În manualele „vechi” se mai numește și regula „lanțului”. Deci dacă y = f (u) și u = φ (x), adică

y = f (φ (x))

complex - funcţie compozită (compunerea funcţiilor) atunci

Unde , după ce calculul este considerat la u = φ (x).

Rețineți că aici am luat compoziții „diferite” din aceleași funcții, iar rezultatul diferențierii s-a dovedit în mod natural a depinde de ordinea „amestecării”.

Regula lanțului se extinde în mod natural la compoziții cu trei sau mai multe funcții. În acest caz, vor exista trei sau mai multe „legături” în „lanțul” care alcătuiește derivatul. Iată o analogie cu înmulțirea: „avem” un tabel de derivate; „acolo” - tabla înmulțirii; „cu noi” este regula lanțului și „acolo” este regula înmulțirii „coloanei”. Atunci când se calculează astfel de derivate „complexe”, nu sunt introduse, desigur, argumente auxiliare (u¸v etc.), dar, având în vedere numărul și succesiunea de funcții implicate în compoziție, legăturile corespunzătoare sunt „înșirate” în ordinea indicată.

.

Aici, cu „x” pentru a obține valoarea lui „y”, se efectuează cinci operații, adică există o alcătuire din cinci funcții: „externă” (ultima dintre ele) - exponențială - e  ;

apoi în ordine inversă, puterea. (♦) 2 ;

sin() trigonometric;

potolit. () 3 și în final ln. logaritmică ().

.

De aceea

Cu următoarele exemple vom „ucide câteva păsări dintr-o piatră”: vom exersa diferențierea funcțiilor complexe și vom adăuga la tabelul de derivate ale funcțiilor elementare. Aşa:

4. Pentru o funcție de putere - y = x α - rescriind-o folosind binecunoscuta „identitate logaritmică de bază” - b=e ln b - în forma x α = x α ln x obținem

5. Pentru o funcție exponențială arbitrară, folosind aceeași tehnică vom avea

6. Pentru o funcție logaritmică arbitrară, folosind formula binecunoscută pentru tranziția la o nouă bază, obținem în mod constant
,

În cele din urmă, să rezumam acestea și alte câteva derivate care sunt, de asemenea, ușor de obținut în tabelul următor.

Rezolvarea problemelor fizice sau a exemplelor de matematică este complet imposibilă fără cunoașterea derivatei și a metodelor de calcul. Derivata este unul dintre cele mai importante concepte în analiza matematică. Am decis să dedicăm articolul de astăzi acestui subiect fundamental. Ce este un derivat, ce este fizic și sens geometric Cum se calculează derivata unei funcții? Toate aceste întrebări pot fi combinate într-una singură: cum să înțelegeți derivatul?

Sensul geometric și fizic al derivatului

Să existe o funcție f(x) , specificat într-un anumit interval (a, b) . Punctele x și x0 aparțin acestui interval. Când x se schimbă, funcția în sine se schimbă. Schimbarea argumentului - diferența de valori x-x0 . Această diferență este scrisă ca delta x și se numește increment de argument. O modificare sau o creștere a unei funcții este diferența dintre valorile unei funcții în două puncte. Definiția derivatului:

Derivata unei funcții într-un punct este limita raportului dintre incrementul funcției la un punct dat și incrementul argumentului atunci când acesta din urmă tinde spre zero.

Altfel se poate scrie asa:

Ce rost are să găsești o astfel de limită? Și iată ce este:

derivata unei funcții într-un punct este egală cu tangentei unghiului dintre axa OX și tangentei la graficul funcției într-un punct dat.

Sensul fizic al derivatului: derivata traseului în raport cu timpul este egală cu viteza mișcării rectilinie.

Într-adevăr, încă din timpul școlii, toată lumea știe că viteza este o cale anume x=f(t) si timp t . Viteza medie pe o anumită perioadă de timp:

Pentru a afla viteza de mișcare la un moment dat t0 trebuie să calculați limita:

Prima regulă: setați o constantă

Constanta poate fi scoasă din semnul derivatului. Mai mult, trebuie făcut. Când rezolvați exemple la matematică, luați-o ca regulă - Dacă puteți simplifica o expresie, asigurați-vă că o simplificați .

Exemplu. Să calculăm derivata:

Regula a doua: derivata sumei functiilor

Derivata sumei a doua functii este egala cu suma derivatelor acestor functii. Același lucru este valabil și pentru derivata diferenței de funcții.

