Uzmanību!
Ir papildu
materiāli speciālajā 555. sadaļā.
Tiem, kas ir ļoti "ne ļoti..."
Un tiem, kas “ļoti…”)
Kas noticis "kvadrātiskā nevienlīdzība"? Nav jautājumu!) Ja ņemat jebkura kvadrātvienādojumu un nomainiet zīmi tajā "=" (vienāds) ar jebkuru nevienlīdzības zīmi ( > ≥ < ≤ ≠ ), iegūstam kvadrātisko nevienādību. Piemēram:
1. x 2 -8x+12 ≥ 0
2. -x 2 + 3x > 0
3. x 2 ≤ 4
Nu tu saproti...)
Ne velti es šeit saistīju vienādojumus un nevienlīdzības. Lieta ir tāda, ka pirmais solis risināšanā jebkura kvadrātiskā nevienlīdzība - Atrisiniet vienādojumu, no kura veidojas šī nevienādība.Šī iemesla dēļ nespēja atrisināt kvadrātvienādojumus automātiski noved pie pilnīgas nevienlīdzības neveiksmes. Vai mājiens ir skaidrs?) Ja kas, apskatiet, kā atrisināt kvadrātvienādojumus. Tur viss ir sīki aprakstīts. Un šajā nodarbībā mēs tiksim galā ar nevienlīdzību.
Risinājumam gatavai nevienlīdzībai ir šāda forma: kreisajā pusē ir kvadrātveida trinomāls cirvis 2 +bx+c, labajā pusē - nulle. Nevienlīdzības zīme var būt pilnīgi jebkas. Pirmie divi piemēri ir šeit jau ir gatavi pieņemt lēmumu. Vēl jāsagatavo trešais piemērs.
Ja jums patīk šī vietne...
Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)
Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)
Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.
Ievads………………………………………………………… 3
1. Kļūdu klasifikācija ar piemēriem……………………………… .…… …5
1.1. Klasifikācija pēc uzdevumu veidiem…………………………… … ……….5
1.2. Klasifikācija pēc transformāciju veidiem……………………………10
2. Pārbaudes…………………………………………………….… .………………….12
3. Lēmumu protokoli……………… ……….….…………………………… 18
3.1. Nepareizu lēmumu protokoli………………………………………… 18
3.2. Atbildes (pareizo lēmumu protokoli)……………………………………….34
3.3. Lēmumos pieļautās kļūdas……………………………………… 51
Pielikums……………………………………………………………………… 53
Literatūra…………………………………………………………………………………….56
IEVADS
"No kļūdām jūs mācāties," saka tautas gudrība. Bet, lai mācītos no negatīvās pieredzes, vispirms ir jāsaskata kļūda. Diemžēl skolēns bieži vien nespēj to atklāt, risinot kādu konkrētu problēmu. Rezultātā radās doma veikt pētījumu, kura mērķis bija identificēt tipiskās skolēnu pieļautās kļūdas, kā arī tās pēc iespējas pilnīgāk klasificēt.
Šī pētījuma ietvaros tika izskatīts un atrisināts liels problēmu kopums no aprīļa pārbaudes iespējām, ieskaitēm un rakstiskajiem darbiem iestājeksāmeniem Omskas Valsts universitātē, dažādas rokasgrāmatas un uzdevumu krājumi reflektantiem uz augstskolām, kā arī materiāli no neklātienes skolas. Omskas Valsts universitātes Filozofijas fakultātē tika rūpīgi pētīti. Iegūtie dati tika detalizēti analizēti, lielu uzmanību pievēršot lēmumu loģikai. Pamatojoties uz šiem datiem, tika noteiktas biežāk pieļautās kļūdas, tas ir, tipiskās.
Pamatojoties uz šīs analīzes rezultātiem, tika mēģināts sistematizēt raksturīgās kļūdas un klasificēt tās pēc pārveidojumu veidiem un problēmu veidiem, starp kuriem tika ņemtas vērā: kvadrātvienādības, nevienādību sistēmas, daļracionālie vienādojumi, vienādojumi ar modulis, iracionālie vienādojumi, vienādojumu sistēmas, kustības problēmas, darba uzdevumi un darba produktivitāte, trigonometriskie vienādojumi, sistēmas trigonometriskie vienādojumi, planimetrija.
