Il parallelismo è una proprietà molto utile in geometria. IN vita reale i lati paralleli ti consentono di creare cose belle e simmetriche che piacciono a qualsiasi occhio, quindi la geometria ha sempre avuto bisogno di modi per verificare questo parallelismo. Parleremo dei segni delle linee parallele in questo articolo.

Definizione di parallelismo

Evidenziamo le definizioni che devi conoscere per dimostrare i segni di parallelismo di due rette.

Le rette si dicono parallele se non hanno punti di intersezione. Inoltre, nelle soluzioni, le linee parallele sono solitamente combinate con una linea secante.

Una linea secante è una linea che interseca entrambe le linee parallele. In questo caso si formano angoli incrociati, corrispondenti e unilaterali. Le coppie di angoli 1 e 4 giacciono trasversalmente; 2 e 3; 8 e 6; 7 e 5. I corrispondenti saranno 7 e 2; 1 e 6; 8 e 4; 3 e 5.

Unilaterale 1 e 2; 7 e 6; 8 e 5; 3 e 4.

Se formattato correttamente si scrive: “Angoli che si incrociano per due rette parallele aeb e una secante c”, perché per due rette parallele ci possono essere infinite secanti, quindi è necessario indicare di quale secante si intende.

Inoltre, per la dimostrazione avrai bisogno del teorema dell'angolo esterno di un triangolo, che afferma che l'angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma di due angoli di un triangolo che non sono adiacenti ad esso.

Segni

Tutti i segni delle rette parallele si basano sulla conoscenza delle proprietà degli angoli e sul teorema sull'angolo esterno di un triangolo.

Firma 1

Due rette sono parallele se gli angoli che si intersecano sono uguali.

Consideriamo due rette aeb con secante c. Gli angoli trasversali 1 e 4 sono uguali. Supponiamo che le rette non siano parallele. Ciò significa che le linee si intersecano e deve esserci un punto di intersezione M. Quindi si forma un triangolo ABM con angolo esterno 1 L'angolo esterno deve essere uguale alla somma degli angoli 4 e ABM non adiacente ad esso secondo il teorema. sull'angolo esterno di un triangolo. Ma poi si scopre che l'angolo 1 è maggiore dell'angolo 4, e questo contraddice le condizioni del problema, il che significa che il punto M non esiste, le linee non si intersecano, cioè sono parallele.

Riso. 1. Disegno di prova.

Firma 2

Due rette sono parallele se gli angoli corrispondenti alla trasversale sono uguali.

Consideriamo due rette a e b con secante c. Gli angoli corrispondenti 7 e 2 sono uguali. Prestiamo attenzione all'angolo 3. È verticale all'angolo 7. Ciò significa che gli angoli 7 e 3 sono uguali. Ciò significa che anche gli angoli 3 e 2 sono uguali, poiché<7=<2 и <7=<3. А угол 3 и угол 2 являются накрест лежащими. Следовательно, прямые параллельны, что и требовалось доказать.

Riso. 2. Disegno di prova.

Firma 3

Due rette sono parallele se la somma dei loro angoli unilaterali è 180 gradi.

Riso. 3. Disegno di prova.

Consideriamo due rette a e b con secante c. La somma degli angoli unilaterali 1 e 2 è pari a 180 gradi. Prestiamo attenzione agli angoli 1 e 7. Sono adiacenti. Questo è:

$$<1+<7=180$$

$$<1+<2=180$$

Sottrai la seconda dalla prima espressione:

$$(<1+<7)-(<1+<2)=180-180$$

$$(<1+<7)-(<1+<2)=0$$

$$<1+<7-<1-<2=0$$

$$<7-<2=0$$

$<7=<2$ - а они являются соответственными. Значит, прямые параллельны.

Cosa abbiamo imparato?

Abbiamo analizzato in dettaglio quali angoli si ottengono tagliando linee parallele con una terza linea, identificato e descritto in dettaglio la prova di tre segni di linee parallele.

