N-р зэрэгбодит тооноос, ямар ч үгүй ​​гэдгийг тэмдэглэв сөрөг тоота ямар ч зэрэглэлийн үндсийг (хоёр, гурав, дөрөв гэх мэт) гаргаж авах боломжтой бөгөөд сөрөг тооноос та сондгой зэрэглэлийн үндсийг гаргаж болно. Гэхдээ дараа нь та хэлбэрийн функц, түүний график, шинж чанарын талаар бодох хэрэгтэй. Үүнийг бид энэ догол мөрөнд хийх болно. Эхлээд сөрөг бус утгуудын хувьд функцийн талаар ярилцъя маргаан.

Таны мэддэг тохиолдлоос эхэлье, n = 2 үед, i.e. Зураг дээрх функцээс. 166-д функцийн график болон y = x 2, x>0 функцийн графикийг харуулав. Хоёр график хоёулаа ижил муруйг төлөөлдөг - параболын салбар, зөвхөн координатын хавтгайд өөр өөр байрлалтай. Тодруулъя: эдгээр графикууд нь заасан шулуунтай харьцуулахад бие биедээ тэгш хэмтэй цэгүүдээс бүрдэх тул y = x шулуунтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна. Хараач: y = x 2 параболын авч үзсэн салбар дээр (0; 0), (1; 1), (2; 4), (3; 9), (4; 16), функц дээр цэгүүд байна. графикт (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (16; 4) цэгүүд байна.

(2; 4) ба (4; 2), (3; 9) ба (9; 3), (4; 16) ба (16; 4) цэгүүд нь y = x, (болон (0) цэгүүдийн хувьд тэгш хэмтэй байна. 0 ) ба (1; 1) энэ мөрөнд байрладаг). Ерөнхийдөө аль ч цэгийн хувьд (a; a 2) дээр функцийн график y = x 2 нь функцийн график дээрх y = x шулуун шугамтай харьцуулахад түүнд тэгш хэмтэй (a 2 ; a) цэг юм. Дараах теорем үнэн.

Баталгаа.Тодорхой байхын тулд бид a ба b нь эерэг тоо гэж үздэг. OAM ба OVR гурвалжнуудыг авч үзье (Зураг 167). Тэдгээр нь тэнцүү бөгөөд энэ нь OP = OM ба гэсэн үг юм . Харин дараа нь y = x шулуун шугам нь AOB өнцгийн биссектрис учир. Тиймээс ROM гурвалжин нь ижил өнцөгт, OH нь түүний биссектрис, тиймээс тэгш хэмийн тэнхлэг юм. M ба P цэгүүд нь OH шулуун шугамын хувьд тэгш хэмтэй бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай.
Тэгэхээр у=х 2, х>0 функцийн графикаас у=х шулууны тэгш хэмийн хувиргалтыг ашиглан функцийн графикийг гаргаж болно. Үүний нэгэн адил функцийн графикийг y = x 3, x> 0 функцийн графикаас y = x шулуун шугамын тэгш хэмийн хувиргалтыг ашиглан авч болно; y = x гэх мэт шулуун шугамын тэгш хэмийн хувиргалтыг ашиглан функцийн графикийг функцийн графикаас авч болно. Функцийн график нь гадаад төрхөөрөө параболын мөчиртэй төстэй гэдгийг санацгаая. n том байх тусмаа энэ салаа интервалаар дээшээ эгц, x = 0 цэгийн ойролцоох х тэнхлэгт ойртох тусам (Зураг 2) 168).

Ерөнхий дүгнэлтийг томъёолъё: функцийн график нь y = x шулуун шугамтай харьцуулахад функцийн графиктай тэгш хэмтэй байна (Зураг 169).

Функцийн шинж чанарууд

1)
2) функц нь тэгш, сондгой биш;
3) нэмэгдэнэ
4) дээрээс хязгаарлагдахгүй, доороос хязгаарлагдах;
5) хамгийн их ач холбогдолгүй;
6) тасралтгүй;
7)

Нэг сонин нөхцөл байдалд анхаарлаа хандуулаарай. Графикийг Зураг дээр үзүүлсэн хоёр функцийг авч үзье. 169: Бид дөнгөж сая эхний функцийн долоон шинж чанарыг жагсаасан боловч хоёр дахь функц нь яг ижил шинж чанартай байна. Хоёр өөр чиг үүргийн аман "хөрөг" ижил байна. Гэхдээ тодруулъя, тэд ижил хэвээр байна.

