Дээрээс бид хуваарилалтын хуультай танилцсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн. Тархалтын хууль бүр нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын шинж чанарыг иж бүрэн тайлбарлаж, санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй холбоотой аливаа үйл явдлын магадлалыг тооцоолох боломжийг олгодог. Гэсэн хэдий ч олон практик асуудалд ийм бүрэн тайлбар хийх шаардлагагүй бөгөөд зөвхөн тархалтын чухал шинж чанарыг тодорхойлдог бие даасан тоон үзүүлэлтүүдийг зааж өгөхөд хангалттай байдаг. Жишээлбэл, санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгууд тархсан дундаж хэмжээ нь энэ тархалтын хэмжээг тодорхойлдог зарим тоо юм. Эдгээр тоонууд нь тархалтын хамгийн чухал шинж чанаруудыг товч хэлбэрээр илэрхийлэх зорилготой бөгөөд тэдгээрийг нэрлэдэг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанаруудын дотроос бид юуны түрүүнд тоон тэнхлэг дээрх санамсаргүй хэмжигдэхүүний байрлалыг тогтоодог шинж чанаруудыг авч үздэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудыг бүлэглэсэн зарим дундаж утга. Магадлалын онол дахь байрлалын шинж чанаруудаас хамгийн их үүрэг гүйцэтгэдэг математикийн хүлээлт, үүнийг заримдаа санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж гэж нэрлэдэг.

Дискрет SV нь утгыг авдаг гэж үзье x ( , x 2 ,..., x nмагадлал бүхий r j, p 2,... Ptv дээртэдгээр. түгээлтийн цувралаар өгөгдсөн

Эдгээр туршилтуудад үнэ цэнэ байж болох юм х хажиглагдсан N(удаа, үнэ цэнэ x 2 - N 2удаа,..., үнэ цэнэ x n - N nнэг удаа. Үүний зэрэгцээ + N 2 +... + N n = N.

Ажиглалтын үр дүнгийн арифметик дундаж

Хэрэв Нгайхалтай, өөрөөр хэлбэл. Н-"Өө тэгвэл

түгээлтийн төвийг дүрсэлсэн. Ийм аргаар олж авсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгыг математикийн хүлээлт гэж нэрлэнэ. Тодорхойлолтын аман томъёог өгье.

Тодорхойлолт 3.8. Математикийн хүлээлт (MO) салангид SV% нь түүний бүх боломжит утгууд ба эдгээр утгын магадлалын үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү тоо юм (тэмдэглэгээ M;):

Дискрет SV-ийн боломжит утгуудын тоог тоолох боломжтой тохиолдолд авч үзье. бидэнд RR байна

Математикийн хүлээлтийн томъёо нь зөвхөн үнийн дүнгийн дээд хязгаарт хэвээр байна n oo гэж солигдоно, i.e.

Энэ тохиолдолд бид аль хэдийн ялгаатай байж болох цувралыг олж авсан, i.e. харгалзах CB^ нь математикийн хүлээлтгүй байж болно.

Жишээ 3.8. SV?, түгээлтийн цувралаар өгөгдсөн

Энэ SV-ийн MO-г олъё.

Шийдэл.Тодорхойлолтоор. тэдгээр. Уулбайхгүй.

Тиймээс, SV-ийн тоолж болох тооны утгын хувьд бид дараах тодорхойлолтыг олж авна.

Тодорхойлолт 3.9. Математикийн хүлээлт, эсвэл дундаж утга, салангид SV,Тоолж болох тооны утгуудтай байх нь түүний бүх боломжит утгуудын бүтээгдэхүүний цувралын нийлбэрийг харгалзах магадлалаар тэнцүүлэх тоо бөгөөд хэрэв энэ цуваа туйлын нийлдэг бол, өөрөөр хэлбэл.

Хэрэв энэ цуврал нь нөхцөлт байдлаар хуваагдаж эсвэл нийлдэг бол CB ^ математикийн хүлээлтгүй гэж хэлдэг.

Дискрет SV-ээс нягтралтай тасралтгүй рүү шилжье p(x).

Тодорхойлолт 3.10. Математикийн хүлээлт, эсвэл дундаж утга, тасралтгүй CB-тэй тэнцүү тоо гэж нэрлэдэг

энэ интеграл үнэмлэхүй нийлэх тохиолдолд.

Хэрэв энэ интеграл нь нөхцөлт байдлаар хуваагддаг эсвэл нийлдэг бол тэд тасралтгүй SV нь математикийн хүлээлтгүй гэж хэлдэг.

Тайлбар 3.8.Хэрэв J санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгууд байвал;

зөвхөн интервалд хамаарна ( А; б),Тэр

Математикийн хүлээлт нь магадлалын онолд хэрэглэгддэг цорын ганц байрлалын шинж чанар биш юм. Заримдаа тэдгээрийг жишээ нь горим ба медиан болгон ашигладаг.

Тодорхойлолт 3.11. Загвар CB^ (тэмдэглэл Ээжээ,)түүний хамгийн их магадлалтай утгыг нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл. магадлал нь p iэсвэл магадлалын нягт p(x)хамгийн дээд үнэ цэнэдээ хүрдэг.

Тодорхойлолт 3.12. Медиан SV?, (тэмдэглэл Уулзсан)түүний үнэ цэнийг аль гэж нэрлэдэг P(t> Met) = P(? > Уулзсан) = 1/2.

Геометрийн хувьд тасралтгүй NE-ийн хувьд медиан нь тэнхлэг дээрх тухайн цэгийн абсцисса юм Өө,Үүний зүүн ба баруун талд байрлах талбайнууд ижил бөгөөд 1/2-тэй тэнцүү байна.

Жишээ 3.9. NEт,түгээлтийн цувралтай

SV-ийн математик хүлээлт, горим, медианыг олъё

Шийдэл. МЪ,= 0-0.1 + 1 0.3 + 2 0.5 + 3 0.1 = 1.6. L/o? = 2. Би(?) байхгүй.

Жишээ 3.10. Тасралтгүй CB% нь нягтралтай

Математикийн хүлээлт, медиан ба горимыг олъё.

Шийдэл.

p(x)хамгийн ихдээ хүрвэл тухайн цэгийг дайран өнгөрч буй шугамын баруун ба зүүн талын талбайнууд тэнцүү тул медиан нь мөн тэнцүү байх нь ойлгомжтой.

Байршлын шинж чанараас гадна магадлалын онолд янз бүрийн зорилгоор хэд хэдэн тоон шинж чанарыг ашигладаг. Тэдний дунд эхний болон гол мөчүүд онцгой ач холбогдолтой юм.

Тодорхойлолт 3.13. k-р эрэмбийн эхний мөч SV?, математикийн хүлээлт гэж нэрлэдэг к-рЭнэ хэмжээний зэрэг: =M(t > k).

Дискрет ба тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн математикийн хүлээлтийн тодорхойлолтоос дараахь зүйлийг гаргаж болно

Тайлбар 3.9.Мэдээжийн хэрэг, 1-р эрэмбийн эхний мөч нь математикийн хүлээлт юм.

Төвийн моментийг тодорхойлохын өмнө бид төвлөрсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний шинэ ойлголтыг танилцуулж байна.

Тодорхойлолт 3.14. Төвлөрсөн SV нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтээс хазайлт, i.e.

Үүнийг шалгах нь амархан

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг төвлөрүүлэх нь гарал үүслийг M цэг рүү шилжүүлэхтэй тэнцүү байх нь ойлгомжтой. Төвлөрсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний моментууд гэж нэрлэгддэг төв цэгүүд.

Тодорхойлолт 3.15. k-р эрэмбийн төв мөч SV% -ийг математикийн хүлээлт гэж нэрлэдэг к-ртөвлөрсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний зэрэг:

Математикийн хүлээлтийн тодорхойлолтоос үзэхэд ийм байна

Аливаа санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд ^ 1-р эрэмбийн төв момент тэгтэй тэнцүү байх нь ойлгомжтой. в x= M(? 0) = 0.

Хоёр дахь гол цэг нь дадлага хийхэд онцгой ач холбогдолтой юм. 2-той.Үүнийг дисперс гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 3.16. Зөрчил SV?-ийг харгалзах төвлөрсөн хэмжигдэхүүний квадратын математик хүлээлт гэж нэрлэдэг (тэмдэглэгээ). D?)

Зөрчлийг тооцоолохын тулд та дараах томьёог тодорхойлолтоос шууд авч болно.

Томъёо (3.4)-ийг хувиргаснаар бид тооцоолохдоо дараах томъёог авч болно DL;.

SV тархалт нь шинж чанар юм тархалт, санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын түүний математик хүлээлтийн эргэн тойронд тархалт.

Дисперс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний квадратын хэмжээтэй байдаг бөгөөд энэ нь үргэлж тохиромжтой байдаггүй. Тиймээс тодорхой болгохын тулд хэмжээс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэмжигдэхүүнтэй давхцах тоог дисперсийн шинж чанар болгон ашиглах нь тохиромжтой. Үүнийг хийхийн тулд дисперсээс гаргаж авна квадрат язгуур. Үр дүнгийн утгыг дуудна стандарт хазайлтсанамсаргүй хувьсагч. Бид үүнийг a: a = l/s гэж тэмдэглэнэ.

Сөрөг бус SV?-ийн хувьд үүнийг заримдаа шинж чанар болгон ашигладаг хэлбэлзлийн коэффициент, стандарт хазайлтыг математикийн хүлээлттэй харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна:

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба стандарт хазайлтыг мэдсэнээр та түүний боломжит утгын хүрээний талаар ойролцоогоор ойлголттой болно. Ихэнх тохиолдолд бид санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьсагчийн утгууд зөвхөн хааяа M интервалаас гадуур унадаг гэж үзэж болно; ± төлөө. Бид дараа нь зөвтгөх хэвийн тархалтын энэ дүрмийг гэж нэрлэдэг гурван сигма дүрэм.

Хүлээлт ба дисперс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг тоон шинж чанар юм. Математикийн хүлээлт ба тархалтын тодорхойлолтоос харахад эдгээр тоон шинж чанаруудын зарим энгийн бөгөөд нэлээд тодорхой шинж чанарууд гарч ирдэг.

Эгэл биетэнматематикийн хүлээлт ба тархалтын шинж чанарууд.

1. Санамсаргүй бус утгын математикийн хүлээлт -тай c-тэй тэнцүү: M(s) = s.

Үнэн хэрэгтээ, үнэ цэнээс хойш -тай 1 магадлалтайгаар зөвхөн нэг утгыг авна, тэгвэл M(c) = -тай 1 = с.

2. Санамсаргүй бус c хэмжигдэхүүний дисперс нь тэгтэй тэнцүү, i.e. D(c) = 0.

Үнэхээр, Dc = M(s - Mc) 2 = M(s- в) 2 = М( 0) = 0.

3. Математикийн хүлээлтийн шинж тэмдэг болгон санамсаргүй бус үржүүлэгчийг гаргаж болно. M(c^) = cМ(?,).

Дискрет SV-ийн жишээн дээр энэ өмчийн үнэн зөвийг харуулъя.

SV-г түгээлтийн цувралаар өгье

Дараа нь

Тиймээс,

Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд шинж чанар нь адилхан нотлогддог.

4. Санамсаргүй бус үржүүлэгчийг квадрат дисперсийн тэмдгээс гаргаж авч болно.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний моментууд хэдий чинээ их байх тусам тархалтын хуулийн талаар илүү нарийвчилсан ойлголттой болно.

Магадлалын онол ба түүний хэрэглээнд санамсаргүй хэмжигдэхүүний өөр хоёр тоон шинж чанарыг 3 ба 4-р эрэмбийн төв моментууд - тэгш бус байдлын коэффициент дээр үндэслэн ашигладаг.