αλυσίδας και «εκεί» είναι ο κανόνας πολλαπλασιασμού της «στήλης». Κατά τον υπολογισμό τέτοιων «σύνθετων» παραγώγων, φυσικά δεν εισάγονται βοηθητικά ορίσματα (u¸v, κ.λπ.), αλλά, έχοντας σημειώσει από μόνα τους τον αριθμό και την ακολουθία των συναρτήσεων που εμπλέκονται στη σύνθεση, οι αντίστοιχοι σύνδεσμοι είναι «στριμωγμένοι». με την αναγραφόμενη σειρά.

.

Εδώ, με το "x" για να ληφθεί η τιμή του "y", εκτελούνται πέντε λειτουργίες, δηλαδή υπάρχει μια σύνθεση πέντε συναρτήσεων: "εξωτερική" (η τελευταία από αυτές) - εκθετική - e  ;

μετά με αντίστροφη σειρά, δύναμη. (♦) 2 ;

τριγωνομετρική αμαρτία();

ήσυχος. () 3 και τέλος λογαριθμικό ln.().

.

Γι' αυτό

Με τα παρακάτω παραδείγματα θα «σκοτώσουμε μερικά πουλιά με μια πέτρα»: θα εξασκηθούμε στη διαφοροποίηση μιγαδικών συναρτήσεων και θα προσθέσουμε στον πίνακα παραγώγων στοιχειωδών συναρτήσεων. Ετσι:

4. Για μια συνάρτηση ισχύος - y = x α - ξαναγράφοντάς την χρησιμοποιώντας τη γνωστή «βασική λογαριθμική ταυτότητα» - b=e ln b - με τη μορφή x α = x α ln x λαμβάνουμε

5. Για μια αυθαίρετη εκθετική συνάρτηση, χρησιμοποιώντας την ίδια τεχνική θα έχουμε

6. Για μια αυθαίρετη λογαριθμική συνάρτηση, χρησιμοποιώντας τον γνωστό τύπο για μετάβαση σε μια νέα βάση, λαμβάνουμε με συνέπεια
,

Τέλος, ας συνοψίσουμε αυτά και μερικά άλλα παράγωγα που επίσης λαμβάνονται εύκολα στον παρακάτω πίνακα.

Η επίλυση φυσικών προβλημάτων ή παραδειγμάτων στα μαθηματικά είναι εντελώς αδύνατη χωρίς γνώση της παραγώγου και των μεθόδων υπολογισμού της. Η παράγωγος είναι μια από τις πιο σημαντικές έννοιες στη μαθηματική ανάλυση. Αποφασίσαμε να αφιερώσουμε το σημερινό άρθρο σε αυτό το θεμελιώδες θέμα. Τι είναι παράγωγο, ποια είναι η φυσική του και γεωμετρική σημασίαΠώς να υπολογίσετε την παράγωγο μιας συνάρτησης; Όλες αυτές οι ερωτήσεις μπορούν να συνδυαστούν σε μία: πώς να κατανοήσουμε την παράγωγο;

Γεωμετρική και φυσική σημασία της παραγώγου

Ας υπάρχει μια συνάρτηση f(x) , καθορίζεται σε ένα ορισμένο διάστημα (α, β) . Τα σημεία x και x0 ανήκουν σε αυτό το διάστημα. Όταν το x αλλάζει, αλλάζει και η ίδια η συνάρτηση. Αλλαγή του επιχειρήματος - η διαφορά στις τιμές του x-x0 . Αυτή η διαφορά γράφεται ως δέλτα χ και ονομάζεται προσαύξηση ορίσματος. Μια αλλαγή ή αύξηση μιας συνάρτησης είναι η διαφορά μεταξύ των τιμών μιας συνάρτησης σε δύο σημεία. Ορισμός παραγώγου:

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο προς την αύξηση του ορίσματος όταν το τελευταίο τείνει στο μηδέν.

Διαφορετικά μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Τι νόημα έχει να βρεις ένα τέτοιο όριο; Και να τι είναι:

η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ του άξονα OX και της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο.

Φυσική σημασία του παραγώγου: η παράγωγος της διαδρομής ως προς το χρόνο είναι ίση με την ταχύτητα της ευθύγραμμης κίνησης.

