Los números siguen a la gente a todas partes. Incluso nuestro cuerpo está en sintonía con su mundo: tenemos una cierta cantidad de órganos, dientes, cabello y células de la piel. Contar se ha convertido en una acción habitual y automática, por lo que es difícil imaginar que alguna vez la gente no supiera los números. De hecho, la historia de la aparición de los números se remonta a la antigüedad.
Números y pueblos primitivos.
En algún momento, la persona sintió una gran necesidad de contar. Para esto es
La vida misma me empujó. Era necesario organizar de alguna manera la tribu, enviando solo un cierto número de personas a cazar o recolectar. Por eso, usaban los dedos para contar. Todavía hay tribus que muestran una mano en lugar del número “5” y dos en lugar de diez. Con un algoritmo de conteo tan simple, la historia de la aparición de los números comenzó a desarrollarse.
numeros primos
La historia de la aparición de los números nos permite notar que la gente hace bastante tiempo descubrió la diferencia entre un número par e impar, así como varias relaciones dentro de las propias expresiones numéricas. Contribución considerable a tales
La investigación fue introducida por los antiguos griegos. Por ejemplo, el científico griego Eratóstenes creó una forma bastante sencilla de encontrar números primos. Para esto anotó cantidad requerida números en orden, y luego comenzó a tachar, primero todos los números que se pueden dividir por dos, luego, por tres. El resultado fue una lista de números que no eran divisibles por nada excepto uno y por sí mismo. Este método se llamó el "tamiz de Eratóstenes" debido a que los griegos no tachaban, sino que sacaban números innecesarios en tablillas cubiertas con cera.
Por tanto, la historia de la aparición de los números es un fenómeno antiguo y profundo. Según los científicos, comenzó hace unos 30 mil años. Durante este tiempo, muchas cosas han cambiado en la vida de una persona. Pero hasta el día de hoy guía nuestra existencia.
Las propiedades de los números primos fueron estudiadas por primera vez por los matemáticos. Grecia antigua. Los matemáticos de la escuela pitagórica (500 - 300 a. C.) estaban interesados principalmente en las propiedades místicas y numerológicas de los números primos. Fueron los primeros en proponer ideas sobre números perfectos y amigables.
Un número perfecto tiene una suma de sus propios divisores igual a él mismo. Por ejemplo, los divisores propios del número 6 son 1, 2 y 3. 1 + 2 + 3 = 6. Los divisores del número 28 son 1, 2, 4, 7 y 14. Además, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Los números se llaman amigables si la suma de los divisores propios de un número es igual a otro, y viceversa, por ejemplo, 220 y 284. Podemos decir que un número perfecto es amigable consigo mismo.
En la época de los Elementos de Euclides en el año 300 a.C. Ya se han demostrado varios hechos importantes sobre los números primos. En el Libro IX de los Elementos, Euclides demostró que existe un número infinito de números primos. Este, por cierto, es uno de los primeros ejemplos del uso de la prueba por contradicción. También demuestra el teorema fundamental de la aritmética: cada número entero se puede representar de forma única como producto de números primos.
También demostró que si el número 2n-1 es primo, entonces el número 2n-1 * (2n-1) será perfecto. Otro matemático, Euler, pudo demostrar en 1747 que todos los números pares perfectos se pueden escribir de esta forma. Hasta el día de hoy se desconoce si existen números perfectos impares.
En el año 200 a.C. Al griego Eratóstenes se le ocurrió un algoritmo para encontrar números primos llamado el Tamiz de Eratóstenes.
Y luego hubo una gran ruptura en la historia del estudio de los números primos, asociada con la Edad Media.
Los siguientes descubrimientos los hizo el matemático Fermat ya a principios del siglo XVII. Demostró la conjetura de Albert Girard de que cualquier número primo de la forma 4n+1 puede escribirse únicamente como la suma de dos cuadrados, y también formuló el teorema de que cualquier número puede escribirse como la suma de cuatro cuadrados.
Desarrolló un nuevo método para factorizar números grandes y lo demostró con el número 2027651281 = 44021? 46061. También demostró el pequeño teorema de Fermat: si p es un número primo, entonces para cualquier número entero a será cierto que a p = a módulo p.
Esta afirmación prueba la mitad de lo que se conoció como la "conjetura china" y que data de hace 2000 años: un número entero n es primo si y sólo si 2 n -2 es divisible por n. La segunda parte de la hipótesis resultó ser falsa; por ejemplo, 2341 - 2 es divisible por 341, aunque el número 341 es compuesto: ¿341 = 31? 11.
El pequeño teorema de Fermat sirvió de base para muchos otros resultados en teoría de números y métodos para comprobar si los números son primos, muchos de los cuales todavía se utilizan en la actualidad.
Fermat mantuvo mucha correspondencia con sus contemporáneos, especialmente con un monje llamado Maren Mersenne. En una de sus cartas, planteó la hipótesis de que los números de la forma 2 n +1 siempre serán primos si n es una potencia de dos. Probó esto para n = 1, 2, 4, 8 y 16, y confió en que en el caso en que n no fuera una potencia de dos, el número no era necesariamente primo. Estos números se llaman números de Fermat, y sólo 100 años después, Euler demostró que el siguiente número, 2 32 + 1 = 4294967297, es divisible por 641 y, por tanto, no es primo.
Los números de la forma 2 n - 1 también han sido objeto de investigación, ya que es fácil demostrar que si n es compuesto, entonces el número en sí también lo es. Estos números se llaman números de Mersenne porque los estudió exhaustivamente.
Pero no todos los números de la forma 2 n - 1, donde n es primo, son primos. Por ejemplo, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Esto se descubrió por primera vez en 1536.
Durante muchos años, números de este tipo proporcionaron a los matemáticos los números primos más grandes conocidos. Que M 19 fue demostrado por Cataldi en 1588, y durante 200 años fue el número primo más grande conocido, hasta que Euler demostró que M 31 también era primo. Este récord se mantuvo durante otros cien años, y luego Lucas demostró que M 127 es primo (y este ya es un número de 39 dígitos), y luego la investigación continuó con la llegada de las computadoras.
En 1952 se demostró la primacía de los números M 521, M 607, M 1279, M 2203 y M 2281.
En 2005, se habían encontrado 42 números primos de Mersenne. El mayor de ellos, M 25964951, consta de 7816230 dígitos.
