Tekintsük a második derivált fizikai mechanikai jelentését. Másodrendű származék és mechanikai jelentése. Differenciálszámítás alkalmazása

Származék(függvények egy pontban) - a differenciálszámítás alapfogalma, egy függvény változási sebességét jellemzi (adott pontban). Úgy definiálható, mint egy függvény növekményének és argumentuma növekményének arányának határa, mivel az argumentum növekménye nullára hajlik, ha létezik ilyen korlát. Azt a függvényt, amelynek véges deriváltja van (egy ponton), differenciálhatónak nevezzük (ebben a pontban).

Származék. Nézzünk néhány funkciót y = f (x ) két ponton x 0 és x 0 + : f (x 0) és f (x 0+). Itt a keresztül jelöl néhány apró változást az érvelésben, ún argumentumnövekmény; ennek megfelelően a különbség két függvényérték között: f (x 0 + )  f (x 0 ) hívják funkciónövekmény.Származék funkciókat y = f (x ) pontban x 0 limitnek nevezzük:

Ha ez a határ létezik, akkor a függvény f (x ) hívják megkülönböztethető pontban x 0 . Függvény származéka f (x ) jelölése a következő:

A származék geometriai jelentése. Tekintsük a függvény grafikonját y = f (x ):

Az 1. ábrából jól látható, hogy a függvény grafikonjának bármely két A és B pontjára:

ahol az AB szekáns dőlésszöge.

Így a különbség aránya megegyezik a szekáns meredekségével. Ha az A pontot rögzítjük és a B pontot feléje mozgatjuk, akkor korlátlanul csökken, és megközelíti a 0-t, és az AB szekáns megközelíti az AC érintőt. Ezért a különbségi arány határa megegyezik az A pontban lévő érintő meredekségével. Ebből következik: Egy függvény deriváltja egy pontban a függvény grafikonjának érintőjének meredeksége abban a pontban. Ez az, amit geometriai jelentése származéka.

Érintőegyenlet. Vezessük le az A pontban lévő függvény grafikonjának érintőjének egyenletét ( x 0 , f (x 0 )). Általában az egyenes egyenlete lejtős együtthatóval f ’(x 0 ) alakja:

y = f ’(x 0 ) · x + b .

Megtalálni b, Használjuk ki azt a tényt, hogy az érintő átmegy az A ponton:

f (x 0 ) = f ’(x 0 ) · x 0 + b ,

innen, b = f (x 0 ) – f ’(x 0 ) · x 0 , és helyette ezt a kifejezést helyettesíti b, megkapjuk érintő egyenlet:

y =f (x 0 ) + f ’(x 0 ) · ( x – x 0 ) .

A származék mechanikai jelentése. Tekintsük a legegyszerűbb esetet: egy anyagi pont mozgását a koordináta tengelye mentén, és a mozgás törvénye adott: koordináta x mozgó pont - ismert funkciója x (t) idő t. Az időintervallumban től t 0-tól t 0 + a pont elmozdul egy távolságot: x (t 0 + ) x (t 0) = , és ő átlagsebesség egyenlő: v a =  . 0-nál az átlagsebesség egy bizonyos értékre hajlik, amit ún pillanatnyi sebesség v ( t 0 ) lényeges időpontban t 0 . De a származékos definíció szerint a következőket kapjuk:

innen, v (t 0 ) = x' (t 0 ), azaz a sebesség a koordináta deriváltja Által idő. Ez az, amit mechanikai érzék származéka . Hasonlóképpen, a gyorsulás a sebesség deriváltja az idő függvényében: a = v' (t).

8. A származékok és a differenciálási szabályok táblázata

Arról, hogy mi az a származék, a „A származék geometriai jelentése” című cikkben beszéltünk. Ha egy függvényt gráf ad meg, akkor annak deriváltja minden pontban egyenlő a függvény grafikonjának érintőjének az érintőjével. Ha pedig a függvényt egy képlet adja meg, akkor a deriváltak táblázata és a differenciálás szabályai segítenek, vagyis a derivált megtalálásának szabályai.

2. § A származék fogalma.

