Paralēlisms ir ļoti noderīga īpašība ģeometrijā. IN īstā dzīve paralēlās malas ļauj izveidot skaistas, simetriskas lietas, kas ir patīkamas jebkurai acij, tāpēc ģeometrijai vienmēr ir bijuši nepieciešami veidi, kā pārbaudīt šo paralēlismu. Par paralēlo līniju zīmēm mēs runāsim šajā rakstā.

Paralelisma definīcija

Ļaujiet mums izcelt definīcijas, kas jums jāzina, lai pierādītu divu līniju paralēlisma pazīmes.

Taisnes sauc par paralēlām, ja tām nav krustošanās punktu. Turklāt risinājumos paralēlas līnijas parasti tiek apvienotas ar sekantu.

Sekanta taisne ir taisne, kas krusto abas paralēlās līnijas. Šajā gadījumā tiek veidoti krusteniski guļoši, atbilstoši un vienpusēji leņķi. Leņķu pāri 1 un 4 atrodas šķērsām; 2 un 3; 8 un 6; 7 un 5. Atbilstošie būs 7 un 2; 1 un 6; 8 un 4; 3 un 5.

Vienpusējs 1 un 2; 7 un 6; 8 un 5; 3. un 4.

Pareizi formatējot ir rakstīts: “Šķērsošanās leņķi divām paralēlām taisnēm a un b un sekantam c”, jo divām paralēlām līnijām var būt bezgalīgi daudz sekantu, tāpēc jānorāda, kuru sekantu tu domā.

Arī pierādījumam jums būs nepieciešama trijstūra ārējā leņķa teorēma, kas nosaka, ka trijstūra ārējais leņķis ir vienāds ar divu trijstūra leņķu summu, kas nav tam blakus.

Zīmes

Visas paralēlo līniju zīmes balstās uz zināšanām par leņķu īpašībām un teorēmu par trijstūra ārējo leņķi.

1. zīme

Divas taisnes ir paralēlas, ja krustošanās leņķi ir vienādi.

Apsveriet divas taisnes a un b ar secantu c. Šķērsvirziena leņķi 1 un 4 ir vienādi. Pieņemsim, ka līnijas nav paralēlas. Tas nozīmē, ka taisnes krustojas un ir jābūt krustošanās punktam M. Tad izveidojas trijstūris ABM ar ārējo leņķi 1. Ārējam leņķim jābūt vienādam ar leņķu 4 un ABM kā tam neblakusošo summu saskaņā ar teorēmu. uz ārējo leņķi trijstūrī. Bet tad izrādās, ka leņķis 1 ir lielāks par leņķi 4, un tas ir pretrunā ar uzdevuma nosacījumiem, kas nozīmē, ka punkts M neeksistē, taisnes nekrustojas, tas ir, tās ir paralēlas.

Rīsi. 1. Zīmējums pierādījumam.

2. zīme

Divas taisnes ir paralēlas, ja attiecīgie leņķi šķērsvirzienā ir vienādi.

Apsveriet divas taisnes a un b ar secantu c. Atbilstošie leņķi 7 un 2 ir vienādi. Pievērsīsim uzmanību leņķim 3. Tas ir vertikāli pret leņķi 7. Tas nozīmē, ka leņķi 7 un 3 ir vienādi. Tas nozīmē, ka leņķi 3 un 2 arī ir vienādi, jo<7=<2 и <7=<3. А угол 3 и угол 2 являются накрест лежащими. Следовательно, прямые параллельны, что и требовалось доказать.

Rīsi. 2. Zīmējums pierādījumam.

3. zīme

Divas taisnes ir paralēlas, ja to vienpusējo leņķu summa ir 180 grādi.

Rīsi. 3. Zīmējums pierādījumam.

Apsveriet divas taisnes a un b ar secantu c. Vienpusējo leņķu 1 un 2 summa ir vienāda ar 180 grādiem. Pievērsīsim uzmanību leņķiem 1 un 7. Tie atrodas blakus. Tas ir:

$$<1+<7=180$$

$$<1+<2=180$$

Atņemiet otro no pirmās izteiksmes:

$$(<1+<7)-(<1+<2)=180-180$$

$$(<1+<7)-(<1+<2)=0$$

$$<1+<7-<1-<2=0$$

$$<7-<2=0$$

$<7=<2$ - а они являются соответственными. Значит, прямые параллельны.