El trabajo de Euler tuvo un gran impacto en la teoría de los números, incluidos los números primos. Amplió el pequeño teorema de Fermat e introdujo la función ?. Factoricé el quinto número de Fermat 2 32 +1, encontré 60 pares de números amigos y formulé (pero no pude probar) la ley de reciprocidad cuadrática.
Fue el primero en introducir métodos de análisis matemático y desarrollar la teoría analítica de números. ¿Demostró que no sólo la serie armónica? (1/n), pero también una serie de la forma
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…
El resultado obtenido por la suma de los recíprocos de números primos también diverge. La suma de n términos de la serie armónica crece aproximadamente como log(n), y la segunda serie diverge más lentamente como log[log(n)]. Esto significa que, por ejemplo, la suma de los recíprocos de todos los números primos encontrados hasta la fecha dará solo 4, aunque la serie aún diverge.
A primera vista, parece que los números primos se distribuyen de forma bastante aleatoria entre los números enteros. Por ejemplo, entre los 100 números inmediatamente anteriores a 10000000 hay 9 números primos, y entre los 100 números inmediatamente después de este valor sólo hay 2. Pero en segmentos grandes los números primos se distribuyen de manera bastante uniforme. Legendre y Gauss se ocuparon de cuestiones relativas a su distribución. Gauss le dijo una vez a un amigo que en los 15 minutos libres siempre cuenta el número de números primos de los 1.000 números siguientes. Al final de su vida, había contado todos los números primos hasta 3 millones. Legendre y Gauss calcularon igualmente que para n grande la densidad prima es 1/log(n). Legendre estimó el número de números primos en el rango de 1 an como
?(norte) = norte/(log(norte) - 1,08366)
Y Gauss es como una integral logarítmica.
?(n) = ? 1/log(t)dt
Con un intervalo de integración de 2 a n.
La afirmación sobre la densidad de los primos 1/log(n) se conoce como teorema de la distribución de primos. Intentaron demostrarlo a lo largo del siglo XIX, y Chebyshev y Riemann lograron avances. Lo relacionaron con la hipótesis de Riemann, una hipótesis aún no probada sobre la distribución de ceros de la función zeta de Riemann. La densidad de los números primos fue demostrada simultáneamente por Hadamard y Vallée-Poussin en 1896.
Todavía quedan muchas cuestiones sin resolver en la teoría de los números primos, algunas de las cuales tienen cientos de años:
- La hipótesis de los primos gemelos trata sobre un número infinito de pares de números primos que difieren entre sí en 2
- Conjetura de Goldbach: cualquier número par, empezando por 4, se puede representar como la suma de dos números primos
- ¿Existe un número infinito de números primos de la forma n 2 + 1?
- ¿Es siempre posible encontrar un número primo entre n 2 y (n + 1) 2? (Chebyshev demostró el hecho de que siempre hay un número primo entre n y 2n)
- ¿Es infinito el número de primos de Fermat? ¿Hay primos de Fermat después de 4?
- ¿Existe una progresión aritmética de números primos consecutivos para una longitud determinada? por ejemplo, para longitud 4: 251, 257, 263, 269. La longitud máxima encontrada es 26.
- ¿Existe un número infinito de conjuntos de tres números primos consecutivos en una progresión aritmética?
- n 2 - n + 41 – ¿número primo para 0? ¿norte? 40. ¿Existe un número infinito de tales números primos? La misma pregunta para la fórmula n 2 - 79 n + 1601. ¿Son estos números primos para 0? ¿norte? 79.
- ¿Existe un número infinito de números primos de la forma n# + 1? (n# es el resultado de multiplicar todos los números primos menores que n)
- ¿Existe un número infinito de números primos de la forma n# -1?
- ¿Existe un número infinito de números primos de la forma n? + 1?
- ¿Existe un número infinito de números primos de la forma n? – 1?
- Si p es primo, ¿2 p -1 no siempre contiene cuadrados primos entre sus factores?
- ¿La secuencia de Fibonacci contiene un número infinito de números primos?
¿Los números primos gemelos más grandes son 2003663613? 2 195000 ± 1. Constan de 58711 dígitos y fueron encontrados en 2007.
¡El número primo factorial más grande (del tipo n! ± 1) es 147855! - 1. Consta de 142891 dígitos y fue encontrado en el año 2002.
El número primo primordial más grande (un número de la forma n# ± 1) es 1098133# + 1.
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numeros primos son números enteros mayores que uno que no se pueden representar como producto de dos números menores. Entonces 6 no es un número primo porque se puede representar como el producto de 2x3, y 5 es un número primo porque la única forma de representarlo como el producto de dos números es 1x5 o 5x1. Si tienes varias monedas, pero no puedes ordenarlas todas en forma de rectángulo, sino que solo puedes ordenarlas en línea recta, tu número de monedas es un número primo.
Un número infinito de números primos.
Algunas personas piensan que los números primos no valen aprendizaje profundo, pero son fundamentales para las matemáticas. Cada número se puede representar de forma única como números primos multiplicados entre sí. Esto significa que los números primos son "átomos de multiplicación", pequeñas partículas a partir de las cuales se puede construir algo grande.
Dado que los números primos son los componentes básicos de los números enteros, que se obtienen mediante multiplicación, muchos problemas de números enteros se pueden reducir a problemas de números primos. De manera similar, algunos problemas de química se pueden resolver utilizando la composición atómica. elementos quimicos, involucrado en el sistema. Por lo tanto, si hubiera un número finito de números primos, uno podría simplemente verificar uno por uno en una computadora. Sin embargo, resulta que hay un número infinito de números primos que en este momento Los matemáticos no entienden bien.
El matemático griego Euclides demostró que existe un número infinito de números primos. Si tienes un cierto número de primos, como p1,...pn, puedes considerar el número p1×...×pn + 1, que es uno más que todos los primos multiplicados entre sí. Este número no puede ser el producto de ningún número p1,...pn de tu lista, pero definitivamente es mayor que 1. Eso es todo. factores primos Deben ser números primos que no están en tu lista. Al agregar nuevos números primos a su lista y repetir los mismos pasos, siempre podrá encontrar al menos un nuevo número primo. Por tanto, debe haber un número infinito de números primos.
historia de los estudios
Nadie sabe con certeza en qué sociedad se consideraron por primera vez los números primos. Se han estudiado durante tanto tiempo que los científicos no tienen registros de esa época. Hay sugerencias de que algunas civilizaciones tempranas tenían algún tipo de comprensión de los números primos, pero la primera evidencia real de esto proviene de escritos en papiros egipcios realizados hace más de 3.500 años.
