AGENȚIA FEDERALĂ PENTRU EDUCAȚIE

INSTITUTUL DE DEZVOLTARE EDUCAȚIONALĂ

„Metode grafice pentru rezolvarea ecuațiilor și inegalităților cu parametri”

Terminat

profesor de matematică

Instituție de învățământ municipal școala Gimnazială Nr.62

Lipetsk 2008

INTRODUCERE................................................. ....... ................................................. ............. .3

X;la) 4

1.1. Transferul paralel............................................................. ... ................................. 5

1.2. Întoarce ................................................. .................................................. ...... 9

1.3. Omotezia. Compresiune la linie dreaptă.................................................. ..... ................. 13

1.4. Două linii drepte pe un plan.................................................. ....... ....................... 15

2. TEHNICI GRAFICE. COORDONATE AVION ( X;O) 17

CONCLUZIE................................................. ................................................. 20

LISTA BIBLIOGRAFICĂ ................................................ ................... ........ 22

INTRODUCERE

Problemele pe care le au școlarii la rezolvarea ecuațiilor nestandardizate și a inegalităților sunt cauzate atât de complexitatea relativă a acestor probleme, cât și de faptul că școala, de regulă, se concentrează pe rezolvarea problemelor standard.

Mulți școlari percep parametrul ca pe un număr „obișnuit”. Într-adevăr, în unele probleme un parametru poate fi considerat o valoare constantă, dar această valoare constantă ia valori necunoscute! Prin urmare, este necesar să se ia în considerare problema pentru toate valorile posibile ale acestei constante. În alte probleme, poate fi convenabil să declarați artificial una dintre necunoscute ca parametru.

Alți școlari tratează un parametru ca pe o cantitate necunoscută și, fără jenă, pot exprima parametrul în termeni de variabilă în răspunsul lor X.

La absolviri si examene de admitere Există în principal două tipuri de probleme cu parametrii. Le puteți distinge imediat după formularea lor. În primul rând: „Pentru fiecare valoare a parametrului, găsiți toate soluțiile unei ecuații sau inegalități.” În al doilea rând: „Găsiți toate valorile parametrului, pentru fiecare dintre care anumite condiții sunt îndeplinite pentru o anumită ecuație sau inegalitate.” În consecință, răspunsurile la problemele acestor două tipuri diferă în esență. Răspunsul la o problemă de primul tip listează toate valorile posibile ale parametrului și pentru fiecare dintre aceste valori sunt scrise soluțiile ecuației. Răspunsul la o problemă de al doilea tip indică toate valorile parametrilor în care sunt îndeplinite condițiile specificate în problemă.

Rezolvarea unei ecuații cu un parametru pentru o valoare fixă ​​dată a parametrului este o astfel de valoare a necunoscutului, atunci când o înlocuiți în ecuație, aceasta din urmă se transformă într-o egalitate numerică corectă. Soluția unei inegalități cu un parametru este determinată în mod similar. Rezolvarea unei ecuații (inegalitate) cu un parametru înseamnă, pentru fiecare valoare admisă a parametrului, găsirea mulțimii tuturor soluțiilor unei ecuații date (inegalitate).

1. TEHNICI GRAFICE. COORDONATE AVION ( X;la)

Alături de tehnicile și metodele analitice de bază pentru rezolvarea problemelor cu parametrii, există modalități de utilizare a interpretărilor vizuale și grafice.

În funcție de rolul căruia i se atribuie parametrul în problemă (inegal sau egal cu variabila), se pot distinge în mod corespunzător două tehnici grafice principale: prima este construirea unei imagini grafice pe planul de coordonate. (X;y), al doilea - pe (X; O).

Pe planul (x; y) funcția y =f (X; O) definește o familie de curbe în funcție de parametru O. Este clar că fiecare familie f are anumite proprietăți. Ne va interesa în primul rând ce fel de transformare plană (translație paralelă, rotație etc.) poate fi folosită pentru a trece de la o curbă a familiei la alta. Fiecare dintre aceste transformări va fi dedicat un paragraf separat. Ni se pare că o astfel de clasificare face mai ușor pentru decident să găsească imaginea grafică necesară. Rețineți că, cu această abordare, partea ideologică a soluției nu depinde de ce figură (linie dreaptă, cerc, parabolă etc.) va fi membru al familiei de curbe.