Πράγματι, από τα σχολικά χρόνια όλοι γνωρίζουν ότι η ταχύτητα είναι μια ιδιαίτερη διαδρομή x=f(t) και του χρόνου t . Μέση ταχύτητα για μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο:

Για να μάθετε την ταχύτητα κίνησης σε μια χρονική στιγμή t0 πρέπει να υπολογίσετε το όριο:

Κανόνας πρώτος: ορίστε μια σταθερά

Η σταθερά μπορεί να αφαιρεθεί από το παράγωγο πρόσημο. Επιπλέον, αυτό πρέπει να γίνει. Όταν λύνετε παραδείγματα στα μαθηματικά, πάρτε το ως κανόνα - Εάν μπορείτε να απλοποιήσετε μια έκφραση, φροντίστε να την απλοποιήσετε .

Παράδειγμα. Ας υπολογίσουμε την παράγωγο:

Κανόνας δεύτερος: παράγωγος του αθροίσματος των συναρτήσεων

Η παράγωγος του αθροίσματος δύο συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων αυτών των συναρτήσεων. Το ίδιο ισχύει και για την παράγωγο της διαφοράς των συναρτήσεων.

Δεν θα δώσουμε μια απόδειξη αυτού του θεωρήματος, αλλά θα εξετάσουμε μάλλον ένα πρακτικό παράδειγμα.

Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης:

Κανόνας τρίτος: παράγωγος του γινομένου των συναρτήσεων

Η παράγωγος του γινομένου δύο διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων υπολογίζεται με τον τύπο:

Παράδειγμα: βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης:

Διάλυμα:

Είναι σημαντικό να μιλήσουμε για τον υπολογισμό των παραγώγων μιγαδικών συναρτήσεων εδώ. Η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης είναι ίση με το γινόμενο της παραγώγου αυτής της συνάρτησης ως προς το ενδιάμεσο όρισμα και την παράγωγο του ενδιάμεσου ορίσματος ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή.

Στο παραπάνω παράδειγμα συναντάμε την έκφραση:

Σε αυτήν την περίπτωση, το ενδιάμεσο όρισμα είναι 8x στην πέμπτη δύναμη. Για να υπολογίσουμε την παράγωγο μιας τέτοιας έκφρασης, υπολογίζουμε πρώτα την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης σε σχέση με το ενδιάμεσο όρισμα και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε με την παράγωγο του ίδιου του ενδιάμεσου ορίσματος σε σχέση με την ανεξάρτητη μεταβλητή.

Κανόνας τέταρτος: παράγωγος του πηλίκου δύο συναρτήσεων

Τύπος για τον προσδιορισμό της παραγώγου του πηλίκου δύο συναρτήσεων:

Προσπαθήσαμε να μιλήσουμε για παράγωγα για ομοιώματα από την αρχή. Αυτό το θέμα δεν είναι τόσο απλό όσο φαίνεται, γι' αυτό προειδοποιήστε: υπάρχουν συχνά παγίδες στα παραδείγματα, επομένως να είστε προσεκτικοί κατά τον υπολογισμό των παραγώγων.

Για οποιεσδήποτε ερωτήσεις σχετικά με αυτό και άλλα θέματα, μπορείτε να επικοινωνήσετε με την υπηρεσία φοιτητών. Σε σύντομο χρονικό διάστημα, θα σας βοηθήσουμε να λύσετε το πιο δύσκολο τεστ και να κατανοήσετε τις εργασίες, ακόμα κι αν δεν έχετε κάνει ποτέ στο παρελθόν υπολογισμούς παραγώγων.