Legyen a függvény y= f(x) intervallumon definiálva ( a;b). Vegye figyelembe az érv értékét

(a;b) . Adjunk növekményt az érvnek ∆ x 0, így a feltétel ( x 0 +∆ x)

a;b). Jelöljük a megfelelő függvényértékeket y 0-val és y 1-gyel:

y 0 = f(x 0 ), y 1 = f(x 0 +∆ x). Amikor elköltözik x 0 To x 0 +∆ x a függvény növekszik

∆y = y 1 -y 0 = f(x 0 +∆ x) -f(x 0 ). Ha, miközben törekszik ∆ x nullához van egy határ a függvény növekményének arányában ∆y az azt okozó érvnövekményhez ∆ x,

azok. van egy határ

=

,

akkor ezt a határértéket a függvény deriváltjának nevezzük y= f(x) pontban x 0 . Tehát a függvény deriváltja y= f(x) pontban x=x 0 egy függvény növekménye és az argumentum növekménye arányának határa, amikor az argumentum növekménye nullára hajlik. Függvény származéka y= f(x) pontban x szimbólumok jelzik (x) vagy (x). Jelölések is használatosak , , ,. Az utolsó három jelölés azt a tényt hangsúlyozza, hogy a derivált a változóhoz képest történik x.

Ha a funkció y= f(x) egy adott intervallum minden pontjában van deriváltja, akkor ezen az intervallumon a derivált ( x) egy függvény argumentum x.

3. § A származék mechanikai és geometriai jelentése.

A normál és az érintő egyenlete egy függvény grafikonjához.

Ahogy az 1. §-ban látható, egy pont pillanatnyi sebessége a

v = .

De ez azt jelenti, hogy a sebesség v a megtett távolság deriváltja S idő szerint t ,

v =. Így ha a függvény y= f(x) leírja a törvényt egyenes vonalú mozgás anyagi pont ahol y az az út, amelyet egy anyagi pont a mozgás megkezdésének pillanatától az idő pillanatáig megtett x, majd a derivált ( x) határozza meg egy pont pillanatnyi sebességét x. Ez a származék mechanikai jelentése.

Az 1. §-ban a függvény grafikonjának érintőjének szögegyütthatóját is megtaláltuk y= f(x) k= tgα= . Ez az összefüggés azt jelenti, hogy az érintő meredeksége egyenlő a deriválttal ( x). Pontosabban szólva a származék ( x) funkciókat y= f(x) , a következővel egyenlő argumentumértékkel számítva x, egyenlő a függvény grafikonjának érintőjének meredekségével abban a pontban, amelynek abszcissza egyenlő x. Ez a származék geometriai jelentése.

Hagyja a x=x 0 funkció y= f(x) felveszi az értéket y 0 =f(x 0 ) , és ennek a függvénynek a grafikonjának érintője van a koordinátákkal rendelkező pontban ( x 0 ;y 0). Ezután az érintő meredeksége

k = ( x 0). Egy adott ponton adott irányban átmenő egyenes egyenletének felhasználása, amely az analitikus geometria menetéből ismert ( y-y 0 =k(x-x 0)), felírjuk az érintőegyenletet:

Az érintőre merőleges érintőponton áthaladó egyenest a görbe normálisának nevezzük. Mivel a normál merőleges az érintőre, a meredeksége az k normák az érintő meredekségéhez kapcsolódik k az analitikus geometriából a következő összefüggésből ismert: k normák = ─, azaz. a koordinátákkal rendelkező ponton áthaladó normálhoz ( x 0 ;y 0),k normál = ─ . Ezért ennek a normálisnak az egyenlete a következő:

(feltéve, hogy

).

4. § Példák a derivált számításokra.

Egy függvény deriváltjának kiszámítása y= f(x) pontban x, szükséges:

Érv x∆ növekményt ad x;

Keresse meg a ∆ függvény megfelelő növekményét y=f(x+∆x) -f(x);

Alkoss kapcsolatot ;

Keresse meg ennek az aránynak a határát ∆-nél x→0.

4.1. példa. Keresse meg egy függvény deriváltját y=C=állandó.

Érv x∆ növekményt ad x.

Bármi legyen is az x, ∆y=0: ∆y=f(x+∆x) ─f(x)=С─С=0;

Innen =0 és =0, azaz =0.

4.2. példa. Keresse meg egy függvény deriváltját y=x.

∆ y=f(x+∆x) ─f(x)= x+∆x– x=∆ x;

1, =1, azaz =1.

4.3. példa. Keresse meg egy függvény deriváltját y=x 2.