Desigur, imaginea grafică a familiei nu este întotdeauna y =f (X;O) descris printr-o simplă transformare. Prin urmare, în astfel de situații, este util să ne concentrăm nu asupra modului în care sunt legate curbele aceleiași familii, ci asupra curbelor în sine. Cu alte cuvinte, putem distinge un alt tip de problemă în care ideea unei soluții se bazează în primul rând pe proprietățile formelor geometrice specifice, și nu pe familia în ansamblu. Ce figuri (mai precis, familiile acestor figuri) ne vor interesa în primul rând? Acestea sunt linii drepte și parabole. Această alegere se datorează poziției speciale (de bază) a funcțiilor liniare și pătratice în matematica școlară.

Vorbind despre metodele grafice, este imposibil de evitat o problemă „născută” din practicarea examenelor de concurs. Ne referim la problema rigurozității, și deci a legalității, a unei decizii bazate pe considerente grafice. Fără îndoială, din punct de vedere formal, rezultatul luat din „poză”, nesusținut analitic, nu a fost obținut strict. Totuși, cine, când și unde determină nivelul de rigoare la care ar trebui să respecte un licean? În opinia noastră, cerințele pentru nivelul de rigoare matematică pentru un elev ar trebui să fie determinate de bunul simț. Înțelegem gradul de subiectivitate al unui astfel de punct de vedere. Mai mult, metoda grafică este doar unul dintre mijloacele de claritate. Iar vizibilitatea poate fi înșelătoare..gif" width="232" height="28"> are o singură soluție.

Soluţie. Pentru comoditate, notăm lg b = a. Să scriem o ecuație echivalentă cu cea originală: https://pandia.ru/text/78/074/images/image004_56.gif" width="125" height="92">

Construirea unui grafic al unei funcții cu domeniul definiţiei şi (Fig. 1). Graficul rezultat este o familie de linii drepte y = a trebuie să se intersecteze într-un singur punct. Figura arată că această cerință este îndeplinită numai atunci când a > 2, adică lg b> 2, b> 100.

Răspuns. https://pandia.ru/text/78/074/images/image010_28.gif" width="15 height=16" height="16"> determinați numărul de soluții ale ecuației .

Soluţie. Să diagramăm funcția 102" height="37" style="vertical-align:top">

Să luăm în considerare. Aceasta este o linie dreaptă paralelă cu axa OX.

Răspuns..gif" width="41" height="20">, apoi 3 solutii;

dacă , atunci 2 soluții;

dacă , 4 soluții.

Să trecem la o nouă serie de sarcini..gif" width="107" height="27 src=">.

Soluţie. Să construim o linie dreaptă la= X+1 (Fig. 3)..gif" width="92" height="57">

au o soluție, care este echivalentă pentru ecuația ( X+1)2 = x + O au o rădăcină..gif" width="44 height=47" height="47"> inegalitatea originală nu are soluții. Rețineți că cineva care este familiarizat cu derivata poate obține acest rezultat diferit.

Apoi, deplasând „semi-parabola” la stânga, vom fixa ultimul moment în care graficele la = X+ 1 și au două puncte comune (poziția III). Acest aranjament este asigurat de cerință O= 1.

Este clar că pentru segmentul [ X 1; X 2], unde X 1 și X 2 – abscisele punctelor de intersecție ale graficelor, vor fi soluția inegalității inițiale..gif" width="68 height=47" height="47">, apoi

Când o „semi-parabolă” și o linie dreaptă se intersectează într-un singur punct (aceasta corespunde cazului a > 1), atunci soluția va fi segmentul [- O; X 2"], unde X 2" – cea mai mare dintre rădăcini X 1 și X 2 (pozitia IV).

Exemplul 4..gif" width="85" height="29 src=">.gif" width="75" height="20 src="> . De aici ajungem .

