Оюутан дунд сургуульд ороход математикийг алгебр, геометр гэсэн хоёр хичээлд хуваадаг. Илүү олон ухагдахуун бий болж, даалгавар нь улам бүр хэцүү болж байна. Зарим хүмүүс бутархайг ойлгоход бэрхшээлтэй байдаг. Энэ сэдвээр анхны хичээлээ орхисон, мөн voila. бутархай? Сургуулийн амьдралынхаа туршид зовоох асуулт.

Алгебрийн бутархайн тухай ойлголт

Тодорхойлолтоор эхэлье. Доод алгебрийн бутархайнь P/Q илэрхийлэлд хамаарах ба P нь тоологч, Q нь хуваагч юм. Тоо, тоон илэрхийлэл эсвэл тоон-цагаан толгойн илэрхийлэлийг үсгийн оруулгын доор нууж болно.

Алгебрийн бутархайг хэрхэн шийдэх талаар бодохоосоо өмнө ийм илэрхийлэл нь бүхэл бүтэн хэсэг гэдгийг ойлгох хэрэгтэй.

Дүрмээр бол бүхэл тоо нь 1. Хусагч дахь тоо нь нэгж хэдэн хэсэгт хуваагдаж байгааг харуулдаг. Хэдэн элемент авсныг олохын тулд тоологч хэрэгтэй. Бутархайн талбар нь хуваах тэмдэгтэй тохирч байна. Бутархай илэрхийллийг "Хуваах" математик үйлдлээр бичихийг зөвшөөрнө. Энэ тохиолдолд тоологч нь ногдол ашиг, хуваагч нь хуваагч юм.

Энгийн бутархайн үндсэн дүрэм

Оюутнууд сургуульд энэ сэдвийг судлахдаа бататгах жишээг өгдөг. Тэдгээрийг зөв шийдэж, нарийн төвөгтэй нөхцөл байдлаас гарах янз бүрийн арга замыг олохын тулд та бутархайн үндсэн шинж чанарыг ашиглах хэрэгтэй.

Энэ нь дараах байдалтай байна: Хэрэв та тоологч ба хуваагчийг хоёуланг нь ижил тоо эсвэл илэрхийллээр (тэгээс бусад) үржүүлбэл энгийн бутархайн утга өөрчлөгдөхгүй. Энэ дүрмийн онцгой тохиолдол бол илэрхийллийн хоёр талыг ижил тоо эсвэл олон гишүүнт хуваах явдал юм. Ийм хувиргалтыг ижил тэгш байдал гэж нэрлэдэг.

Доор бид алгебрийн бутархайг нэмэх, хасах, бутархайг үржүүлэх, хуваах, багасгах үйлдлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар авч үзэх болно.

Бутархайтай математик үйлдлүүд

Хэрхэн шийдвэрлэх, алгебрийн бутархайн үндсэн шинж чанар, түүнийг практикт хэрхэн ашиглах талаар авч үзье. Хэрэв та хоёр бутархайг үржүүлэх, нэмэх, нэг нэгээр нь хуваах, хасах шаардлагатай бол дүрмийг үргэлж дагаж мөрдөх ёстой.

Тиймээс нэмэх хасах үйлдлийг гүйцэтгэхийн тулд илэрхийллийг нийтлэг хуваагч руу хүргэхийн тулд нэмэлт хүчин зүйлийг олох шаардлагатай. Хэрэв бутархайг ижил Q илэрхийллээр өгсөн бол энэ догол мөрийг орхих хэрэгтэй. Нэгэнт нийтлэг хуваагч олдвол алгебрийн бутархайг хэрхэн шийдэх вэ? Та тоологч нэмэх эсвэл хасах хэрэгтэй. Гэхдээ! Хэрэв бутархайн өмнө "-" тэмдэг байгаа бол тоологч дахь бүх тэмдгүүд эсрэгээрээ байна гэдгийг санах нь зүйтэй. Заримдаа та ямар нэгэн орлуулалт, математикийн үйлдлийг хийх ёсгүй. Бутархайн урд талын тэмдгийг өөрчлөхөд хангалттай.

гэсэн ойлголтыг ихэвчлэн ашигладаг бутархай хэсгүүдийг багасгах. Энэ нь дараахь зүйлийг хэлнэ: хэрэв тоологч ба хуваагчийг нэгээс өөр илэрхийллээр (хоёр хэсэгт ижил) хуваавал шинэ бутархай гарна. Ногдол ашиг ба хуваагч нь өмнөхөөсөө бага боловч бутархайн үндсэн дүрмийн улмаас тэдгээр нь анхны жишээтэй тэнцүү хэвээр байна.

Энэ үйлдлийн зорилго нь шинэ бууруулж болохгүй илэрхийлэлийг олж авах явдал юм. Шийдэх энэ даалгаварТа үүнийг тоологч ба хуваагчийг хамгийн их нийтлэг хүчин зүйлээр багасгаж болно. Үйлдлийн алгоритм нь хоёр цэгээс бүрдэнэ.

1. Бутархайн хоёр талын gcd-г олох.
2. Тоолуур ба хуваагчийг олсон илэрхийлэлд хувааж, өмнөхтэй тэнцэх, бууруулж болохгүй бутархайг олж авна.