∆ y= (x+∆ x)2–x 2= 2 x∙∆ x+ (∆ x)2;

= 2 x+ ∆ x, = 2 x, azaz =2 x.

4.4. példa. Keresse meg az y=sin függvény deriváltját x.

∆ y=sin( x+∆x) – bűn x= 2sin kötözősaláta( x+);

=

;

=

=cos x, azaz =cos x.

4.5. példa. Keresse meg egy függvény deriváltját y=

.

=

, azaz = .

A SZÁRMAZÉK MECHANIKAI ÉRZÉKE

A fizikából ismert, hogy az egyenletes mozgás törvényének van formája s = v t, Hol s– az út az idő pillanatába utazott t, v– egyenletes mozgás sebessége.

Azonban mivel A természetben előforduló mozgások többsége egyenetlen, akkor általában a sebesség, és ennek következtében a távolság s időtől függ majd t, azaz az idő függvénye lesz.

Tehát, hadd mozogjon egy anyagi pont egyenes vonalban egy irányba a törvény szerint s=s(t).

Jelöljünk meg egy bizonyos időpontot t 0 . Ezen a ponton a pont áthaladt az úton s=s(t 0 ). Határozzuk meg a sebességet v anyagi pont egy időpillanatban t 0 .

Ehhez vegyünk egy másik időpontot t 0 + Δ t. Megfelel a megtett útnak s =s(t 0 + Δ t). Majd egy ideig Δ t a pont bejárta a Δs utat =s(t 0 + Δ t)–s(t).

Nézzük a hozzáállást. Átlagsebességnek nevezzük a Δ időintervallumban t. Az átlagsebesség nem tudja pontosan jellemezni egy pont mozgási sebességét pillanatnyilag t 0 (mert a mozgás egyenetlen). Annak érdekében, hogy ezt a valódi sebességet az átlagsebesség segítségével pontosabban kifejezhessük, rövidebb Δ időtartamra van szükség. t.

Tehát a mozgás sebessége pillanatnyilag idő t 0 (pillanatnyi sebesség) az átlagsebesség határa a -tól tartó intervallumban t 0-tól t 0 +Δ t, amikor Δ t→0:

azok. egyenetlen sebesség ez a megtett távolság deriváltja az idő függvényében.

A DERIVATÍV GEOMETRIAI JELENTÉSE

Először mutassuk be a görbe érintőjének definícióját egy adott pontban.

Legyen egy görbe és egy fix pont rajta M 0(lásd az ábrát). M ezt a görbét, és rajzoljunk egy szekánst M 0 M. Ha a lényeg M elkezd mozogni a görbe mentén, és a pont M 0 mozdulatlan marad, majd a szekáns megváltoztatja a helyzetét. Ha a pont korlátlan közelítésével M görbe mentén egy pontig M 0 bármely oldalon a szekáns hajlamos egy bizonyos egyenes pozícióját elfoglalni M 0 T, majd egyenesen M 0 T a görbe érintőjének nevezzük egy adott pontban M 0.

Hogy., tangens a görbére egy adott pontban M 0 a szekáns határhelyzetének nevezzük M 0 M amikor pont M a görbe mentén egy pontig tart M 0.

Nézzük most a folytonos függvényt y=f(x)és a függvénynek megfelelő görbe. Valamilyen értékben X 0 függvény értéket vesz fel y 0 =f(x 0). Ezek az értékek x 0 és y A 0 a görbén egy pontnak felel meg M 0 (x 0; y 0). Mondjuk az érvet x 0 növekmény Δ X. Az argumentum új értéke megfelel a függvény megnövelt értékének y 0 +Δ y=f(x 0 –Δ x). Értjük a lényeget M(x 0+Δ x; y 0+Δ y). Rajzoljunk szekánst M 0 Més jelölje φ-vel azt a szöget, amelyet egy szekáns a tengely pozitív irányával alkot Ökör. Hozzunk létre egy kapcsolatot, és vegyük észre.

Ha most Δ x→0, akkor a Δ függvény folytonossága miatt at→0, és ezért a pont M, görbe mentén haladva korlátlanul közelíti meg a pontot M 0. Aztán a szekánt M 0 M hajlamos felvenni a görbe érintőjének helyzetét a pontban M 0, és a φ→α szöget Δ-nél x→0, ahol α az érintő és a tengely pozitív iránya közötti szöget jelöli Ökör. Mivel a tan φ függvény folyamatosan függ φ-től φ≠π/2 esetén, akkor φ→α tan φ esetén → tan α, és ezért az érintő meredeksége:

azok. f "(x)= tg α .

