Attenzione!
Ce ne sono altri
materiali della Parte Speciale 555.
Per coloro che sono molto "non molto..."
E per chi “tantissimo…”)
Che è successo "disuguaglianza quadratica"? Nessuna domanda!) Se prendi Qualunque equazione quadratica e sostituisci il segno in essa "=" (uguale) a qualsiasi segno di disuguaglianza ( > ≥ < ≤ ≠ ), otteniamo una disuguaglianza quadratica. Per esempio:
1. x2 -8x+12 ≥ 0
2. -x2+3x > 0
3. x2 ≤ 4
Beh, hai capito...)
Non per niente ho collegato qui equazioni e disuguaglianze. Il punto è che il primo passo verso la soluzione Qualunque disuguaglianza quadratica - risolvere l'equazione da cui è composta questa disuguaglianza. Per questo motivo, l’incapacità di risolvere equazioni quadratiche porta automaticamente al completo fallimento delle disuguaglianze. Il suggerimento è chiaro?) Semmai, guarda come risolvere eventuali equazioni quadratiche. Lì tutto è descritto in dettaglio. E in questa lezione ci occuperemo delle disuguaglianze.
La disuguaglianza pronta per la soluzione ha la forma: a sinistra c'è un trinomio quadratico ascia 2 +bx+c, a destra - zero. Il segno di disuguaglianza può essere assolutamente qualsiasi cosa. I primi due esempi sono qui sono già pronti a prendere una decisione. Il terzo esempio deve ancora essere preparato.
Se ti piace questo sito...
A proposito, ho un paio di altri siti interessanti per te.)
Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Impariamo - con interesse!)
Puoi familiarizzare con funzioni e derivate.
Introduzione… …………………………………………………………… 3
1. Classificazione degli errori con esempi…………… .…… …5
1.1. Classificazione per tipologie di mansioni…… ……… … ……….5
1.2. Classificazione per tipologie di trasformazioni……………10
2. Prove……………….… .……………….12
3. Protocolli di decisione……………… ……….….………………… ………… 18
3.1. Protocolli di decisioni errate………………… 18
3.2. Risposte (protocolli di decisioni corrette)…………….34
3.3. Errori commessi nelle decisioni……………… 51
Appendice………….…………………53
Letteratura…………………..…………….56
INTRODUZIONE
“Dagli errori si impara”, dice la saggezza popolare. Ma per imparare da un’esperienza negativa, devi prima vedere l’errore. Sfortunatamente, uno studente spesso non è in grado di rilevarlo quando risolve un particolare problema. Di conseguenza, è nata l'idea di condurre uno studio, il cui scopo era identificare gli errori tipici commessi dagli studenti, nonché classificarli nel modo più completo possibile.
Nell'ambito di questo studio, sono stati esaminati e risolti un'ampia serie di problemi relativi alle opzioni di test di aprile, test e compiti scritti per gli esami di ammissione presso l'Università statale di Omsk, vari manuali e raccolte di compiti per i candidati alle università e materiali della scuola per corrispondenza presso la Facoltà di Filosofia dell'Università statale di Omsk sono stati attentamente studiati. I dati ottenuti sono stati sottoposti ad analisi dettagliate, con grande attenzione alla logica delle decisioni. Sulla base di questi dati sono stati identificati gli errori commessi più frequentemente, cioè quelli tipici.
Sulla base dei risultati di questa analisi, si è tentato di sistematizzare gli errori caratteristici e di classificarli in base ai tipi di trasformazioni e ai tipi di problemi, tra i quali sono stati considerati: disuguaglianze quadratiche, sistemi di disuguaglianze, equazioni frazionarie-razionali, equazioni con un modulo, equazioni irrazionali, sistemi di equazioni, problemi di moto, compiti lavorativi e produttività del lavoro, equazioni trigonometriche, sistemi equazioni trigonometriche, planimetria.
La classificazione è accompagnata da un'illustrazione sotto forma di protocolli decisionali errati, che consente di aiutare gli scolari a sviluppare la capacità di controllarsi e controllarsi, valutare criticamente le proprie attività, trovare errori e modi per eliminarli.