Probablemente los antiguos griegos fueron los primeros en estudiar los números primos como tema de interés científico y creían que los números primos eran importantes para las matemáticas puramente abstractas. El teorema de Euclides todavía se enseña en las escuelas, a pesar de que tiene más de 2.000 años.
Después de los griegos, en el siglo XVII se volvió a prestar mucha atención a los números primos. Desde entonces, muchos matemáticos famosos han hecho importantes contribuciones a nuestra comprensión de los números primos. Pierre de Fermat hizo muchos descubrimientos y es famoso por el último teorema de Fermat, un problema de números primos de 350 años de antigüedad, resuelto por Andrew Wiles en 1994. Leonhard Euler demostró muchos teoremas en el siglo XVIII, y en el siglo XIX Carl Friedrich Gauss, Pafnutius Chebyshev y Bernhard Riemann lograron importantes avances, especialmente en lo que respecta a la distribución de números primos. Todo esto culminó en la aún no resuelta Hipótesis de Riemann, que a menudo se considera el problema sin resolver más importante de todas las matemáticas. La hipótesis de Riemann permite predecir con mucha precisión la aparición de los números primos y también explica en parte por qué resultan tan difíciles para los matemáticos.
Aplicaciones prácticas
Los números primos tienen una gran cantidad de usos tanto en el campo de las matemáticas como más allá. Los números primos se utilizan casi a diario hoy en día, aunque la mayoría de la gente no lo sabe. Los números primos son de tanta importancia para los científicos porque son los átomos de la multiplicación. Muchos problemas abstractos relacionados con la multiplicación podrían resolverse si la gente supiera más sobre los números primos. Los matemáticos suelen dividir un problema en varios problemas pequeños, y los números primos podrían ayudar con esto si se comprendieran mejor.
Fuera de las matemáticas, los principales usos de los números primos involucran a las computadoras. Las computadoras almacenan todos los datos como una secuencia de ceros y unos, que puede expresarse como un número entero. Muchos programas informáticos multiplican números vinculados a datos. Esto significa que justo debajo de la superficie se encuentran los números primos. Cuando una persona realiza cualquier compra online aprovecha que existen formas de multiplicar números difíciles de descifrar para un hacker, pero fáciles para un comprador. Esto funciona debido al hecho de que los números primos no tienen ninguna característica especial; de lo contrario, un atacante podría obtener información de la tarjeta bancaria.
Encontrar nuevos números primos
Una forma de encontrar números primos es mediante la búsqueda por computadora. Al comprobar repetidamente si un número es factor de 2, 3, 4, etc., puedes determinar fácilmente si es primo. Si no es factor de ningún número menor, es primo. En realidad, esta es una forma que lleva mucho tiempo de determinar si un número es primo. Sin embargo, existen formas más efectivas de determinar esto. La eficiencia de estos algoritmos para cada número es el resultado de un avance teórico en 2002.
Hay bastantes números primos, así que si tomamos gran número y le sumas uno, puedes toparte con un número primo. De hecho, muchos programas informáticos se basan en el hecho de que los números primos no son demasiado difíciles de encontrar. Esto significa que si eliges un número al azar entre 100 dígitos, tu computadora encontrará el número primo mayor en unos segundos. Dado que hay más números primos de 100 dígitos que átomos en el universo, es probable que nadie sepa con seguridad que un número es primo.
Normalmente, los matemáticos no buscan números primos individuales en una computadora, pero están muy interesados en números primos con propiedades especiales. Hay dos problemas conocidos: si hay un número infinito de números primos que son uno mayor que el cuadrado (por ejemplo, esto es importante en la teoría de grupos) y si hay un número infinito de pares de números primos que difieren entre sí. por 2.
Secretos de los números primos.
A pesar de que los números primos se han estudiado durante más de tres milenios y tienen una descripción sencilla, sorprendentemente todavía se sabe poco sobre los números primos. Por ejemplo, los matemáticos saben que los únicos pares de números primos que difieren en uno son 2 y 3. Sin embargo, no se sabe si hay un número infinito de pares de números primos que difieren en 2. Se supone que existe, pero esto aún no se ha demostrado. Este es un problema que se puede explicar a un niño en edad escolar, pero las mentes matemáticas más brillantes han estado dándole vueltas a él durante más de 100 años.
Muchas de las preguntas más interesantes sobre los números primos, tanto desde el punto de vista práctico como teórico, tienen que ver con cuántos números primos tienen qué propiedad. La respuesta a la pregunta más simple (cuántos números primos hay de cierto tamaño) se puede obtener teóricamente resolviendo la hipótesis de Riemann. Un incentivo adicional para demostrar la hipótesis de Riemann es el premio de un millón de dólares que ofrece el Clay Mathematics Institute, así como un lugar de honor entre los matemáticos más eminentes de todos los tiempos.
Ahora existen buenas formas de adivinar cuál será la respuesta correcta a muchas de estas preguntas. Por el momento, las conjeturas de los matemáticos superan todos los experimentos numéricos y existen bases teóricas para confiar en ellas. Sin embargo, para las matemáticas puras y el funcionamiento de los algoritmos informáticos, es extremadamente importante que estas conjeturas sean realmente correctas. Los matemáticos sólo pueden estar completamente satisfechos con pruebas indiscutibles.
El mayor desafío para la aplicación práctica es la dificultad de encontrar todos los factores primos de un número. Si tomas el número 15, puedes determinar rápidamente que 15=5x3. Pero si tomamos un número de 1000 dígitos, calcular todos sus factores primos tardará incluso al superordenador más potente del mundo más de mil millones de años. La seguridad de Internet depende en gran medida de la complejidad de dichos cálculos, por lo que es importante para la seguridad de las comunicaciones saber que a alguien no se le puede ocurrir simplemente encontrar una forma rápida de encontrar factores primos.
investigación moderna
Aunque este tema es antiguo y ha afectado a muchos matemáticos famosos a lo largo de la historia, sigue siendo relevante. Los científicos no saben si hay un número infinito de pares de números primos como 3 y 5 que difieren en 2. Este es un problema conocido sin resolver. El matemático Ethan Zhang logró un gran avance en relación con este problema. A principios de 2013, los científicos no sabían si había un número infinito de pares de números primos con una diferencia de 1 quintillón entre sí, o cualquier número más allá de 1 quintillón, independientemente de su magnitud. Gracias a los desarrollos teóricos basados en el trabajo de Zhang, los matemáticos saben que hay un número infinito de números primos que se diferencian entre sí en no más de 246. El número 246 es mucho mayor que dos, pero es notablemente más pequeño que el infinito.