Să ne uităm la funcțiile și . Dintre acestea, doar una definește o familie de curbe. Acum vedem că înlocuirea a adus beneficii neîndoielnice. În paralel, observăm că în problema anterioară, folosind o înlocuire similară, puteți face nu o mișcare „semi-parabolă”, ci o linie dreaptă. Să ne întoarcem la Fig. 4. Evident, dacă abscisa vârfului „semi-parabolei” este mai mare decât unu, adică –3 O > 1, , atunci ecuația nu are rădăcini..gif" width="89" height="29"> și are un caracter diferit de monotonitate.

Răspuns. Dacă atunci ecuația are o rădăcină; dacă https://pandia.ru/text/78/074/images/image039_10.gif" width="141" height="81 src=">

are solutii.

Soluţie. Este clar că familiile directe https://pandia.ru/text/78/074/images/image041_12.gif" width="61" height="52">..jpg" width="259" height="155 " >

Sens k1 vom afla prin substituirea perechii (0;0) in prima ecuatie a sistemului. De aici k1 =-1/4. Sens k 2 obținem cerând din partea sistemului

https://pandia.ru/text/78/074/images/image045_12.gif" width="151" height="47"> când k> 0 au o singură rădăcină. De aici k2= 1/4.

Răspuns. .

Să facem o remarcă. În câteva exemple din acest punct, va trebui să rezolvăm o problemă standard: pentru o familie de linii, găsiți panta acesteia corespunzătoare momentului de tangență cu curba. Vom arăta cum să faceți acest lucru în formă generală folosind derivata.

Dacă (x0; y 0) = centrul de rotație, apoi coordonatele (X 1; la 1) puncte de tangenta cu curba y =f(x) poate fi găsit prin rezolvarea sistemului

Panta necesară k egal cu .

Exemplul 6. Pentru ce valori ale parametrului ecuația are o soluție unică?

Soluţie..gif" width="160" height="29 src=">..gif" width="237" height="33">, arc AB.

Toate razele care trec între OA și OB intersectează arcul AB într-un punct și, de asemenea, intersectează arcul AB OB și OM (tangente) într-un punct..gif" width="16" height="48 src=">. coeficientul tangentei este egal cu

Deci, direct familii https://pandia.ru/text/78/074/images/image059_7.gif" width="139" height="52">.

Răspuns. .

Exemplul 7..gif" width="160" height="25 src="> are o soluție?

Soluţie..gif" width="61" height="24 src="> și scade cu . Punctul este punctul maxim.

O funcție este o familie de linii drepte care trec prin punctul https://pandia.ru/text/78/074/images/image062_7.gif" width="153" height="28"> este arcul AB. Dreptul linii care vor fi situate între drepte OA și OB, satisfac condițiile problemei..gif" width="17" height="47 src=">.

Răspuns..gif" width="15" height="20">nicio soluție.

1.3. Omotezia. Compresie la o linie dreaptă.

Exemplul 8. Câte soluții are sistemul?

https://pandia.ru/text/78/074/images/image073_1.gif" width="41" height="20 src="> sistemul nu are soluții. Pentru un fix a > 0 graficul primei ecuații este un pătrat cu vârfuri ( O; 0), (0;-O), (-o;0), (0;O). Astfel, membrii familiei sunt pătrate homotetice (centrul homotetiei este punctul O(0; 0)).

Să ne întoarcem la Fig. 8..gif" width="80" height="25"> fiecare latură a pătratului are două puncte comune cu cercul, ceea ce înseamnă că sistemul va avea opt soluții. Când cercul se dovedește a fi înscris în pătrat, adică vor fi din nou patru soluții. Evident, sistemul nu are soluții.

Răspuns. Dacă O< 1 или https://pandia.ru/text/78/074/images/image077_1.gif" width="56" height="25 src=">, atunci există patru soluții; dacă , atunci există opt soluții.

