AGENCIA FEDERAL DE EDUCACIÓN

INSTITUTO DE DESARROLLO EDUCATIVO

“Métodos gráficos para resolver ecuaciones y desigualdades con parámetros”

Terminado

profesor de matematicas

Institución educativa municipal escuela secundaria No. 62

Lípetsk 2008

INTRODUCCIÓN................................................. ....................................................... ............. .3

incógnita;en) 4

1.1. Transferencia paralela................................................ ................................... 5

1.2. Doblar................................................. ................................................. ...... 9

1.3. Homotetia. Compresión en línea recta................................................ ....... ................ 13

1.4. Dos rectas en un plano................................................ ....................................... 15

2. TÉCNICAS GRÁFICAS. PLANO DE COORDENADAS ( incógnita;A) 17

CONCLUSIÓN................................................. .......................................... 20

LISTA BIBLIOGRAFICA................................................ ......................... 22

INTRODUCCIÓN

Los problemas que tienen los escolares al resolver ecuaciones y desigualdades no estándar se deben tanto a la relativa complejidad de estos problemas como al hecho de que la escuela, por regla general, se centra en la resolución de problemas estándar.

Muchos escolares perciben el parámetro como un número "normal". De hecho, en algunos problemas un parámetro puede considerarse un valor constante, ¡pero este valor constante adopta valores desconocidos! Por tanto, es necesario considerar el problema para todos los valores posibles de esta constante. En otros problemas, puede resultar conveniente declarar artificialmente una de las incógnitas como parámetro.

Otros escolares tratan un parámetro como una cantidad desconocida y, sin vergüenza, pueden expresar el parámetro en términos de una variable en su respuesta. INCÓGNITA.

En graduaciones y exámenes de ingreso Existen principalmente dos tipos de problemas con los parámetros. Podrás distinguirlos inmediatamente por su redacción. Primero: "Para cada valor de parámetro, encuentre todas las soluciones de alguna ecuación o desigualdad". Segundo: "Encuentre todos los valores del parámetro, para cada uno de los cuales se cumplen ciertas condiciones para una ecuación o desigualdad determinada". En consecuencia, las respuestas a problemas de estos dos tipos difieren en esencia. La respuesta a un problema del primer tipo enumera todos los valores posibles del parámetro y para cada uno de estos valores se escriben las soluciones de la ecuación. La respuesta a un problema del segundo tipo indica todos los valores de los parámetros bajo los cuales se cumplen las condiciones especificadas en el problema.

La solución de una ecuación con un parámetro para un valor fijo dado del parámetro es tal valor de la incógnita, cuando se sustituye en la ecuación, esta última se convierte en una igualdad numérica correcta. La solución a una desigualdad con un parámetro se determina de manera similar. Resolver una ecuación (desigualdad) con un parámetro significa, para cada valor admisible del parámetro, encontrar el conjunto de todas las soluciones de una ecuación dada (desigualdad).

1. TÉCNICAS GRÁFICAS. PLANO DE COORDENADAS ( incógnita;en)

Junto con las técnicas y métodos analíticos básicos para resolver problemas con parámetros, existen formas de utilizar interpretaciones visuales y gráficas.

Dependiendo del papel que se le asigne al parámetro en el problema (igual o desigual a la variable), se pueden distinguir dos técnicas gráficas principales: la primera es la construcción de una imagen gráfica en el plano de coordenadas. (INCÓGNITA;y), el segundo - en (INCÓGNITA; A).

En el plano (x; y) la función y =F (INCÓGNITA; A) define una familia de curvas dependiendo del parámetro A. Está claro que cada familia F tiene ciertas propiedades. Nos interesará principalmente qué tipo de transformación plana (traslación paralela, rotación, etc.) se puede utilizar para pasar de una curva de la familia a otra. A cada una de estas transformaciones se dedicará un párrafo aparte. Nos parece que tal clasificación facilita al tomador de decisiones encontrar la imagen gráfica necesaria. Tenga en cuenta que con este enfoque, la parte ideológica de la solución no depende de qué figura (línea recta, círculo, parábola, etc.) será miembro de la familia de curvas.

Por supuesto, la imagen gráfica de la familia no siempre es y =F (INCÓGNITA;A) descrito mediante una simple transformación. Por lo tanto, en tales situaciones, es útil centrarse no en cómo se relacionan las curvas de la misma familia, sino en las curvas mismas. En otras palabras, podemos distinguir otro tipo de problema en el que la idea de solución se basa principalmente en las propiedades de figuras geométricas concretas, y no de la familia en su conjunto. ¿Qué figuras (más precisamente, familias de estas figuras) nos interesarán en primer lugar? Estas son líneas rectas y parábolas. Esta elección se debe a la posición especial (básica) de las funciones lineales y cuadráticas en las matemáticas escolares.

Hablando de métodos gráficos, es imposible evitar un problema “nacido” de la práctica de oposiciones. Nos referimos a la cuestión del rigor, y por tanto de la legalidad, de una decisión basada en consideraciones gráficas. Sin duda, desde el punto de vista formal, el resultado tomado del “cuadro”, no sustentado analíticamente, no se obtuvo de manera estricta. Sin embargo, ¿quién, cuándo y dónde determina el nivel de rigor que debe observar un estudiante de secundaria? En nuestra opinión, los requisitos para el nivel de rigor matemático de un estudiante deben estar determinados por el sentido común. Entendemos el grado de subjetividad de tal punto de vista. Además, el método gráfico es sólo uno de los medios de claridad. Y la visibilidad puede ser engañosa..gif" width="232" height="28"> sólo tiene una solución.

Solución. Por conveniencia, denotamos lg b = a. Escribamos una ecuación equivalente a la original: https://pandia.ru/text/78/074/images/image004_56.gif" width="125" height="92">

Construyendo una gráfica de una función. con el dominio de definición y (Fig. 1). La gráfica resultante es una familia de rectas. y = un debe cruzarse en un solo punto. La figura muestra que este requisito se cumple sólo cuando un > 2, es decir, lg b> 2, b> 100.

Respuesta. https://pandia.ru/text/78/074/images/image010_28.gif" width="15 height=16" height="16"> determina el número de soluciones de la ecuación .

Solución. Tracemos la función 102" height="37" style="vertical-align:top">

Consideremos. Esta es una línea recta paralela al eje OX.

Respuesta..gif" width="41" height="20">, luego 3 soluciones;

si , entonces 2 soluciones;

si, 4 soluciones.

Pasemos a una nueva serie de tareas..gif" width="107" height="27 src=">.