Ko mēs esam iemācījušies?

Mēs detalizēti analizējām, kādi leņķi tiek iegūti, griežot paralēlas līnijas ar trešo līniju, identificējām un detalizēti aprakstījām trīs paralēlu līniju pazīmju pierādījumu.

Tests par tēmu

Raksta vērtējums

Vidējais vērtējums: 4.1. Kopējais saņemto vērtējumu skaits: 220.

Pirmkārt, aplūkosim atšķirību starp apzīmējuma, īpašuma un aksiomas jēdzieniem.

1. definīcija

Pierakstīties viņi sauc noteiktu faktu, pēc kura var noteikt sprieduma patiesumu par interesējošo objektu.

1. piemērs

Līnijas ir paralēlas, ja to šķērsvirziena veido vienādus šķērsleņķus.

2. definīcija

Īpašums tiek formulēts gadījumā, ja ir pārliecība par sprieduma taisnīgumu.

2. piemērs

Ja paralēlas līnijas ir paralēlas, to šķērsvirziena veido vienādus šķērsām leņķus.

3. definīcija

Aksioma viņi sauc apgalvojumu, kas neprasa pierādījumus un bez tā tiek pieņemts kā patiesība.

Katrai zinātnei ir aksiomas, uz kurām balstās turpmākie spriedumi un to pierādījumi.

Paralēlu līniju aksioma

Dažkārt paralēlo taisnu aksioma tiek pieņemta kā viena no paralēlo taisnes īpašībām, bet tajā pašā laikā citi ģeometriskie pierādījumi balstās uz tās derīgumu.

1. teorēma

Caur punktu, kas neatrodas uz noteiktas taisnes, plaknē var novilkt tikai vienu taisni, kas būs paralēla dotajai.

Aksioma neprasa pierādījumus.

Paralēlu līniju īpašības

2. teorēma

Īpašums1. Paralēlu līniju tranzitivitātes īpašība:

Ja viena no divām paralēlām līnijām ir paralēla trešajai, tad otrā līnija būs tai paralēla.

Īpašībām ir nepieciešams pierādījums.

Pierādījums:

Lai ir divas paralēlas taisnes $a$ un $b$. Līnija $c$ ir paralēla līnijai $a$. Pārbaudīsim, vai šajā gadījumā taisne $c$ būs paralēla taisnei $b$.

Lai to pierādītu, mēs izmantosim pretēju priekšlikumu:

Iedomāsimies, ka ir iespējams, ka taisne $c$ ir paralēla vienai no taisnēm, piemēram, taisnei $a$, un krusto otru taisni, taisni $b$, kādā punktā $K$.

Mēs iegūstam pretrunu saskaņā ar paralēlo līniju aksiomu. Tā rezultātā rodas situācija, kurā divas taisnes krustojas vienā punktā, turklāt paralēli tai pašai taisnei $a$. Šī situācija nav iespējama, tāpēc līnijas $b$ un $c$ nevar krustoties.

Tādējādi ir pierādīts, ka, ja viena no divām paralēlām taisnēm ir paralēla trešajai taisnei, tad otrā taisne ir paralēla trešajai taisnei.

3. teorēma

2. īpašums.

Ja vienu no divām paralēlām taisnēm krusto trešā, tad ar to tiks krustota arī otrā taisne.

Pierādījums:

Lai ir divas paralēlas taisnes $a$ un $b$. Tāpat lai ir kāda taisne $c$, kas krusto kādu no paralēlajām taisnēm, piemēram, taisne $a$. Jāparāda, ka taisne $c$ krustojas arī ar otro līniju $b$.

Konstruēsim pierādījumu ar pretrunu.

