Manual de usuario: Proporción áurea. La segunda proporción áurea Construcción del triángulo áureo

En la práctica, al elegir un formato de hoja (imagen), a menudo se usan las proporciones "clásicas" de los lados de un rectángulo, en las que la relación del lado más pequeño al más grande es 0.6180339, y el más grande al más pequeño es 1.6180339. Desde la antigüedad, a estos números se les ha llamado números áureos, y la proporción de cantidades necesarias para obtenerlos se conoce como proporción áurea o proporción áurea.

La base de la doctrina de la armonía del mundo, expresada en términos numéricos, fue establecida por el antiguo matemático griego Pitágoras (siglo VI a. C.). Presentó la sección áurea como una de las leyes que matemáticamente determina con precisión la proporción más bella y armoniosa de las partes de un todo, dividido en dos mitades desiguales.

La construcción de un rectángulo se basa en la proporción de las partes del segmento en las proporciones de la sección áurea. Con la ayuda de diagonales, se divide en sus partes componentes, en las que se forma la dinámica de las figuras proporcionales: un cuadrado, un rectángulo, así como triángulos rectángulos e isósceles.

Por lo tanto, usando diagonales, puede obtener una fila secuencial de rectángulos crecientes, con una relación de aspecto de 1:√2, 1:√3, 1:√4, 1:√5, derivados de un cuadrado.

De lado √4 se forma un rectángulo con doble cuadrado. De lado √3, se forman dos triángulos rectángulos, en los que la hipotenusa común es la diagonal del rectángulo, igual al doble del valor del cateto menor (es decir, el lado del cuadrado), y tienen agudo ángulos de 30 y 60 grados.

La diagonal también se utiliza en la construcción de cuadrados que aumentan sucesivamente, creando un desarrollo "dinámico" de su tamaño.

En esta construcción, el lado de cada cuadrado subsiguiente está relacionado con el lado del anterior, como la diagonal del cuadrado está relacionada con su propio lado. Estas transformaciones a veces se denominan "cuadrado activo".

El sistema geométrico de proporciones dinámicas del cuadrado, rectángulo y triángulo fue la base para la creación de estructuras arquitectónicas en el período temprano del Antiguo Egipto. Además, en las condiciones de la técnica primitiva de construcción arquitectónica en aquellos tiempos lejanos, se requería constantemente restaurar la perpendicular a la línea, que luego se realizaba utilizando una cuerda con 12 nudos. Con el uso de dicho dispositivo, se obtuvo un triángulo rectángulo con una relación de lado a lado de 3: 4: 5, que luego se conoció como el egipcio. Actualmente, los ángulos rectos se construyen sobre su base y las perpendiculares se dibujan hasta el final del segmento.

Desde la antigüedad, la proporción áurea se ha utilizado en la práctica de construir varias imágenes. Esto contribuye a la creación de imágenes armoniosas y equilibrio de proporciones en todo lo que rodea. Las proporciones de la sección áurea están presentes en matemáticas, y especialmente en geometría, en Bellas Artes, en la vida cotidiana y en la naturaleza, en el mundo vegetal y animal.

La proporción áurea ha sido ampliamente desarrollada en matemáticas. Entonces, en el siglo XVI, el científico italiano Fibonacci construyó una serie matemática de números, en la que el siguiente número determina la suma de los dos anteriores: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 , 55, etc Además, se establece otra dependencia de estos números, en la que la relación de cada uno posterior al anterior se expresa con el número 1.618 ... y el anterior al siguiente: 0.618. Así, en esta serie matemática se forma una interconexión de números que contienen las proporciones de la sección áurea.

Especialmente a menudo, la proporción áurea se usa en geometría al dividir un círculo en partes iguales y construir polígonos regulares.

En un polígono estrellado - una estrella de cinco puntas, cada punto de intersección de sus lados los divide en dos partes desiguales en las proporciones de la sección áurea.

Desde la antigüedad, la proporción áurea se ha utilizado en varios tipos de bellas artes: en arquitectura, escultura, pintura. El Partenón es un ejemplo clásico de la aplicación de la proporción áurea en la arquitectura.

Especialmente ampliamente utilizado en su trabajo fue la proporción de la sección áurea de Leonardo da Vinci, a la que llamó la "proporción divina".

Las antiguas estatuas del arte griego, que reflejan las proporciones de un cuerpo humano de forma ideal, también obedecen a la armonía numérica de la sección áurea.

La proporción áurea se usa en la inscripción de letras y números en varias fuentes.

La proporción áurea se usa a menudo para determinar el tamaño de un rectángulo dado su lado más grande o más pequeño. Si una imagen rectangular tiene una longitud (AB), entonces su altura (AC) está determinada por la siguiente construcción:

Primero, se traza un arco igual a la mitad desde el final del segmento (B) hasta la intersección con la perpendicular (AO=OB=VD). El punto resultante D está conectado por una línea recta al otro extremo del segmento (A). Luego, desde el punto D, se traza un arco de radio VD hasta la intersección con esta recta y se marca el punto E. Un arco trazado desde el extremo del segmento A de radio AE determina el punto C a lo largo de una recta vertical y la altura requerida de la imagen AC.

Si se da la altura de la imagen (AC), entonces su longitud (AB) está determinada por otra construcción. Primero, se construye un cuadrado ASDE con un lado igual a AC. Luego, desde la mitad del lado del cuadrado (O), se traza un arco de radio OD y se obtiene un punto B sobre una recta horizontal, que determinará la longitud deseada del lado del cuadro rectangular AB .

