Las matemáticas no se pueden estudiar.

mirando

como lo hace un vecino.

A.Niven

Propiedades

numérico

desigualdades

(8vo grado)

en, luego en a. Propiedad 2 Si a. Propiedad 3 Si un Propiedad 4 Si un Si un todo. Corolario: Si a y b son números positivos y a " ancho="640"

Propiedades de las desigualdades numéricas.

Propiedad 1 si un en, luego en a.

Propiedad 2 si un .

Propiedad 3 si un

Propiedad 4 si un

Si un sol.

Consecuencia: Si a y b son números positivos y a

p, n m, n Comparar: p y n, p y q, q y m. ð m n q p m No. 749 (b,d) b) a – 8 b – 8 y a b – 8, ab, porque a b y a entonces a y b son números negativos d) - 2a -2c y c - - 2a - Dividir 2c por (-2), obtenemos a a y c – números negativos No. 750 (a, c) No. 751 (b, d, e) a) 18 -7, c) - 9 b) a 13 -12; -18 20,7 - 4,3; 9-21; 3a 25 0. - 3 7. - 4.8a - 4.8c. No. 764 (para repetición) - = a) - = 2; = 0 32x² - 12 – 25 + 45x² = 40; 77x² = 77; x = ± 1 20 – 3x – 6 - x² + 4 = 0; Respuesta: x = ±1 x² + 3x – 18 = 0, D = 81, X= x₁ = - 6; x₂ = 3. "ancho="640"

Examen tarea

• № 747 m,n,p,q son algunos números.

Comparar: p y n, p y q, q y m.

• № 749 (b,d)

b) a – 8 b – 8 y a b – 8 , ab, porque a b y a

entonces a y b son números negativos

GRAMO)- 2a -2b y c -

Dividimos 2a - 2c entre (-2), obtenemos un

a y b son números negativos

• № 750(a,b) N° 751(b,d,d)

a) 18-7, c)-9 segundo) un

13 -12; -18

20,7 - 4,3; 9-21; 3a

25 0. - 3 7. - 4.8a - 4.8b.

• № 764 (repetir)

32x² - 12 – 25 + 45x² = 40;

77x² = 77; x = ± 1 20 – 3x – 6 - x² + 4 = 0;

Respuesta: x = ±1 x² + 3x – 18 = 0, D = 81,

x₁ = - 6; x₂ = 3.

0 La desigualdad es cierta para cualquier x " ancho="640"

Tarea 1. ¿Es verdadera la siguiente desigualdad para cualquier x?

(6 + 2x) (6 – 2x)-x = 3 (2x – 1)

x² + 6x + 9 – 6x + 3 = x² +120

La desigualdad es cierta para cualquier x.

en, luego en en c 6. Si a y b son números positivos y a "width="640"

Tarea 2 Completa los enunciados matemáticos: 1. Si A en, entonces en en c 6. Si a y b son números positivos y a

Tarea 3: Dictado. Se sabe que A . Usando las propiedades de las desigualdades, escribe la desigualdad correcta que resultará si:

• Suma el número 8 a ambos lados de esta desigualdad
• A ambos lados de esta desigualdad suma el número -3,4
• Multiplica ambos lados de esta desigualdad por 4
• Multiplica ambos lados de esta desigualdad por - 4,7
• Divide ambos lados de esta desigualdad por 6
• Divide ambos lados de esta desigualdad por -2
• Multiplica ambos lados de esta desigualdad por 0,2 y resta 8
• Multiplica ambos lados de esta desigualdad por - 6 y suma 5,2

-4,7v; 0,2a - 8 - 6a + 5,2 - 6b + 5,2. "ancho="640"

Respuestas

• un + 8
• un - 3.4
• - 4.7a -4,7v;
• 0.2a - 8
• - 6a + 5,2 - 6b + 5,2.

d, -7c b) , por el Teorema 4 c) 2c + 11 2d + 11, por el Teorema 3.4. No. 752(a, b) a) a - 12.7c; b) No. 757(a, b, d) Dado: 3. Evalúe el significado de la expresión: a) 5a; b) –a; d) 5 – a. a) 15 b) - 3 -a -4 o -4 d) -4 -a -3, (+5) 5-4 5-a 5-3 1 "ancho="640"

Solución de ejercicios.

