A számok mindenhol követik az embereket. Még a testünk is összhangban van az ő világukkal – van bizonyos számú szervünk, fogunk, hajunk és bőrsejtünk. A számolás megszokott, automatikus cselekvéssé vált, így nehéz elképzelni, hogy az emberek egykor nem ismerték a számokat. Valójában a számok megjelenésének története az ókorig vezethető vissza.

Számok és primitív emberek

Valamikor az illető nagy szükségét érezte, hogy számoljon. Erre az

Maga az élet lökött engem. Valahogy meg kellett szervezni a törzset, csak bizonyos számú embert küldeni vadászni vagy gyűjtögetni. Ezért az ujjaikkal számoltak. Még mindig vannak olyan törzsek, amelyek egy kezet mutatnak az „5” helyett, és kettőt a tíz helyett. Egy ilyen egyszerű számláló algoritmussal elkezdődött a számok megjelenésének története.

Prímszámok

A számok megjelenésének története lehetővé teszi, hogy észrevegyük, hogy az emberek meglehetősen régen felfedezték a különbséget a páratlan és a páratlan számok között, valamint különféle kapcsolatokat magukon a numerikus kifejezéseken belül. Jelentős hozzájárulás az ilyenekhez
kutatást az ókori görögök vezették be. Például a görög tudós, Eratoszthenész megalkotta a prímszámok megtalálásának meglehetősen egyszerű módját. Erre felírta szükséges mennyiség számokat sorrendben, majd elkezdte áthúzni - először az összes számot, amely osztható kettővel, majd - hárommal. Az eredmény olyan számok listája lett, amelyek nem oszthatók semmivel, csak eggyel és önmagával. Ezt a módszert „Eratoszthenész szitájának” nevezték, mivel a görögök nem húzták át, hanem a felesleges számokat szúrták ki a viasszal bevont táblákra.

Így a számok megjelenésének története ősi és mélyreható jelenség. A tudósok szerint körülbelül 30 ezer évvel ezelőtt kezdődött. Ez idő alatt sok minden megváltozott az ember életében. De a mai napig ez irányítja létezésünket.

A prímszámok tulajdonságait először matematikusok vizsgálták Ókori Görögország. A Pythagoreanus iskola matematikusait (i.e. 500-300) elsősorban a prímszámok misztikus és numerológiai tulajdonságai érdekelték. Ők voltak az elsők, akik ötleteket adtak a tökéletes és barátságos számokról.

Egy tökéletes számnak saját osztóinak összege egyenlő önmagával. Például a 6-os szám megfelelő osztói 1, 2 és 3. 1 + 2 + 3 = 6. A 28 szám osztói: 1, 2, 4, 7 és 14. Ráadásul 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

A számokat barátságosnak nevezzük, ha az egyik szám megfelelő osztóinak összege egyenlő a másikkal, és fordítva - például 220 és 284. Azt mondhatjuk, hogy a tökéletes szám barátságos önmagával.

Euklidész elemeinek idejére, ie 300-ban. A prímszámokkal kapcsolatban több fontos tényt már bebizonyítottak. Az Elemek IX. könyvében Eukleidész bebizonyította, hogy végtelen számú prímszám létezik. Ez egyébként az egyik első példa az ellentmondásos bizonyításra. Bebizonyítja az aritmetika alaptételét is – minden egész szám egyedileg ábrázolható prímszámok szorzataként.

Azt is megmutatta, hogy ha a 2n-1 szám prím, akkor a 2n-1 * (2n-1) szám lesz tökéletes. Egy másik matematikus, Euler 1747-ben be tudta mutatni, hogy minden tökéletes szám felírható ebben a formában. A mai napig nem ismert, hogy léteznek-e páratlan tökéletes számok.

Kr.e. 200. évben. A görög Eratoszthenész kitalált egy algoritmust a prímszámok keresésére, az úgynevezett Eratoszthenész szitáját.

És ekkor nagy törés következett be a középkorhoz kötődő prímszámok tanulmányozásának történetében.

A következő felfedezéseket már a 17. század elején tette Fermat matematikus. Bebizonyította Albert Girard sejtését, miszerint bármely 4n+1 alakú prímszám egyértelműen felírható két négyzet összegeként, és megfogalmazta azt a tételt is, hogy bármely szám felírható négy négyzet összegeként.

Kifejlesztett egy új módszert a nagy számok faktorálására, és bemutatta a 2027651281 = 44021? 46061. Bebizonyította Fermat kis tételét is: ha p prímszám, akkor bármely a egész számra igaz lesz, hogy a p = a modulo p.

Ez az állítás a felét bizonyítja annak, amit "kínai sejtésnek" neveztek, és 2000 évvel korábbi: az n egész szám akkor és csak akkor prím, ha 2 n -2 osztható n-nel. A hipotézis második része hamisnak bizonyult - például 2341 - 2 osztható 341-gyel, bár a 341-es szám összetett: 341 = 31? 11.

Fermat kis tétele sok más számelméleti eredmény alapjául szolgált, valamint a számok prímszám-szerűségének vizsgálatára szolgáló módszerek – amelyek közül sokat még ma is használnak.

Fermat sokat levelezett kortársaival, különösen egy Maren Mersenne nevű szerzetessel. Egyik levelében azt feltételezte, hogy a 2 n +1 alakú számok mindig prímek lesznek, ha n kettő hatványa. Ezt n = 1, 2, 4, 8 és 16-ra tesztelte, és biztos volt benne, hogy abban az esetben, ha n nem kettő hatványa, a szám nem feltétlenül prím. Ezeket a számokat Fermat-számoknak nevezik, és csak 100 évvel később Euler kimutatta, hogy a következő szám, a 2 32 + 1 = 4294967297, osztható 641-gyel, ezért nem prímszám.

A 2 n - 1 alakú számok is kutatás tárgyát képezték, hiszen könnyen kimutatható, hogy ha n összetett, akkor maga a szám is összetett. Ezeket a számokat Mersenne-számoknak nevezik, mert alaposan tanulmányozta őket.

De nem minden 2 n - 1 alakú szám, ahol n prím, prím. Például 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Ezt először 1536-ban fedezték fel.

Sok éven át az ilyen számok biztosították a matematikusok számára a legnagyobb ismert prímszámokat. Azt, hogy az M 19-et Cataldi bizonyította 1588-ban, és 200 évig ez volt a legnagyobb ismert prímszám, amíg Euler be nem bizonyította, hogy az M 31 is prímszám. Ez a rekord még száz évig kitartott, majd Lucas megmutatta, hogy az M 127 prím (és ez már 39 számjegyből áll), majd ezután a számítógépek megjelenésével folytatódott a kutatás.

1952-ben bebizonyosodott az M 521, M 607, M 1279, M 2203 és M 2281 számok elsődlegessége.

2005-ig 42 Mersenne-prímszámot találtak. Közülük a legnagyobb, az M 25964951, 7816230 számjegyből áll.