La fase successiva è stata lavorare con i test. Per ogni problema sono state proposte cinque possibili risposte, di cui una corretta e le altre quattro errate, ma non sono state prese a caso, ma corrispondevano ad una soluzione in cui veniva commesso un errore specifico, standard per problemi di questo tipo . Ciò fornisce una base per prevedere il grado di “gravità” di un errore e lo sviluppo di operazioni mentali di base (analisi, sintesi, confronto, generalizzazione). Le prove hanno la seguente struttura:
I codici di errore sono divisi in tre tipi: OK - risposta corretta, codice digitale - errore dalla classificazione per tipo di attività, codice lettera - errore dalla classificazione per tipo di trasformazione. La loro decodificazione si trova nel capitolo 1. Classificazione degli errori con esempi.
Successivamente, sono state proposte attività per trovare un errore nella soluzione. Questi materiali sono stati utilizzati quando si lavora con gli studenti della scuola per corrispondenza dell'Università statale di Omsk NOF, nonché durante i corsi di formazione avanzata per insegnanti a Omsk e nella regione di Omsk, condotti dall'Università statale di Omsk NOF.
In futuro, sulla base del lavoro svolto, è possibile creare un sistema per monitorare e valutare il livello di conoscenze e competenze del candidato. Diventa possibile identificare le aree problematiche nel lavoro, registrare metodi e tecniche di successo e analizzare quale contenuto della formazione è opportuno espandere. Ma affinché questi metodi siano più efficaci, è necessario l’interesse degli studenti. A questo scopo, insieme a Chubrik A.V. ed è stato sviluppato un piccolo prodotto software che genera soluzioni errate di lineare e equazioni quadratiche (base teorica e algoritmi - io e Chuubrik A.V., assistenza nell'implementazione - studente gr. MP-803 Filimonov M.V.). Lavorare con questo programma dà allo studente l'opportunità di agire come un insegnante il cui studente è il computer.
I risultati ottenuti possono servire come l'inizio di uno studio più serio, che a breve e lungo termine sarà in grado di apportare le modifiche necessarie al sistema di insegnamento della matematica.
1. CLASSIFICAZIONE DEGLI ERRORI CON ESEMPI
1.1. Classificazione per tipi di attività
1. Equazioni e disequazioni algebriche.
1.1. Disuguaglianze quadratiche. Sistemi di disuguaglianze:
1.1.1. Le radici del trinomio quadratico sono state trovate in modo errato: il teorema di Vieta e la formula per trovare le radici sono stati utilizzati in modo errato;
1.1.2. Il grafico di un trinomio quadratico viene visualizzato in modo errato;
|
|
1.1.3. I valori dell'argomento in cui la disuguaglianza è soddisfatta sono definiti in modo errato;
1.1.4. Divisione per un'espressione contenente una quantità sconosciuta;
1.1.5. Nei sistemi di disuguaglianze, l'intersezione delle soluzioni a tutte le disuguaglianze viene presa in modo errato;
1.1.6. La fine degli intervalli è inclusa erroneamente o non è inclusa nella risposta finale;
1.1.7. Arrotondamento.
1.2. Equazioni razionali frazionarie:
1.2.1. L'ODZ è indicato erroneamente o non è indicato: non si tiene conto che il denominatore della frazione non deve essere uguale a zero;
ODZ: .
1.2.2. Quando si riceve una risposta, la DZ non viene presa in considerazione;
Sezioni: Matematica
Classe: 9
Un risultato di apprendimento obbligatorio è la capacità di risolvere disuguaglianze della forma:
ascia 2 + bx+ c ><0
basato su un grafico schematico di una funzione quadratica.
Molto spesso, gli studenti commettono errori quando risolvono disuguaglianze quadratiche con un primo coefficiente negativo. In questi casi, il libro di testo suggerisce di sostituire la disuguaglianza con una equivalente con coefficiente positivo in x 2 (esempio n. 3). È importante che gli studenti capiscano che devono “dimenticare” la disuguaglianza originale per risolvere il problema; , devono disegnare una parabola con i rami rivolti verso l'alto. Si può discutere diversamente.