Exemplul 9. Găsiți toate valorile parametrului, pentru fiecare dintre ele ecuația este https://pandia.ru/text/78/074/images/image081_0.gif" width="181" height="29 src=">. Luați în considerare funcția ..jpg" width="195" height="162">

Numărul de rădăcini va corespunde cu numărul 8 când raza semicercului este mai mare și mai mică decât , adică. Rețineți că există .

Răspuns. sau .

1.4. Două linii drepte pe un plan

În esență, ideea de a rezolva problemele acestui paragraf se bazează pe problema cercetării poziție relativă doua linii drepte: Şi . Este ușor să arăți soluția la această problemă în formă generală. Ne vom întoarce direct la exemple tipice specifice, care, în opinia noastră, nu vor provoca daune latura comunaîntrebare.

Exemplul 10. Pentru ce face a și b sistemul

https://pandia.ru/text/78/074/images/image094_0.gif" width="160" height="25 src=">..gif" width="67" height="24 src="> , t..gif" width="116" height="55">

Inegalitatea sistemului definește un semiplan cu graniță la= 2x– 1 (Fig. 10). Este ușor de realizat că sistemul rezultat are o soluție dacă linia dreaptă ah +prin = 5 intersectează limita unui semiplan sau, fiind paralel cu acesta, se află în semiplan la– 2x + 1 < 0.

Să începem cu cazul b = 0. Atunci s-ar părea că ecuația Oh+ prin = 5 definește o linie verticală care în mod evident intersectează linia y = 2X - 1. Cu toate acestea, această afirmație este adevărată numai atunci când ..gif" width="43" height="20 src="> sistemul are soluții ..gif" width="99" height="48">. În acest caz, condiția pentru intersecția liniilor este realizată la , adică ..gif" width="52" height="48">.gif" width="41" height="20"> și , sau și , sau și https ://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" height="24 src=">.

− În planul de coordonate xOa construim un grafic al funcției.

− Luați în considerare liniile drepte și selectați acele intervale ale axei Oa la care aceste drepte îndeplinesc următoarele condiții: a) nu intersectează graficul funcției https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0 .gif" width="69" height ="24"> la un punct, c) la două puncte, d) la trei puncte și așa mai departe.

− Dacă sarcina este de a găsi valorile lui x, atunci exprimăm x în termeni de a pentru fiecare dintre intervalele găsite ale valorii lui a separat.

Vizualizarea unui parametru ca o variabilă egală este reflectată în metodele grafice..jpg" width="242" height="182">

Răspuns. a = 0 sau a = 1.

CONCLUZIE

Sperăm ca problemele analizate să demonstreze în mod convingător eficacitatea metodelor propuse. Cu toate acestea, din păcate, domeniul de aplicare al acestor metode este limitat de dificultățile care pot fi întâmpinate la construirea unei imagini grafice. Este chiar atât de rău? Se pare că nu. Într-adevăr, prin această abordare, principala valoare didactică a problemelor cu parametrii ca model de cercetare în miniatură se pierde în mare măsură. Considerațiile de mai sus se adresează însă profesorilor, iar pentru solicitanți formula este destul de acceptabilă: scopul justifică mijloacele. Mai mult, să ne luăm libertatea de a spune că într-un număr considerabil de universități, compilatorii problemelor competitive cu parametri urmează calea de la imagine la stare.

În aceste probleme, am discutat despre posibilitățile de rezolvare a problemelor cu un parametru care ni se deschid atunci când desenăm grafice ale funcțiilor incluse în părțile din stânga și dreapta ale ecuațiilor sau inegalităților pe o bucată de hârtie. Datorită faptului că parametrul poate lua valori arbitrare, unul sau ambele grafice afișate se deplasează într-un anumit mod pe plan. Putem spune că se obține o întreagă familie de grafice corespunzătoare diferitelor valori ale parametrului.

Să subliniem cu tărie două detalii.

În primul rând, nu vorbim despre o soluție „grafică”. Toate valorile, coordonatele, rădăcinile sunt calculate strict, analitic, ca soluții la ecuațiile și sistemele corespunzătoare. Același lucru este valabil și pentru cazurile de atingere sau încrucișare a graficelor. Ele sunt determinate nu de ochi, ci cu ajutorul discriminanților, derivatelor și altor instrumente disponibile. Poza ofera doar o solutie.