Nu vom da o demonstrație a acestei teoreme, ci mai degrabă vom lua în considerare un exemplu practic.

Aflați derivata funcției:

Regula trei: derivată a produsului funcțiilor

Derivata produsului a doua functii diferentiabile se calculeaza prin formula:

Exemplu: găsiți derivata unei funcții:

Soluţie:

Este important să vorbim aici despre calcularea derivatelor funcțiilor complexe. Derivata unei functii complexe este egala cu produsul derivatei acestei functii fata de argumentul intermediar si derivata argumentului intermediar fata de variabila independenta.

În exemplul de mai sus întâlnim expresia:

În acest caz, argumentul intermediar este de 8x față de a cincea putere. Pentru a calcula derivata unei astfel de expresii, mai întâi calculăm derivata funcției externe în raport cu argumentul intermediar și apoi înmulțim cu derivata argumentului intermediar în sine față de variabila independentă.

Regula a patra: derivată a câtului a două funcții

Formula pentru determinarea derivatei coeficientului a două funcții:

Am încercat să vorbim despre derivate pentru manechine de la zero. Acest subiect nu este atât de simplu pe cât pare, așa că fiți atenți: există adesea capcane în exemple, așa că aveți grijă când calculați derivatele.

Cu orice întrebări pe acest subiect și pe alte subiecte, puteți contacta serviciul studenți. În scurt timp, vă vom ajuta să rezolvați cel mai dificil test și să înțelegeți sarcinile, chiar dacă nu ați mai făcut niciodată calcule derivate.

În această lecție vom învăța cum să găsim derivata unei functii complexe. Lecția este o continuare logică a lecției Cum să găsesc derivatul?, în care am examinat cele mai simple derivate și, de asemenea, ne-am familiarizat cu regulile de diferențiere și unele tehnici tehnice de găsire a derivatelor. Astfel, dacă nu ești foarte bun cu derivatele de funcții sau unele puncte din acest articol nu sunt complet clare, atunci citește mai întâi lecția de mai sus. Vă rugăm să aveți o dispoziție serioasă - materialul nu este simplu, dar voi încerca totuși să îl prezint simplu și clar.

În practică, trebuie să te ocupi foarte des de derivata unei funcții complexe, chiar aș spune, aproape întotdeauna, atunci când ți se dau sarcini să găsești derivate.

Ne uităm la tabelul la regula (nr. 5) pentru diferențierea unei funcții complexe:

Să ne dăm seama. În primul rând, să fim atenți la intrare. Aici avem două funcții – și , iar funcția, la figurat vorbind, este imbricată în funcția . O funcție de acest tip (când o funcție este imbricată în alta) se numește funcție complexă.

Voi apela funcția functie externa, și funcția – funcție internă (sau imbricată)..

! Aceste definiții nu sunt teoretice și nu ar trebui să apară în proiectarea finală a sarcinilor. Folosesc expresii informale „funcție externă”, funcție „internă” doar pentru a vă facilita înțelegerea materialului.

Pentru a clarifica situația, luați în considerare:

Exemplul 1

Aflați derivata unei funcții

Sub sinus avem nu doar litera „X”, ci o expresie întreagă, așa că găsirea derivatei imediat din tabel nu va funcționa. De asemenea, observăm că este imposibil să se aplice primele patru reguli aici, pare să existe o diferență, dar adevărul este că sinusul nu poate fi „sfâșiat în bucăți”:

ÎN în acest exemplu Este deja intuitiv clar din explicațiile mele că o funcție este o funcție complexă, iar polinomul este o funcție internă (încorporare) și o funcție externă.

Primul pas ceea ce trebuie să faceți când găsiți derivata unei funcții complexe este să înțelegeți ce funcție este internă și care este externă.

În cazul exemplelor simple, pare clar că un polinom este încorporat sub sinus. Dar dacă totul nu este evident? Cum să determinați cu exactitate ce funcție este externă și care este internă? Pentru a face acest lucru, vă sugerez să utilizați următoarea tehnică, care poate fi făcută mental sau în schiță.

Să ne imaginăm că trebuie să folosim un calculator pentru a calcula valoarea expresiei la (în loc de unul, poate exista orice număr).

Ce vom calcula mai întâi? În primul rând va trebui să efectuați următoarea acțiune: , prin urmare polinomul va fi o funcție internă:

În al doilea rând va trebui găsit, deci sine – va fi o funcție externă:

După noi SOLD OUT Cu funcții interne și externe, este timpul să aplici regula de diferențiere a funcțiilor complexe.