Klasifikācijai pievienota ilustrācija nepareizu lēmumu protokolu veidā, kas ļauj palīdzēt skolēniem attīstīt spēju pārbaudīt un kontrolēt sevi, kritiski izvērtēt savu darbību, atrast kļūdas un veidus, kā tās novērst.
Nākamais posms bija darbs ar testiem. Katrai problēmai tika piedāvātas piecas iespējamās atbildes, no kurām viena bija pareiza, bet pārējās četras bija nepareizas, taču tās netika ņemtas nejauši, bet gan atbilst risinājumam, kurā tika pieļauta konkrēta kļūda, standarta šāda veida uzdevumiem. . Tas nodrošina pamatu kļūdas “smaguma” pakāpes prognozēšanai un garīgo pamatoperāciju attīstībai (analīze, sintēze, salīdzināšana, vispārināšana). Pārbaudēm ir šāda struktūra:
Kļūdu kodi tiek iedalīti trīs veidos: OK - pareizā atbilde, digitālais kods - kļūda no klasifikācijas pēc uzdevuma veida, burtu kods - kļūda no klasifikācijas pēc transformācijas veida. To dekodēšana ir atrodama 1. nodaļā Kļūdu klasifikācija ar piemēriem.
Tālāk tika piedāvāti uzdevumi, lai atrastu kļūdu risinājumā. Šie materiāli tika izmantoti, strādājot ar NOF Omskas Valsts universitātes neklātienes skolas studentiem, kā arī Omskas un Omskas apgabala skolotāju kvalifikācijas paaugstināšanas kursos, kurus vadīja NOF Omskas Valsts universitāte.
Nākotnē, balstoties uz paveikto darbu, iespējams izveidot sistēmu ieskaites kārtotāja zināšanu un prasmju līmeņa uzraudzībai un novērtēšanai. Kļūst iespējams identificēt darba problemātiskās jomas, fiksēt veiksmīgas metodes un paņēmienus un analizēt, kādu apmācību saturu ir lietderīgi paplašināt. Bet, lai šīs metodes būtu visefektīvākās, ir nepieciešama studentu interese. Šim nolūkam es kopā ar Chubrik A.V. un tika izstrādāts neliels programmatūras produkts, kas ģenerē nepareizus lineāros un kvadrātvienādojumi (teorētiskā bāze un algoritmi - es un Chuubrik A.V., palīdzība ieviešanā - students gr. MP-803 Fiļimonovs M.V.). Darbs ar šo programmu sniedz skolēnam iespēju darboties kā skolotājam, kura skolēns ir dators.
Iegūtie rezultāti var kalpot kā sākums nopietnākam pētījumam, kas tuvākā un ilgākā termiņā spēs veikt nepieciešamās korekcijas matemātikas mācību sistēmā.
1. KĻŪDU KLASIFIKĀCIJA AR PIEMĒRIEM
1.1. Klasifikācija pēc uzdevumu veidiem
1. Algebriskie vienādojumi un nevienādības.
1.1. Kvadrātiskās nevienādības. Nevienlīdzību sistēmas:
1.1.1. Kvadrātiskā trinoma saknes atrastas nepareizi: nepareizi izmantota Vietas teorēma un formula sakņu atrašanai;
1.1.2. Kvadrātiskā trinoma grafiks ir parādīts nepareizi;
|
|
1.1.3. Argumenta vērtības, pie kurām ir izpildīta nevienlīdzība, ir nepareizi definētas;
1.1.4. Dalīšana ar izteiksmi, kas satur nezināmu lielumu;
1.1.5. Nevienādību sistēmās visu nevienlīdzību risinājumu krustpunkts tiek pieņemts nepareizi;
1.1.6. Intervālu beigas ir nepareizi iekļautas vai nav iekļautas galīgajā atbildē;
1.1.7. Noapaļošana.
1.2. Frakcionālie racionālie vienādojumi:
1.2.1. ODZ ir norādīts nepareizi vai nav norādīts: nav ņemts vērā, ka daļas saucējs nedrīkst būt vienāds ar nulli;
ODZ: .