Solución. Construyamos una línea recta. en= incógnita+1 (Fig. 3)..gif" ancho="92" alto="57">

tener una solución, que es equivalente a la ecuación ( incógnita+1)2 = x + A tiene una raíz..gif" width="44 height=47" height="47"> la desigualdad original no tiene soluciones. Tenga en cuenta que alguien que esté familiarizado con la derivada puede obtener este resultado de manera diferente.

A continuación, desplazando la “semiparábola” hacia la izquierda, fijaremos el último momento en el que las gráficas en = incógnita+ 1 y tienen dos puntos en común (posición III). Esta disposición está garantizada por el requisito A= 1.

Está claro que para el segmento [ incógnita 1; incógnita 2], donde incógnita 1 y incógnita 2 – abscisas de los puntos de intersección de las gráficas, serán la solución a la desigualdad original..gif" width="68 height=47" height="47">, entonces

Cuando una "semiparábola" y una línea recta se cortan en un solo punto (esto corresponde al caso un > 1), entonces la solución será el segmento [- A; incógnita 2"], donde incógnita 2" – la más grande de las raíces incógnita 1 y incógnita 2 (posición IV).

Ejemplo 4..gif" ancho="85" alto="29 src=">.gif" ancho="75" alto="20 src="> . De aquí obtenemos .

Veamos las funciones y . Entre ellos, sólo uno define una familia de curvas. Ahora vemos que el reemplazo trajo indudables beneficios. Paralelamente, observamos que en el problema anterior, utilizando un reemplazo similar, no se puede hacer un movimiento de "semiparábola", sino una línea recta. Pasemos a la figura. 4. Evidentemente, si la abscisa del vértice de la “semiparábola” es mayor que uno, es decir –3 A > 1, , entonces la ecuación no tiene raíces..gif" width="89" height="29"> y tiene una monotonicidad diferente.

Respuesta. Si entonces la ecuación tiene una raíz; si https://pandia.ru/text/78/074/images/image039_10.gif" width="141" height="81 src=">

tiene soluciones.

Solución. Está claro que las familias directas https://pandia.ru/text/78/074/images/image041_12.gif" width="61" height="52">..jpg" width="259" height="155 " >

Significado k1 lo encontraremos sustituyendo el par (0;0) en la primera ecuación del sistema. Desde aquí k1 =-1/4. Significado k 2 lo conseguimos exigiendo al sistema

https://pandia.ru/text/78/074/images/image045_12.gif" width="151" height="47"> cuando k> 0 tiene una raíz. Desde aquí k2= 1/4.

Respuesta. .

Hagamos una observación. En algunos ejemplos de este punto, tendremos que resolver un problema estándar: para una familia de rectas, encontrar su coeficiente angular correspondiente al momento de tangencia con la curva. Mostraremos cómo hacer esto en forma general usando la derivada.

Si (x0; y 0) = centro de rotación, luego las coordenadas (INCÓGNITA 1; en 1) puntos de tangencia con la curva y =f(x) se puede encontrar resolviendo el sistema

La pendiente requerida k igual a .

Ejemplo 6. ¿Para qué valores del parámetro la ecuación tiene solución única?

Solución..gif" width="160" height="29 src=">..gif" width="237" height="33">, arco AB.

Todos los rayos que pasan entre OA y OB cortan el arco AB en un punto, y también cortan el arco AB OB y ​​OM (tangente) en un punto..gif" width="16" height="48 src=">. El ángulo El coeficiente de la tangente es igual a. Se encuentra fácilmente a partir del sistema.

Entonces, familias directas https://pandia.ru/text/78/074/images/image059_7.gif" width="139" height="52">.

Respuesta. .

Ejemplo 7..gif" width="160" height="25 src="> ¿tiene alguna solución?

Solución..gif" width="61" height="24 src="> y disminuye en . El punto es el punto máximo.

Una función es una familia de rectas que pasan por el punto https://pandia.ru/text/78/074/images/image062_7.gif" width="153" height="28"> es el arco AB. La recta Las líneas que estarán ubicadas entre las rectas OA y OB, satisfacen las condiciones del problema..gif" width="17" height="47 src=">.

Respuesta..gif" width="15" height="20">sin soluciones.

1.3. Homotetia. Compresión en línea recta.

Ejemplo 8.¿Cuántas soluciones tiene el sistema?

https://pandia.ru/text/78/074/images/image073_1.gif" width="41" height="20 src="> el sistema no tiene soluciones. Para un fijo un > 0 la gráfica de la primera ecuación es un cuadrado con vértices ( A; 0), (0;-A), (-a;0), (0;A). Por tanto, los miembros de la familia son cuadrados homotéticos (el centro de homotecia es el punto O(0; 0)).

Pasemos a la figura. 8..gif" width="80" height="25"> cada lado del cuadrado tiene dos puntos comunes con el círculo, lo que significa que el sistema tendrá ocho soluciones. Cuando el círculo resulta estar inscrito en el cuadrado, es decir, habrá nuevamente cuatro soluciones. Obviamente, el sistema no tiene soluciones.

Respuesta. Si A< 1 или https://pandia.ru/text/78/074/images/image077_1.gif" width="56" height="25 src=">, entonces hay cuatro soluciones; si , entonces hay ocho soluciones.

Ejemplo 9. Encuentre todos los valores del parámetro, para cada uno de los cuales la ecuación es https://pandia.ru/text/78/074/images/image081_0.gif" width="181" height="29 src=">. Considere la función ..jpg" width="195" height="162">

El número de raíces corresponderá al número 8 cuando el radio del semicírculo sea mayor y menor que , es decir. Tenga en cuenta que hay.

Respuesta. o .

1.4. Dos líneas rectas en un avión.

Esencialmente, la idea de resolver los problemas de este párrafo se basa en la cuestión de investigación. posición relativa dos rectas: Y . Es fácil mostrar la solución a este problema en forma general. Pasaremos directamente a ejemplos típicos específicos que, en nuestra opinión, no causarán daños. lado común pregunta.

Ejemplo 10.¿Para qué sirve a y b el sistema?

https://pandia.ru/text/78/074/images/image094_0.gif" width="160" height="25 src=">..gif" width="67" height="24 src="> , t..gif" ancho="116" alto="55">

La desigualdad del sistema define un semiplano con frontera en= 2x– 1 (figura 10). Es fácil darse cuenta de que el sistema resultante tiene solución si la recta Ah +por = 5 corta el límite de un semiplano o, siendo paralelo a él, se encuentra en el semiplano en– 2x + 1 < 0.

