Atenţie!
Există suplimentare
materiale în secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Ce s-a întâmplat „inegalitate pătratică”? Nicio întrebare!) Dacă iei orice ecuația pătratică și înlocuiți semnul din ea "=" (egal) cu orice semn de inegalitate ( > ≥ < ≤ ≠ ), obținem o inegalitate pătratică. De exemplu:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Ei bine, ai inteles...)

Nu degeaba am legat aici ecuații și inegalități. Ideea este că primul pas în rezolvare orice inegalitatea pătratică - rezolvați ecuația din care se face această inegalitate. Din acest motiv, incapacitatea de a rezolva ecuații pătratice duce automat la eșecul complet al inegalităților. Sugestia este clară?) Dacă ceva, uită-te la cum să rezolvi orice ecuații pătratice. Totul este descris acolo în detaliu. Și în această lecție ne vom ocupa de inegalități.

Inegalitatea gata de rezolvare are forma: în stânga este un trinom pătratic ax 2 +bx+c, în dreapta - zero. Semnul inegalității poate fi absolut orice. Primele două exemple sunt aici sunt deja gata să ia o decizie. Al treilea exemplu mai trebuie pregătit.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Introducere………………………………………………………………… 3

1. Clasificarea erorilor cu exemple………………………… .…… …5

1.1. Clasificarea pe tipuri de sarcini…… ……………………… … ……….5

1.2. Clasificarea pe tipuri de transformări………………………………………10

2. Teste………………………………………………………….… .………….12

3. Protocoale de hotărâri…………….….………………… ………… 18

3.1. Protocoale de decizii incorecte……………………………………… 18

3.2. Răspunsuri (protocoale de decizii corecte)………………………………….34

3.3. Erori făcute în decizii…………………………………………… 51

Anexă………………………………………………………………………… 53

Literatură………………………………………………………………………………….56

INTRODUCERE

„Înveți din greșeli”, spune înțelepciunea populară. Dar pentru a învăța dintr-o experiență negativă, trebuie mai întâi să vezi greșeala. Din păcate, un student este adesea incapabil să o detecteze atunci când rezolvă o anumită problemă. Drept urmare, a apărut ideea de a efectua un studiu, al cărui scop a fost să identifice greșelile tipice făcute de elevi, precum și să le clasifice cât mai complet posibil.

Ca parte a acestui studiu, au fost revizuite și rezolvate un set mare de probleme din opțiunile de testare din aprilie, teste și teme scrise pentru examenele de admitere la Universitatea de Stat din Omsk, diverse manuale și colecții de sarcini pentru solicitanții la universități, precum și materiale de la școala de corespondență la Facultatea de Filosofie a Universității de Stat din Omsk au fost studiate cu atenție. Datele obținute au fost supuse unei analize detaliate, cu mare atenție acordată logicii deciziilor. Pe baza acestor date au fost identificate cele mai frecvente greșeli, adică cele tipice.

Pe baza rezultatelor acestei analize s-a încercat sistematizarea erorilor caracteristice și clasificarea acestora după tipuri de transformări și tipuri de probleme, dintre care s-au avut în vedere următoarele: inegalități pătratice, sisteme de inegalități, ecuații fracționale-raționale, ecuații cu un modul, ecuații iraționale, sisteme de ecuații, probleme de mișcare, sarcini de lucru și productivitate a muncii, ecuații trigonometrice, sisteme ecuații trigonometrice, planimetrie.

Clasificarea este însoțită de o ilustrare sub formă de protocoale de decizie incorecte, care face posibilă ajutarea elevilor să-și dezvolte capacitatea de a se verifica și controla, de a-și evalua critic activitățile, de a găsi erori și modalități de a le elimina.