• № 754(a,b,c)

A) sd, -7s

b), por el teorema 4

V) 2c + 11 2d + 11, por el teorema 3.4.

• № 752(a,b )

a) a - 12,7v;

№ 757(a,b,d)

• Dado: 3. Evalúe el significado de la expresión:

a) 5a; b) –a; d) 5 – a.

A) 15

b) - 3 -a -4 o -4

GRAMO) -4 -A -3, (+5)

5-4 5-un 5-3

Tarea

p.29, núm. 752(c, d),

№ 754(g, d, f),

№ 757(c,d)

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Títulos de diapositivas:

Propiedades de las desigualdades numéricas (octavo grado) Desarrollado por una profesora de matemáticas de la institución educativa municipal "Escuela secundaria" en el pueblo de Adzher, distrito de Kortkeros de la República de Komi, Albina Gennadievna Misharina

Definición: Un número real a es mayor (menor que) un número real b si su diferencia (a-b) es un número positivo (negativo). Escriben: a > en (a

Desigualdades estrictas a > 0 significa que a es un número positivo y b significa que (a-b) es un número positivo, es decir (a-c) > 0 a

Desigualdades no estrictas a ≥ 0 significa que a es mayor que cero o igual a cero, es decir a es un número no negativo, o que a no es menor que cero y ≤ 0 significa que a es menor que cero o igual a cero, es decir a es un número no positivo, o que a no es mayor que cero

Desigualdades no estrictas a ≥ b significa que a es mayor que b o igual a b, es decir a-b es un número no negativo, o que a no es menor que b; a-b ≥ 0 a ≤ b significa que a es menor que b o igual a b, es decir a-b es un número no positivo, o que a no es mayor que c; a-c ≤ 0

Propiedades de las desigualdades numéricas Propiedades: 1) si a > b, b > c, entonces a > c 2) si a > b, entonces a+c > b+c 3) si a > b y m>0, entonces a m> en m 4) si a > b y m b, entonces -a 3, 3 > -4, entonces 5 > -4 si 5 > 3, entonces 5+2 > 3+2 si 5 > 3 y 10 >0, entonces 5 10 > 3 10, es decir 50 > 30 si 5 > 3 y -2 3, entonces -5

Propiedades de las desigualdades numéricas 6) si a > b, c > d, entonces a + c > b + d 7) si a > b > 0 y c >d > 0, entonces ac > b d 8) si a > b≥0 , n є N , entonces aⁿ > bⁿ 9) si a > b > 0, entonces 1/a 3, 4 > 2, entonces 5 + 4 > 3 + 2, es decir 7 > 5 7) si 5 > 3 > 0 y 4 > 2 > 0, entonces 5 4 > 3 2, es decir 12 > 6 8) si 5 > 3≥0, 2є N, entonces 5 ² > 3 ², es decir 25 > 9 9) si 5 > 3 > 0, entonces 1/5

Se sabe que 2,1 -3 · pulg > -3 · 3,8 -11,1 > -3 pulg > - 11,4 - 11,4

Se sabe que 2,1 -1 · pulg > -1 · 3,8 -3,7 > - pulg > - 3,8 - 3,8

Se sabe que 2.1

Se sabe que 2,1 0; в > о и а 1/в Esto significa que si 2.1 1: а > 1: 2.2 10/21 > 1: а > 5/11 Porque 110/231 > 1: a > 105/231 105/231

Sobre el tema: desarrollos metodológicos, presentaciones y notas.

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Desarrollo metodológico de una lección de álgebra de octavo grado “Propiedades de las desigualdades numéricas”

"Desigualdades"

Presentación de un profesor de matemáticas de 1ª categoría.