Σε αυτό το μάθημα θα μάθουμε πώς να βρίσκουμε παράγωγο μιγαδικής συνάρτησης. Το μάθημα είναι μια λογική συνέχεια του μαθήματος Πώς να βρείτε το παράγωγο;, στο οποίο εξετάσαμε τις απλούστερες παραγώγους, και επίσης γνωρίσαμε τους κανόνες διαφοροποίησης και ορισμένες τεχνικές τεχνικές εύρεσης παραγώγων. Έτσι, εάν δεν είστε πολύ καλοί με τις παραγώγους συναρτήσεων ή κάποια σημεία σε αυτό το άρθρο δεν είναι απολύτως ξεκάθαρα, τότε διαβάστε πρώτα το παραπάνω μάθημα. Σας παρακαλώ να έχετε μια σοβαρή διάθεση - το υλικό δεν είναι απλό, αλλά θα προσπαθήσω να το παρουσιάσω απλά και καθαρά.

Στην πράξη, πρέπει να ασχολείσαι με την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης πολύ συχνά, θα έλεγα μάλιστα, σχεδόν πάντα, όταν σου ανατίθενται εργασίες να βρεις παραγώγους.

Εξετάζουμε τον πίνακα στον κανόνα (Νο. 5) για τη διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησης:

Ας το καταλάβουμε. Πρώτα απ 'όλα, ας προσέξουμε το λήμμα. Εδώ έχουμε δύο συναρτήσεις – και , και η συνάρτηση, μεταφορικά μιλώντας, είναι ένθετη μέσα στη συνάρτηση . Μια συνάρτηση αυτού του τύπου (όταν μια συνάρτηση είναι ένθετη μέσα σε μια άλλη) ονομάζεται σύνθετη συνάρτηση.

Θα καλέσω τη συνάρτηση εξωτερική λειτουργίακαι τη συνάρτηση – εσωτερική (ή ένθετη) λειτουργία.

! Αυτοί οι ορισμοί δεν είναι θεωρητικοί και δεν πρέπει να εμφανίζονται στον τελικό σχεδιασμό των εργασιών. Χρησιμοποιώ άτυπες εκφράσεις "εξωτερική λειτουργία", "εσωτερική" λειτουργία μόνο για να σας διευκολύνω να κατανοήσετε το υλικό.

Για να διευκρινίσετε την κατάσταση, σκεφτείτε:

Παράδειγμα 1

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Κάτω από το ημίτονο δεν έχουμε μόνο το γράμμα "X", αλλά μια ολόκληρη έκφραση, οπότε η εύρεση της παραγώγου αμέσως από τον πίνακα δεν θα λειτουργήσει. Παρατηρούμε επίσης ότι είναι αδύνατο να εφαρμοστούν οι τέσσερις πρώτοι κανόνες εδώ, φαίνεται να υπάρχει μια διαφορά, αλλά το γεγονός είναι ότι το ημίτονο δεν μπορεί να «σκιστεί σε κομμάτια»:

ΣΕ σε αυτό το παράδειγμαΕίναι ήδη διαισθητικά σαφές από τις εξηγήσεις μου ότι μια συνάρτηση είναι μια σύνθετη συνάρτηση και το πολυώνυμο είναι μια εσωτερική συνάρτηση (ενσωμάτωση) και μια εξωτερική συνάρτηση.

Πρώτο βήμααυτό που πρέπει να κάνετε όταν βρίσκετε την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης είναι να να κατανοήσουν ποια συνάρτηση είναι εσωτερική και ποια εξωτερική.

Στην περίπτωση απλών παραδειγμάτων, φαίνεται ξεκάθαρο ότι ένα πολυώνυμο είναι ενσωματωμένο κάτω από το ημίτονο. Τι γίνεται όμως αν όλα δεν είναι προφανή; Πώς να προσδιορίσετε με ακρίβεια ποια λειτουργία είναι εξωτερική και ποια εσωτερική; Για να γίνει αυτό, προτείνω να χρησιμοποιήσετε την ακόλουθη τεχνική, η οποία μπορεί να γίνει νοερά ή σε προσχέδιο.

Ας φανταστούμε ότι πρέπει να χρησιμοποιήσουμε μια αριθμομηχανή για να υπολογίσουμε την τιμή της παράστασης στο (αντί για ένα μπορεί να υπάρχει οποιοσδήποτε αριθμός).

