Ebben a cikkben közelebbről megvizsgáljuk osztás maradékkal. Kezdjük azzal általános elképzelés erről az akcióról többet megtudunk felosztás jelentése természetes számok a maradékkal, és vezesse be a szükséges kifejezéseket. Ezután felvázoljuk a természetes számok maradékkal való osztásával megoldott feladatok körét. Befejezésül az osztalék, az osztó, a hiányos hányados és az osztás maradéka közötti mindenféle összefüggésen fogunk kitérni.

Oldalnavigáció.

Válasz:

Az osztalék 79.

Azt is meg kell jegyezni, hogy a természetes számok maradékkal való osztása eredményének ellenőrzése az a=b·c+d eredő egyenlőség érvényességének ellenőrzésével történik.

A maradék meghatározása, ha ismert az osztó, az osztó és a parciális hányados

Jelentésében a maradék d azoknak az elemeknek a száma, amelyek az eredeti halmazban maradnak, miután b-szer c elemet kizártunk az a elemei közül. Ezért a természetes számok szorzása és a természetes számok kivonásának jelentése miatt az egyenlőség igaz d=a-b·c. Így, az a természetes szám b természetes számmal való osztásának d maradéka egyenlő az a osztó és a b osztó c parciális hányadossal való szorzatának különbségével.

A kapott d=a−b·c összefüggés lehetővé teszi, hogy megtaláljuk a maradékot, ha ismert az osztó, az osztó és a nem teljes hányados. Nézzük a példamegoldást.

Hogyan tanítsunk megosztást a gyerekeknek? A legegyszerűbb módszer az tanulni hosszú osztást. Ez sokkal könnyebb, mint fejben végezni a számításokat, segít abban, hogy ne keveredjen össze, ne „elvessze” a számokat, és olyan mentális sémát alakítson ki, amely a jövőben automatikusan működik.

Hogyan történik?

A maradékkal való osztás olyan módszer, amelyben egy szám nem osztható pontosan több részre. Ennek a matematikai műveletnek az eredményeként a teljes rész mellett egy oszthatatlan darab marad.

Mondjunk egy egyszerű példát hogyan kell osztani a maradékkal:

Van egy üveg 5 liter vízhez és 2 egyenként 2 literes üveg. Ha egy ötliteres üvegből vizet öntünk kétliteres üvegekbe, 1 liter fel nem használt víz marad az ötliteres üvegben. Ez a maradék. Digitális formában így néz ki:

5:2=2 pihenés (1). 1 honnan van? 2x2=4, 5-4=1.

Most nézzük meg az oszlopra osztás sorrendjét a maradékkal. Ez vizuálisan leegyszerűsíti a számítási folyamatot, és segít a számok elvesztésében.

Az algoritmus meghatározza az összes elem helyét és a műveletek sorrendjét, amellyel a számítást végrehajtják. Példaként osszuk el a 17-et 5-tel.

Fő szakaszok:

1. Helyes beírás. Osztalék (17) – a bal oldalon található. Az osztaléktól jobbra írja be az osztót (5). Közöttük egy függőleges vonalat húzunk (jelezve az osztásjelet), majd ebből a vonalból egy vízszintes vonalat húzunk, kiemelve az osztót. A főbb jellemzőket narancssárga szín jelzi.
2. Keresse meg az egészet. Ezután elvégezzük az első és legegyszerűbb számítást - hány osztó illeszkedik az osztalékba. Használjuk a szorzótáblát és ellenőrizzük sorrendben: 5*1=5 - illik, 5*2=10 - illik, 5*3=15 - illik, 5*4=20 - nem illik. Ötször négy több mint tizenhét, ami azt jelenti, hogy a negyedik öt nem fér bele. Térjünk vissza háromhoz. Egy 17 literes üvegbe 3 db öt literes üveg is belefér. Az eredményt a következő formában írjuk: 3 a sor alá, az osztó alá. A 3 egy nem teljes hányados.
3. A maradék meghatározása. 3*5=15. Az osztalék alá 15-öt írunk. Rajzolunk egy vonalat (ezt a „=” jel jelzi). Az osztalékból kivonjuk a kapott számot: 17-15=2. Az eredményt a sor alá írjuk - egy oszlopba (innen az algoritmus neve). 2 a maradék.

Figyel! Ilyen osztásnál a maradéknak mindig kisebbnek kell lennie, mint az osztó.

