¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)
Qué ha pasado ¿"desigualdad cuadrática"?¡No hay duda!) Si tomas cualquier ecuación cuadrática y reemplazar el signo en ella "=" (igual) a cualquier signo de desigualdad ( > ≥ < ≤ ≠ ), obtenemos una desigualdad cuadrática. Por ejemplo:
1. x2-8x+12 ≥ 0
2. -x 2 +3x > 0
3. x2 ≤ 4
Bueno, entiendes...)
No en vano vinculé aquí ecuaciones y desigualdades. El punto es que el primer paso para resolver cualquier desigualdad cuadrática - resuelve la ecuación a partir de la cual se forma esta desigualdad. Por esta razón, la incapacidad para resolver ecuaciones cuadráticas conduce automáticamente al fracaso total de las desigualdades. ¿Está clara la pista?) En todo caso, observe cómo resolver ecuaciones cuadráticas. Allí se describe todo en detalle. Y en esta lección nos ocuparemos de las desigualdades.
La desigualdad lista para solución tiene la forma: a la izquierda hay un trinomio cuadrático hacha 2 +bx+c, a la derecha - cero. El signo de desigualdad puede ser absolutamente cualquier cosa. Los dos primeros ejemplos están aquí. ya están listos para tomar una decisión. El tercer ejemplo aún debe prepararse.
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Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).
Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)
Puede familiarizarse con funciones y derivadas.
Introducción… ……………………………………………………… 3
1. Clasificación de errores con ejemplos………………………… .…… …5
1.1. Clasificación por tipos de tareas…… ……………………… … ……….5
1.2. Clasificación por tipos de transformaciones………………………………10
2. Pruebas……………………………………………….… .…………………….12
3. Protocolos de decisiones……………… ……….….…………………… ………… 18
3.1. Protocolos de decisiones incorrectas………………………………………… 18
3.2. Respuestas (protocolos de decisiones correctas)……………………………….34
3.3. Errores cometidos en las decisiones…………………………………… 51
Apéndice…………………….……………………………………………… 53
Literatura……………………………………………………………………………….56
INTRODUCCIÓN
“De los errores se aprende”, dice la sabiduría popular. Pero para aprender de una experiencia negativa, primero es necesario ver el error. Desafortunadamente, un estudiante muchas veces no puede detectarlo cuando resuelve un problema en particular. Como resultado, surgió la idea de realizar un estudio, cuyo objetivo era identificar los errores típicos cometidos por los estudiantes, así como clasificarlos de la forma más completa posible.
Como parte de este estudio, se revisó y resolvió un gran conjunto de problemas de las opciones de prueba de abril, pruebas y trabajos escritos para los exámenes de ingreso a la Universidad Estatal de Omsk, varios manuales y colecciones de tareas para los solicitantes de las universidades, así como materiales de la escuela por correspondencia. en la Facultad de Filosofía de la Universidad Estatal de Omsk fueron estudiados cuidadosamente. Los datos obtenidos fueron sometidos a un análisis detallado, prestando gran atención a la lógica de las decisiones. A partir de estos datos se identificaron los errores cometidos con mayor frecuencia, es decir, los típicos.
A partir de los resultados de este análisis se intentó sistematizar los errores característicos y clasificarlos según tipos de transformaciones y tipos de problemas, entre los que se consideraron los siguientes: desigualdades cuadráticas, sistemas de desigualdades, ecuaciones fraccionarias-racionales, ecuaciones con módulo, ecuaciones irracionales, sistemas de ecuaciones, problemas de movimiento, tareas laborales y productividad laboral, ecuaciones trigonométricas, sistemas ecuaciones trigonométricas, planimetría.
La clasificación va acompañada de una ilustración en forma de protocolos de decisión incorrecta, lo que permite ayudar a los escolares a desarrollar la capacidad de controlarse y controlarse, evaluar críticamente sus actividades, encontrar errores y formas de eliminarlos.