Sobre un rectángulo con proporciones áureas, se puede construir cualquier tamaño de formato de hoja similar.

Para ello, se coloca sobre una hoja de papel en una de sus esquinas (A) y se dibuja en ella una diagonal. Luego, desde el punto A, se aparta la medida dada del lado horizontal o vertical del formato de la hoja y se traza una perpendicular por su extremo hasta cortar con la diagonal, que determinará el segundo lado del rectángulo.

Introducción

Una persona distingue objetos a su alrededor por color, sabor, olor, forma. El interés por la forma de un objeto puede ser causado por una necesidad vital, o tal vez por la belleza de la forma. La forma, que se basa en el principio de la "sección dorada", contribuye a la mejor percepción visual y la aparición de un sentido de belleza y armonía. Las manifestaciones clásicas de la sección áurea son el menaje, la escultura y la arquitectura, las matemáticas, la música y la estética. En el siglo anterior, con la expansión del campo de conocimiento de la humanidad, el número de áreas donde se observa el fenómeno de la proporción áurea ha aumentado dramáticamente. Estos son biología y zoología, economía, psicología, cibernética, teoría de sistemas complejos e incluso geología y astronomía. Anualmente se publican varios libros dedicados a este problema, ampliando constantemente el alcance de la sección áurea. Los autores de estos estudios asocian la sección áurea con conceptos aparentemente incompatibles como la belleza, la asimetría, la recursividad, la autoorganización y la proporción. Por últimos años Aparecieron interesantes sitios de Internet dedicados a la proporción áurea.

Objetivos y metas:

El propósito del trabajo: estudiar la proporción áurea y los triángulos áureos.

Tareas de trabajo:

1. Estudia el concepto de la proporción áurea

2. Aprende sobre los triángulos dorados

3. Encuentra la proporción áurea en la foto y la pintura seleccionadas.

Definición de la proporción áurea

Como saben, la proporción "dorada" crea una sensación visual de armonía y equilibrio. Pero además de los efectos estéticos, también tiene interesantes propiedades matemáticas. Hay un número infinito de particiones de un segmento en dos partes. Y solo la única forma de dividir es tal que la relación del segmento completo a su parte mayor sea igual a la relación de la parte mayor a su parte menor, es decir c: b = b: un

La sección áurea (proporción áurea, división en razón extrema y media) es la división de un valor (por ejemplo, la longitud de un segmento) en dos partes de tal manera que la razón de la parte mayor a la menor sea igual a la razón del valor total a su mayor parte. O, si usa el valor calculado de la proporción áurea, esta es la división del valor en dos partes: 62 % y 38 % (los porcentajes están redondeados). El número también se llama el número de oro. El valor aproximado de la proporción áurea es 1.6180339887. El conocimiento práctico de la proporción áurea comienza dividiendo un segmento de línea recta en la proporción áurea usando un compás y una regla.

Desde el punto B se restablece una perpendicular igual a la mitad AB. El punto C resultante está conectado por un segmento al punto A. En el segmento AC desde el punto C, se traza un segmento igual a BC, que termina en el punto D. En el segmento AB desde el punto A, posponemos el segmento AE, igual al segmento AD. El punto resultante E divide el segmento AB en la proporción de la proporción áurea. Los segmentos de la proporción áurea se expresan como una fracción irracional infinita AE \u003d 0.618 ..., si se toma como unidad AB, BE \u003d 0.382 ... A efectos prácticos, valores aproximados de 0.62 y 0.38 se utilizan a menudo. Si el segmento AB se toma como 100 partes, entonces la parte más grande del segmento es 62 y la más pequeña es 38 partes.

Historia de la proporción áurea

En general, se acepta que el concepto de la división áurea fue introducido en el uso científico por Pitágoras, un filósofo y matemático de la antigua Grecia. Existe la suposición de que Pitágoras tomó prestado su conocimiento de la división áurea de los egipcios y babilonios. De hecho, las proporciones de la pirámide de Keops, los templos, los bajorrelieves, los artículos para el hogar y las decoraciones de la tumba de Tutankamón indican que los artesanos egipcios utilizaron las proporciones de la división áurea al crearlos. En la fachada del antiguo templo griego del Partenón hay proporciones doradas. Durante sus excavaciones se encontraron brújulas, que fueron utilizadas por arquitectos y escultores del mundo antiguo. La brújula pompeyana también contiene las proporciones de la división áurea. En la literatura antigua que nos ha llegado, la división áurea se menciona por primera vez en los "Principios" de Euclides. En el segundo libro de los "Principios" se da la construcción geométrica de la división áurea. En la Europa medieval, se familiarizaron con la división áurea de las traducciones árabes de los "Comienzos" de Euclides. Los secretos de la división dorada fueron celosamente guardados, mantenidos en estricto secreto. Eran conocidos sólo por los iniciados.

Durante el Renacimiento, el interés por la división áurea entre científicos y artistas aumentó debido a su uso tanto en geometría como en arte, especialmente en la arquitectura de Leonardo da Vinci. "Que nadie, siendo matemático, se atreva a leer mis obras". Él, artista y científico, vio que los artistas italianos tenían mucha experiencia empírica, pero poco conocimiento. Concibió y comenzó a escribir un libro sobre geometría, pero en ese momento apareció un libro del monje Luca Pacioli, y Leonardo abandonó su idea. Según los contemporáneos e historiadores de la ciencia, Luca Pacioli fue una verdadera lumbrera, el matemático más grande de Italia entre Fibonacci y Galileo. Luca Pacioli fue alumno del artista Piero della Francesca, quien escribió dos libros, uno de los cuales se tituló Sobre la perspectiva en la pintura. Se le considera el creador de la geometría descriptiva.