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Innanzitutto, esaminiamo la differenza tra i concetti di segno, proprietà e assioma.

Definizione 1

Cartello Chiamano un certo fatto mediante il quale si può determinare la verità di un giudizio su un oggetto di interesse.

Esempio 1

Le rette sono parallele se le loro forme trasversali sono uguali agli angoli trasversali.

Definizione 2

Proprietàè formulato nel caso in cui vi sia fiducia nell'equità del giudizio.

Esempio 2

Quando le linee parallele sono parallele, le loro forme trasversali sono uguali agli angoli trasversali.

Definizione 3

Assioma chiamano un'affermazione che non richiede prove ed è accettata come verità senza di essa.

Ogni scienza ha degli assiomi su cui si basano i giudizi successivi e le relative dimostrazioni.

Assioma delle rette parallele

A volte l'assioma delle rette parallele viene accettato come una delle proprietà delle rette parallele, ma allo stesso tempo altre dimostrazioni geometriche si basano sulla sua validità.

Teorema 1

Per un punto che non giace su una retta data si può tracciare sul piano una sola retta, che sarà parallela a quella data.

L'assioma non richiede prova.

Proprietà delle rette parallele

Teorema 2

Proprietà1. Proprietà di transitività delle rette parallele:

Quando una delle due rette parallele è parallela alla terza, allora la seconda retta sarà parallela ad essa.

Le proprietà richiedono una prova.

Prova:

Siano due rette parallele $a$ e $b$. La linea $c$ è parallela alla linea $a$. Controlliamo se in questo caso la retta $c$ sarà parallela anche alla retta $b$.

Per dimostrarlo utilizzeremo la proposizione opposta:

Immaginiamo che sia possibile che la linea $c$ sia parallela a una delle linee, ad esempio la linea $a$, e intersechi l'altra linea, la linea $b$, in un punto $K$.

Otteniamo una contraddizione secondo l'assioma delle rette parallele. Ciò si traduce in una situazione in cui due linee si intersecano in un punto, per di più parallelo alla stessa linea $a$. Questa situazione è impossibile quindi le linee $b$ e $c$ non possono intersecarsi;

Pertanto, è stato dimostrato che se una delle due rette parallele è parallela alla terza retta, allora la seconda retta è parallela alla terza retta.

Teorema 3

Proprietà 2.

Se una delle due linee parallele viene intersecata da una terza, anche la seconda linea sarà intersecata da essa.

Prova:

Siano due rette parallele $a$ e $b$. Inoltre, supponiamo che ci sia una linea $c$ che interseca una delle linee parallele, ad esempio la linea $a$. È necessario mostrare che la linea $c$ interseca anche la seconda linea, la linea $b$.

Costruiamo una dimostrazione per assurdo.

Immaginiamo che la linea $c$ non intersechi la linea $b$. Allora per il punto $K$ passano due rette $a$ e $c$ che non intersecano la retta $b$, cioè che sono parallele ad essa. Ma questa situazione contraddice l'assioma delle rette parallele. Ciò significa che il presupposto era errato e che la linea $c$ intersecherà la linea $b$.

Il teorema è stato dimostrato.

Proprietà degli angoli, che formano due rette parallele e una secante: gli angoli opposti sono uguali, gli angoli corrispondenti sono uguali, * la somma degli angoli unilaterali è $180^(\circ)$.

Esempio 3

Date due rette parallele e una terza retta perpendicolare ad una di esse. Dimostrare che questa retta è perpendicolare ad un'altra delle rette parallele.

Prova.

Consideriamo le rette $a \parallela b$ e $c \perp a$.

Poiché la linea $c$ interseca la linea $a$, secondo la proprietà delle rette parallele intersecherà anche la linea $b$.

La secante $c$, intersecando le rette parallele $a$ e $b$, forma con esse angoli interni uguali.

Perché $c \perp a$, gli angoli saranno $90^(\circ)$.

Pertanto, $c \perp b$.