Amikor az osztó nagyobb, mint az osztalék

Nehézség akkor merül fel, ha az osztó nagyobb, mint az osztalék. Tizedesjegyek a 3. osztályos tananyagban még nem tanulják, de a logikát követve a választ tört - jó esetben tizedes, rosszabb esetben - egyszerű alakban kell megírni. De (!) a programon kívül a számítási módot a feladat korlátozza: nem osztani kell, hanem megkeresni a maradékot! némelyikük nem! Hogyan lehet megoldani egy ilyen problémát?

Figyel! Van egy szabály azokra az esetekre, amikor az osztó nagyobb, mint az osztalék: a részhányados 0, a maradék egyenlő az osztalékkal.

Hogyan kell elosztani az 5-ös számot a 6-tal, kiemelve a maradékot? Hány 6 literes doboz fér bele egy 5 literes üvegbe? mert a 6 nagyobb mint 5.

A feladathoz 5 litert kell feltölteni – egyetlen egyet sem töltöttek fel. Ez azt jelenti, hogy mind az 5 marad Válasz: parciális hányados = 0, maradék = 5.

Az osztályozást az iskola harmadik osztályában kezdik tanulni. Ekkor a tanulóknak már el kell tudniuk végezni a kétjegyű számok egyjegyű számokkal való osztását.

Oldja meg a feladatot: 18 édességet kell kiosztani öt gyereknek. Hány cukorka marad?

Példák:

Megtaláljuk a hiányos hányadost: 3*1=3, 3*2=6, 3*3=9, 3*4=12, 3*5=15. 5 – túlzás. Térjünk vissza a 4-hez.

Maradék: 3*4=12, 14-12=2.

Válasz: hiányos hányados 4, 2 maradt.

Felmerülhet a kérdés, hogy ha 2-vel osztjuk, a maradék miért 1 vagy 0. A szorzótábla szerint olyan számjegyek között, amelyek kettő többszörösei egy különbség van.

Másik feladat: 3 pitét kell ketté osztani.

4 lepényt ketté osztunk.

Ossz el 5 pitét két ember között.

Munka többjegyű számokkal

A 4. osztályos program az osztás bonyolultabb folyamatát kínálja növekvő számított számokkal. Ha a harmadik osztályban egy 1-től 10-ig terjedő alap szorzótábla alapján végezték a számításokat, akkor a negyedik osztályosok 100 feletti többjegyű számokkal végeznek számításokat.

Ezt a műveletet a legkényelmesebb egy oszlopban végrehajtani, mivel a hiányos hányados is egy kétjegyű szám lesz (a legtöbb esetben), és az oszlopalgoritmus megkönnyíti és vizuálisabbá teszi a számításokat.

Osszuk el többjegyű számokat kétjegyűvé alakítani: 386:25

Ez a példa a számítási szintek számában különbözik a korábbiaktól, bár a számítások ugyanazon elv szerint történnek, mint korábban. Nézzük meg közelebbről:

386 az osztalék, 25 az osztó. Meg kell találni a hiányos hányadost, és ki kell választani a maradékot.

Első szint

Az osztó egy kétjegyű szám. Az osztalék három számjegyű. Kiválasztjuk az osztalék első két bal oldali számjegyét - ez 38. Összehasonlítjuk őket az osztóval. A 38 több mint a 25? Igen, ez azt jelenti, hogy 38 osztható 25-tel. Hány egész 25 van a 38-ban?

25*1=25, 25*2=50. 50 több mint 38, menjünk vissza egy lépést.

Válasz - 1. Írja be az egységet a zónába nem teljesen privát.

38-25=13. Írd a sor alá a 13-as számot!

Második szint

A 13 több mint a 25? Nem – ez azt jelenti, hogy a 6-os számot „lejjebb eresztheti”, ha hozzáadja a 13 mellé, a jobb oldalon. Kiderült, hogy 136. A 136 több mint 25? Igen – ez azt jelenti, hogy kivonhatja. Hányszor fér bele 25 a 136-ba?

25*1=25, 25*2=50, 25*3=75, 25*4=100, 25*5=125, 256*=150. 150 több mint 136 – egy lépést visszamegyünk. Az 5-ös számot a hiányos hányadoszónába írjuk, az egytől jobbra.

Számítsa ki a maradékot:

136-125=11. Írd a vonal alá. A 11 több mint a 25? Nem – a felosztás nem hajtható végre. Az osztaléknak vannak számjegyei? Nem – nincs több megosztani való. A számítások elkészültek.

Válasz: a parciális hányados 15, a maradék 11.