Euler munkája óriási hatással volt a számelméletre, beleértve a prímszámokat is. Kiterjesztette Fermat kis tételét és bevezette a ?-függvényt. Faktorizálta az 5. Fermat-számot 2 32 +1, talált 60 pár baráti számot, és megfogalmazta (de nem tudta bizonyítani) a másodfokú reciprocitás törvényét.

Ő volt az első, aki bevezette a matematikai elemzés módszereit és kidolgozta az analitikus számelméletet. Bebizonyította, hogy nem csak a harmonikus sorozat? (1/n), hanem a forma sorozata is

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

A prímszámok reciprokainak összegével kapott eredmény is divergál. A harmonikus sorozat n tagjának összege megközelítőleg log(n)-ként nő, a második sorozat pedig lassabban tér el log[ log(n) ]-ként. Ez azt jelenti, hogy például az összes eddig talált prímszám reciproka összege csak 4-et ad, bár a sorozat továbbra is eltér.

Első pillantásra úgy tűnik, hogy a prímszámok egészen véletlenszerűen oszlanak el az egész számok között. Például a 100 szám között közvetlenül az 10000000 előtt 9 prím van, a közvetlenül ez utáni 100 számban pedig csak 2. De nagy szegmenseken a prímszámok meglehetősen egyenletesen oszlanak el. Legendre és Gauss terjesztésük kérdéseivel foglalkozott. Gauss egyszer azt mondta egy barátjának, hogy minden szabad 15 percben mindig megszámolja a következő 1000 szám prímszámait. Élete végére az összes prímszámot megszámolta 3 millióig. Legendre és Gauss egyformán kiszámította, hogy nagy n esetén a prímsűrűség 1/log(n). Legendre megbecsülte a prímszámok számát az 1 és n közötti tartományban as

?(n) = n/(log(n) - 1,08366)

Gauss pedig olyan, mint egy logaritmikus integrál

?(n) = ? 1/log(t)dt

2-től n-ig terjedő integrációs intervallummal.

Az 1/log(n) prímsűrűségre vonatkozó állítást Prím eloszlási tételként ismerjük. Ezt próbálták bizonyítani a 19. század során, és Csebisev és Riemann előrelépést ért el. Összekötötték a Riemann-hipotézissel, amely a Riemann-zéta-függvény nulláinak eloszlásáról szóló máig bizonyítatlan hipotézis. A prímszámok sűrűségét Hadamard és Vallée-Poussin egyszerre bizonyította 1896-ban.

A prímszámelméletben még mindig sok megválaszolatlan kérdés van, amelyek közül néhány több száz éves:

• Az ikerprím hipotézis végtelen számú prímszámpárról szól, amelyek 2-vel különböznek egymástól
• Goldbach-sejtés: bármely 4-gyel kezdődő páros szám ábrázolható két prímszám összegeként
• Van-e végtelen számú n 2 + 1 alakú prímszám?
• Mindig találhatunk prímszámot n 2 és (n + 1) 2 között? (azt, hogy n és 2n között mindig van prímszám, Csebisev bizonyította)
• A Fermat-prímek száma végtelen? Vannak Fermat prímszámok 4 után?
• létezik-e egy adott hosszúságú egymást követő prímszámok számtani sorozata? például a 4-es hosszhoz: 251, 257, 263, 269. A maximális talált hossz 26.
• Van-e végtelen számú három egymást követő prímszámból álló halmaz egy aritmetikai sorozatban?
• n 2 - n + 41 – prímszám 0-hoz? n? 40. Van-e végtelen számú ilyen prímszám? Ugyanez a kérdés az n 2 - 79 n + 1601 képletre. Ezek a számok prímszámok 0-ra? n? 79.
• Van végtelen számú n# + 1 alakú prímszám? (n# az összes n-nél kisebb prímszám szorzatának eredménye)
• Van végtelen számú n# -1 alakú prímszám?
• Van végtelen számú n alakú prímszám? + 1?
• Van végtelen számú n alakú prímszám? – 1?
• ha p prím, akkor 2 p -1 mindig nem tartalmaz prímnégyzeteket a tényezői között?
• a Fibonacci sorozat végtelen számú prímszámot tartalmaz?

A legnagyobb ikerprímszámok a 2003663613? 2 195000 ± 1. 58711 számjegyből állnak, és 2007-ben kerültek elő.

A legnagyobb (n! ± 1 típusú) faktoriális prímszám 147855! - 1. 142891 számjegyből áll, és 2002-ben találták.

A legnagyobb elsődleges prímszám (n# ± 1 alakú szám) 1098133# + 1.

Segíthetsz és utalhatsz át pénzt az oldal fejlesztésére



Prímszámok egynél nagyobb egész számok, amelyeket nem lehet két kisebb szám szorzataként ábrázolni. Tehát a 6 nem prímszám, mert 2x3 szorzataként ábrázolható, az 5 pedig prímszám, mert csak 1x5 vagy 5x1 lehet két szám szorzataként ábrázolni. Ha több érméje van, de nem tudja mindet téglalap alakba rendezni, hanem csak egyenes vonalba tudja rendezni, akkor az érmék száma prímszám.

Végtelen számú prímszám

Vannak, akik úgy gondolják, hogy a prímszámok nem érnek semmit mély tanulás, de alapvetőek a matematikában. Minden szám egyedi módon ábrázolható prímszámokként egymással szorozva. Ez azt jelenti, hogy a prímszámok "szorzás atomjai", kis részecskék, amelyekből valami nagyot lehet építeni.

Mivel a prímszámok az egész számok építőkövei, amelyeket szorzással kapunk, sok egész probléma prímszám-feladatra redukálható. Hasonlóképpen, a kémia egyes problémái megoldhatók atomi összetétellel kémiai elemek, részt vesz a rendszerben. Így, ha véges számú prímszám lenne, egyszerűen egyenként ellenőrizhető a számítógépen. Kiderült azonban, hogy végtelen számú prímszám létezik pillanatnyilag A matematikusok nem értenek jól.

Eukleidész görög matematikus bebizonyította, hogy végtelen számú prímszám létezik. Ha van bizonyos számú prím, például p1,...pn, akkor figyelembe veheti a p1×...×pn + 1 számot, amely eggyel több, mint az összes prímszám egymással szorozva. Ez a szám nem lehet a listán szereplő p1,...pn számok szorzata, de határozottan nagyobb 1-nél. elsődleges tényezők prímszámoknak kell lenniük, amelyek nem szerepelnek a listában. Ha új prímszámokat ad hozzá a listához, és megismétli ugyanazokat a lépéseket, mindig találhat legalább egy új prímszámot. Ezért végtelen számú prímszámnak kell lennie.

Tanulmányok története

Senki sem tudja biztosan, melyik társadalomban vették először figyelembe a prímszámokat. Olyan régóta tanulmányozták őket, hogy a tudósoknak nincs feljegyzésük ezekből az időkből. Vannak arra vonatkozó javaslatok, hogy egyes korai civilizációk valamilyen módon megértették a prímszámokat, de az első valódi bizonyíték erre az egyiptomi papiruszfeljegyzésekből származik, amelyeket több mint 3500 évvel ezelőtt készítettek.