La dimostrazione è completa.

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Domanda 1. Dimostrare che due rette parallele ad una terza sono parallele.
Risposta. Teorema 4.1. Due rette parallele ad una terza sono parallele.
Prova. Le rette a e b siano parallele alla retta c. Supponiamo che aeb non siano paralleli (Fig. 69). Allora non si intersecano in un punto C. Ciò significa che due linee passano per il punto C parallelamente alla linea c. Ma ciò è impossibile, poiché per un punto che non giace su una retta data si può condurre al più una retta parallela a quella data. Il teorema è stato dimostrato.

Domanda 2. Spiega quali angoli sono detti angoli interni unilaterali. Quali angoli sono detti incrociati interni?
Risposta. Le coppie di angoli che si formano quando le rette AB e CD si intersecano con la secante AC hanno nomi speciali.
Se i punti B e D si trovano nello stesso semipiano rispetto alla retta AC, gli angoli BAC e DCA sono chiamati angoli interni unilaterali (fig. 71, a).
Se i punti B e D si trovano in semipiani diversi rispetto alla retta AC, gli angoli BAC e DCA sono chiamati angoli interni trasversali (Fig. 71, b).

Riso. 71

Domanda 3. Dimostrare che se gli angoli interni di una coppia sono uguali, allora anche gli angoli interni dell'altra coppia sono uguali, e la somma degli angoli interni di ciascuna coppia è 180°.
Risposta. La secante AC forma con le rette AB e CD due coppie di angoli interni unilaterali e due coppie di angoli interni trasversali. Gli angoli trasversali interni di una coppia, ad esempio l'angolo 1 e l'angolo 2, sono adiacenti agli angoli trasversali interni di un'altra coppia: angolo 3 e angolo 4 (Fig. 72).

Riso. 72

Pertanto, se gli angoli interni di una coppia sono congruenti, allora anche gli angoli interni dell’altra coppia sono uguali.
Una coppia di angoli interni incrociati, ad esempio l'angolo 1 e l'angolo 2, e una coppia di angoli interni unilaterali, ad esempio l'angolo 2 e l'angolo 3, hanno un angolo in comune - l'angolo 2, e altri due angoli sono adiacenti : angolo 1 e angolo 3.
Pertanto, se gli angoli trasversali interni sono uguali, allora la somma degli angoli interni è 180°. E viceversa: se la somma degli angoli interni che si intersecano è uguale a 180°, allora gli angoli interni che si intersecano sono uguali. Q.E.D.

Domanda 4. Dimostrare un test per rette parallele.
Risposta. Teorema 4.2 (test per rette parallele). Se gli angoli trasversali interni sono uguali o la somma degli angoli unilaterali interni è uguale a 180°, allora le rette sono parallele.
Prova. Le rette aeb formino angoli trasversali interni uguali con la secante AB (fig. 73, a). Diciamo che le linee aeb non sono parallele, il che significa che si intersecano in un punto C (Fig. 73, b).

Riso. 73

La secante AB divide il piano in due semipiani. Il punto C si trova in uno di essi. Costruiamo un triangolo BAC 1, uguale al triangolo ABC, con il vertice C 1 in un altro semipiano. Per condizione, gli angoli trasversali interni per la parallela a, b e la secante AB sono uguali. Poiché gli angoli corrispondenti dei triangoli ABC e BAC 1 con vertici A e B sono uguali, coincidono con gli angoli interni giacenti trasversalmente. Ciò significa che la linea AC 1 coincide con la linea a, e la linea BC 1 coincide con la linea b. Risulta che per i punti C e C 1 passano due rette diverse a e b. E questo è impossibile. Ciò significa che le linee a e b sono parallele.
Se le rette aeb e la trasversale AB hanno la somma degli angoli interni unilaterali pari a 180°, allora, come sappiamo, gli angoli interni giacenti trasversalmente sono uguali. Ciò significa che, secondo quanto sopra dimostrato, le rette aeb sono parallele. Il teorema è stato dimostrato.