Empecemos con el caso. segundo = 0. Entonces parecería que la ecuación Oh+ por = 5 define una línea vertical que obviamente cruza la línea y = 2X - 1. Sin embargo, esta afirmación es cierta sólo cuando ..gif" width="43" height="20 src="> el sistema tiene soluciones ..gif" width="99" height="48">. En este caso, la condición para la intersección de líneas se logra en , es decir ..gif" width="52" height="48">.gif" width="41" height="20"> y , o y , o y https ://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" height="24 src=">.

− En el plano coordenado xOa construimos la gráfica de la función.

− Considere las líneas rectas y seleccione aquellos intervalos del eje Oa en los que estas líneas rectas satisfacen las siguientes condiciones: a) no corta la gráfica de la función https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0 .gif" width="69" height ="24"> en un punto, c) en dos puntos, d) en tres puntos y así sucesivamente.

− Si la tarea es encontrar los valores de x, entonces expresamos x en términos de a para cada uno de los intervalos encontrados del valor de a por separado.

La visión de un parámetro como una variable igual se refleja en los métodos gráficos..jpg" width="242" height="182">

Respuesta. a = 0 o a = 1.

CONCLUSIÓN

Esperamos que los problemas analizados demuestren de manera convincente la efectividad de los métodos propuestos. Sin embargo, desafortunadamente, el ámbito de aplicación de estos métodos está limitado por las dificultades que pueden surgir al construir una imagen gráfica. ¿Es realmente tan malo? Aparentemente no. De hecho, con este enfoque se pierde en gran medida el principal valor didáctico de los problemas con parámetros como modelo de investigación en miniatura. Sin embargo, las consideraciones anteriores están dirigidas a los docentes, y para los solicitantes la fórmula es bastante aceptable: el fin justifica los medios. Además, tomémonos la libertad de decir que en un número considerable de universidades los compiladores de problemas competitivos con parámetros siguen el camino desde la imagen hasta la condición.

En estos problemas, discutimos las posibilidades para resolver problemas con un parámetro que se nos abren cuando dibujamos gráficas de funciones incluidas en los lados izquierdo y derecho de ecuaciones o desigualdades en una hoja de papel. Debido a que el parámetro puede tomar valores arbitrarios, uno o ambos gráficos mostrados se mueven de cierta manera en el plano. Podemos decir que se obtiene toda una familia de gráficas correspondientes a diferentes valores del parámetro.

Destaquemos fuertemente dos detalles.

En primer lugar, no estamos hablando de una solución “gráfica”. Todos los valores, coordenadas y raíces se calculan de forma estricta, analítica, como soluciones a las ecuaciones y sistemas correspondientes. Lo mismo se aplica a los casos de tocar o cruzar gráficos. No se determinan a simple vista, sino con la ayuda de discriminadores, derivados y otras herramientas disponibles para usted. La imagen sólo da una solución.

En segundo lugar, incluso si no encuentra ninguna manera de resolver el problema asociado con los gráficos mostrados, su comprensión del problema se ampliará significativamente, recibirá información para realizar una autoevaluación y las posibilidades de éxito aumentarán significativamente. Al comprender con precisión lo que sucede en un problema para diferentes valores de parámetros, es posible que pueda encontrar el algoritmo de solución correcto.

Por eso, concluiremos estas palabras con una sugerencia urgente: si incluso en el problema más remotamente complejo hay funciones para las que sabes dibujar gráficas, no dejes de hacerlo, no te arrepentirás.

LISTA BIBLIOGRAFICA

1. Cherkasov,: Manual para estudiantes de secundaria y solicitantes de ingreso a universidades [Texto] /, . – M.: AST-PRESS, 2001. – 576 p.

2. Gorshtein, con parámetros [Texto]: 3.ª edición, ampliada y revisada / , . – M.: Ilexa, Jarkov: Gimnasio, 1999. – 336 p.

Muchas tareas que estamos acostumbrados a calcular de forma puramente algebraica se pueden resolver de manera mucho más fácil y rápida utilizando gráficos de funciones que nos ayudarán con esto. Dices "¿cómo es eso?" dibujar algo y ¿qué dibujar? Créame, a veces es más cómodo y sencillo. ¿Empezamos? ¡Empecemos con las ecuaciones!

Solución gráfica de ecuaciones.

Solución gráfica de ecuaciones lineales.

Como ya sabes, la gráfica de una ecuación lineal es una línea recta, de ahí el nombre de este tipo. Las ecuaciones lineales son bastante fáciles de resolver algebraicamente: transferimos todas las incógnitas a un lado de la ecuación, todo lo que sabemos al otro y ¡listo! Encontramos la raíz. Ahora te mostraré cómo hacerlo. gráficamente.

Entonces tienes la ecuación:

¿Cómo solucionarlo?
Opción 1, y la más común es mover las incógnitas a un lado y las conocidas al otro, obtenemos:

Ahora construyamos. ¿Qué obtuviste?

¿Cuál crees que es la raíz de nuestra ecuación? Así es, la coordenada del punto de intersección de las gráficas es:

Nuestra respuesta es

Ésa es toda la sabiduría de la solución gráfica. Como puedes comprobar fácilmente, ¡la raíz de nuestra ecuación es un número!

Como dije anteriormente, esta es la opción más común, cercana a una solución algebraica, pero puedes resolverla de otra manera. Para considerar una solución alternativa, volvamos a nuestra ecuación:

Esta vez no moveremos nada de un lado a otro, sino que construiremos las gráficas directamente, como están ahora:

¿Construido? ¡Vamos a ver!

¿Cuál es la solución esta vez? Así es. Lo mismo: la coordenada del punto de intersección de los gráficos:

Y, nuevamente, nuestra respuesta es.

Como puedes ver, con ecuaciones lineales todo es extremadamente simple. Es hora de mirar algo más complejo... Por ejemplo, solución gráfica de ecuaciones cuadráticas.

Solución gráfica de ecuaciones cuadráticas.

Entonces, ahora comencemos a resolver la ecuación cuadrática. Digamos que necesitas encontrar las raíces de esta ecuación:

Por supuesto, ahora puedes empezar a contar a través del discriminante, o según el teorema de Vieta, pero mucha gente, por los nervios, se equivoca al multiplicar o elevar al cuadrado, sobre todo si el ejemplo es con números grandes, y, como sabes, ganaste. No tengo calculadora para el examen... Por tanto, intentemos relajarnos un poco y dibujar mientras resolvemos esta ecuación.

Las soluciones a esta ecuación se pueden encontrar gráficamente de varias maneras. Veamos las diferentes opciones y podrás elegir cuál te gusta más.