La siguiente etapa fue trabajar con pruebas. Para cada problema se propusieron cinco posibles respuestas, de las cuales una era correcta y las otras cuatro incorrectas, pero no fueron tomadas al azar, sino que correspondían a una solución en la que se cometía un error específico, estándar para problemas de este tipo. . Esto proporciona una base para predecir el grado de “severidad” de un error y el desarrollo de operaciones mentales básicas (análisis, síntesis, comparación, generalización). Las pruebas tienen la siguiente estructura:
Los códigos de error se dividen en tres tipos: OK - respuesta correcta, código digital - error de clasificación por tipo de tarea, código de letras - error de clasificación por tipo de transformación. Su decodificación se puede encontrar en el Capítulo 1. Clasificación de errores con ejemplos.
A continuación, se propusieron tareas para encontrar un error en la solución. Estos materiales se utilizaron cuando se trabajó con estudiantes de la escuela por correspondencia de la Universidad Estatal NOF de Omsk, así como durante los cursos de formación avanzada para profesores en Omsk y la región de Omsk, realizados por la Universidad Estatal NOF de Omsk.
En el futuro, a partir del trabajo realizado, es posible crear un sistema de seguimiento y evaluación del nivel de conocimientos y habilidades del examinado. Es posible identificar áreas problemáticas en el trabajo, registrar métodos y técnicas exitosos y analizar qué contenido de la capacitación es apropiado ampliar. Pero para que estos métodos sean más eficaces, se requiere el interés de los estudiantes. Para ello, yo, junto con Chubrik A.V. y se desarrolló un pequeño producto de software que genera soluciones incorrectas de líneas lineales y ecuaciones cuadráticas (base teórica y algoritmos - Chuubrik A.V. y yo, asistencia en la implementación - estudiante gr. MP-803 Filimonov M.V.). Trabajar con este programa le da al estudiante la oportunidad de actuar como un maestro cuyo alumno es la computadora.
Los resultados obtenidos pueden servir como inicio de un estudio más serio, que en el corto y largo plazo podrá realizar los ajustes necesarios al sistema de enseñanza de las matemáticas.
1. CLASIFICACIÓN DE ERRORES CON EJEMPLOS
1.1. Clasificación por tipos de tareas
1. Ecuaciones y desigualdades algebraicas.
1.1. Desigualdades cuadráticas. Sistemas de desigualdades:
1.1.1. Las raíces del trinomio cuadrático se encontraron incorrectamente: el teorema de Vieta y la fórmula para encontrar las raíces se utilizaron incorrectamente;
1.1.2. La gráfica de un trinomio cuadrático se muestra incorrectamente;
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1.1.3. Los valores del argumento en el que se satisface la desigualdad están definidos incorrectamente;
1.1.4. División por una expresión que contiene una cantidad desconocida;
1.1.5. En los sistemas de desigualdades, la intersección de soluciones a todas las desigualdades se toma incorrectamente;
1.1.6. Los finales de los intervalos se incluyen incorrectamente o no se incluyen en la respuesta final;
1.1.7. Redondeo.
1.2. Ecuaciones racionales fraccionarias:
1.2.1. La ODZ se indica incorrectamente o no se indica: no se tiene en cuenta que el denominador de la fracción no debe ser igual a cero;
ODZ: .
1.2.2. Al recibir una respuesta, no se tiene en cuenta DZ;
Secciones: Matemáticas
Clase: 9
Un resultado de aprendizaje obligatorio es la capacidad de resolver desigualdades de la forma:
hacha 2 + bx+ c ><0
basado en un gráfico esquemático de una función cuadrática.
La mayoría de las veces, los estudiantes cometen errores al resolver desigualdades cuadráticas con un primer coeficiente negativo. En tales casos, el libro de texto sugiere reemplazar la desigualdad por una equivalente con un coeficiente positivo en x 2 (ejemplo No. 3). Es importante que los estudiantes comprendan que deben "olvidarse" de la desigualdad original para resolver el problema; , necesitan dibujar una parábola con ramas apuntando hacia arriba. Se puede argumentar de otra manera.