Următoarea etapă a fost lucrul cu teste. Pentru fiecare problemă au fost propuse cinci răspunsuri posibile, dintre care unul corect, iar celelalte patru incorecte, dar nu au fost luate la întâmplare, ci corespund unei soluții în care s-a făcut o eroare specifică, standard pentru probleme de acest tip. . Aceasta oferă o bază pentru prezicerea gradului de „gravitate” a unei erori și dezvoltarea operațiilor mentale de bază (analiza, sinteza, comparația, generalizarea). Testele au următoarea structură:

Codurile de eroare sunt împărțite în trei tipuri: OK - răspuns corect, cod digital - eroare din clasificarea pe tip de sarcină, cod literă - eroare din clasificarea după tipul de transformare. Decodificarea acestora poate fi găsită în Capitolul 1. Clasificarea erorilor cu exemple.

În continuare, au fost propuse sarcini pentru a găsi o eroare în soluție. Aceste materiale au fost utilizate în timpul lucrului cu studenții școlii prin corespondență de la Universitatea de Stat NOF Omsk, precum și în timpul cursurilor de formare avansată pentru profesori din Omsk și regiunea Omsk, conduse de Universitatea de Stat NOF Omsk.

Pe viitor, pe baza muncii depuse, este posibil să se creeze un sistem de monitorizare și evaluare a nivelului de cunoștințe și abilități ale testatorului. Devine posibil să se identifice zonele cu probleme în muncă, să se înregistreze metode și tehnici de succes și să se analizeze ce conținut al instruirii este adecvat să se extindă. Dar pentru ca aceste metode să fie cele mai eficiente, este necesar interesul studenților. În acest scop, eu, împreună cu Chubrik A.V. și a fost dezvoltat un mic produs software care generează soluții incorecte de liniare și ecuații pătratice (baza teoreticași algoritmi - eu și Chuubrik A.V., asistență în implementare - student gr. MP-803 Filimonov M.V.). Lucrul cu acest program oferă elevului posibilitatea de a acționa ca un profesor al cărui elev este computerul.

Rezultatele obținute pot servi drept începutul unui studiu mai serios, care pe termen scurt și lung va putea face ajustările necesare sistemului de predare a matematicii.

1. CLASIFICAREA ERORILOR CU EXEMPLE

1.1. Clasificarea pe tipuri de sarcini

1. Ecuații și inecuații algebrice.

1.1. Inegalități cuadratice. Sisteme de inegalități:

1.1.1. Rădăcinile trinomului pătratic au fost găsite incorect: teorema lui Vieta și formula de găsire a rădăcinilor au fost utilizate incorect;

1.1.2. Graficul unui trinom pătratic este prezentat incorect;

1.1.3. Valorile argumentului la care este satisfăcută inegalitatea sunt definite incorect;

1.1.4. Împărțirea printr-o expresie care conține o cantitate necunoscută;

1.1.5. În sistemele de inegalități, intersecția soluțiilor tuturor inegalităților este luată incorect;

1.1.6. Capetele intervalelor sunt incluse incorect sau nu sunt incluse în răspunsul final;

1.1.7. Rotunjire.

1.2. Ecuații raționale fracționale:

1.2.1. ODZ este incorect indicat sau nu este indicat: nu se ia în considerare ca numitorul fracției să nu fie egal cu zero;

ODZ: .

1.2.2. La primirea unui răspuns, DZ nu este luat în considerare;

Secțiuni: Matematică

Clasă: 9

Un rezultat de învățare obligatoriu este capacitatea de a rezolva inegalitățile de forma:

ax 2 + bx+ c ><0

pe baza unui grafic schematic al unei funcții pătratice.

Cel mai adesea, elevii greșesc atunci când rezolvă inegalități pătratice cu un prim coeficient negativ. În astfel de cazuri, manualul sugerează înlocuirea inegalității cu una echivalentă cu un coeficient pozitiv la x 2 (exemplul nr. 3) Este important ca elevii să înțeleagă că trebuie să „uite” de inegalitatea inițială; , trebuie să deseneze o parabolă cu ramurile îndreptate în sus. Se poate argumenta altfel.

Să presupunem că trebuie să rezolvăm inegalitatea:

–x 2 + 2x –5<0

Mai întâi, să aflăm dacă graficul funcției y=-x 2 +2x-5 intersectează axa OX. Pentru a face acest lucru, să rezolvăm ecuația:

Ecuația nu are rădăcini, prin urmare, graficul funcției y=-x 2 +2x-5 este situat în întregime sub axa X și inegalitatea -x 2 +2x-5<0 выполняется при любых значения Х. Необходимо показать учащимся оба способа решения и разрешить пользоваться любым из них.