Valószínűleg az ókori görögök voltak az elsők, akik a prímszámokat tudományos érdeklődésre számot tartó tárgyként tanulmányozták, és úgy vélték, hogy a prímszámok fontosak a tisztán absztrakt matematika szempontjából. Euklidész tételét még mindig tanítják az iskolákban, pedig már több mint 2000 éves.

A görögök után a 17. században ismét komoly figyelmet fordítottak a prímszámokra. Azóta sok híres matematikus jelentős mértékben hozzájárult a prímszámok megértéséhez. Pierre de Fermat számos felfedezést tett, és híres Fermat utolsó tételéről, egy 350 éves prímszámokkal kapcsolatos problémáról, amelyet Andrew Wiles 1994-ben oldott meg. Leonhard Euler a 18. században számos tételt bebizonyított, a 19. században pedig Carl Friedrich Gauss, Pafnutius Chebisev és Bernhard Riemann érte el a jelentős áttörést, különösen a prímszámok eloszlását illetően. Mindez a máig megoldatlan Riemann-hipotézisben csúcsosodott ki, amelyet gyakran az egész matematika legfontosabb megoldatlan problémájának neveznek. A Riemann-hipotézis lehetővé teszi a prímszámok megjelenésének nagyon pontos előrejelzését, és részben azt is megmagyarázza, hogy miért olyan nehézek a matematikusok számára.

Gyakorlati alkalmazások

A prímszámoknak rengeteg felhasználása van mind a matematika területén, mind azon túl. Manapság szinte minden nap használnak prímszámokat, bár a legtöbben nincsenek tisztában vele. A prímszámok azért fontosak a tudósok számára, mert ezek a szorzás atomjai. Sok absztrakt szorzási probléma megoldható lenne, ha az emberek többet tudnának a prímszámokról. A matematikusok gyakran egy problémát több apróra bontanak, és a prímszámok segíthetnének ebben, ha jobban megértenék őket.

A matematikán kívül a prímszámok fő felhasználási területei a számítógépek. A számítógépek minden adatot nullák és egyesek sorozataként tárolnak, amelyek egész számként fejezhetők ki. Sok számítógépes program megszorozza az adatokhoz kötött számokat. Ez azt jelenti, hogy közvetlenül a felszín alatt prímszámok fekszenek. Amikor az ember bármilyen online vásárlást végrehajt, kihasználja azt a tényt, hogy vannak olyan számok szorzásának módjai, amelyeket egy hacker nehéz megfejteni, de a vásárló számára könnyű. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a prímszámoknak nincs különleges jellemzője – különben a támadó bankkártyaadatokhoz juthat.

Új prímszámok keresése

A prímszámok megtalálásának egyik módja a számítógépes keresés. Ha ismételten ellenőrzi, hogy egy szám 2-es, 3-as, 4-es stb. tényező-e, könnyen megállapíthatja, hogy prímszám-e. Ha nem kisebb szám tényezője, akkor prím. Ez valójában egy nagyon időigényes módszer annak kiderítésére, hogy egy szám prímszám-e. Vannak azonban hatékonyabb módszerek ennek meghatározására. Ezeknek az algoritmusoknak az egyes számokra vonatkozó hatékonysága egy 2002-es elméleti áttörés eredménye.

Elég sok prímszám van, tehát ha vesszük nagy számbanés adjunk hozzá egyet, akkor egy prímszámba botlhatunk. Valójában sok számítógépes program arra támaszkodik, hogy a prímszámokat nem túl nehéz megtalálni. Ez azt jelenti, hogy ha véletlenszerűen választ ki egy 100 jegyű számot, a számítógép néhány másodpercen belül megtalálja a nagyobb prímszámot. Mivel az univerzumban több a 100 jegyű prímszám, mint ahány atom, valószínű, hogy senki sem fogja biztosan tudni, hogy egy szám prímszám.

A matematikusok jellemzően nem a számítógépen keresik az egyes prímszámokat, de nagyon érdeklik őket a speciális tulajdonságú prímszámok. Két probléma ismert: van-e végtelen számú olyan prímszám, amely eggyel nagyobb, mint a négyzet (ez például a csoportelméletben számít), és hogy van-e végtelen számú olyan prímszámpár, amelyek különböznek egymástól 2-vel.

A prímszámok titkai

Annak ellenére, hogy a prímszámokat több mint három évezrede tanulmányozzák, és egyszerű leírásuk van, meglepően keveset tudunk még mindig a prímszámokról. Például a matematikusok tudják, hogy az egyetlen prímszámpár, amelyek eggyel különböznek egymástól, a 2 és a 3. Nem ismert azonban, hogy van-e végtelen számú olyan prímszámpár, amelyek 2-vel különböznek egymástól. de ez még nem bizonyított. Ez egy olyan probléma, amely egy iskolás korú gyereknek megmagyarázható, de a legnagyobb matematikai elmék már több mint 100 éve fejtörést okoznak.

A prímszámokkal kapcsolatos legérdekesebb kérdés gyakorlati és elméleti szempontból egyaránt arra vonatkozik, hogy hány prímszámnak melyik tulajdonsága van. A legegyszerűbb kérdésre - hogy hány egy bizonyos méretű prímszám van - elméletileg a Riemann-hipotézis megoldásával kaphatjuk meg a választ. A Riemann-hipotézis bizonyítására további ösztönzést jelent az Clay Mathematics Institute által felajánlott 1 millió dolláros jutalom, valamint minden idők legkiválóbb matematikusai között a kitüntető hely.

Ma már jó módszerek vannak arra, hogy kitaláljuk, mi lesz a helyes válasz sok ilyen kérdésre. Jelenleg a matematikusok találgatásai minden numerikus kísérleten átmennek, és elméleti alapon támaszkodhatunk rájuk. A tiszta matematika és a számítógépes algoritmusok működése szempontjából azonban rendkívül fontos, hogy ezek a találgatások valóban helyesek legyenek. A matematikusok csak a vitathatatlan bizonyítékokkal lehetnek teljesen elégedettek.

A gyakorlati alkalmazás legnagyobb kihívása egy szám összes prímtényezőjének megtalálása. Ha a 15-ös számot veszed, gyorsan megállapíthatod, hogy 15=5x3. De ha veszünk egy 1000 jegyű számot, akkor annak összes főtényezőjének kiszámítása még a világ legerősebb szuperszámítógépének is több mint egymilliárd évig tart. Az internet biztonsága nagymértékben függ az ilyen számítások összetettségétől, ezért a kommunikáció biztonsága szempontjából fontos tudni, hogy valaki nem tudja egyszerűen csak gyorsan kitalálni a legfontosabb tényezőket.