Institución educativa municipal de educación pública en Kalyazin, región de Tver

b , o a o a ≥ b , o a ≤ b establecida entre números, entonces dicen que se especifica una desigualdad numérica." width="640"

Desigualdad numérica

• Desigualdad- uno de los conceptos fundamentales de las matemáticas.

• Si dos números reales a Y b conectado por un signo de desigualdad ≠ o una de las relaciones de orden un segundo, o

un o a ≥ b, o un ≤ segundo, puesto entre números, entonces dicen que está dado desigualdad numérica .

• Si un segundo– esto significa que a–b – numero positivo ;
• Si a - esto significa que a–b – número negativo ;

b, c d (o a Desigualdades de la forma a d y c" ancho="640"

Desigualdades de igual y opuesto significado

Desigualdades

Desigualdades de significado opuesto

Desigualdades de lo mismo significado

Desigualdades de la forma

a b, c d (o a

Desigualdades de la forma a d y

, Las desigualdades de las relaciones ≥ , ≤ se llaman no estrictas y se llaman estrictas" ancho="640"

Desigualdades estrictas y no estrictas

Desigualdades

Flojo

Estricto

Desigualdades de relaciones ,

Desigualdades de relaciones ≥ , ≤ llamado no estricto

llamado estricto

b y b c , luego a c Prueba. 1) a b – por condición, es decir a - b es un número positivo. 2) b c – según la condición, es decir b - c es un número positivo. 3) Sumando números positivos a - b y b - c, obtenemos un número positivo. 4) Por lo tanto, (a - b) + (b - c) = a - c. Esto significa que a - c es un número positivo, es decir, a c " ancho="640"

Propiedades de las desigualdades numéricas.

• Propiedad 1 .

Si a b y b c , entonces a c

• Prueba.

1) a b – por condición, es decir ab es un número positivo.

2) b c – según la condición, es decir b-c es un número positivo.

3) Sumando números positivos a - b y b - c, obtenemos un número positivo.

4) Por lo tanto, (a - b) + (b - c) = a - c. entonces a-c – número positivo, es decir, a c , que es lo que había que demostrar.

b significa que en la recta numérica el punto a está ubicado a la derecha del punto b, y la desigualdad b c significa que el punto b está ubicado a la derecha del punto c. Pero entonces el punto a se encuentra en línea recta a la derecha del punto c, es decir una c. Esta propiedad se llama propiedad de transitividad (En sentido figurado, desde el punto a llegamos al punto c como en tránsito, con una parada intermedia en el punto b) x c b a" width="640"

Justificación de la propiedad 1 usando una recta numérica

Desigualdad un segundo significa que en la recta numérica un punto a ubicado a la derecha del punto b, y la desigualdad bc- cual es el punto b ubicado a la derecha del punto do. Pero luego punto a ubicado en línea recta a la derecha del punto do, es decir. una c . Esta propiedad se llama propiedad de transitividad(En sentido figurado, desde el punto a llegamos al punto c como en tránsito, con una parada intermedia en el punto b)

b, entonces a + c b + c Es decir, si sumas el mismo número a ambos lados de la desigualdad, entonces el signo de la desigualdad no cambiará. Ejemplo: 6 4, si sumas 2 a ambos lados de la desigualdad, entonces el signo de la desigualdad no cambiará. El resultado es la siguiente expresión: 8 6. Con base en la primera propiedad, podemos concluir que cualquier término se puede transferir de una parte a otra cambiando su signo al contrario. Ejemplo: 5

Propiedad 2.

• Si un segundo, entonces a + c b + c

Eso es, Si sumas el mismo número a ambos lados de la desigualdad, entonces el signo de la desigualdad no cambiará.