Capacitatea de rezolvare este dezvoltată pe nr. 111 și nr. 119. Este imperativ să se ia în considerare următoarele inegalități x 2 +5>0, -x 2 -3≤0; 3x 2 >0 etc.

Desigur, atunci când rezolvați astfel de inegalități, puteți folosi o parabolă. Cu toate acestea, elevii puternici ar trebui să dea răspunsuri imediat, fără a recurge la desen. În acest caz, este necesar să se solicite explicații, de exemplu: x 2 ≥0 și x 2 +7>0 pentru orice valoare a lui x. În funcție de nivelul de pregătire al clasei, puteți să vă limitați la aceste numere sau să folosiți Nr. 120 Nr. 121. În ele este necesar să efectuați transformări identice simple, așa că aici materialul acoperit va fi repetat. Aceste camere sunt concepute pentru studenți puternici. Dacă se obține un rezultat bun și rezolvarea inegalităților pătratice nu creează probleme, atunci puteți cere elevilor să rezolve un sistem de inegalități în care una sau ambele inegalități sunt pătratice (exercițiul 193, 194).

Este interesant nu numai să rezolvi inegalitățile pătratice, ci și unde mai poate fi aplicată această soluție: să găsești domeniul de definire al funcției de a studia o ecuație pătratică cu parametri (exercițiul 122-124 Pentru cei mai avansați studenți). poate lua în considerare inegalitățile pătratice cu parametri de forma:

Ax 2 +Bx+C>0 (≥0)

Ax 2 +Bx+C<0 (≤0)

Unde A,B,C sunt expresii în funcție de parametri, A≠0,x sunt necunoscute.

Inegalitatea Ax 2 +Bx+C>0

Se studiază după următoarele scheme:

1) Dacă A=0, atunci avem inegalitatea liniară Bx+C>0

2) Dacă A≠0 și discriminantul D>0, atunci putem factoriza trinomul pătrat și obținem inegalitatea

A(x-x1) (x-x2)>0

x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației Ax 2 +Bx+C=0

3) Dacă A≠0 și D<0 то если A>0 soluția va fi mulțimea numerelor reale R; la A<0 решений нет.

Inegalitățile rămase pot fi studiate în mod similar.

Poate fi folosit pentru rezolvarea inegalităților pătratice, de unde proprietatea trinomului pătratic

1) Dacă A>0 și D<0 то Ax2+Bx+C>0- pentru toate x.

2) Dacă A<0 и D<0 то Ax2+Bx+C<0 при всех x.

Când rezolvați o inegalitate pătratică, este mai convenabil să folosiți o reprezentare schematică a graficului funcției y=Ax2+Bx+C

Exemplu: Pentru toate valorile parametrilor, rezolvați inegalitatea

X2 +2(b+1)x+b2 >0

D=4(b+1) 2 -4b 2 =4b 2 +8b+4-4b 2

1) D<0 т.е. 2b+1<0

Coeficientul în fața lui x 2 este 1>0, atunci inegalitatea este satisfăcută pentru tot x, adică. X є R

2) D=0 => 2b+1=0

Atunci x 2 +x+¼>0

x є(-∞;-½) U (-½;∞)

3) D>0 =>2b+1>0

Rădăcinile unui trinom pătrat sunt:

X1 =-b-1-√2b+1

X2 =-b-1+√2b+1

Inegalitatea ia forma

(x-x 1) (x-x 2)>0

Folosind metoda intervalului obținem

x є(-∞;x 1) U (x 2 ;∞)

Pentru decizie independentă da următoarea inegalitate

Ca urmare a rezolvării inegalităților, elevul trebuie să înțeleagă că pentru rezolvarea inegalităților de gradul II se propune renunțarea la detalii excesive în metoda de construire a unui grafic, din aflarea coordonatelor vârfurilor parabolei, observând scară, și se poate limita la desenarea unei schițe a graficului unei funcții pătratice.