Diciamo che dobbiamo risolvere la disuguaglianza:
–x2 + 2x –5<0
Per prima cosa scopriamo se il grafico della funzione y=-x 2 +2x-5 interseca l'asse OX. Per fare ciò, risolviamo l'equazione:
L'equazione non ha radici, quindi il grafico della funzione y=-x 2 +2x-5 si trova interamente sotto l'asse X e la disuguaglianza -x 2 +2x-5<0 выполняется при любых значения Х. Необходимо показать учащимся оба способа решения и разрешить пользоваться любым из них.
La capacità di risoluzione si sviluppa sui n. 111 e n. 119. È imperativo considerare le seguenti disuguaglianze x 2 +5>0, -x 2 -3≤0; 3x 2 >0 ecc.
Naturalmente, quando risolvi tali disuguaglianze, puoi usare una parabola. Tuttavia, gli studenti forti dovrebbero dare risposte immediatamente senza ricorrere al disegno. In questo caso è necessario richiedere delle spiegazioni, ad esempio: x 2 ≥0 e x 2 +7>0 per qualsiasi valore di x. A seconda del livello di preparazione della classe, puoi limitarti a questi numeri o utilizzare il n. 120 n. 121. In essi è necessario eseguire semplici trasformazioni identiche, quindi qui il materiale trattato verrà ripetuto. Queste stanze sono progettate per studenti forti. Se si ottiene un buon risultato e la risoluzione delle disuguaglianze quadratiche non causa alcun problema, puoi chiedere agli studenti di risolvere un sistema di disuguaglianze in cui una o entrambe le disuguaglianze sono quadratiche (esercizio 193, 194).
È interessante non solo risolvere le disuguaglianze quadratiche, ma anche dove altro può essere applicata questa soluzione: trovare il dominio di definizione della funzione di studio di un'equazione quadratica con parametri (esercizio 122-124 Per gli studenti più avanzati, tu). può considerare disuguaglianze quadratiche con parametri della forma:
Asse 2 +Bx+C>0 (≥0)
Ascia 2 +Bx+C<0 (≤0)
Dove A,B,C sono espressioni dipendenti dai parametri, A≠0,x sono sconosciuti.
Disuguaglianza Asse 2 +Bx+C>0
È studiato secondo i seguenti schemi:
1)Se A=0, allora abbiamo la disuguaglianza lineare Bx+C>0
2) Se A≠0 e discriminante D>0, allora possiamo fattorizzare il trinomio quadrato e ottenere la disuguaglianza
A(x-x1) (x-x2)>0
x 1 e x 2 sono le radici dell'equazione Ax 2 +Bx+C=0
3)Se A≠0 e D<0 то если A>0 la soluzione sarà l'insieme dei numeri reali R; all'A<0 решений нет.
Le restanti disuguaglianze possono essere studiate in modo simile.
Può essere utilizzato per risolvere disuguaglianze quadratiche, da qui la proprietà del trinomio quadratico
1)Se A>0 e D<0 то Ax2+Bx+C>0- per tutti gli x.
2)Se A<0 и D<0 то Ax2+Bx+C<0 при всех x.
Quando si risolve una disuguaglianza quadratica, è più conveniente utilizzare una rappresentazione schematica del grafico della funzione y=Ax2+Bx+C
Esempio: per tutti i valori dei parametri, risolvere la disuguaglianza
X2+2(b+1)x+b2 >0
D=4(b+1) 2 -4b 2 =4b 2 +8b+4-4b 2
1) D<0 т.е. 2b+1<0
Il coefficiente davanti a x 2 è 1>0, quindi la disuguaglianza è soddisfatta per tutti gli x, cioè X є R
2) D=0 => 2b+1=0
Allora x2+x+¼>0
x є(-∞;-½) U (-½;∞)
3) D>0 =>2b+1>0
Le radici di un trinomio quadrato sono:
X1 =-b-1-√2b+1
X2 =-b-1+√2b+1
La disuguaglianza prende forma
(x-x 1) (x-x 2)>0
Usando il metodo dell'intervallo otteniamo
x є(-∞;x 1) U (x 2 ;∞)
Per decisione indipendente dare la seguente disuguaglianza
Come risultato della risoluzione delle disuguaglianze, lo studente deve comprendere che per risolvere le disuguaglianze di secondo grado, si propone di abbandonare i dettagli eccessivi nel metodo di costruzione di un grafico, dalla ricerca delle coordinate dei vertici della parabola, osservando le scala e ci si può limitare a disegnare uno schizzo del grafico di una funzione quadratica.