Domanda 5. Spiega quali angoli sono detti angoli corrispondenti. Dimostrare che se gli angoli trasversali interni sono uguali, allora anche gli angoli corrispondenti sono uguali e viceversa.

Risposta. Se per una coppia di angoli trasversali interni un angolo viene sostituito con uno verticale, otteniamo una coppia di angoli che sono chiamati angoli corrispondenti di queste linee con una trasversale. Che era ciò che occorreva spiegare.
Dall'uguaglianza degli angoli interni trasversali consegue l'uguaglianza degli angoli corrispondenti, e viceversa. Diciamo di avere due rette parallele (poiché per condizione gli angoli interni che si incrociano sono uguali) e una trasversale, che formano gli angoli 1, 2, 3. Gli angoli 1 e 2 sono uguali in quanto angoli interni che si incrociano. E gli angoli 2 e 3 sono uguali come verticali. Otteniamo: \(\angle\)1 = \(\angle\)2 e \(\angle\)2 = \(\angle\)3. Per la proprietà di transitività del segno uguale segue che \(\angolo\)1 = \(\angolo\)3. In modo analogo si può dimostrare l’affermazione contraria.
Da ciò si ricava il segno che le rette sono parallele negli angoli corrispondenti. Vale a dire: le rette sono parallele se gli angoli corrispondenti sono uguali. Q.E.D.

Domanda 6. Dimostrare che per un punto che non giace su una retta data si può tracciare una retta parallela ad essa. Quante rette parallele ad una data retta possono passare per un punto che non giace su questa retta?

Risposta. Problema (8). Data una retta AB e un punto C che non giace su questa retta. Dimostra che attraverso il punto C puoi tracciare una linea parallela alla linea AB.
Soluzione. La linea AC divide il piano in due semipiani (fig. 75). Il punto B si trova in uno di essi. Sommiamo l'angolo ACD dalla semiretta CA ad un altro semipiano uguale all'angolo CAB. Allora le rette AB e CD saranno parallele. Infatti per queste rette e per la secante AC gli angoli interni BAC e DCA giacciono trasversali. E poiché sono uguali, le rette AB e CD sono parallele. Q.E.D.
Confrontando l'enunciato del problema 8 e l'assioma IX (la proprietà principale delle rette parallele), arriviamo a un'importante conclusione: attraverso un punto che non giace su una determinata retta, è possibile tracciare una retta parallela ad essa, e solo una.

Domanda 7. Dimostrare che se due rette sono intersecate da una terza retta, allora gli angoli interni che si intersecano sono uguali e la somma degli angoli interni unilaterali è 180°.

Risposta. Teorema 4.3(il contrario del Teorema 4.2). Se due rette parallele si intersecano con una terza retta, gli angoli interni che si intersecano sono uguali e la somma degli angoli interni unilaterali è 180°.
Prova. Siano a e b rette parallele e c la retta che le interseca nei punti A e B. Tracciamo una retta a 1 passante per il punto A in modo che gli angoli trasversali interni formati dalla trasversale c con le rette a 1 e b siano uguali (Fig.76).
Secondo il principio del parallelismo delle linee, le linee a 1 e b sono parallele. E poiché per il punto A passa solo una linea, parallela alla linea b, allora la linea a coincide con la linea a 1.
Ciò significa che gli angoli trasversali interni formati da una trasversale con
le rette parallele a e b sono uguali. Il teorema è stato dimostrato.

Domanda 8. Dimostrare che due rette perpendicolari ad una terza sono parallele. Se una retta è perpendicolare ad una delle due rette parallele allora è perpendicolare anche all'altra.
Risposta. Dal Teorema 4.2 segue che due rette perpendicolari ad una terza sono parallele.
Supponiamo che due linee qualsiasi siano perpendicolari a una terza linea. Ciò significa che queste linee si intersecano con la terza linea con un angolo pari a 90°.
Dalla proprietà degli angoli formati quando le rette parallele si intersecano con una trasversale, ne consegue che se una retta è perpendicolare ad una delle rette parallele, allora è anche perpendicolare all'altra.