Ejemplo:

6 4, si sumamos 2 a ambos lados de la desigualdad, entonces el signo de la desigualdad no cambiará. El resultado es la siguiente expresión: 8 6. Con base en la primera propiedad, podemos concluir que cualquier término puede transferirse de una parte a otra cambiando su signo por el contrario. Ejemplo :

5
b y m 0, entonces a b m m Es decir, si ambos lados de la desigualdad se dividen por el mismo número positivo, entonces se debe conservar el signo de desigualdad; Ejemplo: a b, entonces a b Si a b y m 0, entonces am bm Es decir, si ambos lados de la desigualdad se multiplican por el mismo número positivo, entonces se debe conservar el signo de la desigualdad; Ejemplo: a b, entonces 8a 8b Si a b y m 0, entonces am. Es decir, si ambos lados de la desigualdad se multiplican por el mismo número negativo, entonces se debe cambiar el signo de la desigualdad (, a Ejemplo: a, entonces -9a -9b; Si a b, entonces -a; Es decir, si los signos de ambas partes cambian la desigualdad, entonces el signo de la desigualdad también debe cambiarse.

Propiedad 3.

• Si un segundo Y metro 0 , entonces a b

Es decir, si ambos lados de la desigualdad se dividen por el mismo número positivo, entonces se debe conservar el signo de la desigualdad;

Ejemplo: un segundo , Entonces un segundo

• Si un segundo Y metro 0 , Eso soy bm

Es decir, si ambos lados de la desigualdad se multiplican por el mismo número positivo, entonces se debe conservar el signo de la desigualdad;

Ejemplo: un segundo , Entonces 8a 8b

• Si un segundo Y metro 0 , Eso soy.

Es decir, si ambos lados de la desigualdad se multiplican por el mismo número negativo, entonces se debe cambiar el signo de la desigualdad (, a

Ejemplo: a , Entonces -9a -9b ;

• Si un segundo, Eso -a ;

Eso es, Si cambias los signos de ambos lados de la desigualdad, entonces necesitas cambiar el signo de la desigualdad.

b y c d, luego a + c b + d. Prueba. Método I 1. a b y c d - según la condición, lo que significa que a - b y c - d son números positivos. 2. Entonces su suma, es decir (a - b) + (c - d) es un número positivo. 3. Dado que (a-b) + (c-d) = (a + c)-(b + d), entonces (a + c) - (b + d) es un número positivo. Por tanto, a + c b + d, que es lo que faltaba demostrar. II método. 1. Dado que a b, entonces a + c b + c – por la propiedad 2. 2. De manera similar, dado que con d, entonces con + b d + b. 3. Entonces, a + c b + c, b + c b + d. Luego, debido a la propiedad de la transitividad, obtenemos que a + c b + d, que es lo que necesitábamos demostrar." width="640"

Propiedad 4.

• Si un segundo Y cd, Eso a + c b + d.

Prueba.

• Método I

1. un segundo Y con d- según la condición, significa a-b Y cd - numeros positivos .

2. Entonces su suma, es decir (a-b) + (c-d) - numero positivo .

3. Desde (a-b) + (c-d) = (a + c)-(b + d), entonces (a + c) - (b + d) - numero positivo. Es por eso a + c b + d, que era lo que había que demostrar.

• II método.

1. Desde un segundo, Eso a + c b + c – por propiedad 2 .

2. De manera similar, desde con d, Eso c + b re + b .

3.Entonces, a + c b + c, b + c b + d . Entonces, debido a la propiedad de transitividad, obtenemos que a + c b + d, que era lo que había que demostrar.

b , cd , luego ac bd . Es decir, al multiplicar desigualdades del mismo significado, cuyos lados izquierdo y derecho son números positivos, se obtendrá una desigualdad del mismo significado. Prueba. 1. Como a b y c 0, entonces ac bc – por la propiedad 3. 2. Como con d y b 0, entonces cb db – por la propiedad 3. 3. Entonces, ac bc, bc bd. Entonces ac bd - por la propiedad de transitividad, que es lo que había que demostrar." width="640"

Propiedad 5.

Si a, b, c, d – numeros positivos Y un segundo , cd, Eso aire acondicionado .