Digamos que necesitamos resolver la desigualdad:
–x 2 + 2x –5<0
Primero, averigüemos si la gráfica de la función y=-x 2 +2x-5 corta el eje OX. Para hacer esto, resolvamos la ecuación:
La ecuación no tiene raíces, por lo tanto, la gráfica de la función y=-x 2 +2x-5 se ubica completamente debajo del eje X y la desigualdad -x 2 +2x-5<0 выполняется при любых значения Х. Необходимо показать учащимся оба способа решения и разрешить пользоваться любым из них.
La capacidad de resolución se desarrolla en los números 111 y 119. Es imperativo considerar las siguientes desigualdades x 2 +5>0, -x 2 -3≤0; 3x 2 >0etc.
Por supuesto, al resolver tales desigualdades, puedes usar una parábola. Sin embargo, los estudiantes fuertes deben dar respuestas inmediatamente sin recurrir al dibujo. En este caso, es necesario exigir explicaciones, por ejemplo: x 2 ≥0 y x 2 +7>0 para cualquier valor de x. Dependiendo del nivel de preparación de la clase, puedes limitarte a estos números o utilizar el No. 120 No. 121. En ellos es necesario realizar transformaciones simples idénticas, por lo que aquí se repetirá el material tratado. Estas salas están diseñadas para estudiantes fuertes. Si se logra un buen resultado y resolver desigualdades cuadráticas no causa ningún problema, entonces puedes pedir a los estudiantes que resuelvan un sistema de desigualdades en el que una o ambas desigualdades sean cuadráticas (ejercicios 193, 194).
Es interesante no solo resolver desigualdades cuadráticas, sino también dónde se puede aplicar esta solución: encontrar el dominio de definición de la función estudiando una ecuación cuadrática con parámetros (ejercicio 122-124. Para los estudiantes más avanzados). podemos considerar desigualdades cuadráticas con parámetros de la forma:
Hacha 2 +Bx+C>0 (≥0)
Hacha 2 +Bx+C<0 (≤0)
Donde A,B,C son expresiones que dependen de los parámetros, A≠0,x son desconocidos.
Desigualdad Ax 2 +Bx+C>0
Se estudia según los siguientes esquemas:
1)Si A=0, entonces tenemos la desigualdad lineal Bx+C>0
2) Si A≠0 y discriminante D>0, entonces podemos factorizar el trinomio cuadrado y obtener la desigualdad
A(x-x1) (x-x2)>0
x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación Ax 2 +Bx+C=0
3)Si A≠0 y D<0 то если A>0 la solución será el conjunto de los números reales R; en A<0 решений нет.
Las desigualdades restantes se pueden estudiar de manera similar.
Se puede utilizar para resolver desigualdades cuadráticas, de ahí la propiedad del trinomio cuadrático.
1)Si A>0 y D<0 то Ax2+Bx+C>0- para todo x.
2) Si un<0 и D<0 то Ax2+Bx+C<0 при всех x.
Al resolver una desigualdad cuadrática, es más conveniente utilizar una representación esquemática de la gráfica de la función y=Ax2+Bx+C.
Ejemplo: para todos los valores de los parámetros, resuelva la desigualdad
X 2 +2(b+1)x+b 2 >0
D=4(b+1) 2 -4b 2 =4b 2 +8b+4-4b 2
1) re<0 т.е. 2b+1<0
El coeficiente delante de x 2 es 1>0, entonces la desigualdad se satisface para todo x, es decir X є R
2) D=0 => 2b+1=0
Entonces x 2 +x+¼>0
x є(-∞;-½) U (-½;∞)
3) D>0 =>2b+1>0
Las raíces de un trinomio cuadrado son:
X 1 =-b-1-√2b+1
X 2 =-b-1+√2b+1
La desigualdad toma la forma
(x-x 1) (x-x 2)>0
Usando el método del intervalo obtenemos
x є(-∞;x 1) U (x 2 ;∞)
Para decisión independiente da la siguiente desigualdad
Como resultado de la resolución de desigualdades, el estudiante debe comprender que para resolver desigualdades de segundo grado se propone abandonar el exceso de detalle en el método de construcción de una gráfica, desde encontrar las coordenadas de los vértices de la parábola, observar la escala, y uno puede limitarse a dibujar un boceto de la gráfica de una función cuadrática.
