enésimo grado de un número real, observó que de cualquier no número negativo puedes extraer la raíz de cualquier grado (segundo, tercero, cuarto, etc.), y de un número negativo puedes extraer la raíz de cualquier grado impar. Pero entonces deberías pensar en una función de la forma , en su gráfica, en sus propiedades. Esto es lo que haremos en este párrafo. Primero hablemos de la función en caso de valores no negativos. argumento.

Comencemos con el caso que conoces, cuando n = 2, es decir de la función de la Fig. 166 muestra la gráfica de la función y la gráfica de la función y = x 2, x>0. Ambas gráficas representan la misma curva: una rama de una parábola, solo que ubicada de manera diferente en el plano de coordenadas. Aclaremos: estas gráficas son simétricas con respecto a la recta y = x, ya que constan de puntos que son simétricos entre sí con respecto a la recta especificada. Mire: en la rama considerada de la parábola y = x 2 hay puntos (0; 0), (1; 1), (2; 4), (3; 9), (4; 16), y en la función En la gráfica hay puntos (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (16; 4).

Los puntos (2; 4) y (4; 2), (3; 9) y (9; 3), (4; 16) y (16; 4) son simétricos con respecto a la recta y = x, (y los puntos (0 ; 0 ) y (1; 1) se encuentran en esta línea). Y en general, para cualquier punto (a; a 2) de gráfico de funciones y = x 2 es un punto (a 2 ; a) simétrico con respecto a la recta y = x en la gráfica de la función y viceversa. El siguiente teorema es verdadero.

Prueba. Para mayor precisión, asumimos que a y b son números positivos. Considere los triángulos OAM y OVR (Fig. 167). Son iguales, lo que significa OP = OM y . Pero entonces ya que la recta y = x es la bisectriz del ángulo AOB. Entonces, el triángulo ROM es isósceles, OH es su bisectriz y, por tanto, el eje de simetría. Los puntos M y P son simétricos con respecto a la recta OH, que es lo que había que demostrar.
Entonces, la gráfica de la función se puede obtener a partir de la gráfica de la función y = x 2, x>0 usando una transformación de simetría con respecto a la línea recta y = x. De manera similar, la gráfica de una función se puede obtener a partir de la gráfica de la función y = x 3, x> 0 usando una transformación de simetría con respecto a la línea recta y = x; la gráfica de una función se puede obtener a partir de la gráfica de una función usando una transformación de simetría con respecto a la línea recta y = x, etc. Recordemos que la gráfica de una función se parece en apariencia a la rama de una parábola. Cuanto mayor es n, más pronunciada se eleva esta rama en el intervalo y más se aproxima al eje x en las proximidades del punto x = 0 (Fig. 168).

Formulemos una conclusión general: la gráfica de la función es simétrica a la gráfica de la función con respecto a la recta y = x (Fig. 169).

Propiedades de función

1)
2) la función no es ni par ni impar;
3) aumenta en
4) no limitado desde arriba, limitado desde abajo;
5) no tiene la mayor importancia;
6) continuo;
7)

Presta atención a una circunstancia curiosa. Consideremos dos funciones, cuyas gráficas se muestran en la Fig. 169: Acabamos de enumerar siete propiedades para la primera función, pero la segunda función tiene absolutamente las mismas propiedades. Los “retratos” verbales de dos funciones diferentes son los mismos. Pero, aclaremos, siguen siendo los mismos.

Los matemáticos no pudieron soportar tal injusticia cuando diferentes funciones con diferentes gráficas se describen verbalmente de la misma manera e introdujeron los conceptos de convexidad ascendente y convexidad descendente. La gráfica de la función es convexa hacia arriba, mientras que la gráfica de la función y = x n es convexa hacia abajo.

Se suele decir que una función continua es convexa hacia abajo si, al conectar dos puntos cualesquiera de su gráfica con un segmento de recta, se descubre que la parte correspondiente de la gráfica se encuentra debajo del segmento dibujado (Fig. 170); una función continua es convexa hacia arriba si, al conectar dos puntos cualesquiera de su gráfica con un segmento de recta, se descubre que la parte correspondiente de la gráfica se encuentra encima del segmento dibujado (Fig. 171).