1.2.2. Saņemot atbildi, DZ netiek ņemts vērā;
Sadaļas: Matemātika
Klase: 9
Obligāts mācību rezultāts ir spēja atrisināt formas nevienlīdzības:
cirvis 2 + bx+ c ><0
pamatojoties uz kvadrātfunkcijas shematisku grafiku.
Visbiežāk skolēni pieļauj kļūdas, risinot kvadrātiskās nevienādības ar negatīvu pirmo koeficientu. Šādos gadījumos mācību grāmatā ir ieteikts aizstāt nevienlīdzību ar pozitīvu koeficientu pie x 2 (piemērs Nr. 3) Ir svarīgi, lai skolēni saprastu, ka problēmas risināšanai ir nepieciešams “aizmirst” par sākotnējo nevienādību , viņiem ir jāuzzīmē parabola ar zariem, kas vērsti uz augšu. Var strīdēties dažādi.
Pieņemsim, ka mums ir jāatrisina nevienlīdzība:
–x 2 + 2x –5<0
Vispirms noskaidrosim, vai funkcijas y=-x 2 +2x-5 grafiks krustojas ar OX asi. Lai to izdarītu, atrisināsim vienādojumu:
Vienādojumam nav sakņu, tāpēc funkcijas y=-x 2 +2x-5 grafiks atrodas pilnībā zem X ass un nevienādība -x 2 +2x-5<0 выполняется при любых значения Х. Необходимо показать учащимся оба способа решения и разрешить пользоваться любым из них.
Spēja risināt ir attīstīta uz Nr. 111 un Nr. 119. Obligāti jāņem vērā šādas nevienādības x 2 +5>0, -x 2 -3≤0; 3x 2 > 0 utt.
Protams, risinot šādas nevienādības, var izmantot parabolu. Tomēr spēcīgiem studentiem atbildes jāsniedz nekavējoties, neizmantojot zīmēšanu. Šajā gadījumā ir jāpieprasa paskaidrojumi, piemēram: x 2 ≥0 un x 2 +7>0 jebkurai x vērtībai. Atkarībā no klases sagatavotības līmeņa var aprobežoties ar šiem skaitļiem vai izmantot Nr.120 Nr.121. Tajos nepieciešams veikt vienkāršas identiskas pārvērtības, tāpēc šeit apskatītais materiāls tiks atkārtots. Šīs telpas ir paredzētas spēcīgiem studentiem. Ja tiek sasniegts labs rezultāts un kvadrātvienādību risināšana nesagādā problēmas, tad var lūgt skolēniem atrisināt nevienādību sistēmu, kurā viena vai abas nevienādības ir kvadrātiskas (193., 194. uzdevums).
Interesanti ir ne tikai atrisināt kvadrātvienādības, bet arī kur citur šo risinājumu var pielietot: atrast kvadrātvienādojuma ar parametriem izpētes funkcijas definīcijas apgabalu (122.-124. uzdevums Visprogresīvākajiem studentiem jūs). var uzskatīt kvadrātiskās nevienādības ar formas parametriem:
Ax 2 +Bx+C>0 (≥0)
Cirvis 2 +Bx+C<0 (≤0)
Kur A,B,C ir izteiksmes atkarībā no parametriem, A≠0,x nav zināmi.
Nevienādība Ax 2 +Bx+C>0
To pēta saskaņā ar šādām shēmām:
1)Ja A=0, tad mums ir lineārā nevienādība Bx+C>0
2) Ja A≠0 un diskriminants D>0, tad varam faktorēt kvadrātveida trinomu un iegūt nevienādību
A(x-x1) (x-x2)>0
x 1 un x 2 ir vienādojuma Ax 2 +Bx+C=0 saknes
3) Ja A≠0 un D<0 то если A>0 risinājums būs reālo skaitļu kopa R; pie A<0 решений нет.