Доорх томъёог харуулсан хүснэгт байна. Тохиромжтой болгохын тулд та үүнийг хэвлэж аваад дэвтэр дээрээ авч явах боломжтой. Гэсэн хэдий ч ирээдүйд тест эсвэл шалгалтыг шийдвэрлэхдээ алгебрийн бутархайг хэрхэн шийдвэрлэх тухай асуултад бэрхшээл гарахгүйн тулд эдгээр томъёог цээжээр сурах ёстой.

Шийдэл бүхий хэд хэдэн жишээ

Онолын үүднээс авч үзвэл алгебрийн бутархайг хэрхэн шийдэх вэ гэсэн асуултыг авч үздэг. Өгүүлэлд өгсөн жишээнүүд нь материалыг илүү сайн ойлгоход тусална.

1. Бутархайг хөрвүүлж, нийтлэг хуваарьт ав.

2. Бутархайг хувиргаж, нийтлэг хуваарьт ав.

Онолын хэсгийг судалж, практик хэсгийг авч үзсэний дараа дахин асуулт гарч ирэх ёсгүй.

Яриагаа үргэлжлүүлэх нь логик юм алгебрийн бутархайтай үйлдлүүд. Дараах үйлдлүүдийг алгебрийн бутархайгаар тодорхойлно: нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, өсгөх байгалийн зэрэг. Түүгээр ч барахгүй эдгээр бүх үйлдлүүд хаалттай байдаг, учир нь тэдгээрийн гүйцэтгэлийн үр дүнд алгебрийн фракц үүсдэг. Тэд тус бүрийг дарааллаар нь авч үзье.

Тийм ээ, алгебрийн бутархайтай үйлдэл нь энгийн бутархайтай харгалзах үйлдлүүдийн ерөнхий дүгнэлт гэдгийг нэн даруй тэмдэглэх нь зүйтэй. Тиймээс, холбогдох дүрмүүд нь нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, нэмэгдүүлэх дүрэмтэй бараг үг үсгээр давхцдаг. энгийн бутархай.

Хуудасны навигаци.

Алгебрийн бутархай нэмэх

Аливаа алгебрийн бутархайг нэмэх нь дараах хоёр тохиолдлын аль нэгэнд тохирно: нэгдүгээрт, ижил хуваагчтай бутархай, хоёрдугаарт, өөр хуваарьтай бутархайнууд нэмэгддэг. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх дүрмээс эхэлье.

Ижил хуваагчтай алгебрийн бутархайг нэмэхийн тулд тоологчийг нэмж, хуваагчийг хэвээр үлдээнэ үү.

Зарлагдсан дүрэм нь алгебрийн бутархайг нэмэхээс тоологчдод олдсон олон гишүүнт нэмэх рүү шилжих боломжийг танд олгоно. Тухайлбал, .

Өөр өөр хуваагчтай алгебрийн бутархайг нэмэхийн тулд та дараах дүрмийг баримтлах хэрэгтэй: тэдгээрийг нийтлэг хуваагч руу авчирч, дараа нь ижил хуваагчтай үр дүнгийн бутархайг нэмнэ.

Жишээлбэл, алгебрийн бутархайг нэмэхдээ эхлээд нийтлэг хуваагч руу авчрах ёстой бөгөөд үр дүнд нь тэдгээр нь хэлбэрийг авна. Тэгээд тус тус, үүний дараа ижил хуваагчтай эдгээр бутархайг нэмж хийнэ: .

Хасах

Дараагийн үйлдэл болох алгебрийн бутархайг хасах нь нэмэхтэй адил хийгддэг. Хэрэв анхны алгебрийн бутархайн хуваагч ижил байвал тоологч дахь олон гишүүнтийг хасаад хуваагчийг хэвээр үлдээх хэрэгтэй. Хэрэв хуваагч нь өөр байвал эхлээд нийтлэг хуваагч руу бууруулж, дараа нь ижил хуваагчтай үр дүнгийн бутархайг хасна.

Жишээ хэлье.

Алгебрийн бутархай ба -ийг хасъя, тэдгээрийн хуваагч нь ижил тул . Үүссэн алгебрийн бутархайг цаашид багасгаж болно: .

Одоо бутархайгаас бутархайг хасъя. Эдгээр нь өөр өөр хуваагчтай алгебрийн бутархайнууд тул эхлээд бид тэдгээрийг нийтлэг хуваагч руу авчрах бөгөөд энэ тохиолдолд 5 x (x-1) байна. Тэгээд . Зөвхөн хасах л үлдлээ:

Алгебрийн бутархайг үржүүлэх

Алгебрийн бутархайг үржүүлж болно. Энэ үйлдэл нь дараах дүрмийн дагуу энгийн бутархайг үржүүлэхтэй ижил төстэй байдлаар хийгддэг: алгебрийн бутархайг үржүүлэхийн тулд та тоологчийг тусад нь, хуваагчийг тусад нь үржүүлэх хэрэгтэй.

Нэг жишээ хэлье. Алгебрийн бутархайг бутархайгаар үржүүлье. Заасан дүрмийн дагуу бид байна . Үүссэн бутархайг алгебрийн бутархай болгон хувиргахад л үлддэг, энэ тохиолдолд та тоологч ба хуваагч дахь моном ба олон гишүүнтийг (ерөнхий тохиолдолд олон гишүүнтийг) үржүүлэх хэрэгтэй. .