Iedomāsimies, ka līnija $c$ nekrustojas līniju $b$. Tad caur punktu $K$ iet divas taisnes $a$ un $c$, kas nekrusto taisni $b$, t.i., ir tai paralēlas. Bet šī situācija ir pretrunā ar paralēlo līniju aksiomu. Tas nozīmē, ka pieņēmums bija nepareizs un līnija $c$ krustos līniju $b$.

Teorēma ir pierādīta.

Stūru īpašības, kas veido divas paralēlas līnijas un sekantu: pretējie leņķi ir vienādi, attiecīgie leņķi ir vienādi, * vienpusējo leņķu summa ir $180^(\circ)$.

3. piemērs

Dotas divas paralēlas taisnes un trešā taisne, kas ir perpendikulāra vienai no tām. Pierādīt, ka šī taisne ir perpendikulāra citai no paralēlajām taisnēm.

Pierādījums.

Pieņemsim taisnes $a \parallel b$ un $c \perp a$.

Tā kā taisne $c$ krustojas ar taisni $a$, tad atbilstoši paralēlo līniju īpašībai tā krustos arī taisni $b$.

Sekants $c$, kas krustojas paralēlās taisnes $a$ un $b$, veido ar tām vienādus iekšējos leņķus.

Jo $c \perp a$, tad leņķi būs $90^(\circ)$.

Tāpēc $c \perp b$.

Pierādījums ir pabeigts.

1. lapa no 2

1. jautājums. Pierādīt, ka divas taisnes, kas ir paralēlas trešajai, ir paralēlas.
Atbilde. Teorēma 4.1. Divas taisnes, kas ir paralēlas trešajai, ir paralēlas.
Pierādījums. Lai taisnes a un b ir paralēlas taisnei c. Pieņemsim, ka a un b nav paralēli (69. att.). Tad tās nekrustojas kādā punktā C. Tas nozīmē, ka divas taisnes iet caur punktu C paralēli taisnei c. Bet tas nav iespējams, jo caur punktu, kas neatrodas uz noteiktas līnijas, var novilkt ne vairāk kā vienu taisni paralēli dotajai. Teorēma ir pierādīta.

2. jautājums. Paskaidrojiet, kurus leņķus sauc par vienpusējiem iekšējiem leņķiem. Kādus leņķus sauc par iekšējiem šķērsām?
Atbilde. Leņķu pāriem, kas veidojas, kad līnijas AB un CD krustojas ar sekantu AC, ir īpaši nosaukumi.
Ja punkti B un D atrodas vienā pusplaknē attiecībā pret taisni AC, tad leņķus BAC un DCA sauc par vienpusējiem iekšējiem leņķiem (71. att., a).
Ja punkti B un D atrodas dažādās pusplaknēs attiecībā pret taisni AC, tad leņķus BAC un DCA sauc par iekšējiem šķērseniskiem leņķiem (71. att., b).

Rīsi. 71

3. jautājums. Pierādīt, ja viena pāra iekšējie leņķi ir vienādi, tad arī otra pāra iekšējie leņķi ir vienādi un katra pāra iekšējo leņķu summa ir 180°.
Atbilde. Sekants AC ar līnijām AB un CD veido divus iekšējo vienpusējo leņķu pārus un divus iekšējo šķērsenisko leņķu pārus. Viena pāra iekšējie šķērsleņķi, piemēram, 1. leņķis un 2. stūris, atrodas blakus cita pāra iekšējiem šķērsleņķiem: leņķim 3 un leņķim 4 (72. att.).

Rīsi. 72

Tāpēc, ja viena pāra iekšējie leņķi ir kongruenti, tad arī otra pāra iekšējie leņķi ir vienādi.
Pārim iekšējiem šķērsvirziena leņķiem, piemēram, 1. leņķim un 2. leņķim, un iekšējo vienpusēju leņķu pārim, piemēram, 2. un 3. leņķim, ir viens kopīgs leņķis - leņķis 2, un divi citi leņķi atrodas blakus. : leņķis 1 un leņķis 3.
Tāpēc, ja iekšējie šķērsleņķi ir vienādi, tad iekšējo leņķu summa ir 180°. Un otrādi: ja iekšējo krustojošo leņķu summa ir vienāda ar 180°, tad krustošanās iekšējie leņķi ir vienādi. Q.E.D.