Modern kutatás

Annak ellenére, hogy ez a téma régi, és sok híres matematikust érintett a történelem során, még mindig aktuális. A tudósok nem tudják, hogy létezik-e végtelen számú prímszámpár, például 3 és 5, amelyek 2-vel különböznek egymástól. Ez egy ismert megoldatlan probléma. Ethan Zhang matematikus jelentős áttörést ért el ebben a problémában. 2013 elején a tudósok nem tudták, hogy van-e végtelen számú prímszámpár egymás 1 kvintillióján belül, vagy bármely 1 kvintilliónál nagyobb számhoz, függetlenül annak nagyságától. A Zhang munkáján alapuló elméleti fejlesztéseknek köszönhetően a matematikusok tudják, hogy végtelen számú prímszám létezik, amelyek legfeljebb 246-tal különböznek egymástól. A 246-os szám jóval nagyobb kettőnél, de észrevehetően kisebb a végtelennél.

Ahelyett, hogy a közelben lévő prímszámokat keresné, megkeresheti azokat, amelyek távol vannak egymástól a számegyenesen. Ebben a problémában több mint 75 év után először 2014 elején történt figyelemre méltó elméleti áttörés, amikor az Oxfordi Matematikai Intézet kutatói megoldották Erdős egyik problémáját. A prímszámokkal kapcsolatos Erdős-problémák másik két érdekes megoldását Bob Hough és Terence Tao végezte, akiknek munkája Kaisa Matomaki és Maxime Rajwill 2014-es újabb áttörésére épített. Harald Gelfgott és David Platt végül bebizonyította Goldbach gyenge hipotézisét, amely több száz évnyi különféle felfedezést tetőzött. A matematikusok hozzászoktak, hogy tíz évet várjanak, hogy jelentős eredményt érjenek el a prímszámok terén, ezúttal azonban féltucatnyi ilyen eredményt kaptak az elmúlt három évben.

Prímszámok a jövőben

Lehetetlen most megmondani, hogy a jövőben hogyan fogják használni a prímszámokat. A tiszta matematika (például a prímszámok tanulmányozása) többször talált olyan alkalmazásokat, amelyek az elmélet kidolgozásakor teljesen valószínűtlennek tűnhettek. Újra és újra az akadémiai érdeklődés hóbortjainak tartott, a való világ számára alkalmatlan ötletek meglepően hasznosnak bizonyultak a tudomány és a technológia számára. Godfrey Harold Hardy, a 20. század elejének híres matematikusa azzal érvelt, hogy a prímszámoknak nincs valódi haszna. Negyven évvel később felfedezték a prímszámokban rejlő lehetőségeket a számítógépes kommunikációban, és ma már létfontosságúak az internet mindennapi használatában.

Mivel az egész számokat érintő problémák középpontjában a prímszámok állnak, és az egész számok folyamatosan jelennek meg benne igazi életet, a prímszámok széles körben elterjedtek a jövő világában. Ez különösen igaz, mivel az internet áthatja az életet, és a technológia és a számítógépek minden eddiginél nagyobb szerepet játszanak.

Úgy gondolják, hogy a számelmélet és a prímszámok bizonyos vonatkozásai messze túlmutatnak a tudomány és a számítógépek keretein. A zenében a prímszámok magyarázatot adnak arra, hogy egyes összetett ritmusminták miért ismétlődnek sokáig. Ezt néha a modern klasszikus zenében használják egy adott hanghatás elérése érdekében. A Fibonacci-szekvencia rendszeresen előfordul a természetben, és a feltételezések szerint a kabócák néhány éven át hibernáltak, hogy evolúciós előnyre tegyenek szert. Azt is javasolják, hogy a prímszámok rádióhullámokon történő továbbítása lenne a legjobb módja az idegen létformákkal való kommunikáció megkísérlésének, mivel a prímszámok teljesen függetlenek minden nyelvfogalomtól, de elég összetettek ahhoz, hogy ne tévesszék össze őket valami eredményével. be tiszta forma fizikai természetes folyamat.

Önkormányzati költségvetés oktatási intézmény

Abakan város

"Átlagos középiskola 19"

Matematika

A prímszámok egyszerűek

Lysova

Elmira,

6 B osztály

Felügyelő:

Bykovszkaja

Irina Szergejevna,

matek tanár

KÓD ________________________________________

Matematika

A PRÍMSZÁMOK EGYSZERŰEK

TARTALOMJEGYZÉK:

Bevezetés

1. fejezet . Prímszámok

1.1. Prímszám definíciója.

1.2. Prímszámok sorozatának végtelensége.

1.3. A legnagyobb prímszám.

1.4. Prímszámok meghatározásának (keresésének) módszerei.

2. fejezet A prímszámelmélet alkalmazása

2.1. Példák híres szovjet tudósok prímszámelméleti állításaira.

2.2.Példák a prímszámok elméletének számos problémájára.

2.3. Alkalmazott feladatok (1. sz., 2. sz.)

2.4.Feladatok a prímszámok törvényeinek alkalmazásáról (3. sz., 4. sz.)

2.5. Varázslatos négyzetek.

2.6.A prímszámok törvényének alkalmazása különböző területeken

Következtetés

Alkalmazás

"Harmónia van a világban,

és ez a harmónia számokban fejeződik ki"

Pythagoras.

BEVEZETÉS

A matematika csodálatos. Valóban, látott-e már valaki a saját szemével számot (nem három fát és nem három almát, hanem magát a 3-ast). Egyrészt a szám egy teljesen elvont fogalom. De másrészt minden, ami a világban történik, ilyen vagy olyan mértékben mérhető, és ezért számokban ábrázolható

A matematika órákon a „Próm- és összetett számok” témakör tanulmányozása közben érdeklődtem a prímszámok, előfordulásuk története és megszerzésük módja iránt. A könyvtárhoz és az internethez fordultam, ahol beszereztem a szükséges irodalmat. Alapos tanulmányozása után rájöttem, hogy sok érdekes információ található a prímszámokról. A körülbelül két és fél ezer éve bevezetett prímszámok váratlanra találtak gyakorlati alkalmazása egészen nemrég. Rájöttem, hogy léteznekA prímszámok törvényeit egy képlet fejezi ki, de a számelméletben számos probléma merül fel.Annak ellenére, hogy ma a számítógépek és a legmodernebb információs programok korát éljük, a prímszámokkal kapcsolatos rejtvények sokaságát még nem sikerült megfejteni.A nyílt törvények ismerete lehetővé teszi minőségileg új megoldások létrehozását számos területen, amelyek mind a tudósok, mind a hétköznapi polgárok számára érdekesek. A téma engem is érdekelt.Objektum a kutatás pusztán absztrakt fogalom –prímszám . Téma a prímszámok tanulmányozását szolgálta: a prímszámok elmélete, meghatározásuk módszerei, érdekes felfedezések ezen a területen és azok gyakorlati alkalmazásában.