Pārējās nevienlīdzības var pētīt līdzīgi.
Var izmantot kvadrātvienādību risināšanai, tātad kvadrātiskā trinoma īpašība
1) Ja A>0 un D<0 то Ax2+Bx+C>0- visiem x.
2) Ja A<0 и D<0 то Ax2+Bx+C<0 при всех x.
Atrisinot kvadrātvienādību, ērtāk izmantot funkcijas y=Ax2+Bx+C grafika shematisku attēlojumu.
Piemērs: visām parametru vērtībām atrisiniet nevienādību
X 2 +2(b+1)x+b 2 >0
D=4(b+1) 2-4b 2 =4b 2 +8b+4-4b 2
1) D<0 т.е. 2b+1<0
Koeficients x 2 priekšā ir 1>0, tad nevienādība ir apmierināta visiem x, t.i. X un R
2) D=0 => 2b+1=0
Tad x 2 +x+¼>0
x є(-∞;-½) U (-½;∞)
3) D>0 =>2b+1>0
Kvadrātveida trinoma saknes ir:
X 1 =-b-1-√2b+1
X 2 =-b-1+√2b+1
Nevienlīdzība izpaužas formā
(x-x 1) (x-x 2)>0
Izmantojot intervāla metodi, mēs iegūstam
x є(-∞;x 1) U (x 2 ;∞)
Par neatkarīgs lēmums dod šādu nevienādību
Nevienādību risināšanas rezultātā studentam jāsaprot, ka otrās pakāpes nevienādību risināšanai grafa konstruēšanas metodē tiek piedāvāts atteikties no pārmērīgas detalizācijas, no parabolas virsotņu koordinātu atrašanas, ievērojot mērogā, un var aprobežoties ar kvadrātfunkcijas grafika skices uzzīmēšanu.
Vecākajā līmenī kvadrātvienādību risināšana praktiski nav patstāvīgs uzdevums, bet darbojas kā cita vienādojuma vai nevienādības (logaritmiskā, eksponenciālā, trigonometriskā) risināšanas sastāvdaļa. Tāpēc ir nepieciešams mācīt skolēniem, kā raiti risināt kvadrātvienādības. Varat atsaukties uz trim teorēmām, kuras no mācību grāmatas aizguva A.A. Kiseļeva.
Teorēma 1. Dots kvadrātveida trīsnoma asis 2 +bx+c, kur a>0, kam ir 2 dažādas reālās saknes (D>0).
Tad: 1) visām mainīgā x vērtībām, kas ir mazākas par mazāko sakni un lielākas par lielāko sakni, kvadrātveida trinomāls ir pozitīvs
2) X vērtībām starp kvadrātsaknēm trinomāls ir negatīvs.
2. teorēma. Ļaujiet dot kvadrātveida trinomu ax 2 +bx+c, kur a>0 ar 2 identiskām reālajām saknēm (D=0), tad visām x vērtībām, kas atšķiras no kvadrātveida trinoma saknēm, kvadrātveida trīsnoma ir pozitīva .
3. teorēma. Ļaujiet dot kvadrātveida trīsnoma asi ax 2 +bx+c, kur a>0 bez reālas saknes (D<0).Тогда при всех значениях x квадратный трехчлен положителен. Доказательство этих теорем приводить не надо.
Piemēram: nevienlīdzība ir jāatrisina:
D=1+288=289>0
Risinājums ir
X≤-4/3 un x≥3/2
Atbilde (-∞; -4/3] U
Atbildes ir novietotas otrā pusē, un tās var apskatīt pēc tam, kad ir pagājis atvēlētais laiks. Šo darbu visērtāk ir veikt stundas sākumā pēc skolotāja signāla. (Uzmanību, sagatavojieties, sāksim). Komanda “Stop” pārtrauc darbu.
Darba laiks tiek noteikts atkarībā no nodarbības sagatavotības līmeņa. Ātruma palielināšanās ir studenta darba rādītājs.
Prasme atrisināt kvadrātvienādības noderēs skolēniem, kad nokārtojot vienoto valsts eksāmenu. B grupas problēmās arvien biežāk sastopami uzdevumi, kas saistīti ar spēju atrisināt kvadrātvienādības.