Өөр өөр график бүхий өөр өөр функцуудыг үг хэллэгээр ижилхэн дүрсэлж байхад математикчид ийм шударга бус байдлыг тэвчиж чадалгүй дээшээ гүдгэр, доошоо гүдгэр гэсэн ойлголтуудыг гаргаж ирсэн. Функцийн график дээшээ гүдгэр, y = x n функцийн график доош гүдгэр байна.

Графикынхаа дурын хоёр цэгийг шулуун шугамын хэрчимтэй холбосноор графын харгалзах хэсэг нь зурсан хэрчмээс доогуур байгаа нь тогтоогдвол тасралтгүй функцийг доошоо гүдгэр гэж ихэвчлэн хэлдэг (Зураг 170); Тасралтгүй функц нь графын аль ч хоёр цэгийг шулуун шугамын хэрчимтэй холбосноор графикийн харгалзах хэсэг нь зурсан хэрчмээс дээгүүр байрлаж байгаа нь тогтоогдвол дээшээ гүдгэр байна (Зураг 171).

Бид график унших журамд гүдгэр шинж чанарыг цаашид оруулах болно. Үүнийг тэмдэглэе" (өмнө дурдсан шинж чанаруудын дугаарыг үргэлжлүүлж) авч үзэж буй функцийн хувьд:

8) функц нь туяа дээр дээшээ гүдгэр байна
Өмнөх бүлэгт бид функцийн өөр нэг шинж чанартай танилцсан - дифференциал байдал нь y = x n функц нь аль ч цэгт дифференциалагдах боломжтой, түүний дериватив нь nx n-1-тэй тэнцүү болохыг олж харсан. Геометрийн хувьд энэ нь y = x n функцийн графикийн аль ч цэгт шүргэгчийг зурж болно гэсэн үг юм. Функцийн график ч мөн адил шинж чанартай байдаг: ямар ч үед график руу шүргэгч зурж болно. Тиймээс бид функцийн өөр нэг шинж чанарыг тэмдэглэж болно
9) функц x > 0 аль ч цэг дээр дифференциалагдах боломжтой.
Анхаарна уу: бид x = 0 цэг дээрх функцийн дифференциал байдлын талаар яриагүй байна - энэ үед функцийн графикт шүргэгч нь у тэнхлэгтэй давхцаж байна, өөрөөр хэлбэл. х тэнхлэгт перпендикуляр.
Жишээ 1. Функцийн график зур
Шийдэл. 1) Зураг дээр (-1; -4) цэг дээр байгаа гарал үүсэл - x = -1 ба у = -4 тасархай шугамтай туслах координатын систем рүү шилжье. 172.
2) Функцийг "холбох" шинэ системкоординатууд Энэ нь шаардлагатай хуваарь байх болно.
Жишээ 2.Тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл. Эхний арга. 1) Хоёр функцийг танилцуулъя
2) Функцийн графикийг зурцгаая

3) График байгуулъя шугаман функц y=2x (173-р зургийг үз).

4) Баригдсан графикууд нь нэг А цэгт огтлолцох ба графикаас бид А цэгийн координатууд дараах байдалтай байна гэсэн таамаглалыг гаргаж болно: (1; 1). Шалгалт нь үнэн хэрэгтээ (1; 1) цэг нь функцийн график болон y=2-x функцийн график хоёуланд нь хамааралтай болохыг харуулж байна. Энэ нь бидний тэгшитгэл нэг үндэстэй гэсэн үг юм: x = 1 - А цэгийн абсцисса.

Хоёр дахь арга зам.
Зураг дээр үзүүлсэн геометрийн загвар. 173-ыг дараах мэдэгдлээр тодорхой харуулсан бөгөөд энэ нь заримдаа тэгшитгэлийг маш гоёмсогоор шийдвэрлэх боломжийг олгодог (мөн 2-р жишээг шийдвэрлэхдээ бид үүнийг аль хэдийн § 35-д ашигласан):

Хэрэв y=f(x) функц нэмэгдэж, y=g(x) функц буурвал f(x)=g(x) тэгшитгэл язгууртай бол зөвхөн нэг байна.

Энэ мэдэгдэлд үндэслэн бид өгөгдсөн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж болохыг энд харуулав.