4. jautājums. Pierādiet testu paralēlām taisnēm.
Atbilde. Teorēma 4.2 (pārbaude paralēlām taisnēm). Ja iekšējie šķērsleņķi ir vienādi vai iekšējo vienpusējo leņķu summa ir vienāda ar 180°, tad līnijas ir paralēlas.
Pierādījums. Lai taisnes a un b veido vienādus iekšējos šķērsleņķus ar nogriezni AB (73. att., a). Pieņemsim, ka taisnes a un b nav paralēlas, kas nozīmē, ka tās krustojas kādā punktā C (73. att., b).

Rīsi. 73

Sekants AB sadala plakni divās pusplaknēs. Punkts C atrodas vienā no tiem. Konstruēsim trijstūri BAC 1, kas vienāds ar trijstūri ABC, kura virsotne C 1 atrodas citā pusplaknē. Pēc nosacījuma iekšējie šķērsleņķi paralēlei a, b un sekantam AB ir vienādi. Tā kā trijstūriem ABC un BAC 1 ar virsotnēm A un B attiecīgie leņķi ir vienādi, tie sakrīt ar iekšējiem leņķiem, kas atrodas šķērsām. Tas nozīmē, ka līnija AC 1 sakrīt ar līniju a, un līnija BC 1 sakrīt ar līniju b. Izrādās, ka caur punktiem C un C 1 iet divas dažādas taisnes a un b. Un tas nav iespējams. Tas nozīmē, ka taisnes a un b ir paralēlas.
Ja taisnēm a un b un šķērsvirziena AB iekšējo vienpusējo leņķu summa ir vienāda ar 180°, tad, kā zināms, iekšējie leņķi, kas atrodas šķērsām, ir vienādi. Tas nozīmē, ka saskaņā ar iepriekš pierādīto līniju a un b ir paralēlas. Teorēma ir pierādīta.

5. jautājums. Paskaidrojiet, kurus leņķus sauc par atbilstošajiem leņķiem. Pierādīt, ja iekšējie šķērsleņķi ir vienādi, tad arī attiecīgie leņķi ir vienādi un otrādi.

Atbilde. Ja iekšējo šķērsleņķu pārim viens leņķis tiek aizstāts ar vertikālu, tad mēs iegūstam leņķu pāri, ko sauc par šo līniju atbilstošajiem leņķiem ar šķērsgriezumu. Kas ir tas, kas bija jāpaskaidro.
No iekšējo leņķu vienādības, kas atrodas šķērsām, izriet atbilstošo leņķu vienādība un otrādi. Pieņemsim, ka mums ir divas paralēlas taisnes (jo pēc nosacījuma iekšējie leņķi, kas atrodas viens otram, ir vienādi) un šķērsvirziena, kas veido leņķus 1, 2, 3. Leņķi 1 un 2 ir vienādi kā iekšējie leņķi, kas atrodas viens otram šķērsām. Un leņķi 2 un 3 ir vienādi kā vertikāli. Mēs iegūstam: \(\angle\)1 = \(\angle\)2 un \(\angle\)2 = \(\angle\)3. Pēc vienādības zīmes tranzitivitātes īpašības izriet, ka \(\angle\)1 = \(\angle\)3. Apgriezto apgalvojumu var pierādīt līdzīgā veidā.
No tā mēs iegūstam zīmi, ka taisnes ir paralēlas atbilstošajos leņķos. Proti: taisnas līnijas ir paralēlas, ja attiecīgie leņķi ir vienādi. Q.E.D.

6. jautājums. Pierādiet, ka caur punktu, kas neatrodas uz noteiktas taisnes, var novilkt tai paralēlu līniju. Cik taisnes, kas ir paralēlas noteiktai taisnei, var novilkt caur punktu, kas neatrodas uz šīs taisnes?