Τι θα υπολογίσουμε πρώτα; Προπαντόςθα χρειαστεί να εκτελέσετε την ακόλουθη ενέργεια: , επομένως το πολυώνυμο θα είναι μια εσωτερική συνάρτηση:

Δεύτεροθα χρειαστεί να βρεθεί, άρα το ημιτονικό – θα είναι μια εξωτερική συνάρτηση:

Αφού εμείς ΕΞΑΝΤΛΗΜΕΝΑΜε εσωτερικές και εξωτερικές λειτουργίες, ήρθε η ώρα να εφαρμόσουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης των πολύπλοκων συναρτήσεων.

Ας αρχίσουμε να αποφασίζουμε. Από την τάξη Πώς να βρείτε το παράγωγο;θυμόμαστε ότι ο σχεδιασμός μιας λύσης σε οποιαδήποτε παράγωγο ξεκινά πάντα έτσι - περικλείουμε την έκφραση σε παρενθέσεις και βάζουμε μια πινελιά πάνω δεξιά:

Αρχικάβρίσκουμε την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης (ημιτονοειδές), κοιτάμε τον πίνακα παραγώγων στοιχειωδών συναρτήσεων και παρατηρούμε ότι . Όλοι οι τύποι πίνακα ισχύουν επίσης εάν το "x" αντικατασταθεί με μια σύνθετη έκφραση, σε αυτή την περίπτωση:

Σημειώστε ότι η εσωτερική λειτουργία δεν έχει αλλάξει, δεν το αγγίζουμε.

Λοιπόν, είναι προφανές ότι

Το τελικό αποτέλεσμα της εφαρμογής του τύπου μοιάζει με αυτό:

Ο σταθερός παράγοντας τοποθετείται συνήθως στην αρχή της έκφρασης:

Εάν υπάρχει κάποια παρεξήγηση, γράψτε τη λύση σε χαρτί και διαβάστε ξανά τις εξηγήσεις.

Παράδειγμα 2

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Παράδειγμα 3

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Όπως πάντα, γράφουμε:

Ας δούμε πού έχουμε μια εξωτερική λειτουργία και πού μια εσωτερική. Για να γίνει αυτό, προσπαθούμε (διανοητικά ή σε προσχέδιο) να υπολογίσουμε την τιμή της έκφρασης στο . Τι πρέπει να κάνετε πρώτα; Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να υπολογίσετε με τι ισούται η βάση: επομένως, το πολυώνυμο είναι η εσωτερική συνάρτηση:

Και, μόνο τότε εκτελείται η εκθετικότητα, επομένως, λειτουργία ισχύοςείναι μια εξωτερική λειτουργία:

Σύμφωνα με τον τύπο, πρέπει πρώτα να βρείτε την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης, σε αυτήν την περίπτωση, τον βαθμό. Ψάχνω στον πίνακα τον απαιτούμενο τύπο: . Επαναλαμβάνουμε ξανά: οποιοσδήποτε τύπος πίνακα ισχύει όχι μόνο για το "X", αλλά και για μια σύνθετη έκφραση. Έτσι, το αποτέλεσμα της εφαρμογής του κανόνα για τη διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησης είναι το εξής:

Τονίζω ξανά ότι όταν παίρνουμε την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης, η εσωτερική μας συνάρτηση δεν αλλάζει:

Τώρα το μόνο που μένει είναι να βρείτε μια πολύ απλή παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης και να τροποποιήσετε λίγο το αποτέλεσμα:

Παράδειγμα 4

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για ανεξάρτητη απόφαση(απάντηση στο τέλος του μαθήματος).

Για να εμπεδώσω την κατανόησή σας για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης, θα δώσω ένα παράδειγμα χωρίς σχόλια, προσπαθήστε να το καταλάβετε μόνοι σας, αιτιολογήστε πού βρίσκεται η εξωτερική και πού η εσωτερική συνάρτηση, γιατί οι εργασίες λύνονται με αυτόν τον τρόπο;

Παράδειγμα 5

α) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης

β) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης

Παράδειγμα 6

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Εδώ έχουμε μια ρίζα, και για να διαφοροποιηθεί η ρίζα, πρέπει να αναπαρασταθεί ως δύναμη. Έτσι, πρώτα φέρνουμε τη συνάρτηση στη μορφή που είναι κατάλληλη για διαφοροποίηση:

Αναλύοντας τη συνάρτηση, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι το άθροισμα των τριών όρων είναι εσωτερική συνάρτηση και η αύξηση σε ισχύ είναι εξωτερική συνάρτηση. Εφαρμόζουμε τον κανόνα διαφοροποίησης σύνθετων συναρτήσεων:

Και πάλι παριστάνουμε τον βαθμό ως ρίζα (ρίζα) και για την παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης εφαρμόζουμε έναν απλό κανόνα για τη διαφοροποίηση του αθροίσματος:

Ετοιμος. Μπορείτε επίσης να μειώσετε την έκφραση σε έναν κοινό παρονομαστή σε αγκύλες και να γράψετε τα πάντα ως ένα κλάσμα. Είναι όμορφο, φυσικά, αλλά όταν λαμβάνετε δυσκίνητα μακροπρόθεσμα παράγωγα, είναι καλύτερα να μην το κάνετε αυτό (είναι εύκολο να μπερδευτείτε, να κάνετε ένα περιττό λάθος και θα είναι άβολο για τον δάσκαλο να ελέγξει).

Παράδειγμα 7

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να λύσετε μόνοι σας (απάντηση στο τέλος του μαθήματος).

Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι μερικές φορές αντί για τον κανόνα για τη διαφοροποίηση μιας μιγαδικής συνάρτησης, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα για τη διαφοροποίηση ενός πηλίκου , αλλά μια τέτοια λύση θα μοιάζει με αστεία διαστροφή. Ακολουθεί ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα:

Παράδειγμα 8

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Εδώ μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα της διαφοροποίησης του πηλίκου , αλλά είναι πολύ πιο κερδοφόρο να βρεθεί η παράγωγος μέσω του κανόνα διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης:

Προετοιμάζουμε τη συνάρτηση για διαφοροποίηση - μετακινούμε το μείον από το πρόσημο της παραγώγου και ανεβάζουμε το συνημίτονο στον αριθμητή:

Το συνημίτονο είναι μια εσωτερική συνάρτηση, η εκθετικότητα είναι μια εξωτερική συνάρτηση.
Ας χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα μας:

Βρίσκουμε την παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης και επαναφέρουμε το συνημίτονο:

Ετοιμος. Στο εξεταζόμενο παράδειγμα, είναι σημαντικό να μην μπερδεύεστε στα ζώδια. Παρεμπιπτόντως, προσπαθήστε να το λύσετε χρησιμοποιώντας τον κανόνα , οι απαντήσεις πρέπει να ταιριάζουν.

Παράδειγμα 9

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να λύσετε μόνοι σας (απάντηση στο τέλος του μαθήματος).

Μέχρι στιγμής έχουμε εξετάσει περιπτώσεις όπου είχαμε μόνο μία φωλιά σε μια σύνθετη συνάρτηση. Σε πρακτικές εργασίες, μπορείτε συχνά να βρείτε παράγωγα, όπου, όπως οι κούκλες που φωλιάζουν, η μία μέσα στην άλλη, 3 ή ακόμα και 4-5 συναρτήσεις είναι φωλιασμένες ταυτόχρονα.

Παράδειγμα 10

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Ας κατανοήσουμε τα συνημμένα αυτής της συνάρτησης. Ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε την έκφραση χρησιμοποιώντας την πειραματική τιμή. Πώς θα υπολογίζαμε σε μια αριθμομηχανή;

Πρώτα πρέπει να βρείτε , που σημαίνει ότι το τόξο είναι η βαθύτερη ενσωμάτωση:

Αυτό το τόξο του ενός πρέπει στη συνέχεια να τετραγωνιστεί:

Και τέλος, ανεβάζουμε επτά σε δύναμη:

Δηλαδή, σε αυτό το παράδειγμα έχουμε τρεις διαφορετικές συναρτήσεις και δύο ενσωματώσεις, ενώ η πιο εσωτερική συνάρτηση είναι το τόξο και η πιο εξωτερική συνάρτηση είναι η εκθετική συνάρτηση.