En el nivel superior, resolver desigualdades cuadráticas prácticamente no es una tarea independiente, sino que actúa como un componente para resolver otra ecuación o desigualdad (logarítmica, exponencial, trigonométrica). Por tanto, es necesario enseñar a los estudiantes a resolver desigualdades cuadráticas con fluidez. Puede consultar tres teoremas tomados del libro de texto de A.A. Kiseleva.
Teorema 1. Sea dado un trinomio cuadrado ax 2 +bx+c, donde a>0, que tiene 2 raíces reales diferentes (D>0).
Entonces: 1) Para todo valor de la variable x menor que la raíz menor y mayor que la raíz mayor, el trinomio cuadrado es positivo
2) Para valores de x entre las raíces cuadradas, el trinomio es negativo.
Teorema 2. Sea un trinomio cuadrado ax 2 +bx+c, donde a>0 tiene 2 raíces reales idénticas (D=0). Entonces para todos los valores de x diferentes de las raíces del trinomio cuadrado, el trinomio cuadrado es positivo. .
Teorema 3. Sea un trinomio cuadrado ax 2 +bx+c donde a>0 no tiene raíces reales (D<0).Тогда при всех значениях x квадратный трехчлен положителен. Доказательство этих теорем приводить не надо.
Por ejemplo: la desigualdad debe resolverse:
D=1+288=289>0
La solución es
X≤-4/3 y x≥3/2
Respuesta (-∞; -4/3] U
Las respuestas se encuentran en el reverso y se pueden ver una vez transcurrido el tiempo asignado. Lo más conveniente es realizar este trabajo al inicio de la lección previa señal del profesor. (Atención, prepárate, empecemos). El comando “Parar” interrumpe el trabajo.
El horario de trabajo se determina en función del nivel de preparación de la clase. El aumento de velocidad es un indicador del trabajo del alumno.
La capacidad de resolver desigualdades cuadráticas será útil para los estudiantes cuando aprobar el examen estatal unificado. En los problemas del grupo B se encuentran cada vez más tareas relacionadas con la capacidad de resolver desigualdades cuadráticas.
Por ejemplo:
Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba. Hasta que cae la piedra, la altura a la que se encuentra se describe mediante la fórmula
(h - altura en metros, t - tiempo en segundos transcurrido desde el momento del lanzamiento).
Calcula cuántos segundos estuvo la piedra a una altura de al menos 9 metros.
Para resolver es necesario crear una desigualdad:
5t 2 +18t-9≥0
Respuesta: 2,4 s
Comenzando a dar a los estudiantes ejemplos del Examen Estatal Unificado ya en el noveno grado en la etapa de estudio del material, ya nos estamos preparando para el examen; resolver desigualdades cuadráticas que contienen un parámetro permite resolver problemas del grupo C;
Un enfoque no formal para estudiar el tema en el noveno grado facilita el dominio del material del curso "Álgebra y los inicios del análisis" sobre temas como "Aplicación de la derivada" "Resolución de desigualdades mediante el método de intervalos" “Resolver desigualdades logarítmicas y exponenciales” “Resolver desigualdades irracionales”.
12. Dalinger V.A. Errores comunes en matemáticas en exámenes de ingreso y cómo prevenirlos. – Omsk: Editorial de Omsk IUU, 1991.
3. Dalinger V.A. Todo para garantizar el éxito en los exámenes finales y de acceso a matemáticas. Asunto 5. Ecuaciones exponenciales, logarítmicas, desigualdades y sus sistemas: Tutorial. – Omsk: Editorial de la Universidad Pedagógica Estatal de Omsk, 1996.