La nivel superior, rezolvarea inegalităților pătratice nu este practic o sarcină independentă, ci acționează ca o componentă a rezolvării unei alte ecuații sau inegalități (logaritmice, exponențiale, trigonometrice). Prin urmare, este necesar să-i învățăm pe elevi cum să rezolve fluent inegalitățile pătratice. Vă puteți referi la trei teoreme împrumutate din manualul de A.A. Kiseleva.

Teorema 1. Fie dat un trinom pătrat ax 2 +bx+c, unde a>0, având 2 rădăcini reale diferite (D>0).

Atunci: 1) Pentru toate valorile variabilei x mai mici decât rădăcina mai mică și mai mari decât rădăcina mai mare, trinomul pătrat este pozitiv

2) Pentru valorile lui x între rădăcinile pătrate, trinomul este negativ.

Teorema 2. Să fie dat un trinom pătrat ax 2 +bx+c, unde a>0 având 2 rădăcini reale identice (D=0) Atunci pentru toate valorile lui x diferite de rădăcinile trinomului pătrat, trinomul pătrat este pozitiv .

Teorema 3. Să fie dat un trinom pătrat ax 2 +bx+c unde a>0 fără rădăcini reale (D<0).Тогда при всех значениях x квадратный трехчлен положителен. Доказательство этих теорем приводить не надо.

De exemplu: inegalitatea ar trebui rezolvată:

D=1+288=289>0

Soluția este

X≤-4/3 și x≥3/2

Răspuns (-∞; -4/3] U 7. (-∞; 2) U (3; ∞) 7. [-4; 0] 8. [-2; 1] 8. Ø 9. [-2; 0] 9. (-∞; -4) U (-4; ∞)

Răspunsurile sunt plasate pe verso și pot fi vizualizate după ce timpul alocat a trecut. Cel mai convenabil este să efectuați această lucrare la începutul lecției la un semnal din partea profesorului. (Atenție, pregătiți-vă, să începem). Comanda „Stop” întrerupe lucrul.

Programul de lucru este determinat în funcție de nivelul de pregătire al clasei. Creșterea vitezei este un indicator al muncii elevului.

Capacitatea de a rezolva inegalitățile pătratice va fi utilă elevilor când promovarea examenului de stat unificat. În problemele grupei B se întâlnesc tot mai mult sarcini legate de capacitatea de a rezolva inegalitățile pătratice.

De exemplu:

O piatră este aruncată vertical în sus. Până când piatra cade, înălțimea la care se află este descrisă de formulă

(h - înălțimea în metri, t - timpul în secunde scurs din momentul aruncării).

Află câte secunde a fost piatra la o înălțime de cel puțin 9 metri.

Pentru a rezolva este necesar să se creeze o inegalitate:

5t 2 +18t-9≥0

Răspuns: 2,4 s

Începând să dăm elevilor exemple de la Examenul de stat unificat deja în clasa a IX-a la etapa studierii materialelor, ne pregătim deja pentru examen rezolvarea inegalităților pătratice care conțin un parametru face posibilă rezolvarea problemelor din grupa C;

O abordare non-formală a studierii temei în clasa a IX-a facilitează stăpânirea materialului din cursul „Algebra și începuturile analizei” pe teme precum „Aplicarea derivatei” „Rezolvarea inegalităților prin metoda intervalelor” „Rezolvarea inegalităților logaritmice și exponențiale” „Rezolvarea inegalităților iraționale”.

1

2. Dalinger V.A. Greșeli comune la matematică la examenele de admitereși cum să le preveniți. – Omsk: Editura Omsk IUU, 1991.

3. Dalinger V.A. Totul pentru a asigura succesul la examenele finale și de admitere la matematică. Problema 5. Ecuații exponențiale, logaritmice, inegalități și sistemele lor: Tutorial. – Omsk: Editura Universității Pedagogice de Stat din Omsk, 1996.

4. Dalinger V.A. Începuturile analizei matematice: Erorile tipice, cauzele lor și modalități de prevenire a acestora: Manual. – Omsk: „Editor-Plygraphist”, 2002.