Además incluiremos la propiedad de convexidad en el procedimiento para leer una gráfica. Notemos esto" (continuando con la numeración de las propiedades descritas anteriormente) para la función en consideración:

8) la función es convexa hacia arriba en el rayo
En el capítulo anterior conocimos otra propiedad de una función: la diferenciabilidad, vimos que la función y = x n es diferenciable en cualquier punto, su derivada es igual a nx n-1. Geométricamente, esto significa que en cualquier punto de la gráfica de la función y = x n se le puede trazar una tangente. La gráfica de una función también tiene la misma propiedad: en cualquier punto es posible trazar una tangente a la gráfica. Por tanto, podemos observar una propiedad más de la función.
9) la función es derivable en cualquier punto x > 0.
Tenga en cuenta: no estamos hablando de la diferenciabilidad de la función en el punto x = 0; en este punto la tangente a la gráfica de la función coincide con el eje y, es decir perpendicular al eje x.
Ejemplo 1. Graficar una función
Solución. 1) Pasemos a un sistema de coordenadas auxiliar con el origen en el punto (-1; -4): líneas de puntos x = -1 e y = -4 en la Fig. 172.
2) “Vincular” la función a nuevo sistema coordenadas Este será el horario requerido.
Ejemplo 2. Resuelve la ecuación

Solución. Primera manera. 1) Introduzcamos dos funciones.
2) Tracemos la función

3) Construyamos un gráfico. función lineal y=2x (ver Fig. 173).

4) Las gráficas construidas se cruzan en un punto A, y a partir de la gráfica podemos suponer que las coordenadas del punto A son las siguientes: (1; 1). La verificación muestra que, de hecho, el punto (1; 1) pertenece tanto a la gráfica de la función como a la gráfica de la función y=2-x. Esto significa que nuestra ecuación tiene una raíz: x = 1 - la abscisa del punto A.

Segunda vía.
El modelo geométrico presentado en la Fig. 173, se ilustra claramente con la siguiente afirmación, que a veces permite resolver la ecuación de forma muy elegante (y que ya utilizamos en el § 35 al resolver el Ejemplo 2):

Si la función y=f(x) aumenta y la función y=g(x) disminuye, y si la ecuación f(x)=g(x) tiene una raíz, entonces solo hay una.

Así es como, basándonos en esta afirmación, podemos resolver la ecuación dada:

1) observe que para x = 1 se cumple la igualdad, lo que significa que x = 1 es la raíz de la ecuación (adivinamos esta raíz);
2) la función y=2-x disminuye y la función aumenta; Esto significa que la ecuación dada tiene solo una raíz, y esta raíz es el valor x = 1 encontrado arriba.

Respuesta: x = 1.

Hasta ahora hemos hablado de la función sólo para valores de argumentos no negativos. Pero si n es un número impar, la expresión también tiene sentido para x<0. Значит, есть смысл поговорить о функции в случае нечетного п для любых значений х.

De hecho, sólo se añadirá una propiedad a las enumeradas:

si n es un número impar (n = 3,5, 7,...), entonces es una función impar.

De hecho, supongamos que tales transformaciones sean verdaderas para un exponente impar n. Entonces, f(-x) = -f(x), y esto significa que la función es impar.

¿Cómo se ve la gráfica de una función en el caso de un exponente impar n? Cuando como se muestra en la Fig. 169, es una rama del gráfico deseado. Al agregarle una rama que es simétrica con respecto al origen de coordenadas (que, recordemos, es típica de cualquier función impar), obtenemos una gráfica de la función (Fig. 174). Tenga en cuenta que el eje y es tangente a la gráfica en x = 0.
Así que repitámoslo de nuevo:
Si n es un número par, entonces la gráfica de la función tiene la forma que se muestra en la figura. 169;
Si n es un número impar, entonces la gráfica de la función tiene la forma que se muestra en la figura. 174.