Domanda 9. Dimostrare che la somma degli angoli di un triangolo è 180°.

Risposta. Teorema 4.4. La somma degli angoli di un triangolo è 180°.
Prova. Sia ABC il triangolo dato. Tracciamo una linea passante per il vertice B parallela alla linea AC. Segniamo il punto D su di esso in modo che i punti A e D si trovino su lati opposti della retta BC (Fig. 78).
Gli angoli DBC e ACB sono congruenti perché interni trasversali formati dalla trasversale BC con le parallele AC e BD. Pertanto la somma degli angoli di un triangolo ai vertici B e C è uguale all'angolo ABD.
E la somma di tutti e tre gli angoli di un triangolo è uguale alla somma degli angoli ABD e BAC. Poiché questi sono angoli interni unilaterali per le parallele AC e BD e la secante AB, la loro somma è 180°. Il teorema è stato dimostrato.

Domanda 10. Dimostrare che ogni triangolo ha almeno due angoli acuti.
Risposta. Supponiamo infatti che il triangolo abbia un solo angolo acuto oppure nessun angolo acuto. Allora questo triangolo ha due angoli, ciascuno dei quali è almeno di 90°. La somma di questi due angoli non è inferiore a 180°. Ma questo è impossibile, poiché la somma di tutti gli angoli di un triangolo è 180°. Q.E.D.

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1. Il primo segno di parallelismo.

Se due rette che ne intersecano una terza hanno gli angoli interni trasversali uguali, allora queste rette sono parallele.

Lascia che le linee AB e CD siano intersecate dalla linea EF e ∠1 = ∠2. Prendiamo il punto O - il centro del segmento KL della secante EF (Fig.).

Abbassiamo la perpendicolare OM dal punto O sulla linea AB e proseguiamo finché non interseca la linea CD, AB ⊥ MN. Proviamo che CD ⊥ MN.

Per fare ciò, considera due triangoli: MOE e NOK. Questi triangoli sono uguali tra loro. Infatti: ∠1 = ∠2 secondo il teorema; ОK = ОL - per costruzione;

∠MOL = ∠NOK, come gli angoli verticali. Quindi il lato e due angoli adiacenti di un triangolo sono rispettivamente uguali al lato e a due angoli adiacenti di un altro triangolo; quindi, ΔMOL = ΔNOK, e quindi ∠LMO = ∠KNO,
ma ∠LMO è dritto, il che significa che anche ∠KNO è dritto. Quindi le rette AB e CD sono perpendicolari alla stessa retta MN, quindi parallele, che era ciò che occorreva dimostrare.

Nota. L'intersezione delle rette MO e CD può essere stabilita ruotando il triangolo MOL attorno al punto O di 180°.

2. Il secondo segno di parallelismo.

Vediamo se le rette AB e CD sono parallele se, quando intersecano la terza retta EF, gli angoli corrispondenti sono uguali.

Siano uguali alcuni angoli corrispondenti, ad esempio ∠ 3 = ∠2 (Fig.);

∠3 = ∠1, come angoli verticali; questo significa che ∠2 sarà uguale a ∠1. Ma gli angoli 2 e 1 sono angoli interni che si intersecano, e già sappiamo che se quando due rette intersecano la terza, gli angoli interni che si intersecano sono uguali, allora queste rette sono parallele. Quindi AB || CD.

Se, quando due rette ne intersecano una terza, gli angoli corrispondenti sono uguali, allora queste due rette sono parallele.

Su questa proprietà si basa la costruzione di linee parallele utilizzando un righello e un triangolo da disegno. Questo viene fatto come segue.

Attacciamo il triangolo al righello come mostrato in Fig. Sposteremo il triangolo in modo che uno dei suoi lati scivoli lungo il righello e disegneremo diverse linee rette lungo un altro lato del triangolo. Queste linee saranno parallele.