Să începem să decidem. Din clasa Cum să găsesc derivatul? ne amintim că proiectarea unei soluții la orice derivat începe întotdeauna astfel - încadrăm expresia între paranteze și punem o contur în dreapta sus:

La început găsim derivata funcției externe (sinus), ne uităm la tabelul derivatelor funcțiilor elementare și observăm că . Toate formulele de tabel sunt de asemenea aplicabile dacă „x” este înlocuit cu o expresie complexă, în acest caz:

Vă rugăm să rețineți că funcția interioară nu s-a schimbat, nu o atingem.

Ei bine, este destul de evident că

Rezultatul final al aplicării formulei arată astfel:

Factorul constant este de obicei plasat la începutul expresiei:

Dacă există vreo neînțelegere, notează soluția pe hârtie și citește din nou explicațiile.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții

Ca întotdeauna, notăm:

Să ne dăm seama unde avem o funcție externă și unde avem una internă. Pentru a face acest lucru, încercăm (mental sau într-o schiță) să calculăm valoarea expresiei la . Ce ar trebui să faci mai întâi? În primul rând, trebuie să calculați cu ce este egală baza: prin urmare, polinomul este funcția internă:

Și, abia atunci se realizează exponențiarea, prin urmare, functie de putere este o funcție externă:

Conform formulei, mai întâi trebuie să găsiți derivata funcției externe, în acest caz, gradul. Caut in tabel formula cerută: . Repetăm ​​din nou: orice formulă tabelară este valabilă nu numai pentru „X”, ci și pentru o expresie complexă. Astfel, rezultatul aplicării regulii de diferențiere a unei funcții complexe este următorul:

Subliniez din nou că atunci când luăm derivata funcției exterioare, funcția noastră interioară nu se schimbă:

Acum tot ce rămâne este să găsiți o derivată foarte simplă a funcției interne și să modificați puțin rezultatul:

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă(răspuns la sfârșitul lecției).

Pentru a vă consolida înțelegerea derivatei unei funcții complexe, voi da un exemplu fără comentarii, încercați să vă dați seama singur, motivul unde este funcția externă și unde este funcția internă, de ce sarcinile sunt rezolvate astfel?

Exemplul 5

a) Aflați derivata funcției

b) Aflați derivata funcției

Exemplul 6

Aflați derivata unei funcții

Aici avem o rădăcină, iar pentru a diferenția rădăcina, aceasta trebuie reprezentată ca o putere. Astfel, mai întâi aducem funcția în forma adecvată pentru diferențiere:

Analizând funcția, ajungem la concluzia că suma celor trei termeni este o funcție internă, iar ridicarea la putere este o funcție externă. Aplicam regula de diferentiere a functiilor complexe:

Reprezentăm din nou gradul ca un radical (rădăcină), iar pentru derivata funcției interne aplicăm o regulă simplă de diferențiere a sumei:

Gata. De asemenea, puteți reduce expresia la un numitor comun între paranteze și scrieți totul ca o fracție. Este frumos, desigur, dar atunci când obțineți derivate lungi greoaie, este mai bine să nu faceți acest lucru (este ușor să vă confundați, să faceți o greșeală inutilă și profesorul va fi incomod să verifice).

Exemplul 7

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (răspunsul la sfârșitul lecției).

Este interesant de observat că uneori, în loc de regula de diferențiere a unei funcții complexe, puteți folosi regula pentru diferențierea unui coeficient. , dar o astfel de soluție va arăta ca o perversiune amuzantă. Iată un exemplu tipic:

Exemplul 8

Aflați derivata unei funcții

Aici puteți folosi regula de diferențiere a coeficientului , dar este mult mai profitabil să găsim derivata prin regula de diferențiere a unei funcții complexe:

Pregătim funcția pentru diferențiere - mutăm minusul din semnul derivat și ridicăm cosinusul la numărător:

Cosinusul este o funcție internă, exponențiația este o funcție externă.
Să folosim regula noastră:

Găsim derivata funcției interne și resetăm cosinusul înapoi:

Gata. În exemplul luat în considerare, este important să nu vă confundați în semne. Apropo, încercați să o rezolvați folosind regula , răspunsurile trebuie să se potrivească.

Exemplul 9

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (răspunsul la sfârșitul lecției).

Până acum am analizat cazurile în care am avut doar un cuib într-o funcție complexă. În sarcinile practice, puteți găsi adesea derivate, în care, cum ar fi păpușile de cuibărit, una în cealaltă, 3 sau chiar 4-5 funcții sunt imbricate deodată.