Алгебрийн бутархайг үржүүлэхийн өмнө тэдгээрийн тоо болон хуваарьт байгаа олон гишүүнтүүдийг хүчин зүйлээр тооцох нь зүйтэй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Энэ нь үүссэн фракцыг багасгах боломжтой холбоотой юм. Жишээ нь,
.

Энэ үйлдлийг нийтлэлд илүү нарийвчлан авч үзэх болно.

Хэлтэс

Алгебрийн бутархайтай үйлдлүүд рүү шилжье. Дараа нь алгебрийн бутархайг хуваах явдал юм. Дараах дүрэм нь алгебрийн бутархайг үржүүлэхэд хуваахыг багасгадаг: нэг алгебрийн бутархайг нөгөөд хуваахын тулд та эхний бутархайг хоёр дахь бутархайгаар үржүүлэх хэрэгтэй.

Өгөгдсөн бутархайн урвуу алгебрийн бутархай нь тоологч ба хуваагчийг сольсон бутархай юм. Өөрөөр хэлбэл, хоёр алгебрийн бутархай нь тэдгээрийн үржвэр нь нэгтэй ижил тэнцүү (үүнтэй адил төстэй) байвал харилцан урвуу гэж үзнэ.

Нэг жишээ хэлье. Хуваалгыг нь хийцгээе . Хуваагчийн эсрэг бутархай нь . Ийнхүү, .

Илүү дэлгэрэнгүй мэдээллийг өмнөх догол мөрөнд дурдсан нийтлэлээс үзнэ үү: алгебрийн бутархайг үржүүлэх, хуваах.

Алгебрийн бутархайг зэрэглэлд хүргэх

Эцэст нь бид алгебрийн бутархайтай хамгийн сүүлийн үйлдэл рүү шилждэг - байгалийн хүчийг нэмэгдүүлэх. , түүнчлэн алгебрийн бутархайн үржүүлгийг тодорхойлсон арга нь алгебрийн бутархайг хүч болгон өсгөх дүрмийг бичих боломжийг бидэнд олгодог: та тоологчийг тусад нь энэ хэмжээнд, мөн хуваагчийг тусад нь өсгөх хэрэгтэй.

Энэ үйлдлийг гүйцэтгэх жишээг үзүүлье. Алгебрийн бутархайг хоёр дахь зэрэглэлд шилжүүлье. Дээрх дүрмийн дагуу бид байна . Тоолуур дахь мономийг зэрэглэлд хүргэх, мөн хуваагч дахь олон гишүүнтийг зэрэглэлд өсгөх нь хэвээр байгаа бөгөөд энэ нь хэлбэрийн алгебрийн бутархайг өгөх болно. .

Бусад ердийн жишээнүүдийн шийдлийг өгүүлэлд алгебрийн бутархайг хүч болгон өсгөх талаар харуулав.

Лавлагаа.

• Алгебр:сурах бичиг 8-р ангийн хувьд. ерөнхий боловсрол байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2008. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А.Г.Алгебр. 8-р анги. 14 цагаас 1-р хэсэг. Оюутнуудад зориулсан сурах бичиг боловсролын байгууллагууд/ A. G. Мордкович. - 11-р хэвлэл, устгасан. - М.: Mnemosyne, 2009. - 215 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага): Proc. тэтгэмж.- М.; Илүү өндөр сургууль, 1984.-351 х., өвчтэй.

Ухаалаг оюутнуудын зохиогчийн эрх

Бүх эрх хуулиар хамгаалагдсан.
Зохиогчийн эрхийн хуулиар хамгаалагдсан. Зохиогчийн эрх эзэмшигчийн урьдчилан бичгээр зөвшөөрөл авалгүйгээр сайтын аль ч хэсгийг, түүний дотор дотоод материал, гадаад үзэмжийг ямар ч хэлбэрээр хуулбарлаж, ашиглахыг хориглоно.

Бутархайн тухай анхны мэдээллийг авсны дараа бид алгебрийн бутархайтай үйлдлүүд рүү шилжих болно. Та тэдэнтэй хамт ямар ч үйлдлийг хийж болно, тэр дундаа тэднийг хүчирхэг болгох боломжтой. Тэдгээрийг хийхдээ бид алгебрийн бутархай болно. Бүх цэгүүдийг дараалан шинжлэх ёстой.

Алгебрийн бутархайтай үйлдлүүд нь энгийн бутархайтай үйлдлүүдтэй төстэй. Тиймээс тэдэнтэй хийсэн аливаа үйлдлүүдийн хувьд дүрэм нь адилхан гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Алгебрийн бутархай нэмэх

Нэмэлтийг хоёр тохиолдолд хийж болно: ижил хуваагчтай, өөр хуваагчтай.

Хэрэв та ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх шаардлагатай бол тоологчийг нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй. Энэ дүрэм нь тоологчдод байгаа бутархай болон олон гишүүнт нэмэхийг ашиглах боломжийг танд олгоно. Бид үүнийг ойлгодог

a 2 + a b a b - 5 + 2 a b + 3 a b - 5 + 2 b 4 - 4 a b - 5 = a 2 + a b + 2 a b + 3 + 2 b 4 - 4 a b - 5 = = a 2 + 3 a b - 1 + 2 b 4 a b - 5

Хэрэв өөр өөр тоологчтой бутархайн тоологч байгаа бол дүрмийг хэрэгжүүлэх шаардлагатай: нийтлэг хуваагч руу бууруулж, үүссэн бутархайг нэмнэ.