Ας αρχίσουμε να αποφασίζουμε

Σύμφωνα με τον κανόνα, πρέπει πρώτα να πάρετε την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης. Κοιτάμε τον πίνακα των παραγώγων και βρίσκουμε την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης: Η μόνη διαφορά είναι ότι αντί για «x» έχουμε μια σύνθετη έκφραση, η οποία δεν αναιρεί την εγκυρότητα αυτού του τύπου. Έτσι, το αποτέλεσμα της εφαρμογής του κανόνα για τη διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησης είναι το εξής:

Κάτω από το κτύπημα έχουμε πάλι σύνθετη λειτουργία! Αλλά είναι ήδη πιο απλό. Είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι η εσωτερική συνάρτηση είναι το τόξο, η εξωτερική συνάρτηση είναι η μοίρα. Σύμφωνα με τον κανόνα για τη διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησης, πρέπει πρώτα να πάρετε την παράγωγο της ισχύος.

Δίνονται παραδείγματα υπολογισμού παραγώγων χρησιμοποιώντας τον τύπο για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης.

Περιεχόμενο

Δείτε επίσης: Απόδειξη του τύπου για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης

Βασικοί τύποι

Εδώ δίνουμε παραδείγματα υπολογισμού παραγώγων των παρακάτω συναρτήσεων:
; ; ; ; .

Εάν μια συνάρτηση μπορεί να αναπαρασταθεί ως σύνθετη συνάρτηση με την ακόλουθη μορφή:
,
τότε η παράγωγός της προσδιορίζεται από τον τύπο:
.
Στα παρακάτω παραδείγματα, θα γράψουμε αυτόν τον τύπο ως εξής:
.
Που .
Εδώ, οι δείκτες ή , που βρίσκονται κάτω από το πρόσημο της παραγώγου, δηλώνουν τις μεταβλητές με τις οποίες εκτελείται η διαφοροποίηση.

Συνήθως, σε πίνακες παραγώγων δίνονται παράγωγοι συναρτήσεων από τη μεταβλητή x.

Ωστόσο, το x είναι μια τυπική παράμετρος. Η μεταβλητή x μπορεί να αντικατασταθεί από οποιαδήποτε άλλη μεταβλητή. Επομένως, όταν διαφοροποιούμε μια συνάρτηση από μια μεταβλητή, απλώς αλλάζουμε, στον πίνακα των παραγώγων, τη μεταβλητή x στη μεταβλητή u.

Απλά παραδείγματα

Παράδειγμα 1
.

Να βρείτε την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης Ας το γράψουμεδεδομένη λειτουργία
.
σε ισοδύναμη μορφή:
;
.

Στον πίνακα των παραγώγων βρίσκουμε:
.
Σύμφωνα με τον τύπο για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης, έχουμε:

Εδώ .

Παράδειγμα 2
.

Βρείτε την παράγωγο
.

.
Σύμφωνα με τον τύπο για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης, έχουμε:

Βγάζουμε τη σταθερά 5 από το πρόσημο της παραγώγου και από τον πίνακα των παραγώγων βρίσκουμε:

Παράδειγμα 3
.

Βρείτε την παράγωγο -1 Βγάζουμε ένα σταθερό
;
για το πρόσημο της παραγώγου και από τον πίνακα των παραγώγων βρίσκουμε:
.

Από τον πίνακα των παραγώγων βρίσκουμε:
.
Σύμφωνα με τον τύπο για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης, έχουμε:

Εφαρμόζουμε τον τύπο για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης:

Πιο σύνθετα παραδείγματα Σε περισσότερασύνθετα παραδείγματα εφαρμόζουμε τον κανόνα για τη διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησης πολλές φορές. Σε αυτή την περίπτωση, υπολογίζουμε την παράγωγο από το τέλος. Δηλαδή, χωρίζουμε τη συνάρτηση στα συστατικά μέρη της και βρίσκουμε τις παραγώγους των απλούστερων μερών χρησιμοποιώνταςπίνακας παραγώγων . Χρησιμοποιούμε επίσηςκανόνες για τη διαφοροποίηση των ποσών

, προϊόντα και κλάσματα. Στη συνέχεια κάνουμε αντικαταστάσεις και εφαρμόζουμε τον τύπο για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης.

Παράδειγμα 3
.

Παράδειγμα 4

.
Ας επιλέξουμε το απλούστερο μέρος του τύπου και ας βρούμε την παράγωγό του. .
.

Εδώ χρησιμοποιήσαμε τη σημειογραφία
.

Βρίσκουμε την παράγωγο του επόμενου μέρους της αρχικής συνάρτησης χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα που προέκυψαν. Εφαρμόζουμε τον κανόνα για τη διαφοροποίηση του αθροίσματος:

.
Σύμφωνα με τον τύπο για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης, έχουμε:

Για άλλη μια φορά εφαρμόζουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης των μιγαδικών συναρτήσεων.

Παράδειγμα 5
.

Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης

Ας επιλέξουμε το απλούστερο μέρος του τύπου και ας βρούμε την παράγωγό του από τον πίνακα των παραγώγων. .
.
Εφαρμόζουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης των μιγαδικών συναρτήσεων.
.

Εδώ
.
Εφαρμόζουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης των μιγαδικών συναρτήσεων.
.

Ας διαφοροποιήσουμε το επόμενο μέρος χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα που προέκυψαν.

.
Εφαρμόζουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης των μιγαδικών συναρτήσεων.
.

Ας διαφοροποιήσουμε το επόμενο μέρος.

.
Εφαρμόζουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης των μιγαδικών συναρτήσεων.
.

Τώρα βρίσκουμε την παράγωγο της επιθυμητής συνάρτησης.

Δείτε επίσης: Μετά την προκαταρκτική προετοιμασία του πυροβολικού, τα παραδείγματα με 3-4-5 φωλιές λειτουργιών θα είναι λιγότερο τρομακτικά. Ίσως τα ακόλουθα δύο παραδείγματα να φαίνονται περίπλοκα σε κάποιους, αλλά αν τα καταλάβετε (κάποιος θα υποφέρει), τότε σχεδόν όλα τα άλλαδιαφορικός λογισμός

Παράδειγμα 2

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Θα φαίνεται σαν παιδικό αστείο. Όπως έχει ήδη σημειωθεί, κατά την εύρεση της παραγώγου μιας σύνθετης συνάρτησης, πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητοΔικαίωμα

1) Πρώτα πρέπει να υπολογίσουμε την έκφραση, που σημαίνει ότι το άθροισμα είναι η βαθύτερη ενσωμάτωση.

2) Στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσετε τον λογάριθμο:

4) Έπειτα κύβω το συνημίτονο:

5) Στο πέμπτο βήμα η διαφορά:

6) Και τέλος, η πιο εξωτερική συνάρτηση είναι η τετραγωνική ρίζα:

Τύπος για τη διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησης εφαρμόζονται με αντίστροφη σειρά, από την πιο εξωτερική συνάρτηση στην πιο εσωτερική. Αποφασίζουμε:

Φαίνεται χωρίς λάθη:

1) Πάρτε την παράγωγο της τετραγωνικής ρίζας.

2) Πάρτε την παράγωγο της διαφοράς χρησιμοποιώντας τον κανόνα

3) Η παράγωγος ενός τριπλού είναι μηδέν. Στον δεύτερο όρο παίρνουμε την παράγωγο του βαθμού (κύβος).

4) Πάρτε την παράγωγο του συνημιτόνου.

6) Και τέλος, παίρνουμε το παράγωγο της βαθύτερης ενσωμάτωσης.

Μπορεί να φαίνεται πολύ δύσκολο, αλλά αυτό δεν είναι το πιο βάναυσο παράδειγμα. Πάρτε, για παράδειγμα, τη συλλογή του Kuznetsov και θα εκτιμήσετε όλη την ομορφιά και την απλότητα του αναλυόμενου παραγώγου. Παρατήρησα ότι τους αρέσει να δίνουν κάτι παρόμοιο σε μια εξέταση για να ελέγξουν αν ένας μαθητής καταλαβαίνει πώς να βρει την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ή δεν καταλαβαίνει.

Το παρακάτω παράδειγμα είναι για να το λύσετε μόνοι σας.