Mi van, ha ilyen felosztást javasolunk, amikor a kétjegyű osztó nagyobb, mint a többjegyű osztalék első két számjegye? Ebben az esetben az osztalék harmadik (negyedik, ötödik és azt követő) számjegye azonnal részt vesz a számításokban.

Mondjunk példákat három- és négyjegyű számokkal való osztáshoz:

A 75 egy kétjegyű szám. 386 – háromjegyű. Hasonlítsa össze a bal oldali első két számjegyet az osztóval. 38 több mint 75? Nem – a felosztás nem hajtható végre. Vegyük mind a 3 számot. A 386 több mint a 75? Igen, meg lehet osztani. Számításokat végzünk.

75*1=75, 75*2=150, 75*3=225, 75*4=300, 75*5=375, 75*6=450. A 450 több mint 386 – egy lépést visszamegyünk. A hiányos hányados zónába 5-öt írunk.

Keresse meg a maradékot: 386-375=11. A 11 több mint 75? Nem. Maradtak számjegyek az osztalékhoz? Nem. A számítások befejeződtek.

Válasz: parciális hányados = 5, maradék - 11.

Nézzük meg: a 11 több, mint a 35? Nem – a felosztás nem hajtható végre. Cseréljük ki a harmadik számot – a 119 több mint 35? Igen, végrehajthatjuk az akciót.

35*1=35, 35*2=70, 35*3=105, 35*4=140. A 140 több mint 119 – egy lépést visszamegyünk. A hiányos egyensúlyzónába 3-at írunk.

Keresse meg a maradékot: 119-105=14. 14 év feletti 35? Nem. Maradtak számjegyek az osztalékhoz? Nem. A számítások elkészültek.

Válasz: hiányos hányados = 3, 14 maradt.

Ellenőrizzük: 11 nagyobb, mint 99? Nem, egy másik számmal helyettesítjük. A 119 több mint a 99? Igen - kezdjük a számításokat.

11<99, 119>99.

99*1=99, 99*2=198 – túlzás. A hiányos hányadosba 1-et írunk.

Keresse meg a maradékot: 119-99=20. 20<99. Опускаем 5. 205>99. Számoljunk.

99*1=99, 99*2=198, 99*3=297. Túl sok. A hiányos hányadosba 2-t írunk.

Keresse meg a maradékot: 205-198=7.

Válasz: parciális hányados = 12, maradék - 7.

Felosztás maradékkal - példák

Megtanuljuk osztani az oszlopot a maradékkal

Következtetés

Így történik a számítás. Ha óvatos és betartja a szabályokat, akkor itt nem lesz semmi bonyolult. Minden tanuló megtanulhat számolni egy oszloppal, mert az gyors és kényelmes.

A cikk az egész számok maradékkal való osztásának fogalmát vizsgálja. Bizonyítsuk be az egész számok maradékkal való oszthatóságáról szóló tételt, és nézzük meg az osztók és osztók, a hiányos hányadosok és a maradékok közötti összefüggéseket. Tekintsük az egész számok maradékokkal való felosztásának szabályait, és nézzük meg őket részletesen példákon keresztül. A megoldás végén ellenőrzést végzünk.

Az egész számok maradékokkal való felosztásának általános ismerete

Az egész számok maradékkal való osztása a természetes számok maradékával általánosított osztásnak tekinthető. Ez azért van így, mert a természetes számok az egész számok összetevői.

Egy tetszőleges szám maradékával való osztás azt jelenti, hogy az a egész számot egy nullától eltérő b számmal osztjuk. Ha b = 0, akkor ne osszuk maradékkal.

Csakúgy, mint a természetes számok maradékkal való osztásakor, az a és b egész számokat c-vel és d-vel osztjuk, ahol b nem nulla. Ebben az esetben a-t és b-t osztónak és osztónak nevezzük, d pedig az osztás maradéka, c egész szám vagy nem teljes hányados.

Ha feltételezzük, hogy a maradék egész szám nem negatív szám, akkor értéke nem nagyobb, mint a b szám modulusa. Írjuk fel így: 0 ≤ d ≤ b. Ezt az egyenlőtlenségi láncot 3 vagy több szám összehasonlításakor használjuk.

Ha c egy nem teljes hányados, akkor d az a egész szám b-vel való osztásának maradéka, amely röviden megfogalmazható: a: b = c (maradék d).

Az a szám b-vel való osztásakor a maradék nulla lehet, akkor azt mondják, hogy a teljesen osztható b-vel, azaz maradék nélkül. A maradék nélküli osztás az osztás speciális esetének számít.