Жишээ 1

Та x x 2 - 1 ба 3 x 2 - x бутархайг нэмэх хэрэгтэй

Шийдэл

Бид x 2 x · x - 1 · x + 1 ба 3 · x + 3 x · (x - 1) · (x + 1) хэлбэрийн нийтлэг хуваагч болгон бууруулна.

Нэмэлтийг хийгээд үүнийг авъя

x 2 x (x - 1) (x + 1) + 3 x + 3 x (x - 1) (x + 1) = x 2 + 3 x + 3 x (x - 1) · (x + 1) = x 2 + 3 · x + 3 x 3 - x

Хариулт: x 2 + 3 x + 3 x 3 - x

Ийм бутархайг нэмэх, хасах тухай өгүүлэлд бутархай дээр гүйцэтгэсэн үйлдэл бүрийг нарийвчлан тодорхойлсон дэлгэрэнгүй мэдээлэл байдаг. Нэмэлт хийх үед бууруулж болох бутархай гарч ирж болно.

Хасах

Хасах үйлдлийг нэмэхтэй ижил аргаар гүйцэтгэдэг. Хэрэв хуваагч ижил байвал үйлдлүүд нь зөвхөн тоологч дээр хийгддэг, хуваагч өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна. Янз бүрийн хуваагчийн хувьд нийтлэг хуваагч руу бууруулалтыг хийдэг. Үүний дараа л та тооцоолж эхлэх боломжтой.

Жишээ 2

a + 5 a 2 + 2 ба 1 - 2 · a 2 + a a 2 + 2 бутархайг хасах руу шилжье.

Шийдэл

Эндээс харахад хуваагч нь ижил бөгөөд энэ нь a + 5 a 2 + 2 - 1 - 2 a 2 + a a 2 + 2 = a + 5 - (1 - 2 a 2 + a) a 2 + 2 = 2 гэсэн үг юм. a 2 + 4 a 2 + 2.

2 · a 2 + 4 a 2 + 2 = 2 · a 2 + 2 a 2 + 2 = 2 бутархайг багасгая.

Хариулт: 2

Жишээ 3

4 5 · x ба 3 x - 1-ийг хасъя.

Шийдэл

Хуваагч нь ялгаатай тул бид үүнийг нийтлэг 5 x (x - 1) болгон бууруулж, бид 4 5 x = 4 x - 1 5 x (x - 1) = 4 x - 4 5 x (x - 1) ба 3 x - 1 = 3 5 x (x - 1) 5 x = 15 x 5 x (x - 1) .

Одоо хийцгээе

4 5 x - 3 x - 1 = 4 x - 4 5 x (x - 1) - 15 x 5 x (x - 1) = 4 x - 4 - 15 x 5 x · (x - 1) = = - 4 - 11 · x 5 · x · (x - 1) = - 4 - 11 · x 5 · x 2 - 5 · x

Хариулт: - 4 - 11 x 5 x 2 - 5 x

Дэлгэрэнгүй мэдээллийг алгебрийн бутархайг нэмэх, хасах тухай нийтлэлээс үзнэ үү.

Алгебрийн бутархайг үржүүлэх

Бутархайн тусламжтайгаар та энгийн бутархайг үржүүлэхтэй адил үржүүлэлтийг хийж болно: бутархайг үржүүлэхийн тулд та тоологч ба хуваагчийг тусад нь үржүүлэх хэрэгтэй.

Ийм төлөвлөгөөний жишээг авч үзье.

Жишээ 4

Дүрмээс 2 x + 2-ыг x - x · y y-ээр үржүүлэхэд бид 2 x + 2 · x - x · y y = 2 · (x - x · y) (x + 2) · y болно.

Одоо та хувиргалт хийх хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл мономийг олон гишүүнтээр үржүүлэх хэрэгтэй. Бид үүнийг ойлгодог

2 x - x y (x + 2) y = 2 x - 2 x y x y + 2 y

Бутархайг хялбарчлахын тулд эхлээд бутархайг олон гишүүнт болгон задлах хэрэгтэй. Үүний дараа та бууралт хийж болно. Бидэнд тийм байна

2 x 3 - 8 x 3 x y - y 6 y 5 x 2 + 2 x = 2 x (x - 2) (x + 2) y (3 x - 1 ) · 6 · y 5 x · (x + 2) = = 2 · x · (x - 2) · (x + 2) · 6 · y 5 y · (3 · x - 1) · x · x + 2 = 12 · (x - 2) · y 4 3 · x - 1 = 12 · x · y 4 - 24 · y 4 3 · x - 1

Энэ үйлдлийн талаархи дэлгэрэнгүй хэлэлцүүлгийг бутархайг үржүүлэх, хуваах тухай өгүүллээс олж болно.

Хэлтэс

Алгебрийн бутархайгаар хуваахыг харцгаая. Дүрмийг хэрэгжүүлье: бутархайг хуваахын тулд та эхнийхийг хоёр дахь нь эсрэгээр үржүүлэх хэрэгтэй.

Өгөгдсөн бутархайн эсрэг талтай бутархайг тоологч болон хуваагч нь урвуу бутархай гэж үзнэ. Өөрөөр хэлбэл, энэ фракцыг түүний эсрэг гэж нэрлэдэг.

Нэг жишээ авч үзье.

Жишээ 5

x 2 - x · y 9 · y 2: 2 · x 3 · y-д хуваагдана.