În al doilea rând, chiar dacă nu găsești nicio modalitate de a rezolva problema asociată cu graficele afișate, înțelegerea ta asupra problemei se va extinde semnificativ, vei primi informații pentru autotestare și șansele de succes vor crește semnificativ. Înțelegând cu exactitate ce se întâmplă într-o problemă pentru diferite valori ale parametrilor, este posibil să puteți găsi algoritmul corect de soluție.

Prin urmare, vom încheia aceste cuvinte cu o sugestie urgentă: dacă chiar și în cea mai îndepărtată problemă complexă există funcții pentru care știți să desenați grafice, asigurați-vă că o faceți, nu veți regreta.

LISTA BIBLIOGRAFICĂ

1. Cherkasov,: Manual pentru elevii de liceu și solicitanții la universități [Text] /, . – M.: AST-PRESS, 2001. – 576 p.

2. Gorshtein, cu parametri [Text]: ediția a III-a, extinsă și revizuită / , . – M.: Ilexa, Harkov: Gimnaziul, 1999. – 336 p.

Multe sarcini pe care suntem obișnuiți să le calculăm pur algebric pot fi rezolvate mult mai ușor și mai rapid folosind grafice de funcții. Tu spui "cum asa?" desenați ceva și ce să desenați? Crede-mă, uneori este mai convenabil și mai ușor. Să începem? Să începem cu ecuațiile!

Rezolvarea grafică a ecuațiilor

Rezolvarea grafică a ecuațiilor liniare

După cum știți deja, graficul unei ecuații liniare este o linie dreaptă, de unde și numele acestui tip. Ecuațiile liniare sunt destul de ușor de rezolvat algebric - transferăm toate necunoscutele într-o parte a ecuației, tot ce știm în cealaltă și voila! Am găsit rădăcina. Acum vă voi arăta cum să o faceți grafic.

Deci ai ecuația:

Cum să o rezolv?
Opțiunea 1, iar cea mai comună este mutarea necunoscutelor într-o parte și a cunoscutelor în cealaltă, obținem:

Acum să construim. Ce ai primit?

Care crezi că este rădăcina ecuației noastre? Așa este, coordonata punctului de intersecție al graficelor este:

Răspunsul nostru este

Aceasta este toată înțelepciunea soluției grafice. După cum puteți verifica cu ușurință, rădăcina ecuației noastre este un număr!

După cum am spus mai sus, aceasta este cea mai comună opțiune, aproape de o soluție algebrică, dar o puteți rezolva în alt mod. Pentru a considera o soluție alternativă, să revenim la ecuația noastră:

De data aceasta nu vom muta nimic dintr-o parte în alta, ci vom construi graficele direct, deoarece acestea există acum:

Construit? Să vedem!

Care este soluția de data asta? Asta e corect. Același lucru - coordonata punctului de intersecție al graficelor:

Și, din nou, răspunsul nostru este.

După cum puteți vedea, cu ecuații liniare totul este extrem de simplu. Este timpul să ne uităm la ceva mai complex... De exemplu, rezolvarea grafică a ecuațiilor pătratice.

Rezolvarea grafică a ecuațiilor pătratice

Deci, acum să începem să rezolvăm ecuația pătratică. Să presupunem că trebuie să găsiți rădăcinile acestei ecuații:

Desigur, acum poți începe să numeri prin discriminant, sau conform teoremei lui Vieta, dar mulți oameni, din nervi, greșesc la înmulțirea sau la pătrat, mai ales dacă exemplul este cu numere mari și, după cum știi, ai câștigat. Nu am calculator pentru examen... Prin urmare, să încercăm să ne relaxăm puțin și să desenăm în timp ce rezolvăm această ecuație.

Soluțiile la această ecuație pot fi găsite grafic în diferite moduri. Să ne uităm la diferitele opțiuni și o poți alege pe care îți place cel mai mult.