Método 1. Directamente

Simplemente construimos una parábola usando esta ecuación:

Para hacerlo rápidamente, te daré una pequeña pista: Es conveniente iniciar la construcción determinando el vértice de la parábola. Las siguientes fórmulas ayudarán a determinar las coordenadas del vértice de una parábola:

Dirás “¡Para! La fórmula para es muy similar a la fórmula para encontrar el discriminante”, sí, lo es, y esta es una gran desventaja de construir “directamente” una parábola para encontrar sus raíces. Sin embargo, contemos hasta el final y luego te mostraré cómo hacerlo mucho (¡mucho!) más fácil.

¿Contaste? ¿Qué coordenadas obtuviste para el vértice de la parábola? Resolvámoslo juntos:

¿Exactamente la misma respuesta? ¡Bien hecho! Y ahora ya conocemos las coordenadas del vértice, pero para construir una parábola necesitamos más... puntos. ¿Cuántos puntos mínimos crees que necesitamos? Bien, .

Sabes que una parábola es simétrica con respecto a su vértice, por ejemplo:

En consecuencia, necesitamos dos puntos más en la rama izquierda o derecha de la parábola, y en el futuro reflejaremos simétricamente estos puntos en el lado opuesto:

Volvamos a nuestra parábola. Para nuestro caso, punto. ¿Necesitamos dos puntos más para poder tomar los positivos o los negativos? ¿Qué puntos te convienen más? Me resulta más conveniente trabajar con positivos, así que calcularé en y.

Ahora que tenemos tres puntos, podemos construir fácilmente nuestra parábola reflejando los dos últimos puntos con respecto a su vértice:

¿Cuál crees que es la solución de la ecuación? Así es, puntos en los cuales, es decir, y. Porque.

Y si decimos eso quiere decir que también debe ser igual, o.

¿Justo? Hemos terminado de resolver la ecuación contigo de forma gráfica compleja, ¡o habrá más!

Por supuesto, puedes comprobar nuestra respuesta algebraicamente: puedes calcular las raíces utilizando el teorema de Vieta o el Discriminante. ¿Qué obtuviste? ¿Lo mismo? ¡Verás! Ahora veamos una solución gráfica muy sencilla, ¡estoy seguro de que te gustará mucho!

Método 2. Dividido en varias funciones.

Tomemos nuestra misma ecuación: , pero la escribiremos de manera un poco diferente, a saber:

¿Podemos escribirlo así? Podemos, ya que la transformación es equivalente. Miremos más allá.

Construyamos dos funciones por separado:

1. - la gráfica es una parábola simple, que puedes construir fácilmente incluso sin definir el vértice usando fórmulas y elaborando una tabla para determinar otros puntos.
2. - la gráfica es una línea recta, que puedes construir con la misma facilidad estimando los valores mentalmente sin siquiera recurrir a una calculadora.

¿Construido? Comparemos con lo que obtuve:

¿Cuáles crees que son las raíces de la ecuación en este caso? ¡Bien! Las coordenadas obtenidas por la intersección de dos gráficas y, es decir:

En consecuencia, la solución de esta ecuación es:

¿Qué dices? De acuerdo, este método de solución es mucho más fácil que el anterior e incluso más fácil que buscar raíces a través de un discriminante. Si es así, intenta resolver la siguiente ecuación usando este método:

¿Qué obtuviste? Comparemos nuestros gráficos:

Los gráficos muestran que las respuestas son:

¿Lo lograste? ¡Bien hecho! Ahora veamos ecuaciones un poco más complicadas, es decir, resolver ecuaciones mixtas, es decir, ecuaciones que contienen funciones de diferentes tipos.

Solución gráfica de ecuaciones mixtas.

Ahora intentemos resolver lo siguiente:

Por supuesto, puedes llevar todo a un denominador común, encontrar las raíces de la ecuación resultante, sin olvidar tener en cuenta el ODZ, pero nuevamente intentaremos resolverlo gráficamente, como lo hicimos en todos los casos anteriores.

Esta vez construyamos los siguientes 2 gráficos:

1. - la gráfica es una hipérbola
2. - la gráfica es una línea recta, que puedes construir fácilmente estimando los valores mentalmente sin siquiera recurrir a una calculadora.

¿Te diste cuenta? Ahora empieza a construir.

Esto es lo que obtuve:

Mirando esta imagen, dime ¿cuáles son las raíces de nuestra ecuación?

Así es, y. Aquí está la confirmación:

Intente introducir nuestras raíces en la ecuación. ¿Funcionó?

¡Así es! De acuerdo, ¡resolver gráficamente este tipo de ecuaciones es un placer!

Intenta resolver la ecuación gráficamente tú mismo:

Te daré una pista: mueve parte de la ecuación hacia el lado derecho para que las funciones más simples de construir estén en ambos lados. ¿Entendiste la pista? ¡Tomar medidas!

Ahora veamos lo que tienes:

Respectivamente:

1. - parábola cúbica.
2. - línea recta ordinaria.

Bueno, construyamos:

Como anotó hace mucho tiempo, la raíz de esta ecuación es -.

Después de haber trabajado con una cantidad tan grande de ejemplos, estoy seguro de que te diste cuenta de lo fácil y rápido que es resolver ecuaciones gráficamente. Es hora de descubrir cómo resolver sistemas de esta manera.

Solución gráfica de sistemas.

Resolver sistemas gráficamente no es esencialmente diferente de resolver ecuaciones gráficamente. También construiremos dos gráficas y sus puntos de intersección serán las raíces de este sistema. Una gráfica es una ecuación, la segunda gráfica es otra ecuación. ¡Todo es extremadamente simple!

Comencemos con lo más simple: resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Digamos que tenemos el siguiente sistema:

Primero, transformémoslo de modo que a la izquierda esté todo lo que está conectado y a la derecha, todo lo que está conectado. En otras palabras, escribamos estas ecuaciones como una función en nuestra forma habitual:

Ahora simplemente construimos dos líneas rectas. ¿Cuál es la solución en nuestro caso? ¡Bien! ¡El punto de su intersección! ¡Y aquí hay que tener mucho, mucho cuidado! Piénsalo, ¿por qué? Déjame darte una pista: estamos tratando con un sistema: en el sistema hay ambas cosas, y... ¿Entendiste la pista?

¡Así es! Al resolver un sistema, debemos fijarnos en ambas coordenadas, ¡y no sólo como al resolver ecuaciones! ¡Otro punto importante es anotarlos correctamente y no confundir dónde tenemos el significado y dónde está el significado! ¿Lo escribiste? Ahora comparemos todo en orden:

Y las respuestas: y. ¿Hacer una verificación: sustituir las raíces encontradas en el sistema y asegurarse de que lo resolvimos correctamente gráficamente?

Resolver sistemas de ecuaciones no lineales.