En lugar de buscar números primos que están cerca, puedes buscar aquellos que están muy separados en la recta numérica. A principios de 2014 se logró un avance teórico notable en este problema por primera vez en más de 75 años, cuando investigadores del Instituto de Matemáticas de Oxford resolvieron uno de los problemas de Erdős. Las otras dos soluciones interesantes a los problemas de Erdő que involucran números primos fueron realizadas por Bob Hough y Terence Tao, cuyo trabajo se basó en otro avance logrado por Kaisa Matomaki y Maxime Rajwill en 2014. Harald Gelfgott y David Platt finalmente demostraron la débil hipótesis de Goldbach, culminando así cien años de diversos hallazgos. Los matemáticos están acostumbrados a esperar diez años para lograr un resultado importante en el campo de los números primos, pero esta vez han obtenido media docena de resultados de este tipo en los últimos tres años.
Números primos en el futuro.
Es imposible decir ahora cómo se utilizarán los números primos en el futuro. Las matemáticas puras (como el estudio de los números primos) han encontrado repetidamente aplicaciones que podrían haber parecido completamente improbables cuando se desarrolló la teoría por primera vez. Una y otra vez, ideas que se percibían como modas pasajeras de interés académico, inadecuadas para el mundo real, han resultado sorprendentemente útiles para la ciencia y la tecnología. Godfrey Harold Hardy, un famoso matemático de principios del siglo XX, argumentó que los números primos no tienen ningún uso real. Cuarenta años después, se descubrió el potencial de los números primos para la comunicación informática y ahora son vitales para el uso diario de Internet.
Debido a que los números primos están en el centro de los problemas que involucran números enteros, y los números enteros aparecen constantemente en vida real, los números primos tendrán un uso generalizado en el mundo del futuro. Esto es especialmente cierto ahora que Internet impregna la vida y la tecnología y las computadoras desempeñan un papel más importante que nunca.
Se cree que ciertos aspectos de la teoría de números y los números primos van mucho más allá del alcance de la ciencia y las computadoras. En música, los números primos explican por qué algunos patrones rítmicos complejos tardan mucho en repetirse. A veces se utiliza en la música clásica moderna para lograr un efecto de sonido específico. La secuencia de Fibonacci ocurre regularmente en la naturaleza y se plantea la hipótesis de que las cigarras evolucionaron para hibernar durante un simple número de años para obtener una ventaja evolutiva. También se sugiere que transmitir números primos a través de ondas de radio sería la mejor manera de intentar comunicarse con formas de vida extraterrestres, ya que los números primos son completamente independientes de cualquier concepto del lenguaje, pero son lo suficientemente complejos como para que no puedan confundirse con el resultado de algo. en forma pura proceso físico natural.
Presupuesto municipal institución educativa
ciudad de Abakán
"Promedio Escuela secundaria N° 19"
Matemáticas
Los números primos son fáciles
Lisovia
elmira,
6 clase B
Supervisor:
Bíkovskaya
Irina Serguéievna,
profesor de matematicas
CÓDIGO ___________________________________
Matemáticas
LOS NÚMEROS PRIMOS SON SIMPLES
TABLA DE CONTENIDO:
Introducción
Capítulo 1 . numeros primos
1.1. Definición de número primo.
1.2. Infinito de una serie de números primos.
1.3. El número primo más grande.
1.4. Métodos para determinar (buscar) números primos.
Capítulo 2. Aplicación de la teoría de los números primos.
2.1. Ejemplos de algunas afirmaciones de la teoría de números primos de famosos científicos soviéticos.
2.2.Ejemplos de una serie de problemas de teoría de números primos.
2.3. Tareas aplicadas (No. 1, No. 2)
2.4.Tareas sobre la aplicación de las leyes de los números primos (No. 3, No. 4)
2.5. Cuadrados mágicos.
2.6.Aplicación de la ley de los números primos en diversos campos.
Conclusión
Solicitud
“Hay armonía en el mundo,
y esta armonía se expresa en números"
Pitágoras.
INTRODUCCIÓN
Las matemáticas son asombrosas. De hecho, ¿alguien ha visto alguna vez un número con sus propios ojos (no tres árboles ni tres manzanas, sino el número 3 en sí)? Por un lado, el número es un concepto completamente abstracto. Pero, por otro lado, todo lo que sucede en el mundo se puede medir en un grado u otro y, por tanto, representarse en números.
En las lecciones de matemáticas, mientras estudiaba el tema "Números primos y compuestos", me interesé por los números primos, la historia de su aparición y los métodos para obtenerlos. Busqué la biblioteca y Internet, donde compré la literatura necesaria. Después de estudiarlo detenidamente, me di cuenta de que hay mucha información interesante sobre los números primos. Los números primos, que se introdujeron hace aproximadamente dos mil quinientos años, encontraron un inesperado aplicación práctica bastante recientemente. Descubrí que existenLas leyes de los números primos se expresan mediante una fórmula, pero existen varios problemas en la teoría de números.A pesar de que vivimos en la era de las computadoras y de los programas de información más modernos, muchos enigmas de los números primos aún no se han resuelto; incluso hay algunos que los científicos no saben cómo abordar;El conocimiento de las leyes abiertas permite crear soluciones cualitativamente nuevas en muchas áreas que son de interés tanto para los científicos como para los ciudadanos comunes. El tema también me interesó.Objeto La investigación es un concepto puramente abstracto.numero primo . Sujeto El estudio de los números primos fue servido por: la teoría de los números primos, los métodos para definirlos, descubrimientos interesantes en este ámbito y su aplicación con fines prácticos.