Παράδειγμα 3

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Υπόδειξη: Αρχικά εφαρμόζουμε τους κανόνες γραμμικότητας και τον κανόνα διαφοροποίησης προϊόντων

Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Ήρθε η ώρα να προχωρήσετε σε κάτι μικρότερο και πιο ωραίο.
Δεν είναι ασυνήθιστο για ένα παράδειγμα να δείχνει το γινόμενο όχι δύο, αλλά τριών συναρτήσεων. Πώς να βρείτε την παράγωγο του γινομένου τριών παραγόντων;

Παράδειγμα 4

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Αρχικά, ας δούμε αν είναι δυνατό να μετατρέψουμε το γινόμενο τριών συναρτήσεων σε γινόμενο δύο συναρτήσεων; Για παράδειγμα, αν είχαμε δύο πολυώνυμα στο γινόμενο, τότε θα μπορούσαμε να ανοίξουμε τις αγκύλες. Αλλά στο υπό εξέταση παράδειγμα, όλες οι συναρτήσεις είναι διαφορετικές: βαθμός, εκθέτης και λογάριθμος.

Σε τέτοιες περιπτώσεις είναι απαραίτητο διαδοχικάεφαρμόστε τον κανόνα διαφοροποίησης προϊόντων δυο φορές

Το κόλπο είναι ότι με "y" συμβολίζουμε το γινόμενο δύο συναρτήσεων: , και με "ve" συμβολίζουμε τον λογάριθμο: . Γιατί μπορεί να γίνει αυτό; Είναι πραγματικά - αυτό δεν είναι προϊόν δύο παραγόντων και ο κανόνας δεν λειτουργεί;! Δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο:

Τώρα μένει να εφαρμοστεί ο κανόνας για δεύτερη φορά σε παρένθεση:

Μπορείτε επίσης να στρίψετε και να βάλετε κάτι εκτός παρενθέσεων, αλλά σε αυτήν την περίπτωση είναι καλύτερα να αφήσετε την απάντηση ακριβώς σε αυτήν τη μορφή - θα είναι πιο εύκολο να ελέγξετε.

Το εξεταζόμενο παράδειγμα μπορεί να λυθεί με τον δεύτερο τρόπο:

Και οι δύο λύσεις είναι απολύτως ισοδύναμες.

Παράδειγμα 5

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση στο δείγμα που επιλύεται χρησιμοποιώντας την πρώτη μέθοδο.

Ας δούμε παρόμοια παραδείγματα με κλάσματα.

Παράδειγμα 6

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορείτε να πάτε εδώ:

Ή όπως αυτό:

Αλλά η λύση θα γραφτεί πιο συμπαγή αν χρησιμοποιήσουμε πρώτα τον κανόνα της διαφοροποίησης του πηλίκου , λαμβάνοντας για ολόκληρο τον αριθμητή:

Κατ 'αρχήν, το παράδειγμα λύνεται και αν μείνει ως έχει, δεν θα είναι σφάλμα. Αλλά εάν έχετε χρόνο, είναι πάντα σκόπιμο να ελέγχετε ένα προσχέδιο για να δείτε εάν η απάντηση μπορεί να απλοποιηθεί;

Ας μειώσουμε την έκφραση του αριθμητή σε έναν κοινό παρονομαστή και ας απαλλαγούμε από την τριώροφη δομή του κλάσματος:

Το μειονέκτημα των πρόσθετων απλοποιήσεων είναι ότι υπάρχει κίνδυνος να γίνει λάθος όχι κατά την εύρεση του παραγώγου, αλλά κατά τη διάρκεια των συνηθισμένων σχολικών μετασχηματισμών. Από την άλλη πλευρά, οι δάσκαλοι συχνά απορρίπτουν την εργασία και ζητούν να «το φέρουν στο μυαλό» το παράγωγο.

Ένα πιο απλό παράδειγμα για να λύσετε μόνοι σας:

Παράδειγμα 7

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Συνεχίζουμε να κατακτούμε τις μεθόδους εύρεσης της παραγώγου και τώρα θα εξετάσουμε μια τυπική περίπτωση όταν ένας «τρομερός» λογάριθμος προτείνεται για διαφοροποίηση