Tehát geometriailag y "(x 0) a függvény grafikonjának érintőjének meredekségét jelenti a pontban x 0, azaz adott argumentumértékhez x, a derivált egyenlő a függvény grafikonjának érintője által alkotott szög érintőjével f(x) a megfelelő ponton M 0 (x; y) pozitív tengelyiránnyal Ökör.

Példa. Keresse meg a görbe érintőjének meredekségét! y = x 2 pontban M(-1; 1).

Korábban már láttuk, hogy ( x 2)" = 2X. De a görbe érintőjének szögegyütthatója tan α = y"| x=-1 = – 2.

A származék geometriai, mechanikai, gazdasági jelentése

A származék definíciója.

Előadás 7-8

Felhasznált irodalom jegyzéke

1 Ukhobotov, V. I. Matematika: oktatóanyag.- Cseljabinszk: Cseljab. állami univ., 2006.- 251 p.

2 Ermakov, V.I. Feladatgyűjtemény a felsőbb matematikában. Tanulmányi útmutató. –M.: INFRA-M, 2006. – 575 p.

3 Ermakov, V.I. Általános tanfolyam felsőbb matematika. Tankönyv. –M.: INFRA-M, 2003. – 656 p.

"Származék" téma

Cél: magyarázza el a derivált fogalmát, nyomon követi a függvény folytonossága és differenciálhatósága közötti kapcsolatot, példákkal mutassa be a deriváltak alkalmazásának alkalmazhatóságát.

Ezt a határt a közgazdaságtanban termelési határköltségnek nevezik.

A származék definíciója. A derivált geometriai és mechanikai jelentése, a gráfot érintő függvény egyenlete.

Rövid válaszra van szüksége (felesleges víz nélkül)

Halott_fehér_hó

A derivált a differenciálszámítás alapfogalma, egy függvény változási sebességét jellemzi.
Geometriai?
Egy függvény érintője egy pontban... .
A függvény növelésének feltétele: f " (x) > 0.
A függvény csökkenésének feltétele: f " (x)< 0.
Inflexiós pont (szükséges feltétel): f " " (x0) = 0.
Konvex felfelé: f " " (x) Konvex le: f " " (x) >0
Normál egyenlet: y=f(x0)-(1/f `(x0))(x-x0)
Mechanikai?
A sebesség a távolság deriváltja, a gyorsulás a sebesség deriváltja, a távolság egy második deriváltja...
Az f függvény grafikonjának érintőjének egyenlete az x0 pontban
y=f(x0)+f `(x0)(x-x0)

Felhasználó törölve

Ha a delta y függvény növekményének delta y és delta x arányának van határa az azt okozó delta x argumentum növekményéhez képest, amikor a delta x nullára hajlik, akkor ezt a határértéket a függvény deriváltjának nevezzük. függvény y = f(x) egy adott x pontban, és y" vagy f "(x) jelöli
Az egyenes vonalú mozgás v sebessége az s út deriváltja a t idő függvényében: v = ds/dt. Ez a származék mechanikai jelentése.
Az y = f(x) görbe érintőjének szögegyütthatója abban a pontban, ahol az abszcissza x nulla, az f"(x nulla) deriváltja. Ez a derivált geometriai jelentése.
Az M zérus pontban lévő érintőgörbe egy M nulla T egyenes, amelynek szögegyütthatója egyenlő a szekáns M nulla M szögegyütthatójának határával, amikor a delta x nullára hajlik.
tg phi = lim tg alfa mint delta x nullára hajlik = lim (delta x / delta y), mivel delta x nullára hajlik
A derivált geometriai jelentéséből az érintőegyenlet a következő alakot veszi fel:
y - y nulla = f"(x nulla)(x - x nulla)

Egy függvény akkor összetett, ha az y = f[φ(x)] függvény függvényeként ábrázolható, ahol y = f(u), аu = φ(x), ahol u egy köztes argumentum. Bármely összetett függvény ábrázolható elemi függvények (egyszerű) formájában, amelyek a közbenső argumentumai.