Metoda 1. Direct

Pur și simplu construim o parabolă folosind această ecuație:

Pentru a face acest lucru rapid, vă voi oferi un mic indiciu: Este convenabil să începeți construcția prin determinarea vârfului parabolei. Următoarele formule vor ajuta la determinarea coordonatelor vârfului unei parabole:

Vei spune „Stop! Formula pentru este foarte asemănătoare cu formula pentru găsirea discriminantului”, da, este, și acesta este un dezavantaj uriaș de a construi „direct” o parabolă pentru a-i găsi rădăcinile. Cu toate acestea, haideți să numărăm până la final și apoi vă voi arăta cum să o faceți mult (mult!) mai ușor!

ai numarat? Ce coordonate ai obținut pentru vârful parabolei? Să ne dăm seama împreună:

Exact acelasi raspuns? Bine făcut! Și acum știm deja coordonatele vârfului, dar pentru a construi o parabolă avem nevoie de mai multe... puncte. De câte puncte minime credeți că avem nevoie? Corect,.

Știți că o parabolă este simetrică față de vârful ei, de exemplu:

În consecință, avem nevoie de încă două puncte pe ramura stângă sau dreaptă a parabolei, iar în viitor vom reflecta aceste puncte în mod simetric pe partea opusă:

Să revenim la parabola noastră. Pentru cazul nostru, punct. Mai avem nevoie de două puncte, ca să putem lua cele pozitive, sau putem să luăm cele negative? Ce puncte sunt mai convenabile pentru tine? Este mai convenabil pentru mine să lucrez cu cele pozitive, așa că voi calcula la și.

Acum avem trei puncte, ne putem construi cu ușurință parabola reflectând ultimele două puncte în raport cu vârful său:

Care crezi că este soluția ecuației? Așa e, puncte în care, adică și. Deoarece.

Și dacă spunem asta, înseamnă că trebuie să fie și egală, sau.

Doar? Am terminat de rezolvat ecuația cu tine într-un mod grafic complex, sau vor fi mai multe!

Desigur, puteți verifica răspunsul nostru algebric - puteți calcula rădăcinile folosind teorema lui Vieta sau Discriminant. Ce ai primit? Aceeași? Vezi! Acum să ne uităm la o soluție grafică foarte simplă, sunt sigură că o să-ți placă foarte mult!

Metoda 2. Împărțit în mai multe funcții

Să luăm aceeași ecuație: , dar o vom scrie puțin diferit, și anume:

Putem scrie așa? Putem, deoarece transformarea este echivalentă. Să privim mai departe.

Să construim două funcții separat:

1. - graficul este o parabolă simplă, pe care o puteți construi cu ușurință chiar și fără a defini vârful folosind formule și a întocmi un tabel pentru a determina alte puncte.
2. - graficul este o linie dreaptă, pe care o puteți construi la fel de ușor estimând valorile din cap, fără a apela măcar la un calculator.

Construit? Să comparăm cu ce am primit:

Care credeți că sunt rădăcinile ecuației în acest caz? Corect! Coordonatele obținute prin intersecția a două grafice și, adică:

Prin urmare, soluția acestei ecuații este:

Ce zici? De acord, această metodă de rezolvare este mult mai ușoară decât cea anterioară și chiar mai ușoară decât a căuta rădăcini printr-un discriminant! Dacă da, încercați să rezolvați următoarea ecuație folosind această metodă:

Ce ai primit? Să comparăm graficele noastre:

Graficele arată că răspunsurile sunt:

Te-ai descurcat? Bine făcut! Acum să ne uităm la ecuații puțin mai complicate, și anume, rezolvarea ecuațiilor mixte, adică a ecuațiilor care conțin funcții de diferite tipuri.

Rezolvarea grafică a ecuațiilor mixte

Acum să încercăm să rezolvăm următoarele:

Desigur, puteți aduce totul la un numitor comun, găsiți rădăcinile ecuației rezultate, fără a uita să luați în considerare ODZ, dar din nou, vom încerca să o rezolvăm grafic, așa cum am făcut în toate cazurile anterioare.

