Хотын төрийн боловсролын байгууллага

гол дунд сургууль № 25

Алгебрийн хичээл

Сэдэв:

« Бутархай илтгэгчтэй зэрэглэл агуулсан илэрхийллийг хөрвүүлэх"

Боловсруулсан:

,

математикийн багш

хүртэл өндөрмэргэшлийн ангилал

Зангилаа

2013

Хичээлийн сэдэв: Бутархай илтгэгчтэй илтгэгч агуулсан илэрхийллийг хөрвүүлэх

Хичээлийн зорилго:

1. Бутархай илтгэгчтэй зэрэг агуулсан илэрхийллийг хөрвүүлэх ур чадвар, мэдлэг, ур чадварыг цаашид хөгжүүлэх

2. Алдаа олох чадварыг хөгжүүлэх, сэтгэлгээ, бүтээлч байдал, яриа, тооцоолох чадварыг хөгжүүлэх

3. Бие даасан байдал, сэдвийг сонирхох, анхаарал болгоомжтой байх, үнэн зөв байдлыг төлөвшүүлэх.

TCO:соронзон самбар, тестийн карт, ширээ, бие даасан карт, сургуулийн сурагчид бие даасан ажилд зориулж ширээн дээр хоосон гарын үсэгтэй хуудас, кроссворд, математикийн халаалт хийх ширээ, мультимедиа проектортой байна.

Хичээлийн төрөл: ZUN-г хамгаалах.

Цаг хугацааны хувьд хичээлийн төлөвлөгөө

1. Зохион байгуулалтын асуудал (2 мин)

2. Гэрийн даалгавраа шалгах (5 мин)

3. Кроссворд (3 мин)

4. Математикийн халаалт (5 мин)

5. Урд хэсгийг бэхжүүлэх дасгалуудыг шийдвэрлэх (7 мин)

6. Ганцаарчилсан ажил (10 мин)

7. Давталтын дасгалын шийдэл (5 мин)

8. Хичээлийн хураангуй (2 мин)

9. Гэрийн даалгавар (1 мин)

Хичээлийн явц

1) Гэрийн даалгаврыг бие биенээ шалгах хэлбэрээр шалгах . Сайн сурагчид сул хүүхдүүдийн дэвтрийг шалгадаг. Мөн сул дорой залуус нь дээж хяналтын карт ашиглан хүчирхэг хүмүүстэй шалгадаг. Гэрийн даалгавархоёр хувилбараар өгсөн.

I сонголт нь даалгавар нь хэцүү биш юм

II сонголт нь даалгавар нь хэцүү байдаг

Шалгалтын үр дүнд залуус алдаагаа энгийн харандаагаар тодруулж, үнэлгээ өгдөг. Хичээлийн дараа хүүхдүүд дэвтэрээ өгсний дараа би ажлаа шалгадаг. Би залуусаас шалгалтын үр дүнг асууж, энэ төрлийн ажлын үнэлгээг хураангуй хүснэгтэндээ тавьдаг.

2) Шалгахын тулд онолын материалкроссворд санал болгож байна.

Босоо:

1. Нэг гишүүнийг олон гишүүнтээр үржүүлэхэд ашигладаг үржүүлэх шинж чанар?

2. Хүчин чадлыг өсгөх үеийн экспонентуудын үйлдэл?

3. Тэг индекстэй зэрэг олгох уу?

4. Ижил хүчин зүйлээс бүрдэх бүтээгдэхүүн үү?

Хэвтээ:

5. Root n – өө сөрөг бус тооны хүч?

6. Давхаргыг үржүүлэх үеийн илтгэгчийн үйлдэл?

7. Эрх мэдлийг хуваахад экспонентуудын нөлөө?

8. Бүх ижил хүчин зүйлсийн тоо?

3) Математикийн халаалт

a) тооцооллыг хийж, шифрийг ашиглан бодлогод нуугдсан үгийг уншина.

Таны өмнө самбар дээр ширээ байна. 1-р баганад байгаа хүснэгтэд тооцоолох шаардлагатай жишээнүүд байна.

Ширээний түлхүүр

491/2
27-1/3
4*81/3
5*25-1/2
7*82/3
(49/144)1/2	7/12
(27*64)1/3

7/12

Мөн хариултыг баганад бичнэ үү II ба III баганад энэ хариултанд тохирох үсгийг бичнэ үү.

Багш: Тэгэхээр шифрлэгдсэн үг нь “зэрэг” гэсэн үг. Дараагийн даалгаварт бид 2, 3-р зэрэгтэй ажилладаг

б) Тоглоом "Та алдаа гаргахгүй байгаа эсэхийг шалгаарай"

Цэгүүдийн оронд тоо тавь

a) x=(x...)2; б) a3/2 = (a1/2)…; в) a=(a1/3)…; d) 5... = (51/4)2; e) 34/3=(34/9)…; e) 74/5 = (7...)2; g) x1/2=(x...)2; h) y1/2=(y...)2

Алдааг олъё:

А1/4 – 2а1/2 + 1 = (а1/

Залуус аа, энэ даалгаврыг биелүүлэхийн тулд юу хэрэгтэй байсан бэ:

Зэрэглэлийн шинж чанар: зэрэглэлийг хүч болгон өсгөхөд илтгэгчийг үржүүлнэ;

4) Одоо урд талын бичгийн ажлыг эхлүүлцгээе. , өмнөх ажлын үр дүнг ашиглан. Дэвтэр нээж, хичээлийн огноо, сэдвийг бич.

№ 000

a) a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2 = (a1/2 – b1/2)*(a1/2 + b1/2)

б) a – c = (a1/3)3 – (b1/3)3 = (a1/3 – c1/3)*(a2/3 + a1/3 b1/3 + b2/3)

№ 000 (a, c, d, e)

А ) м2 – 5 = м2 – (м1/2)2 = (м – 51/2)*(м+51/2)

в) a3 – 4 = (a3/2)2 – 22 = (a3/2 – 2)*(a3/2 +2)

d) x2/5 – y4/5 = (x1/5)2 – (y2/5)2 = (x1/5 – y2/5)*(x1/5 + y2/5)

e) 4 – a = 22 – (a1/2)2 = (2 – a1/2)*(2+a1/2)

№ 000 (a, d, f)

a) x3 – 2 = x3 – (21/3)3 = (x – 21/3)*(x2 + 21/3 x + 22/3)

d) a6/5 + 27 = (a2/5)3 + 33 = (a2/5 + 3)*(a4/3 – 3 a2/5 + 9)

д) 4 + y = (41/3)3 + (y1/3)3 = (41/3 + y1/3)*(42/3 + 41/3 y1/3 + y2/3)

Зэрэг

5) Тусдаа хуудсан дээрх дөрвөн сонголтыг ашиглан бие даасан картууд дээр ажилла

Янз бүрийн хүндрэлтэй даалгавруудыг багшийн ямар ч хүсэлтгүйгээр гүйцэтгэдэг.

Би ажлаа нэн даруй шалгаж, хүснэгт болон залуусын хуудсан дээр дүн тавьдаг.

№ 000 (a, c, d, h)

a) 4*31/2/(31/2 – 3) = 4*31/2 /31/2*(1 – 31/2) = 4 / (1 – 31/2)

в) x + x1/2 /2x = x1/2*(x1/2+1)/ 2*(x1/2)2 = (x1/2+1)/ 2x1/2

д) (a2/3 – b2/3)/(a1/3 +b1/3) = (a1/3)2 – (b1/3)2/(a1/3 +b1/3) = (a1/3) + b1/3)*(a1/3 – b1/3)/(a1/3 + b1/3) = a1/3 – b1/3

h) (x2/3 - x1/3 y1/3 + y2/3)/(x + y) = ((x1/3)2 – x1/3 y1/3 + (y1/3)2)/(( x1/3)3 +(y1/3)3) = ((x1/3)2 – x1/3 y1/3 +(y1/3)2)/(x1/3 +y1/3)*((x1) /3)2 – x1/3 y1/3 + (y1/3)2) = 1/ (x1/3 + y1/3)

7) Янз бүрийн түвшний нарийн төвөгтэй картууд дээр ажиллах. Материал нь төвөгтэй, сул дорой хүүхдүүдэд ажлыг даван туулахад хэцүү байдаг тул зарим дасгалууд нь багшийн зөвлөмжтэй байдаг.

Мөн дөрвөн сонголттой. Үнэлгээ нэн даруй явагдана. Би бүх дүнг хүснэгтэд хийсэн.

Асуудлын дугаар цуглуулгаас

Багш асуулт асууна:

1. Асуудлаас юуг олж мэдэх ёстой вэ?

2. Үүний тулд та юу мэдэх хэрэгтэй вэ?

3. 1 явган зорчигч, 2 явган хүний ​​цагийг хэрхэн илэрхийлэх вэ?

4. Бодлогын нөхцлийн дагуу явган зорчигч 1 ба 2-ын цагийг харьцуулж тэгшитгэл үүсгэ.

Асуудлын шийдэл:

1 явган хүний ​​хурдыг x (км/цаг) гэж үзье

X +1 (км/цаг) - 2 явган хүний ​​хурд

4/х (цаг) - явган хүний ​​цаг

4/(x +1) (h) – хоёр дахь явган хүний ​​цаг

Бодлогын нөхцлийн дагуу 4/х >4/ (х +1) 12 минут

12 мин = 12 /60 цаг = 1/5 цаг

Тэгшитгэл хийцгээе

X/4 – 4/ (x +1) = 1/5

NOZ: 5x(x +1) ≠ 0

5*4*(x+1) – 5*4x = x*(x+1)

20x + 20 – 20x – x2 – x = 0

X2 +x –20 = 0

D=1 – 4*(-20) = 81, 81>0, 2 к

x1 = (-1 -√81)/(-2) = 5 км/ц – 1 явган хүний ​​хурд

x2 = (-1 + √81)/(-2) = 4 – x>0 тул бодлогын утгад тохирохгүй байна.

Хариулт: 5 км/ц – 2 явган хүний ​​хурд

9) Хичээлийн хураангуй: За, залуус аа, өнөөдрийн хичээлээр бид градус агуулсан илэрхийллийг хувиргах мэдлэг, ур чадвар, ур чадварыг нэгтгэж, үржүүлэх товчилсон томъёог хэрэглэж, нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргаж, үзсэн материалыг давтлаа. Би давуу болон сул талуудыг онцолж байна.

Хичээлийг хүснэгтэд нэгтгэн дүгнэх.

		Кроссворд	Мат. халаалт	Урд. Ажил	Ind. ажил K-1	Ind. ажил K-2

10) Би дүнг зарлаж байна. Гэрийн даалгавар

K - 1 ба K - 2 хувийн картууд

Би B - 1, B - 2-ыг өөрчилдөг; B - 3 ба B - 4, учир нь тэдгээр нь тэнцүү байна

Хичээл хийх өргөдөл.

1) Гэрийн даалгавар хийх картууд

1. хялбаршуулах

a) (x1/2 – y1/2)2 + 2x1/2 y1/2

б) (a3/2 + 5a1\2)2 – 10a2

2. нийлбэр хэлбэрээр үзүүлэх

a) a1/3 c1\4*(b2/3 + c3/4)

б) (a1/2 – b1/2)*(a + a1/2 b1\2 + в)

3. нийт үржүүлэгчийг гарга

в) 151/3 +201/3

1. хялбаршуулах

a) √m + √n – (m1/4 – n1/4)2

б) (a1/4 + b1/4)*(a1/8 + b1/8)*(a1\8 – b1/8)

2. нийлбэр хэлбэрээр үзүүлэх

a) x0.5 y0.5*(x-0.5 – y1.5)

б) (x1/3 +y1/3)*(x2\3 – x1/3 y1\3 +y2/3)

3. Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гарга

б) c1\3 – в

в) (2а)1/3 – (5а)1\3

2) В-2-ын хяналтын карт

a) √m + √n – (m 1|4 – n 1|4)2 = m 1|2 + n 1|2 – ((m 1|2)2 – 2 м 1/4 n 1/4 + (n 1/2)2) = m 1/2 + n 1/2 – м 1/2 + 2 м 1/4 n 1/4 – n 1/2 = 2 м 1/4 n 1/4

б) (a1/4 + b1/4)*(a1/8 + b1/8)*(a1/8 – b1/8) = (a1/4 + b1/4)*(a1/8)2 – ( в1/8)2 = (а1/4 + в1/4)*(а1/4 – в1/4) = (а1/4)2 – (в1/4)2 = а1/2 – в1/2

a) x0.5 y0.5* (x-0.5-y1.5) = x0.5 y0.5 x-0.5 – x0.5 y0.5y1.5 = x0 y0.5 – x0.5 y2 = y0. 5 – x0.5 y2

б) (x1/3 + y1/3)*(x2/3 – x1/3 y1\3 + y2/3) = (x1\3 + y1/3)*((x1/3)2 – x1/3 y1\3 + (y1/3)2) = (x1/3)2 + (y1/3)2 = x + y

a) 3 – 31/2 = 31/2 * (31/2 - 1)

б) v1/3 – v = v1/3 *(1 – v2/3)

в) (2а)1/3 – (5а)1/3 = a1/3*(21/3 – 51/3)

3) Анхны бие даасан ажилд зориулсан картууд

a) a – y, x ≥ 0, y ≥ 0

b) a – ба, a ≥ 0

1. Квадратуудын зөрүүгээр үржвэрлэх

a) a1/2 – b1/2

2. Шоо нийлбэр эсвэл зөрүүгээр үржвэрлэх

a) c1/3 + d1/3

1. Квадратуудын зөрүүгээр үржвэрлэх

a) X1/2 + Y1/2

b) X1/4 – U1/4

2. Шоо нийлбэр эсвэл зөрүүгээр үржвэрлэх

4) хоёр дахь бие даасан ажилд зориулсан картууд

a) (x – x1/2)/ (x1/2 – 1)

Заавар: x1/2, тоологчийг хаалтаас хас

б) (а - в)/(a1/2 – b1/2)

Тайлбар: a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2

Бутархай хэсгийг багасгах

a) (21/4 – 2)/ 5*21/4

Заавар: 21/4-ийг хаалтнаас салга

б) (a – c)/(5а1/2 – 5в1/2)

Тайлбар: a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2

Сонголт 3

1. Бутархайг багасга

a) (x1/2 – x1/4)/x3/4

Заавар: хаалтнаас x1/4-ийг байрлуулна

б) (a1/2 – b1/2)/(4a1/4 – 4b1/4)

Сонголт 4

Бутархай хэсгийг багасгах

a) 10/ (10 – 101/2)

б) (а - в)/(a2/3 + a1\3b1/3+ B 1/3)

Хүчтэй илэрхийлэлийг хувиргах сэдвийг авч үзье, гэхдээ эхлээд ямар ч илэрхийлэл, түүний дотор хүч чадлаар хийж болох хэд хэдэн өөрчлөлтийг авч үзье. Бид хаалт нээх, ижил төстэй нэр томьёо нэмэх, суурь, илтгэгчтэй ажиллах, зэрэглэлийн шинж чанарыг ашиглах аргад суралцана.

Хүч чадлын илэрхийлэл гэж юу вэ?

IN сургуулийн курсЦөөхөн хүн "хүчирхэг илэрхийлэл" гэсэн хэллэгийг ашигладаг боловч энэ нэр томъёог Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх цуглуулгад байнга олдог. Ихэнх тохиолдолд хэллэг нь тэдгээрийн оруулгад зэрэг агуулсан илэрхийллийг илэрхийлдэг. Үүнийг бид тодорхойлолтдоо тусгах болно.

Тодорхойлолт 1

Хүч чадлын илэрхийлэлзэрэг агуулсан илэрхийлэл юм.

Байгалийн илтгэгчтэй чадлаас эхлээд бодит илтгэгчтэй чадлаар төгсгөх хүчийг илэрхийлэх хэд хэдэн жишээг өгье.

Хамгийн энгийн чадлын илэрхийллүүдийг байгалийн илтгэгчтэй тооны зэрэглэл гэж үзэж болно: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1 , (a 2) 3 . Мөн тэг илтгэгчтэй зэрэглэлүүд: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. Мөн сөрөг бүхэл тоон зэрэглэлүүд: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 гэсэн оновчтой болон иррациональ илтгэгчтэй зэрэгтэй ажиллахад арай хэцүү байдаг. a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Заагч нь 3 x - 54 - 7 3 x - 58 хувьсагч эсвэл логарифм байж болно. x 2 · l g x − 5 · x l g x.

Бид хүч чадлын илэрхийлэл гэж юу вэ гэсэн асуултыг авч үзсэн. Одоо тэдгээрийг хөрвүүлж эхэлцгээе.

Хүч чадлын илэрхийлэл хувиргах үндсэн төрлүүд

Юуны өмнө бид хүч чадлын илэрхийллээр гүйцэтгэж болох илэрхийллийн үндсэн хувиргалтыг авч үзэх болно.

Жишээ 1

Хүч чадлын илэрхийллийн утгыг тооцоол 2 3 (4 2 − 12).

Шийдэл

Бид үйл ажиллагааны дарааллын дагуу бүх өөрчлөлтийг хийх болно. Энэ тохиолдолд бид хаалтанд байгаа үйлдлүүдийг хийж эхэлнэ: бид зэрэглэлийг тоон утгаар сольж, хоёр тооны зөрүүг тооцоолно. Бидэнд байна 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Бидний хийх ёстой зүйл бол эрдмийн зэрэг солих явдал юм 2 3 түүний утга 8 мөн бүтээгдэхүүнийг тооцоолох 8 4 = 32. Энд бидний хариулт байна.

Хариулт: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

Жишээ 2

Хүчтэй илэрхийллийг хялбарчлах 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Шийдэл

Асуудлын мэдэгдэлд бидэнд өгсөн илэрхийлэл нь бидний өгч болох ижил төстэй нэр томъёог агуулдаг: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Хариулт: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1.

Жишээ 3

9 - b 3 · π - 1 2 зэрэгтэй илэрхийллийг үржвэрээр илэрхийл.

Шийдэл

9-ийн тоог хүч гэж төсөөлье 3 2 болон томъёог хэрэглэнэ товчилсон үржүүлэх:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Хариулт: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1.

Одоо хүч чадлын илэрхийлэлд тусгайлан хэрэглэж болох таних тэмдгийн хувиргалтын шинжилгээнд шилжье.

Суурь болон илтгэгчтэй ажиллах

Суурь эсвэл экспонент дахь зэрэг нь тоо, хувьсагч болон зарим илэрхийлэлтэй байж болно. Жишээ нь, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7Тэгээд . Ийм бичлэгтэй ажиллахад хэцүү байдаг. Зэрэглэлийн суурь дахь илэрхийлэл эсвэл экспонент дахь илэрхийлэлийг ижил тэнцүү илэрхийллээр солих нь илүү хялбар байдаг.

Зэрэг ба экспонентийн хувиргалтыг бие биенээсээ тусад нь бидэнд мэдэгдэж буй дүрмийн дагуу гүйцэтгэдэг. Хамгийн чухал зүйл бол хувиргах үр дүнд анхныхтай ижил илэрхийлэл гарч ирдэг.

Өөрчлөлтийн зорилго нь анхны илэрхийлэлийг хялбарчлах эсвэл асуудлын шийдлийг олж авах явдал юм. Жишээлбэл, бидний дээр дурдсан жишээн дээр (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 зэрэгт шилжих алхамуудыг дагаж болно. 4 , 1 1 , 3 . Хашилтыг нээснээр бид чадлын суурьтай ижил төстэй нэр томъёог гаргаж болно (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1)ба энгийн хэлбэрийн чадлын илэрхийлэлийг олж авна a 2 (x + 1).

Degree Properties ашиглах

Эрх тэгш байдлын хэлбэрээр бичигдсэн эрх мэдлийн шинж чанарууд нь эрх мэдлийн илэрхийлэлийг өөрчлөх гол хэрэгслүүдийн нэг юм. Үүнийг харгалзан бид гол зүйлийг энд толилуулж байна аТэгээд бямар ч эерэг тоо байна, ба rТэгээд с- дурын бодит тоо:

Тодорхойлолт 2

• a r · a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a · b) r = a r · b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r · s .

Бид натурал, бүхэл тоо, эерэг илтгэгчтэй харьцаж байгаа тохиолдолд a ба b тоонуудын хязгаарлалт нь хамаагүй бага хатуу байж болно. Жишээлбэл, бид тэгш байдлыг харгалзан үзвэл a m · a n = a m + n, Хаана мТэгээд nнатурал тоонууд бол эерэг ба сөрөг аль ч утгын хувьд ч энэ нь үнэн байх болно a = 0.

Эрх мэдлийн үндэс нь эерэг эсвэл зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ нь зөвхөн эерэг утгыг авдаг хувьсагчдыг агуулсан тохиолдолд эрх мэдлийн шинж чанарыг хязгаарлалтгүйгээр ашиглаж болно. Уг нь сургуулийн математикийн хичээлийн хөтөлбөрт сурагчийн даалгавар бол тохирох өмчийг сонгож, зөв ​​хэрэглэх явдал юм.

Их, дээд сургуульд элсэн орохоор бэлтгэж байх үед та өмч хөрөнгийг буруу ашиглах нь DL-ийг нарийсгах болон шийдвэрлэхэд бусад хүндрэл учруулах асуудалтай тулгарч магадгүй юм. Энэ хэсэгт бид зөвхөн хоёр ийм тохиолдлыг авч үзэх болно. Сэдвийн талаарх дэлгэрэнгүй мэдээллийг "Эрх мэдлийн шинж чанарыг ашиглан илэрхийллийг хөрвүүлэх" сэдвээс олж болно.

Жишээ 4

Илэрхийлэлийг төсөөлөөд үз дээ a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5суурьтай хүч хэлбэрээр а.

Шийдэл

Нэгдүгээрт, бид экспонентацийн шинж чанарыг ашиглаж, хоёр дахь хүчин зүйлийг ашиглан хувиргадаг (a 2) − 3. Дараа нь бид ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх, хуваах шинж чанаруудыг ашигладаг.

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a 2.

Хариулт: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.

Эрх мэдлийн шинж чанарын дагуу эрх мэдлийн илэрхийлэлийг хувиргах нь зүүнээс баруун тийш болон эсрэг чиглэлд аль алиныг нь хийж болно.

Жишээ 5

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 чадлын илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл

Хэрэв бид тэгш байдлыг хэрэгжүүлбэл (a · b) r = a r · b r, баруунаас зүүн тийш бид 3 · 7 1 3 · 21 2 3, дараа нь 21 1 3 · 21 2 3 хэлбэрийн үржвэрийг авна. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэхдээ илтгэгчийг нэмье: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Өөрчлөлтийг хийх өөр нэг арга бий:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Хариулт: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Жишээ 6

Хүч чадлын илэрхийлэл өгсөн a 1, 5 − a 0, 5 − 6, шинэ хувьсагч оруулна уу t = a 0.5.

Шийдэл

Зэрэглэлийг төсөөлөөд үз дээ a 1, 5Яаж 0.5 3. Зэрэгсээс градусын шинж чанарыг ашиглах (a r) s = a r · sбаруунаас зүүн тийш, бид (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 = (a 0 , 5) 3 − a 0 , 5 − 6 болно. Та үүссэн илэрхийлэлд шинэ хувьсагчийг хялбархан оруулж болно t = a 0.5: бид авдаг t 3 − t − 6.

Хариулт: t 3 − t − 6 .

Хүч агуулсан бутархайг хөрвүүлэх

Бид ихэвчлэн бутархайтай хүч чадлын илэрхийллийн хоёр хувилбарыг авч үздэг: илэрхийлэл нь зэрэгтэй бутархайг илэрхийлдэг эсвэл ийм бутархайг агуулдаг. Бутархайн бүх үндсэн хувиргалтыг ийм илэрхийлэлд ямар ч хязгаарлалтгүйгээр хэрэглэж болно. Тэдгээрийг багасгаж, шинэ хуваагч руу авчирч эсвэл тоологч болон хуваагчтай тусад нь ажиллах боломжтой. Үүнийг жишээгээр тайлбарлая.

Жишээ 7

Эрчим хүчний илэрхийллийг хялбарчлах 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Шийдэл

Бид бутархайтай харьцаж байгаа тул тоо болон хуваагчийн аль алинд нь хувиргалт хийх болно.

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Бутархайн тэмдэгийг өөрчлөхийн тулд бутархайн өмнө хасах тэмдэг тавина: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Хариулт: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Эрх бүхий бутархайг рационал бутархайтай адил шинэ хуваагч болгон бууруулна. Үүнийг хийхийн тулд та нэмэлт хүчин зүйлийг олж, бутархайн хуваагч ба хуваагчийг үржүүлэх хэрэгтэй. Анхны илэрхийлэлд зориулсан ODZ хувьсагчдаас хувьсагчийн ямар ч утгыг тэглэхгүй байхаар нэмэлт хүчин зүйлийг сонгох шаардлагатай.

Жишээ 8

Бутархайг шинэ хуваагч болгон бууруул: a) a + 1 a 0, 7 хуваагч руу а, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 хуваарьт x + 8 · y 1 2 .

Шийдэл

a) Шинэ хуваагч болгон бууруулах боломжийг олгох хүчин зүйлийг сонгоцгооё. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a,Тиймээс бид нэмэлт хүчин зүйл болгон авах болно a 0, 3. a хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгын мужид бүх эерэг бодит тоонуудын багц орно. Энэ чиглэлээр зэрэгтэй a 0, 3тэг рүү орохгүй.

Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг үржүүлье a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

б) Хугацааг анхаарч үзье:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Энэ илэрхийллийг x 1 3 + 2 · y 1 6-аар үржүүлье, бид x 1 3 ба 2 · y 1 6 кубуудын нийлбэрийг авна, өөрөөр хэлбэл. x + 8 · y 1 2 . Энэ бол бидний анхны бутархайг багасгах шаардлагатай шинэ хуваагч юм.

Бид x 1 3 + 2 · y 1 6 нэмэлт хүчин зүйлийг ингэж олсон. Хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээнд xТэгээд y x 1 3 + 2 · y 1 6 илэрхийлэл алга болохгүй тул бид бутархайн хуваагч ба хуваагчийг түүгээр үржүүлж болно.
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Хариулт: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

Жишээ 9

Бутархайг багасгах: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Шийдэл

a) Бид хамгийн их нийтлэг хуваагчийг (GCD) ашигладаг бөгөөд үүгээр бид тоологч болон хуваагчийг багасгаж болно. 30 ба 45 тоонуудын хувьд 15 байна. Бид бас бууруулж болно x0.5+1мөн x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 дээр.

Бид авах:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

б) Энд ижил хүчин зүйл байгаа нь тодорхойгүй байна. Тоолуур ба хуваарьт ижил хүчин зүйлийг авахын тулд та зарим өөрчлөлтийг хийх хэрэгтэй болно. Үүнийг хийхийн тулд квадратуудын зөрүүг томъёог ашиглан хуваагчийг өргөжүүлнэ.

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Хариулт: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x) 0 , 5 + 1) , б) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Бутархайтай үндсэн үйлдлүүд нь бутархайг шинэ хуваагч болгон хувиргах, бутархайг багасгах зэрэг орно. Энэ хоёр үйлдлийг хэд хэдэн дүрмийн дагуу гүйцэтгэдэг. Бутархайг нэмэх, хасах үед эхлээд бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулж, дараа нь тоологчтой үйлдлүүдийг (нэмэх, хасах) гүйцэтгэдэг. Хуваарилагч нь ижил хэвээр байна. Бидний үйлдлүүдийн үр дүн нь шинэ бутархай, хуваагч нь тоологчдын үржвэр, хуваагч нь хуваагчийн үржвэр юм.

Жишээ 10

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 алхмуудыг хий.

Шийдэл

Эхлээд хаалтанд байгаа бутархайг хасаад эхэлцгээе. Тэднийг нийтлэг хуваагч руу аваачъя:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Тоолуурыг хасъя:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Одоо бид бутархайг үржүүлж байна:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Хүчээр бууруулъя x 1 2, бид 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1-ийг авна.

Нэмж дурдахад та хуваагч дахь хүч чадлын илэрхийллийг квадратуудын зөрүүг томъёогоор хялбарчилж болно: квадратууд: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Хариулт: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Жишээ 11

Х 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 гэсэн хүчний хуулийн илэрхийллийг хялбарчил.
Шийдэл

Бид бутархайг багасгаж болно (x 2 , 7 + 1) 2. Бид x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1 бутархайг авна.

x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 -ийн хүчийг үргэлжлүүлэн хувиргацгаая. Одоо та ижил суурьтай хүчийг хуваах шинж чанарыг ашиглаж болно: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2, 7 + 1.

Бид сүүлчийн бүтээгдэхүүнээс x 1 3 8 x 2, 7 + 1 бутархай руу шилждэг.

Хариулт: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Ихэнх тохиолдолд сөрөг илтгэгчтэй хүчин зүйлийг тоологчоос хуваагч руу шилжүүлж, илтгэгчийн тэмдгийг өөрчлөх нь илүү тохиромжтой байдаг. Энэ үйлдэл нь цаашдын шийдвэрийг хялбарчлах боломжийг танд олгоно. Нэг жишээ өгье: хүч чадлын илэрхийлэл (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1-ийг x 3 · (x + 1) 0, 2 гэж сольж болно.

Үндэс ба хүч бүхий илэрхийлэлийг хөрвүүлэх

Бодлогод зөвхөн бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлүүд төдийгүй үндсийг агуулсан чадлын илэрхийллүүд байдаг. Ийм хэллэгийг зөвхөн үндэс эсвэл зөвхөн эрх мэдэлд багасгахыг зөвлөж байна. Тэдэнтэй ажиллахад хялбар байдаг тул зэрэг авах нь илүү дээр юм. Анхны илэрхийлэлд зориулсан хувьсагчийн ODZ нь модульд хандах эсвэл ODZ-ийг хэд хэдэн интервалд хуваах шаардлагагүйгээр язгуурыг хүчээр солих боломжийг олгодог бол энэ шилжилтийг илүү тохиромжтой.

Жишээ 12

x 1 9 · x · x 3 6 илэрхийллийг зэрэглэлээр илэрхийл.

Шийдэл

Зөвшөөрөгдөх хувьсах утгуудын хүрээ xхоёр тэгш бус байдлаар тодорхойлогддог x ≥ 0ба олонлогийг тодорхойлох x x 3 ≥ 0 [ 0 , + ∞) .

Энэ багц дээр бид үндэснээс эрх мэдэл рүү шилжих эрхтэй:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Хүч чадлын шинж чанарыг ашиглан бид үүссэн хүчийг илэрхийллийг хялбаршуулдаг.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Хариулт: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Экспонент дахь хувьсагчтай хүчийг хөрвүүлэх

Хэрэв та зэрэглэлийн шинж чанарыг зөв ашиглавал эдгээр хувиргалтыг хийхэд маш хялбар байдаг. Жишээ нь, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Бид илтгэгч нь зарим хувьсагч ба тооны нийлбэр болох чадлын үржвэрээр сольж болно. Зүүн талд үүнийг илэрхийллийн зүүн талын эхний ба сүүлчийн нөхцлөөр хийж болно:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0.

Одоо тэгш байдлын хоёр талыг хувааж үзье 7 2 х. Энэ x хувьсагчийн илэрхийлэл нь зөвхөн эерэг утгыг авна:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Бутархайг зэрэглэлээр бууруулъя: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Эцэст нь ижил илтгэгчтэй чадлын харьцааг харьцааны зэрэглэлээр сольсноор 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 тэгшитгэл гарч ирэх бөгөөд энэ нь 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x-тэй тэнцэнэ. - 2 = 0.

Анхны экспоненциал тэгшитгэлийн шийдийг шийдэлд багасгадаг t = 5 7 x шинэ хувьсагчийг оруулъя. квадрат тэгшитгэл 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0.

Хүчин чадал ба логарифм бүхий илэрхийллийг хөрвүүлэх

Эрх мэдэл, логарифм агуулсан илэрхийллүүд нь бодлогод бас байдаг. Ийм илэрхийллийн жишээ нь: 1 4 1 - 5 · log 2 3 эсвэл log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Ийм илэрхийлэлийг хувиргах нь дээр дурдсан логарифмын арга барил, шинж чанарыг ашиглан хийгддэг бөгөөд үүнийг бид "Логарифмын илэрхийллийн хувиргалт" сэдвээр дэлгэрэнгүй авч үзсэн.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Илэрхийлэл, илэрхийлэл хувиргалт

Хүч чадлын илэрхийлэл(хүчтэй илэрхийлэл) ба тэдгээрийн өөрчлөлт

Энэ өгүүлэлд бид илэрхийллийг хүч чадалтай хөрвүүлэх талаар ярих болно. Нэгдүгээрт, бид хаалт нээх, ижил төстэй нэр томьёо авчрах зэрэг хүч чадлын илэрхийлэл зэрэг ямар ч төрлийн илэрхийллээр хийгддэг хувиргалтуудад анхаарлаа хандуулах болно. Дараа нь бид градус бүхий илэрхийлэлд хамаарах өөрчлөлтүүдийг шинжлэх болно: суурь ба экспоненттай ажиллах, градусын шинж чанарыг ашиглах гэх мэт.

Хуудасны навигаци.

Хүч чадлын илэрхийлэл гэж юу вэ?

"Эрх мэдлийн илэрхийлэл" гэсэн нэр томъёо нь сургуулийн математикийн сурах бичигт бараг байдаггүй, гэхдээ жишээлбэл, улсын нэгдсэн шалгалт, улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэхэд зориулагдсан асуудлын цуглуулгад ихэвчлэн гардаг. Хүч чадлын илэрхийлэл бүхий аливаа үйлдлийг гүйцэтгэх шаардлагатай ажлуудад дүн шинжилгээ хийсний дараа хүч чадлын илэрхийлэл нь тэдгээрийн оруулгад хүчийг агуулсан илэрхийлэл гэж ойлгогддог нь тодорхой болно. Тиймээс та дараах тодорхойлолтыг өөртөө хүлээн зөвшөөрч болно.

Тодорхойлолт.

Хүч чадлын илэрхийлэлзэрэг агуулсан илэрхийллүүд юм.

өгье хүч чадлын илэрхийллийн жишээ. Түүгээр ч зогсохгүй байгалийн илтгэгчтэй зэрэглэлээс бодит илтгэгчтэй зэрэг рүү чиглэсэн үзэл бодлын хөгжил хэрхэн явагддагийн дагуу бид тэдгээрийг танилцуулах болно.

Мэдэгдэж байгаагаар эхлээд энэ үе шатанд натурал илтгэгчтэй тооны хүчин чадалтай танилцаж, 3 төрлийн 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) зэрэглэлийн анхны хамгийн энгийн хүчний илэрхийллүүд; 4, 3 a 2 гарч ирнэ −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 гэх мэт.

Хэсэг хугацааны дараа бүхэл тоон илтгэгчтэй тооны хүчийг судалж байгаа нь сөрөг бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэглэлийн илэрхийлэл гарч ирэхэд хүргэдэг: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

Ахлах сургуульд тэд зэрэгтэй буцаж ирдэг. Тэнд оновчтой илтгэгчтэй зэрэглэлийг нэвтрүүлсэн бөгөөд энэ нь харгалзах хүчний илэрхийлэл гарч ирэхэд хүргэдэг. , , гэх мэт. Эцэст нь иррациональ илтгэгчтэй зэрэг ба тэдгээрийг агуулсан илэрхийлэлүүдийг авч үзнэ: , .

Энэ асуудал нь жагсаасан чадлын илэрхийллүүдээр хязгаарлагдахгүй: цаашлаад хувьсагч нь экспонент руу нэвтэрч, жишээлбэл, дараах илэрхийллүүд гарч ирнэ: 2 x 2 +1 эсвэл . Мөн -тэй танилцсаны дараа зэрэглэл, логарифм бүхий илэрхийллүүд гарч эхэлдэг, жишээлбэл, x 2·lgx −5·x lgx.

Тиймээс бид хүч чадлын илэрхийлэл юуг илэрхийлдэг вэ гэсэн асуултыг авч үзсэн. Дараа нь бид тэдгээрийг хөрвүүлж сурах болно.

Хүч чадлын илэрхийлэл хувиргах үндсэн төрлүүд

Хүчтэй илэрхийллүүдийн тусламжтайгаар та илэрхийллийн үндсэн таних хувиргалтыг хийж болно. Жишээлбэл, та хаалт нээх, тоон хэллэгийг утгаар нь солих, ижил төстэй нэр томъёо нэмэх гэх мэт. Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд үйлдэл хийхдээ хүлээн зөвшөөрөгдсөн журмыг дагаж мөрдөх шаардлагатай. Жишээ хэлье.

Жишээ.

Хүчтэй илэрхийллийн утгыг тооцоол 2 3 ·(4 2 −12) .

Шийдэл.

Үйлдлүүдийг гүйцэтгэх дарааллын дагуу эхлээд хаалтанд байгаа үйлдлүүдийг гүйцэтгэнэ. Тэнд нэгдүгээрт, бид 4 2 хүчийг 16 гэсэн утгатай (шаардлагатай бол үзнэ үү) орлуулж, хоёрдугаарт 16−12=4 гэсэн зөрүүг тооцоолно. Бидэнд байна 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Үүссэн илэрхийлэлд бид 2 3 хүчийг 8 гэсэн утгатай сольж, үүний дараа 8·4=32 үржвэрийг тооцоолно. Энэ бол хүссэн үнэ цэнэ юм.

Тэгэхээр, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Хариулт:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Жишээ.

Хүчтэй илэрхийллийг хялбарчлах 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Шийдэл.

Мэдээжийн хэрэг, энэ илэрхийлэл нь 3·a 4 ·b −7 ба 2·a 4 ·b −7 гэсэн ижил төстэй нэр томъёог агуулсан бөгөөд бид тэдгээрийг танилцуулж болно: .

Хариулт:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Жишээ.

Хүчтэй илэрхийллийг бүтээгдэхүүн болгон илэрхийл.

Шийдэл.

Та 9-ийн тоог 3 2-ын хүчээр төлөөлж, дараа нь товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглан даалгаврыг даван туулж чадна - квадратуудын зөрүү.

Хариулт:

Мөн хүч чадлын илэрхийлэлд тусгайлан хамаарах хэд хэдэн ижил төстэй өөрчлөлтүүд байдаг. Бид тэдгээрийг цаашид шинжлэх болно.

Суурь болон илтгэгчтэй ажиллах

Суурь ба/эсвэл илтгэгч нь зөвхөн тоо эсвэл хувьсагч биш, харин зарим илэрхийлэл байдаг зэрэг байдаг. Жишээ болгон бид (2+0.3·7) 5−3.7 ба (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) оруулгуудыг өгч байна.

Ийм илэрхийллүүдтэй ажиллахдаа та градусын суурь дахь илэрхийлэл болон экспонент дахь илэрхийлэл хоёрыг хувьсагчийнх нь ODZ дахь ижил тэнцүү илэрхийллээр сольж болно. Өөрөөр хэлбэл, бидэнд мэдэгдэж буй дүрмийн дагуу бид градусын суурийг тусад нь хувиргаж, илтгэгчийг тусад нь хувиргаж болно. Энэхүү хувиргалтын үр дүнд анхныхтай яг адилхан илэрхийлэл гарч ирэх нь тодорхой байна.

Ийм өөрчлөлтүүд нь бидэнд эрх мэдэл бүхий илэрхийлэлийг хялбарчлах эсвэл шаардлагатай бусад зорилгод хүрэх боломжийг олгодог. Жишээ нь, дээр дурдсан чадлын илэрхийлэлд (2+0.3 7) 5−3.7 суурь болон илтгэгч дэх тоонуудтай үйлдлүүдийг хийж болох бөгөөд энэ нь 4.1 1.3 зэрэгт шилжих боломжийг олгоно. Мөн хаалтуудыг нээж, ижил төстэй нэр томъёог (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) зэрэглэлийн суурь дээр авсны дараа a 2·(x+1) энгийн хэлбэрийн чадлын илэрхийлэл гарна. ).

Degree Properties ашиглах

Хүчтэй илэрхийллийг өөрчлөх гол хэрэгслүүдийн нэг бол тусгах тэгш байдал юм. Голыг нь эргэн санацгаая. Аливаа эерэг тоо a, b болон дурын бодит тоо r ба s-ийн хувьд дараах чадваруудын шинж чанарууд үнэн болно.

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Натурал, бүхэл тоо, эерэг илтгэгчийн хувьд a, b тоонуудын хязгаарлалт тийм ч хатуу биш байж болохыг анхаарна уу. Жишээ нь, төлөө натурал тоонууд m ба n тэгшитгэл нь a m ·a n =a m+n нь зөвхөн эерэг a биш харин сөрөг a, мөн a=0 хувьд үнэн.

Сургуульд хүч чадлын илэрхийлэлийг хувиргахдаа тохирох өмчийг сонгох, зөв ​​хэрэглэх чадварт гол анхаарлаа хандуулдаг. Энэ тохиолдолд градусын суурь нь ихэвчлэн эерэг байдаг бөгөөд энэ нь градусын шинж чанарыг хязгаарлалтгүйгээр ашиглах боломжийг олгодог. Хүчин чадлын суурь дахь хувьсагчдыг агуулсан илэрхийлэлийг хувиргахад мөн адил хамаарна - хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгын хүрээ нь ихэвчлэн суурь нь зөвхөн эерэг утгыг авдаг бөгөөд энэ нь хүч чадлын шинж чанарыг чөлөөтэй ашиглах боломжийг олгодог. . Ерөнхийдөө, та энэ тохиолдолд ямар нэгэн зэрэглэлийн өмчийг ашиглах боломжтой эсэхийг өөрөөсөө байнга асууж байх хэрэгтэй, учир нь шинж чанарыг буруу ашиглах нь боловсролын үнэ цэнийг багасгах болон бусад бэрхшээлд хүргэж болзошгүй юм. Эдгээр зүйлийг хүчин чадлын шинж чанарыг ашиглан илэрхийлэл хувиргах тухай өгүүлэлд дэлгэрэнгүй, жишээн дээр авч үзсэн болно. Энд бид хэд хэдэн энгийн жишээг авч үзэхээр хязгаарлагдах болно.

Жишээ.

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 илэрхийллийг a суурьтай зэрэглэлээр илэрхийл.

Шийдэл.

Эхлээд бид хоёр дахь хүчин зүйлийг (a 2) −3-ийг хүчийг хүчирхэг болгон өсгөх шинж чанарыг ашиглан хувиргана. (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Анхны чадлын илэрхийлэл нь 2.5 ·a −6:a −5.5 хэлбэртэй байна. Мэдээжийн хэрэг, ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх, хуваах шинж чанаруудыг ашиглах хэвээр байна.
a 2.5 ·a −6:a −5.5 =
a 2.5−6:a −5.5 =a −3.5:a −5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

Хариулт:

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 =a 2.

Хүч чадлын илэрхийлэлийг хувиргахдаа хүч чадлын шинж чанарыг зүүнээс баруун тийш, баруунаас зүүн тийш хоёуланг нь ашигладаг.

Жишээ.

Хүч чадлын илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл.

Баруунаас зүүн тийш хэрэглэсэн (a·b) r =a r ·b r тэгш байдал нь анхны илэрхийллээс хэлбэрийн үржвэр рүү шилжих боломжийг олгодог. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэхэд илтгэгчүүд нь нийлдэг: .

Анхны илэрхийлэлийг өөр аргаар өөрчлөх боломжтой байсан:

Хариулт:

.

Жишээ.

a 1.5 −a 0.5 −6 чадлын илэрхийлэл өгөгдсөн бол t=a 0.5 шинэ хувьсагчийг оруул.

Шийдэл.

a 1.5 хүчийг 0.5·3 гэж дүрсэлж, дараа нь баруунаас зүүн тийш хэрэглэсэн (a r) s =a r·s зэрэглэлийн шинж чанарт үндэслэн (a 0.5) 3 хэлбэрт шилжүүлнэ. . Тиймээс, a 1.5 −a 0.5 −6=(a 0.5) 3 −a 0.5 −6. Одоо t=a 0.5 гэсэн шинэ хувьсагчийг оруулахад амархан, бид t 3 −t−6 болно.

Хариулт:

t 3 −t−6 .

Хүч агуулсан бутархайг хөрвүүлэх

Хүчин чадлын илэрхийлэл нь эрх бүхий бутархайг агуулж эсвэл төлөөлж болно. Ямар ч төрлийн бутархайд байдаг бутархайн үндсэн хувиргалтын аль нэг нь ийм бутархайд бүрэн хамаатай. Өөрөөр хэлбэл, хүчийг агуулсан бутархайг багасгаж, шинэ хуваагч болгон бууруулж, тоологчтой нь тусад нь, хуваагчтай нь тусад нь ажиллах гэх мэт. Эдгээр үгсийг тайлбарлахын тулд хэд хэдэн жишээн дээр шийдлийг авч үзье.

Жишээ.

Хүч чадлын илэрхийлэлийг хялбарчлах .

Шийдэл.

Энэхүү чадлын илэрхийлэл нь бутархай юм. Түүний тоо, хуваагчтай ажиллацгаая. Тоолуур дээр бид хаалтуудыг нээж, үр дүнгийн илэрхийлэлийг зэрэглэлийн шинж чанарыг ашиглан хялбаршуулж, хуваагч дээр бид ижил төстэй нэр томъёог өгдөг.

Мөн бутархайн өмнө хасах тэмдэг тавьж хувагчийн тэмдгийг өөрчилье. .

Хариулт:

.

Эрх бүхий бутархайг шинэ хуваагч руу бууруулах нь шинэ хуваагч руу бууруулахтай адил хийгддэг. рационал бутархай. Энэ тохиолдолд нэмэлт хүчин зүйл мөн олдож, бутархайн хуваагч ба хуваагчийг түүгээр үржүүлнэ. Энэ үйлдлийг гүйцэтгэхдээ шинэ хуваагч болгон бууруулснаар VA-ийг нарийсгаж болно гэдгийг санах нь зүйтэй. Үүнээс урьдчилан сэргийлэхийн тулд анхны илэрхийлэлд зориулсан ODZ хувьсагчдын хувьсагчийн ямар ч утгыг нэмэлт хүчин зүйл нь тэглэхгүй байх шаардлагатай.

Жишээ.

Бутархайг шинэ хуваагч болгон бууруул: a) хуваагч a, b) хуваагч руу.

Шийдэл.

a) Энэ тохиолдолд ямар нэмэлт үржүүлэгч нь хүссэн үр дүнд хүрэхэд тусалдаг болохыг тодорхойлоход хялбар байдаг. 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a тул энэ нь 0.3-ын үржүүлэгч юм. a хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгын мужид (энэ нь бүх эерэг бодит тоонуудын багц) 0.3-ын хүч алга болохгүй тул бид өгөгдсөн тоон болон хуваагчийг үржүүлэх эрхтэй болохыг анхаарна уу. энэ нэмэлт хүчин зүйлээр хуваах:

б) Хусагчийг сайтар ажиглавал та үүнийг олох болно

мөн энэ илэрхийллийг үржүүлбэл шоо ба нийлбэр гарна. Энэ бол анхны бутархайг багасгах шаардлагатай шинэ хуваагч юм.

Ингэж бид нэмэлт хүчин зүйлийг олсон. X ба y хувьсагчдын зөвшөөрөгдөх утгын мужид илэрхийлэл алга болохгүй тул бид бутархайн хуваагч ба хуваагчийг үржүүлж болно.

Хариулт:

A) , б) .

Хүчин чадал агуулсан бутархайг багасгахад шинэ зүйл байхгүй: хүртэгч ба хуваагчийг хэд хэдэн хүчин зүйлээр төлөөлдөг бөгөөд хуваагч ба хуваагчийн ижил хүчин зүйлүүд буурч байна.

Жишээ.

Бутархайг багасгах: a) , б) .

Шийдэл.

a) Нэгдүгээрт, тоологч ба хуваагчийг 30 ба 45 тоогоор багасгаж болох бөгөөд энэ нь 15-тай тэнцүү байна. Мөн x 0.5 +1-ээр бууруулж болох нь ойлгомжтой . Бидэнд байгаа зүйл энд байна:

б) Энэ тохиолдолд тоологч ба хуваагч дахь ижил хүчин зүйлүүд шууд харагдахгүй. Тэдгээрийг олж авахын тулд та урьдчилсан өөрчлөлтийг хийх хэрэгтэй болно. Энэ тохиолдолд тэдгээр нь квадратын зөрүүг ашиглан хуваагчийг хүчин зүйл болгон хуваахаас бүрдэнэ.

Хариулт:

A)

б) .

Бутархайг шинэ хуваарьт хөрвүүлэх, бутархайг багасгах үйлдлийг бутархайтай зүйл хийхэд голчлон ашигладаг. Үйлдлүүд нь дагуу хийгддэг мэдэгдэж байгаа дүрэм. Бутархайг нэмэх (хасах) үед тэдгээрийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулж, дараа нь тоог нэмэх (хасах) боловч хуваагч нь ижил хэвээр байна. Үр дүн нь хуваагч нь хуваагчийн үржвэр, хуваагч нь хуваагчийн үржвэр болох бутархай юм. Бутархайд хуваах нь урвуугаар үржүүлэх явдал юм.