Objetivo Mi trabajo es ampliar la comprensión de los números primos. Definido las siguientes tareas:
familiarizarse con la historia del desarrollo de la teoría de los números primos,
forma idea general sobre formas de encontrar números primos,
Conozca los interesantes logros de los científicos soviéticos en el campo de la teoría de números primos.
considere algunos problemas en la teoría de números primos,
familiarizarse con la aplicación de la teoría de números primos en diversos campos,
comprender el principio de aislamiento de números primos de series naturales utilizando el método del “tamiz de Eratóstenes” hasta 100; 1000,
Estudiar el uso de números primos en problemas.
I. NÚMEROS PRIMOS
Concepto de número primo
Los números primos son una de las maravillas de los matemáticos. Uno, dos, tres... Con estas palabras nos adentramos en el país de los números, no tiene fronteras. Los números aparentemente planos y cercanos, al conocerlos más de cerca, nos queman con su calor interior y adquieren profundidad.
Estamos familiarizados con la factorización de números. escuela primaria. Para encontrar un denominador común, debes factorizar los denominadores de los términos. Tienes que factorizar al reducir fracciones. Una de las afirmaciones básicas de la aritmética es que todo número natural se puede factorizar de una manera única.
72 = 2x2x2x3x3
1001 = 7 x 11 x 13
Descomponer números en factores primos muestra que cada número es primo o producto de dos o más números primos. Por tanto, podemos decir que los números primos son los elementos constitutivos de los números naturales, como los ladrillos, a partir de los cuales, mediante la acción de la multiplicación, se forman todos los números enteros.
Un número primo es un número natural que tiene sólo dos divisores diferentes (el número mismo y el 1).
Algunos datos interesantes.
numero 1 no es un número primo ni un número compuesto.
El único número par que cae en el grupo de los "números primos" es dos. Cualquier otro número par simplemente no puede llegar aquí, ya que por definición, además de él mismo y uno, también es divisible por dos.
Los números primos no aparecen al azar en las series naturales, como podría parecer a primera vista. Después de analizarlos cuidadosamente, inmediatamente puede notar varias características, la más interesantenúmeros - "gemelos" - numeros primos cuya diferencia es 2.Se llaman así porque estaban uno al lado del otro, separados sólo por un número par (cinco y siete, diecisiete y diecinueve). Si los miras de cerca, notarás que la suma de estos números es siempre múltiplo de tres. Los pares de gemelos con un elemento común forman pares de números primos: "gemelos" (tres y cinco, cinco y siete).
Infinito de una serie de números primos.
La distribución irregular de los números primos entre todos los números naturales ha sido llamativa durante mucho tiempo. Se observó que a medida que pasamos de un número pequeño a uno más grande, los números primos aparecen cada vez con menos frecuencia en la serie natural. Entonces una de las primeras preguntas fue: ¿Existe un último número primo, es decir, la serie de números primos tiene fin? Alrededor del año 300 a. C., el famoso matemático griego Euclides dio una respuesta negativa a esta pregunta. Demostró que detrás de cada número primo hay un número primo aún mayor, es decir, hay un número infinito de números primos.
La prueba más antigua que se conoce de este hecho se da en "" (Libro IX, declaración 20).
Imaginemos que el número de números primos es finito. Multipliquemoslos y sumemos uno. El número resultante no es divisible por ninguno del conjunto finito de números primos, porque el resto de la división por cualquiera de ellos da uno. Esto significa que el número debe ser divisible por algún número primo no incluido en este conjunto.
Por tanto, no podemos aceptar que la serie de números primos sea finita: esta suposición conduce a una contradicción. Así, no importa cuán larga sea una serie de secuencias de números compuestos que encontremos en la serie de números naturales, podemos estar convencidos de que hay un número infinitamente mayor detrás de ella.
Los matemáticos han ofrecido otras pruebas.
1.3.El mayor número primo.
Una cosa es estar seguro de que existen números primos grandes, pero otra cosa es saber qué números son primos. Cuanto mayor sea el número natural, más cálculos habrá que hacer para saber si es primo o no.
Durante mucho tiempo se han mantenido registros de los números primos más grandes conocidos en ese momento. Uno de los récords lo estableció Euler en el siglo XVIII, encontró un número primo. 2147483647.
El primo más grande conocido número de registro en junio de 2009 es 2 elevado a la potencia 43112609 – 1(abierto Cooper de la Universidad de Central Missouri en EE.UU. A). Contiene 12.978.189 y es sencillo. Gracias a este científico, los primos de Mersenne han mantenido durante mucho tiempo el récord de ser los primos más grandes conocidos. Se necesitaron 75 potentes ordenadores para identificarlos.
Números de la forma: 2 elevado a n menos 1
, donde n también es un número primo, pertenecen a los números de Mersenne. Cooper hizo un nuevo descubrimiento matemático en 2013. Logró encontrar el número primo más largo del mundo. Está escrito de la siguiente manera:2 elevado a 57885161 - 1.
El número contiene más de 17 millones de dígitos. Para imprimirlo en papel necesitarás más de 13 mil páginas A4.
Ahora el nuevo registro en la clase de números primos de Mersenne se escribe como2 elevado a la potencia 57885161 - 1
, contiene 17425170
números El descubrimiento del nuevo poseedor del récord le valió a Cooper un premio en efectivo de 3.000 dólares
La Electronic Frontier Foundation también promete otorgar entre 150 y 250 mil dólares a las personas que presenten al mundo números primos de 100 millones y mil millones de caracteres.
Métodos para determinar (buscar) números primos.
a) Criba de Eratóstenes.
Hay diferentes formas de encontrar números primos. La primera persona que abordó el problema de “escribir números primos a partir de un conjunto de números naturales” fue el gran matemático griego Eratóstenes, que vivió hace casi 2.300 años. Se le ocurrió este método: anotó todos los números del uno a algún número, y luego tachó uno, que no es ni primo ni compuesto, luego tachó por uno todos los números que vienen después del 2 (números que son múltiplos de dos, es decir, 4,6,8, etc.). El primer número que quedó después del 2 fue el 3. Luego, después del dos, todos los números que venían después del tres (números que eran múltiplos de 3, es decir, 6, 9, 12, etc.) fueron tachados al final, solo los números primos quedaron sin cruzar; salida: 2, 3, 5, 7, 11, 13,….