Leonardo da Vinci también prestó mucha atención al estudio de la división áurea. Hizo secciones de un cuerpo estereométrico formado por pentágonos regulares, y cada vez obtuvo rectángulos con relaciones de aspecto en división áurea. Por lo tanto, le dio a esta división el nombre de la sección áurea. Así que sigue siendo el más popular.

Gran astrónomo del siglo XVI. Johannes Kepler llamó a la proporción áurea uno de los tesoros de la geometría. Es el primero en llamar la atención sobre la importancia de la proporción áurea para la botánica (crecimiento y estructura de las plantas).

Kepler llamó a la proporción áurea continua: “Está dispuesta de tal manera”, escribió, “que los dos términos menores de esta proporción infinita suman el tercer término, y dos últimos términos cualesquiera, si se suman, dan el siguiente término, y la misma proporción permanece hasta el infinito".

triangulos dorados

Hay rectángulos dorados, triángulos, pentágonos y espirales. Considere el triángulo dorado. Este es un triángulo isósceles, en el que la relación entre la longitud del lado y la longitud de la base es 1,618. En el pentágono de la estrella, cada una de las cinco líneas que componen esta figura divide a la otra en relación a la proporción áurea, y los extremos de la estrella son triángulos áureos. Para encontrar segmentos de la proporción áurea de las filas ascendentes y descendentes, puedes usar el pentagrama.

Para construir un pentagrama, necesitas construir un pentágono regular. Cada extremo de la estrella pentagonal es un triángulo dorado. Sus lados forman un ángulo de 36° en la parte superior, y la base puesta en el costado lo divide en proporción a la sección áurea.

Dibujar la línea recta AB. Desde el punto A, colocamos un segmento O de tamaño arbitrario tres veces, dibujamos una perpendicular a la línea AB a través del punto P obtenido, colocamos segmentos O en la perpendicular a la derecha e izquierda del punto P. Conectamos los puntos resultantes d y d1 con líneas rectas hasta el punto A. Colocamos el segmento dd1 en la línea Ad1, obteniendo el punto C. Ella dividió la línea Ad1 en proporción a la proporción áurea. Las líneas Ad1 y dd1 se usan para construir un rectángulo dorado.

Sección áurea en arquitectura y pintura

Considere los edificios de la ciudad de Surgut. En muchos edificios existe una proporción áurea, pero el triángulo áureo no es tan común en la arquitectura de la ciudad. La foto muestra la Iglesia de Todos los Santos. En esta foto se respetan las proporciones del triángulo dorado.

Medvedeva Olesya Anatolyevna - Artista de Ugra. Vive y trabaja en la ciudad de Nizhnevartovsk. Participa en exposiciones internacionales de la ciudad, regionales, distritales, zonales, de toda Rusia. Una de sus pinturas muestra que los triángulos dorados también se encuentran en la pintura.

Conclusión

El principio de la sección áurea es la máxima manifestación de la perfección estructural y funcional del todo y sus partes en el arte, la ciencia, la tecnología y la naturaleza. La naturaleza, entendida como el mundo entero en la variedad de sus formas, consta, por así decirlo, de dos partes: la naturaleza viva y la inanimada. Las creaciones de naturaleza inanimada se caracterizan por una alta estabilidad, baja variabilidad, a juzgar por la escala de la vida humana. El mundo de la naturaleza inanimada es, ante todo, un mundo de simetría, que da estabilidad y belleza a sus creaciones. El mundo de la naturaleza es, ante todo, un mundo de armonía, en el que opera la "ley de la sección áurea". En todas partes encontramos la proporción áurea, pero solo al prestarle mucha atención, podemos ver la verdadera belleza.

Bibliografía

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6. Smirnova I.M., Smirnov V.A. Geometría: un libro de texto para los grados 7-9. - M.: Mnemósine, 2005

Esta armonía es sorprendente en su escala...

¡Hola amigos!

¿Has escuchado algo sobre la Armonía Divina o la Proporción Áurea? ¿Alguna vez has pensado por qué algo nos parece perfecto y hermoso, pero algo nos repugna?

Si no, entonces ha aterrizado con éxito en este artículo, porque en él discutiremos la proporción áurea, descubriremos qué es, cómo se ve en la naturaleza y en el hombre. Hablemos de sus principios, descubramos qué es la serie de Fibonacci y mucho más, incluido el concepto de un rectángulo dorado y una espiral dorada.

Sí, hay muchas imágenes, fórmulas en el artículo, después de todo, la proporción áurea también es matemática. Pero todo está descrito en un lenguaje bastante sencillo, claro. Y también, al final del artículo, descubrirás por qué todos aman tanto a los gatos =)

¿Qué es la proporción áurea?

Si de una manera simple, ¿entonces la proporción áurea es una cierta regla de proporción que crea armonía?. Es decir, si no violamos las reglas de estas proporciones, obtenemos una composición muy armoniosa.

La definición más amplia de la proporción áurea dice que la parte más pequeña está relacionada con la más grande, como la más grande lo está con el todo.

Pero aparte de eso, la proporción áurea es matemática: tiene una fórmula específica y un número específico. Muchos matemáticos, en general, la consideran una fórmula de armonía divina y la llaman "simetría asimétrica".

La proporción áurea llegó a nuestros contemporáneos desde la época Antigua Grecia, sin embargo, existe la opinión de que los propios griegos ya habían espiado la proporción áurea entre los egipcios. Porque muchas obras de arte del Antiguo Egipto están claramente construidas según los cánones de esta proporción.