Жишээ.

Алхмуудыг дагана уу .

Шийдэл.

Эхлээд бид хаалтанд байгаа бутархайг хасна. Үүнийг хийхийн тулд бид тэдгээрийг нийтлэг зүйлд хүргэдэг, энэ нь , үүний дараа бид тоологчдыг хасна:

Одоо бид бутархайг үржүүлж байна:

Мэдээжийн хэрэг, үүнийг х 1/2-ийн хүчээр багасгах боломжтой бөгөөд үүний дараа бид байна .

Та мөн квадратын зөрүүний томъёог ашиглан хуваагч дахь хүчийг илэрхийлэхийг хялбарчилж болно. .

Хариулт:

Жишээ.

Эрчим хүчний илэрхийлэлийг хялбарчлах .

Шийдэл.

Мэдээжийн хэрэг, энэ бутархайг (x 2.7 +1) 2-оор багасгаж болно, энэ нь бутархайг өгнө. . Х-ийн эрх мэдлээр өөр зүйл хийх шаардлагатай байгаа нь ойлгомжтой. Үүнийг хийхийн тулд бид үүссэн фракцыг бүтээгдэхүүн болгон хувиргадаг. Энэ нь бидэнд эрх мэдлийг ижил үндэслэлээр хуваах боломжийг ашиглах боломжийг олгодог. . Мөн процессын төгсгөлд бид сүүлчийн бүтээгдэхүүнээс фракц руу шилждэг.

Хариулт:

.

Сөрөг илтгэгчтэй хүчин зүйлсийг тооноос хуваагч руу эсвэл хуваагчаас хуваагч руу шилжүүлэх, илтгэгчийн тэмдгийг өөрчлөх боломжтой бөгөөд ихэнх тохиолдолд зүйтэй гэдгийг нэмж хэлье. Ийм өөрчлөлтүүд нь ихэвчлэн дараагийн үйлдлүүдийг хялбаршуулдаг. Жишээлбэл, чадлын илэрхийлэлийг -ээр сольж болно.

Үндэс ба хүч бүхий илэрхийлэлийг хөрвүүлэх

Ихэнхдээ зарим хувиргалт хийх шаардлагатай илэрхийлэлд бутархай илтгэгчтэй язгуурууд нь зэрэглэлийн хамт байдаг. Ийм илэрхийлэлийг хүссэн хэлбэрт шилжүүлэхийн тулд ихэнх тохиолдолд зөвхөн үндэс эсвэл зөвхөн эрх мэдэл рүү шилжихэд хангалттай. Гэхдээ эрх мэдэлтэй ажиллах нь илүү тохиромжтой байдаг тул тэд ихэвчлэн үндэснээс эрх мэдэл рүү шилждэг. Гэсэн хэдий ч анхны илэрхийлэлд зориулсан хувьсагчдын ODZ нь модульд хандах эсвэл ODZ-ийг хэд хэдэн интервалд хуваах шаардлагагүйгээр үндсийг хүчээр солих боломжийг олгодог бол ийм шилжилтийг хийхийг зөвлөж байна (бид үүнийг нарийвчлан авч үзсэн болно. язгуураас хүч болон буцах өгүүллийн шилжилт Рационал илтгэгчтэй зэрэгтэй танилцсаны дараа дурын бодит илтгэгчтэй зэрэглэлийн тухай ярих боломжийг олгодог судлах. экспоненциал функц, суурь нь тоо, илтгэгч нь хувьсагч гэсэн үндэслэлээр аналитик байдлаар өгөгдсөн. Тиймээс бид хүч чадлын суурьт тоо, илтгэгч хэсэгт - хувьсагчтай илэрхийллүүдтэй тулгардаг бөгөөд мэдээжийн хэрэг ийм илэрхийлэлийг хувиргах хэрэгцээ гарч ирдэг.

Энэ нь хувиргах илэрхийлэл гэж хэлэх ёстой заасан төрөлшийдвэрлэх үед ихэвчлэн хийх ёстой экспоненциал тэгшитгэлТэгээд экспоненциал тэгш бус байдал, мөн эдгээр хөрвүүлэлтүүд нь маш энгийн. Ихэнх тохиолдолд тэдгээр нь зэрэглэлийн шинж чанарт суурилдаг бөгөөд ихэнх тохиолдолд ирээдүйд шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэхэд чиглэгддэг. Тэгшитгэл нь бидэнд тэдгээрийг харуулах боломжийг олгоно 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Нэгдүгээрт, тодорхой хувьсагч (эсвэл хувьсагчтай илэрхийлэл) ба тооны нийлбэр болох илтгэгч хүчийг бүтээгдэхүүнээр солино. Энэ нь зүүн талд байгаа илэрхийллийн эхний ба сүүлчийн нөхцөлүүдэд хамаарна:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Дараа нь тэгш байдлын хоёр талыг 7 2 x илэрхийллээр хуваадаг бөгөөд энэ нь анхны тэгшитгэлийн хувьд x хувьсагчийн ODZ дээр зөвхөн эерэг утгыг авдаг (энэ нь ийм төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх стандарт арга, бид тийм биш юм. Энэ тухай одоо ярьж байгаа тул эрх мэдэл бүхий илэрхийллийн дараагийн хувиргалтанд анхаарлаа хандуулаарай ):

Одоо бид хүч чадал бүхий бутархайг цуцалж болно, энэ нь өгдөг .

Эцэст нь ижил илтгэгчтэй чадлын харьцааг харилцааны эрхээр сольж, тэгшитгэл гарч ирнэ. , энэ нь тэнцүү байна . Хийсэн өөрчлөлтүүд нь анхны экспоненциал тэгшитгэлийн шийдийг квадрат тэгшитгэлийн шийдэл болгон бууруулдаг шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх боломжийг бидэнд олгож байна.

И.В.Бойков, Л.Д.РомановаУлсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх даалгаврын цуглуулга. 1-р хэсэг. Пенза 2003 он.

Хэсэгүүд: Математик

Анги: 9

ЗОРИЛГО: Зэрэглэлийн шинж чанарыг оновчтой илтгэгчтэй хэрэглэх ур чадварыг нэгтгэх, сайжруулах; бутархай илтгэгчтэй хүчийг агуулсан илэрхийллийн энгийн хувиргалтыг хийх ур чадварыг хөгжүүлэх.

ХИЧЭЭЛИЙН ТӨРӨЛ: Энэ сэдвээр мэдлэгээ нэгтгэх, хэрэгжүүлэх хичээл.

Сурах бичиг: Алгебр 9 хэвлэл. С.А. Теляковский.

ХИЧЭЭЛИЙН ЯВЦ

Багшийн нээлтийн үг

"Алгебрийн талаар мэдэхгүй хүмүүс энэ шинжлэх ухааны тусламжтайгаар ямар гайхалтай зүйлд хүрч болохыг төсөөлж чадахгүй." Г.В. Лейбниц

Алгебр нь бидэнд лабораторийн цогцолборын хаалгыг нээж өгдөг "Рациональ илтгэгчтэй зэрэг."

1. Урд талын судалгаа

1) Бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийн тодорхойлолтыг өг.

2) Суурь нь 0-тэй тэнцүү градусыг ямар бутархай илтгэгчийн хувьд тодорхойлох вэ?

3) Сөрөг суурийн хувьд зэрэглэлийг бутархай илтгэгчээр тодорхойлох уу?

Даалгавар: 64-ийн тоог 2 суурьтай хүч гэж төсөөлөөд үз дээ; 2; 8.

Ямар тооны шоо 64 вэ?

64-ийн тоог рационал илтгэгчтэй зэрэглэлээр илэрхийлэх өөр арга бий юу?

2. Бүлгээр ажиллах

1 бүлэг. (-2) 3/4 илэрхийллүүд гэдгийг батал. 0 -2 утгагүй байна.

2-р бүлэг. Үндэс хэлбэрээр бутархай илтгэгчтэй хүчийг төсөөлөөд үз дээ: 2 2/3; 3 -1|3 ; -1.5-д; 5a 1/2; (x-y) 2/3 .

3-р бүлэг. Бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлээр илэрхийлнэ: v3; 8 ва 4; 3v2 -2; v(x+y) 2/3 ; vvv.

3. "Эрх мэдлийн үйл ажиллагаа" лаборатори руу шилжье.

Лабораторийн байнгын зочид бол одон орон судлаачид юм. Тэд "одон орны тоо"-оо авчирч, алгебрийн боловсруулалтанд хамруулж, ашигтай үр дүнд хүрдэг

Жишээлбэл, дэлхийгээс Андромедын мананцар хүртэлх зайг тоогоор илэрхийлнэ

9500000000000000000 = 95 10 18 км;

гэж нэрлэдэг квинтиллион.

Нарны массыг граммаар 1983 10 30 г тоогоор илэрхийлнэ - nonnalion.

Нэмж дурдахад лаборатори бусад ноцтой ажлуудтай тулгарч байна. Жишээлбэл, илэрхийлэлийг тооцоолох асуудал:

A); б) ; V) .

Лабораторийн ажилтнууд ийм тооцоог хамгийн тохиромжтой аргаар хийдэг.

Та ажилдаа холбогдож болно. Үүнийг хийхийн тулд градусын шинж чанарыг рационал илтгэгчээр давтъя.

Одоо рационал илтгэгчтэй чадлын шинж чанаруудыг ашиглан илэрхийллийг тооцоолж эсвэл хялбаршуулна уу:

1-р бүлэг:

2-р бүлэг:

3-р бүлэг:

Шалгах: самбар дээрх бүлгийн нэг хүн.

4. Харьцуулах даалгавар

Хүчний шинж чанарыг ашиглан 2 100 ба 10 30 илэрхийллийг хэрхэн харьцуулах вэ?