Así, Eratóstenes inventó un método mediante el cual era posible separar todos los números primos desde 1 hasta algún número específico aislando todos los múltiplos de cada número primo. Este método se llama el "tamiz de Eratóstenes". - la forma más fácil de encontrar lista inicial números primos hasta cierto valor.
Los griegos tomaban notas en tablillas cubiertas de cera o en papiro, y los números no se tachaban, sino que se pinchaban con una aguja, luego la tabla al final de los cálculos parecía un colador.
¿Es posible reconocer un número primo, como dicen, a primera vista? Si recoges muchos números en un colador a la vez, ¿el más simple entre ellos brillará como una pepita de oro? Algunas personas piensan que sí. Por ejemplo, los números que terminan en 1 suelen ser los que busca, como 11, 31, 41. Sin embargo, debe tener cuidado de no confundir el oro falso con oro puro, como, por ejemplo, 21 u 81. Como el Los números aumentan de tamaño, la unidad final nos confunde cada vez más. Incluso parece como si los números primos simplemente desaparecieran con el tiempo, como creían algunos antiguos griegos.
b) Elaboración de tablas mediante el método del “Tamiz de Eratóstenes”
a) La criba de Eratóstenes, como método de investigación teórica en teoría de números, fue introducida en 1920 por el matemático noruego V. Brun. Con este método, los científicos compilaron tablas de números primos entre 1 y 12.000.000.
El verdadero héroe a la hora de compilar una tabla de números primos es Jakub Filip Kulik (1793-1863), profesor de la Universidad Checa de Praga.
Él, al no tener planes de imprimir su obra, compiló una tabla de divisores de números. primeros cien millones, más precisamente números hasta 100 320 201, y lo colocó en la biblioteca de la Academia de Ciencias de Viena para uso de quienes trabajan en este campo.
En las lecciones de matemáticas utilizamos la tabla que figura en la guarda del libro de texto hasta 1000.
c) Elaboración de tablas mediante tecnología informática.
La introducción de la tecnología informática en las matemáticas teóricas y aplicadas ha facilitado significativamente la solución de problemas asociados con cálculos que requieren mucha mano de obra.
La memoria de computadoras suficientemente complejas puede almacenar datos tabulares de cualquier tamaño, pero las calculadoras personales aún no tienen tales capacidades. Por lo tanto, los matemáticos continúan trabajando en los problemas de compilar tablas compactas y convenientes, destinadas, en particular, al análisis de números.
El uso de ordenadores para este fin ha permitido dar un paso adelante muy significativo. Por ejemplo, una tabla de números moderna, para cuya elaboración se utilizó tecnología informática, cubre los números hasta 10.000.000. Este es un libro bastante voluminoso.
En la práctica, en lugar de obtener una lista de números primos, a menudo desea comprobar si un número determinado es primo. Los algoritmos que resuelven este problema se llaman .
El uso de algoritmos especializados para determinar la primacía de un número (¿es el número primo?) le permite buscar un número primo dentro de los límites especificados de la serie de números naturales.
e) Descubrimiento del siglo - La Ley de los números primos
Ya en la antigüedad, los científicos estaban interesados en la cuestión de cuál es la ley según la cual los números primos se ordenan en la serie natural. El Pitágoras ruso Vladimir Khrenov causó conmoción en el mundo científico con su descubrimiento de la ley de los números primos. Esta ley no sólo devuelve las matemáticas al camino correcto, sino que también explica muchas leyes de la naturaleza desde el punto de vista del verdadero conocimiento del mundo.genio ruso,Vladímir Jrénovhizo un descubrimiento científico , que anula la comprensión existente del tiempo y el espacio , Quélos números primos no son caos.
Los números primos se obtienen mediante la fórmula: “6X más o menos 1”, donde X es cualquier número natural.
13=6 *2-1; 13=6 *2-1; 19=6 *3+1; 31=6 *5+1;
El descubrimiento se realizó el 30 de abril de 2000. Era la Pascua aniversario de la Resurrección de Cristo. Fecha significativa. Ese día se reveló el verdadero modelo del espacio y el tiempo reales. El 7 de enero de 2001 se describió la ley de los números primos y, con ella, las leyes de formación de todos los números de la serie natural. Entonces, después del descubrimiento de la ley de los números primos, quedó claro que eunidad – estándar de espacio,seis - el estándar del tiempo, y juntos los dos estándares del espacio y el tiempo crean toda la diversidad de la naturaleza y son la causa raíz eterna de todo.. Ahora, tras el descubrimiento de la Ley de los Números Primos, quedó claro que ellos constituyen la base científica de la magia del número 7.Esta ley no solo tiene una visión del mundo colosal, sino que permite la creación de tecnologías de seguridad de la información de nueva generación basadas en esta teoría. Para crear uno nuevo, necesitas un nuevo número primo. Por eso los matemáticos que lo descubrieron reciben sumas tan enormes.
APLICAR LA TEORÍA DE LOS NÚMEROS PRIMOS
Ejemplos de algunas afirmaciones de la teoría de los números primos por parte de famosos científicos soviéticos sobre la teoría de los números primos.
Aunque han pasado más de dos mil años desde Euclides, no se ha añadido nada nuevo a su teoría. Los números primos de la serie natural están ordenados de forma extremadamente caprichosa. Sin embargo, hay una gran cantidad de acertijos relacionados con los números primos.
Grandes logros en el campo del estudio de los números primos pertenecen a los matemáticos rusos y soviéticos. Me interesaron las afirmaciones simples y al mismo tiempo sorprendentes que los famosos científicos soviéticos demostraron en este campo. Los examiné y di varios ejemplos que confirmaban la veracidad de las declaraciones.
P. L. Chebyshev (1821-1894) probado que entre cualquiera número natural mayor que 1 y un número que es el doble del número dado, siempre hay al menos un número primo.
Considere los siguientes pares de números primos que satisfacen esta condición.
Ejemplos:
y 4 es el número primo 3.
y 6 es el número primo 5.
10 y 20 son números primos 11; 13; 17; 19.
5 y 10 son el número primo 7.
7 y 14 son números primos 11; 13.
11 y 22 son números primos 13; 17; 19.
Conclusión: De hecho, entre cualquier número natural mayor que 1 y un número dos veces su tamaño, hay al menos un número primo.