Ha nullát elosztunk valamilyen számmal, az eredmény nulla. Az osztás maradéka is nulla lesz. Ez a nulla egész számmal való osztásának elméletéből követhető.

Most nézzük meg az egész számok maradékkal való osztásának jelentését.

Ismeretes, hogy a pozitív egész számok természetes számok, akkor maradékkal osztva ugyanazt a jelentést kapjuk, mint a természetes számok maradékkal való osztásakor.

Az a negatív egész szám elosztása egy pozitív b egész számmal van értelme. Nézzünk egy példát. Képzeljünk el egy olyan helyzetet, amikor a tételes tartozásunk van, amelyet b személynek vissza kell fizetnie. Ennek eléréséhez mindenkinek egyformán hozzá kell járulnia. Az egyes tartozás összegének meghatározásához figyelni kell a magánjellegű s értékére. A maradék d azt jelzi, hogy a tartozások törlesztése utáni tételek száma ismert.

Nézzük az alma példáját. Ha 2 ember tartozik 7 almával. Ha úgy számolunk, hogy mindenkinek 4 almát kell visszaadnia, akkor a teljes számítás után 1 alma marad. Írjuk fel ezt egyenlőségként: (− 7) : 2 = − 4 (t. 1-ből) .

Egy tetszőleges a szám egész számmal való elosztása értelmetlen, de lehetőségként lehetséges.

Tétel az egész számok maradékkal való oszthatóságáról

Megállapítottuk, hogy a az osztó, majd b az osztó, c a parciális hányados és d a maradék. Össze vannak kötve egymással. Ezt az összefüggést az a = b · c + d egyenlőséggel fogjuk bemutatni. A köztük lévő kapcsolatot a maradékkal való oszthatósági tétel jellemzi.

Tétel

Bármely egész szám csak egész számon és nem nulla b számon keresztül ábrázolható a következő módon: a = b · q + r, ahol q és r néhány egész szám. Itt 0 ≤ r ≤ b.

Bizonyítsuk be a = b · q + r létezésének lehetőségét.

Bizonyíték

Ha két a és b szám van, és a osztható b-vel maradék nélkül, akkor a definícióból következik, hogy van q szám, és igaz lesz az a = b · q egyenlőség. Ekkor az egyenlőség igaznak tekinthető: a = b · q + r r = 0 esetén.

Ekkor olyan q-t kell venni, hogy a b · q egyenlőtlenség adja meg< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

Megvan, hogy az a − b · q kifejezés értéke nagyobb nullánál és nem nagyobb a b szám értékénél, ebből következik, hogy r = a − b · q. Azt találjuk, hogy az a szám a = b · q + r formában ábrázolható.

Most meg kell vizsgálnunk az a = b q + r ábrázolásának lehetőségét negatív értékeket b.

A szám modulusa pozitívnak bizonyul, ekkor kapjuk a = b · q 1 + r, ahol a q 1 érték valamilyen egész szám, r olyan egész szám, amely megfelel a 0 ≤ r feltételnek.< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

Az egyediség bizonyítéka

Tegyük fel, hogy a = b q + r, q és r egész számok, amelyek feltétele 0 ≤ r igaz< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1És r 1 van néhány szám, ahol q 1 ≠ q, 0 ≤ r 1< b .

Ha az egyenlőtlenséget kivonjuk a bal és a jobb oldalról, akkor 0 = b · (q − q 1) + r − r 1 -t kapunk, ami r - r 1 = b · q 1 - q. Mivel a modult használjuk, az r - r 1 = b · q 1 - q egyenlőséget kapjuk.

Az adott feltétel azt mondja, hogy 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что qÉs q 1- egész, és q ≠ q 1, akkor q 1 - q ≥ 1. Innen azt kapjuk, hogy b · q 1 - q ≥ b. A kapott r - r 1 egyenlőtlenségek< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

Ebből következik, hogy az a szám nem ábrázolható más módon, csak az a = b · q + r felírásával.

Osztalék, osztó, parciális hányados és maradék kapcsolata

Az a = b · c + d egyenlőség segítségével megtalálhatja az ismeretlen a osztót, ha ismert a b osztó a hiányos c hányadossal és a d maradékkal.

1. példa

Határozzuk meg az osztalékot, ha osztáskor -21-et kapunk, a parciális hányados 5, a maradék pedig 12.