Példák:

Egyszerű funkciók: Összetett funkciók:

y=x2 y=(x+1)2;u=(x+1); y=u 2;

y = sinx; y = sin2x;u = 2x; y = szinusz;

y = e x y = e 2x u = 2x; y = e u;

y = lnx y = ln(x+2); y =lnu.

Az összetett függvény megkülönböztetésének általános szabályát a fenti tétel adja meg bizonyítás nélkül.

Ha az u=φ(x) függvénynek van u" x =φ"(x) deriváltja az x pontban, és az y =f(u) függvénynek van u" u =f deriváltja " (u) a megfelelő u pontban, majd a derivált összetett funkció y =f[φ(x)] az x pontban a következő képlettel kereshető: y" x =f " (u) u"(x).

Gyakran használják ennek a tételnek kevésbé pontos, de rövidebb megfogalmazását : egy komplex függvény deriváltja egyenlő a deriváltnak a közbenső változóval és a köztes változónak a független változóra vonatkozó deriváltjával.

Példa: y = sin2x2; u = 2x2; y = szinusz;

y" x = (sinu)" u · (2x 2)" x =cosu · 4x = 4x · cos2x 2.

3. Másodrendű derivált. A második származék mechanikai jelentése.

Az y =f(x) függvény deriváltját a függvény elsőrendű deriváltjának vagy egyszerűen első deriváltjának nevezzük. Ez a derivált x függvénye, és másodszor is differenciálható. A derivált származékát másodrendű származéknak vagy másodrendű deriváltnak nevezzük. Jelölése: y" xx - (a játékos két ütéssel tovább x);f"(x) – ( ef két ütés x-en);d 2 y/dх 2 – (de két yrek a de x-en kétszer);d 2 f/dх 2 – (de two ef on de x kétszer).

A második derivált definíciója alapján felírhatjuk:

y" xx = (y" x)" x; f" (x) = " x d 2 y/dx 2 = d/dx (dу/dx).

A második derivált viszont x függvénye, és differenciálható, hogy harmadrendű deriváltot kapjunk stb.

Példa: y = 2x3 +x2;

y" xx = [(2x 3 +x 2)" x ]" x = (6x 2 +2x)" x = 12x+2;

A második derivált mechanikai jelentését a váltakozó mozgást jellemző pillanatnyi gyorsulás alapján magyarázzuk meg. Ha S=f(t) a mozgásegyenlet, akkor=S" t ; A

Ha S=f(t) a mozgásegyenlet, akkor=S" t ; Házasodik =;
Ha S=f(t) a mozgásegyenlet, akkor=S" t ; azonnali =
átlag = Ha S=f(t) a mozgásegyenlet, akkor=S" t ;=" t ;

azonnali = " t = (S" t)" t = S" tt .

Példa:Így az út időbeli második deriváltja egyenlő a váltakozó mozgás pillanatnyi gyorsulásával. Ez a 2. derivált fizikai (mechanikai) jelentése. Ha S=f(t) a mozgásegyenlet, akkor=S" t ; Legyen egy anyagi pont egyenes vonalú mozgása az S = t 3 /3 törvény szerint. Egy anyagi pont gyorsulását az S"tt második deriváltjaként határozzuk meg:

= S" tt = (t 3 /3)" = 2t.

4. Differenciálfüggvény.

A derivált fogalmához szorosan kapcsolódik a függvény differenciálfogalma, amelynek fontos gyakorlati alkalmazásai vannak. X Függvény f(
) származéka van " = f

Az infinitezimális α(∆х)(
α(∆х)=0) deriválttal: ) származéka van " (x)+ α (∆x), innen ∆f = f " (x) ∆х+α(∆х) · ∆х.

Az utolsó egyenlőségből az következik, hogy a függvény növekménye egy összegből áll, amelynek minden tagja egy végtelenül kicsi érték ∆x→ 0 esetén.

Határozzuk meg ennek az összegnek minden infinitezimális értékének kicsinységi sorrendjét az infinitezimális ∆x-hez képest:

Következésképpen infinitezimális f (x) ∆х és ∆х ugyanolyan kicsinységi sorrendjük van.

Következésképpen az infinitezimális α(∆x)∆x érték több magasrendű kicsiség az infinitezimális ∆х értékhez viszonyítva. Ez azt jelenti, hogy a ∆f kifejezésekben az α(∆x)∆x második tag gyorsabban 0-ra megy, mint ∆x→0, mint az első f tag. " (x)∆x.