Christian Goldback, Miembro de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, hace casi 250 años, propuso que Cualquier número impar mayor que 5 se puede representar como la suma de tres números primos.
Ejemplos:
21 = 3 + 7 + 11,
37 = 17 + 13 + 7,
23= 5 + 7 + 11,
29= 11 + 13 + 5,
Vinogradov IM. (1891-1983), El matemático soviético demostró esta propuesta sólo 200 años después.
7 = 2 + 2 + 3, 15 = 3 + 5 + 7 = 5 + 5 + 5,
9 = 3+3 + 3, 20 = 7 + 11 + 2.
Pero la declaración « Cualquier número par puro mayor que 2 se puede representar como la suma de dos números primos. » todavía no probado .
Ejemplos:
28= 11 + 17, 924 = 311 + 613,
56= 19 + 37, 102 = 59 + 43.
2.2 Ejemplos de una serie de problemas en teoría de números primos.
El problema de la ausencia de patrones en la distribución de los números primos ha ocupado la mente de la humanidad desde la época de los antiguos matemáticos griegos. Gracias a Euclides sabemos que existen infinitos números primos. Eratófenos y Sundaram propusieron los primeros algoritmos para probar la primalidad de los números. Euler, Fermat, Legendre y muchos otros matemáticos famosos intentaron y siguen intentando resolver el enigma de los números primos. Hasta la fecha, se han encontrado y propuesto muchos algoritmos y patrones elegantes, pero todos ellos son aplicables sólo para una serie finita de números primos o números primos de un tipo especial. La vanguardia de la ciencia en el estudio de los números primos en el infinito se considera la prueba.. ella entra , para cuya prueba o refutación el Clay Mathematical Institute ha ofrecido un premio de 1.000.000 de dólares.
Los problemas de números primos más famosos se enumeran en el Quinto. Hoy los científicos hablan de 23 problemas.
Pude considerar 4 de ellos, dando varios ejemplos para cada problema.
El primer problema de Landau (el problema de Goldbach):
probar o refutar:
Todo número par mayor que 2 se puede representar como la suma de dos primos y cada número impar mayor que 5 se puede representar como la suma de tres primos.
Ejemplos :
8 = 3+5,
12 = 5+7,
16=13 +3, 17= 11+3+3,
24=19+5, 21=11+7+3
50 = 13+37
El segundo problema de Landau (el problema de Goldbach):
¿Existe un conjunto infinito de “gemelos primos”, números primos cuya diferencia es 2?
a) Se determinaron los siguientes números “gemelos”:
3 y 5; 5 y 7; 7 y 9; 11 y 13, 17 y 19; 41 y 43;
b). Las parejas de gemelos están formadas por gemelos que comparten un elemento común. Logré encontrar los siguientes pares de gemelos: "doppelgangers"
Solución:
(3, 5) y (5, 7);
Se sabe que existe una cantidad infinita de números primos. Pero nadie sabe, por supuesto, ni una infinidad de pares de gemelos.
El tercer problema de Landau (conjetura)
¿Es cierto que entre números de la forman2 y (n + 1)2¿Siempre hay un número primo?(n – número impar)
Solución:
a) cuando n =3, obtenemos 6 y 8, entre ellos hay un número primo 7.
b) cuando n =5, obtenemos 10 y 12, entre ellos hay un número primo 11.
gato n =9, obtenemos 18 y 20, con el número primo 19 entre ellos.
4.El cuarto problema de Landau:
¿Existe un conjunto infinito de números primos de la forma? n2 + 1?
Solución:
en n =1, entonces tenemos 3; cuando n =2, entonces tenemos 5; con n =3, entonces tenemos 7
en n =5, entonces tenemos 11, con n =6 entonces tenemos 13; cuando n = 8, entonces tenemos 17, etc.
2.3. Tareas aplicadas
Tarea 1. Usando el tamiz de Eratóstenesdeterminar cuantos numeros primoses del 1 al 100.
Solución:
Para ello, anotamos todos los números del 1 al 100. .
Tacharemos los números que no sean primos. Tachamos el 1, ya que no es un número primo. El primer número primo es 2.
Subrayémoslo y tachemos todos los números que son múltiplos de 2, es decir, los números 4, 6, 8... 100, el siguiente número primo es el 3. Subrayémoslo y tachemos los números que son múltiplos de 3. que no han sido tachados, es decir, los números 9? 15, 21...99. Luego subrayamos el número primo 5 y tachamos todos los números que sean múltiplos de 5. Los números son 25...95. Y así sucesivamente hasta que quede un número primo, 97.
Conclusión:Entre 1 y 100 hay 25números primos, es decir, los números 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. (Apéndice 1)
Tarea 2. Para obtener una lista de números primos menores que 1000, necesitas "eliminar" los números que son divisibles por 2, 3, 5, 7, 11... ¿En qué número puedes detenerte?
Solución:
Utilizando el método de Eratóstenes, llevé a cabo un experimento similar.
trabajar en la selección de números compuestos hasta 1000.
Conclusión: Para obtener números primos hasta 1000, puedes detenerte en el número primo 31 (tacha los números que son múltiplos de 31). (Apéndice 2)
2.4.Tareas sobre la aplicación de las leyes de los números primos.
Problema 3. ¿Cómo utilizar dos controles para demostrar que el número 19 es primo?
La solución se presenta en apéndice 3.
Problema 4. ¿Cómo utilizar tres controles para demostrar que el número 47 es primo?
La solución se presenta en apéndice 4.
2.5 cuadrados mágicos.
Muchos problemas matemáticos interesantes están dedicados a los números primos utilizando matrices cuadradas: cuadrados mágicos, en los que la suma de elementos en cualquier fila, cualquier columna y dos diagonales principales da el mismo número.
El primero de ellos fue inventado por Henry Ernest Dewdney, un famoso experto en rompecabezas inglés.
¿Existen cuadrados mágicos formados únicamente por números primos? Resulta que si.
Estudié cuadrados mágicos de tamaño 3x3, 4x4, 6x6. Determiné la suma a lo largo de cada fila, cada columna y cada diagonal principal de cada uno de estos cuadrados. La solución se presenta en Apéndice 5.
a lo largo de cada fila, cada columna y cada diagonal principal. Doy ejemplos de cuadrados con una matriz de 3x3, 4x4, 6x6.