A livello senior, la risoluzione delle disuguaglianze quadratiche non è praticamente un compito indipendente, ma agisce come una componente della risoluzione di un'altra equazione o disuguaglianza (logaritmica, esponenziale, trigonometrica). Pertanto, è necessario insegnare agli studenti come risolvere fluentemente le disuguaglianze quadratiche. Puoi fare riferimento a tre teoremi presi in prestito dal libro di testo di A.A. Kiseleva.
Teorema 1. Sia dato un trinomio quadrato ax 2 +bx+c, dove a>0, avente 2 radici reali diverse (D>0).
Allora: 1) Per tutti i valori della variabile x minore della radice minore e maggiore della radice maggiore, il trinomio quadrato è positivo
2) Per valori di x compresi tra le radici quadrate il trinomio è negativo.
Teorema 2. Sia dato un trinomio quadrato ax 2 +bx+c, dove a>0 avente 2 radici reali identiche (D=0). Allora per tutti i valori di x diversi dalle radici del trinomio quadrato, il trinomio quadrato è positivo .
Teorema 3. Sia dato un trinomio quadrato ax 2 +bx+c dove a>0 non ha radici reali (D<0).Тогда при всех значениях x квадратный трехчлен положителен. Доказательство этих теорем приводить не надо.
Ad esempio: la disuguaglianza dovrebbe essere risolta:
D=1+288=289>0
La soluzione è
X≤-4/3 e x≥3/2
Risposta (-∞; -4/3] U
Le risposte vengono posizionate sul retro e possono essere visualizzate dopo che è trascorso il tempo assegnato. È più conveniente eseguire questo lavoro all'inizio della lezione su segnale dell'insegnante. (Attenzione, preparatevi, cominciamo). Il comando “Stop” interrompe il lavoro.
L'orario di lavoro è determinato in base al livello di preparazione della classe. L’aumento della velocità è un indicatore del lavoro dello studente.
La capacità di risolvere le disuguaglianze quadratiche sarà utile per gli studenti quando superamento dell'Esame di Stato Unificato. Nei problemi del gruppo B si incontrano sempre più compiti legati alla capacità di risolvere disuguaglianze quadratiche.
Per esempio:
Una pietra viene lanciata verticalmente verso l'alto. Fino a quando la pietra non cade, l'altezza alla quale si trova è descritta dalla formula
(h - altezza in metri, t - tempo in secondi trascorso dal momento del lancio).
Trova per quanti secondi la pietra si trovava ad un'altezza di almeno 9 metri.
Per risolverla è necessario creare una disuguaglianza:
5t2+18t-9≥0
Risposta: 2,4 secondi
Iniziando a fornire agli studenti esempi dell'Esame di Stato Unificato già in terza media nella fase di studio del materiale, ci stiamo già preparando per l'esame, la risoluzione delle disuguaglianze quadratiche contenenti un parametro consente di risolvere i problemi del gruppo C;
Un approccio non formale allo studio dell'argomento in terza media rende più facile padroneggiare il materiale nel corso "Algebra e gli inizi dell'analisi" su argomenti come "Applicazione della derivata" "Risoluzione delle disuguaglianze con il metodo degli intervalli" “Risoluzione delle disuguaglianze logaritmiche ed esponenziali” “Risoluzione delle disuguaglianze irrazionali”.
12. Dalinger V.A. Errori comuni in matematica a esami di ammissione e come prevenirli. – Omsk: Casa editrice di Omsk IUU, 1991.
3. Dalinger V.A. Tutto per garantire il successo negli esami finali e di ammissione in matematica. Problema 5. Equazioni esponenziali, logaritmiche, disequazioni e loro sistemi: Esercitazione. – Omsk: Casa editrice dell'Università pedagogica statale di Omsk, 1996.