Ejemplo 3. Construya y lea una gráfica de la función y = f(x), donde
Solución. Primero, construyamos una gráfica de la función y resaltemos parte de ella en el rayo (Fig. 175).
Luego construiremos una gráfica de la función y seleccionaremos su parte en la viga abierta (Fig. 176). Finalmente, representaremos ambas "piezas" en el mismo sistema de coordenadas; esta será la gráfica de la función y = f(x) (Fig. 177).
Enumeremos (basándonos en el gráfico trazado) las propiedades de la función y = f(x):

1)
2) ni par ni impar;
3) disminuye en el rayo, aumenta en el rayo
4) no limitado desde abajo, limitado desde arriba;
5) no existe un valor mínimo, a (alcanzado en el punto x = 1);
6) continuo;
7)
8) convexo hacia abajo en , convexo hacia arriba en el segmento , convexo hacia abajo en
9) la función es diferenciable en todas partes excepto en los puntos x = 0 y x = 1.
10) la gráfica de la función tiene una asíntota horizontal, es decir, recordemos que

Ejemplo 4. Encuentra el dominio de una función:

Solución, a) Bajo el signo de una raíz de grado par debe haber un número no negativo, lo que significa que el problema se reduce a resolver la desigualdad.
b) Cualquier número puede estar bajo el signo de una raíz impar, lo que significa que aquí no se imponen restricciones a x, es decir D(f) = R.
c) La expresión tiene sentido siempre que una expresión signifique que deben satisfacerse dos desigualdades simultáneamente: aquellos. el problema se reduce a resolver el sistema de desigualdades:

Resolver la desigualdad
Resolvamos la desigualdad Factoricemos el lado izquierdo de la desigualdad: El lado izquierdo de la desigualdad se vuelve 0 en los puntos -4 y 4. Marquemos estos puntos en la recta numérica (Fig. 178). La recta numérica se divide por los puntos indicados en tres intervalos, y en cada intervalo la expresión p(x) = (4-x)(4 + x) conserva un signo constante (los signos se indican en la Fig. 178). El intervalo en el que se cumple la desigualdad p(x)>0 está sombreado en la figura. 178. Según las condiciones del problema, también nos interesan aquellos puntos x en los que se cumple la igualdad p(x) = 0. Hay dos puntos de este tipo: x = -4, x = 4; están marcados en la Fig. . 178 ojeras. Así, en la Fig. 178 presenta un modelo geométrico para resolver la segunda desigualdad del sistema.

Marquemos las soluciones encontradas a la primera y segunda desigualdad del sistema en la misma línea de coordenadas, usando el sombreado superior para el primero y el inferior para el segundo (Fig. 179). La solución al sistema de desigualdades será la intersección de las soluciones a las desigualdades del sistema, es decir el intervalo donde coinciden ambos sombreados. Tal brecha es el segmento [-1, 4].

Respuesta. D(f) = [-1,4].

A.G. Álgebra de Mordkovich décimo grado

Planificación temática del calendario en matemáticas, video en matemáticas en línea, Matemáticas en la escuela

Municipal institución educativa

promedio Escuela secundaria №1

Arte. Bryukhovetskaya

municipio Distrito de Bryukhovetsky

profesor de matematicas

Guchenko Ángela Viktorovna

2014

Función y =
, sus propiedades y gráfica

Tipo de lección: aprendiendo nuevo material

Objetivos de la lección:

Problemas resueltos en la lección:

enseñar a los estudiantes a trabajar de forma independiente;

hacer suposiciones y conjeturas;

Ser capaz de generalizar los factores estudiados.

Equipo: pizarra, tiza, proyector multimedia, folletos

Momento de la lección.

Determinar el tema de la lección junto con los estudiantes.1 min.

Determinar las metas y objetivos de la lección junto con los estudiantes.1 min.

Actualización de conocimientos (encuesta frontal) –3min.

Trabajo oral -3min.

Explicación de material nuevo basado en la creación de situaciones problemáticas.7min.

Fizminutka –2min.

Trazar una gráfica junto con la clase, elaborar la construcción en cuadernos y determinar las propiedades de una función, trabajar con un libro de texto.10min.

Consolidar los conocimientos adquiridos y practicar las habilidades de transformación de gráficos.9 minutos .