Exemplul 10

Aflați derivata unei funcții

Să înțelegem atașamentele acestei funcții. Să încercăm să calculăm expresia folosind valoarea experimentală. Cum am conta pe un calculator?

Mai întâi trebuie să găsiți , ceea ce înseamnă că arcsinusul este cea mai adâncă încorporare:

Acest arcsinus al lui unu ar trebui apoi să fie pătrat:

Și, în sfârșit, ridicăm șapte la o putere:

Adică, în acest exemplu avem trei funcții diferite și două înglobări, în timp ce funcția cea mai interioară este arcsinus, iar funcția cea mai exterioară este funcția exponențială.

Să începem să decidem

Conform regulii, mai întâi trebuie să luați derivata funcției externe. Ne uităm la tabelul derivatelor și găsim derivata funcției exponențiale: Singura diferență este că în loc de „x” avem o expresie complexă, care nu anulează validitatea acestei formule. Deci, rezultatul aplicării regulii de diferențiere a unei funcții complexe este următorul:

Sub accident vascular cerebral avem din nou o funcție complexă! Dar deja este mai simplu. Este ușor de verificat că funcția interioară este arcsinus, funcția exterioară este gradul. Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe, mai întâi trebuie să luați derivata puterii.

Sunt date exemple de calculare a derivatelor folosind formula pentru derivata unei funcții complexe.

Conţinut

Vezi și: Dovada formulei pentru derivata unei funcții complexe

Formule de bază

Aici oferim exemple de calculare a derivatelor următoarelor funcții:
; ; ; ; .

Dacă o funcție poate fi reprezentată ca o funcție complexă în următoarea formă:
,
atunci derivata sa este determinată de formula:
.
În exemplele de mai jos, vom scrie această formulă după cum urmează:
.
Unde .
Aici, indicele sau , situate sub semnul derivatei, denotă variabilele prin care se realizează diferențierea.

De obicei, în tabelele de derivate, sunt date derivate ale funcțiilor din variabila x.

Cu toate acestea, x este un parametru formal. Variabila x poate fi înlocuită cu orice altă variabilă. Prin urmare, la diferențierea unei funcții de o variabilă, pur și simplu schimbăm, în tabelul derivatelor, variabila x în variabila u.

Exemple simple

Exemplul 1
.

Aflați derivata unei funcții complexe Să-l notăm funcţie dată
.
in forma echivalenta:
;
.

În tabelul derivatelor găsim:
.
Conform formulei pentru derivata unei funcții complexe, avem:

Aici .

Exemplul 2
.

Găsiți derivata
.

.
Conform formulei pentru derivata unei funcții complexe, avem:

Luăm constanta 5 din semnul derivatei și din tabelul derivatelor găsim:

Exemplul 3
.

Găsiți derivata -1 Scoatem o constantă
;
pentru semnul derivatei și din tabelul derivatelor găsim:
.

Din tabelul derivatelor găsim:
.
Conform formulei pentru derivata unei funcții complexe, avem:

Aplicam formula pentru derivata unei functii complexe:

Exemple mai complexe În mai mult exemple complexe aplicăm de mai multe ori regula diferențierii unei funcții complexe. În acest caz, calculăm derivata de la final. Adică, împărțim funcția în părțile sale componente și găsim derivatele celor mai simple părți folosind tabelul derivatelor . De asemenea, folosim reguli de diferențiere a sumelor

, produse și fracții. Apoi facem substituții și aplicăm formula pentru derivata unei funcții complexe.

Exemplul 3
.

Exemplul 4

.
Să selectăm cea mai simplă parte a formulei și să găsim derivata acesteia. .
.

Aici am folosit notația
.

Găsim derivata următoarei părți a funcției originale folosind rezultatele obținute. Aplicam regula de diferentiere a sumei:

.
Conform formulei pentru derivata unei funcții complexe, avem:

Încă o dată aplicăm regula diferențierii funcțiilor complexe.

Exemplul 5
.

Aflați derivata funcției

Să selectăm cea mai simplă parte a formulei și să găsim derivata acesteia din tabelul cu derivate. .
.
Aplicam regula de diferentiere a functiilor complexe.
.

Aici
.
Aplicam regula de diferentiere a functiilor complexe.
.

Să diferențiem următoarea parte folosind rezultatele obținute.

.
Aplicam regula de diferentiere a functiilor complexe.
.