De data aceasta, să construim următoarele 2 grafice:

1. - graficul este o hiperbolă
2. - graficul este o linie dreaptă, pe care o puteți construi cu ușurință estimând valorile din cap, fără a apela măcar la un calculator.

Ti-ai dat seama? Acum începe să construiești.

Iată ce am primit:

Privind această imagine, spune-mi care sunt rădăcinile ecuației noastre?

Așa este, și. Iată confirmarea:

Încercați să ne conectați rădăcinile în ecuație. A funcționat?

Asta e corect! De acord, rezolvarea grafică a unor astfel de ecuații este o plăcere!

Încercați să rezolvați singur ecuația grafic:

Vă dau un indiciu: mutați o parte a ecuației în partea dreaptă, astfel încât cele mai simple funcții de construit să fie pe ambele părți. Ai primit indiciu? Luați măsuri!

Acum să vedem ce ai:

Respectiv:

1. - parabola cubica.
2. - linie dreaptă obișnuită.

Ei bine, hai să construim:

După cum ați scris cu mult timp în urmă, rădăcina acestei ecuații este - .

După ce am analizat un număr atât de mare de exemple, sunt sigur că ți-ai dat seama cât de ușor și rapid este să rezolvi ecuațiile grafic. Este timpul să ne dăm seama cum să rezolvi sistemele în acest fel.

Soluția grafică a sistemelor

Rezolvarea grafică a sistemelor nu este în esență diferită de rezolvarea grafică a ecuațiilor. De asemenea, vom construi două grafice, iar punctele lor de intersecție vor fi rădăcinile acestui sistem. Un grafic este o ecuație, al doilea grafic este o altă ecuație. Totul este extrem de simplu!

Să începem cu cel mai simplu lucru - rezolvarea sistemelor de ecuații liniare.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

Să presupunem că avem următorul sistem:

Mai întâi, să-l transformăm astfel încât în ​​stânga să fie tot ceea ce este conectat, iar în dreapta - tot ceea ce este conectat. Cu alte cuvinte, să scriem aceste ecuații ca funcție în forma noastră obișnuită:

Acum construim doar două linii drepte. Care este soluția în cazul nostru? Corect! Punctul de intersecție! Și aici trebuie să fii foarte, foarte atent! Gândește-te, de ce? Permiteți-mi să vă dau un indiciu: avem de-a face cu un sistem: în sistem există ambele și... Ai înțeles?

Asta e corect! Când rezolvăm un sistem, trebuie să ne uităm la ambele coordonate, și nu la fel ca atunci când rezolvăm ecuații! Un alt punct important este să le notăm corect și să nu confundam unde avem sensul și unde este sensul! L-ai notat? Acum să comparăm totul în ordine:

Și răspunsurile: și. Faceți o verificare - înlocuiți rădăcinile găsite în sistem și asigurați-vă că am rezolvat-o corect grafic?

Rezolvarea sistemelor de ecuații neliniare

Ce se întâmplă dacă, în loc de o linie dreaptă, avem ecuație pătratică? E în regulă! Doar construiești o parabolă în loc de o linie dreaptă! Nu mă crezi? Încercați să rezolvați următorul sistem:

Care este următorul nostru pas? Așa este, scrieți-l astfel încât să ne fie convenabil să construim grafice:

Și acum totul este o chestiune de lucruri mici - construiește-l rapid și iată soluția ta! Construim:

Graficele au rezultat la fel? Acum notează soluțiile sistemului din figură și notează corect răspunsurile identificate!

Ai făcut totul? Comparați cu notele mele:

Este totul în regulă? Bine făcut! Deja spargi aceste tipuri de sarcini precum nucile! Dacă da, să vă oferim un sistem mai complicat:

ce facem? Corect! Scriem sistemul astfel încât să fie convenabil să construim:

Vă dau un mic indiciu, deoarece sistemul pare foarte complicat! Când construiți grafice, construiți-le „mai mult” și, cel mai important, nu fiți surprins de numărul de puncte de intersecție.

Deci, hai să mergem! Expirat? Acum începeți să construiți!