Se cree que Pitágoras fue el primero en introducir el concepto de la sección áurea. Las obras de Euclides han sobrevivido hasta el día de hoy (construyó pentágonos regulares usando la sección dorada, razón por la cual dicho pentágono se llama "dorado"), y el número de la sección dorada lleva el nombre del antiguo arquitecto griego Fidias. Es decir, este es nuestro número "phi" (indicado por la letra griega φ), y es igual a 1.6180339887498948482 ... Naturalmente, este valor se redondea: φ \u003d 1.618 o φ \u003d 1.62, y en términos porcentuales , la sección dorada parece 62% y 38%.

¿Cuál es la singularidad de esta proporción (y créanme, existe)? Primero intentemos entender el ejemplo de un segmento. Entonces, tomamos un segmento y lo dividimos en partes desiguales de tal manera que su parte menor esté relacionada con la mayor, como la mayor lo está con el todo. Entiendo, aún no está muy claro qué es qué, intentaré ilustrarlo más claramente usando el ejemplo de los segmentos:

Entonces, tomamos un segmento y lo dividimos en otros dos, de modo que el segmento menor a se refiere al segmento mayor b, así como el segmento b se refiere al todo, es decir, a la línea completa (a + b). Matemáticamente se ve así:

Esta regla funciona indefinidamente, puedes dividir los segmentos todo el tiempo que quieras. Y mira lo fácil que es. Lo principal es entender una vez y listo.

Pero ahora veamos un ejemplo más complejo que se presenta con mucha frecuencia, ya que la proporción áurea también se representa como un rectángulo áureo (cuya relación de aspecto es φ \u003d 1.62). Este es un rectángulo muy interesante: si "cortamos" un cuadrado de él, obtenemos nuevamente un rectángulo dorado. Y así infinitamente muchas veces. Ver:

Pero las matemáticas no serían matemáticas si no hubiera fórmulas en ellas. Entonces, amigos, ahora será un poco "doloroso". Escondí la solución de la proporción áurea debajo del spoiler, hay muchas fórmulas, pero no quiero dejar el artículo sin ellas.

Serie de Fibonacci y proporción áurea

Seguimos creando y observando la magia de las matemáticas y la proporción áurea. En la Edad Media, había un amigo así: Fibonacci (o Fibonacci, escriben de manera diferente en todas partes). Le encantaban las matemáticas y los problemas, también tenía un problema interesante con la reproducción de los conejos =) Pero ese no es el punto. Descubrió una secuencia de números, los números en ella se llaman "números de Fibonacci".

La secuencia en sí se ve así:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... y así hasta el infinito.

En palabras, la secuencia de Fibonacci es tal secuencia de números, donde cada número subsiguiente es igual a la suma de los dos anteriores.

¿Y qué hay de la proporción áurea? Ahora verás.

espiral fibonacci

Para ver y sentir toda la conexión entre la serie de números de Fibonacci y la proporción áurea, debe mirar las fórmulas nuevamente.

En otras palabras, a partir del 9° miembro de la sucesión de Fibonacci, comenzamos a obtener los valores de la sección áurea. Y si visualizamos todo este cuadro, veremos cómo la secuencia de Fibonacci crea rectángulos cada vez más cerca del rectángulo áureo. Aquí hay tal conexión.

Ahora hablemos de la espiral de Fibonacci, también llamada la "espiral dorada".

La espiral áurea es una espiral logarítmica cuyo factor de crecimiento es φ4, donde φ es la proporción áurea.

En general, desde el punto de vista de las matemáticas, la proporción áurea es una proporción ideal. Pero ahí es donde sus milagros apenas comienzan. Casi todo el mundo está sujeto a los principios de la sección áurea, esta proporción fue creada por la propia naturaleza. Incluso los esoteristas, y aquellos, ven en ello un poder numérico. Pero definitivamente no hablaremos de esto en este artículo, por lo tanto, para no perderse nada, puede suscribirse a las actualizaciones del sitio.

La proporción áurea en la naturaleza, el hombre, el arte.

Antes de comenzar, me gustaría aclarar una serie de inexactitudes. En primer lugar, la definición misma de la proporción áurea en este contexto no es del todo correcta. El hecho es que el mismo concepto de "sección" es un término geométrico que siempre denota un plano, pero no una secuencia de números de Fibonacci.

Y, en segundo lugar, la serie numérica y la razón de unos a otros, por supuesto, convertida en una especie de plantilla que se puede aplicar a todo lo que parezca sospechoso, y ser muy feliz cuando hay coincidencias, pero aún así, el sentido común no debe. estar perdido.

Sin embargo, "todo se mezcló en nuestro reino" y uno se convirtió en sinónimo del otro. Entonces, en general, el significado de esto no se pierde. Y ahora a los negocios.

Te sorprenderá, pero la proporción áurea, o más bien las proporciones lo más cercanas posibles a ella, se pueden ver en casi todas partes, incluso en el espejo. ¿No crees? Comencemos con esto.

Sabes, cuando estaba aprendiendo a dibujar, nos explicaron lo fácil que es construir la cara de una persona, su cuerpo, etc. Todo tiene que ser calculado en relación con otra cosa.