4. Dalinger V.A. Inizi dell'analisi matematica: errori tipici, loro cause e modi per prevenirli: libro di testo. – Omsk: “Editore-poligrafo”, 2002.
5. Dalinger V.A., Zubkov A.N. Una guida per superare l'esame di matematica: analisi degli errori dei candidati in matematica e modi per prevenirli. – Omsk: Casa editrice dell’Università pedagogica statale di Omsk, 1991.
6. Kutasov d.C. Equazioni, disequazioni, sistemi esponenziali e logaritmici: Manuale didattico e metodologico N7. – Casa editrice dell'Università Aperta Russa, 1992.
Gli errori commessi dagli studenti durante la risoluzione di equazioni e disuguaglianze logaritmiche sono molto diversi: dalla formattazione errata della soluzione agli errori di natura logica. Questi e altri errori saranno discussi in questo articolo.
1. L'errore più tipico è che gli studenti, quando risolvono equazioni e disuguaglianze senza ulteriori spiegazioni, utilizzano trasformazioni che violano l'equivalenza, il che porta alla perdita delle radici e alla comparsa di cavalli estranei.
Consideriamo esempi specifici di errori di questo tipo, ma prima attiriamo l'attenzione del lettore sul seguente pensiero: non aver paura di acquisire radici estranee, possono essere scartate controllando, abbi paura di perdere radici.
a) Risolvi l'equazione:
log3(5 - x) = 3 - log3(-1 - x).
Gli studenti spesso risolvono questa equazione come segue.
log3(5 - x) = 3 - log3(-1 - x), log3(5 - x) + log3(-1 - x) = 3, log3((5 - x)(-1 - x)) = 3 , (5 - x)(-1 - x) = 33, x2 - 4x - 32 = 0,
x1 = -4; x2 = 8.
Gli studenti spesso scrivono entrambi i numeri nella risposta senza ulteriori ragionamenti. Ma come mostra un controllo, il numero x = 8 non è la radice dell'equazione originale, poiché per x = 8 i lati sinistro e destro dell'equazione perdono significato. Il controllo mostra che il numero x = -4 è la radice dell'equazione data.
b) Risolvere l'equazione
Il dominio di definizione dell'equazione originale è specificato dal sistema
Per risolvere l'equazione data, andiamo al logaritmo in base x, otteniamo
Vediamo che i lati sinistro e destro di quest'ultima equazione in x = 1 non sono definiti, ma questo numero è la radice dell'equazione originale (puoi verificarlo mediante sostituzione diretta). Pertanto, il passaggio formale a una nuova base ha portato alla perdita della radice. Per evitare di perdere la radice x = 1, è opportuno specificare che la nuova base deve essere un numero positivo diverso da uno, e considerare separatamente il caso x = 1.
2. Tutto un gruppo di errori, o meglio di mancanze, consiste nel fatto che gli studenti non prestano la dovuta attenzione alla ricerca del dominio di definizione delle equazioni, sebbene in alcuni casi sia proprio questo la chiave della soluzione. Vediamo un esempio a questo proposito.
Risolvi l'equazione
Troviamo il dominio di definizione di questa equazione, per la quale risolviamo il sistema di disequazioni:
Da qui abbiamo x = 0. Controlliamo mediante sostituzione diretta se il numero x = 0 è la radice dell'equazione originale
Risposta: x = 0.
3. Un errore tipico degli studenti è che non hanno il livello richiesto di conoscenza delle definizioni di concetti, formule, enunciati di teoremi e algoritmi. Confermiamolo con il seguente esempio.
Risolvi l'equazione
Ecco una soluzione errata a questa equazione:
Il controllo mostra che x = -2 non è una radice dell'equazione originale.
La conclusione stessa suggerisce che l'equazione data non ha radici.
Tuttavia, questo non è vero. Sostituendo x = -4 nell'equazione data, possiamo verificare che si tratta di una radice.
Analizziamo il motivo per cui si è verificata la perdita della radice.
Nell'equazione originale, le espressioni x e x + 3 possono essere entrambe negative o entrambe positive contemporaneamente, ma quando si passa all'equazione, queste stesse espressioni possono essere solo positive. Di conseguenza si è verificato un restringimento dell'area di definizione, che ha portato alla perdita delle radici.