Piemēram:
Akmens tiek izmests vertikāli uz augšu. Kamēr akmens nokrīt, augstumu, kādā tas atrodas, apraksta ar formulu
(h - augstums metros, t - laiks sekundēs, kas pagājis no metiena brīža).
Atrodiet, cik sekundes akmens atradās vismaz 9 metru augstumā.
Lai atrisinātu, ir jārada nevienlīdzība:
5t 2 +18t-9≥0
Atbilde: 2,4 s
Sākot sniegt studentiem piemērus no vienotā valsts eksāmena jau 9. klasē materiāla apguves posmā, mēs jau gatavojamies eksāmenam, atrisinot kvadrātiskās nevienādības, kas satur parametru, ļauj atrisināt C grupas uzdevumus.
Neformāla pieeja tēmas apguvei 9. klasē atvieglo kursa “Algebra un analīzes sākumi” materiāla apguvi par tādām tēmām kā “Atvasinājuma pielietojums” “Nevienādību risināšana ar intervālu metodi” “Logaritmisko un eksponenciālo nevienādību risināšana” “Iracionālo nevienādību risināšana”.
12. Dalingers V.A. Biežas kļūdas matemātikā plkst iestājeksāmeni un kā tos novērst. – Omska: Omskas IUU izdevniecība, 1991.
3. Dalingers V.A. Viss, lai nodrošinātu panākumus matemātikas gala un iestājpārbaudījumos. 5. izdevums. Eksponenciālie, logaritmiskie vienādojumi, nevienādības un to sistēmas: Apmācība. – Omska: Omskas Valsts pedagoģiskās universitātes izdevniecība, 1996.
4. Dalingers V.A. Matemātiskās analīzes sākums: tipiskās kļūdas, to cēloņi un to novēršanas veidi: Mācību grāmata. – Omska: “Izdevējs-Pligrāfs”, 2002.
5. Dalingers V.A., Zubkovs A.N. Rokasgrāmata matemātikas eksāmena nokārtošanai: pretendentu kļūdu analīze matemātikā un veidi, kā tās novērst. – Omska: Omskas Valsts pedagoģiskās universitātes izdevniecība, 1991.
6. Kutasovs A.D. Eksponenciālie un logaritmiskie vienādojumi, nevienādības, sistēmas: Mācību līdzeklis N7. – Krievijas Atvērtās universitātes izdevniecība, 1992. gads.
Kļūdas, ko pieļauj studenti, risinot logaritmiskos vienādojumus un nevienādības, ir ļoti dažādas: no nepareiza risinājuma formatējuma līdz loģiska rakstura kļūdām. Šīs un citas kļūdas tiks apspriestas šajā rakstā.
1. Tipiskākā kļūda ir tā, ka skolēni, risinot vienādojumus un nevienādības bez papildu skaidrojuma, izmanto transformācijas, kas pārkāpj ekvivalenci, kas noved pie sakņu zuduma un svešu zirgu parādīšanās.
Apskatīsim konkrētus šāda veida kļūdu piemērus, taču vispirms vēršam lasītāja uzmanību uz šādu domu: nebaidieties iegūt svešas saknes, tās var izmest, pārbaudot, baidieties zaudēt saknes.
a) Atrisiniet vienādojumu:
log3(5 - x) = 3 - log3 (-1 - x).
Studenti bieži atrisina šo vienādojumu šādi.
log3 (5 - x) = 3 - log3 (-1 - x), log3 (5 - x) + log3 (-1 - x) = 3, log3 ((5 - x) (-1 - x)) = 3 , (5 - x) (-1 - x) = 33, x2 - 4x - 32 = 0,
x1 = -4; x2 = 8.
Studenti atbildē bieži ieraksta abus skaitļus bez papildu argumentācijas. Bet, kā rāda pārbaude, skaitlis x = 8 nav sākotnējā vienādojuma sakne, jo pie x = 8 vienādojuma kreisā un labā puse zaudē nozīmi. Pārbaude parāda, ka skaitlis x = -4 ir dotā vienādojuma sakne.
b) Atrisiniet vienādojumu
Sākotnējā vienādojuma definīcijas jomu nosaka sistēma
Lai atrisinātu doto vienādojumu, ejam uz logaritmu uz bāzi x, mēs iegūstam
Mēs redzam, ka šī pēdējā vienādojuma kreisā un labā puse pie x = 1 nav definētas, taču šis skaitlis ir sākotnējā vienādojuma sakne (to var pārbaudīt, veicot tiešu aizstāšanu). Tādējādi formālā pāreja uz jaunu bāzi noveda pie saknes zaudēšanas. Lai nezaudētu sakni x = 1, jānorāda, ka jaunajai bāzei jābūt pozitīvam skaitlim, kas nav viens, un atsevišķi jāapsver gadījums x = 1.
2. Vesela kļūdu vai drīzāk nepilnību grupa sastāv no tā, ka studenti nepievērš pienācīgu uzmanību vienādojumu definīcijas jomas atrašanai, lai gan dažos gadījumos tieši tā ir risinājuma atslēga. Apskatīsim piemēru šajā sakarā.
Atrisiniet vienādojumu
Atradīsim šī vienādojuma definīcijas apgabalu, kuram atrisinām nevienādību sistēmu:
No kurienes mums ir x = 0. Ar tiešu aizstāšanu pārbaudīsim, vai skaitlis x = 0 ir sākotnējā vienādojuma sakne
Atbilde: x = 0.
3. Tipiska studentu kļūda ir tāda, ka viņiem nav nepieciešamā līmeņa zināšanu par jēdzienu definīcijām, formulām, teorēmu apgalvojumiem un algoritmiem. Apstiprināsim to ar šādu piemēru.
Atrisiniet vienādojumu
Šeit ir kļūdains šī vienādojuma risinājums:
Pārbaude parāda, ka x = -2 nav sākotnējā vienādojuma sakne.
Secinājums liek domāt, ka dotajam vienādojumam nav sakņu.
Tomēr tā nav taisnība. Dotajā vienādojumā aizstājot x = -4, mēs varam pārbaudīt, vai tā ir sakne.
Analizēsim, kāpēc notika sakņu zudums.
Sākotnējā vienādojumā izteiksmes x un x + 3 var būt gan negatīvas, gan abas pozitīvas vienlaikus, bet, pārejot uz vienādojumu, šīs pašas izteiksmes var būt tikai pozitīvas. Līdz ar to definīcijas apgabals tika sašaurināts, kā rezultātā tika zaudētas saknes.
Lai nezaudētu sakni, varam rīkoties šādi: sākotnējā vienādojumā mēs pārejam no summas logaritma uz reizinājuma logaritmu. Šajā gadījumā ir iespējama svešu sakņu parādīšanās, taču jūs varat no tām atbrīvoties, aizstājot.
4. Daudzas kļūdas, kas tiek pieļautas, risinot vienādojumus un nevienādības, ir sekas tam, ka skolēni ļoti bieži mēģina risināt uzdevumus pēc šablona, tas ir, parastajā veidā. Parādīsim to ar piemēru.
Atrisiniet nevienlīdzību
Mēģinot atrisināt šo nevienlīdzību, izmantojot pazīstamas algoritmiskās metodes, atbilde netiks sniegta. Risinājumam šeit jāietver katra termina vērtību novērtēšana nevienlīdzības kreisajā pusē nevienlīdzības definīcijas jomā.
Atradīsim nevienlīdzības definīcijas jomu:
Visiem x no intervāla (9;10] izteiksmei ir pozitīvas vērtības (eksponenciālās funkcijas vērtības vienmēr ir pozitīvas).
Visiem x no intervāla (9;10] izteiksmei x - 9 ir pozitīvas vērtības, un izteiksmei lg(x - 9) ir negatīvas vai nulles vērtības, tad izteiksmei (- (x - 9) lg(x - 9 ) ir pozitīvs vai vienāds ar nulli.