Todo, absolutamente todo es proporcional: huesos, nuestros dedos, palmas, distancias en la cara, la distancia de los brazos extendidos en relación al cuerpo, etc. Pero incluso esto no es todo, la estructura interna de nuestro cuerpo, incluso él, se equipara o casi se equipara con la fórmula de la sección áurea. Estas son las distancias y proporciones:

desde los hombros hasta la coronilla y el tamaño de la cabeza = 1:1.618

del ombligo a la coronilla al segmento de los hombros a la coronilla = 1: 1.618

del ombligo a las rodillas y de las rodillas a los pies = 1:1.618

de la barbilla a punto extremo labio superior y de este a la nariz = 1:1.618

¿¡No es asombroso!? Armonía en estado puro, tanto por dentro como por fuera. Y es por eso que, en algún nivel subconsciente, algunas personas no nos parecen hermosas, incluso si tienen un cuerpo fuerte y tonificado, piel aterciopelada, cabello hermoso, ojos, etc., etc. Pero, de todos modos, la más mínima violación de las proporciones del cuerpo, y la apariencia ya está ligeramente "cortando los ojos".

En resumen, cuanto más hermosa nos parece una persona, más se acercan sus proporciones al ideal. Y esto, por cierto, se puede atribuir no solo al cuerpo humano.

La proporción áurea en la naturaleza y sus fenómenos.

Un ejemplo clásico de la proporción áurea en la naturaleza es la concha del molusco Nautilus pompilius y la amonita. Pero eso no es todo, hay muchos más ejemplos:

en los rizos del oído humano podemos ver una espiral dorada;

propio (o cercano a él) en las espirales a lo largo de las cuales giran las galaxias;

y en la molécula de ADN;

el centro de un girasol está dispuesto a lo largo de la serie de Fibonacci, crecen conos, el centro de las flores, la piña y muchas otras frutas.

Amigos, hay tantos ejemplos que solo dejaré el video aquí (es un poco más bajo) para no sobrecargar el artículo con texto. Porque si profundizas en este tema, puedes adentrarte en tal jungla: incluso los antiguos griegos demostraron que el Universo y, en general, todo el espacio, estaba planeado según el principio de la sección áurea.

Te sorprenderás, pero estas reglas se pueden encontrar incluso en el sonido. Ver:

El punto más alto de sonido que causa dolor y malestar en nuestros oídos es de 130 decibelios.

Dividimos por la proporción 130 por la proporción áurea φ = 1,62 y obtenemos 80 decibeles, el sonido de un grito humano.

Continuamos dividiendo proporcionalmente y obtenemos, digamos, el volumen normal del habla humana: 80 / φ = 50 decibeles.

Bueno, el último sonido que obtenemos gracias a la fórmula es el agradable sonido de un susurro = 2.618.

De acuerdo con este principio, es posible determinar el número óptimo, cómodo, mínimo y máximo de temperatura, presión y humedad. No he comprobado, y no sé qué tan cierta es esta teoría, pero, verás, suena impresionante.

Absolutamente en todo lo vivo y no vivo se puede leer la más alta belleza y armonía.

Lo principal es no dejarse llevar por ello, porque si queremos ver algo en algo, lo veremos, aunque no esté. Por ejemplo, llamé la atención sobre el diseño de PS4 y vi la proporción áurea allí =) Sin embargo, esta consola es tan genial que no me sorprendería si el diseñador fuera realmente inteligente al respecto.

La proporción áurea en el arte

También es un tema muy grande y extenso, que debe considerarse por separado. Aquí solo resaltaré algunos puntos básicos. Lo más notable es que muchas obras de arte y obras maestras arquitectónicas de la antigüedad (y no solo) están hechas de acuerdo con los principios de la sección áurea.

Pirámides egipcias y mayas, Notre Dame de París, Partenón griego, etc.

En las obras musicales de Mozart, Chopin, Schubert, Bach y otros.

En pintura (se ve claramente allí): todas las pinturas más famosas de artistas famosos están hechas teniendo en cuenta las reglas de la sección áurea.

Estos principios se pueden encontrar en los poemas de Pushkin y en el busto de la bella Nefertiti.

Incluso ahora, las reglas de la proporción áurea se utilizan, por ejemplo, en fotografía. Bueno, por supuesto, en todas las demás artes, incluida la cinematografía y el diseño.

gatos dorados fibonacci

Y por último, sobre los gatos! ¿Alguna vez te has preguntado por qué todo el mundo ama tanto a los gatos? ¡Se han apoderado de Internet! Los gatos están en todas partes y es maravilloso =)

¡Y es que los gatos son perfectos! ¿No crees? ¡Ahora te lo demostraré matemáticamente!

¿Ver? ¡Se revela el secreto! Los gatitos son perfectos en términos de matemáticas, naturaleza y universo =)

*Estoy bromeando, por supuesto. No, los gatos son realmente ideales) Pero nadie los ha medido matemáticamente, supongo.

¡Sobre esto, en general, todo, amigos! Nos vemos en los próximos artículos. ¡Buena suerte para ti!

PD Imágenes tomadas de medium.com.

La proporción áurea es un principio simple que ayudará a que su diseño sea visualmente agradable. En este artículo, explicaremos en detalle cómo y por qué usarlo.

Una proporción matemática común en la naturaleza llamada Proporción áurea, o Proporción áurea, se basa en la Secuencia de Fibonacci (de la que probablemente haya oído hablar en la escuela o leído en El Código Da Vinci de Dan Brown), e implica una relación de aspecto de 1 :1.61.

Tal proporción se encuentra a menudo en nuestras vidas (conchas, piñas, flores, etc.) y, por lo tanto, una persona la percibe como algo natural, agradable a la vista.