Resumiendo la lección, proporcionando retroalimentación.3min.

Tarea -1 min.

Total 40 minutos.

Progreso de la lección.

Determinar el tema de la lección junto con los alumnos (1 min).

El tema de la lección lo determinan los estudiantes mediante preguntas guía:

función- trabajo realizado por un órgano, el organismo en su conjunto.

función- posibilidad, opción, habilidad de un programa o dispositivo.

función- deber, gama de actividades.

función Personaje de una obra literaria.

función- tipo de subrutina en informática

función en matemáticas: la ley de dependencia de una cantidad de otra.

Determinar las metas y objetivos de la lección junto con los estudiantes (1 min).

El profesor, con la ayuda de los alumnos, formula y pronuncia las metas y objetivos de esta lección.

Actualización de conocimientos (encuesta frontal – 3 min).

Trabajo oral – 3 min.

Trabajo frontal.

(A y B pertenecen, C no)

Explicación de material nuevo (basado en la creación de situaciones problemáticas – 7 min).

situación problemática: describir las propiedades de una función desconocida.

Divida la clase en equipos de 4-5 personas, distribuya formularios para responder las preguntas formuladas.

Formulario No. 1

y=0, con x=?

El alcance de la función.

Conjunto de valores de función.

Uno de los representantes del equipo responde a cada pregunta, el resto de equipos votan “a favor” o “en contra” con tarjetas de señales y, si es necesario, complementan las respuestas de sus compañeros.

Junto con la clase, saque una conclusión sobre el dominio de definición, el conjunto de valores y los ceros de la función y=.

situación problemática : intentar construir una gráfica de una función desconocida (hay una discusión en equipos, se busca una solución).

El profesor recuerda el algoritmo para construir gráficas de funciones. Los estudiantes en equipos intentan representar la gráfica de la función y= en formularios, luego intercambian formularios entre sí para realizar pruebas mutuas y propias.

Fizminutka (payaso)

Construyendo una gráfica junto con la clase con el diseño en cuadernos – 10 min.

Después de una discusión general, cada estudiante completa individualmente la tarea de construir una gráfica de la función y= en un cuaderno. En este momento, el docente brinda asistencia diferenciada a los estudiantes. Después de que los estudiantes completen la tarea, la gráfica de la función se muestra en la pizarra y se les pide que respondan las siguientes preguntas:

Conclusión: Junto con los estudiantes, saque una conclusión sobre las propiedades de la función y léalas del libro de texto:

Consolidar los conocimientos adquiridos y practicar las habilidades de transformación de gráficos – 9 min.

Los estudiantes trabajan en su tarjeta (según las opciones), luego la cambian y se revisan entre sí. Posteriormente se muestran gráficas en la pizarra y los estudiantes evalúan su trabajo comparándolo con la pizarra.

Tarjeta No. 1

Tarjeta No. 2

Conclusión: sobre transformaciones de grafos

1) transferencia paralela a lo largo del eje del amplificador operacional

2) desplazamiento a lo largo del eje OX.

9. Resumiendo la lección y proporcionando retroalimentación – 3 min.

DIAPOSITIVAS – insertar palabras faltantes

El dominio de definición de esta función, todos los números excepto ...(negativo).

La gráfica de la función se encuentra en... (I) cuarteles.

Cuando el argumento x = 0, el valor... (funciones) y =... (0).

El mayor valor de la función... (no existe) valor más pequeño - …(es igual a 0)

10. Tarea (con comentarios – 1 min).

Según el libro de texto- §13

Según el libro de problemas.– No. 13.3, No. 74 (repetición de ecuaciones cuadráticas incompletas)

Considere la función y=√x. La gráfica de esta función se muestra en la siguiente figura.

Gráfica de la función y=√x

Como puede ver, el gráfico se parece a una parábola rotada, o más bien a una de sus ramas. Obtenemos una rama de la parábola x=y^2. De la figura se desprende claramente que el gráfico toca el eje Oy solo una vez, en el punto con coordenadas (0;0).
Ahora vale la pena señalar las principales propiedades de esta función.

Propiedades de la función y=√x

1. El dominio de definición de una función es un rayo)