1) x = 1 үед тэгшитгэл хангагдана гэдгийг анхаарна уу, энэ нь x = 1 нь тэгшитгэлийн үндэс болно (бид энэ язгуурыг таасан);
2) y=2-x функц буурч, функц нь нэмэгддэг; Энэ нь өгөгдсөн тэгшитгэл нь зөвхөн нэг язгууртай гэсэн үг бөгөөд энэ үндэс нь дээр олдсон x = 1 утга юм.

Хариулах: x = 1.

Одоогоор бид зөвхөн сөрөг бус аргументын утгуудын функцийн талаар ярьсан. Гэхдээ хэрэв n нь сондгой тоо бол илэрхийлэл нь x-д бас утга учиртай болно<0. Значит, есть смысл поговорить о функции в случае нечетного п для любых значений х.

Үнэн хэрэгтээ жагсаалтад зөвхөн нэг өмч нэмэгдэх болно:

хэрэв n нь сондгой тоо (n = 3.5, 7,...) бол сондгой функц байна.

Үнэн хэрэгтээ n сондгой илтгэгчийн хувьд ийм хувиргалт үнэн байг. Тэгэхээр f(-x) = -f(x) бөгөөд энэ нь функц сондгой гэсэн үг.

n сондгой илтгэгчийн хувьд функцийн график ямар харагдах вэ? Зурагт үзүүлсэн шиг үед. 169, хүссэн графикийн салбар юм. Түүнд координатын гарал үүсэлтэй харьцангуй тэгш хэмтэй салбарыг нэмснээр (энэ нь ямар ч сондгой функцэд ердийн зүйл юм) бид функцийн графикийг олж авна (Зураг 174). У тэнхлэг нь x = 0 үед графиктай шүргэгч болохыг анхаарна уу.
Тиймээс дахин давтъя:
хэрэв n нь тэгш тоо бол функцийн график нь Зураг дээр үзүүлсэн хэлбэртэй байна. 169;
хэрэв n нь сондгой тоо бол функцийн график нь Зураг дээр үзүүлсэн хэлбэртэй байна. 174.

Жишээ 3. y = f(x) функцийн графикийг байгуулж уншина уу, энд
Шийдэл.Эхлээд функцийн графикийг байгуулж, түүний хэсгийг цацраг дээр тодруулъя (Зураг 175).
Дараа нь бид функцийн графикийг барьж, түүний хэсгийг задгай цацраг дээр сонгоно (Зураг 176). Эцэст нь бид ижил координатын систем дэх "хэсгүүдийг" хоёуланг нь дүрслэх болно - энэ нь y = f(x) функцийн график байх болно (Зураг 177).
y = f(x) функцийн шинж чанаруудыг (зурагласан график дээр үндэслэн) жагсаацгаая:

1)
2) тэгш, сондгой биш;
3) цацраг дээр буурч, цацраг дээр нэмэгддэг
4) доороос хязгаарлагдахгүй, дээрээс нь хязгаарлах;
5) хамгийн бага утга байхгүй, a (х = 1 цэг дээр хүрсэн);
6) тасралтгүй;
7)
8) доошоо гүдгэр , сегмент дээр дээш гүдгэр , доошоо гүдгэр
9) функц нь x = 0 ба x = 1 цэгүүдээс бусад бүх газарт дифференциал болно.
10) функцийн график нь хэвтээ асимптоттой бөгөөд энэ нь үүнийг санах хэрэгтэй.

Жишээ 4.Функцийн домайныг ол:

Шийдэл, a) Тэгш градусын язгуурын тэмдгийн дор сөрөг бус тоо байх ёстой бөгөөд энэ нь тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд асуудал ирдэг гэсэн үг юм.
б) Ямар ч тоо сондгой язгуурын тэмдгийн дор байж болох бөгөөд энэ нь энд x-д ямар ч хязгаарлалт тавьдаггүй гэсэн үг юм. D(f) = R.
в) Илэрхийлэл нь хоёр тэгш бус байдлыг нэгэн зэрэг хангах ёстой гэсэн үг бол илэрхийлэл нь утга учиртай болно. тэдгээр. Асуудал нь тэгш бус байдлын системийг шийдвэрлэхэд ирдэг.

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх
Тэгш бус байдлыг шийдье Тэгш бус байдлын зүүн талыг үржвэрлэе: -4 ба 4 цэгүүдэд тэгш бус байдлын зүүн тал 0 болж хувирна. Эдгээр цэгүүдийг тооны шулуун дээр тэмдэглэе (Зураг 178). Тоон шугамыг заасан цэгүүдээр гурван интервалд хуваадаг бөгөөд интервал бүрт p(x) = (4-x) (4 + x) илэрхийлэл нь тогтмол тэмдгийг хадгалдаг (тэмдэгтүүдийг 178-р зурагт заасан). p(x)>0 тэгш бус байдлын интервалыг Зураг дээр сүүдэрлэсэн байна. 178. Бодлогын нөхцлийн дагуу бид p(x) = 0 тэгш байдал хангагдсан x цэгүүдийг сонирхож байна: x = -4, x = 4 - тэдгээрийг Зураг дээр тэмдэглэв . 178 хар хүрээ. Тиймээс, Зураг дээр. 178 нь системийн хоёр дахь тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх геометрийн загварыг үзүүлэв.

Системийн нэг ба хоёр дахь тэгш бус байдлын олсон шийдлүүдийг нэг координатын шугам дээр дээд талын нүхийг нэгдүгээрт, хоёр дахь хэсэгт доод таглааг ашиглан тэмдэглэе (Зураг 179). Тэгш бус байдлын системийн шийдэл нь системийн тэгш бус байдлын шийдүүдийн огтлолцол байх болно, жишээлбэл. хоёр ангаахай давхцах интервал. Ийм цоорхой нь сегмент юм [-1, 4].

Хариулт. D(f) = [-1.4].

А.Г. Мордкович алгебр 10-р анги

Математикийн хуанли-сэдэвчилсэн төлөвлөлт, видеоматематикийн онлайн, сургуулийн математикийн

Хотын захиргаа боловсролын байгууллага

дундаж дунд сургууль №1

Урлаг. Брюховецкая

хотын захиргааБрюховецкийн дүүрэг

Математикийн багш

Гученко Ангела Викторовна

2014 он

y = функц
, түүний шинж чанар, график

Хичээлийн төрөл: шинэ материал сурах

Хичээлийн зорилго:

Хичээл дээр шийдсэн асуудлууд:

оюутнуудад бие даан ажиллахыг заах;

таамаглал, таамаглал дэвшүүлэх;

судалж буй хүчин зүйлсийг нэгтгэн дүгнэх чадвартай байх.

Тоног төхөөрөмж: самбар, шохой, мультимедиа проектор, тараах материал

Хичээлийн цаг.

Хичээлийн сэдвийг оюутнуудтай хамт тодорхойлох -1мин.

Хичээлийн зорилго, зорилтыг оюутнуудтай хамт тодорхойлох -1мин.

Мэдлэгийг шинэчлэх (урд талын судалгаа) -3мин.

Аман ажил -3мин.

Асуудлыг бий болгоход үндэслэсэн шинэ материалын тайлбар -7мин.

Физминутка -2мин.

Ангитай хамт график зурах, дэвтэрт буулгах, функцийн шинж чанарыг тодорхойлох, сурах бичигтэй ажиллах -10мин.

Олж авсан мэдлэгээ нэгтгэх, график хувиргах ур чадварыг дадлагажуулах -9мин .

Хичээлийг дүгнэх, санал хүсэлт өгөх -3мин.

Гэрийн даалгавар -1мин.

Нийт 40 минут.

Хичээлийн явц.

Хичээлийн сэдвийг оюутнуудтай хамт тодорхойлох (1 мин).

Хичээлийн сэдвийг оюутнууд чиглүүлэх асуултуудыг ашиглан тодорхойлно.

функц- эрхтэн, бүхэлдээ организмын гүйцэтгэдэг ажил.

функц- програм эсвэл төхөөрөмжийн боломж, сонголт, ур чадвар.

функц- үүрэг, үйл ажиллагааны хүрээ.

функцуран зохиолын бүтээл дэх дүр.

функц- компьютерийн шинжлэх ухааны дэд програмын төрөл

функцМатематикт - нэг хэмжигдэхүүнээс нөгөө хэмжигдэхүүнээс хамаарах хууль.

Хичээлийн зорилго, зорилтыг оюутнуудтай хамтран тодорхойлох (1 мин).

Багш нь оюутнуудын тусламжтайгаар энэ хичээлийн зорилго, зорилтыг томъёолж, тунхагладаг.