Per evitare di perdere la radice possiamo procedere così: nell'equazione originale si passa dal logaritmo della somma al logaritmo del prodotto. In questo caso, è possibile la comparsa di radici estranee, ma è possibile eliminarle mediante sostituzione.
4. Molti errori commessi durante la risoluzione di equazioni e disuguaglianze sono una conseguenza del fatto che gli studenti molto spesso cercano di risolvere i problemi secondo un modello, cioè nel solito modo. Mostriamolo con un esempio.
Risolvere la disuguaglianza
Cercare di risolvere questa disuguaglianza utilizzando metodi algoritmici familiari non porterà a una risposta. La soluzione qui deve consistere nello stimare i valori di ciascun termine sul lato sinistro della disuguaglianza nel dominio di definizione della disuguaglianza.
Troviamo il dominio di definizione della disuguaglianza:
Per tutti gli x dell'intervallo (9;10] l'espressione ha valori positivi (i valori della funzione esponenziale sono sempre positivi).
Per tutti gli x dell'intervallo (9;10] l'espressione x - 9 ha valori positivi e l'espressione lg(x - 9) ha valori negativi o zero, quindi l'espressione (- (x - 9) lg(x - 9 ) è positivo o uguale a zero.
Infine abbiamo x∈ (9;10). Notiamo che per tali valori della variabile, ogni termine a sinistra della disuguaglianza è positivo (il secondo termine può essere uguale a zero), il che significa che la loro somma è sempre maggiore di zero. Pertanto, la soluzione della disuguaglianza originaria è gap (9;10].
5. Uno degli errori è legato alla soluzione grafica delle equazioni.
Risolvi l'equazione
La nostra esperienza dimostra che gli studenti, risolvendo graficamente questa equazione (nota che non può essere risolta con altri metodi elementari), ricevono solo una radice (è l'ascissa di un punto giacente sulla retta y = x), perché i grafici delle funzioni
Questi sono grafici di funzioni reciprocamente inverse.
Infatti l'equazione originale ha tre radici: una di esse è l'ascissa del punto giacente sulla bisettrice del primo angolo di coordinata y = x, l'altra radice e la terza radice puoi verificare la validità di quanto detto sostituendo direttamente i numeri nell'equazione data.
Si noti che le equazioni della forma logax = ax a 0< a < e-e всегда имеют три действительных корня.
Questo esempio illustra bene la seguente conclusione: soluzione grafica l'equazione f(x) = g(x) è “perfetta” se entrambe le funzioni sono diverse-monotone (una è crescente e l'altra decrescente), e non sufficientemente matematicamente corretta nel caso di funzioni monotone (entrambe lo sono simultaneamente in diminuzione o simultaneamente in aumento).
6. Una serie di errori tipici sono associati al fatto che gli studenti non risolvono equazioni e disequazioni in modo completamente corretto basandosi sull'approccio funzionale. Mostriamo errori tipici di questo tipo.
a) Risolvi l'equazione xx = x.
La funzione sul lato sinistro dell'equazione è esponenziale e, in tal caso, dovrebbero essere imposte le seguenti restrizioni in base al grado: x > 0, x ≠ 1. Prendiamo il logaritmo di entrambi i membri dell'equazione data:
Da cui abbiamo x = 1.
La logaritmizzazione non ha portato ad un restringimento del dominio di definizione dell'equazione originale. Tuttavia, abbiamo perso due radici dell’equazione; dall'osservazione immediata troviamo che x = 1 ex = -1 sono le radici dell'equazione originale.
b) Risolvere l'equazione
Come nel caso precedente, abbiamo una funzione esponenziale, che significa x > 0, x ≠ 1.
Per risolvere l'equazione originale, prendiamo il logaritmo di entrambi i membri in base qualsiasi, ad esempio in base 10:
Considerando che il prodotto di due fattori è uguale a zero quando almeno uno di essi è uguale a zero, e l'altro ha senso, abbiamo una combinazione di due sistemi:
Il primo sistema non ha soluzione; dal secondo sistema si ottiene x = 1. Tenendo conto delle restrizioni imposte in precedenza, il numero x = 1 non dovrebbe essere la radice dell'equazione originale, anche se per sostituzione diretta siamo convinti che non sia così.