Ez az első kifejezés f " (x)∆x-et a függvény x pontbeli differenciáljának nevezzük. Ki van jelölve dy (de igrek) vagy df (de ef). Tehát dy=df= f " (x)∆х ordy= f " (x)dx, mert az argumentum differenciálja dх egyenlő a növekménye ∆х (ha a képletben df = f " (x)dx tegyük fel, hogy f(x)=x, akkor df=dx=x" x ∆x, butx" x =1, azaz dx=∆x. Tehát egy függvény differenciálja egyenlő ennek a függvénynek és az argumentum differenciáljának szorzatával.

A differenciál analitikai jelentése az, hogy egy függvény differenciálja a ∆f függvény növekményének fő része, lineárisan a ∆x argumentumhoz képest. Egy függvény differenciálja egy α(∆х)∆х infinitezimális értékkel tér el a függvény növekményétől ∆х-nél nagyobb kicsinységi fok. Valóban ∆f=f " (x)∆x+α(∆x)∆x vagy ∆f=df+α(∆x)∆x; wherecedf= ∆f- α(∆х)∆х.

Példa: y = 2x 3 +x 2;dу =?dу = y"dx = (2x 3 +x 2)" x dx= (6x 2 +2x)dx.

A magasabb rendű α(∆х)∆х infinitezimális érték figyelmen kívül hagyása kicsit több mint ∆X, megkapjuk df≈ ∆f≈ f " (x)dх azaz A függvény differenciáljával közelíthetjük a függvény növekményét, mivel a differenciál általában könnyebben kiszámítható. A differenciál egy függvény értékének közelítő kiszámítására is alkalmazható. Ismerjük meg az y = f(x) függvényt és deriváltját az x pontban. Meg kell találni az f(x+∆x) függvény értékét valamelyik közeli pontban (x+∆x). Ehhez a közelítő ∆у ≈dyor ∆у ≈f egyenlőséget használjuk " (x) ∆x. Figyelembe véve, hogy ∆у=f(х+∆х)-f(х), megkapjuk f(х+∆х)-f (х) ≈f " (x) dх , ahonnan(x+∆x) = f(x)+f " (x) dx. A kapott képlet megoldja a problémát.

20. számú utasításkártya

Takyryby/Téma: « A második származék és fizikai jelentése».

Maksaty/ Cél:

Legyen képes megtalálni az érintő egyenletét, valamint az érintő dőlésszögének érintőjét az OX tengelyhez képest. Legyen képes meghatározni egy függvény változási sebességét, valamint a gyorsulást.

Teremtsen feltételeket a tanult tények és fogalmak összehasonlításához és osztályozásához szükséges készségek kialakulásához.

A nevelő-oktató munkához való felelősségteljes hozzáállás, az akarat és a végső eredmény elérésére irányuló kitartás elősegítése az érintőegyenlet megtalálásában, valamint a függvény változási ütemének és a gyorsulásnak a megtalálásában.

Elméleti anyag:

(A geometriai jelentése származtatott)

Egy függvény grafikonjának érintőegyenlete a következő:

1. példa: Keressük meg a függvény grafikonjának érintőjének egyenletét a 2. obszcén pontban.

Válasz: y = 4x-7

A függvény grafikonjának érintőjének k szögegyütthatója az x o abszcissza pontban egyenlő f / (x o) (k= f / (x o)). A függvény grafikonjának érintőjének dőlésszöge egy adott pontban egyenlő

arctg k = arctg f / (x o), azaz. k = f / (x o) = tg

2. példa: Milyen szögben áll a szinuszhullám metszi az x tengelyt az origóban?

Az a szög, amelyben egy adott függvény grafikonja az x tengelyt metszi szöggel egyenlő az f(x) függvény grafikonjára húzott érintő a meredeksége ebben a pontban. Keressük a deriváltot: A derivált geometriai jelentését figyelembe véve a következőt kapjuk: és a = 60°. Válasz: =60 0 .

Ha egy függvénynek a definíciós tartományának minden pontjában van deriváltja, akkor a deriváltja a függvény függvénye. A függvénynek viszont lehet deriváltja, amit ún másodrendű származék funkciók (vagy második származéka) és a szimbólum jelöli őket.

3. példa: Keresse meg a függvény második deriváltját: f(x)=x 3 -4x 2 +2x-7.