4. Dalinger V.A. Inicios del análisis matemático: Errores típicos, sus causas y formas de prevenirlos: Libro de texto. – Omsk: “Editor-Pligrafista”, 2002.
5. Dalinger V.A., Zubkov A.N. Una guía para aprobar el examen de matemáticas: análisis de los errores de los solicitantes en matemáticas y formas de prevenirlos. – Omsk: Editorial de la Universidad Pedagógica Estatal de Omsk, 1991.
6. Kutasov A.D. Ecuaciones, desigualdades, sistemas exponenciales y logarítmicos: Material didáctico N7. – Editorial de la Universidad Abierta de Rusia, 1992.
Los errores que cometen los estudiantes al resolver ecuaciones y desigualdades logarítmicas son muy diversos: desde un formato incorrecto de la solución hasta errores de carácter lógico. Estos y otros errores se discutirán en este artículo.
1. El error más típico es que los estudiantes, al resolver ecuaciones y desigualdades sin explicación adicional, utilicen transformaciones que violen la equivalencia, lo que provoca la pérdida de raíces y la aparición de caballos extraños.
Veamos ejemplos concretos de errores de este tipo, pero primero llamamos la atención del lector sobre el siguiente pensamiento: no tenga miedo de adquirir raíces extrañas, se pueden descartar comprobando, tenga miedo de perder raíces.
a) Resuelve la ecuación:
log3(5 - x) = 3 - log3(-1 - x).
Los estudiantes suelen resolver esta ecuación de la siguiente manera.
log3(5 - x) = 3 - log3(-1 - x), log3(5 - x) + log3(-1 - x) = 3, log3((5 - x)(-1 - x)) = 3 , (5 - x)(-1 - x) = 33, x2 - 4x - 32 = 0,
x1 = -4; x2 = 8.
Los estudiantes suelen escribir ambos números en la respuesta sin más razonamiento. Pero como muestra una verificación, el número x = 8 no es la raíz de la ecuación original, ya que en x = 8 los lados izquierdo y derecho de la ecuación pierden sentido. La comprobación muestra que el número x = -4 es la raíz de la ecuación dada.
b) Resuelve la ecuación
El dominio de definición de la ecuación original está especificado por el sistema.
Para resolver la ecuación dada, vayamos al logaritmo en base x, obtenemos
Vemos que los lados izquierdo y derecho de esta última ecuación en x = 1 no están definidos, pero este número es la raíz de la ecuación original (puedes verificar esto mediante sustitución directa). Así, la transición formal a una nueva base supuso la pérdida de la raíz. Para evitar perder la raíz x = 1, debes especificar que la nueva base debe ser un número positivo distinto de uno, y considerar el caso x = 1 por separado.
2. Todo un grupo de errores, o más bien deficiencias, consiste en que los estudiantes no prestan la debida atención a encontrar el dominio de definición de las ecuaciones, aunque en algunos casos es precisamente ésta la clave de la solución. Veamos un ejemplo al respecto.
Resuelve la ecuación
Encontremos el dominio de definición de esta ecuación, para lo cual resolvemos el sistema de desigualdades:
De donde tenemos x = 0. Comprobemos por sustitución directa si el número x = 0 es la raíz de la ecuación original.
Respuesta: x = 0.
3. Un error típico de los estudiantes es que no tienen el nivel requerido de conocimiento de definiciones de conceptos, fórmulas, enunciados de teoremas y algoritmos. Confirmemos esto con el siguiente ejemplo.
Resuelve la ecuación
Aquí hay una solución errónea a esta ecuación:
La verificación muestra que x = -2 no es una raíz de la ecuación original.
Se sugiere la conclusión de que la ecuación dada no tiene raíces.
Sin embargo, esto no es cierto. Al sustituir x = -4 en la ecuación dada, podemos verificar que es una raíz.
Analicemos por qué ocurrió la pérdida de raíz.
En la ecuación original, las expresiones x y x + 3 pueden ser ambas negativas o positivas al mismo tiempo, pero al pasar a la ecuación, estas mismas expresiones solo pueden ser positivas. En consecuencia, se produjo un estrechamiento del área de definición, lo que provocó la pérdida de raíces.