Beidzot mums ir x∈ (9;10]. Ņemiet vērā, ka šādām mainīgā vērtībām katrs vārds nevienādības kreisajā pusē ir pozitīvs (otrais vārds var būt vienāds ar nulli), kas nozīmē, ka to summa vienmēr ir lielāka par nulli. Tāpēc sākotnējās nevienādības risinājums ir sprauga (9;10).
5. Viena no kļūdām ir saistīta ar vienādojumu grafisko risinājumu.
Atrisiniet vienādojumu
Mūsu pieredze rāda, ka skolēni, grafiski risinot šo vienādojumu (ņemiet vērā, ka ar citām elementārām metodēm to nevar atrisināt), saņem tikai vienu sakni (tā ir uz taisnes y = x esošā punkta abscisa), jo funkciju grafiki
Tie ir savstarpēji apgrieztu funkciju grafiki.
Faktiski sākotnējam vienādojumam ir trīs saknes: viena no tām ir punkta abscisa, kas atrodas uz pirmā koordinātu leņķa bisektrise y = x, otra sakne un trešā sakne. Jūs varat pārbaudīt teiktā tieši aizvietojot skaitļus dotajā vienādojumā.
Ņemiet vērā, ka vienādojumi formā logax = ax pie 0< a < e-e всегда имеют три действительных корня.
Šis piemērs labi ilustrē šādu secinājumu: grafiskais risinājums vienādojums f(x) = g(x) ir “nevainojams”, ja abas funkcijas ir atšķirīgas – monotoniskas (viena no tām pieaug, bet otra samazinās), un nav pietiekami matemātiski pareizs monotonu funkciju gadījumā (abas ir vai nu vienlaikus samazinās, vai vienlaikus palielinās).
6. Vairākas tipiskas kļūdas ir saistītas ar to, ka studenti nepilnīgi pareizi risina vienādojumus un nevienādības, balstoties uz funkcionālo pieeju. Parādīsim tipiskas šāda veida kļūdas.
a) Atrisiniet vienādojumu xx = x.
Funkcija vienādojuma kreisajā pusē ir eksponenciāla, un, ja tā, tad uz pakāpes pamata jāuzliek šādi ierobežojumi: x > 0, x ≠ 1. Ņemsim dotā vienādojuma abu pušu logaritmu:
No kurienes mums ir x = 1.
Logaritmizācija neizraisīja sākotnējā vienādojuma definīcijas jomas sašaurināšanos. Taču, neskatoties uz to, mēs esam zaudējuši divas vienādojuma saknes; ar tūlītēju novērojumu mēs atklājam, ka x = 1 un x = -1 ir sākotnējā vienādojuma saknes.
b) Atrisiniet vienādojumu
Tāpat kā iepriekšējā gadījumā, mums ir eksponenciāla funkcija, kas nozīmē x > 0, x ≠ 1.
Lai atrisinātu sākotnējo vienādojumu, mēs ņemam abu pušu logaritmu uz jebkuru bāzi, piemēram, uz 10. bāzi:
Ņemot vērā, ka divu faktoru reizinājums ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no tiem ir vienāds ar nulli, bet otram ir jēga, mums ir divu sistēmu kombinācija:
Pirmajai sistēmai nav risinājuma; no otrās sistēmas iegūstam x = 1. Ņemot vērā iepriekš uzliktos ierobežojumus, skaitlim x = 1 nevajadzētu būt sākotnējā vienādojuma saknei, lai gan ar tiešo aizstāšanu mēs esam pārliecināti, ka tas tā nav.
7. Apskatīsim dažas kļūdas, kas saistītas ar koncepciju sarežģīta funkcija laipns . Parādīsim kļūdu, izmantojot šo piemēru.
Nosakiet funkcijas monotonitātes veidu.
Mūsu prakse rāda, ka lielākā daļa studentu monotonitāti šajā gadījumā nosaka tikai pēc logaritma bāzes, un kopš 0< 0,5 < 1, то отсюда следует ошибочный вывод - функция убывает.
Nē! Šī funkcija palielinās.