¿Qué pasa si, en lugar de una línea recta, tenemos ecuación cuadrática? ¡Está bien! ¡Simplemente construyes una parábola en lugar de una línea recta! ¿No me crees? Intente resolver el siguiente sistema:

¿Cuál es nuestro siguiente paso? Así es, anótelo para que nos sea conveniente construir gráficos:

Y ahora todo es cuestión de pequeñas cosas: ¡constrúyalo rápidamente y aquí está su solución! Estamos construyendo:

¿Los gráficos resultaron iguales? ¡Ahora marque las soluciones del sistema en la figura y escriba correctamente las respuestas identificadas!

¿Hiciste todo? Comparar con mis notas:

¿Está todo bien? ¡Bien hecho! ¡Ya estás resolviendo este tipo de tareas como locos! Si es así, te damos un sistema más complicado:

¿Qué estamos haciendo? ¡Bien! Escribimos el sistema para que sea conveniente construirlo:

¡Te daré una pequeña pista, ya que el sistema parece muy complicado! Al construir gráficos, constrúyalos "más" y, lo más importante, no se sorprenda por la cantidad de puntos de intersección.

Entonces, ¡vamos! ¿Exhalado? ¡Ahora empieza a construir!

Entonces, ¿cómo? ¿Hermoso? ¿Cuántos puntos de intersección obtuviste? ¡Tengo tres! Comparemos nuestros gráficos:

¿También? Ahora anota cuidadosamente todas las soluciones de nuestro sistema:

Ahora mire el sistema nuevamente:

¿Te imaginas que resolviste esto en sólo 15 minutos? De acuerdo, las matemáticas siguen siendo simples, especialmente cuando miras una expresión, no tienes miedo de cometer un error, ¡simplemente tómala y resuélvela! Eres genial!

Solución gráfica de desigualdades.

Solución gráfica de desigualdades lineales.

Después del último ejemplo, ¡puedes hacer cualquier cosa! Ahora exhala; en comparación con las secciones anteriores, ¡ésta será muy, muy fácil!

Comenzaremos, como siempre, con una solución gráfica a una desigualdad lineal. Por ejemplo, este:

Primero, llevemos a cabo las transformaciones más simples: abramos los paréntesis de cuadrados perfectos y presentemos términos similares:

La desigualdad no es estricta, por lo tanto no está incluida en el intervalo, y la solución serán todos los puntos que están a la derecha, ya que más, más, etc.

Respuesta:

¡Eso es todo! ¿Fácilmente? Resolvamos una desigualdad simple con dos variables:

Dibujemos una función en el sistema de coordenadas.

¿Recibiste ese horario? Ahora veamos detenidamente qué desigualdad tenemos allí. ¿Menos? Esto significa que pintamos sobre todo lo que esté a la izquierda de nuestra línea recta. ¿Y si hubiera más? Así es, entonces pintaríamos sobre todo lo que esté a la derecha de nuestra recta. Es sencillo.

Todas las soluciones a esta desigualdad están sombreadas en naranja. Eso es todo, se resuelve la desigualdad con dos variables. Esto significa que las coordenadas de cualquier punto del área sombreada son las soluciones.

Solución gráfica de desigualdades cuadráticas.

Ahora entenderemos cómo resolver gráficamente desigualdades cuadráticas.

Pero antes de ponernos manos a la obra, repasemos algo de material sobre la función cuadrática.

¿De qué es responsable el discriminante? Así es, para la posición de la gráfica con respecto al eje (si no recuerdas esto, definitivamente lee la teoría sobre funciones cuadráticas).

En cualquier caso, aquí tienes un pequeño recordatorio:

Ahora que hemos actualizado todo el material en nuestra memoria, vayamos al grano: resuelva la desigualdad gráficamente.

Te diré enseguida que hay dos opciones para solucionarlo.

Opción 1

Escribimos nuestra parábola como una función:

Usando las fórmulas, determinamos las coordenadas del vértice de la parábola (exactamente lo mismo que al resolver ecuaciones cuadráticas):

¿Contaste? ¿Qué obtuviste?

Ahora tomemos dos puntos diferentes más y calculemos para ellos:

Comencemos a construir una rama de la parábola:

Reflejamos simétricamente nuestros puntos en otra rama de la parábola:

Ahora volvamos a nuestra desigualdad.

Necesitamos que sea menor que cero, respectivamente:

Dado que en nuestra desigualdad el signo es estrictamente menor que, excluimos los puntos finales: "perforar".

Respuesta:

Un largo camino, ¿verdad? Ahora les mostraré una versión más simple de la solución gráfica usando el ejemplo de la misma desigualdad:

Opción 2

Volvemos a nuestra desigualdad y marcamos los intervalos que necesitamos:

De acuerdo, es mucho más rápido.

Anotemos ahora la respuesta:

Consideremos otra solución que simplifique la parte algebraica, pero lo principal es no confundirse.

Multiplica los lados izquierdo y derecho por:

Intenta resolver tú mismo la siguiente desigualdad cuadrática de la forma que quieras: .

¿Lo lograste?

Mira cómo quedó mi gráfico:

Respuesta: .

Solución gráfica de desigualdades mixtas.

¡Pasemos ahora a desigualdades más complejas!

¿Cómo te gusta esto?

Es espeluznante, ¿no? Sinceramente, no tengo idea de cómo resolver esto algebraicamente... Pero no es necesario. ¡Gráficamente no hay nada complicado en esto! ¡Los ojos tienen miedo, pero las manos lo hacen!

Lo primero con lo que comenzaremos es construyendo dos gráficas:

No escribiré una tabla para cada uno, estoy seguro de que puedes hacerlo perfectamente por tu cuenta (¡vaya, hay tantos ejemplos para resolver!).

¿Lo pintaste? Ahora construye dos gráficas.

¿Comparemos nuestros dibujos?

¿Te pasa lo mismo? ¡Excelente! Ahora organicemos los puntos de intersección y usemos el color para determinar qué gráfico deberíamos tener más grande en teoría, es decir. Mira lo que pasó al final:

Ahora veamos dónde nuestro gráfico seleccionado es más alto que el gráfico. ¡Siéntete libre de tomar un lápiz y pintar sobre esta área! ¡Ella será la solución a nuestra compleja desigualdad!

¿En qué intervalos a lo largo del eje estamos más altos que? Bien, . ¡Ésta es la respuesta!

Bueno, ahora puedes manejar cualquier ecuación, cualquier sistema y, más aún, ¡cualquier desigualdad!

BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES

Algoritmo para resolver ecuaciones usando gráficas de funciones:

1. Expresémoslo a través
2. Definamos el tipo de función.
3. Construyamos gráficas de las funciones resultantes.
4. Encontremos los puntos de intersección de las gráficas.
5. Escribamos la respuesta correctamente (teniendo en cuenta la ODZ y los signos de desigualdad)
6. Comprobemos la respuesta (sustituyamos las raíces en la ecuación o sistema)

Para obtener más información sobre la construcción de gráficas de funciones, consulte el tema “”.

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El método gráfico es uno de los principales métodos para resolver desigualdades cuadráticas. En el artículo presentaremos un algoritmo para utilizar el método gráfico y luego consideraremos casos especiales utilizando ejemplos.

La esencia del método gráfico.

El método es aplicable para resolver cualquier desigualdad, no solo las cuadráticas. Su esencia es la siguiente: los lados derecho e izquierdo de la desigualdad se consideran dos funciones separadas y = f (x) e y = g (x), sus gráficas se trazan en un sistema de coordenadas rectangular y observe cuál de las gráficas es situado encima del otro y en qué intervalos. Los intervalos se estiman de la siguiente manera:

Definición 1

• las soluciones a la desigualdad f (x) > g (x) son intervalos donde la gráfica de la función f es mayor que la gráfica de la función g;
• las soluciones a la desigualdad f (x) ≥ g (x) son intervalos donde la gráfica de la función f no es menor que la gráfica de la función g;
• soluciones a la desigualdad f(x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• las soluciones a la desigualdad f (x) ≤ g (x) son intervalos donde la gráfica de la función f no es mayor que la gráfica de la función g;
• Las abscisas de los puntos de intersección de las gráficas de las funciones f y g son soluciones de la ecuación f (x) = g (x).

Veamos el algoritmo anterior usando un ejemplo. Para hacer esto, tome la desigualdad cuadrática a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) y derivar dos funciones de él. El lado izquierdo de la desigualdad corresponderá a y = a · x 2 + b · x + c (en este caso f (x) = a · x 2 + b · x + c), y el lado derecho y = 0 ( en este caso g(x) = 0).

La gráfica de la primera función es una parábola, la segunda es una línea recta que coincide con el eje x O x. Analicemos la posición de la parábola con respecto al eje O x. Para hacer esto, hagamos un dibujo esquemático.

Las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba. Interseca el eje O x en puntos x1 Y x2. El coeficiente a en este caso es positivo, ya que es el responsable de la dirección de las ramas de la parábola. El discriminante es positivo, lo que indica que el trinomio cuadrático tiene dos raíces. a x 2 + b x + c. Denotamos las raíces del trinomio como x1 Y x2, y se aceptó que x1< x 2 , ya que en el eje O x se representa un punto con una abscisa x1 a la izquierda del punto de abscisa x2.

Las partes de la parábola ubicadas sobre el eje O x se indicarán en rojo, debajo, en azul. Esto nos permitirá hacer el dibujo más visual.

Seleccionemos los espacios que corresponden a estas partes y márquelos en la imagen con campos de un color determinado.

Marcamos en rojo los intervalos (− ∞, x 1) y (x 2, + ∞), en ellos la parábola está por encima del eje O x. Son a · x 2 + b · x + c > 0. Marcamos en azul el intervalo (x 1 , x 2), que es la solución a la desigualdad a x 2 + b x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Hagamos un breve resumen de la solución. Para a > 0 y D = b 2 − 4 a c > 0 (o D " = D 4 > 0 para un coeficiente par b) obtenemos:

• decisión desigualdad cuadrática a · x 2 + b · x + c > 0 es (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) o en otra notación x< x 1 , x >x2;
• la solución a la desigualdad cuadrática a · x 2 + b · x + c ≥ 0 es (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞ ) o en otra forma x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• resolviendo la desigualdad cuadrática a x 2 + b x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• la solución a la desigualdad cuadrática a x 2 + b x + c ≤ 0 es [ x 1 , x 2 ] o en otra notación x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

donde x 1 y x 2 son las raíces del trinomio cuadrático a · x 2 + b · x + c, y x 1< x 2 .

En esta figura, la parábola toca el eje O x solo en un punto, que se designa como x0 a > 0. D=0, por lo tanto, el trinomio cuadrado tiene una raíz x0.

La parábola se encuentra completamente por encima del eje O x, a excepción del punto de tangencia del eje de coordenadas. Coloreemos los intervalos. (- ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

Anotemos los resultados. En a > 0 Y D=0:

• resolviendo la desigualdad cuadrática a x 2 + b x + c > 0 es (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) o en otra notación x≠x0;
• resolviendo la desigualdad cuadrática a x 2 + b x + c ≥ 0 es (− ∞ , + ∞) o en otra notación x ∈ R;
• desigualdad cuadrática a x 2 + b x + c< 0 no tiene soluciones (no hay intervalos en los que la parábola se ubique debajo del eje Buey);
• desigualdad cuadrática a x 2 + b x + c ≤ 0 tiene una solución única x = x 0(está dado por el punto de contacto),

Dónde x0- raíz del trinomio cuadrado a x 2 + b x + c.

Consideremos el tercer caso, cuando las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba y no tocan el eje. Buey. Las ramas de la parábola están dirigidas hacia arriba, lo que significa que a > 0. El trinomio cuadrado no tiene raíces reales porque D< 0 .

No hay intervalos en la gráfica en los que la parábola estaría debajo del eje x. Esto lo tendremos en cuenta a la hora de elegir un color para nuestro dibujo.

Resulta que cuando a > 0 Y D< 0 resolver desigualdades cuadráticas a x 2 + b x + c > 0 Y a x 2 + b x + c ≥ 0 es el conjunto de todos números reales y las desigualdades a x 2 + b x + c< 0 Y a x 2 + b x + c ≤ 0 no tienen soluciones.

Nos quedan tres opciones por considerar cuando las ramas de la parábola se dirigen hacia abajo. No es necesario detenerse en detalle en estas tres opciones, ya que cuando multiplicamos ambos lados de la desigualdad por − 1, obtenemos una desigualdad equivalente con un coeficiente positivo para x 2.

La consideración de la sección anterior del artículo nos preparó para la percepción de un algoritmo para resolver desigualdades mediante un método gráfico. Para realizar los cálculos, necesitaremos utilizar cada vez un dibujo, que representará la línea de coordenadas O x y una parábola que corresponde a la función cuadrática. y = a x 2 + b x + c. En la mayoría de los casos, no representaremos el eje O y, ya que no es necesario para los cálculos y solo sobrecargará el dibujo.

Para construir una parábola, necesitaremos saber dos cosas:

Definición 2

• la dirección de las ramas, que está determinada por el valor del coeficiente a;
• la presencia de puntos de intersección de la parábola y el eje de abscisas, que están determinados por el valor del discriminante del trinomio cuadrático a · x 2 + b · x + c .