5. Dalinger V.A., Zubkov A.N. Un ghid pentru promovarea examenului de matematică: Analiza greșelilor solicitanților la matematică și modalități de a le preveni. – Omsk: Editura Universității Pedagogice de Stat din Omsk, 1991.

6. Kutasov A.D. Ecuații exponențiale și logaritmice, inegalități, sisteme: Material didactic N7. – Editura Universității Deschise din Rusia, 1992.

Greșelile făcute de elevi la rezolvarea ecuațiilor și inegalităților logaritmice sunt foarte diverse: de la formatarea incorectă a soluției până la erori de natură logică. Aceste erori și alte erori vor fi discutate în acest articol.

1. Cea mai tipică greșeală este aceea că elevii, atunci când rezolvă ecuații și inegalități fără explicații suplimentare, folosesc transformări care încalcă echivalența, ceea ce duce la pierderea rădăcinilor și apariția cailor străini.

Să ne uităm la exemple specifice de erori de acest fel, dar mai întâi atragem atenția cititorului asupra următorului gând: nu vă fie teamă să dobândiți rădăcini străine, acestea pot fi aruncate prin verificare, să vă fie teamă să nu pierdeți rădăcinile.

a) Rezolvați ecuația:

log3(5 - x) = 3 - log3(-1 - x).

Elevii rezolvă adesea această ecuație după cum urmează.

log3(5 - x) = 3 - log3(-1 - x), log3(5 - x) + log3(-1 - x) = 3, log3((5 - x)(-1 - x)) = 3 , (5 - x)(-1 - x) = 33, x2 - 4x - 32 = 0,

x1 = -4; x2 = 8.

Elevii scriu adesea ambele numere în răspuns fără a mai avea un raționament. Dar, după cum arată o verificare, numărul x = 8 nu este rădăcina ecuației inițiale, deoarece la x = 8 părțile stânga și dreapta ale ecuației devin lipsite de sens. Verificarea arată că numărul x = -4 este rădăcina ecuației date.

b) Rezolvați ecuația

Domeniul de definire al ecuației originale este specificat de sistem

Pentru a rezolva ecuația dată, să mergem la logaritmul la baza x, obținem

Vedem că laturile stânga și dreapta ale acestei ultime ecuații la x = 1 nu sunt definite, dar acest număr este rădăcina ecuației originale (puteți verifica acest lucru prin substituție directă). Astfel, tranziția formală la o nouă bază a dus la pierderea rădăcinii. Pentru a evita pierderea rădăcinii x = 1, trebuie să specificați că noua bază trebuie să fie un număr pozitiv, altul decât unul și să luați în considerare cazul x = 1 separat.

2. Un întreg grup de erori, sau mai degrabă neajunsuri, constă în faptul că elevii nu acordă atenția cuvenită găsirii domeniului de definire a ecuațiilor, deși în unele cazuri tocmai aceasta este cheia soluției. Să ne uităm la un exemplu în acest sens.

Rezolvați ecuația

Să găsim domeniul de definiție al acestei ecuații, pentru care rezolvăm sistemul de inegalități:

De unde avem x = 0. Să verificăm prin substituție directă dacă numărul x = 0 este rădăcina ecuației inițiale

Răspuns: x = 0.

3. O greșeală tipică a studenților este că nu au nivelul necesar de cunoaștere a definițiilor conceptelor, formulelor, enunțurilor de teoreme și algoritmilor. Să confirmăm acest lucru cu următorul exemplu.

Rezolvați ecuația

Iată o soluție eronată a acestei ecuații:

Verificarea arată că x = -2 nu este o rădăcină a ecuației originale.

Concluzia sugerează că ecuația dată nu are rădăcini.

Cu toate acestea, acest lucru nu este adevărat. Prin substituirea x = -4 în ecuația dată, putem verifica că este o rădăcină.

Să analizăm de ce s-a produs pierderea rădăcinii.

În ecuația originală, expresiile x și x + 3 pot fi ambele negative sau ambele pozitive în același timp, dar atunci când treceți la ecuație, aceleași expresii pot fi doar pozitive. În consecință, a avut loc o îngustare a zonei de definire, ceea ce a dus la pierderea rădăcinilor.