Мэдлэгийг шинэчлэх (урд талын судалгаа - 3 мин).

Аман ажил – 3 мин.

Урд талын ажил.

(А ба В нь хамаарахгүй, С нь хамаарахгүй)

Шинэ материалын тайлбар (асуудал үүсгэхэд үндэслэсэн - 7 мин).

Асуудалтай нөхцөл байдал: үл мэдэгдэх функцийн шинж чанарыг тайлбарлах.

Ангийг 4-5 хүний ​​бүрэлдэхүүнтэй багуудад хувааж, асуусан асуултанд хариулах маягтуудыг тараана.

Маягт No1

y=0, x=-тэй?

Функцийг тодорхойлох талбар.

Функцийн утгуудын багц.

Багийн төлөөлөгчдийн нэг нь асуулт бүрт хариулж, бусад багууд дохионы картаар "төв" эсвэл "эсрэг" санал өгч, шаардлагатай бол ангийнхаа хариултыг нөхөж өгнө.

Ангийн хамт y= функцийн тодорхойлолтын муж, утгын олонлог, тэгүүдийн талаар дүгнэлт гарга.

Асуудалтай нөхцөл байдал : үл мэдэгдэх функцийн графикийг бүтээхийг хичээ (багуудын дунд хэлэлцүүлэг, шийдлийг хайж байна).

Багш функцийн график байгуулах алгоритмыг эргэн санана. Багийн сурагчид y= функцийн графикийг маягт дээр дүрслэн харуулахыг хичээж, дараа нь бие биенээ болон харилцан шалгах зорилгоор маягт солилцдог.

Физминутка (Алиалагч)

Дизайнтай хамт тэмдэглэлийн дэвтэрт график байгуулах - 10 мин.

Ерөнхий хэлэлцүүлгийн дараа y= функцийн график байгуулах даалгаврыг сурагч бүр дэвтэрт тус тусад нь хийж гүйцэтгэнэ. Энэ үед багш сурагчдад ялгавартай тусламж үзүүлдэг. Сурагчид даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа функцийн графикийг самбар дээр үзүүлж, дараах асуултуудад хариулахыг оюутнуудаас хүснэ.

Дүгнэлт: Сурагчидтай хамт функцийн шинж чанарын талаар дүгнэлт хийж, сурах бичгээс уншина уу.

Олж авсан мэдлэгээ бататгах, график хувиргах чадварыг дадлагажуулах – 9 мин.

Оюутнууд карт дээрээ ажилладаг (сонголтуудын дагуу), дараа нь сольж, бие биенээ шалгана. Дараа нь самбар дээр графикуудыг үзүүлж, сурагчид хийсэн ажлыг самбартай харьцуулан үнэлнэ.

Картын дугаар 1

Картын дугаар 2

Дүгнэлт: график хувиргалтын тухай

1) op-amp тэнхлэгийн дагуу зэрэгцээ дамжуулалт

2) OX тэнхлэгийн дагуу шилжих.

9. Хичээлийг дүгнэх, санал хүсэлт гаргах – 3 мин.

СЛАЙД – дутуу үг оруулах

Энэ функцийн тодорхойлолтын домэйн, бусад бүх тоонууд ...(сөрөг).

Функцийн график нь... (би)улирал.

Аргумент x = 0 үед утга... (функц)у = ... (0).

Функцийн хамгийн том утга... (байхгүй)хамгийн бага утга - …(0-тэй тэнцүү)

10. Гэрийн даалгавар (тайлбартай – 1 мин).

Сурах бичгийн дагуу- §13

Асуудлын номны дагуу– No13.3, No74 (бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн давталт)

y=√x функцийг авч үзье. Энэ функцийн графикийг доорх зурагт үзүүлэв.

y=√x функцийн график

Таны харж байгаагаар график нь эргэлдсэн парабол, эс тэгвээс түүний салбаруудын нэгтэй төстэй юм. Бид x=y^2 параболын салбарыг авна. График нь координаттай (0;0) цэг дээр Ой тэнхлэгт зөвхөн нэг удаа хүрч байгааг зургаас харж болно.
Одоо энэ функцын үндсэн шинж чанарыг тэмдэглэх нь зүйтэй.

y=√x функцийн шинж чанарууд

1. Функцийн тодорхойлолтын муж нь туяа)