3. Il terzo segno di parallelismo.

Sappiamo che quando due rette AB e CD si intersecano con una terza retta, la somma degli eventuali angoli interni unilaterali è pari a 2 D(o 180°). Le rette AB e CD saranno parallele in questo caso (Fig.).

Siano ∠1 e ∠2 angoli interni unilaterali e la somma dia 2 D.

Ma ∠3 + ∠2 = 2 D come angoli adiacenti. Pertanto, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.

Quindi ∠1 = ∠3, e questi angoli interni giacciono trasversalmente. Quindi AB || CD.

Se, quando due rette ne intersecano una terza, la somma degli angoli interni unilaterali è uguale a 2 d (o 180°), allora queste due linee sono parallele.

Segni di linee parallele:

1. Se, quando due rette ne intersecano una terza, gli angoli interni giacenti trasversalmente sono uguali, allora queste rette sono parallele.

2. Se, quando due rette ne intersecano una terza, gli angoli corrispondenti sono uguali, allora queste due rette sono parallele.

3. Se, quando due rette ne intersecano una terza, la somma degli angoli interni unilaterali è 180°, allora queste due rette sono parallele.

4. Se due linee sono parallele a una terza linea, allora sono parallele tra loro.

5. Se due rette sono perpendicolari ad una terza retta, allora sono parallele tra loro.

Assioma del parallelismo di Euclide

Compito. Per un punto M preso all'esterno della linea AB, tracciare una linea parallela alla linea AB.

Utilizzando i teoremi provati sui segni di parallelismo delle rette, questo problema può essere risolto in vari modi,

Soluzione. 1° passo (disegno 199).

Disegniamo MN⊥AB e per il punto M disegniamo CD⊥MN;

otteniamo CD⊥MN e AB⊥MN.

Basandoci sul teorema (“Se due rette sono perpendicolari alla stessa retta, allora sono parallele.”) concludiamo che CD || AB.

2° metodo (disegno 200).

Disegniamo una MK che interseca AB a qualsiasi angolo α, e per il punto M tracciamo una linea retta EF, formando un angolo EMK con la retta MK uguale all'angolo α. Basandosi sul Teorema (), concludiamo che EF || AB.

Risolto questo problema, possiamo considerarlo dimostrato che per ogni punto M preso all'esterno della retta AB è possibile condurre una retta parallela ad essa. Sorge la domanda: quante rette parallele ad una data retta e passanti per un dato punto possono esistere?

La pratica della costruzione ci consente di supporre che esista una sola di queste linee rette, poiché con un disegno eseguito con cura, linee rette disegnate in modi diversi attraverso lo stesso punto parallelo alla stessa linea retta si fondono.

In teoria, la risposta al quesito posto è data dal cosiddetto assioma del parallelismo di Euclide; è così formulato:

Per un punto preso all'esterno di una data linea si può tracciare una sola linea parallela a questa linea.

Nel disegno 201, attraverso il punto O, si traccia una linea retta SC, parallela alla retta AB.

Qualsiasi altra linea passante per il punto O non sarà più parallela alla linea AB, ma la intersecherà.

L'assioma adottato da Euclide negli Elementi, secondo il quale su un piano, per un punto preso fuori di una linea data, si può condurre una sola linea retta parallela a questa linea, si chiama Assioma del parallelismo di Euclide.

Più di duemila anni dopo Euclide, molti matematici tentarono di dimostrare questa proposizione matematica, ma i loro tentativi furono sempre infruttuosi. Solo nel 1826, il grande scienziato russo, professore all'Università di Kazan Nikolai Ivanovich Lobachevskij, dimostrò che utilizzando tutti gli altri assiomi di Euclide, questa proposizione matematica non può essere dimostrata, che dovrebbe davvero essere accettata come assioma. N.I. Lobachevskij creò una nuova geometria che, a differenza della geometria di Euclide, si chiama geometria Lobachevskij.