→ La proporción áurea es la relación entre dos números en la secuencia de Fibonacci
→ Trazar esta secuencia a escala da espirales que se pueden ver en la naturaleza.

Se cree que la proporción áurea ha sido utilizada por la humanidad en el arte y el diseño durante más de 4000 años, y tal vez incluso más, según científicos que afirman que los antiguos egipcios utilizaron este principio en la construcción de las pirámides.

Ejemplos famosos

Como ya hemos dicho, la Proporción Áurea se puede ver a lo largo de la historia del arte y la arquitectura. Aquí hay algunos ejemplos que solo confirman la validez de usar este principio:

Arquitectura: Partenón

En la arquitectura griega antigua, la proporción áurea se usaba para calcular la proporción ideal entre la altura y el ancho de un edificio, las dimensiones de un pórtico e incluso la distancia entre columnas. Posteriormente, este principio fue heredado por la arquitectura neoclásica.

Arte: La última cena

Para los artistas, la composición es la base. Leonardo da Vinci, como muchos otros artistas, se guió por el principio de la Proporción Áurea: en la Última Cena, por ejemplo, las figuras de los discípulos se ubican en los dos tercios inferiores (la mayor de las dos partes de la Proporción Áurea). ), y Jesús se coloca estrictamente en el centro entre dos rectángulos.

Diseño web: rediseño de Twitter en 2010

El director creativo de Twitter, Doug Bowman, publicó una captura de pantalla en su cuenta de Flickr explicando el uso de la proporción áurea para el rediseño de 2010. “Cualquiera que esté interesado en las proporciones de #NewTwitter, sepa que todo se hace por una razón”, dijo.

iCloud de manzana

El ícono del servicio iCloud tampoco es un boceto aleatorio. Como explica Takamasa Matsumoto en su blog (versión original en japonés) todo se basa en las matemáticas de la Proporción Áurea, cuya anatomía se puede ver en la imagen de la derecha.

¿Cómo construir la Proporción Dorada?

La construcción es bastante sencilla, y comienza con la plaza principal:

Dibuja un cuadrado. Esto formará la longitud del "lado corto" del rectángulo.

Divide el cuadrado por la mitad con una línea vertical para obtener dos rectángulos.

En un rectángulo, dibuja una línea uniendo las esquinas opuestas.

Expanda esta línea horizontalmente como se muestra en la figura.

Crea otro rectángulo usando la línea horizontal que dibujaste en los pasos anteriores como base. ¡Listo!

Herramientas "doradas"

Si dibujar y medir no es su pasatiempo favorito, deje todo el "trabajo sucio" a las herramientas diseñadas específicamente para esto. ¡Con la ayuda de los 4 editores a continuación, puede encontrar fácilmente la proporción áurea!

La aplicación GoldenRATIO lo ayuda a diseñar sitios web, interfaces y diseños de acuerdo con la proporción áurea. Disponible en la Mac App Store por $2.99, tiene una calculadora integrada con retroalimentación visual y una práctica característica de Favoritos que almacena configuraciones para tareas recurrentes. Compatible con Adobe Photoshop.

Esta calculadora te ayudará a crear la tipografía perfecta para tu sitio de acuerdo con los principios de la proporción áurea. ¡Simplemente ingrese el tamaño de fuente, el ancho del contenido en el campo del sitio y haga clic en "Establecer mi tipo"!

Esta es una aplicación sencilla y gratuita para Mac y PC. Simplemente ingrese un número y calculará la proporción de acuerdo con la regla de la sección áurea.

Un programa práctico que le evitará la necesidad de realizar cálculos y dibujar cuadrículas. ¡Encontrar las proporciones perfectas es fácil con ella! Funciona con todos los editores gráficos, incluido Photoshop. A pesar de que la herramienta es de pago - $ 49, es posible probar la versión de prueba durante 30 días.

Incluso en el antiguo Egipto se sabía proporción áurea, Leonardo da Vinci y Euclides estudiaron sus propiedades.La percepción visual de una persona está dispuesta de tal manera que distingue en forma todos los objetos que le rodean. Su interés en un objeto o su forma a veces está dictado por la necesidad, o este interés puede ser causado por la belleza del objeto. Si en la base misma de la construcción de la forma, se usa una combinación sección dorada y las leyes de la simetría, entonces esta es la mejor combinación para la percepción visual de una persona que siente armonía y belleza. El todo entero consta de partes, grandes y pequeñas, y estos diferentes tamaños de partes tienen una cierta relación, tanto entre sí como con el todo. Y la más alta manifestación de perfección funcional y estructural en la naturaleza, la ciencia, el arte, la arquitectura y la tecnología es el Principio sección dorada. El concepto de proporción áurea introdujo en el uso científico al antiguo matemático y filósofo griego (siglo VI aC) Pitágoras. Pero el conocimiento mismo de proporción áurea tomó prestado de los antiguos egipcios. Las proporciones de todos los edificios del templo, las pirámides de Keops, los bajorrelieves, los artículos para el hogar y las decoraciones de las tumbas muestran que la proporción sección dorada fue utilizado activamente por los maestros antiguos mucho antes de Pitágoras. Como ejemplo: el bajorrelieve del templo de Seti I en Abydos y el bajorrelieve de Ramsés utilizan el principio sección dorada en las proporciones de las figuras. El arquitecto Le Corbusier lo descubrió. Sobre una tabla de madera recuperada de la tumba del Arquitecto Khesir, se representa un dibujo en relieve, en el que se ve al propio arquitecto, sosteniendo instrumentos de medición en sus manos, que se representan en una posición que fija los principios. sección dorada. conocía los principios sección dorada y Platón (427...347 a. C.). El diálogo de Timeo es prueba de ello, ya que está dedicado a cuestiones división dorada, puntos de vista estéticos y matemáticos de la escuela de Pitágoras. Principios sección dorada utilizado por los antiguos arquitectos griegos en la fachada del templo del Partenón. Las brújulas que fueron utilizadas en su trabajo por arquitectos y escultores antiguos del mundo antiguo fueron descubiertas durante las excavaciones del templo del Partenón.