1
67
43
37
13
61
73
31
7
3
61
19
37
43
31
5
41
7
11
73
29
67
17
23
13
3
1
3
9
9
1
9
8
3
9
2
9
1
6
4
3
1
2
5
1
7
4
7
1
7
1
5
9
7
1
9
3
7
3
3
9
Conclusión:
1. El cuadrado mágico 1 de tamaño 3x3 tiene una suma de 111 (por cierto, tampoco es un número primo)
2. ¿Tiene suma un cuadrado mágico 2 de tamaño 4x4?
3. ¿Tiene suma un cuadrado mágico 3 de 6x6?
3.4. Aplicación de la ley de los números primos en diversos campos.
Los números primos no sólo son objeto de una estrecha consideración por parte de los matemáticos de todo el mundo, sino que también se utilizan con éxito desde hace mucho tiempo en la compilación de diversas series de números, que son la base, entre otras cosas, de la criptografía.El conocimiento de las leyes hizo posible proporcionar soluciones técnicas patentadas para proteger la transmisión de información que se consideraban simplemente imposibles con la base matemática existente. Se necesitan números primos para crear cifrados. Tarde o temprano, todo código es desclasificado.
Aquí los científicos pasan a una de las secciones más importantes. informática - a la criptografía. Si es tan difícil encontrar el siguiente número primo, ¿dónde y para qué se pueden utilizar estos números en la práctica? El uso más común de los números primos es en criptografía (cifrado de datos). Los métodos de criptografía más seguros y difíciles de descifrar se basan en el uso de números primos de más de trescientos dígitos.
Intenté ilustrar el problema al que se enfrenta un descifrador al descifrar una determinada contraseña. Digamos que la contraseña es uno de los divisores. número compuesto, y el descifrador es una persona. Tomemos un número de los diez primeros, por ejemplo, 8. Cada (espero) persona puede descomponer mentalmente el número 8 en factores simples: 8 = 2*2*2. Compliquemos la tarea: tomemos un número de la primera centena, por ejemplo 111. En este caso, las personas que conocen los signos de divisibilidad de un número entre 3 (si la suma de los los dígitos de un número son múltiplos de 3, entonces este número es divisible por 3), y de hecho - 111=3*37. Para complicar la tarea, tomemos un número de los primeros mil, por ejemplo 1207. Una persona (sin el uso de procesamiento mecánico) necesitará, como mínimo, papel y bolígrafo para intentar dividir el número 1207 entre "todos". los números primos que le preceden. Y solo pasando secuencialmente por la división de 1207 por todos los números primos de 2 a 17 personas, finalmente obtendrá el segundo divisor entero de este número: 71. Sin embargo, también se debe verificar 71 por simplicidad.
Queda claro que con un aumento en la profundidad de bits de los números, por ejemplo, un número de cinco dígitos: 10001, la descomposición (en nuestro ejemplo, descifrado de contraseñas) sin procesamiento automático llevará una gran cantidad de tiempo. escenario moderno El desarrollo de la tecnología informática (accesible al usuario medio) permite en cuestión de segundos factorizar números de sesenta dígitos.
¡Piense en cuántas vidas debe vivir una persona para factorizar un número determinado en factores primos sin la ayuda de máquinas!
Hoy, sólo ! Es con su ayuda que los científicos encuentran cada vez más cosas nuevas,, números primos.
Aprendí que el conocimiento de las leyes abiertas me permitirá crear soluciones cualitativamente nuevas en las siguientes áreas:
Un sistema operativo altamente seguro para bancos y corporaciones.
Sistema de lucha contra la falsificación de productos y billetes falsos.
Sistema de identificación remota y lucha contra el robo de vehículos.
Sistema de lucha contra la propagación de virus informáticos.
Computadoras de nueva generación basadas en el sistema numérico no lineal de la naturaleza.
Justificación matemática y biológica de la teoría de la armonía de las percepciones.
Aparato matemático para nanotecnología.
CONCLUSIÓN.
Mientras trabajaba en este tema, pude ampliar mi comprensión de los números primos en las siguientes áreas:
Estudié aspectos interesantes del desarrollo de la teoría de los números primos, me familiaricé con los nuevos logros de los científicos accesibles a mi comprensión en esta área y su aplicación práctica.
formó una idea general de cómo encontrar números primos, dominó el principio de aislar números primos de la serie natural utilizando el método "Tamiz de Eratóstenes" hasta 100; 1000,
estudió la aplicación de la teoría de números primos en problemas,
Se familiarizó con la aplicación de la teoría de números primos en diversos campos.
Mientras escribía el trabajo, logré dominar dos formas de obtener una serie de números primos:
método práctico: tamizar (tamiz de Eratóstenes),
método analítico: trabajar con una fórmula (ley de los números primos).
Como parte del estudio:
Verificó de forma independiente una serie de afirmaciones matemáticas sustituyendo valores, obteniendo las expresiones matemáticas correctas,
identificó una serie de números “Dobles” y “Géminis”,
compiló una serie de expresiones numéricas indicadas en los problemas de Landau,
Comprobé que los cuadrados con matriz de 3x3, 4x4, 6x6 son mágicos,
resolvió dos problemas de dos maneras usando la ley de los números primos y los enunciados.
Mientras trabajaba en el tema, me convencí de que los números primos siguen siendo criaturas que siempre están dispuestas a eludir al investigador. Los números primos son la “materia prima” a partir de la cual se forma la aritmética, y existe un suministro ilimitado de esta materia.
Me interesé por los especialistas en el campo de la criptografía, que recientemente han tenido una gran demanda en organizaciones secretas. Son ellos quienes encuentran cada vez más números primos grandes para actualizar constantemente la lista de posibles claves e intentar identificar cada vez más patrones nuevos en la distribución de los números primos. Los números primos y la criptografía son mi próximo tema en el estudio de la teoría de los números primos.
creo que es trabajo se puede utilizar en actividades extracurriculares, en clases optativas para estudiantes en los grados 6-7, como material adicional para lecciones de matemáticas en sexto grado al preparar mensajes sobre el tema. El tema de investigación es muy interesante, relevante, no tiene límites de estudio y debería despertar un gran interés entre los estudiantes.
Bibliografía
// . - 1975. - No. 5. - P. 5-13.
N. Karpushina.
// . - 2010. - No. 5.