Parasti formas funkcijai mēs varam rakstīt:
Pieaug (samazinās) = dilstoša;
Pieaug (pieaug) = pieaug;
Samazinās (samazinās) = palielinās;
Samazinās (pieaug) = samazinās;
8. Atrisiniet vienādojumu
Šis uzdevums ir ņemts no Vienotā valsts eksāmena trešās daļas, kas tiek novērtēta ar punktiem ( maksimālais rezultāts - 4).
Mēs piedāvājam risinājumu, kurā ir kļūdas, kas nozīmē, ka tas nesaņems maksimālo punktu skaitu.
Mēs samazinām logaritmus līdz 3. bāzei. Vienādojums iegūst formu
Potencējot, mēs iegūstam
x1 = 1, x2 = 3.
Pārbaudīsim, vai nav svešas saknes.
, 1 = 1,
tas nozīmē, ka x = 1 ir sākotnējā vienādojuma sakne.
Tas nozīmē, ka x = 3 nav sākotnējā vienādojuma sakne.
Paskaidrosim, kāpēc šajā risinājumā ir kļūdas. Kļūdas būtība ir tāda, ka ierakstā ir divas rupjas kļūdas. Pirmā kļūda: ierakstam nav nekādas jēgas. Otrā kļūda: tā nav taisnība, ka divu faktoru reizinājums, no kuriem viens ir 0, noteikti būs nulle. Tā būs nulle tad un tikai tad, ja viens faktors ir 0 un otrais faktors ir jēga. Tomēr šeit otrajam faktoram nav jēgas.
9. Atgriezīsimies pie jau iepriekš komentētās kļūdas, bet tajā pašā laikā sniegsim jaunu argumentāciju.
Risinot logaritmiskos vienādojumus, dodieties uz vienādojumu. Katra pirmā vienādojuma sakne ir arī otrā vienādojuma sakne. Vispārīgi runājot, otrādi nav taisnība, tāpēc, pārejot no vienādojuma uz vienādojumu, beigās ir jāpārbauda pēdējā saknes, aizstājot to sākotnējā vienādojumā. Tā vietā, lai pārbaudītu saknes, ir ieteicams aizstāt vienādojumu ar līdzvērtīgu sistēmu
Ja, risinot logaritmisko vienādojumu, izteiksmes
kur n ir pāra skaitlis, tiek attiecīgi pārveidoti pēc formulām , , , tad, tā kā daudzos gadījumos tas sašaurina vienādojuma definīcijas jomu, ir iespējama dažu tā sakņu zaudēšana. Tāpēc šīs formulas ieteicams izmantot šādā formā:
n ir pāra skaitlis.
Un otrādi, ja, risinot logaritmisko vienādojumu, izteiksmes , , , kur n ir pāra skaitlis, tiek attiecīgi pārveidotas izteiksmēs
tad vienādojuma definīcijas apgabals var paplašināties, kā rezultātā var iegūt svešas saknes. Ņemot to vērā, šādās situācijās ir jāuzrauga transformāciju ekvivalence un, ja vienādojuma definīcijas joma paplašinās, jāpārbauda iegūtās saknes.
10. Atrisinot logaritmiskās nevienādības, izmantojot aizstāšanu, mēs vienmēr vispirms atrisinām jaunu nevienādību attiecībā pret jaunu mainīgo, un tikai to risinot mēs pārejam pie vecā mainīgā.
Skolēni ļoti bieži kļūdaini veic apgriezto pāreju agrāk, nevienlīdzības kreisajā pusē iegūtās racionālās funkcijas sakņu atrašanas stadijā. To nevajadzētu darīt.
11. Minēsim piemēru citai kļūdai, kas saistīta ar nevienādību risināšanu.
Atrisiniet nevienlīdzību
.
Šeit ir kļūdains risinājums, ko studenti ļoti bieži piedāvā.
Aprēķināsim abas sākotnējās nevienādības puses. Mums būs:
no kurienes mēs ņemam nepareizu informāciju? skaitliskā nevienlīdzība, kas ļauj secināt: dotajai nevienlīdzībai nav atrisinājumu.