Partenón, Acrópolis, Atenas En proporciones de Pompeya (museo en Nápoles) división dorada también están disponibles.En la literatura antigua que nos ha llegado, el principio sección dorada mencionado por primera vez en los Elementos de Euclides. En el libro "Comienzos" en la segunda parte se da un principio geométrico sección dorada. Los seguidores de Euclides fueron Pappus (siglo III dC), Hypsicles (siglo II aC) y otros. A la Europa medieval con el principio sección dorada Nos conocimos gracias a las traducciones del árabe de los "Comienzos" de Euclides. Principios sección dorada eran conocidos sólo por un estrecho círculo de iniciados, estaban celosamente guardados, mantenidos en estricto secreto. Ha llegado un renacimiento y un interés por los principios sección dorada aumenta entre científicos y artistas, ya que este principio es aplicable en la ciencia, la arquitectura y el arte. Y Leonardo Da Vinci comenzó a usar estos principios en sus obras, más aún, comenzó a escribir un libro sobre geometría, pero en ese momento apareció un libro del monje Luca Pacioli, quien se le adelantó y publicó el libro " Divina Proporción" tras lo cual Leonardo dejó su obra no terminada. Según historiadores de la ciencia y contemporáneos, Luca Pacioli fue una verdadera lumbrera, un brillante matemático italiano que vivió entre Galileo y Fibonacci. Como alumno del pintor Piero della Francesca, Luca Pacioli escribió dos libros, De la perspectiva en la pintura, título de uno de ellos. Muchos lo consideran el creador de la geometría descriptiva. Luca Pacioli, por invitación del duque de Moreau, llegó a Milán en 1496 y allí dio una conferencia sobre matemáticas. Leonardo da Vinci en este momento trabajaba en la corte de Moro. La Divina Proporción de Luca Pacioli, publicada en Venecia en 1509, se convirtió en un himno entusiasta proporción áurea, con ilustraciones bellamente ejecutadas, hay muchas razones para creer que las ilustraciones fueron hechas por el mismo Leonardo da Vinci. Monje Luca Pacioli, como una de las virtudes proporción áurea destacó su "esencia divina". Al comprender el valor científico y artístico de la proporción áurea, Leonardo da Vinci dedicó mucho tiempo a estudiarla. Realizando una sección de un cuerpo estereométrico formado por pentágonos, obtuvo rectángulos con relaciones de aspecto de acuerdo con proporción áurea. Y le dio un nombre proporción áurea". Que todavía aguanta. Alberto Durero, también estudiando sección dorada en Europa, se encuentra con el monje Luca Pacioli. Johannes Kepler, el astrónomo más grande de la época, fue el primero en llamar la atención sobre la importancia sección dorada para la botánica llamándolo el tesoro de la geometría. Llamó a la proporción áurea autocontinua: “Está dispuesto”, dijo, “la suma de los dos términos menores de una proporción infinita da el tercer término, y dos últimos términos cualesquiera, si se suman, dan el siguiente término , y la misma proporción permanece indefinidamente.”

Triángulo áureo:: Proporción áurea y Proporción áurea:: Rectángulo áureo:: Espiral áurea

triangulo Dorado

Para encontrar segmentos de la proporción áurea de las filas descendente y ascendente, usaremos el pentagrama.

Arroz. 5. Construcción de un pentágono regular y un pentagrama

Para construir un pentagrama, debe dibujar un pentágono regular según el método de construcción desarrollado por el pintor y artista gráfico alemán Albrecht Dürer. Si O es el centro del círculo, A es un punto en el círculo y E es el punto medio del segmento OA. La perpendicular al radio OA, levantada en el punto O, corta la circunferencia en el punto D. Usando un compás, marca un segmento en el diámetro CE = ED. Entonces la longitud de un lado de un pentágono regular inscrito en un círculo es igual a DC. Separamos segmentos DC en el círculo y obtenemos cinco puntos por dibujar un pentágono regular. Luego, a través de una esquina, conectamos las esquinas del pentágono con diagonales y obtenemos un pentagrama. Todas las diagonales del pentágono se dividen entre sí en segmentos conectados por la proporción áurea.

Cada extremo de la estrella pentagonal es un triángulo dorado. Sus lados forman un ángulo de 36° en la parte superior, y la base puesta en el costado lo divide en proporción a la sección áurea. Dibujar la línea recta AB. Desde el punto A colocamos tres veces un segmento O de tamaño arbitrario, a través del punto P resultante dibujamos una perpendicular a la línea AB, en la perpendicular a la derecha e izquierda del punto P colocamos segmentos O. El resultante los puntos d y d1 están conectados por líneas rectas con el punto A. Colocamos el segmento dd1 en la línea Ad1, obteniendo el punto C. Ella dividió la línea Ad1 en proporción a la proporción áurea. Las líneas Ad1 y dd1 se utilizan para construir un rectángulo "dorado".