7. Diamo un'occhiata ad alcuni errori associati al concetto funzione complessa Tipo . Mostriamo l'errore utilizzando questo esempio.
Determinare il tipo di monotonicità della funzione.
La nostra pratica mostra che la stragrande maggioranza degli studenti determina la monotonicità in questo caso solo dalla base del logaritmo e poiché 0< 0,5 < 1, то отсюда следует ошибочный вывод - функция убывает.
NO! Questa funzione è in aumento.
Convenzionalmente, per una funzione della forma possiamo scrivere:
Crescente (Diminuente) = Discendente;
Crescente (Crescente) = Crescente;
Decrescente (Decrescente) = Crescente;
Decrescente (Crescente) = Decrescente;
8. Risolvi l'equazione
Questo compito è tratto dalla terza parte dell'Esame di Stato Unificato, che viene valutato con punti ( punteggio massimo - 4).
Presentiamo una soluzione che contiene errori, il che significa che non riceverà il punteggio massimo.
Riduciamo i logaritmi in base 3. L'equazione assume la forma
Potenziando, otteniamo
x1 = 1, x2 = 3.
Controlliamo per identificare eventuali radici straniere.
, 1 = 1,
questo significa che x = 1 è la radice dell'equazione originale.
Ciò significa che x = 3 non è una radice dell'equazione originale.
Spieghiamo perché questa soluzione contiene errori. L'essenza dell'errore è che il record contiene due errori grossolani. Primo errore: la registrazione non ha alcun senso. Secondo errore: non è vero che il prodotto di due fattori, di cui uno è 0, sarà necessariamente zero. Sarà zero se e solo se un fattore è 0 e il secondo fattore ha senso. Qui, però, il secondo fattore non ha senso.
9. Ritorniamo all'errore già commentato sopra, ma allo stesso tempo daremo un nuovo ragionamento.
Quando risolvi equazioni logaritmiche, vai all'equazione. Ciascuna radice della prima equazione è anche radice della seconda equazione. Non è vero il contrario, in generale, quindi, passando da un'equazione all'altra, è necessario alla fine verificare le radici di quest'ultima sostituendo nell'equazione originale. Invece di controllare le radici, è consigliabile sostituire l'equazione con un sistema equivalente
Se, quando si risolve un'equazione logaritmica, le espressioni
dove n è un numero pari, vengono trasformati di conseguenza secondo le formule , , , quindi, poiché in molti casi ciò restringe il campo di definizione dell'equazione, è possibile la perdita di alcune delle sue radici. Pertanto, è consigliabile utilizzare queste formule nella seguente forma:
n è un numero pari.
Viceversa, se, risolvendo un'equazione logaritmica, le espressioni , , , dove n è un numero pari, vengono rispettivamente trasformate nelle espressioni
allora il dominio di definizione dell'equazione può espandersi, a causa del quale possono essere acquisite radici estranee. Tenendo presente ciò, in tali situazioni è necessario monitorare l'equivalenza delle trasformazioni e, se il dominio di definizione dell'equazione si espande, verificare le radici risultanti.
10. Quando risolviamo le disuguaglianze logaritmiche usando la sostituzione, risolviamo sempre prima una nuova disuguaglianza rispetto a una nuova variabile, e solo nel risolverla passiamo alla vecchia variabile.
Gli scolari molto spesso effettuano erroneamente la transizione inversa prima, nella fase in cui trovano le radici della funzione razionale ottenuta sul lato sinistro della disuguaglianza. Questo non dovrebbe essere fatto.
11. Facciamo un esempio di un altro errore relativo alla risoluzione delle disuguaglianze.
Risolvi la disuguaglianza
.
Ecco una soluzione errata che molto spesso gli studenti offrono.
Eleviamo al quadrato entrambi i lati della disuguaglianza originaria. Avremo:
da dove prendiamo le informazioni errate? disuguaglianza numerica, che ci permette di concludere: la disuguaglianza data non ha soluzioni.