Cél Az én feladatom a prímszámok megértésének bővítése. Meghatározva a következő feladatokat:

megismerkedjen a prímszámok elméletének fejlődéstörténetével,

forma általános elképzelés a prímszámok megtalálásának módjairól,

megtudhatja a szovjet tudósok érdekes eredményeit a prímszámelmélet területén,

vegye figyelembe a prímszámelmélet néhány problémáját,

ismerkedjen meg a prímszámelmélet alkalmazásával a különböző területeken,

megértse a prímszámok természetes sorozatoktól való elkülönítésének elvét az „Eratosthenes szita” módszerrel 100-ig; 1000,

tanulmányozza a prímszámok használatát feladatokban.

ÉN. PRÍMSZÁMOK

1. Prímszám fogalma

A prímszámok a matematikusok egyik csodája. Egy, kettő, három... Ezekkel a szavakkal belépünk a számok földjére, ennek nincsenek határai. A laposnak tűnő, közeli számok közelebbi megismerkedésükkor belső hevükkel perzselnek fel, mélységre tesznek szert.

Ismerjük a faktoring számokat általános iskola. A közös nevező megtalálásakor figyelembe kell venni a kifejezések nevezőit. A törtek csökkentésekor faktorozni kell. Az aritmetika egyik alapvető állítása, hogy minden természetes szám egyedi módon faktorizálható.

72 = 2x2x2x3x3

1001 = 7 x 11 x 13

A számok prímtényezőkké alakítása azt mutatja, hogy minden szám vagy prím, vagy két vagy több prímszám szorzata. Ezért azt mondhatjuk, hogy a prímszámok a természetes számok alkotóelemei, mint a téglák, amelyekből a szorzás hatására minden egész szám keletkezik.

A prímszám olyan természetes szám, amelynek csak két különböző osztója van (maga a szám és az 1).

Néhány érdekes tény.

1. szám sem nem prímszám, sem nem összetett szám.

Az egyetlen páros szám, amely a „prímszámok” csoportba tartozik balszerencse. Más páros szám egyszerűen nem kerülhet ide, hiszen definíció szerint önmagán és egyen kívül ez is osztható kettővel.

A prímszámok nem véletlenszerűen jelennek meg a természetes sorozatban, ahogyan első pillantásra tűnhet. Gondosan elemezve őket, azonnal észrevehet számos, a legérdekesebb funkciótszámok - "ikrek" - prímszámok, amelyek különbsége 2.Azért hívják őket így, mert egymás mellett voltak, csak páros szám választotta el egymástól (öt és hét, tizenhét és tizenkilenc). Ha alaposan megnézi őket, észre fogja venni, hogy ezeknek a számoknak az összege mindig három többszöröse. A közös elemű ikerpárok prímszámpárokat alkotnak - „ikrek” (három és öt, ötés hét).

1. Prímszámok sorozatának végtelensége.

A prímszámok szabálytalan eloszlása ​​az összes természetes szám között régóta feltűnő. Észrevettük, hogy ahogy a kis számtól a nagyobb felé haladunk, a prímszámok egyre ritkábban jelennek meg a természetes sorozatban. Tehát az egyik első kérdés a következő volt: Van-e utolsó prímszám, vagyis van-e vége a prímszámok sorozatának? Kr.e. 300 körül a híres ókori görög matematikus, Eukleidész nemleges választ adott erre a kérdésre. Bebizonyította, hogy minden prímszám mögött ott van egy még nagyobb prímszám, vagyis végtelen számú prímszám van.

Ennek a ténynek a legrégebbi ismert bizonyítéka a ""-ben található (IX. könyv, 20. állítás).

Képzeljük el, hogy a prímszámok száma véges. Szorozzuk meg őket, és adjunk hozzá egyet. Az eredményül kapott szám nem osztható a prímszámok véges halmazával sem, mert az egyikkel való osztás maradéka egyet ad. Ez azt jelenti, hogy a számnak oszthatónak kell lennie olyan prímszámmal, amely nem szerepel ebben a halmazban.

Tehát nem fogadhatjuk el, hogy a prímszámok sorozata véges: ez a feltevés ellentmondáshoz vezet. Így akármilyen hosszú összetett számsorozattal is találkozunk a természetes számok sorozatában, meggyőződhetünk arról, hogy végtelenül nagyobb szám van mögötte.

A matematikusok más bizonyítékokat is kínáltak.

1.3.A legnagyobb prímszám.

Egy dolog biztosnak lenni abban, hogy vannak nagy prímszámok, de egy másik dolog tudni, hogy mely számok prímszámok. Minél nagyobb a természetes szám, annál több számítást kell végezni annak megállapítására, hogy prím-e vagy sem.

Az akkoriban ismert legnagyobb prímszámokról régóta nyilvántartást vezetnek. Az egyik rekordot Euler állította fel a 18. században, ő talált egy prímszámot 2147483647.

A legnagyobb ismert prímszám rekordszám 2009 júniusától az 2 a 43112609 – 1 teljesítményre(nyitva Cooper, az Egyesült Államok Közép-Missouri Egyeteméről A). 12 978 189 darabot tartalmaz és egyszerű. Ennek a tudósnak köszönhetően a Mersenne-prímek régóta tartják a rekordot, mint a legnagyobb ismert prímszámok. Az azonosításukhoz 75 nagy teljesítményű számítógépre volt szükség.

Az űrlap számai: 2 n mínusz 1 hatványhoz , ahol n is prímszám, a Mersenne-számokhoz tartoznak. Cooper 2013-ban új matematikai felfedezést tett. Sikerült megtalálnia a világ leghosszabb prímszámát. A következőképpen van leírva -2 az 57885161 - 1 teljesítményre. A szám több mint 17 millió számjegyet tartalmaz. A papírra történő nyomtatáshoz több mint 13 ezer A4-es oldalra lesz szüksége.
Most a Mersenne-prímszámok osztályának új rekordja így van írva2 az 57885161 - 1 teljesítményre , 17425170-et tartalmaz számok Az új rekorder felfedezése Coopernek 3 ezer dollár pénzjutalmat hozott

Az Electronic Frontier Foundation azt is ígéri, hogy 150 és 250 ezer dollárt adományoz azoknak, akik 100 millió és egymilliárd karakterből álló prímszámokat mutatnak be a világnak.

1. Prímszámok meghatározásának (keresésének) módszerei.

a) Eratoszthenész szita.

A prímszámok megtalálásának különböző módjai vannak. Az első ember, aki a „prímszámok természetes számok halmazából való felírásának” problémájával foglalkozott, a nagy ókori görög matematikus, Eratoszthenész volt, aki majdnem 2300 évvel ezelőtt élt. Ezt a módszert találta ki: felírta az összes számot egytől valamilyen számig, majd áthúzott egyet, ami nem prím és nem is összetett szám, majd egyen áthúzta a 2 után következő számokat (azokat, amelyek kettő többszörösei, azaz 4,6,8 stb.). A 2 utáni első szám 3 volt. A kettő után a három után következő számokat (azokat a számokat, amelyek a 3 többszörösei, azaz a 6, 9, 12 stb.) áthúzták, csak a prímszámok maradtak áthúzatlanul ki: 2, 3, 5, 7, 11, 13,….

Így Eratoszthenész feltalált egy módszert, amellyel az összes prímszámot 1-től egy bizonyos számig ki lehetett szűrni úgy, hogy az egyes prímszámok többszöröseit elkülönítették. Ezt a módszert Eratoszthenész szitájának nevezik. - a megtalálás legegyszerűbb módja kezdeti lista prímszámok egy bizonyos értékig.

A görögök viasszal bevont táblákra vagy papiruszra jegyeztek, és a számokat nem áthúzták, hanem tűvel szúrták ki, majd a számítások végén lévő táblázat szitára emlékeztetett.

Fel lehet ismerni egy prímszámot, ahogy mondják, első látásra? Ha egyszerre sok számot kanalazunk egy szitába, vajon aranyrögként csillog-e köztük az egyszerű? Vannak, akik úgy gondolják. Például gyakran 1-re végződő számokat keres, például 11, 31, 41. Azonban ügyeljen arra, hogy ne tévessze össze a hamis aranyat a tiszta arannyal, például 21-et vagy 81-et. a számok mérete nő, a végén lévő egység egyre jobban félrevezet bennünket. Még úgy tűnik, hogy a prímszámok végül egyszerűen eltűnnek, ahogy néhány ókori görög hitte.

b) Táblázatok összeállítása „Eratosthenes szita” módszerrel

a) Az Eratoszthenész szitáját, mint elméleti kutatási módszert a számelméletben, 1920-ban V. Brun norvég matematikus vezette be. Ezzel a módszerrel a tudósok 1 és 12 000 000 közötti prímszámok táblázatait állították össze.

A prímszámtáblázat összeállításának igazi hőse Jakub Filip Kulik (1793-1863), a prágai cseh egyetem professzora.

Mivel nem tervezte, hogy kinyomtassa munkáját, összeállított egy táblázatot a számok osztóiról első százmillió, pontosabban számok 100 320 201-ig, és a Bécsi Tudományos Akadémia könyvtárában helyezte el az ezen a területen dolgozók rendelkezésére.

Matematika órán a tankönyv légylapján található táblázatot használjuk 1000-en belül.

c) Táblázatok összeállítása számítástechnika segítségével

A számítástechnika bevezetése az elméleti és alkalmazott matematikába jelentősen megkönnyítette a munkaigényes számításokkal kapcsolatos problémák megoldását.

A kellően összetett számítógépek memóriája bármilyen méretű táblázatos adat tárolására képes, de a személyi számológépek még nem rendelkeznek ilyen képességekkel. Ezért a matematikusok továbbra is a kompakt és kényelmes táblázatok összeállításának problémáin dolgoznak, különösen a számok elemzésére.

A számítógépek ilyen célú felhasználása igen jelentős előrelépést tett lehetővé. Például egy modern számtáblázat, amelynek összeállításához számítástechnikát vontak be, lefedi a számokat 10 000 000-ig. Ez egy elég terjedelmes könyv.

A gyakorlatban a prímszámok listája helyett gyakran azt szeretnénk ellenőrizni, hogy egy adott szám prím-e. A problémát megoldó algoritmusokat ún .

Speciális algoritmusok használata egy szám prímségének meghatározására (prímszám-e?) lehetővé teszi, hogy prímszámot keressünk a természetes számsor meghatározott határain belül.

e) Az évszázad felfedezése – A prímszámok törvénye

Már az ókorban is érdekelte a tudósokat az a kérdés, hogy a prímszámok milyen törvény szerint vannak elrendezve a természetes sorozatban. Az orosz Pitagorasz, Vlagyimir Hrenov sokkot okozott a tudományos világban a prímszámok törvényének felfedezésével. Ez a törvény nemcsak a matematikát téríti vissza a helyes útra, hanem számos természeti törvényt is megmagyaráz a világ valódi megismerésének szemszögéből.orosz zseni,Vlagyimir Hrenovtudományos felfedezést tett , amely megdönti az idő és a tér meglévő felfogását , Mia prímszámok nem káoszt.

A prímszámokat a következő képlettel kapjuk meg: „6X plusz vagy mínusz 1”, ahol X bármely természetes szám.

13=6 *2-1; 13=6 *2-1; 19=6 *3+1; 31=6 *5+1;

A felfedezésre 2000. április 30-án került sor. Krisztus feltámadásának évfordulós húsvétja volt. Jelentős dátum. Ezen a napon tárult fel a valós tér és idő valódi modellje. 2001. január 7-én írták le a prímszámok törvényét, és ezzel együtt a természetes sorozatban szereplő összes szám kialakulásának mintázatát. Tehát a prímszámok törvényének felfedezése után világossá vált, hogy plegység - térszínvonal,hat - az idő mércéje, valamint a tér és idő két mércéje együtt teremti meg a természet sokféleségét, és mindennek örök kiváltó oka. Most, a prímszámok törvényének felfedezése után világossá vált, hogy ezek képezik a 7-es szám varázslatának tudományos alapját.Ennek a törvénynek nemcsak kolosszális világnézete van, hanem új generációs információbiztonsági technológiák létrehozását teszi lehetővé ezen az elméleten alapulva.Új létrehozásához új prímszámra van szükség. Ezért fizetnek olyan hatalmas összegeket a matematikusoknak, akik felfedezték.

PRÍMSZÁMELMÉLET ALKALMAZÁSA

1. Példák híres szovjet tudósok prímszám-elméletének néhány kijelentésére a prímszámok elméletéről.

Bár több mint kétezer év telt el Eukleidész óta, semmi újat nem adtak elméletéhez. A természetes sorozat prímszámai rendkívül szeszélyesen vannak elrendezve. Azonban van a prímszámokhoz kapcsolódó rejtvények hatalmas száma.

Nagy eredményeket értek el a prímszámok tanulmányozása terén az orosz és a szovjet matematikusok. Érdekeltek azok az egyszerű és egyben elképesztő kijelentések, amelyeket híres szovjet tudósok bizonyítottak ezen a területen. Megvizsgáltam őket, és számos példát hoztam, amelyek megerősítették az állítások igazságtartalmát.

P.L. Csebisev (1821-1894) bizonyított mi van bárki között természetes szám 1-nél nagyobb, és a megadott szám kétszerese, mindig van legalább egy prímszám.

Tekintsük a következő prímszámpárokat, amelyek teljesítik ezt a feltételt.

Példák:

a 4 pedig a 3-as prímszám.

a 6 pedig az 5-ös prímszám.

10 és 20 prímszámok 11; 13; 17; 19.
Az 5 és a 10 a 7-es prímszám.

7 és 14 prímszámok 11; 13.

11 és 22 prímszámok 13; 17; 19.

Következtetés: Valójában minden 1-nél nagyobb természetes szám és a kétszeresénél nagyobb szám között van legalább egy prímszám.

Christian Goldback, a Szentpétervári Tudományos Akadémia tagja közel 250 évvel ezelőtt javasolta Bármely 5-nél nagyobb páratlan szám ábrázolható három prímszám összegeként.

Példák:

21 = 3 + 7 + 11,

37 = 17 + 13 + 7,

23= 5 + 7 + 11,

29= 11 + 13 + 5,

Vinogradov IM. (1891-1983), szovjet matematikus csak 200 évvel később bizonyította ezt a javaslatot.

7 = 2 + 2 + 3, 15 = 3 + 5 + 7 = 5 + 5 + 5,

9 = 3+3 + 3, 20 = 7 + 11 + 2.

De az állítás « Bármely 2-nél nagyobb tiszta páros szám ábrázolható két prímszám összegeként » még mindig nem bizonyított .

Példák:

28= 11 + 17, 924 = 311 + 613,

56= 19 + 37, 102 = 59 + 43.

2.2 Példák a prímszámelmélet számos problémájára.

A prímszámok eloszlásának mintázatának hiányának problémája az ókori görög matematikusok kora óta foglalkoztatja az emberiséget. Eukleidésznek köszönhetően tudjuk, hogy végtelenül sok prímszám létezik. Erastophenes és Sundaram javasolta az első algoritmusokat a számok elsődlegességének vizsgálatára. Euler, Fermat, Legendre és sok más híres matematikus megpróbálta és próbálja megfejteni a prímszámok rejtvényét. A mai napig számos elegáns algoritmust és mintát találtak és javasoltak, de mindegyik csak prímszámok véges sorozatára vagy egy speciális típusú prímszámra alkalmazható. A tudomány élvonalát a végtelen prímszámok vizsgálatában tekintik a bizonyítéknak. Bejön , melynek bizonyítására vagy cáfolatára a Clay Mathematical Institute 1 000 000 dollár díjat ajánlott fel.

A leghíresebb prímszám-feladatokat az ötödiken soroltuk fel. Ma a tudósok 23 problémáról beszélnek.

Ezek közül 4-et tudtam figyelembe venni, és mindegyik problémára számos példát adtam.

Landau első problémája (Goldbach problémája):

bizonyítani vagy cáfolni:

Minden 2-nél nagyobb páros szám két prímszám összegeként, minden 5-nél nagyobb páratlan szám pedig három prímszám összegeként ábrázolható.

Példák :

8 = 3+5,

12 = 5+7,

16=13 +3, 17= 11+3+3,

24=19+5, 21=11+7+3

50 = 13+37

Landau második problémája (Goldbach problémája):

Létezik-e végtelen számú „prím-ikrek” - olyan prímszámok, amelyek különbsége 2?

a) Határozza meg a következő „iker” számokat:

3. és 5.; 5. és 7.; 7. és 9.; 11. és 13., 17. és 19.; 41. és 43.;

b). Az ikerpárok ikrekből állnak, akiknek közös elemük van. Sikerült megtalálnom a következő ikerpárokat - „doppelgangers”

Megoldás:

(3, 5) és (5, 7);

Ismeretes, hogy végtelen számú prímszám létezik. De persze senki sem tudja, vagy végtelenül sok ikerpár.

Landau harmadik problémája (sejtés)

Igaz-e, hogy az űrlap számai közöttn2 és (n + 1)2Mindig van prímszám?(n – páratlan szám)

Megoldás:

a) mikor n =3, 6-ot és 8-at kapunk, köztük van egy 7-es prímszám.

b) mikor n =5, 10-et és 12-t kapunk, köztük van egy 11-es prímszám.

c) at n =9, 18-at és 20-at kapunk, köztük a 19-es prímszámmal.

4. Landau negyedik problémája:

Van-e az alak prímszámainak végtelen halmaza n2 + 1?

Megoldás:

at n =1, akkor 3; ha n =2, akkor 5; ha n =3, akkor 7-et kapunk

at n =5, akkor 11, n =6 esetén 13; ha n = 8, akkor 17-et kapunk stb.

2.3. Alkalmazott feladatok

1. feladat. Eratoszthenész szitáját használvahatározza meg, hány prímszámot1 és 100 között van.

Megoldás:

Ehhez felírjuk az összes számot 1-től 100-ig. .

A nem prímszámokat áthúzzuk. Húzzuk át az 1-et, mivel ez nem prímszám. Az első prímszám a 2.

Húzzuk alá és húzzuk ki azokat a számokat, amelyek 2 többszörösei, vagyis a 4, 6, 8... 100 számokat, a következő prímszám a 3. Húzzuk alá, és húzzuk ki azokat a számokat, amelyek 3 többszörösei amelyek nincsenek áthúzva, vagyis a 9-es számok? 15, 21...99 Ezután aláhúzzuk az 5-ös prímszámot, és kihúzzuk az összes számot, amelyik többszöröse 5. A számok 25...95. És így tovább, amíg egy prímszám nem marad, a 97.

Következtetés:1 és 100 között 25 vanprímszámok, azaz a 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,43., 47., 53., 59., 61., 67., 71., 73., 79., 83., 89., 97. (1. függelék)

2. feladat. Az 1000-nél kisebb prímszámok listájához „ki kell gyomlálni” a 2-vel, 3-mal, 5-tel, 7-tel, 11-gyel osztható számokat... Melyik számnál lehet megállni?

Megoldás:

Eratoszthenész módszerével hasonlót hajtottam végre

dolgozzon az összetett számok kiszűrésén 1000-ig.

Következtetés: hogy 1000-ig prímszámokat kapjon, megállhat a 31-es prímszámnál (a 31 többszöröseit húzza át). (2. függelék)

2.4.Feladatok a prímszámok törvényeinek alkalmazásával kapcsolatban

3. feladat Hogyan lehet két ellenőrzéssel megmutatni, hogy a 19-es szám prím?

A megoldást a 3. függelék.

4. feladat Hogyan használjunk három ellenőrzést annak bizonyítására, hogy a 47-es szám prím?

A megoldást a 4. függelék.

2.5 Mágikus négyzetek.

Sok érdekes matematikai feladatot szentelnek a prímszámoknak a négyzetmátrixok - mágikus négyzetek - használatában, amelyekben bármely sorban, bármely oszlopban és két fő átlóban lévő elemek összegzése ugyanazt a számot adja.

Az elsőt Henry Ernest Dewdney, egy híres angol rejtvényszakértő találta fel.

Vannak olyan varázsnégyzetek, amelyek csak prímszámokból állnak? Kiderül, hogy igen.

Tanulmányoztam a 3x3, 4x4, 6x6 méretű varázsnégyzeteket. Meghatároztam ezeknek a négyzeteknek az összes sorát, oszlopát és főátlóját. A megoldást a 5. függelék.

minden sor, oszlop és minden főátló mentén. Példákat adok 3x3, 4x4, 6x6 mátrixú négyzetekre.