Pentru a evita pierderea rădăcinii, putem proceda astfel: în ecuația inițială trecem de la logaritmul sumei la logaritmul produsului. În acest caz, este posibilă apariția rădăcinilor străine, dar puteți scăpa de ele prin înlocuire.

4. Multe greșeli făcute la rezolvarea ecuațiilor și inegalităților sunt o consecință a faptului că elevii încearcă foarte des să rezolve probleme după un șablon, adică în mod obișnuit. Să arătăm asta cu un exemplu.

Rezolvați inegalitatea

Încercarea de a rezolva această inegalitate folosind metode algoritmice familiare nu va duce la un răspuns. Soluția aici trebuie să constea în estimarea valorilor fiecărui termen din partea stângă a inegalității pe domeniul de definire a inegalității.

Să găsim domeniul de definire al inegalității:

Pentru toți x din intervalul (9;10] expresia are valori pozitive (valorile funcției exponențiale sunt întotdeauna pozitive).

Pentru toți x din intervalul (9;10] expresia x - 9 are valori pozitive, iar expresia lg(x - 9) are valori negative sau zero, apoi expresia (- (x - 9) lg(x - 9). ) este pozitiv sau egal cu zero.

În cele din urmă avem x∈ (9;10). Rețineți că pentru astfel de valori ale variabilei, fiecare termen din partea stângă a inegalității este pozitiv (al doilea termen poate fi egal cu zero), ceea ce înseamnă că suma lor este întotdeauna mai mare decât zero, prin urmare, soluția inegalității inițiale este gap (9;10).

5. Una dintre erori este legată de soluția grafică a ecuațiilor.

Rezolvați ecuația

Experiența noastră arată că studenții, rezolvând grafic această ecuație (de observat că nu poate fi rezolvată prin alte metode elementare), primesc o singură rădăcină (este abscisa unui punct situat pe dreapta y = x), deoarece graficele funcțiilor

Acestea sunt grafice ale funcțiilor reciproc inverse.

De fapt, ecuația originală are trei rădăcini: una dintre ele este abscisa punctului situat pe bisectoarea primului unghi de coordonate y = x, cealaltă rădăcină și a treia rădăcină. Puteți verifica validitatea celor spuse prin substituirea directă a numerelor în ecuația dată.

Rețineți că ecuațiile de forma logax = ax la 0< a < e-e всегда имеют три действительных корня.

Acest exemplu ilustrează frumos următoarea concluzie: solutie grafica ecuația f(x) = g(x) este „fără cusur” dacă ambele funcții sunt diferite-monotone (una dintre ele este în creștere, iar cealaltă este în scădere), și nu este suficient de corectă din punct de vedere matematic în cazul funcțiilor monotone (ambele sunt fie simultan în scădere, fie simultan în creştere).

6. O serie de greșeli tipice sunt asociate cu faptul că elevii nu rezolvă ecuațiile și inegalitățile în întregime corect pe baza abordării funcționale. Să arătăm erori tipice de acest fel.

a) Rezolvați ecuația xx = x.

Funcția din partea stângă a ecuației este exponențială și, dacă da, atunci trebuie impuse următoarele restricții pe baza gradului: x > 0, x ≠ 1. Să luăm logaritmul ambelor părți ale ecuației date:

De unde avem x = 1.

Logaritmizarea nu a condus la o îngustare a domeniului de definire a ecuației originale. Dar, cu toate acestea, am pierdut două rădăcini ale ecuației; prin observare imediată aflăm că x = 1 și x = -1 sunt rădăcinile ecuației inițiale.

b) Rezolvați ecuația

Ca și în cazul precedent, avem o funcție exponențială, ceea ce înseamnă x > 0, x ≠ 1.

Pentru a rezolva ecuația inițială, luăm logaritmul ambelor părți la orice bază, de exemplu, la baza 10:

Având în vedere că produsul a doi factori este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre ei este egal cu zero, iar celălalt are sens, avem o combinație de două sisteme:

Primul sistem nu are soluție; din cel de-al doilea sistem obținem x = 1. Ținând cont de restricțiile impuse mai devreme, numărul x = 1 nu ar trebui să fie rădăcina ecuației inițiale, deși prin substituție directă suntem convinși că nu este cazul.