Megoldás

Ki kell számítani az a osztót ismert osztóval b = − 21, hiányos hányadossal c = 5 és maradékkal d = 12. Az a = b · c + d egyenlőségre kell rátérnünk, innen a = (− 21) · 5 + 12 egyenlőséget kapjuk. Ha követjük a cselekvések sorrendjét, a - 21-et megszorozzuk 5-tel, ami után (− 21) · 5 + 12 = − 105 + 12 = − 93-at kapunk.

Válasz: - 93 .

Az osztó és a parciális hányados és maradék közötti összefüggés a b = (a − d) : c , c = (a − d) : b és d = a − b · c egyenlőségekkel fejezhető ki. Segítségükkel kiszámolhatjuk az osztót, a parciális hányadost és a maradékot. Ez abból adódik, hogy állandóan meg kell keresni a maradékot, amikor az a egész számot elosztjuk b-vel, ismert osztó-, osztó- és parciális hányadossal. A d = a − b · c képletet alkalmazzuk. Nézzük meg részletesen a megoldást.

2. példa

Keresse meg a maradékot, amikor a - 19 egész számot elosztja a 3 egész számmal, amelynek ismert hiányos hányadosa egyenlő -7.

Megoldás

Az osztás maradékának kiszámításához d = a − b · c képletet alkalmazunk. Feltétel szerint minden adat elérhető: a = −19, b = 3, c = −7. Innen kapjuk, hogy d = a − b · c = − 19 − 3 · (− 7) = − 19 − (− 21) = − 19 + 21 = 2 (különbség − 19 − (− 21). a kivonási szabály segítségével egy negatív egész szám.

Válasz: 2 .

Minden pozitív egész szám természetes szám. Ebből következik, hogy az osztás az összes osztási szabály szerint történik a természetes számok maradékával. A természetes számok maradékával való osztás sebessége fontos, hiszen nem csak a pozitív számok osztása, hanem a tetszőleges egészek osztásának szabályai is ezen alapulnak.

Az osztás legkényelmesebb módja az oszlop, mivel könnyebben és gyorsabban lehet hiányos vagy egyszerűen hányadost kapni a maradékkal. Nézzük meg részletesebben a megoldást.

3. példa

Ossza el az 14671-et 54-gyel.

Megoldás

Ezt a felosztást egy oszlopban kell elvégezni:

Vagyis a parciális hányados 271, a maradék pedig 37.

Válasz: 14 671: 54 = 271. (többi 37)

Pozitív egész szám negatív egész számmal való elosztásának szabálya, példák

Ha egy pozitív szám maradékával szeretne osztani egy negatív egész számmal, akkor meg kell fogalmaznia egy szabályt.

1. definíció

Az a pozitív egész szám b negatív egész számmal való elosztásának hiányos hányadosa olyan számot eredményez, amely ellentétes az a számok modulusainak b-vel való elosztásának hiányos hányadosával. Ekkor a maradék egyenlő a maradékkal, ha a-t osztjuk b-vel.

Ebből következik, hogy a pozitív egész szám negatív egész számmal való elosztásának hiányos hányadosa nem pozitív egész számnak tekinthető.

Megkapjuk az algoritmust:

• osztjuk az osztó modulusát az osztó modulusával, akkor hiányos hányadost kapunk és
• maradék;
• Írjuk fel az ellenkező számot, mint amit kaptunk.

Nézzük meg a pozitív egész szám negatív egész számmal való osztására szolgáló algoritmus példáját.

4. példa

A maradék 17-tel oszd el -5-tel.

Megoldás

Alkalmazzuk azt az algoritmust, hogy egy pozitív egész számot egy negatív egész számmal elosztunk maradékkal. A 17-et el kell osztani 5-tel modulo. Ebből azt kapjuk, hogy a parciális hányados egyenlő 3-mal, a maradék pedig 2-vel.

Azt kapjuk, hogy a szükséges számot elosztjuk 17-tel - 5 = - 3-mal, és a maradék egyenlő 2-vel.

Válasz: 17: (− 5) = − 3 (maradék 2).

5. példa

A 45-öt el kell osztani 15-tel.

Megoldás

A számokat modulo kell osztani. A 45-ös számot elosztjuk 15-tel, maradék nélkül megkapjuk a 3 hányadosát. Ez azt jelenti, hogy a 45-ös szám maradék nélkül osztható 15-tel. A válasz - 3, mivel a felosztás modulo módon történt.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

Válasz: 45: (− 15) = − 3 .

A maradékkal való osztás szabályának megfogalmazása a következő.