Шийдэл

Дараа нь урвуу бутархай 2 x 3 y нь 3 y 2 x гэж бичигдэнэ. Энэ нь бид x 2 - x y 9 y 2: 2 x 3 y = x 2 - x y 9 y 2 3 y 2 x = x x - y 3 y 9 · y 2 · 2 · x = x - y 6 · гэсэн утгатай болно. y.

Хариулт: x 2 - x y 9 y 2: 2 x 3 y = x - y 6 y

Алгебрийн бутархайг зэрэглэлд хүргэх

Хэрэв байгалийн хүч байгаа бол байгалийн хүчинд өсгөх үйл ажиллагааны дүрмийг хэрэгжүүлэх шаардлагатай. Ийм тооцоололд бид дүрмийг ашигладаг: хүчийг нэмэгдүүлэх үед та тоологч ба хуваагчийг тус тусад нь өсгөж, үр дүнг бичих хэрэгтэй.

Жишээ 6

2 x x - y бутархайн жишээг харцгаая. Хэрэв үүнийг 2-той тэнцүү чадалтай болгох шаардлагатай бол бид дараах алхмуудыг гүйцэтгэнэ: 2 x x - y 2 = 2 x 2 (x - y) 2. Дараа нь бид үүссэн мономиалыг хүчирхэг болгож өсгөнө. Алхамуудыг гүйцэтгэсний дараа бид бутархай нь 4 x 2 x 2 - 2 x x y + y 2 хэлбэртэй болохыг олж мэдэв.

Нарийвчилсан шийдэл ижил төстэй жишээнүүдАлгебрийн бутархайг зэрэглэлд хүргэх тухай нийтлэлд авч үзсэн болно.

Бутархайн зэрэгтэй ажиллахдаа тоологч ба хуваагчийг тус тусад нь зэрэгт шилжүүлдэг гэдгийг санаарай. Энэ нь шийдвэрлэх үйл явцыг ихээхэн хялбарчилж, фракцийг цаашид хялбаршуулдаг. Зэрэглэлийн урд талын тэмдэгт анхаарлаа хандуулах нь зүйтэй. Хэрэв хасах тэмдэг байгаа бол тооцоолоход хялбар байх үүднээс ийм бутархайг буцаах хэрэгтэй.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Энэ хичээл нь алгебрийн бутархайн тухай ойлголтыг агуулдаг. Хүмүүс амьдралын хамгийн энгийн нөхцөл байдалд бутархайтай тулгардаг: объектыг хэд хэдэн хэсэгт хуваах шаардлагатай үед, жишээлбэл, бялууг арван хүн болгон тэнцүү хэмжээгээр хуваах хэрэгтэй. Мэдээжийн хэрэг, хүн бүр бялуунаас нэг хэсгийг авдаг. Энэ тохиолдолд бид тоон бутархай гэсэн ойлголттой тулгардаг боловч объектыг үл мэдэгдэх тооны хэсгүүдэд, жишээлбэл, х-ээр хуваах тохиолдолд нөхцөл байдал үүсч болно. Энэ тохиолдолд бутархай илэрхийлэл гэсэн ойлголт гарч ирнэ. Та 7-р ангид бүхэл илэрхийлэл (хувьсагчтай илэрхийлэл болгон хуваахыг агуулаагүй) болон тэдгээрийн шинж чанаруудтай аль хэдийн танилцсан. Дараа нь бид оновчтой бутархай гэсэн ойлголт, хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгыг авч үзэх болно.

Рационал илэрхийлэл нь хуваагдана бүхэл ба бутархай илэрхийлэл.

Тодорхойлолт.Рационал бутархайхэлбэрийн бутархай илэрхийлэл бөгөөд энд олон гишүүнт байна. - тоологч, - хуваагч.

Жишээоновчтой илэрхийлэл:- бутархай илэрхийлэл; - бүхэл илэрхийлэл. Эхний илэрхийлэлд жишээлбэл, тоологч нь , хуваагч нь .

Утга алгебрийн бутархайхэн нэгэн шиг алгебрийн илэрхийлэл , үүнд орсон хувьсагчдын тоон утгаас хамаарна. Ялангуяа, эхний жишээнд бутархайн утга нь хувьсагчийн утгуудаас хамаардаг ба хоёр дахь жишээнд зөвхөн хувьсагчийн утгаас хамаарна.

Эхний ердийн ажлыг авч үзье: утгыг тооцоолох рационал бутархайтүүнд орсон хувьсагчдын өөр өөр утгуудын хувьд.

Жишээ 1. a) , b) , c) бутархайн утгыг тооцоол.

Шийдэл.Хувьсагчийн утгыг заасан бутархайд орлуулъя: a) , b) , c) - байхгүй (учир нь та тэгээр хувааж чадахгүй).

Хариулт: a) 3; б) 1; в) байхгүй.

Таны харж байгаагаар аливаа бутархайн хувьд хоёр ердийн асуудал гарч ирдэг: 1) бутархайг тооцоолох, 2) олох. хүчинтэй ба хүчингүй утгуудүсэг хувьсагч.

Тодорхойлолт.Хүчинтэй хувьсах утгууд- илэрхийлэл утга учиртай хувьсагчийн утгууд. Хувьсагчийн бүх боломжит утгуудын багцыг нэрлэдэг ОДЗэсвэл тодорхойлолтын домэйн.