7. Să ne uităm la câteva erori asociate conceptului functie complexa amabil . Să arătăm eroarea folosind acest exemplu.

Determinați tipul de monotonitate al funcției.

Practica noastră arată că marea majoritate a studenților determină monotonitatea în acest caz doar pe baza logaritmului, iar din moment ce 0< 0,5 < 1, то отсюда следует ошибочный вывод - функция убывает.

Nu! Această funcție este în creștere.

În mod convențional, pentru o funcție a formei putem scrie:

Crescator (Scade) = Descrescator;

Creștere (Creștere) = Creștere;

Scade (Scade) = Creste;

Descrescând (Cresc) = Descrescând;

8. Rezolvați ecuația

Această sarcină este preluată din partea a treia a examenului de stat unificat, care este evaluată cu puncte ( punctaj maxim - 4).

Vă prezentăm o soluție care conține erori, ceea ce înseamnă că nu va primi punctajul maxim.

Reducem logaritmii la baza 3. Ecuația ia forma

Prin potențare, obținem

x1 = 1, x2 = 3.

Să verificăm pentru a identifica orice rădăcină străină.

, 1 = 1,

aceasta înseamnă că x = 1 este rădăcina ecuației originale.

Aceasta înseamnă că x = 3 nu este o rădăcină a ecuației originale.

Să explicăm de ce această soluție conține erori. Esența erorii este că înregistrarea conține două erori grave. Prima greșeală: înregistrarea nu are deloc sens. A doua eroare: nu este adevărat că produsul a doi factori, dintre care unul este 0, va fi neapărat zero. Va fi zero dacă și numai dacă un factor este 0 și al doilea factor are sens. Aici, însă, al doilea factor nu are sens.

9. Să revenim la eroarea deja comentată mai sus, dar în același timp vom da un nou raționament.

Când rezolvați ecuații logaritmice, mergeți la ecuație. Fiecare rădăcină a primei ecuații este, de asemenea, o rădăcină a celei de-a doua ecuații. Reversul, în general, nu este adevărat, prin urmare, trecând de la ecuație la ecuație, este necesar la sfârșit să verificăm rădăcinile acesteia din urmă prin substituirea în ecuația originală. În loc să verificați rădăcinile, este recomandabil să înlocuiți ecuația cu un sistem echivalent

Dacă, la rezolvarea unei ecuații logaritmice, expresiile

unde n este un număr par, sunt transformate în mod corespunzător conform formulelor , , , apoi, deoarece în multe cazuri acest lucru îngustează domeniul de definire al ecuației, este posibilă pierderea unora dintre rădăcinile acesteia. Prin urmare, este recomandabil să utilizați aceste formule sub următoarea formă:

n este un număr par.

Invers, daca, la rezolvarea unei ecuatii logaritmice, expresiile , , , unde n este un numar par, se transforma in expresiile

atunci domeniul de definire al ecuației se poate extinde, datorită căruia rădăcinile străine pot fi dobândite. Având în vedere acest lucru, în astfel de situații este necesar să se monitorizeze echivalența transformărilor și, dacă domeniul de definire al ecuației se extinde, se verifică rădăcinile rezultate.

10. Când rezolvăm inegalități logaritmice folosind substituție, întotdeauna rezolvăm mai întâi o nouă inegalitate în raport cu o nouă variabilă și numai în rezolvarea acesteia trecem la vechea variabilă.

Scolarii fac de foarte multe ori greșit tranziția inversă mai devreme, în stadiul găsirii rădăcinilor funcției raționale obținute în partea stângă a inegalității. Acest lucru nu ar trebui făcut.

11. Să dăm un exemplu de altă eroare legată de rezolvarea inegalităților.

Rezolvați inegalitatea

.

Iată o soluție eronată pe care elevii o propun foarte des.

Să pătram ambele părți ale inegalității inițiale. Vom avea:

de unde obținem informațiile incorecte? inegalitatea numerică, ceea ce ne permite să concluzionam: inegalitatea dată nu are soluții.