1

67

43

37

13

61

73

31

7

3

61

19

37

43

31

5

41

7

11

73

29

67

17

23

13

3

1

3

9

9

1

9

8

3

9

2

9

1

6

4

3

1

2

5

1

7

4

7

1

7

1

5

9

7

1

9

3

7

3

3

9

Következtetés:

1. A 3x3-as varázsnégyzet 1-es összege 111 (mellesleg szintén nem prímszám)

2. Van egy 4x4-es varázsnégyzetnek összege?

3. Van egy 6x6-os varázsnégyzet 3-nak összege?

3.4. A prímszámok törvényének alkalmazása különböző területeken.

A prímszámok nemcsak a matematikusok figyelmének tárgyát képezik szerte a világon, hanem régóta sikeresen alkalmazzák őket különféle számsorok összeállításában, amelyek többek között a titkosítás alapját képezik.A jogszabályok ismerete lehetővé tette olyan szabadalmaztatott műszaki megoldások biztosítását az információtovábbítás védelmére, amelyeket a meglévő matematikai alapon egyszerűen lehetetlennek tartottak. A titkosítások létrehozásához prímszámokra van szükség. Előbb-utóbb minden kód titkosítása megszűnik.

Itt a tudósok az egyik legfontosabb részhez fordulnak számítástechnika – a kriptográfiáig. Ha olyan nehéz megtalálni a következő prímszámot, akkor ezek a számok hol és mire használhatók a gyakorlatban? A prímszámok leggyakoribb használata a kriptográfiában (adattitkosítás). A legbiztonságosabb és legnehezebben megfejthető kriptográfiai módszerek a háromszáznál nagyobb számjegyű prímszámok használatán alapulnak.

Megpróbáltam bemutatni azt a problémát, amellyel a visszafejtő szembesül egy bizonyos jelszó visszafejtésekor. Tegyük fel, hogy a jelszó az egyik osztó összetett szám, a megfejtő pedig egy személy. Vegyünk egy számot az első tízből, például 8. Minden (remélem) ember képes mentálisan a 8-as számot egyszerű tényezőkre bontani - 8 = 2*2*2. Bonyolítsuk meg a feladatot: vegyünk egy számot az első százból, például 111-et. Ebben az esetben a 111-et gyorsan eszükbe veszik azok az emberek, akik ismerik egy szám 3-mal oszthatóságának jeleit (ha a szám összege egy szám számjegye 3 többszöröse, akkor ez a szám osztható 3-mal), és valóban - 111=3*37. A feladat bonyolításához vegyünk egy számot az első ezerből, például 1207-et. Egy személynek (gépi feldolgozás használata nélkül) legalább papírra és tollra lesz szüksége ahhoz, hogy megpróbálja elosztani az 1207-es számot „minden” számmal. az őt megelőző prímszámokat. És csak akkor, ha szekvenciálisan végigmegy az 1207 osztásán minden prímszámmal 2-től 17 főig, akkor végül megkapja ennek a számnak a második egész osztóját - 71-et. Az egyszerűség kedvéért azonban a 71-et is ellenőrizni kell.

Világossá válik, hogy a számok bitmélységének növekedésével, például egy ötjegyű számmal - 10001, a lebontás (példánkban a jelszó visszafejtése) gépi feldolgozás nélkül sok időt vesz igénybe. Modern színpad a számítástechnika fejlődése (az átlagos felhasználó számára elérhető) pillanatok alatt lehetővé teszi a hatvan számjegyből álló számok faktorálását.

Gondolj bele, hány életet kell leélnie egy embernek, hogy egy adott számot prímtényezőkbe beépítsen gépek segítsége nélkül!

Ma már csak ! Segítségükkel a tudósok egyre több újdonságot találnak,, prímszámok.

Megtanultam, hogy a nyílt törvények ismerete lehetővé teszi, hogy minőségileg új megoldásokat alkossak a következő területeken:

Rendkívül biztonságos operációs rendszer bankok és vállalatok számára.

A hamisított termékek és bankjegyek elleni küzdelem rendszere.

Távoli azonosítási és járműlopás elleni rendszer.

Rendszer a számítógépes vírusok terjedésének leküzdésére.

A természet nemlineáris számrendszerén alapuló új generációs számítógépek.

Az észlelések harmóniája elméletének matematikai és biológiai alátámasztása.

Matematikai készülékek nanotechnológiához.

KÖVETKEZTETÉS.

Miközben ezen a témán dolgoztam, a következő területeken tudtam bővíteni a prímszámokkal kapcsolatos ismereteimet:

Tanulmányoztam a prímszám-elmélet fejlődésének érdekes aspektusait, megismerkedtem a tudósok általam ezen a területen elérhető új eredményeivel és gyakorlati alkalmazásával,

általános elképzelést alkotott a prímszámok megtalálásáról, elsajátította a prímszámok természetes sorozatokból való elkülönítésének elvét az „Eratosthenes szita” módszerrel 100-ig; 1000,

tanulmányozta a prímszámelmélet alkalmazását feladatokban,

megismerkedett a prímszámelmélet különböző területeken történő alkalmazásával.

A munka írása közben két módszert sikerült elsajátítanom prímszámok sorozatának megszerzésére:

gyakorlati módszer - szitálás (Eratosthenes szita),

analitikai módszer - képlettel való munka (prímszámok törvénye).

A tanulmány részeként:

számos matematikai állítást egymástól függetlenül ellenőrzött értékek helyettesítésével, a helyes matematikai kifejezések megszerzésével,

azonosított egy számsort „Dupla” és „Ikrek”,

számos numerikus kifejezést állított össze, amelyeket Landau problémáiban jeleztek,

Megnéztem, hogy a 3x3, 4x4, 6x6 mátrixú négyzetek varázslatosak,

két feladatot kétféleképpen oldott meg a prímszámok és állítások törvényének felhasználásával.

A téma feldolgozása során meggyőződtem arról, hogy a prímszámok olyan lények maradnak, amelyek mindig készek elkerülni a kutatót. A prímszámok az a „nyersanyag”, amelyből az aritmetika keletkezik, és ebből az anyagból korlátlan a készlet.

Érdeklődni kezdtem a kriptográfia területén dolgozó szakemberek iránt, akikre mostanában nagy igény van titkos szervezetekben. Ők azok, akik egyre több nagy prímszámot találnak, hogy folyamatosan frissítsék a lehetséges kulcsok listáját, és igyekezzenek újabb és újabb mintákat azonosítani a prímszámok eloszlásában. A prímszámok és a kriptográfia a következő témám a prímszámelmélet tanulmányozásában.

Szerintem munka-ben használható tanórán kívüli tevékenységek, szabadon választható órákon 6-7 évfolyamos tanulók számára, tetszik kiegészítő anyag osztályos matematika órákra a témával kapcsolatos üzenetek elkészítésekor. A kutatási téma nagyon érdekes, releváns, tanulmányi határai nincsenek, és széles körű érdeklődést kell felkelteni a hallgatók körében.

Bibliográfia

// . - 1975. - 5. sz. - P. 5-13.

N. Karpushina.

// . - 2010. - 5. sz.