Először keressük meg ennek a függvénynek az első deriváltját f"(x)=(x 3 -4x 2 +2x-7)'=3x 2 -8x+2,

Ezután megtaláljuk a kapott első derivált második deriváltját

f""x)=(3x2 -8x+2)''=6x-8. Válasz: f""x) = 6x-8.

(A második származék mechanikai jelentése)

Ha egy pont egyenesen mozog, és mozgásának törvénye adott, akkor a pont gyorsulása egyenlő az út időbeli második deriváltjával:

Egy anyagi test sebessége megegyezik az út első deriváltjával, azaz:

Egy anyagi test gyorsulása egyenlő a sebesség első deriváltjával, azaz:

4. példa: A test egyenes vonalúan mozog az s (t) = 3 + 2t + t 2 (m) törvény szerint. Határozzuk meg sebességét és gyorsulását t = 3 s időpontban. (A távolság méterben, az idő másodpercben mérhető).
Megoldás
v (t) = s΄ (t) =(3+2t+t 2)’= 2 + 2t
a (t) = v΄ (t) =(2+2t)'= 2 (m/s 2)
v(3) = 2 + 2,3 = 8 (m/s). Válasz: 8 m/s; 2 m/s 2 .

Gyakorlati rész:

1 lehetőség	2. lehetőség	3. lehetőség	4. lehetőség	5. lehetőség
Keresse meg az adott M ponton átmenő érintő dőlésszögének érintőjét az x tengelyhez f függvény grafikonja.
f(x)=x2, M(-3;9)	f(x)=x3, M(-1;-1)
Írjuk fel az f függvény grafikonjának érintőjének egyenletét az x 0 abszcissza pontban!
f(x)=x3-1, x0=2	f(x)=x2+1, x0=1	f(x) = 2x-x 2, x 0 = -1	f(x)=3sinx, x 0 =	f(x) = x 0 = -1
Határozzuk meg az f függvény érintőjének meredekségét az x 0 abszcissza pontban.

Keresse meg a függvény második deriváltját:

			f(x)= 2cosx-x 2	f(x)= -2sinx+x 3
A test egyenes vonalúan mozog az x (t) törvény szerint. Határozza meg pillanatnyi sebességét és gyorsulását idő t. (Az elmozdulást méterben, az időt másodpercben mérjük).
x(t)=t2-3t, t=4	x(t)=t3+2t, t=1	x(t)=2t3-t2, t=3	x(t)=t3-2t2+1,t=2	x(t)=t4-0,5t2=2, t=0,5

Biztonsági kérdések:

Mit tekint a származék fizikai jelentésének - pillanatnyi sebesség vagy átlagsebesség?

Mi a kapcsolat egy függvény grafikonjára bármely ponton keresztül húzott érintő és a derivált fogalma között?

Mi a definíciója egy függvény grafikonjának érintőjének az M(x 0 ;f(x 0)) pontban?

Mi a mechanikai jelentése a második származéknak?

A származék mechanikai jelentése

A derivált mechanikus értelmezését először I. Newton adta meg. Ez a következő: egy anyagi pont mozgási sebessége egy adott időpillanatban megegyezik az út időbeli deriváltjával, azaz. Így, ha egy anyagi pont mozgástörvényét egy egyenlet adja meg, akkor a pont pillanatnyi sebességének meghatározásához egy adott időpillanatban meg kell találni a deriváltot, és be kell cserélni a megfelelő t értéket.

Másodrendű származék és mechanikai jelentése

Azt kapjuk (az egyenletet a Lisichkin V.T. Soloveichik I.L. „matematika” 240. o. című tankönyvében):

Így, egy test egyenes vonalú mozgásának gyorsulása egy adott pillanatban megegyezik az út adott pillanatra számított második deriváltjával az idő függvényében. Ez a második származék mechanikus jelentése.

A differenciál definíciója és geometriai jelentése

4. definíció. A függvény növekményének fő részét, a függvény növekedéséhez képest lineáris, a független változó növekedéséhez képest lineárisan ún. differenciális függvény, és d-vel jelöljük, azaz. .

Egy függvény differenciálját geometriailag az M (x; y) pontban húzott érintő ordinátájának növekménye ábrázolja adott x és?x értékek esetén.

Számítás differenciális - .