2. definíció

Ahhoz, hogy egy a negatív egész számot pozitív b-vel osztva hiányos c hányadost kapjunk, az adott szám ellentétét kell alkalmazni, és ki kell vonni belőle 1-et, majd a d maradékot a következő képlettel számítjuk ki: d = a − b · c.

A szabály alapján azt a következtetést vonhatjuk le, hogy osztáskor nemnegatív egész számot kapunk. A megoldás pontosságának biztosítása érdekében használja az a-t b-vel egy maradékkal osztó algoritmust:

• keresse meg az osztó és az osztó moduljait;
• oszt modulo;
• írja fel a megadott szám ellentétét, és vonjon ki 1-et;
• használja a képletet a maradékhoz d = a − b · c.

Nézzünk egy példát egy olyan megoldásra, ahol ezt az algoritmust használják.

6. példa

Határozzuk meg a 17 5-tel osztás parciális hányadosát és maradékát.

Megoldás

A megadott számokat elosztjuk modulo. Azt találjuk, hogy osztáskor a hányados 3, a maradék pedig 2. Mivel 3-at kaptunk, az ellenkezője a 3. 1-et ki kell vonni.

− 3 − 1 = − 4 .

A kívánt érték egyenlő -4.

A maradék kiszámításához a = − 17, b = 5, c = − 4, majd d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = szükséges. 3.

Ez azt jelenti, hogy az osztás hiányos hányadosa a - 4, a maradék pedig 3.

Válasz:(− 17) : 5 = − 4 (maradék 3).

7. példa

Osszuk el a negatív egész számot - 1404 a pozitív 26-tal.

Megoldás

Oszlopokra és modulokra kell osztani.

A számok moduljainak felosztását maradék nélkül megkaptuk. Ez azt jelenti, hogy az osztás maradék nélkül történik, és a kívánt hányados = -54.

Válasz: (− 1 404) : 26 = − 54 .

Osztási szabály maradékkal negatív egész számokhoz, példák

Meg kell fogalmazni egy szabályt az egész számok maradékával való osztáshoz negatív számok.

3. definíció

Ahhoz, hogy egy a negatív egész számot egy b negatív egész számmal elosztva hiányos c hányadost kapjunk, modulo számításokat kell végezni, majd össze kell adni 1-et, majd a d = a − b · c képlet alapján végezhetünk számításokat.

Ebből következik, hogy a negatív egészek osztó hányadosa pozitív szám lesz.

Fogalmazzuk meg ezt a szabályt algoritmus formájában:

• keresse meg az osztó és az osztó moduljait;
• osztjuk az osztó modulusát az osztó modulusával, hogy hiányos hányadost kapjunk
• maradék;
• 1 hozzáadása a hiányos hányadoshoz;
• a maradék kiszámítása a d = a − b · c képlet alapján.

Nézzük meg ezt az algoritmust egy példa segítségével.

8. példa

Határozza meg a parciális hányadost és a maradékot, amikor a -17-et osztja -5-tel.

Megoldás

A megoldás helyességének biztosítása érdekében a maradékkal való osztás algoritmusát alkalmazzuk. Először osszuk el a számokat modulo. Ebből azt kapjuk, hogy a hiányos hányados = 3, a maradék pedig 2. A szabály szerint össze kell adni a hiányos hányadost és az 1-et. Azt kapjuk, hogy 3 + 1 = 4. Innen azt kapjuk, hogy a megadott számok elosztásának parciális hányadosa 4.

A maradék kiszámításához a képletet használjuk. Feltétellel azt kapjuk, hogy a = − 17, b = − 5, c = 4, akkor a képlet segítségével azt kapjuk, hogy d = a − b c = − 17 − (− 5) 4 = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 . A szükséges válasz, vagyis a maradék egyenlő 3-mal, a részhányados pedig 4-gyel.

Válasz:(− 17) : (− 5) = 4 (maradék 3).

Egész számok maradékkal való osztásának eredményének ellenőrzése

Miután elosztotta a számokat maradékkal, ellenőriznie kell. Ez az ellenőrzés 2 szakaszból áll. Először a d maradékot ellenőrizzük a negativitás szempontjából, a 0 ≤ d feltétel teljesül< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Nézzünk példákat.

9. példa

A felosztás - 521-re - 12. A hányados 44, a maradék 7. Végezzen ellenőrzést.