Хэрэв эдгээр утгууд дахь бутархайн хуваагч тэг байвал шууд утга хувьсагчийн утга хүчингүй байж болно. Бусад бүх тохиолдолд бутархайг тооцоолох боломжтой тул хувьсагчийн утга хүчинтэй байна.

Жишээ 2.

Шийдэл.Энэ илэрхийллийг утга учиртай болгохын тулд бутархайн хуваагч тэгтэй тэнцэхгүй байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм. Тиймээс зөвхөн хуваагч нь тэгтэй тэнцүү хувьсагчийн утгууд хүчингүй болно. Бутархайн хуваагч нь , тиймээс бид шугаман тэгшитгэлийг шийднэ.

Тиймээс хувьсагчийн утгыг өгвөл бутархай нь ямар ч утгагүй болно.

Хариулт: -5.

Жишээний шийдлээс харахад хувьсагчийн хүчингүй утгыг олох дүрмийг дагаж мөрддөг - бутархайн хуваагч нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд харгалзах тэгшитгэлийн үндэс олддог.

Үүнтэй төстэй хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээ 3.Хувьсагчийн ямар утгуудад бутархай нь утгагүй болохыг тогтоо .

Шийдэл..

Хариулт..

Жишээ 4.Хувьсагчийн ямар утгуудад бутархай нь утгагүй болохыг тогтоо.

Шийдэл..

Энэ асуудлын бусад томъёолол байдаг - олох тодорхойлолтын домэйнэсвэл хүлээн зөвшөөрөгдөх илэрхийллийн утгын хүрээ (APV). Энэ нь хувьсагчийн бүх хүчинтэй утгыг олох гэсэн үг юм. Бидний жишээнд эдгээр нь -аас бусад бүх утгууд юм. Тооны тэнхлэг дээр тодорхойлолтын домэйныг дүрслэх нь тохиромжтой.

Үүнийг хийхийн тулд бид зурагт үзүүлсэн шиг цэгийг хайчилж ав.

Цагаан будаа. 1

Тиймээс, бутархай тодорхойлолтын домэйн 3-аас бусад бүх тоо байх болно.

Хариулт..

Жишээ 5.Хувьсагчийн ямар утгуудад бутархай нь утгагүй болохыг тогтоо.

Шийдэл..

Үүссэн шийдлийг тоон тэнхлэгт дүрсэлцгээе.

Цагаан будаа. 2

Хариулт..

Жишээ 6.

Шийдэл.. Бид хоёр хувьсагчийн тэгш байдлыг олж авсан, бид тоон жишээ өгөх болно: эсвэл, гэх мэт.

Энэ шийдлийг декартын координатын систем дэх график дээр дүрсэлцгээе.

Цагаан будаа. 3. Функцийн график

Энэ график дээр байрлах аливаа цэгийн координатууд нь зөвшөөрөгдөх бутархай утгын мужид ороогүй болно.

Хариулт..

Хэлэлцсэн жишээн дээр бид тэгээр хуваагдсан нөхцөл байдалтай тулгарсан. Одоо төрөл хуваахад илүү сонирхолтой нөхцөл байдал үүссэн тохиолдлыг авч үзье.

Жишээ 7.Хувьсагчийн ямар утгуудад бутархай нь утгагүй болохыг тогтоо.

Шийдэл..

-д бутархай нь ямар ч утгагүй болох нь харагдаж байна. Гэхдээ энэ нь тийм биш гэж маргаж болно, учир нь: .

Хэрэв эцсийн илэрхийлэл нь 8-тай тэнцүү бол эхийг нь бас тооцоолж болох тул -д утга учиртай мэт санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид үүнийг анхны илэрхийлэл болгон орлуулах юм бол энэ нь утгагүй болно.

Хариулт..

Энэ жишээг илүү нарийвчлан ойлгохын тулд дараах асуудлыг шийдье: заасан бутархай ямар утгуудад тэгтэй тэнцүү вэ?

Сургуулийн алгебрийн хичээлээс бид тодорхой зүйл рүү шилждэг. Энэ нийтлэлд бид оновчтой илэрхийллийн тусгай төрлийг нарийвчлан судлах болно. рационал бутархай, мөн ямар шинж чанар ижил болохыг анхаарч үзээрэй рационал бутархай хөрвүүлэлтявагдана.

Бидний доор тодорхойлсон утгаараа рационал бутархайг зарим алгебрийн сурах бичигт алгебрийн бутархай гэж нэрлэдэгийг нэн даруй тэмдэглэе. Өөрөөр хэлбэл, энэ нийтлэлд бид рационал ба алгебрийн бутархайг ижил утгатай гэж ойлгох болно.

Ердийнх шигээ тодорхойлолт, жишээнүүдээс эхэлцгээе. Дараа нь бид оновчтой бутархайг шинэ хуваагч руу авчирч, бутархайн гишүүдийн тэмдгийг өөрчлөх талаар ярих болно. Үүний дараа бид бутархайг хэрхэн багасгах талаар авч үзэх болно. Эцэст нь, рационал бутархайг хэд хэдэн бутархайн нийлбэрээр төлөөлөхийг үзье. Бид бүх мэдээллийг жишээ, шийдлийн нарийвчилсан тайлбараар өгөх болно.

Хуудасны навигаци.