Differenciál alkalmazása közelítő számításokban - , a függvénynövekmény közelítő értéke egybeesik a differenciáljával.

1. tétel.Ha a differenciálható függvény növekszik (csökken) egy adott intervallumban, akkor ennek a függvénynek a deriváltja nem negatív (nem pozitív) ebben az intervallumban.

2. tétel.Ha a derivált függvény pozitív (negatív) egy bizonyos intervallumban, akkor a függvény ebben az intervallumban monoton növekszik (monoton csökken).

Fogalmazzuk meg most a függvény monotonitási intervallumainak megtalálásának szabályát

1. Számítsa ki ennek a függvénynek a deriváltját!

2. Keresse meg azokat a pontokat, ahol nulla vagy nem létezik. Ezeket a pontokat ún kritikai funkcióhoz

3. A talált pontok felhasználásával a függvény definíciós tartományát intervallumokra osztjuk, amelyek mindegyikénél a derivált megtartja előjelét. Ezek az intervallumok a monotonitás intervallumai.

4. Vizsgálja meg az előjelet az egyes talált intervallumokon. Ha a vizsgált intervallumon, akkor ezen az intervallumon növekszik; ha, akkor ilyen intervallumon csökken.

A probléma körülményeitől függően a monotonitási intervallumok megtalálásának szabálya egyszerűsíthető.

5. definíció. Egy pontot egy függvény maximális (minimális) pontjának nevezünk, ha az egyenlőtlenség a pont valamely környezetében lévő bármely x-re érvényes.

Ha a függvény maximális (minimális) pontja, akkor ezt mondják (minimális) pontban. A maximum és minimum függvény egyesíti a nevet extrémum függvényeket, és a maximum és minimum pontokat hívjuk meg szélsőpontok (extrém pontok).

3. tétel.(az extrémum szükséges jele). Ha egy függvény szélsőpontja és a derivált ezen a ponton létezik, akkor egyenlő nullával: .

4. tétel.(az extrémum elégséges jele). Ha a derivált előjelet vált, amikor x áthalad a-n, akkor a a függvény szélsőpontja.

A származékos kutatás legfontosabb pontjai:

1. Keresse meg a származékot.

2. Találj meg mindent kritikus pontok a függvény tartományából.

3. Állítsa be a függvény deriváltjának előjeleit a kritikus pontokon való áthaladáskor, és írja le a szélsőpontokat!

4. Számítsa ki a függvényértékeket minden szélső pontban.

Származék. Nézzünk néhány funkciót y = f (x ) két ponton x 0 és x 0 + : f (x 0) és f (x 0+). Itt a keresztül jelöl néhány apró változást az érvelésben, ún argumentumnövekmény; ennek megfelelően a különbség két függvényérték között: f (x 0 + )  f (x 0 ) hívják funkciónövekedés.Származék funkciókat y = f (x ) pontban x 0 limitnek nevezzük:

Ha ez a határ létezik, akkor a függvény f (x ) hívják megkülönböztethető pontban x 0 . Függvény származéka f (x ) jelölése a következő:

A származék geometriai jelentése. Tekintsük a függvény grafikonját y = f (x ):

Az 1. ábrából jól látható, hogy a függvény grafikonjának bármely két A és B pontjára:

ahol az AB szekáns dőlésszöge.

y = f ’(x 0 ) · x + b .

Megtalálni b, Használjuk ki azt a tényt, hogy az érintő átmegy az A ponton:

f (x 0 ) = f ’(x 0 ) · x 0 + b ,

innen, b = f (x 0 ) – f ’(x 0 ) · x 0 , és helyette ezt a kifejezést helyettesíti b, megkapjuk érintő egyenlet:

y =f (x 0 ) + f ’(x 0 ) · ( x – x 0 ) .

A származék mechanikai jelentése. Tekintsük a legegyszerűbb esetet: egy anyagi pont mozgását a koordináta tengelye mentén, és a mozgás törvénye adott: koordináta x mozgópont – ismert függvény x (t) idő t. Az időintervallumban től t 0-tól t 0 + a pont elmozdul egy távolságot: x (t 0 + )  x (t 0) = , és ő átlagsebesség egyenlő: v a =  . 0-nál az átlagsebesség egy bizonyos értékre hajlik, amit ún pillanatnyi sebesség v ( t 0 ) lényeges időpontban t 0 . De a származékos definíció szerint a következőket kapjuk: