Аливаа гетероген системийн хамгийн нийтлэг шинж чанар нь хоёр байдаг (ба түүнээс дээш) тодорхой интерфейсээр бие биенээсээ тусгаарлагдсан үе шатууд. Энэ шинж чанар нь гетероген системийг уусмалаас ялгаж өгдөг бөгөөд тэдгээр нь мөн нэг төрлийн холимог үүсгэдэг хэд хэдэн бүрэлдэхүүн хэсгүүдээс бүрддэг. Бид нэг үе шатыг тасралтгүй, сарнисан, нөгөөг нь нарийн хувааж, эхний тархсан үе шатанд нэрлэх болно. Тархалтын орчны төрлөөс хамааран гетероген хольц, шингэн ба хий ялгардаг. Хүснэгтэнд 5.1-д тархсан ба тархсан фазын төрлөөр нэг төрлийн бус системийн ангиллыг үзүүлэв.

Хүснэгт 5.1

Гетероген системүүдийн ангилал

Гетероген системүүдийн ангилал ба шинж чанар

Гетероген системСистемийг хоёр ба түүнээс дээш үе шатаас бүрдсэн систем гэж үздэг. Фаз бүр өөрийн гэсэн интерфэйстэй бөгөөд нөгөөгөөсөө механикаар тусгаарлагдах боломжтой.

Гетероген систем нь дотоод (тарсан) фаз ба гадаад фазаас (тархалтын орчин) бүрддэг бөгөөд тэдгээрт тархсан фазын хэсгүүд байрладаг. Гаднах фаз нь шингэн байдаг системийг нэгэн төрлийн бус шингэний систем, хий бол нэг төрлийн бус хийн систем гэж нэрлэдэг. . Гетероген системүүдгетероген, нэгэн төрлийн - нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг. Нэг төрлийн шингэний системийг цэвэр шингэн эсвэл түүний доторх аливаа бодисын уусмал гэж ойлгодог. Нэг төрлийн буюу гетероген шингэн систем нь жижиг хэсгүүдийн хэлбэрээр уусаагүй бодисууд байдаг шингэн юм. Гетероген системийг ихэвчлэн тархсан гэж нэрлэдэг.

Дараах төрлийн нэг төрлийн бус системүүдийг ялгадаг: суспенз, эмульс, хөөс, тоос, утаа, манан.

Түдгэлзүүлэххатуу хэсгүүд нь түдгэлзсэн тасралтгүй шингэн фазаас бүрдэх систем юм. Жишээлбэл, гурилтай сүмс, цардуултай сүү, чихрийн талсттай моласс.

Бөөмийн хэмжээнээс хамааран суспензийг бүдүүн ширхэгтэй (бөөмийн хэмжээ 100 микроноос их), нарийн ширхэгтэй (0.1-100 микрон), 0.1 микрон ба түүнээс бага хэмжээтэй хатуу тоосонцор агуулсан коллоид уусмалд хуваана.

ЭмульсЭнэ нь шингэн ба дотор нь тархсан өөр шингэний дуслуудаас бүрдэх систем бөгөөд эхний үед уусаагүй байна. Энэ нь жишээлбэл, сүү, ургамлын тос, усны холимог юм. Тархалтын орчин нь шингэн, тархсан фаз нь хий байдаг хийн эмульсүүд байдаг.

Хөөсшингэн ба хийн бөмбөлгүүдээс бүрдэх систем юм. Жишээлбэл, цөцгий болон бусад ташуурдсан бүтээгдэхүүн. Хөөс нь эмульстэй төстэй шинж чанартай байдаг.

Эмульс ба хөөс нь тархсан фазын тархалтын орчин болон эсрэгээр шилжих боломжоор тодорхойлогддог. Фазын массын тодорхой харьцаатай байж болох энэхүү шилжилтийг фазын инверси буюу зүгээр л урвуу гэж нэрлэдэг.

АэрозольБараг молекулаас микроскоп хүртэлх хэмжээтэй хэсгүүдээс тогтсон, бага багаар удаан хугацаагаар түдгэлзэх шинж чанартай хийн тархалтын орчин, хатуу эсвэл шингэн дисперс фаз бүхий дисперс систем гэж нэрлэдэг. Энэ үзэл баримтлал нь тоос, утаа, манан зэргийг хослуулсан. Тухайлбал, гурилыг нунтаглах, шигших, тээвэрлэх явцад үүссэн гурилын тоос; элсэн чихэр хатаах явцад үүсэх чихрийн тоос гэх мэт хатуу түлш шатаахад утаа, уур нь өтгөрүүлэхэд манан үүсдэг.

Аэрозольд тархах орчин нь хий эсвэл агаар, тоос, утаа дахь тархсан фаз нь хатуу, мананд шингэн байдаг.

Тоос, утаа- 5-50 микрон ба 0.3-5 микрон хэмжээтэй хий ба хатуу хэсгүүдээс бүрдэх системүүд. Манан гэдэг нь конденсацийн үр дүнд үүссэн 0.3-3 микрон хэмжээтэй хий, шингэний дуслуудаас бүрдэх систем юм.

Аэрозолийн тоосонцрын жигд байдлыг тодорхойлдог чанарын үзүүлэлт бол тархалтын зэрэг юм. Аэрозолыг бүрдүүлэгч хэсгүүд нь ижил хэмжээтэй бол монодисперс, өөр өөр хэмжээтэй хэсгүүдийг агуулсан бол полидисперс гэж нэрлэдэг. Монодисперс аэрозол нь байгальд бараг байдаггүй. Цөөн тооны аэрозолууд байдаг бөгөөд тэдгээрийн тоосонцрын хэмжээ нь зөвхөн монодисперс системд ойртдог (мөөгөнцрийн гиф, тусгайлан үйлдвэрлэсэн мананцар гэх мэт).

Тархсан эсвэл гетерогенТархсан фазын тооноос хамааран систем нь нэг буюу олон бүрэлдэхүүн хэсэгтэй байж болно. Жишээлбэл, сүү нь олон бүрэлдэхүүн хэсэгтэй систем (энэ нь хоёр тархсан фазтай: өөх тос, уураг); сүмс (тархсан үе шатууд нь гурил, өөх тос гэх мэт).

Салгах аргуудгетероген системийг сарнисан фазын түдгэлзүүлсэн хэсгүүдийн хэмжээ, тархсан ба тасралтгүй фазын нягтын ялгаа, мөн тасралтгүй фазын зуурамтгай чанар зэргээс хамаарч ангилдаг. Дараах үндсэн ялгах аргуудыг ашигладаг: тунадасжуулах, шүүх, центрифуг, нойтон ялгах, цахилгаан цэвэршүүлэх.

Хур тунадасшингэн эсвэл хийд түдгэлзсэн дисперс фазын хатуу эсвэл шингэн хэсгүүдийг таталцлын хүч, төвөөс зугтах эсвэл цахилгаан статик хүчний нөлөөн дор тасралтгүй фазаас салгах үйл явц юм. Таталцлын нөлөөгөөр тунадасжилтыг тунадас гэж нэрлэдэг.

Шүүлтүүр - процессшингэн эсвэл хий дамжуулах чадвартай сүвэрхэг хуваалтыг ашиглан тусгаарлах ба орчинд дүүжлэгдсэн хатуу тоосонцорыг хадгалах. Шүүлтүүр нь даралтын хүчний нөлөөн дор явагддаг бөгөөд тунадасжилтаас илүү суспенз, тоосыг нарийн ялгахад ашигладаг.

Центрифуг хийх- төвөөс зугтах хүчний нөлөөн дор суспенз ба эмульсийг ялгах үйл явц.

Нойтон тусгаарлалт- хийд түдгэлзсэн тоосонцорыг шингэнээр барих үйл явц.

Цахилгаан цэвэрлэгээ- цахилгаан хүчний нөлөөн дор хий цэвэршүүлэх.

Шингэн ба нэгэн төрлийн бус хийн системийг салгах аргууд нь ижил зарчим дээр суурилдаг боловч ашигласан тоног төхөөрөмж нь хэд хэдэн онцлог шинж чанартай байдаг.

2.4.1. Тодорхойлолт.Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус системийг бидэнд өгье

Нэг төрлийн системийг авч үзье

коэффициентийн матриц нь системийн (2.4.1) коэффициентийн матрицтай давхцдаг. Дараа нь систем (2.4.2) дуудагдана нэгэн төрлийн системийг багасгасан (2.4.1).

2.4.2. Теорем. Нэг төрлийн бус системийн ерөнхий шийдэл нь нэгэн төрлийн бус системийн зарим тодорхой шийдэл ба багасгасан нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдийн нийлбэртэй тэнцүү байна..

Тиймээс нэгэн төрлийн бус системийн (2.4.1) ерөнхий шийдлийг олоход хангалттай:

1) Тохиромжтой эсэхийг нь судал. Тохиромжтой тохиолдолд:

2) Буурсан нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдийг ол.

3) Анхны (нэгдмэл бус) шийдлийг олох.

4) Олдсон тодорхой шийдэл болон өгөгдсөний ерөнхий шийдийг нэмснээр анхны системийн ерөнхий шийдийг ол.

2.4.3. Дасгал хийх.Системийн нийцтэй байдлыг судалж, нийцтэй байгаа тохиолдолд түүний ерөнхий шийдлийг тодорхой болон ерөнхий өгөгдсөн нийлбэр хэлбэрээр олоорой.

Шийдэл. a) Асуудлыг шийдэхийн тулд бид дээрх схемийг ашиглана.

1) Бид системийг нийцтэй эсэхийг шалгадаг (насанд хүрээгүй хүмүүсийг хиллэх аргаар): Үндсэн матрицын зэрэглэл нь 3 (Дасгал 2.2.5, a-ийн шийдлийг харна уу), хамгийн их эрэмбийн тэг биш минор нь 1-р элементүүдээс бүрдэнэ. 2, 4-р мөр, 1, 3, 4-р багана. Өргөтгөсөн матрицын зэрэглэлийг олохын тулд бид үүнийг өргөтгөсөн матрицын 3-р мөр ба 6-р баганатай хиллэдэг: =0. гэсэн үг, rg А =rg=3, систем нь тогтвортой байна. Ялангуяа энэ нь системтэй дүйцэхүйц юм

2) X ерөнхий шийдлийг олцгооё 0 нэгэн төрлийн системийг багасгасан

X 0 ={(-2а - б ; а ; б ; б ; б ) | а , б Î Р}

(2.2.5, a) дасгалын шийдлийг үзнэ үү).

3) Анхны системийн x h ямар нэгэн тодорхой шийдийг олцгооё . Үүнийг хийхийн тулд (2.4.3) системд анхны системтэй тэнцэхүйц, чөлөөт үл мэдэгдэх зүйлс x 2 ба x Бид 5-ыг жишээлбэл тэгтэй тэнцүү гэж үздэг (энэ нь хамгийн тохиромжтой өгөгдөл юм):

мөн үүссэн системийг шийднэ үү: x 1 =- , x 3 =- , x 4 =-5. Тиймээс (- ; 0; - ; -5; 0) ¾ нь системийн тодорхой шийдэл юм.

4) Анхны системийн X n ерөнхий шийдийг ол :

X n={х х }+X 0 ={(- ; 0; - ; -5; 0)} + {(-2а - б ; а ; б ; б ; б )}=

={(- -2а - б ; а ; - + б ; -5+б ; б )}.

Сэтгэгдэл. Хүлээн авсан хариултаа 1.2.1 c) жишээн дэх хоёр дахь хариулттай харьцуул. 1.2.1 c) эхний хэлбэрээр хариулт авахын тулд үндсэн үл мэдэгдэх зүйлийг авна x 1 , x 3 , x 5 (бага нь тэгтэй тэнцүү биш), чөлөөт ¾ x 2 ба x 4 .

§3. Зарим програмууд.

3.1. Матрицын тэгшитгэлийн асуудлаар.Үүнийг бид танд сануулж байна матрицын тэгшитгэл талбай дээгүүр Ф нь үл мэдэгдэх нь талбар дээрх матриц болох тэгшитгэл юм Ф .

Хамгийн энгийн матрицын тэгшитгэл нь хэлбэрийн тэгшитгэл юм

AX=Б , ХА =Б (2.5.1)

Хаана А , Б ¾ талбар дээр өгөгдсөн (мэдэгдэж байгаа) матриц Ф , А X ¾ ийм матрицууд, тэдгээрийг орлуулснаар (2.5.1) тэгшитгэлүүд нь жинхэнэ матрицын тэгшитгэл болж хувирдаг. Ялангуяа тодорхой системүүдийн матрицын аргыг матрицын тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд багасгасан.

Матрицууд байгаа тохиолдолд А (2.5.1) тэгшитгэлүүд нь доройтдоггүй, тэдгээр нь тус тусын шийдэлтэй байдаг X =А Б Тэгээд X =Б.А. .

Тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа матрицуудын дор хаяж нэг нь (2.5.1) дан байх тохиолдолд харгалзах урвуу матрицтай тул энэ аргыг ашиглахаа больсон. А байхгүй. Энэ тохиолдолд (2.5.1) тэгшитгэлийн шийдлийг олох нь системийг шийдвэрлэхэд буурдаг.

Гэхдээ эхлээд зарим ойлголтыг танилцуулъя.

Системийн бүх шийдлүүдийн багцыг нэрлэе ерөнхий шийдвэр . Тодорхой бус системийн тусад нь авсан шийдлийг нэрлэе хувийн шийдэл .

3.1.1. Жишээ.Талбар дээрх матрицын тэгшитгэлийг шийд Р.

A) X = ; б) X = ; V) X = .

Шийдэл. a) =0 тул томъёо X =А Б Энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд тохиромжгүй. Ажилд байгаа бол ХА =Б матриц А 2 мөр, дараа нь матрицтай X 2 баганатай. Мөрийн тоо X мөрийн тоотой тохирч байх ёстой Б . Тийм ч учраас X 2 мөртэй. Тиймээс, X ¾ хоёр дахь эрэмбийн зарим квадрат матриц: X = . Орлуулж үзье X анхны тэгшитгэлд:

(2.5.2) -ын зүүн талд байгаа матрицуудыг үржүүлснээр бид тэгшитгэлд хүрнэ

Хоёр матриц ижил хэмжээстэй, харгалзах элементүүд нь тэнцүү байвал л тэнцүү байна. Тиймээс (2.5.3) системтэй тэнцүү байна

Энэ систем нь системтэй тэнцүү юм

Жишээлбэл, Гауссын аргыг ашигласнаар бид хэд хэдэн шийдэлд хүрдэг (5-2 б , б , -2г , г ), Хаана б , г бие биенээсээ хамааралгүй ажиллах Р. Тиймээс, X = .

б) А) бидэнд байгаатай төстэй X = ба.

Энэ систем нь нийцэхгүй байна (үүнийг шалгаарай!). Тиймээс энэ матрицын тэгшитгэлд шийдэл байхгүй.

в) Энэ тэгшитгэлийг дараах байдлаар тэмдэглэе AX =Б . Учир нь А 3 баганатай ба Б 2 баганатай, тэгвэл X ¾ 3´2 хэмжигдэхүүнтэй зарим матриц: X = . Тиймээс бид дараахь тэнцүү гинжин хэлхээтэй байна.

Бид сүүлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан шийддэг (бид тайлбарыг орхигдуулсан)

Тиймээс бид системд хүрч байна

Үүний шийдэл нь (11+8 z , 14+10z , z , -49+8w , -58+10w ,w ) Хаана z , w бие биенээсээ хамааралгүй ажиллах Р.

Хариулт: a) X = , б , г Î Р.

б) Шийдэл байхгүй.

V) X = z , w Î Р.

3.2. Матрицын шилжилтийн асуудлын талаар.Ерөнхийдөө матрицын үржвэр нь солигддоггүй, өөрөөр хэлбэл хэрэв А Тэгээд Б тиймэрхүү AB Тэгээд Б.А. тодорхойлогддог, тэгээд ерөнхийдөө, AB ¹ Б.А. . Гэхдээ таних матрицын жишээ Э шилжих боломжтой гэдгийг харуулж байна А.Э. =Э.А. аливаа матрицын хувьд А , хэрэв зөвхөн А.Э. Тэгээд Э.А. тодорхойлсон.

Энэ хэсэгт бид өгөгдсөн матрицтай таарч байгаа бүх матрицын олонлогийг олох асуудлыг авч үзэх болно. Тиймээс,

Тодорхойгүй x 1 , y 2 ба z 3 нь ямар ч утгыг авч болно: x 1 =а , y 2 =б , z 3 =g . Дараа нь

Тиймээс, X = .

Хариулт. A) X г ¾ дурын тоо.

б) X ¾ хэлбэрийн матрицын багц, хаана а , б Тэгээд g ¾ дурын тоо.

Системийн дотоод нэг төрлийн бус байдал: эд ангиудыг ялгах чадвар. Хэрэв та "хар хайрцаг" дотроос харвал систем нь нэг төрлийн биш, цул биш юм: өөр өөр газар өөр өөр чанарууд өөр өөр байдгийг олж мэдэх болно. Системийн дотоод гетероген байдлын тодорхойлолт нь харьцангуй нэгэн төрлийн газар нутгийг тусгаарлах, тэдгээрийн хоорондох хил хязгаарыг зурахад хүргэдэг. Системийн хэсгүүдийн тухай ойлголт ингэж гарч ирдэг. Нарийвчлалтай судалж үзэхэд сонгосон том хэсгүүд нь нэг төрлийн биш байгаа нь бүр ч жижиг хэсгүүдийг тодорхойлох шаардлагатай болдог. Үр дүн нь системийн хэсгүүдийн шаталсан жагсаалт бөгөөд үүнийг бид системийн бүтцийн загвар гэж нэрлэх болно.

Системийн бүрэлдэхүүний талаарх мэдээллийг системтэй ажиллахад ашиглаж болно. Системтэй харилцах зорилго нь өөр байж болох тул нэг системийн бүтцийн загварууд бас өөр байж болно. Хэрэгтэй, ажиллах боломжтой загварыг бий болгох нь тийм ч хялбар биш юм.

Зохиолын загвар бүтээхэд тулгардаг бэрхшээлүүд

Эхлээд харахад системийн хэсгүүдийг ялгахад хэцүү биш юм. Зарим систем нь байгалийн өсөлт, хөгжлийн явцад (организм, нийгэм, гаригийн систем, молекул, ашигт малтмалын орд гэх мэт) аяндаа хуваагддаг. Хиймэл системийг урьд өмнө нь салангид хэсгүүдээс (механизм, барилга байгууламж, текст, аялгуу гэх мэт) угсарсан нь ойлгомжтой. Мөн холимог төрлийн системүүд (нөөц, газар тариалангийн систем, байгаль судлалын байгууллага, ноорог тээвэр) байдаг.

Нөгөөтэйгүүр, ректор, оюутан, нягтлан бодогч эсвэл бизнесийн менежерээс их сургууль ямар хэсгүүдээс бүрддэг талаар асууж, тус бүр нь бусдаас ялгаатай өөрийн бүтэц зохион байгуулалтын загварыг танд өгөх болно. Нисгэгч, үйлчлэгч, зорчигч нар мөн онгоцны бүрэлдэхүүнийг өөр өөрөөр тодорхойлно. Бие нь баруун, зүүн хагасаас бүрддэг гэж хэлж болно, эсвэл дээд ба доод хагасаас бүрддэг гэж хэлж болно. Тэгэхээр энэ нь "үнэхээр" юунаас бүрддэг вэ?

Хүн бүрийн даван туулах ёстой найрлагын загварыг бий болгоход тулгарч буй бэрхшээлийг гурван байрлалаар илэрхийлж болно.

1. Бүхэлд нь янз бүрийн аргаар хэсэг болгон хувааж болно

Бүхэл бүтэн хэсгийг янз бүрийн аргаар хэсэг болгон хувааж болно (талхыг өөр өөр хэмжээ, хэлбэрийн зүсмэл болгон зүсэх гэх мэт). Мөн энэ нь яг ямар хэрэгтэй вэ? Хариулт: зорилгодоо хүрэх арга зам. Тухайлбал, шинэхэн машин сонирхогч, ирээдүйн мэргэжлийн жолооч, авто засварын газарт ажиллахаар бэлтгэж буй механикч, авто дэлгүүрийн худалдагч нарт автомашины найрлагыг өөр өөрөөр харуулдаг.

Дараа нь "үнэхээр" хэсгүүд байдаг уу гэсэн асуулт руу буцах нь зүйн хэрэг юм. Тухайн үл хөдлөх хөрөнгийн нарийн томъёололд анхаарлаа хандуулаарай: эд ангиудыг салгах чадвар биш харин эд ангиудыг ялгах чадвар. Системийн бүрэн бүтэн байдлын асуудалд бид өөр нэг хандлагыг авч үзсэн: та өөрийн зорилгод шаардлагатай системийн хэсгүүдийг ялгаж, тэдгээрийн талаарх танд байгаа мэдээллийг ашиглаж болно, гэхдээ та тэдгээрийг салгаж болохгүй. Дараа нь бид энэ байр сууриа улам гүнзгийрүүлэн хөгжүүлнэ.

2. Бүтцийн загвар дахь хэсгүүдийн тоо

Бүтцийн загвар дахь хэсгүүдийн тоо нь системийн хуваагдлыг зогсоох түвшингээс хамаарна. Үүссэн шаталсан модны төгсгөлийн мөчир дээрх хэсгүүдийг элементүүд гэж нэрлэдэг. Өөр өөр нөхцөлд задрал нь янз бүрийн түвшинд дуусдаг. Жишээлбэл, удахгүй болох ажлыг тайлбарлахдаа туршлагатай ажилтан, шинэхэн хүмүүст янз бүрийн нарийвчлалтай зааварчилгаа өгөх шаардлагатай. Тиймээс найрлагын загвар нь анхан шатны гэж тооцогддог зүйлээс хамаардаг бөгөөд энэ үг нь үнэлгээний шинж чанартай тул энэ нь үнэмлэхүй биш, харин харьцангуй ойлголт юм. Гэсэн хэдий ч элемент нь байгалийн, үнэмлэхүй шинж чанартай (эс бол амьд организмын хамгийн энгийн элемент; хувь хүн бол нийгмийн сүүлчийн элемент; фонем нь аман ярианы хамгийн жижиг хэсэг) эсвэл бидний хэллэгээр тодорхойлогддог тохиолдол байдаг. чадвар (жишээлбэл, электрон нь ямар нэг зүйлээс бүрддэг гэж бид үзэж болно, гэхдээ физикчид түүний хэсгүүдийг бутархай цэнэгээр илрүүлж чадаагүй байна).

3. Системийн гадаад хил хязгаар

Аливаа систем нь том системийн нэг хэсэг (мөн ихэвчлэн хэд хэдэн системийн нэг хэсэг). Мөн энэ метасистемийг янз бүрийн аргаар дэд системд хувааж болно. Энэ нь системийн гадаад хил нь харьцангуй, нөхцөлт байна гэсэн үг юм. Тодорхой нөхцөлд системийн "илэрхий" хил хязгаар (хүний ​​арьс, аж ахуйн нэгжийн хашаа гэх мэт) нь эдгээр нөхцөлд хил хязгаарыг тодорхойлоход хангалтгүй болж хувирдаг. Жишээлбэл, хоолны үеэр би тавагнаас котлетыг сэрээгээр авч, хазаж, зажилж, залгиж, шингээдэг. Котлет миний нэг хэсэг болох хил хаана байна? Өөр нэг жишээ бол аж ахуйн нэгжийн хил хязгаар юм. Ажилчин шатан дээр унаж хөлөө хугалжээ. Эмчилгээ хийсний дараа төлбөрөө төлөхдөө асуулт гарч ирдэг: энэ нь ямар төрлийн гэмтэл байсан бэ - дотоодын эсвэл үйлдвэрлэлийн (тэдгээрийг өөрөөр төлдөг)? Энэ нь аж ахуйн нэгжийн шат байсан эсэх нь эргэлзээгүй. Гэхдээ хэрэв энэ нь ажилчин амьдардаг байшингийн шат байсан бол түүний гэр лүүгээ хэрхэн алхсанаас бүх зүйл шалтгаална. Хэрэв та ажлаасаа шууд гараад орон сууцны үүдэнд хараахан хүрээгүй бол гэмтэл нь ажилтай холбоотой гэж тооцогддог. Гэхдээ тэр замдаа дэлгүүр эсвэл кино театрт орсон бол энэ нь гэрийн гэмтэл юм. Бидний харж байгаагаар хууль нь аж ахуйн нэгжийн хязгаарыг нөхцөлт байдлаар тодорхойлдог.

Системийн хил хязгаарын уламжлалт байдал нь биднийг бүхэл бүтэн ертөнцийн бүрэн бүтэн байдлын асуудалд дахин буцааж өгдөг. Системийн загваруудыг ашиглах субъектын зорилгыг харгалзан системийн хил хязгаарыг тодорхойлно.

Тарасенко F.P. Хэрэглээний системийн шинжилгээ (асуудлыг шийдвэрлэх шинжлэх ухаан, урлаг): Сурах бичиг. - Томск; Томскийн их сургуулийн хэвлэлийн газар, 2004. ISBN 5-7511-1838-3

Төвлөрсөн эдийн засгийн үзэл суртлын үндэс болсон Вальрасын ерөнхий тэнцвэрийн онол нь олон тооны эргэлзээгүй давуу талуудтай, тухайлбал: шударга, дүгнэлтийн тодорхой байдал нь түүнийг эдийн засгийн шинжилгээнд маш сонирхолтой болгодог.

Гэсэн хэдий ч энэ онолын хүрээнд төвлөрсөн бус эдийн засгийг хангалттай дүрслэх боломжгүй юм. Бид зохицуулалтын механизм, эдийн засгийн үйл явцын цаг хугацааны тал, урсгалын шинж чанар, агентуудын талаар ярьж байна.

Валрасын онол дахь тэнцвэрт байдлыг олохын тулд "тэмцэх" практик нь зах зээл дээр хэн ч үнэд нөлөөлж чадахгүй, төлөөлөгч бүр эрэлт нийлүүлэлтийн талаар төгс мэдлэгтэй, "тэмцэх" үйл явц тэр дороо явагддаг гэдгийг харуулж байна. Бүх урсгалд төвлөрсөн хяналт тавих замаар "жинхэнэ үнийг" тогтоох хүртэл гүйлгээг гүйцэтгэх нь туйлын хүлээн зөвшөөрөгдөхгүй. Тиймээс маш чухал хязгаарлалтуудыг агуулсан энэхүү загвар нь Зөвлөлтийн эдийн засгийн хамгийн тохиромжтой дүр төрхийг маш их санагдуулдаг.

Польшийн эдийн засагч Ланге хэлэхдээ “Төвлөрсөн бус эдийн засгийн хуулийг ойлгохоос илүү чухал зүйл байхгүй. Юуны өмнө, энэ нь бидний шийдвэрлэх цорын ганц бодит байдал юм."

Францын эдийн засагч Жан-Пол Фитусси төр ба зах зээлийн хооронд завсрын зүйл байдаг гэж үздэг бөгөөд энэ завсрын үгээр тэдний харилцаа холбоо, уялдаа холбоог зохицуулах олон янзын хэлбэрийг хэлдэг. Эдгээр хоёр талын холболтууд нь захиалга дамжуулах, тодорхой гэрээний хүрээнд биржийн оролцогчдын хооронд шууд холбоо тогтоох зэргээр хязгаарлагдахгүй. Тушаал нь биелсэн хэрээрээ л утга учиртай байдаг. Энэ нь дээд албан тушаалтан болон доод албан тушаалтны албан тушаалын хооронд зарим нэг тэгш бус байдлыг бий болгодог. Захиргааны тушаалыг биелүүлэх эрх мэдэлд байдаг. Мэдээжийн хэрэг, дарга тушаалын биелэлтийг шалгаж, Сталины нэгэн адил үүрэг гүйцэтгэгчийг шийтгэж чадна. Гэхдээ баталгаажуулалт нь анхны тэгш бус байдлыг хуулбарлах захиалга юм. Хяналт шалгалт болгоны дараа шалгалтын шалгалт хийдэг. Тиймээс төвлөрсөн эдийн засгийн үндэс суурь нь үйл ажиллагааны болон мэдээллийн тэгш бус байдал - нэг төрлийн бус байдал - төвлөрлийг сааруулах эх үүсвэр юм.

Жак Сапирын хэлснээр нэг төрлийн бус байдлын ийм таван хэлбэрийг ялгаж салгаж болно.

1. Бүтээгдэхүүнийг орлуулах тэгш бус боломжуудтай холбоотой нэг төрлийн бус байдал. Энэ нь зөвхөн бүтээгдэхүүний шинж чанараас гадна түүнийг тодорхой технологи, эдийн засгийн үйл явцад оруулах тодорхой аргаар тодорхойлогддог.

2. Ажилтан, бизнес эрхлэгч, капиталист хоёрын ялгаагаар хязгаарлагдахгүй эдийн засгийн агентуудын нэг төрлийн бус байдал. Давамгайлал гэдэг нь зарим төрлийн зан үйлийн эргэн тойронд эсвэл зарим төлөөлөгчдийн эргэн тойронд бусад төрлийн зан үйл, төлөөлөгчдийн аяндаа зохион байгуулалт, өөрөөр хэлбэл нэгдэл үүсэх нөхцөл байдлыг хэлнэ. Хувь хүнээс хамтын түвшинд шилжих нь эдийн засгийн төлөөлөгчийн үүрэг гүйцэтгэдэг бүлэг байгууллагуудын хамтын ажиллагааны хүрээнд явагддаг. Тэд эргээд харилцан үйлчлэл, зохицуулалтын аргуудын нэг төрлийн бус байдлыг илэрхийлдэг.

3. Цаг хугацааны нэг төрлийн бус байдал. Энэ нь хоёр өөр, нэмэлт хэлбэрээр байж болно. Үүний нэг нь янз бүрийн агентуудад зориулсан хэрэглээ, хуримтлал, үйлдвэрлэлийн үйлдлүүд нь өөр өөр хугацаатай байдагтай холбоотой юм. Энэ бол "үйл ажиллагааны цаг"-ын нэг төрлийн бус байдлын асуудал юм. Цаг хугацааны нэг төрлийн бус байдлын өөр нэг хэлбэр бий болсон нь төлөөлөгч бүрийн шийдвэр хүчинтэй байх хугацааны хүрээ гэж нэрлэдэг зүйлтэй холбоотой юм. Энэ тохиолдолд бид "цаг хугацааны интервал" тухай ярьж болно.

4. Орон нутгийн үйлдвэрлэлийн систем болох аж ахуйн нэгжүүдийн нэг төрлийн бус байдал. Үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүн нь ижил байсан ч жижиг аж ахуйн нэгжийн зан байдал нь олон тооны ажилтантай аж ахуйн нэгжийн зан үйлээс эрс ялгаатай байдаг. Үүнээс гадна энгийн бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэх, нарийн төвөгтэй бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэх гэх мэт ялгаа байдаг.

5. Эдийн засгийн үйл ажиллагаа явагдаж буй орон зайн нэг төрлийн бус байдал. Төрөл бүрийн бүс нутгийг материаллаг болон хүний ​​үйлдвэрлэлийн хүчин зүйлээр тэгш бусаар хангах нь эдгээр хүчин зүйлийн харьцангуй үнэд нөлөөлдөг.

Ж.Сапирын хийсэн гетероген байдлын хэв шинж нь өөр хоёр төрлийн ялгаатай байдалгүйгээр бүрэн бус байх болно.

6. Эдийн засгийн орон зайн газарзүйн болон түүх соёлын онцлогоос шалтгаалсан мэдээллийн орон зайн нэг төрлийн бус байдал.

7. Хөрөнгө оруулалтын аюулгүй байдал, мэдээллийн эх үүсвэрийн хүртээмжийг хангаж, хөрөнгө оруулалтын сонирхолд ихээхэн нөлөөлдөг бүс нутаг, улс орнуудын улс төрийн ялгаатай байдал. Хятадын эдийн засгийн хөгжлийн жишээ үүнийг маш тодорхой харуулж байна.

Өмнөх

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг (SLAEs) шийдвэрлэх нь шугаман алгебрийн хичээлийн хамгийн чухал сэдэв болох нь дамжиггүй. Математикийн бүх салбараас асар олон тооны асуудлууд шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд ирдэг. Эдгээр хүчин зүйлүүд нь энэ нийтлэлийн шалтгааныг тайлбарладаг. Өгүүллийн материалыг сонгож, зохион бүтээсэн бөгөөд ингэснээр түүний тусламжтайгаар та боломжтой болно

• шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх оновчтой аргыг сонгох;
• сонгосон аргын онолыг судлах,
• ердийн жишээ, бодлогын нарийвчилсан шийдлүүдийг авч үзэх замаар шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдээрэй.

Өгүүллийн материалын товч тайлбар.

Нэгдүгээрт, бид шаардлагатай бүх тодорхойлолт, ойлголтыг өгч, тэмдэглэгээг нэвтрүүлдэг.

Дараа нь тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчийн тоотой тэнцүү, өвөрмөц шийдэлтэй шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх аргуудыг авч үзэх болно. Нэгдүгээрт, бид Крамерын аргад анхаарлаа хандуулах болно, хоёрдугаарт, ийм тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх матрицын аргыг харуулах болно, гуравдугаарт, Гауссын аргыг (үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан арилгах арга) шинжлэх болно. Онолыг нэгтгэхийн тулд бид хэд хэдэн SLAE-ийг янз бүрийн аргаар шийдвэрлэх нь гарцаагүй.

Үүний дараа бид тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой давхцдаггүй эсвэл системийн үндсэн матриц нь дан хэлбэртэй байдаг ерөнхий хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд шилжих болно. SLAE-ийн нийцтэй байдлыг тогтоох боломжийг олгодог Кронекер-Капелли теоремыг томъёолъё. Матрицын минор суурь гэсэн ойлголтыг ашиглан системийн шийдлийг (хэрэв тэдгээр нь нийцтэй бол) дүн шинжилгээ хийцгээе. Бид мөн Гауссын аргыг авч үзэж, жишээнүүдийн шийдлүүдийг нарийвчлан тайлбарлах болно.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус системийн ерөнхий шийдлийн бүтцэд бид заавал анхаарлаа хандуулах болно. Шийдлийн үндсэн системийн тухай ойлголтыг өгч, шийдлийн үндсэн системийн векторуудыг ашиглан SLAE-ийн ерөнхий шийдийг хэрхэн бичихийг харуулъя. Илүү сайн ойлгохын тулд хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Дүгнэж хэлэхэд бид шугаман болгон бууруулж болох тэгшитгэлийн системүүд, түүнчлэн шийдвэрлэхэд нь SLAE үүсдэг янз бүрийн асуудлуудыг авч үзэх болно.

Хуудасны навигаци.

Тодорхойлолт, ойлголт, тэмдэглэгээ.

Бид хэлбэрийн үл мэдэгдэх n хувьсагчтай (p нь n-тэй тэнцүү байж болно) p шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг авч үзэх болно.

Үл мэдэгдэх хувьсагч, - коэффициент (зарим бодит эсвэл нийлмэл тоо), - чөлөөт нэр томъёо (мөн бодит эсвэл нийлмэл тоо).

SLAE бичлэгийн энэ хэлбэрийг нэрлэдэг зохицуулах.

IN матриц хэлбэрЭнэ тэгшитгэлийн системийг бичих нь дараах хэлбэртэй байна.
Хаана - системийн үндсэн матриц, - үл мэдэгдэх хувьсагчийн баганын матриц, - чөлөөт нэр томъёоны баганын матриц.

Хэрэв бид чөлөөт нөхцлүүдийн матриц баганыг А матрицад (n+1)-р багана болгон нэмбэл бид ийм зүйлийг авна. өргөтгөсөн матрицшугаман тэгшитгэлийн системүүд. Ихэвчлэн өргөтгөсөн матрицыг T үсгээр тэмдэглэдэг бөгөөд чөлөөт нэр томъёоны баганыг үлдсэн баганаас босоо шугамаар тусгаарладаг, өөрөөр хэлбэл,

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхсистемийн бүх тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргадаг үл мэдэгдэх хувьсагчдын утгуудын багц гэж нэрлэдэг. Үл мэдэгдэх хувьсагчдын өгөгдсөн утгуудын матрицын тэгшитгэл нь мөн адил болно.

Хэрэв тэгшитгэлийн систем дор хаяж нэг шийдэлтэй бол түүнийг дуудна хамтарсан.

Хэрэв тэгшитгэлийн систем шийдэлгүй бол түүнийг дуудна хамтарсан бус.

Хэрэв SLAE нь өвөрмөц шийдэлтэй бол түүнийг дуудна тодорхой; Хэрэв нэгээс олон шийдэл байгаа бол - тодорхойгүй.

Хэрэв системийн бүх тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүд тэгтэй тэнцүү бол , дараа нь системийг дуудна нэгэн төрлийн, эс бөгөөс - нэг төрлийн бус.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн анхан шатны системийг шийдвэрлэх.

Хэрэв системийн тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү бөгөөд түүний үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш бол ийм SLAE-г нэрлэнэ. анхан шатны. Ийм тэгшитгэлийн системүүд нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг ба нэгэн төрлийн системийн хувьд үл мэдэгдэх бүх хувьсагч нь тэгтэй тэнцүү байна.

Бид ахлах сургуульд байхдаа ийм SLAE-г судалж эхэлсэн. Тэдгээрийг шийдвэрлэхдээ бид нэг тэгшитгэл авч, нэг үл мэдэгдэх хувьсагчийг бусдаар нь илэрхийлж, үлдсэн тэгшитгэлд орлуулж, дараа нь дараагийн тэгшитгэлийг авч, дараагийн үл мэдэгдэх хувьсагчийг илэрхийлж, өөр тэгшитгэлд орлуулах гэх мэт. Эсвэл тэд нэмэх аргыг ашигласан, өөрөөр хэлбэл зарим үл мэдэгдэх хувьсагчдыг арилгахын тулд хоёр ба түүнээс дээш тэгшитгэл нэмсэн. Эдгээр аргууд нь үндсэндээ Гауссын аргын өөрчлөлтүүд учраас бид тэдгээрийн талаар дэлгэрэнгүй ярихгүй.

Шугаман тэгшитгэлийн энгийн системийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд нь Крамерын арга, матрицын арга, Гауссын арга юм. Тэднийг цэгцэлье.

Крамерын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй гэж бодъё

тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү байх ба системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай, өөрөөр хэлбэл, .

Системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч байг, ба - орлуулах замаар А-аас олж авсан матрицын тодорхойлогч 1, 2, …, nthбагана нь чөлөөт гишүүдийн баганад:

Энэхүү тэмдэглэгээний тусламжтайгаар үл мэдэгдэх хувьсагчдыг Крамерын аргын томъёог ашиглан тооцдог . Крамерын аргыг ашиглан шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдийг ингэж олдог.

Жишээ.

Крамерын арга .

Шийдэл.

Системийн үндсэн матриц нь хэлбэртэй байна . Тодорхойлогчийг тооцоолъё (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү):

Системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай тул систем нь Крамерын аргаар олох боломжтой өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.

Шаардлагатай тодорхойлогчдыг бүрдүүлж, тооцоолъё (бид А матрицын эхний баганыг чөлөөт нөхцлийн баганаар, тодорхойлогчийг хоёр дахь баганыг чөлөөт нөхцлийн баганаар, А матрицын гурав дахь баганыг чөлөөт нөхцлийн баганаар солих замаар тодорхойлогчийг авна) :

Томъёо ашиглан үл мэдэгдэх хувьсагчдыг олох :

Хариулт:

Крамерын аргын гол сул тал (хэрэв үүнийг сул тал гэж нэрлэж болох юм бол) систем дэх тэгшитгэлийн тоо гурваас дээш байх үед тодорхойлогчийг тооцоолоход төвөгтэй байдаг.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг матрицын аргаар шийдвэрлэх (урвуу матриц ашиглан).

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг матриц хэлбэрээр өгье, үүнд А матриц нь n-ээс n хэмжээтэй, тодорхойлогч нь тэгээс өөр байна.

, тэгвэл А матриц урвуу, өөрөөр хэлбэл урвуу матриц байна. Хэрэв бид тэгш байдлын хоёр талыг зүүн тийш үржүүлбэл үл мэдэгдэх хувьсагчийн матриц-баганыг олох томьёо гарна. Матрицын аргыг ашиглан шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдийг ингэж олж авсан юм.

Жишээ.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд матрицын арга.

Шийдэл.

Тэгшитгэлийн системийг матриц хэлбэрээр дахин бичье.

Учир нь

дараа нь SLAE-ийг матрицын аргыг ашиглан шийдэж болно. Урвуу матрицыг ашиглан энэ системийн шийдлийг дараах байдлаар олж болно .

А матрицын элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдээс матрицыг ашиглан урвуу матрицыг байгуулъя (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү):

Урвуу матрицыг үржүүлэх замаар үл мэдэгдэх хувьсагчийн матрицыг тооцоолоход л үлддэг чөлөөт гишүүдийн матриц баганад (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү):

Хариулт:

эсвэл өөр тэмдэглэгээнд x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Матрицын аргыг ашиглан шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олоход тулгардаг гол асуудал бол урвуу матрицыг олоход төвөгтэй байдаг, ялангуяа 3-аас дээш дарааллын квадрат матрицын хувьд.

Гауссын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.

Үл мэдэгдэх n хувьсагчтай n шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдийг олох хэрэгтэй гэж бодъё.
үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай.

Гауссын аргын мөн чанарүл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан арилгахаас бүрдэнэ: эхлээд x 1-ийг системийн бүх тэгшитгэлээс хоёрдугаарт, дараа нь x 2-ыг гурав дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хасч, зөвхөн үл мэдэгдэх x n хувьсагч үлдэх хүртэл үргэлжилнэ. сүүлчийн тэгшитгэл. Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан арилгахын тулд системийн тэгшитгэлийг хувиргах энэ үйл явц гэж нэрлэгддэг шууд Гауссын арга. Гауссын аргын урагш харвалт хийж дууссаны дараа сүүлчийн тэгшитгэлээс x n-ийг олж, эцсийн өмнөх тэгшитгэлийн энэ утгыг ашиглан x n-1-ийг тооцоолж, эхний тэгшитгэлээс x 1-ийг олно. Системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс эхний тэгшитгэл рүү шилжих үед үл мэдэгдэх хувьсагчдыг тооцоолох үйл явцыг гэнэ. Гауссын аргын урвуу.

Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг арилгах алгоритмыг товч тайлбарлая.

Системийн тэгшитгэлийг дахин цэгцлэх замаар бид үүнийг үргэлж хийж чаддаг тул бид үүнийг таамаглах болно. Хоёр дахьээс эхлэн системийн бүх тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх хувьсагч x 1-ийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд системийн хоёр дахь тэгшитгэлд бид эхний тэгшитгэлийг -ээр үржүүлж, гурав дахь тэгшитгэл дээр бид эхнийхийг нэмж, үржүүлж, n-р тэгшитгэлд бид эхнийхийг нэмээд үржүүлнэ. Ийм хувиргалт хийсний дараа тэгшитгэлийн систем хэлбэр болно

хаана ба .

Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлд x 1-ийг бусад үл мэдэгдэх хувьсагчдаар илэрхийлж, гарсан илэрхийллийг бусад бүх тэгшитгэлд орлуулсан бол ижил үр дүнд хүрэх байсан. Тиймээс x 1 хувьсагчийг хоёр дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хассан болно.

Дараа нь бид ижил төстэй арга замаар явна, гэхдээ зөвхөн зураг дээр тэмдэглэгдсэн үр дүнд бий болсон системийн нэг хэсгийг л хийнэ

Үүнийг хийхийн тулд системийн гурав дахь тэгшитгэлд бид хоёр дахь тэгшитгэлээр үржүүлж, дөрөв дэх тэгшитгэл дээр бид хоёр дахь, үржүүлсэн, гэх мэт, n-р тэгшитгэл дээр бид хоёр дахь тэгшитгэлийг нэмнэ. Ийм хувиргалт хийсний дараа тэгшитгэлийн систем хэлбэр болно

хаана ба . Тиймээс x 2 хувьсагчийг гурав дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хассан болно.

Дараа нь бид үл мэдэгдэх x 3-ийг арилгахын зэрэгцээ зурагт тэмдэглэсэн системийн хэсэгтэй ижил төстэй үйлдэл хийнэ.

Тиймээс бид систем хэлбэрийг авах хүртэл Гауссын аргын шууд явцыг үргэлжлүүлнэ

Энэ мөчөөс эхлэн бид Гауссын аргын урвуу аргыг эхлүүлнэ: бид сүүлчийн тэгшитгэлээс x n-ийг тооцоолж, х n-ийн олж авсан утгыг ашиглан эцсийн өмнөх тэгшитгэлээс x n-1-ийг олно, мөн эхний тэгшитгэлээс x 1-ийг олно. .

Жишээ.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд Гауссын арга.

Шийдэл.

Системийн хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх хувьсагч х 1-ийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлийн хоёр талд бид эхний тэгшитгэлийн харгалзах хэсгүүдийг тус тусад нь үржүүлж нэмнэ.

Одоо бид гурав дахь тэгшитгэлээс x 2-ыг хасч, түүний зүүн ба баруун талд хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг нэмж, дараах байдлаар үржүүлэв.

Энэ нь Гауссын аргын урагшлах цохилтыг дуусгаж, бид урвуу цохилтыг эхлүүлнэ.

Үүссэн тэгшитгэлийн системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс бид x 3-ийг олно.

Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид олж авна.

Эхний тэгшитгэлээс үлдэгдэл үл мэдэгдэх хувьсагчийг олж, улмаар Гауссын аргын урвуу үйлдлийг гүйцээнэ.

Хариулт:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Ерөнхий хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.

Ерөнхийдөө p системийн тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх n хувьсагчийн тоотой давхцдаггүй.

Ийм SLAE нь шийдэлгүй, нэг шийдэлтэй эсвэл хязгааргүй олон шийдэлтэй байж болно. Энэхүү мэдэгдэл нь үндсэн матриц нь дөрвөлжин ба дан хэлбэртэй тэгшитгэлийн системд мөн хамаарна.

Кронекер-Капелли теорем.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олохын өмнө түүний нийцтэй байдлыг тогтоох шаардлагатай. SLAE нь хэзээ нийцдэг, хэзээ нийцэхгүй вэ гэсэн асуултын хариултыг өгсөн Кронекер-Капелли теорем:
n үл мэдэгдэх (p нь n-тэй тэнцүү байж болно) p тэгшитгэлийн систем тууштай байхын тулд системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм. , Зэрэг(A)=Зэрэглэл(T).

Шугаман тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдлыг тодорхойлохын тулд Кронекер-Капелли теоремыг жишээ болгон авч үзье.

Жишээ.

Шугаман тэгшитгэлийн систем байгаа эсэхийг олж мэд шийдлүүд.

Шийдэл.

. Насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хиллэдэг аргыг ашиглая. Хоёр дахь зэрэглэлийн бага тэгээс ялгаатай. Түүнтэй хиллэдэг гурав дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг харцгаая.

Гурав дахь зэрэглэлийн бүх хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү тул үндсэн матрицын зэрэглэл хоёртой тэнцүү байна.

Эргээд өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл насанд хүрээгүй нь гурав дахь зэрэгтэй тул гуравтай тэнцүү байна

тэгээс ялгаатай.

Тиймээс, Rang(A), тиймээс Кронекер-Капелли теоремыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн анхны систем нийцэхгүй байна гэж дүгнэж болно.

Хариулт:

Системд ямар ч шийдэл байхгүй.

Тиймээс бид Кронекер-Капелли теоремыг ашиглан системийн үл нийцэлийг тогтоож сурсан.

Гэхдээ SLAE-ийн нийцтэй байдал тогтоогдвол хэрхэн шийдлийг олох вэ?

Үүний тулд бидэнд матрицын минор суурь гэсэн ойлголт, матрицын зэрэглэлийн тухай теорем хэрэгтэй.

Тэгээс ялгаатай А матрицын хамгийн дээд эрэмбийн минорыг гэнэ үндсэн.

Минор суурь гэсэн тодорхойлолтоос үзэхэд түүний дараалал нь матрицын зэрэгтэй тэнцүү байна. Тэг биш А матрицын хувьд хэд хэдэн суурь минор байж болно;

Жишээлбэл, матрицыг авч үзье .

Энэ матрицын гуравдахь эгнээний элементүүд нь эхний ба хоёр дахь эгнээний харгалзах элементүүдийн нийлбэр учраас энэ матрицын бүх гурав дахь эрэмбийн багачууд тэгтэй тэнцүү байна.

Дараах 2-р зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд нь тэг биш тул үндсэн юм

Насанд хүрээгүй хүмүүс тэгтэй тэнцүү тул үндсэн биш.

Матрицын зэрэглэлийн теорем.

Хэрэв p-ээс n дарааллын матрицын зэрэглэл нь r-тэй тэнцүү бол матрицын сонгосон минор суурь үүсгэдэггүй бүх мөр (ба багана) элементүүдийг шугаман байдлаар харгалзах мөр (ба багана) элементүүдээр илэрхийлнэ. суурь бага.

Матрицын зэрэглэлийн теорем бидэнд юу хэлэх вэ?

Хэрэв Кронекер-Капелли теоремын дагуу бид системийн нийцтэй байдлыг тогтоосон бол системийн үндсэн матрицын аль ч бага баазыг (түүний дараалал нь r-тэй тэнцүү) сонгож, бүх тэгшитгэлийг системээс хасна. сонгосон үндэслэлийг үүсгэхгүй. Ийм аргаар олж авсан SLAE нь анхныхтай тэнцүү байх болно, учир нь хасагдсан тэгшитгэлүүд илүүдэл хэвээр байна (матрицын эрэмбийн теоремын дагуу тэдгээр нь үлдсэн тэгшитгэлүүдийн шугаман хослол юм).

Үүний үр дүнд системийн шаардлагагүй тэгшитгэлийг устгасны дараа хоёр тохиолдол гарч болно.

Хэрэв үүссэн систем дэх тэгшитгэлийн тоо r нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү бол энэ нь тодорхой байх бөгөөд цорын ганц шийдлийг Крамерын арга, матрицын арга эсвэл Гауссын аргаар олох боломжтой.

Жишээ.

.

Шийдэл.

Системийн үндсэн матрицын зэрэглэл насанд хүрээгүй нь хоёрдугаар зэрэглэлийнх тул хоёртой тэнцүү байна тэгээс ялгаатай. Өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл Гурав дахь зэрэглэлийн цорын ганц минор нь тэг учраас мөн хоёртой тэнцүү

мөн дээр авч үзсэн хоёр дахь эрэмбийн минор нь тэгээс ялгаатай. Rank(A)=Rank(T)=2 тул Кронекер-Капелли теорем дээр үндэслэн бид шугаман тэгшитгэлийн анхны системийн нийцтэй байдлыг баталж чадна.

Бага зэрэг үндэслэл болгон бид авдаг . Энэ нь эхний ба хоёр дахь тэгшитгэлийн коэффициентээр үүсгэгддэг.


Системийн гурав дахь тэгшитгэл нь суурь минор үүсэхэд оролцдоггүй тул матрицын зэрэглэлийн теорем дээр үндэслэн бид үүнийг системээс хасдаг.


Ингэж бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн анхан шатны системийг олж авсан. Үүнийг Крамерын аргыг ашиглан шийдье.


Хариулт:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Хэрэв үүссэн SLAE дахь r тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоо n-ээс бага байвал тэгшитгэлийн зүүн талд бид үндсэн суурь бүрдүүлэгч нөхцлүүдийг үлдээж, үлдсэн гишүүдийг баруун тал руу шилжүүлнэ. эсрэг тэмдэгтэй системийн тэгшитгэл.

Тэгшитгэлийн зүүн талд үлдсэн үл мэдэгдэх хувьсагчдыг (тэдгээрийн r) гэж нэрлэдэг гол.

Баруун талд байгаа үл мэдэгдэх хувьсагчдыг (n - r хэсэг) гэж нэрлэдэг үнэгүй.

Үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагч нь дур зоргоороо утгыг авч чаддаг бол үл мэдэгдэх үндсэн r хувьсагч нь үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагчаар өвөрмөц байдлаар илэрхийлэгдэх болно гэж бид үзэж байна. Тэдний илэрхийлэлийг Крамерын арга, матрицын арга эсвэл Гауссын аргыг ашиглан үүссэн SLAE-ийг шийдэх замаар олж болно.

Үүнийг жишээгээр харцгаая.

Жишээ.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийд .

Шийдэл.

Системийн үндсэн матрицын зэрэглэлийг олъё насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хиллэх аргаар. 1 1 = 1-ийг эхний эрэмбийн 0 биш минор гэж үзье. Энэ насанд хүрээгүй хоёр дахь зэрэглэлийн 0-ээс бага насны хүүхдийг хайж эхэлцгээе.


Ингэж бид хоёр дахь зэрэглэлийн 0 биш минорыг олсон. Гурав дахь эрэмбийн 0-ээс өөр хил хязгаарыг хайж эхэлцгээе.


Тиймээс үндсэн матрицын зэрэглэл гурван байна. Өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл нь гуравтай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл систем нь тогтвортой байна.

Гурав дахь эрэмбийн олдсон тэг биш минорыг бид суурь болгон авдаг.

Тодорхой болгохын тулд бид минорын үндэс суурийг бүрдүүлдэг элементүүдийг харуулав.


Бид системийн тэгшитгэлийн зүүн талд үндсэн суурьт хамаарах нэр томъёог орхиж, үлдсэнийг нь эсрэг тэмдгээр баруун тал руу шилжүүлнэ.


Үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагчид x 2 ба x 5 дурын утгыг өгье, өөрөөр хэлбэл бид хүлээн зөвшөөрнө. , дурын тоо хаана байна. Энэ тохиолдолд SLAE нь маягтыг авна


Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн үндсэн системийг Крамерын аргыг ашиглан шийдье.


Тиймээс, .

Хариултдаа үл мэдэгдэх үнэгүй хувьсагчдыг зааж өгөхөө бүү мартаарай.

Хариулт:

Дурын тоонууд хаана байна.

Дүгнэж хэлье.

Ерөнхий шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд эхлээд Кронекер-Капелли теоремыг ашиглан түүний нийцтэй байдлыг тодорхойлно. Хэрэв үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү биш бол систем нь нийцэхгүй байна гэж бид дүгнэж байна.

Хэрэв үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү бол бид минор суурь сонгож, сонгосон минорыг бүрдүүлэхэд оролцдоггүй системийн тэгшитгэлийг устгана.

Хэрэв суурь минорын дараалал нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү бол SLAE нь өвөрмөц шийдэлтэй бөгөөд үүнийг бидэнд мэдэгдэж буй ямар ч аргаар олж болно.

Хэрэв суурь минорын дараалал нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тооноос бага байвал системийн тэгшитгэлийн зүүн талд үндсэн үл мэдэгдэх хувьсагчтай нөхцлүүдийг үлдээж, үлдсэн нөхцөлүүдийг баруун тал руу шилжүүлж, дурын утгыг өгнө. үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагч. Үүссэн шугаман тэгшитгэлийн системээс бид Крамерын арга, матрицын арга эсвэл Гауссын аргыг ашиглан үндсэн үл мэдэгдэх хувьсагчдыг олдог.

Ерөнхий хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын арга.

Гауссын аргыг эхлээд нийцтэй эсэхийг шалгахгүйгээр ямар ч төрлийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно. Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан арилгах үйл явц нь SLAE-ийн нийцтэй байдал, үл нийцэх байдлын талаар дүгнэлт гаргах боломжтой бөгөөд хэрэв шийдэл байгаа бол түүнийг олох боломжтой болгодог.

Тооцооллын үүднээс Гауссын аргыг илүүд үздэг.

Ерөнхий хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын аргын талаархи дэлгэрэнгүй тайлбар, дүн шинжилгээ хийсэн жишээг үзнэ үү.

Уусмалын үндсэн системийн векторуудыг ашиглан нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус шугаман алгебрийн системийн ерөнхий шийдийг бичих.

Энэ хэсэгт бид хязгааргүй тооны шийдтэй шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн зэрэг нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус системүүдийн талаар ярих болно.

Эхлээд нэгэн төрлийн системийг авч үзье.

Шийдлийн үндсэн систем n үл мэдэгдэх хувьсагчтай p шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем нь энэ системийн (n – r) шугаман бие даасан шийдлүүдийн цуглуулга бөгөөд r нь системийн үндсэн матрицын суурь минорын дараалал юм.

Хэрэв бид нэгэн төрлийн SLAE-ийн шугаман бие даасан шийдлүүдийг X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) гэж тэмдэглэвэл багана хэлбэртэй байна. n хэмжээсийн матрицууд 1), дараа нь энэхүү нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдийг дурын тогтмол C 1, C 2, ..., C (n-r) коэффициент бүхий шийдлүүдийн үндсэн системийн векторуудын шугаман хослолоор илэрхийлнэ. байна, .

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдэл (орослау) гэдэг нэр томъёо нь юу гэсэн үг вэ?

Утга нь энгийн: томьёо нь анхны SLAE-ийн бүх боломжит шийдлүүдийг зааж өгсөн бөгөөд өөрөөр хэлбэл C 1, C 2, ..., C (n-r) дурын тогтмолуудын утгуудын багцыг авч, томъёог ашиглан бид үүнийг хийх болно. анхны нэгэн төрлийн SLAE-ийн шийдлүүдийн аль нэгийг олж авна.

Тиймээс, хэрэв бид шийдлүүдийн үндсэн системийг олвол энэ нэгэн төрлийн SLAE-ийн бүх шийдлүүдийг гэж тодорхойлж болно.

Нэг төрлийн SLAE-ийн шийдлийн үндсэн системийг бий болгох үйл явцыг харуулъя.

Бид шугаман тэгшитгэлийн анхны системийн үндсэн минорыг сонгож, бусад бүх тэгшитгэлийг системээс хасч, үл мэдэгдэх хувьсагчдыг агуулсан бүх нэр томъёог эсрэг тэмдэгтэй системийн тэгшитгэлийн баруун гар талд шилжүүлдэг. Чөлөөт үл мэдэгдэх хувьсагчдад 1,0,0,...,0 утгыг өгч, үндсэн үл мэдэгдэх утгыг тооцоолж, шугаман тэгшитгэлийн үндсэн системийг ямар ч аргаар, жишээлбэл, Крамерын аргыг ашиглан шийдье. Үүний үр дүнд үндсэн системийн эхний шийдэл болох X (1) гарч ирнэ. Хэрэв бид чөлөөт үл мэдэгдэх утгуудад 0,1,0,0,…,0 утгыг өгөөд үндсэн үл мэдэгдэхийг тооцвол X (2) болно. гэх мэт. Хэрэв бид чөлөөт үл мэдэгдэх хувьсагчдад 0.0,…,0.1 утгыг оноож, үндсэн үл мэдэгдэхийг тооцвол X (n-r) -ийг авна. Ийм байдлаар нэгэн төрлийн SLAE-ийн шийдлийн үндсэн системийг байгуулж, түүний ерөнхий шийдлийг хэлбэрээр бичиж болно.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус системүүдийн хувьд ерөнхий шийд нь харгалзах нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдэл бөгөөд чөлөөт үл мэдэгдэх утгуудыг өгөх замаар олж авсан анхны нэгэн төрлийн бус SLAE-ийн тодорхой шийдэл юм. ​0,0,…,0 ба үндсэн үл мэдэгдэх утгуудыг тооцоолох.

Жишээнүүдийг харцгаая.

Жишээ.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн шийдлийн үндсэн систем ба ерөнхий шийдийг олох .

Шийдэл.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн үндсэн матрицын зэрэг нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй үргэлж тэнцүү байна. Насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хиллэх аргыг ашиглан үндсэн матрицын зэрэглэлийг олъё. Нэгдүгээр эрэмбийн тэг биш минорын хувьд бид системийн үндсэн матрицын 1 1 = 9 элементийг авна. Хоёрдахь эрэмбийн хилийн тэг биш минорыг олъё:

Хоёр дахь эрэмбийн минор, тэгээс ялгаатай нь олдсон. Тэг биш нэгийг хайж олохын тулд түүнтэй хиллэдэг гуравдугаар зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг авч үзье.

Гурав дахь зэрэглэлийн бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү тул үндсэн ба өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл хоёртой тэнцүү байна. Авцгаая. Тодорхой болгохын тулд үүнийг бүрдүүлдэг системийн элементүүдийг тэмдэглэе.

Анхны SLAE-ийн гурав дахь тэгшитгэл нь үндсэн суурь үүсэхэд оролцдоггүй тул дараахь зүйлийг хасч болно.

Бид тэгшитгэлийн баруун талд үндсэн үл мэдэгдэх нэр томъёог үлдээж, чөлөөт үл мэдэгдэх нэр томъёог баруун тал руу шилжүүлнэ.

Шугаман тэгшитгэлийн анхны нэгэн төрлийн системийн шийдлийн үндсэн системийг байгуулъя. Энэхүү SLAE-ийн шийдлүүдийн үндсэн систем нь хоёр шийдлээс бүрддэг, учир нь анхны SLAE нь үл мэдэгдэх дөрвөн хувьсагчийг агуулдаг бөгөөд түүний суурь минорын дараалал нь хоёртой тэнцүү байна. X (1) -ийг олохын тулд бид үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагчдад x 2 = 1, x 4 = 0 утгуудыг өгч, дараа нь тэгшитгэлийн системээс үндсэн үл мэдэгдэх зүйлийг олно.
.