Para no perder la raíz, podemos proceder de la siguiente manera: en la ecuación original pasamos del logaritmo de la suma al logaritmo del producto. En este caso, es posible la aparición de raíces extrañas, pero puedes eliminarlas mediante sustitución.
4. Muchos errores que se cometen al resolver ecuaciones y desigualdades son consecuencia del hecho de que muy a menudo los estudiantes intentan resolver problemas según un modelo, es decir, de la forma habitual. Demostremos esto con un ejemplo.
Resolver desigualdad
Intentar resolver esta desigualdad utilizando métodos algorítmicos familiares no conducirá a una respuesta. La solución aquí debe consistir en estimar los valores de cada término del lado izquierdo de la desigualdad en el dominio de definición de la desigualdad.
Encontremos el dominio de definición de la desigualdad:
Para toda x del intervalo (9;10] la expresión tiene valores positivos (los valores de la función exponencial siempre son positivos).
Para todo x del intervalo (9;10] la expresión x - 9 tiene valores positivos y la expresión lg(x - 9) tiene valores negativos o cero, entonces la expresión (- (x - 9) lg(x - 9 ) es positivo o igual a cero.
Finalmente tenemos x∈ (9;10]. Tenga en cuenta que para tales valores de la variable, cada término en el lado izquierdo de la desigualdad es positivo (el segundo término puede ser igual a cero), lo que significa que su suma siempre es mayor que cero. Por lo tanto, la solución a la desigualdad original es la brecha (9;10).
5. Uno de los errores está relacionado con la solución gráfica de ecuaciones.
Resuelve la ecuación
Nuestra experiencia muestra que los estudiantes, al resolver esta ecuación gráficamente (tenga en cuenta que no se puede resolver con otros métodos elementales), obtienen solo una raíz (es la abscisa de un punto que se encuentra en la recta y = x), porque las gráficas de funciones
Estas son gráficas de funciones mutuamente inversas.
De hecho, la ecuación original tiene tres raíces: una de ellas es la abscisa del punto que se encuentra en la bisectriz del primer ángulo coordenado y = x, la otra raíz y la tercera raíz. Puedes verificar la validez de lo dicho. sustituyendo directamente números en la ecuación dada.
Tenga en cuenta que las ecuaciones de la forma logax = ax en 0< a < e-e всегда имеют три действительных корня.
Este ejemplo ilustra muy bien la siguiente conclusión: solución gráfica la ecuación f(x) = g(x) es “perfecta” si ambas funciones son diferentes: monótonas (una de ellas es creciente y la otra decreciente), y no es lo suficientemente matemáticamente correcta en el caso de funciones monótonas (ambas son ya sea simultáneamente decreciente o simultáneamente creciente).
6. Una serie de errores típicos están asociados con el hecho de que los estudiantes no resuelven completamente correctamente ecuaciones y desigualdades basándose en el enfoque funcional. Mostremos errores típicos de este tipo.
a) Resuelve la ecuación xx = x.
La función en el lado izquierdo de la ecuación es exponencial y, de ser así, entonces se deben imponer las siguientes restricciones en función del grado: x > 0, x ≠ 1. Tomemos el logaritmo de ambos lados de la ecuación dada:
De donde tenemos x = 1.
La logaritmización no condujo a una reducción del dominio de definición de la ecuación original. Sin embargo, hemos perdido dos raíces de la ecuación; por observación inmediata encontramos que x = 1 y x = -1 son las raíces de la ecuación original.
b) Resuelve la ecuación
Como en el caso anterior, tenemos una función exponencial, lo que significa x > 0, x ≠ 1.
Para resolver la ecuación original, llevamos el logaritmo de ambos lados a cualquier base, por ejemplo, a base 10:
Considerando que el producto de dos factores es igual a cero cuando al menos uno de ellos es igual a cero, y el otro tiene sentido, tenemos una combinación de dos sistemas:
El primer sistema no tiene solución; del segundo sistema obtenemos x = 1. Teniendo en cuenta las restricciones impuestas anteriormente, el número x = 1 no debería ser la raíz de la ecuación original, aunque por sustitución directa estamos convencidos de que no es así.