Denotaremos los puntos de intersección y tangencia de la forma habitual al resolver desigualdades no estrictas y vacíos al resolver desigualdades estrictas.

Tener un dibujo completo le permite pasar al siguiente paso de la solución. Implica determinar los intervalos en los que la parábola se ubica por encima o por debajo del eje O x. Los intervalos y puntos de intersección son la solución de la desigualdad cuadrática. Si no existen puntos de intersección o tangencia y no existen intervalos, entonces se considera que la desigualdad especificada en las condiciones del problema no tiene soluciones.

Ahora resolvamos varias desigualdades cuadráticas usando el algoritmo anterior.

Ejemplo 1

Es necesario resolver gráficamente la desigualdad 2 x 2 + 5 1 3 x - 2.

Solución

Dibujemos una gráfica de la función cuadrática y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 . Coeficiente en x2 positivo porque es igual 2 . Esto significa que las ramas de la parábola estarán dirigidas hacia arriba.

Calculemos el discriminante del trinomio cuadrático 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 para saber si la parábola tiene puntos comunes con el eje de abscisas. Obtenemos:

D = 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) = 400 9

Como vemos, D es mayor que cero, por lo tanto, tenemos dos puntos de intersección: x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 2 y x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 2, es decir, x 1 = - 3 Y x 2 = 1 3.

Resolvemos una desigualdad no estricta, por lo tanto colocamos puntos ordinarios en la gráfica. Dibujemos una parábola. Como puede ver, el dibujo tiene la misma apariencia que en la primera plantilla que consideramos.

Nuestra desigualdad tiene el signo ≤. Por lo tanto, debemos resaltar los intervalos en el gráfico donde se encuentra la parábola debajo del eje O x y agregarles puntos de intersección.

El intervalo que necesitamos es 3, 1 3. Le agregamos puntos de intersección y obtenemos un segmento numérico − 3, 1 3. Esta es la solución a nuestro problema. La respuesta se puede escribir como una doble desigualdad: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Respuesta:− 3 , 1 3 o − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Ejemplo 2

− x 2 + 16 x − 63< 0 método gráfico.

Solución

El cuadrado de la variable tiene un coeficiente numérico negativo, por lo que las ramas de la parábola se dirigirán hacia abajo. Calculemos la cuarta parte del discriminante. D " = 8 2 − (− 1) · (− 63) = 64 − 63 = 1. Este resultado nos dice que habrá dos puntos de intersección.

Calculemos las raíces del trinomio cuadrado: x 1 = - 8 + 1 - 1 y x 2 = - 8 - 1 - 1, x 1 = 7 y x2 = 9.

Resulta que la parábola corta al eje x en los puntos 7 Y 9 . Marquemos estos puntos en el gráfico como vacíos, ya que estamos trabajando con desigualdad estricta. Después de esto, dibuja una parábola que corte al eje O x en los puntos marcados.

Nos interesarán los intervalos en los que la parábola se ubica debajo del eje O x. Marquemos estos intervalos en azul.

Obtenemos la respuesta: la solución a la desigualdad son los intervalos (− ∞, 7) , (9, + ∞) .

Respuesta:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) o en otra notación x< 7 , x > 9 .

En los casos en que el discriminante de un trinomio cuadrático sea cero, se debe considerar cuidadosamente si se deben incluir las abscisas de los puntos tangentes en la respuesta. Para tomar la decisión correcta es necesario tener en cuenta el signo de desigualdad. En desigualdades estrictas, el punto de tangencia del eje x no es una solución a la desigualdad, pero en desigualdades no estrictas sí lo es.

Ejemplo 3

Resolver desigualdad cuadrática 10 x 2 − 14 x + 4, 9 ≤ 0 método gráfico.

Solución

Las ramas de la parábola en este caso se dirigirán hacia arriba. Tocará el eje O x en el punto 0, 7, ya que

Trazamos la función y = 10 x 2 − 14 x + 4,9. Sus ramas están dirigidas hacia arriba, ya que el coeficiente en x2 positivo y toca el eje x en el punto del eje x 0 , 7 , porque re " = (- 7) 2 - 10 4, 9 = 0, de donde x 0 = 7 10 o 0 , 7 .

Pongamos un punto y dibujemos una parábola.

Resolvemos una desigualdad no estricta con signo ≤. Por eso. Nos interesarán los intervalos en los que la parábola se ubica debajo del eje x y el punto de tangencia. No hay intervalos en la figura que satisfagan nuestras condiciones. Sólo hay un punto de contacto 0, 7. Esta es la solución que estamos buscando.

Respuesta: La desigualdad tiene una sola solución 0, 7.

Ejemplo 4

Resolver desigualdad cuadrática – x 2 + 8 x − 16< 0 .

Solución

Las ramas de la parábola se dirigen hacia abajo. El discriminante es cero. Punto de intersección x0 = 4.

Marcamos el punto de tangencia en el eje x y dibujamos una parábola.

Nos enfrentamos a una grave desigualdad. En consecuencia, estamos interesados ​​en los intervalos en los que la parábola se ubica debajo del eje O x. Marquémoslos en azul.

El punto con abscisa 4 no es una solución, ya que la parábola en él no está ubicada debajo del eje O x. En consecuencia, obtenemos dos intervalos (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

Respuesta: (− ∞, 4) ∪ (4, + ∞) o en otra notación x ≠ 4.

No siempre con valor negativo La desigualdad discriminante no tendrá soluciones. Hay casos en los que la solución es el conjunto de todos los números reales.

Ejemplo 5

Resuelve la desigualdad cuadrática 3 x 2 + 1 > 0 gráficamente.

Solución

El coeficiente a es positivo. El discriminante es negativo. Las ramas de la parábola estarán dirigidas hacia arriba. No hay puntos de intersección de la parábola con el eje O x. Miremos el dibujo.

Trabajamos con desigualdad estricta, que tiene signo >. Esto significa que estamos interesados ​​en los intervalos en los que la parábola se ubica sobre el eje x. Este es exactamente el caso cuando la respuesta es el conjunto de todos los números reales.

Respuesta:(− ∞, + ∞) más o menos x ∈ R.

Ejemplo 6

Es necesario encontrar una solución a la desigualdad. − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0 gráficamente.

Solución

Las ramas de la parábola se dirigen hacia abajo. El discriminante es negativo, por lo tanto, no hay puntos comunes entre la parábola y el eje x. Miremos el dibujo.

Estamos trabajando con una desigualdad no estricta con el signo ≥, por lo tanto, nos interesan los intervalos en los que la parábola se ubica sobre el eje x. A juzgar por el gráfico, no existen tales lagunas. Esto significa que la desigualdad dada en las condiciones del problema no tiene solución.