Es decir, al multiplicar desigualdades del mismo significado, cuyos lados izquierdo y derecho son números positivos, se obtendrá una desigualdad del mismo significado.

Prueba.

1. Desde un segundo Y c 0, Eso ac bc – por propiedad 3.

2. Desde con d Y segundo 0, Eso cb db – por propiedad 3.

3. Entonces, ac antes de Cristo , antes de Cristo. Entonces aire acondicionado - por la propiedad de la transitividad, que era lo que había que demostrar.

b, entonces a n b n, donde n es cualquiera número natural. Es decir, si ambos lados de la desigualdad son números no negativos, entonces se pueden elevar al mismo grado natural, manteniendo el signo de desigualdad. Suma: si n es un número impar, entonces para cualquier número a y b la desigualdad a b implica una desigualdad del mismo significado a n b n "width="640"

Propiedad 6.

• Si A Y b - números no negativos Y un segundo, Eso A norte b norte, Dónde norte- cualquier número natural .

Eso es, si ambos lados de la desigualdad son números no negativos , entonces pueden elevarse a la misma potencia natural, conservando el signo de desigualdad.

• Suma:

Si norte - número impar, entonces para cualquier número A Y b de la desigualdad un segundo sigue una desigualdad del mismo significado A norte b norte .

b. Demuestre esa solución. Consideremos la diferencia que tenemos: Por condición, a, b, a - b son números positivos. Esto significa: un número negativo, es decir de donde se sigue que "ancho="640"

• Dejar a Y b - numeros positivos Y un segundo .

demostrar que

• Solución.

Consideremos la diferencia

Tenemos:

Por convención, a, b, a - b son números positivos. Medio,

- número negativo aquellos.

de donde se sigue que

• Dejar A - numero positivo .

demostrar que

• Solución.

Obtuvimos un número no negativo, lo que significa

Tenga en cuenta que

• Dejar A Y b números no negativos. demostrar que
• Solución.

Compensamos la diferencia entre los lados izquierdo y derecho de la desigualdad. Tenemos

En este caso, el número

llamado media aritmética números A Y b ;

el numero se llama media geométrica números A Y b .

De este modo , media aritmética de dos números no negativos nada menos que su media geométrica. La desigualdad probada a veces se llama La desigualdad de Cauchy en honor al matemático francés del siglo XIX Augusto Cauchy.

Comentario . La desigualdad de Cauchy tiene una interpretación geométrica interesante. Sea un triángulo rectángulo y extraiga la altura h del vértice ángulo recto, divide la hipotenusa en los segmentos a y b (Fig. 116). Se ha demostrado en geometría que

(Por lo tanto, no es casualidad que se haya introducido el término "media geométrica" ​​para esta expresión). ¿Qué es?

Ésta es la longitud de la mitad de la hipotenusa. Pero por la geometría se sabe que la mediana metro triangulo rectángulo, dibujado desde el vértice de un ángulo recto, es exactamente igual a la mitad de la hipotenusa. Por lo tanto, la desigualdad de Cauchy significa que la mediana trazada hacia la hipotenusa, es decir,

no menos que la altura dibujada hasta la hipotenusa (es decir),

Un hecho geométrico obvio (ver Fig. 116).

Agustín Luis Cauchy

• Libro de texto "Álgebra" A.G. Mordkovich octavo grado
• http://ru.wikipedia.org/wiki
• Fotos de yandex

curso de álgebra de octavo grado papel importante Suena el tema "Desigualdad". Por lo tanto es extremadamente importante aprendizaje profundo. Sobre la base de esta teoría se resuelven una serie de problemas complejos, no sólo en álgebra, sino también en otras ciencias.