Megoldás

Mivel a maradék egy pozitív szám, értéke kisebb, mint az osztó modulusa. Az osztó - 12, ami azt jelenti, hogy a modulusa 12. Továbbléphet a következő ellenőrző pontra.

Feltétel alapján azt kapjuk, hogy a = − 521, b = − 12, c = 44, d = 7. Innen számítjuk ki a b · c + d értéket, ahol b · c + d = − 12 · 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521. Ebből következik, hogy az egyenlőség igaz. Az ellenőrzés sikeres.

10. példa

Hajtsa végre az osztásellenőrzést (− 17): 5 = − 3 (maradék − 2). Igaz az egyenlőség?

Megoldás

Az első szakasz lényege, hogy ellenőrizni kell az egész számok osztását maradékkal. Ebből egyértelmű, hogy a műveletet helytelenül hajtották végre, mivel -2-vel egyenlő maradékot adtak. A maradék nem negatív szám.

Megvan, hogy a második feltétel teljesül, de nem elegendő erre az esetre.

Válasz: Nem.

11. példa

A 19-es számot elosztottuk 3-mal. A parciális hányados 7, a maradék pedig 1. Ellenőrizze, hogy ezt a számítást helyesen végezte-e el.

Megoldás

Adott egy 1-gyel egyenlő maradék. Pozitív. Az érték kisebb, mint az elválasztó modulé, ami azt jelenti, hogy az első szakasz befejeződik. Térjünk át a második szakaszra.

Számítsuk ki a b · c + d kifejezés értékét. Feltétellel azt kapjuk, hogy b = − 3, c = 7, d = 1, ami azt jelenti, hogy a számértékeket behelyettesítve b · c + d = − 3 · 7 + 1 = − 21 + 1 = − 20. Ebből következik, hogy a = b · c + d az egyenlőség nem teljesül, mivel a feltétel a = - 19-et adja.

Ebből az következik, hogy a felosztás hibával történt.

Válasz: Nem.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Mit csinál a 3. osztály matekból? Felosztás maradékkal, példákkal és problémákkal – ezt tanulmányozzuk a leckéken. A maradékkal való osztásról és az ilyen számítások algoritmusáról a cikkben lesz szó.

Sajátosságok

Nézzük a programban szereplő témákat, amiket a 3. osztály tanul. A maradékkal való osztás a matematika egy speciális részében szerepel. miről beszélünk? Ha az osztalékot nem osztja egyenletesen az osztó, akkor marad a maradék. Például a 21-et elosztjuk 6-tal. Kiderül, hogy 3, de a maradék 3 marad.

Azokban az esetekben, amikor a természetes számok osztásakor a maradék nulla, akkor azt mondják, hogy teljes osztás történt. Például, ha 25-öt elosztjuk 5-tel, az eredmény 5. A maradék nulla.

Megoldási példák

A maradékkal való osztás végrehajtásához egy speciális jelölést használunk.

Mondjunk példákat matematikából (3. osztály). A maradékkal való osztást nem kell oszlopba írni. A sorba elég beírni: 13:4=3 (maradék 1) vagy 17:5=3 (maradék 2).

Nézzünk meg mindent részletesebben. Például, ha elosztjuk 17-et hárommal, az egész szám ötöt kap, és a maradék kettőt is meghagyja. Hogyan kell megoldani ezt a példát a maradékkal való osztásra? Először meg kell találnia a maximális számot 17-ig, amely maradék nélkül osztható hárommal. A legnagyobb a 15.

Ezután osszuk el a 15-öt a hárommal, a művelet eredménye az ötös lesz. Most az osztalékból kivonjuk a talált számot, vagyis 17-ből levonunk 15-öt, kettőt kapunk. Kötelező művelet az osztó és a maradék összeegyeztetése. Ellenőrzés után rögzíteni kell az elvégzett művelet válaszát. 17:3=15 (a maradék 2).

Ha a maradék nagyobb, mint az osztó, akkor a műveletet hibásan hajtották végre. Ezzel az algoritmussal hajtják végre a 3. osztályú osztást a maradékkal. A példákat először a tanár elemzi a táblán, majd felkérik a gyerekeket, hogy önálló munkával mérjék össze tudásukat.

Példa szorzással

A 3. osztály egyik legnehezebb témája a maradékkal való megosztás. A példák összetettek lehetnek, különösen, ha további számításokra van szükség, és ezeket egy oszlopban rögzítik.

Tegyük fel, hogy el kell osztani a 190-et 27-tel, hogy megkapjuk a minimális maradékot. Próbáljuk meg megoldani a feladatot szorzás segítségével.