Arroz. 6. Construyendo un dorado

triángulo

Proporción áurea y proporción áurea

En matemáticas y arte, dos cantidades están en proporción áurea si la relación entre la suma de estas cantidades y la mayor es igual a la relación entre la mayor y la menor. Expresado algebraicamente: La proporción áurea a menudo se denota con la letra griega phi (? o?). la figura de la proporción áurea ilustra las relaciones geométricas que definen esta constante. La proporción áurea es una constante matemática irracional, aproximadamente 1,6180339887.

rectángulo dorado

El rectángulo áureo es un rectángulo cuyas longitudes laterales están en la proporción áurea, 1:? (uno a fi), es decir, 1: o aproximadamente 1:1.618. El rectángulo dorado solo se puede construir con una regla. y un circulo: 1. Construye un cuadrado simple 2. Dibuja una línea desde el centro de un lado del cuadrado hasta la esquina opuesta. 3. Use esta línea como radio para dibujar un arco que defina la altura del rectángulo. 4. Completa el rectángulo dorado

espiral dorada

En geometría, la espiral dorada es una espiral logarítmica cuyo factor de crecimiento b está relacionado con? , proporción áurea. En particular, la espiral dorada se vuelve más ancha (más lejos de donde comenzó) por un factor ? por cada cuarto de vuelta que da.

Los puntos sucesivos de división del rectángulo áureo en cuadrados se encuentran en espiral logarítmica, a veces conocida como la espiral dorada.

Sección áurea en arquitectura y arte.

Muchos arquitectos y artistas realizaron su trabajo de acuerdo con las proporciones de la sección áurea, especialmente en forma de rectángulo áureo, en el que la relación entre el lado mayor y el menor tiene las proporciones de la sección áurea, creyendo que esta relación sería estético. [Fuente: Wikipedia.org ]

Aquí hay unos ejemplos:

Partenón, Acrópolis, Atenas . Este antiguo templo encaja casi exactamente en el rectángulo dorado.

Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci puedes dibujar muchas líneas de rectángulos en esta figura. Luego, hay tres conjuntos diferentes de rectángulos dorados: Cada conjunto es para el área de la cabeza, el torso y las piernas. El dibujo del Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci a veces se confunde con los principios del "rectángulo dorado", sin embargo, este no es el caso. La construcción del Hombre de Vitruvio se basa en dibujar un círculo de diámetro igual a la diagonal del cuadrado, desplazándolo hacia arriba hasta que toque la base del cuadrado y dibujando el círculo final entre la base del cuadrado y el punto medio entre el área del centro del cuadrado y el centro del círculo: Explicación detallada sobre la construcción geométrica >>

Proporción áurea en la naturaleza.

Adolf Zeising, cuyos principales intereses eran las matemáticas y la filosofía, encontró la proporción áurea en la disposición de las ramas a lo largo del tallo de la planta y las nervaduras de las hojas. Amplió sus estudios de las plantas a los animales, estudiando los esqueletos de los animales y las ramas de sus venas y nervios, así como las proporciones de los compuestos químicos y la geometría de los cristales, hasta el uso de la proporción áurea en las bellas artes. En estos fenómenos, vio que la proporción áurea se usaba en todas partes como una ley universal, escribió Zeising en 1854: La proporción áurea es una ley universal, que contiene el principio básico que forma el deseo de belleza y plenitud en áreas tales como la naturaleza y el arte, que impregna, como un ideal espiritual supremo, todas las estructuras, formas y proporciones, ya sea un cósmico. o persona física, orgánica o inorgánica, acústica u óptica, pero el principio de la sección áurea encuentra su realización más completa en la forma humana.

Ejemplos:

Un corte de la concha Nautilus revela el principio dorado de la construcción en espiral.

Mozart dividió sus sonatas en dos partes, cuya duración refleja proporción áurea, aunque hay mucho debate sobre si lo hizo a sabiendas. En tiempos más modernos, el compositor húngaro Béla Bartók y el arquitecto francés Le Corbusier incorporaron a propósito la proporción áurea en su trabajo. Incluso hoy proporción áurea nos rodea por todas partes en objetos artificiales. Mire casi cualquier cruz cristiana, la proporción de vertical a horizontal es la proporción áurea. Para encontrar el rectángulo dorado, busque en su billetera y encontrará tarjetas de crédito allí. A pesar de toda esta evidencia dada en las obras de arte creadas a lo largo de los siglos, actualmente existe un debate entre los psicólogos sobre si las personas realmente perciben las proporciones áureas, en particular el rectángulo áureo, como más bellas que otras formas. En un artículo de revista de 1995, el profesor Christopher Green, de la Universidad de York en Toronto, analiza una serie de experimentos a lo largo de los años que no mostraron ninguna preferencia por la forma del rectángulo dorado, pero señala que varios otros han proporcionado evidencia de que tal preferencia no existe. . Pero independientemente de la ciencia, la proporción áurea conserva su mística, en parte porque funciona muy bien en muchos lugares inesperados de la naturaleza. Espiral las conchas de la almeja nautilus están sorprendentemente cerca de proporción áurea, y la proporción de la longitud del pecho y el abdomen en la mayoría de las abejas es casi proporción áurea. Incluso las secciones transversales de las formas más comunes de ADN humano encajan perfectamente en el decágono dorado. proporción áurea y sus parientes también aparecen en muchos contextos inesperados en las matemáticas, y siguen despertando el interés de las comunidades matemáticas. El Dr. Steven Marquardt, excirujano plástico, usó esta misteriosa proporción proporción áurea, en su trabajo, que durante mucho tiempo ha sido responsable de la belleza y la armonía, para hacer una máscara, que consideró la forma más hermosa del rostro humano que puede ser.