Esta presentación tiene como objetivo estudiar las propiedades de las desigualdades numéricas. Además, antes de la lección en la que se discutirá esta presentación, se debe realizar una lección donde se darán las propiedades mismas. Para ello, puedes llevar aquí la presentación “Propiedades de las desigualdades numéricas. Parte 1”, donde se da toda la teoría sobre este tema. Aqui puedes encontrar mucho diferentes ejemplos, donde las propiedades estudiadas son aplicables. Entonces, más detalles.

diapositivas 1-2 (Tema de presentación "Propiedades de las desigualdades numéricas. Parte 2", propiedad)

El primer ejemplo muestra cómo probar una desigualdad usando la definición de desigualdad y algunas operaciones con fracciones.

El siguiente ejemplo también muestra una prueba de desigualdad que es un poco más complicada. Para demostrar una desigualdad, debes aplicar conocimientos y habilidades sobre cómo se suman fracciones y números. Es decir, debes poder reducir fracciones a un denominador común y sumarlas. Y nuevamente, se usa una definición que dice que si restas el lado derecho del lado izquierdo de la desigualdad en el signo mayor, deberías obtener un valor positivo, que es a lo que llega el autor como resultado. Esto significa que la desigualdad ha sido probada.

diapositivas 3-4 (propiedades)

En el tercer ejemplo, es necesario encontrar estimaciones de números, de los cuales hay siete, si se dan ciertas condiciones. Si vas en orden, notarás que al resolver estos ejemplos se aplican varias propiedades a la vez. Esta es la propiedad de multiplicar una desigualdad por un número positivo y uno negativo, sumar y restar dos desigualdades y elevar a una potencia. El autor examina cada ejemplo con cierto detalle, lo que permite asimilar en profundidad el material propuesto y reforzarlo con ejemplos.

diapositivas 5-6 (propiedades)

El siguiente cuarto ejemplo ya es más complicado que los anteriores. presente aquí raíz cuadrada. En la demostración, el autor vuelve a utilizar la definición de desigualdades. En otras palabras, encuentra la diferencia entre los lados izquierdo y derecho de la desigualdad y determina el signo. Durante la prueba, cuando se encuentra un denominador común, el numerador produce una expresión que se puede contraer usando la fórmula para el cuadrado de la diferencia de dos expresiones.

El resultado es una expresión positiva, que confirma el signo de desigualdad. Pero aquí el signo no es estricto, por lo que el autor verifica la condición de igualdad. Como resultado, resulta que para que las expresiones sean iguales, ambos números dados en la condición deben ser iguales, pero la condición no lo estipula. Por lo tanto, la desigualdad tiene un signo estrictamente mayor para diferentes significados números a y b.

diapositivas 7-8 (propiedades)

Además, el autor demuestra claramente este ejemplo. Es decir, el lado izquierdo de esta desigualdad es la media aritmética de los números dados y el lado derecho es la media geométrica de esos mismos números. De ello se deduce que la media aritmética de dos números no negativos no es menor que su media geométrica. Y ésta es la desigualdad de Cauchy. Aquí el autor llama la atención sobre la observación que se demuestra en la figura.

En el último, quinto ejemplo, el autor sugiere comparar números. Pero estos números no son simples. Aquí hay una suma donde uno de los términos es la raíz cuadrada del número. Por tanto, no hay forma de prescindir de propiedades para completar la tarea. EN en este ejemplo dos casos. En el primer caso, el autor propone elevar ambos números al cuadrado, lo que permiten las propiedades estudiadas anteriormente. Como resultado, se obtienen nuevos números, que se diferencian en que al mismo número 9 se le suma otro número. Sólo queda comparar estos dos números. En el segundo caso, el autor propone comparar los términos por pares de ambos lados de la desigualdad. Resulta que el primer y segundo términos del primer número son menores que el primer y segundo términos del segundo número, respectivamente. Por tanto, la señal es obvia.

diapositiva 9 (propiedades)

La presentación se puede utilizar en una lección sobre el aprendizaje de material nuevo como ejemplo donde se pueden aplicar las propiedades aprendidas. La presentación también es adecuada para una lección para reforzar el material aprendido en la lección anterior. También es adecuado para una actividad optativa o extracurricular. A petición del profesor se podrá complementar la presentación.