Рационал бутархайн тодорхойлолт ба жишээ

Рационал бутархайг 8-р ангийн алгебрийн хичээлээр судалдаг. Ю.Н.Макарычев нарын 8-р ангийн алгебрийн сурах бичигт өгсөн рационал бутархайн тодорхойлолтыг ашиглана.

Рационал бутархайн хуваагч ба хуваагч дахь олон гишүүнт нь стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт байх ёстой эсэхийг энэ тодорхойлолтод заагаагүй болно. Тиймээс рационал бутархайн тэмдэглэгээ нь стандарт болон стандарт бус олон гишүүнт аль алиныг агуулж болно гэж бид таамаглах болно.

Энд цөөн хэдэн байна рационал бутархайн жишээ. Тэгэхээр, x/8 ба - рационал бутархай. Мөн бутархай мөн рационал бутархайн тодорхойлсон тодорхойлолтод тохирохгүй, учир нь тэдгээрийн эхнийх нь тоологч нь олон гишүүнтийг агуулаагүй, хоёрдугаарт, тоо болон хуваагч хоёулаа олон гишүүнт биш илэрхийллийг агуулдаг.

Рационал бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг хөрвүүлэх

Аливаа бутархайн тоо ба хуваагч нь рационал бутархайн хувьд бие даасан математик илэрхийллүүд, эдгээр нь тодорхой тохиолдолд олон гишүүнтүүд, тоонууд; Тиймээс аливаа илэрхийллийн нэгэн адил рационал бутархайн хүртэгч ба хуваагчтай ижил хувиргалтыг хийж болно. Өөрөөр хэлбэл, рационал бутархайн хуваагч дахь илэрхийлэлийг хуваагчтай адил тэнцүү илэрхийллээр сольж болно.

Рационал бутархайн хуваагч ба хуваарьт ижил хувиргалтыг хийж болно. Жишээлбэл, тоологч дээр та ижил төстэй нөхцлүүдийг бүлэглэж, багасгаж, хуваарьт хэд хэдэн тооны үржвэрийг утгаараа сольж болно. Рационал бутархайн тоологч ба хуваагч нь олон гишүүнт байдаг тул тэдгээрийн тусламжтайгаар олон гишүүнтийн шинж чанарыг хувиргах, жишээлбэл, стандарт хэлбэрт оруулах эсвэл бүтээгдэхүүн хэлбэрээр дүрслэх боломжтой.

Тодорхой болгохын тулд хэд хэдэн жишээний шийдлүүдийг авч үзье.

Жишээ.

Рационал бутархайг хөрвүүлэх Ингэснээр тоологч нь стандарт хэлбэрийн олон гишүүнтийг, хуваагч нь олон гишүүнтийн үржвэрийг агуулна.

Шийдэл.

Рационал бутархайг шинэ хуваагч болгон багасгах нь рационал бутархайг нэмэх, хасахад голчлон хэрэглэгддэг.

Бутархайн урд, түүнчлэн түүний тоо, хуваагч дахь тэмдгийг өөрчлөх

Бутархайн үндсэн шинж чанарыг бутархайн гишүүдийн тэмдгийг өөрчлөхөд ашиглаж болно. Үнэн хэрэгтээ рационал бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг -1-ээр үржүүлэх нь тэдгээрийн тэмдгийг өөрчилсөнтэй тэнцэх бөгөөд үр дүн нь өгөгдсөнтэй ижил тэнцүү бутархай болно. Рационал бутархайтай ажиллахдаа энэ хувиргалтыг нэлээд олон удаа ашиглах ёстой.

Тиймээс, хэрэв та бутархайн тоо ба хувагчийн тэмдгийг нэгэн зэрэг солих юм бол та анхныхтай тэнцэх бутархай авах болно. Энэ мэдэгдэлд тэгш эрхээр хариулдаг.

Нэг жишээ хэлье. Рационал бутархайг хэлбэрийн тоологч ба хуваагчийн тэмдэг өөрчлөгдсөн ижил тэнцүү бутархайгаар сольж болно.

Бутархайн тусламжтайгаар та тоологч эсвэл хуваагчийн тэмдэг өөрчлөгддөг өөр нэг ижил хувиргалтыг хийж болно. Холбогдох дүрмийг хэлцгээе. Хэрэв та бутархайн тэмдгийг тоологч эсвэл хуваагчийн тэмдэгтэй хамт орлуулбал анхныхтай яг адилхан бутархай болно. Бичсэн мэдэгдэл нь тэнцүү ба .

Эдгээр тэгш байдлыг батлах нь тийм ч хэцүү биш юм. Баталгаа нь тоог үржүүлэх шинж чанарууд дээр суурилдаг. Тэдний эхнийхийг баталъя: . Үүнтэй төстэй хувиргалтыг ашиглан тэгш байдал нотлогддог.

Жишээлбэл, бутархайг эсвэл илэрхийллээр сольж болно.

Энэ цэгийг дүгнэхийн тулд бид өөр хоёр ашигтай тэгшитгэлийг танилцуулж байна. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв та зөвхөн тоологч эсвэл зөвхөн хуваагчийн тэмдгийг өөрчилвөл бутархай тэмдэг нь өөрчлөгдөнө. Жишээлбэл, Тэгээд .

Бутархайн нэр томъёоны тэмдгийг өөрчлөх боломжийг олгодог авч үзсэн хувиргалтыг бутархай рационал илэрхийллийг хувиргахдаа ихэвчлэн ашигладаг.