Válasszunk ki egy számot, amelyet megszorozva a lehető legközelebbi számot kapjuk a 190-hez. Ha 27-et megszorozunk 6-tal, akkor a 162-t kapjuk. Vonjuk ki a 162-t 190-ből, a maradék 28 lesz. nagyobb, mint az eredeti osztó. Ezért a hatos szám nem alkalmas szorzóként a példánkban. Folytassuk a példa megoldását, vegyük a 7-et a szorzáshoz.

A 27-et 7-tel megszorozva a 189-es szorzatot kapjuk. Ezután ellenőrizzük a megoldás helyességét, hogy a kapott eredményt kivonjuk 190-ből, azaz kivonjuk a 189-et. A maradék 1 lesz, ami egyértelműen az; kevesebb, mint 27. Így oldják meg az összetett kifejezéseket az iskolában (3. osztály, osztás maradékkal). Példaként mindig szerepel a válasz rögzítése. A teljes matematikai kifejezés a következőképpen írható fel: 190:27 = 7 (a maradék 1). Hasonló számítások végezhetők oszlopban is.

A 3. évfolyam pontosan így osztja a maradékot. A fenti példák segítenek megérteni az ilyen problémák megoldására szolgáló algoritmust.

Következtetés

Annak érdekében, hogy a diákok általános osztályok A helyes számítási készségek kialakulása esetén a tanárnak a matematika órákon figyelnie kell a gyermek cselekvési algoritmusának magyarázatára a maradékkal való osztásos feladatok megoldása során.

Az új szövetségi állam szerint oktatási szabványok különös figyelmet fordítanak a tanulás egyéni megközelítésére. A tanárnak minden gyermek számára egyéni képességeit figyelembe véve kell kiválasztania a feladatokat. A felosztási szabályok tanításának minden szakaszában a maradékkal a tanárnak köztes ellenőrzést kell végeznie. Lehetővé teszi számára, hogy azonosítsa azokat a fő problémákat, amelyek minden tanuló számára az anyag asszimilációjával kapcsolatosak, időben helyesbítik a tudást és a készségeket, kiküszöbölik a felmerülő problémákat, és elérik a kívánt eredményt.

Osztani a maradékkal- ez egy szám osztása egy másikkal, amelyben a maradék nem egyenlő nullával.

Nem mindig lehet osztást végrehajtani, mivel vannak esetek, amikor egy szám nem osztható egy másikkal. Például a 11-es szám nem osztható 3-mal, mivel nincs olyan természetes szám, amely 3-mal szorozva 11-et eredményezne.

Ha az osztás nem hajtható végre, abban állapodtunk meg, hogy nem a teljes osztalékot osztjuk fel, hanem annak csak az osztóval osztható legnagyobb részét. IN ebben a példában az osztalék 3-mal osztható legnagyobb része 9 (az eredmény 3), az osztalék fennmaradó kisebb része - 2 nem lesz osztva 3-mal.

Ha a 11 3-mal való elosztásáról beszélünk, a 11-et továbbra is osztaléknak, a 3-at osztónak, az osztás eredménye a 3-as szám, ún. hiányos privát, és a 2-es szám az osztály többi része. Magát az osztást ebben az esetben maradékkal való osztásnak nevezzük.

A hiányos hányadost nevezzük legnagyobb szám, amit osztóval megszorozva olyan szorzatot kapunk, amely nem haladja meg az osztalékot. Az osztalék és a termék közötti különbséget maradéknak nevezzük. A maradék mindig kisebb, mint az osztó, különben az osztóval is osztható.

A maradékkal való osztás a következőképpen írható fel:

11:3 = 3 (a maradék 2)

Ha egy természetes szám osztásakor a maradék 0, akkor az első szám osztható a másodikkal. Például a 4 osztható 2-vel. Az 5-ös szám nem osztható 2-vel. A szót általában a rövidség kedvéért teljesen kihagyják, és azt mondják: ilyen és ilyen szám osztható egy másikkal, például: a 4 osztható 2-vel, de az 5 nem osztható 2-vel.

A maradékkal való osztás ellenőrzése

A maradékkal való osztás eredményét a következőképpen ellenőrizhetjük: a hiányos hányadost megszorozzuk az osztóval (vagy fordítva), és a maradékot hozzáadjuk a kapott szorzathoz. Ha az eredmény egy osztalékkal egyenlő szám, akkor a maradékkal való osztás helyesen történik:

11:3 = 3 (a maradék 2)