Atbilde. Problēma (8). Dota taisne AB un punkts C, kas neatrodas uz šīs taisnes. Pierādīt, ka caur punktu C var novilkt taisnei paralēli AB.
Risinājums. Līnija AC sadala plakni divās pusplaknēs (75. att.). Vienā no tiem atrodas punkts B. Pievienosim leņķi ACD no puslīnijas CA citai pusplaknei, kas vienāda ar leņķi CAB. Tad līnijas AB un CD būs paralēlas. Faktiski šīm līnijām un sekanta AC iekšējie leņķi BAC un DCA atrodas šķērsām. Un, tā kā tie ir vienādi, līnijas AB un CD ir paralēlas. Q.E.D.
Salīdzinot 8. uzdevuma formulējumu un aksiomu IX (paralēlu taisnes galvenā īpašība), mēs nonākam pie svarīga secinājuma: caur punktu, kas neatrodas uz noteiktas taisnes, ir iespējams novilkt tai paralēlu taisni, turklāt tikai vienu.

7. jautājums. Pierādīt, ka, ja divas taisnes krusto trešā taisne, tad krustojošie iekšējie leņķi ir vienādi un iekšējo vienpusējo leņķu summa ir 180°.

Atbilde. Teorēma 4.3(4.2. teorēmas otrādi). Ja divas paralēlas taisnes krustojas ar trešo taisni, tad krustojošie iekšējie leņķi ir vienādi, un iekšējo vienpusējo leņķu summa ir 180°.
Pierādījums. Lai a un b ir paralēlas taisnes, un c ir taisne, kas tās krusto punktos A un B. Novelkam taisni a 1 caur punktu A tā, lai iekšējie šķērsleņķi, ko veido šķērsvirziena c ar taisnēm a 1 un b, ir vienādi. (76. att.).
Saskaņā ar līniju paralēlisma principu taisnes a 1 un b ir paralēlas. Un tā kā tikai viena taisne iet caur punktu A, paralēli taisnei b, tad līnija a sakrīt ar līniju a 1.
Tas nozīmē, ka iekšējie šķērseniski leņķi, ko veido šķērsvirziena ar
paralēlas taisnes a un b ir vienādas. Teorēma ir pierādīta.

8. jautājums. Pierādīt, ka divas taisnes, kas ir perpendikulāras trešajai, ir paralēlas. Ja taisne ir perpendikulāra vienai no divām paralēlām taisnēm, tad tā ir perpendikulāra arī otrai.
Atbilde. No 4.2. teorēmas izriet, ka divas taisnes, kas ir perpendikulāras trešajai daļai, ir paralēlas.
Pieņemsim, ka jebkuras divas līnijas ir perpendikulāras trešajai līnijai. Tas nozīmē, ka šīs līnijas krustojas ar trešo līniju leņķī, kas vienāds ar 90°.
No leņķu īpašības, kas veidojas, paralēlām taisnēm krustojot šķērsvirzienu, izriet, ka, ja taisne ir perpendikulāra vienai no paralēlajām taisnēm, tad tā ir perpendikulāra arī otrai.

9. jautājums. Pierādīt, ka trijstūra leņķu summa ir 180°.

Atbilde. Teorēma 4.4. Trijstūra leņķu summa ir 180°.
Pierādījums. Dotais trīsstūris ir dots ABC. Novelkam līniju caur virsotni B paralēli taisnei AC. Atzīmēsim uz tā punktu D, lai punkti A un D atrodas taisnes BC pretējās pusēs (78. att.).
Leņķi DBC un ACB ir kongruenti kā iekšējie šķērsvirziena leņķi, ko veido šķērsvirziena BC ar paralēlām līnijām AC un BD. Tāpēc trijstūra leņķu summa virsotnēs B un C ir vienāda ar leņķi ABD.
Un visu trīs trijstūra leņķu summa ir vienāda ar leņķu ABD un BAC summu. Tā kā tie ir vienpusēji iekšējie leņķi paralēlām maiņstrāvas un BD, kā arī AB sekantam, to summa ir 180°. Teorēma ir pierādīta.

10. jautājums. Pierādīt, ka jebkuram trijstūrim ir vismaz divi asi leņķi.
Atbilde. Patiešām, pieņemsim, ka trijstūrim ir tikai viens akūts leņķis vai akūtu leņķu nav vispār. Tad šim trīsstūrim ir divi leņķi, no kuriem katrs ir vismaz 90°. Šo divu leņķu summa nav mazāka par 180°. Bet tas nav iespējams, jo trijstūra visu leņķu summa ir 180°. Q.E.D.

Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

• Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

• Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem pasākumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
• Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
• Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
• Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.

Informācijas izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

• Ja nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas procedūru, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai valdības iestāžu lūgumiem Krievijas Federācijas teritorijā - izpaust savu personas informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
• Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.

1. Pirmā paralēlisma pazīme.

Ja, divām taisnēm krustojot trešo, iekšējie leņķi, kas atrodas šķērsām, ir vienādi, tad šīs taisnes ir paralēlas.

Lai taisnes AB un CD krustojas ar taisni EF un ∠1 = ∠2. Ņemsim punktu O - sekanta EF segmenta KL vidu (Zīm.).

Nolaidīsim perpendikulu OM no punkta O uz taisni AB un turpinām, līdz tā krustojas ar taisni CD, AB ⊥ MN. Pierādīsim, ka CD ⊥ MN.

Lai to izdarītu, apsveriet divus trīsstūrus: MOE un NOK. Šie trīsstūri ir vienādi viens ar otru. Patiešām: ∠1 = ∠2 saskaņā ar teorēmu; ОK = ОL - pēc konstrukcijas;

∠MOL = ∠NOK, tāpat kā vertikālie leņķi. Tādējādi viena trīsstūra malas un divi blakus leņķi ir attiecīgi vienādi ar cita trijstūra malu un diviem blakus leņķiem; tāpēc ΔMOL = ΔNOK, un līdz ar to ∠LMO = ∠KNO,
bet ∠LMO ir taisns, kas nozīmē, ka ∠KNO arī ir taisns. Tādējādi taisnes AB un CD ir perpendikulāras vienai un tai pašai taisnei MN, tāpēc tās ir paralēlas, kas bija tas, kas bija jāpierāda.

Piezīme. Taisnu līniju MO un CD krustpunktu var noteikt, pagriežot trīsstūri MOL ap punktu O par 180°.

2. Otrā paralēlisma pazīme.

Apskatīsim, vai taisnes AB un CD ir paralēlas, ja, tām krustojot trešo taisni EF, attiecīgie leņķi ir vienādi.

Lai daži atbilstošie leņķi ir vienādi, piemēram, ∠ 3 = ∠2 (Zīm.);

∠3 = ∠1, kā vertikālie leņķi; tas nozīmē, ka ∠2 būs vienāds ar ∠1. Bet leņķi 2 un 1 krustojas iekšējie leņķi, un mēs jau zinām, ka, ja divas taisnes krustojas ar trešo, krustojošie iekšējie leņķi ir vienādi, tad šīs līnijas ir paralēlas. Tāpēc AB || CD.

Ja, divām taisnēm krustojot trešo, attiecīgie leņķi ir vienādi, tad šīs divas taisnes ir paralēlas.

Paralēlu līniju konstruēšana, izmantojot lineālu un zīmēšanas trīsstūri, balstās uz šo īpašību. Tas tiek darīts šādi.

Piestiprināsim trīsstūri lineālam, kā parādīts attēlā. Mēs pārvietosim trīsstūri tā, lai viena no tā malām slīdētu gar lineālu, un mēs novilksim vairākas taisnas līnijas pa kādu citu trijstūra malu. Šīs līnijas būs paralēlas.

3. Trešā paralēlisma pazīme.

Ļaujiet mums zināt, ka tad, kad divas taisnes AB un CD krustojas ar trešo taisni, jebkuru iekšējo vienpusējo leņķu summa ir vienāda ar 2 d(vai 180°). Vai taisnes AB un CD šajā gadījumā būs paralēlas (att.).

Ļaujiet ∠1 un ∠2 būt iekšējiem vienpusējiem leņķiem un saskaitiet līdz 2 d.

Bet ∠3 + ∠2 = 2 d kā blakus leņķi. Tāpēc ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.

Tādējādi ∠1 = ∠3, un šie iekšējie leņķi atrodas šķērsām. Tāpēc AB || CD.

Ja, divām taisnēm krustojot trešo, iekšējo vienpusējo leņķu summa ir vienāda ar 2 d (vai 180°), tad šīs divas taisnes ir paralēlas.

Paralēlu līniju zīmes:

1. Ja, divām taisnēm krustojot trešo, iekšējie leņķi, kas atrodas šķērsām, ir vienādi, tad šīs taisnes ir paralēlas.

2. Ja, divām taisnēm krustojot trešo, attiecīgie leņķi ir vienādi, tad šīs divas taisnes ir paralēlas.

3. Ja, divām taisnēm krustojot trešo, iekšējo vienpusējo leņķu summa ir 180°, tad šīs divas taisnes ir paralēlas.

4. Ja divas taisnes ir paralēlas trešajai taisnei, tad tās ir paralēlas viena otrai.

5. Ja divas taisnes ir perpendikulāras trešajai taisnei, tad tās ir paralēlas viena otrai.

Eiklida paralēlisma aksioma

Uzdevums. Caur punktu M, kas ņemts ārpus taisnes AB, novelciet līniju, kas ir paralēla taisnei AB.

Izmantojot pārbaudītās teorēmas par līniju paralēlisma pazīmēm, šo problēmu var atrisināt dažādos veidos,

Risinājums. 1. solis (199. zīmējums).

Uzzīmējam MN⊥AB un caur punktu M zīmējam CD⊥MN;

mēs iegūstam CD⊥MN un AB⊥MN.

Pamatojoties uz teorēmu (“Ja divas taisnes ir perpendikulāras vienai taisnei, tad tās ir paralēlas.”) secinām, ka CD || AB.

2. metode (200. zīmējums).

Novelkam MK, kas krustojas AB jebkurā leņķī α, un caur punktu M novelkam taisni EF, veidojot leņķi EMK ar taisni MK, kas vienāds ar leņķi α. Pamatojoties uz teorēmu (), mēs secinām, ka EF || AB.

Atrisinot šo uzdevumu, varam uzskatīt, ka ir pierādīts, ka caur jebkuru punktu M, kas atrodas ārpus taisnes AB, ir iespējams novilkt tai paralēlu taisni. Rodas jautājums: cik taisnes var pastāvēt, kas ir paralēlas noteiktai taisnei un iet caur noteiktu punktu?

Konstrukcijas prakse ļauj pieņemt, ka ir tikai viena šāda taisne, jo ar rūpīgi izpildītu zīmējumu taisnas līnijas, kas dažādos veidos novilktas caur vienu un to pašu punktu paralēli tai pašai taisnei, saplūst.

Teorētiski atbildi uz uzdoto jautājumu sniedz tā sauktā Eiklida paralēlisma aksioma; tas ir formulēts šādi:

Caur punktu, kas ņemts ārpus dotās taisnes, šai taisnei paralēli var novilkt tikai vienu taisni.

201. zīmējumā caur punktu O ir novilkta taisne SC, kas ir paralēla taisnei AB.

Jebkura cita taisne, kas iet caur punktu O, vairs nebūs paralēla taisnei AB, bet krustos to.

Aksiomu, ko Eiklīds pieņēma savos elementos un kurā teikts, ka plaknē caur punktu, kas ņemts ārpus noteiktas taisnes, šai taisnei paralēli var novilkt tikai vienu taisni. Eiklida paralēlisma aksioma.

Vairāk nekā divus tūkstošus gadu pēc Eiklida daudzi matemātiķi mēģināja pierādīt šo matemātisko apgalvojumu, taču viņu mēģinājumi vienmēr bija nesekmīgi. Tikai 1826. gadā izcilais krievu zinātnieks, Kazaņas universitātes profesors Nikolajs Ivanovičs Lobačevskis pierādīja, ka, izmantojot visas pārējās Eiklida aksiomas, šo matemātisko apgalvojumu nevar pierādīt, ka tas tiešām ir jāpieņem kā aksioma. N.I. Lobačevskis radīja jaunu ģeometriju, kuru atšķirībā no Eiklida ģeometrijas sauc par Lobačevska ģeometriju.