Рационал бутархайг багасгах

Рационал бутархайн бууралт гэж нэрлэгддэг рационал бутархайн дараах хувиргалт нь бутархайн ижил үндсэн шинж чанарт суурилдаг. Энэ хувиргалт нь тэгшитгэлтэй тохирч, a, b ба c нь зарим олон гишүүнт, b ба c нь тэг биш байна.

Дээрх тэгшитгэлээс харахад рационал бутархайг багасгах нь түүний хүртэгч ба хуваагч дахь нийтлэг хүчин зүйлээс салах гэсэн үг юм.

Жишээ.

Рационал бутархайг хүчингүй болго.

Шийдэл.

Нийтлэг хүчин зүйл 2 шууд харагдана, түүгээр нь бууруулъя (бичих үед буурч байгаа нийтлэг хүчин зүйлсийг хасах нь тохиромжтой). Бидэнд байна . x 2 =x·x ба y 7 =y 3 ·y 4 (шаардлагатай бол харна уу) учир х нь y 3-ын нэгэн адил үр дүнгийн бутархайн хуваагч ба хуваагчийн нийтлэг хүчин зүйл болох нь тодорхой байна. Эдгээр хүчин зүйлсээр бууруулъя: . Энэ нь бууралтыг дуусгана.

Дээрээс нь бид рационал бутархайн бууралтыг дараалан гүйцэтгэсэн. Эсвэл нэг алхамаар бууралтыг хийж, тэр даруй бутархайг 2 x y 3-аар бууруулах боломжтой байсан. Энэ тохиолдолд шийдэл нь дараах байдлаар харагдах болно. .

Хариулт:

.

Рационал бутархайг багасгахад гол асуудал бол тоологч ба хуваагчийн нийтлэг хүчин зүйл үргэлж харагдахгүй байх явдал юм. Түүнээс гадна энэ нь үргэлж байдаггүй. Нийтлэг хүчин зүйлийг олох эсвэл байхгүй эсэхийг шалгахын тулд рационал бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг хүчинжүүлэх хэрэгтэй. Хэрэв нийтлэг хүчин зүйл байхгүй бол анхны оновчтой бутархайг багасгах шаардлагагүй, эс тэгвээс бууралтыг хийнэ.

Рационал бутархайг багасгах явцад янз бүрийн нюансууд үүсч болно. Гол нарийн ширийн зүйлийг жишээн дээр ашиглан алгебрийн бутархайг багасгах нийтлэлд дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно.

Рационал бутархайг багасгах тухай яриаг дуусгахад энэхүү хувиргалт нь адилхан бөгөөд түүнийг хэрэгжүүлэхэд тулгардаг гол бэрхшээл нь тоологч ба хуваагч дахь олон гишүүнтүүдийг хүчин зүйл болгоход оршдог гэдгийг бид тэмдэглэж байна.

Рационал бутархайг бутархайн нийлбэрээр дүрслэх

Хэд хэдэн бутархайн нийлбэр эсвэл бүхэл илэрхийлэл ба бутархайн нийлбэрээр дүрслэгдэх оновчтой бутархайг хувиргах нь нэлээд өвөрмөц боловч зарим тохиолдолд маш ашигтай байдаг.

Хэд хэдэн мономиалуудын нийлбэрийг илэрхийлэх олон гишүүнтийг агуулсан рационал бутархайг үргэлж ижил хуваагчтай бутархайн нийлбэр хэлбэрээр бичиж болно, тэдгээрийн тоологч нь харгалзах мономиалуудыг агуулдаг. Жишээлбэл, . Энэ дүрслэлийг ижил хуваарьтай алгебрийн бутархайг нэмэх, хасах дүрмээр тайлбарладаг.

Ерөнхийдөө аливаа рационал бутархайг бутархайн нийлбэр хэлбэрээр олон янзаар илэрхийлж болно. Жишээлбэл, a/b бутархайг хоёр бутархайн нийлбэрээр дүрсэлж болно - дурын бутархай c/d ба a/b ба c/d бутархайн хоорондох зөрүүтэй тэнцүү бутархай. Энэ мэдэгдэл үнэн, учир нь тэгш байдал хадгалагдана . Жишээлбэл, рационал бутархайг бутархайн нийлбэр хэлбэрээр янз бүрийн аргаар илэрхийлж болно. Анхны бутархайг бүхэл тооны илэрхийлэл ба бутархайн нийлбэр гэж төсөөлье. Тоолуурыг баганагаар хуваах замаар бид тэгш байдлыг олж авна . Аливаа n бүхэл тооны n 3 +4 илэрхийллийн утга нь бүхэл тоо юм. Мөн бутархайн хуваагч нь 1, −1, 3, −3 байвал бүхэл тоо болно. Эдгээр утгууд нь n=3, n=1, n=5 ба n=−1 гэсэн утгатай тохирч байна.

Хариулт:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Лавлагаа.

• Алгебр:сурах бичиг 8-р ангийн хувьд. ерөнхий боловсрол байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2008. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А.Г.Алгебр. 7-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich. - 13 дахь хэвлэл, илч. - М.: Mnemosyne, 2009. - 160 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Мордкович А.Г.Алгебр. 8-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich. - 11-р хэвлэл, устгасан. - М.: Mnemosyne, 2009. - 215 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага): Proc. тэтгэмж.- М.; Илүү өндөр сургууль, 1984.-351 х., өвчтэй.