Respuesta: Sin soluciones.

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L.A.

profesor de matematicas

Vorónezh, MBOU Liceo No. 5

Proyecto

"Ventajas del método gráfico para la resolución de ecuaciones y desigualdades".

Clase:

7-11

Artículo:

Matemáticas

Objetivo de la investigación:

Descubrirventajas del método gráfico para resolver ecuaciones y desigualdades.

Hipótesis:

Algunas ecuaciones y desigualdades son más fáciles y estéticamente más agradables de resolver gráficamente.

Etapas de la investigación:

Comparar métodos de solución analíticos y gráficos.ecuaciones y desigualdades.

Descubra en qué casos el método gráfico tiene ventajas.

Considere resolver ecuaciones con módulo y parámetro.

Resultados de la investigación:

1.La belleza de las matemáticas es un problema filosófico.

2.Al resolver algunas ecuaciones y desigualdades, una solución gráfica.más práctico y atractivo.

3. Puedes aplicar el atractivo de las matemáticas en la escuela utilizando una solución gráfica.ecuaciones y desigualdades.

“Las ciencias matemáticas han atraído especial atención desde la antigüedad,

Actualmente, han despertado aún más interés por su influencia en el arte y la industria”.

Pafnutiy Lvovich Chebyshev.

A partir del séptimo grado, se consideran varios métodos para resolver ecuaciones y desigualdades, incluidos los gráficos. Creo que aquellos que piensan que las matemáticas son una ciencia seca cambian de opinión cuando ven lo bien que se pueden resolver algunos tipos.ecuaciones y desigualdades. Déjame darte algunos ejemplos:

1).Resolver la ecuación: = .

Puedes resolverlo analíticamente, es decir, elevar ambos lados de la ecuación a la tercera potencia y así sucesivamente.

El método gráfico es conveniente para esta ecuación si simplemente necesitas indicar el número de soluciones.

A menudo se encuentran tareas similares al resolver el bloque de "geometría" del OGE de noveno grado.

2).Resolver la ecuación con el parámetro:

││ incógnita│- 4│= a

No es el mejor ejemplo complejo, pero si resuelves analíticamente tendrás que abrir los paréntesis del módulo dos veces, y para cada caso considerar los posibles valores del parámetro. Gráficamente todo es muy sencillo. Dibujamos gráficas de funciones y vemos que:

Fuentes:

programa de computadoraGráfico avanzado .

Dejar f(x,y) Y g(x,y)- dos expresiones con variables incógnita Y en y alcance incógnita. Entonces desigualdades de la forma f(x, y) > g(x,y) o f(x, y) < g(x,y) llamado desigualdad con dos variables .

Significado de las variables x,y de muchos incógnita, en el que la desigualdad se vuelve verdadera desigualdad numérica, se llama decisión y es designado (x,y). Resolver desigualdad - esto significa encontrar muchos de esos pares.

Si cada par de números (x,y) del conjunto de soluciones a la desigualdad, empareje el punto M(x, y), obtenemos el conjunto de puntos en el plano especificado por esta desigualdad. lo llaman gráfica de esta desigualdad . La gráfica de una desigualdad suele ser un área en un plano.

Representar el conjunto de soluciones a la desigualdad. f(x, y) > g(x,y), proceda de la siguiente manera. Primero, reemplaza el signo de desigualdad con un signo igual y encuentra una recta que tenga la ecuación f(x,y) = g(x,y). Esta línea divide el avión en varias partes. Después de esto, basta con tomar un punto en cada parte y comprobar si se cumple la desigualdad en este punto. f(x, y) > g(x,y). Si se ejecuta en este punto, se ejecutará en toda la parte donde se encuentra este punto. Combinando dichas piezas obtenemos muchas soluciones.

Tarea. y > incógnita.

Solución. Primero, reemplazamos el signo de desigualdad con un signo igual y construimos una línea en un sistema de coordenadas rectangular que tiene la ecuación y = incógnita.

Esta línea divide el avión en dos partes. Después de esto, toma un punto en cada parte y verifica si la desigualdad se cumple en este punto. y > incógnita.

Tarea. Resuelve gráficamente la desigualdad.
incógnita 2 + en 2 £ 25.

Arroz. 18.

Solución. Primero, reemplaza el signo de desigualdad con un signo igual y dibuja una línea. incógnita 2 + en 2 = 25. Este es un círculo con centro en el origen y un radio de 5. El círculo resultante divide el plano en dos partes. Comprobando la satisfacibilidad de la desigualdad. incógnita 2 + en 2 £ 25 en cada parte, encontramos que la gráfica es un conjunto de puntos de un círculo y partes de un plano dentro del círculo.

Sean dadas dos desigualdades F 1(x,y) > gramo 1(x,y) Y F 2(x,y) > gramo 2(x,y).

Sistemas de conjuntos de desigualdades con dos variables.

Sistema de desigualdades representa tú mismo conjunción de estas desigualdades. Solución del sistema es cada significado (x,y), lo que convierte cada una de las desigualdades en una verdadera desigualdad numérica. Muchas soluciones sistemas Desigualdades es la intersección de conjuntos de soluciones a desigualdades que forman un sistema dado.

Conjunto de desigualdades representa tú mismo disyunción de estos desigualdades Por la solución de la totalidad. es cada significado (x,y), que convierte al menos una del conjunto de desigualdades en una verdadera desigualdad numérica. Muchas soluciones totalidad es una unión de conjuntos de soluciones a desigualdades que forman un conjunto.

Tarea. Resolver gráficamente el sistema de desigualdades.

Solución. y = x Y incógnita 2 + en 2 = 25. Resolvemos cada desigualdad del sistema.

La gráfica del sistema será el conjunto de puntos del plano que son la intersección (doble rayado) de los conjuntos de soluciones de la primera y segunda desigualdad.

Tarea. Resolver gráficamente un conjunto de desigualdades.

Solución. Primero, reemplazamos el signo de desigualdad con un signo igual y dibujamos líneas en un sistema de coordenadas. y = x+ 4 y incógnita 2 + en 2 = 16. Resuelve cada desigualdad de la población. La gráfica de la población será un conjunto de puntos del plano, que son la unión de los conjuntos de soluciones de la primera y segunda desigualdad.

Ejercicios para el trabajo independiente.

1. Resuelve gráficamente las desigualdades: a) en> 2incógnita; b) en< 2incógnita + 3;

V) incógnita 2+ y 2 > 9; GRAMO) incógnita 2+ y 2 £4.

2. Resolver gráficamente sistemas de desigualdades:

a) b)