Să diferențiem următoarea parte.

.
Aplicam regula de diferentiere a functiilor complexe.
.

Acum găsim derivata funcției dorite.

Vezi și: După pregătirea preliminară a artileriei, exemplele cu 3-4-5 cuibări de funcții vor fi mai puțin înfricoșătoare. Poate că următoarele două exemple vor părea complicate unora, dar dacă le înțelegeți (cineva va suferi), atunci aproape orice altceva în calcul diferenţial

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții

Va părea o glumă de copil. După cum sa menționat deja, atunci când găsiți derivata unei funcții complexe, în primul rând, este necesar Corect

1) Mai întâi trebuie să calculăm expresia, ceea ce înseamnă că suma este cea mai profundă încorporare.

2) Apoi trebuie să calculați logaritmul:

4) Apoi cubează cosinusul:

5) La al cincilea pas diferența:

6) Și în sfârșit, funcția cea mai exterioară este rădăcina pătrată:

Formula pentru diferențierea unei funcții complexe sunt aplicate în ordine inversă, de la funcția cea mai exterioară la cea mai interioară. Noi decidem:

Se pare că nu există erori:

1) Luați derivata rădăcinii pătrate.

2) Luați derivata diferenței folosind regula

3) Derivata unui triplu este zero. În al doilea termen luăm derivata gradului (cubul).

4) Luați derivata cosinusului.

6) Și, în sfârșit, luăm derivata celei mai profunde încorporare.

Poate părea prea dificil, dar acesta nu este cel mai brutal exemplu. Luați, de exemplu, colecția lui Kuznetsov și veți aprecia toată frumusețea și simplitatea derivatului analizat. Am observat că le place să dea un lucru similar la un examen pentru a verifica dacă un student înțelege cum să găsească derivata unei funcții complexe sau nu înțelege.

Următorul exemplu este pe care îl puteți rezolva singur.

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții

Sugestie: Mai întâi aplicăm regulile de liniaritate și regula de diferențiere a produsului

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Este timpul să trecem la ceva mai mic și mai frumos.
Nu este neobișnuit ca un exemplu să arate produsul nu a două, ci a trei funcții. Cum să găsiți derivata produsului a trei factori?

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții

Mai întâi, să vedem dacă este posibil să transformăm produsul a trei funcții în produsul a două funcții? De exemplu, dacă am avea două polinoame în produs, am putea deschide parantezele. Dar în exemplul luat în considerare, toate funcțiile sunt diferite: grad, exponent și logaritm.

În astfel de cazuri este necesar secvenţial aplica regula de diferentiere a produselor de două ori

Trucul este că prin „y” notăm produsul a două funcții: , iar cu „ve” notăm logaritmul: . De ce se poate face asta? Este cu adevărat - acesta nu este un produs al doi factori și regula nu funcționează?! Nu este nimic complicat:

Acum rămâne să aplici regula a doua oară la paranteză:

De asemenea, puteți să vă răsuciți și să puneți ceva din paranteze, dar în acest caz este mai bine să lăsați răspunsul exact în această formă - va fi mai ușor de verificat.

Exemplul luat în considerare poate fi rezolvat în al doilea mod:

Ambele soluții sunt absolut echivalente.

Exemplul 5

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă în probă se rezolvă folosind prima metodă.

Să ne uităm la exemple similare cu fracții.

Exemplul 6

Aflați derivata unei funcții

Există mai multe moduri prin care puteți merge aici:

Sau cam asa:

Dar soluția se va scrie mai compact dacă folosim mai întâi regula de diferențiere a coeficientului , luând pentru întregul numărător:

În principiu, exemplul este rezolvat, iar dacă este lăsat așa cum este, nu va fi o eroare. Dar, dacă aveți timp, este întotdeauna indicat să verificați schița pentru a vedea dacă răspunsul poate fi simplificat?

Să reducem expresia numărătorului la un numitor comun și să scăpăm de structura cu trei etaje a fracției:

Dezavantajul simplificărilor suplimentare este că există riscul de a greși nu la găsirea derivatei, ci în timpul transformărilor școlare banale. Pe de altă parte, profesorii resping adesea sarcina și cer să „aducă în minte” derivatul.

Un exemplu mai simplu de rezolvat singur:

Exemplul 7

Aflați derivata unei funcții

Continuăm să stăpânim metodele de găsire a derivatei și acum vom lua în considerare un caz tipic când logaritmul „teribil” este propus pentru diferențiere