7. Veamos algunos errores asociados con el concepto. función compleja amable . Mostremos el error usando este ejemplo.
Determinar el tipo de monotonicidad de la función.
Nuestra práctica muestra que la gran mayoría de los estudiantes determinan la monotonicidad en este caso solo por la base del logaritmo, y desde 0< 0,5 < 1, то отсюда следует ошибочный вывод - функция убывает.
¡No! Esta función está aumentando.
Convencionalmente, para una función de la forma podemos escribir:
Creciente (Decreciente) = Descendente;
Creciente (Creciente) = Creciente;
Decreciente (Decreciente) = Creciente;
Decreciente (aumentando) = Decreciente;
8. Resuelve la ecuación
Esta tarea se extrae de la tercera parte del Examen Estatal Unificado, que se evalúa con puntos ( puntuación máxima - 4).
Presentamos una solución que contiene errores, lo que significa que no recibirá la puntuación máxima.
Reducimos los logaritmos a base 3. La ecuación toma la forma
Al potenciar obtenemos
x1 = 1, x2 = 3.
Comprobemos para identificar cualquier raíz extranjera.
, 1 = 1,
esto significa que x = 1 es la raíz de la ecuación original.
Esto significa que x = 3 no es una raíz de la ecuación original.
Expliquemos por qué esta solución contiene errores. La esencia del error es que el registro contiene dos errores graves. Primer error: la grabación no tiene ningún sentido. Segundo error: no es cierto que el producto de dos factores, uno de los cuales sea 0, sea necesariamente cero. Será cero si y sólo si un factor es 0 y el segundo factor tiene sentido. Pero aquí el segundo factor no tiene sentido.
9. Volvamos al error ya comentado anteriormente, pero al mismo tiempo daremos nuevos razonamientos.
Al resolver ecuaciones logarítmicas, vaya a la ecuación. Cada raíz de la primera ecuación es también una raíz de la segunda ecuación. Lo contrario, en general, no es cierto, por lo tanto, al pasar de una ecuación a otra, es necesario al final verificar las raíces de esta última sustituyéndolas en la ecuación original. En lugar de comprobar las raíces, es aconsejable sustituir la ecuación por un sistema equivalente.
Si al resolver una ecuación logarítmica las expresiones
donde n es un número par, se transforman en consecuencia según las fórmulas , , , entonces, dado que en muchos casos esto estrecha el dominio de definición de la ecuación, es posible la pérdida de algunas de sus raíces. Por tanto, es recomendable utilizar estas fórmulas de la siguiente forma:
n es un número par.
Por el contrario, si al resolver una ecuación logarítmica las expresiones , , , donde n es un número par, se transforman respectivamente en las expresiones
entonces el dominio de definición de la ecuación puede expandirse, por lo que pueden adquirirse raíces extrañas. Teniendo esto en cuenta, en tales situaciones es necesario controlar la equivalencia de las transformaciones y, si el dominio de definición de la ecuación se expande, verificar las raíces resultantes.
10. Al resolver desigualdades logarítmicas mediante sustitución, siempre resolvemos primero una nueva desigualdad con respecto a una nueva variable, y sólo al resolverla pasamos a la variable anterior.
Muy a menudo, los escolares cometen por error la transición inversa antes, en la etapa de encontrar las raíces de la función racional obtenida en el lado izquierdo de la desigualdad. Esto no debería hacerse.
11. Demos un ejemplo de otro error relacionado con la resolución de desigualdades.
Resuelve la desigualdad
.
He aquí una solución errónea que los estudiantes proponen muy a menudo.
Elevemos al cuadrado ambos lados de la desigualdad original. Tendremos:
¿De dónde obtenemos la información incorrecta? desigualdad numérica, lo que nos permite concluir: la desigualdad dada no tiene soluciones.