Хариулт:

2 100 =(2 10) 10 =1024 10 .

10 30 =(10 3) 10 =1000 10

1024 10 >1000 10

2 100 >10 30

5. Одоо би таныг “Эрдмийн зэрэг” лабораторид урьж байна.

Бид эрх мэдэлд ямар өөрчлөлт хийж чадах вэ?

1) 3-ын тоог 2-р илтгэгчтэй хүч гэж төсөөлөөд үз дээ; 3; -1.

2) a-c илэрхийллүүдийг хэрхэн хүчин зүйлээр ангилах вэ? in+in 1/2; а-2а 1/2; 2-ын 2?

3) Бутархайг багасгаж, дараа нь харилцан баталгаажуулах:

4) Гүйцэтгэсэн хувиргалтыг тайлбарлаж, илэрхийллийн утгыг ол.

6. Сурах бичигтэй ажиллах.№ 611(g, d, f).

1-р бүлэг: (d).

2-р бүлэг: (d).

3-р бүлэг: (f).

№ 629 (a, b).

Үе тэнгийн үнэлгээ.

7. Бид семинар (бие даасан ажил) явуулдаг.

Өгөгдсөн илэрхийллүүд:

Аль бутархайг багасгахдаа үржүүлэх томъёог товчилж, нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтанд оруулах вэ?

1-р бүлэг: №1, 2, 3.

2-р бүлэг: No 4, 5, 6.

3-р бүлэг: №7, 8, 9.

Даалгаврыг гүйцэтгэхдээ та зөвлөмжийг ашиглаж болно.

1. Хэрэв жишээ тэмдэглэгээ нь рационал илтгэгч болон үндэс бүхий хоёр хүчийг агуулж байвал n-р зэрэг, дараа нь бичнэ үү n-р үндэсрационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн зэрэгтэй.
2. Үйлдлүүдийг гүйцэтгэх илэрхийлэлийг хялбарчлахыг хичээ: хаалт нээж, үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглан сөрөг үзүүлэлттэй хүчийг эерэг илтгэгчтэй хүчийг агуулсан илэрхийлэл рүү шилжүүлнэ.
3. Үйлдлийг гүйцэтгэх дарааллыг тодорхойл.
4. Алхамуудыг гүйцэтгэх дарааллаар гүйцэтгэнэ.

Багш дэвтэр цуглуулсны дараа үнэлдэг.

8. Гэрийн даалгавар: No624, 623.

Илэрхийллийн утгыг тооцоолохдоо хамгийн сүүлд хийгддэг арифметик үйлдэл нь “мастер” үйлдэл юм.

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв та үсгийн оронд зарим (ямар ч) тоог орлуулж, илэрхийллийн утгыг тооцоолохыг оролдвол, хэрэв сүүлчийн үйлдэл нь үржүүлэх юм бол бид үржвэртэй болно (илэрхийлэл нь үржвэрлэгдсэн).

Хэрэв сүүлчийн үйлдэл нь нэмэх эсвэл хасах үйлдэл бол илэрхийлэл нь хүчин зүйл ангилагдаагүй (тиймээс багасгах боломжгүй) гэсэн үг юм.

Үүнийг бататгахын тулд хэд хэдэн жишээг өөрөө шийд:

Жишээ нь:

Шийдэл:

1. Та тэр даруй огтлох гэж яараагүй гэж найдаж байна? Ийм нэгжүүдийг "багасгах" нь хангалтгүй хэвээр байсан:

Эхний алхам нь хүчин зүйлчлэл байх ёстой:

4. Бутархай тоог нэмэх, хасах. Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгах.

Энгийн бутархайг нэмэх, хасах нь танил үйлдэл юм: бид нийтлэг хуваагчийг хайж, бутархай бүрийг алга болсон хүчин зүйлээр үржүүлж, тоог нэмэх/хасах.

Санаж үзье:

Хариултууд:

1. Хуваагч ба харьцангуй анхдагч, өөрөөр хэлбэл тэдгээрт нийтлэг хүчин зүйл байхгүй. Тиймээс эдгээр тоонуудын LCM нь тэдгээрийн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна. Энэ нь нийтлэг хуваагч байх болно:

2. Энд нийтлэг хуваагч нь:

3. Энд эхлээд бид холимог бутархайг зохисгүй болгон хувиргаж, дараа нь ердийн схемийн дагуу:

Бутархай нь үсэг агуулсан байвал огт өөр асуудал, жишээ нь:

Энгийн зүйлээс эхэлцгээе:

a) Хугацаа нь үсэг агуулаагүй

Энд бүх зүйл энгийн тоон бутархайтай адил байна: бид нийтлэг хуваагчийг олж, бутархай бүрийг алга болсон хүчин зүйлээр үржүүлж, тоог нэмэх/хасах:

Одоо тоологч дээр та ижил төстэй, хэрэв байгаа бол тэдгээрийг өгч, үржүүлж болно:

Та өөрөө туршаад үзээрэй:

Хариултууд:

б) Хугацаа нь үсэг агуулдаг

Үсэггүй нийтлэг хуваагчийг олох зарчмыг санацгаая.

· юуны түрүүнд нийтлэг хүчин зүйлсийг тодорхойлох;

· дараа нь бид бүх нийтлэг хүчин зүйлсийг нэг нэгээр нь бичдэг;

· бусад нийтлэг бус бүх хүчин зүйлээр үржүүлнэ.

Хуваарийн нийтлэг хүчин зүйлсийг тодорхойлохын тулд бид эхлээд тэдгээрийг үндсэн хүчин зүйл болгон хуваана.

Нийтлэг хүчин зүйлсийг онцолж үзье:

Одоо нийтлэг хүчин зүйлсийг нэг нэгээр нь бичиж, тэдгээрт нийтлэг бус (доор зураагүй) бүх хүчин зүйлийг нэмье.

Энэ бол нийтлэг зүйл юм.

Захидалдаа буцаж орцгооё. Хуваагчдыг яг ижил аргаар өгсөн болно.

· хуваагчийг хүчин зүйл болгох;

· нийтлэг (ижил) хүчин зүйлсийг тодорхойлох;

· Бүх нийтлэг хүчин зүйлсийг нэг удаа бичих;

· тэдгээрийг бусад бүх нийтлэг бус хүчин зүйлээр үржүүлнэ.

Тиймээс, дарааллаар нь:

1) хуваагчийг хүчин зүйлээр тооцох:

2) нийтлэг (ижил) хүчин зүйлсийг тодорхойлох:

3) бүх нийтлэг хүчин зүйлсийг нэг удаа бичиж, бусад бүх (доор зураагүй) хүчин зүйлүүдээр үржүүлнэ.

Тэгэхээр энд нэг нийтлэг зүйл байна. Эхний бутархайг үржүүлж, хоёр дахь нь:

Дашрамд хэлэхэд нэг заль мэх бий:

Жишээ нь: .

Бид хуваагчдад ижил хүчин зүйлсийг хардаг, зөвхөн бүгд өөр өөр үзүүлэлттэй байдаг. Нийтлэг хуваагч нь:

тодорхой хэмжээгээр

тодорхой хэмжээгээр

тодорхой хэмжээгээр

тодорхой хэмжээгээр.

Даалгаврыг хүндрүүлье:

Бутархайг хэрхэн ижил хуваагчтай болгох вэ?

Бутархайн үндсэн шинж чанарыг санацгаая.

Бутархайн хуваагч болон хуваагчаас ижил тоог хасч (эсвэл нэмж) болно гэж хаана ч байхгүй. Учир нь энэ нь үнэн биш юм!

Өөрийгөө хараарай: жишээ нь дурын бутархайг авч, тоо болон хуваагч дээр хэдэн тоог нэмнэ, жишээлбэл, . Та юу сурсан бэ?

Тиймээс өөр нэг хөдлөшгүй дүрэм:

Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгахдаа зөвхөн үржүүлэх үйлдлийг ашиглана уу!

Гэхдээ авахын тулд юугаар үржүүлэх хэрэгтэй вэ?

Тиймээс үржүүлээрэй. Тэгээд үржүүлнэ:

Хүчин зүйлд ангилагдах боломжгүй хэллэгийг бид "элементар хүчин зүйл" гэж нэрлэх болно.

Жишээлбэл, энэ бол үндсэн хүчин зүйл юм. - Адилхан. Гэхдээ үгүй: үүнийг хүчин зүйлээр ангилж болно.

Илэрхийллийн талаар юу хэлэх вэ? Энэ нь анхан шатны үү?

Үгүй, учир нь үүнийг хүчин зүйлээр ангилж болно:

("" гэсэн сэдвээр хүчин зүйл ангилах талаар та аль хэдийн уншсан).

Тиймээс илэрхийлэлийг үсгээр өргөжүүлэх үндсэн хүчин зүйлүүд нь аналог юм үндсэн хүчин зүйлүүд, үүнд та тоонуудыг задална. Мөн бид тэдэнтэй ижил аргаар харьцах болно.

Бид хуваагч хоёулаа үржүүлэгчтэй болохыг харж байна. Энэ нь нийтлэг хуваагч руу зэрэгтэй очно (яагаадыг санаж байна уу?).

Хүчин зүйл нь энгийн бөгөөд тэдгээрт нийтлэг хүчин зүйл байдаггүй бөгөөд энэ нь эхний бутархайг зүгээр л үржүүлэх шаардлагатай болно гэсэн үг юм.

Өөр нэг жишээ:

Шийдэл:

Та эдгээр хуваагчдыг сандаргаж үржүүлэхээсээ өмнө тэдгээрийг хэрхэн хүчин зүйл болгох талаар бодох хэрэгтэй юу? Тэд хоёулаа дараахь зүйлийг төлөөлдөг.

Гайхалтай! Дараа нь:

Өөр нэг жишээ:

Шийдэл:

Ердийнх шигээ хуваагчийг хүчин зүйлээр ангилъя. Эхний хуваарьт бид зүгээр л хаалтанд оруулав; хоёр дахь нь - квадратуудын ялгаа:

Нийтлэг хүчин зүйл байхгүй юм шиг санагдаж байна. Гэхдээ хэрэв та анхааралтай ажиглавал тэд ижил төстэй байна ... Мөн энэ нь үнэн:

Ингээд бичье:

Өөрөөр хэлбэл, ийм болсон: хаалт дотор бид нэр томъёог сольж, тэр үед бутархайн урд талын тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдсөн. Анхаарна уу, та үүнийг байнга хийх хэрэгтэй болно.

Одоо үүнийг нийтлэг хуваагч руу аваачъя:

Ойлгосон уу? Одоо шалгаж үзье.

Бие даасан шийдлийн даалгавар:

Хариултууд:

Энд бид өөр нэг зүйлийг санах хэрэгтэй - шоо дөрвөлжингийн ялгаа:

Хоёрдахь бутархайн хуваагч нь "нийлбэрийн квадрат" томъёог агуулаагүй болохыг анхаарна уу! Нийлбэрийн квадрат нь дараах байдалтай байна: .

A нь нийлбэрийн бүрэн бус квадрат гэж нэрлэгддэг: хоёр дахь гишүүн нь эхний ба сүүлчийнх нь үржвэр бөгөөд тэдгээрийн давхар үржвэр биш юм. Нийлбэрийн хэсэгчилсэн квадрат нь кубын зөрүүг тэлэх хүчин зүйлүүдийн нэг юм.

Хэрэв аль хэдийн гурван бутархай байвал яах вэ?

Тийм ээ, ижил зүйл! Юуны өмнө үүнийг баталгаажуулъя дээд хэмжээхуваагч дахь хүчин зүйлүүд ижил байсан:

Анхаарна уу: хэрэв та нэг хаалт доторх тэмдгийг өөрчилвөл бутархайн урд талын тэмдэг эсрэгээрээ өөрчлөгдөнө. Хоёрдахь хаалтанд байгаа тэмдгүүдийг өөрчлөхөд бутархайн өмнөх тэмдэг дахин эсрэгээр өөрчлөгдөнө. Үүний үр дүнд энэ нь (бутархайн урд талын тэмдэг) өөрчлөгдөөгүй.

Бид эхний хуваагчийг бүхэлд нь нийтлэг хуваагч руу бичээд дараа нь хоёр дахь, гурав дахь нь (хэрэв илүү олон бутархай байвал гэх мэт) бичигдээгүй байгаа бүх хүчин зүйлийг нэмнэ. Энэ нь дараах байдлаар харагдаж байна.

Хмм... Бутархайгаар юу хийх нь ойлгомжтой. Гэхдээ энэ хоёр яах вэ?

Энэ нь энгийн: та бутархайг хэрхэн нэмэхээ мэддэг, тийм ээ? Тиймээс бид хоёрыг бутархай болгох хэрэгтэй! Санаж үзье: бутархай нь хуваах үйлдэл юм (хэрэв та мартсан бол тоологч нь хуваагчаар хуваагдана). Мөн тоог хуваах шиг амархан зүйл байхгүй. Энэ тохиолдолд тоо нь өөрөө өөрчлөгдөхгүй, харин бутархай болж хувирна.

Зөвхөн танд хэрэгтэй зүйл!

5. Бутархайг үржүүлэх, хуваах.

За одоо хамгийн хэцүү хэсэг нь дууслаа. Бидний өмнө хамгийн энгийн, гэхдээ нэгэн зэрэг хамгийн чухал нь байна.

Процедур

Тоон илэрхийллийг тооцоолох журам юу вэ? Энэ илэрхийллийн утгыг тооцоолохдоо санаарай:

Тоолсон уу?

Энэ нь ажиллах ёстой.

Тиймээс би танд сануулъя.

Эхний алхам бол зэрэглэлийг тооцоолох явдал юм.

Хоёр дахь нь үржүүлэх, хуваах явдал юм. Хэд хэдэн үржүүлэх, хуваах үйлдлүүд нэгэн зэрэг байгаа бол тэдгээрийг ямар ч дарааллаар хийж болно.

Эцэст нь бид нэмэх, хасах үйлдлийг гүйцэтгэдэг. Дахин хэлэхэд ямар ч дарааллаар.

Гэхдээ: хаалтанд байгаа илэрхийлэл нь ээлжлэн үнэлэгдсэн!

Хэд хэдэн хаалтыг үржүүлж эсвэл өөр хоорондоо хуваавал эхлээд хаалт тус бүр дэх илэрхийлэлийг тооцоолж, дараа нь үржүүлж эсвэл хуваана.

Хэрвээ хаалт дотор илүү олон хаалт байвал яах вэ? За, бодъё: хаалт дотор зарим илэрхийлэл бичигдсэн байна. Илэрхийлэлийг тооцоолохдоо эхлээд юу хийх ёстой вэ? Энэ нь зөв, хаалтуудыг тооцоол. За, бид үүнийг олж мэдэв: эхлээд дотоод хаалтуудыг тооцоолж, дараа нь бусад бүх зүйлийг тооцоолно.

Тиймээс, дээрх илэрхийлэлийн процедур дараах байдалтай байна (одоогийн үйлдлийг улаанаар тодруулсан, өөрөөр хэлбэл миний яг одоо хийж буй үйлдэл):

За, бүх зүйл энгийн.

Гэхдээ энэ нь үсэгтэй илэрхийлэлтэй адил биш гэж үү?

Үгүй ээ, адилхан! Зөвхөн оронд нь арифметик үйлдлүүдта алгебр, өөрөөр хэлбэл өмнөх хэсэгт тайлбарласан үйлдлүүдийг хийх хэрэгтэй. ижил төстэй авчрах, бутархай нэмэх, бутархайг багасгах гэх мэт. Цорын ганц ялгаа нь олон гишүүнтийг факторинг хийх үйлдэл байх болно (бид үүнийг бутархайтай ажиллахдаа ихэвчлэн ашигладаг). Ихэнх тохиолдолд хүчин зүйл ангилахын тулд та I-г ашиглах эсвэл нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтанд оруулах хэрэгтэй.

Ихэнхдээ бидний зорилго бол илэрхийлэлийг бүтээгдэхүүн эсвэл quotient хэлбэрээр илэрхийлэх явдал юм.

Жишээ нь:

Илэрхийлэлийг хялбаршуулж үзье.

1) Эхлээд бид хаалт доторх илэрхийллийг хялбаршуулдаг. Тэнд бид бутархайн зөрүүтэй бөгөөд бидний зорилго бол үүнийг бүтээгдэхүүн эсвэл quotient хэлбэрээр харуулах явдал юм. Тиймээс бид бутархайг нийтлэг хуваагч руу авчирч, нэмнэ:

Энэ илэрхийлэлийг цаашид хялбарчлах боломжгүй; энд байгаа бүх хүчин зүйл нь энгийн зүйл юм (энэ нь юу гэсэн үг болохыг та санаж байна уу?).

2) Бид дараахь зүйлийг авна.

Бутархайг үржүүлэх: юу илүү хялбар байж болох вэ.

3) Одоо та богиносгож болно:

За тэгээд л болоо. Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, тийм үү?

Өөр нэг жишээ:

Илэрхийлэлийг хялбарчлах.

Эхлээд үүнийг өөрөө шийдэхийг хичээ, зөвхөн дараа нь шийдлийг хар.

Шийдэл:

Юуны өмнө үйл ажиллагааны дарааллыг тодорхойлъё.

Эхлээд хаалтанд бутархайг нэмье, тэгэхээр хоёр бутархайн оронд нэгийг авна.

Дараа нь бид бутархайг хуваах болно. За тэгээд үр дүнг сүүлийн бутархайгаар нэмье.

Би алхамуудыг схемийн дагуу дугаарлах болно:

Одоо би танд үйл явцыг харуулж, одоогийн үйлдлийг улаанаар будах болно:

1. Ижил төстэй зүйл байвал яаралтай авчрах ёстой. Манайд үүнтэй ижил төстэй зүйл гарч ирсэн ямар ч үед яаралтай гаргаж ирэхийг зөвлөж байна.

2. Бутархайг багасгахад мөн адил хамаарна: багасгах боломж гарч ирмэгц үүнийг ашиглах ёстой. Үл хамаарах зүйл нь таны нэмэх эсвэл хасах бутархай хэсгүүдэд хамаарна: хэрэв тэдгээр нь одоо ижил хуваагчтай бол бууралтыг дараа нь үлдээх хэрэгтэй.

Таны бие даан шийдвэрлэх зарим ажлууд энд байна:

Тэгээд хамгийн эхэнд юу амласан:

Хариултууд:

Шийдэл (товч):

Хэрэв та дор хаяж эхний гурван жишээг даван туулсан бол энэ сэдвийг эзэмшсэн гэсэн үг.

Одоо сурах гэж байна!

ИЛЭРХИЙЛЭЛИЙГ ХӨРВҮҮЛЭХ. ХУРААНГУЙ БА ҮНДСЭН Формулууд

Хялбаршуулах үндсэн үйлдлүүд:

• Үүнтэй төстэй зүйлийг авчрах: ижил төстэй нэр томъёог нэмэх (багасгах) бол тэдгээрийн коэффициентийг нэмж, үсгийн хэсгийг оноох хэрэгтэй.
• Факторчилол:нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргах, хэрэглэх гэх мэт.
• Бутархай хэсгийг багасгах: Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг тэгээс бусад ижил тоогоор үржүүлж эсвэл хувааж болох бөгөөд энэ нь бутархайн утгыг өөрчлөхгүй.
  1) тоологч ба хуваагч хүчин зүйлчлэх
  2) хэрэв тоологч ба хуваагч нь нийтлэг хүчин зүйлүүдтэй бол тэдгээрийг зурж болно.

  ЧУХАЛ: зөвхөн үржүүлэгчийг багасгаж болно!

• Бутархайг нэмэх, хасах:
  ;
• Бутархайг үржүүлэх, хуваах:
  ;