Deci cum? Frumos? Câte puncte de intersecție ai obținut? Am trei! Să comparăm graficele noastre:

Asemenea? Acum notați cu atenție toate soluțiile sistemului nostru:

Acum priviți din nou sistemul:

Îți poți imagina că ai rezolvat asta în doar 15 minute? De acord, matematica este încă simplă, mai ales când te uiți la o expresie nu îți este frică să greșești, ci doar iei-o și rezolvi-o! Ești minunat!

Rezolvarea grafică a inegalităților

Rezolvarea grafică a inegalităților liniare

După ultimul exemplu, poți face orice! Acum expiră - în comparație cu secțiunile anterioare, aceasta va fi foarte, foarte ușor!

Vom începe, ca de obicei, cu o soluție grafică a unei inegalități liniare. De exemplu, acesta:

Mai întâi, să efectuăm cele mai simple transformări - deschideți parantezele pătratelor perfecte și prezentăm termeni similari:

Inegalitatea nu este strictă, prin urmare nu este inclusă în interval, iar soluția va fi toate punctele care sunt în dreapta, deoarece mai multe, mai multe și așa mai departe:

Răspuns:

Asta este! Uşor? Să rezolvăm o inegalitate simplă cu două variabile:

Să desenăm o funcție în sistemul de coordonate.

Ai primit un astfel de program? Acum să ne uităm cu atenție la ce inegalitate avem acolo? Mai puțin? Aceasta înseamnă că pictăm peste tot ce se află în stânga liniei noastre drepte. Dacă ar fi mai multe? Așa este, atunci am picta peste tot ce se află în dreapta liniei noastre drepte. Este simplu.

Toate soluțiile la această inegalitate sunt umbrite în portocaliu. Gata, inegalitatea cu doua variabile este rezolvata. Aceasta înseamnă că coordonatele oricărui punct din zona umbrită sunt soluțiile.

Rezolvarea grafică a inegalităților pătratice

Acum vom înțelege cum să rezolvăm grafic inegalitățile pătratice.

Dar înainte de a trece la treabă, să trecem în revistă câteva materiale referitoare la funcția pătratică.

De ce este responsabil discriminatorul? Așa este, pentru poziția graficului față de axă (dacă nu vă amintiți acest lucru, atunci citiți cu siguranță teoria despre funcțiile pătratice).

În orice caz, iată un mic memento pentru tine:

Acum că am reîmprospătat tot materialul din memoria noastră, să trecem la treabă - să rezolvăm inegalitatea grafic.

Vă spun imediat că există două opțiuni pentru a o rezolva.

Opțiunea 1

Scriem parabola noastră ca funcție:

Folosind formulele, determinăm coordonatele vârfului parabolei (exact la fel ca atunci când rezolvăm ecuații patratice):

ai numarat? Ce ai primit?

Acum să luăm încă două puncte diferite și să calculăm pentru ele:

Să începem să construim o ramură a parabolei:

Ne reflectăm simetric punctele pe o altă ramură a parabolei:

Acum să revenim la inegalitatea noastră.

Trebuie să fie mai mic decât zero, respectiv:

Deoarece în inegalitatea noastră semnul este strict mai mic decât, excludem punctele finale - „puncture out”.

Răspuns:

Drum lung, nu? Acum vă voi arăta o versiune mai simplă a soluției grafice folosind exemplul aceleiași inegalități:

Opțiunea 2

Ne întoarcem la inegalitatea noastră și marchem intervalele de care avem nevoie:

De acord, e mult mai rapid.

Să scriem acum răspunsul:

Să luăm în considerare o altă soluție care simplifică partea algebrică, dar principalul lucru este să nu ne confuzi.

Înmulțiți părțile din stânga și din dreapta cu:

Încercați să rezolvați singur următoarea inegalitate pătratică în orice mod doriți: .

Te-ai descurcat?

Uite cum a iesit graficul meu:

Răspuns: .

Rezolvarea grafică a inegalităților mixte

Acum să trecem la inegalități mai complexe!

Cum iti place asta:

Este înfiorător, nu-i așa? Sincer, nu am idee cum să rezolv asta algebric... Dar nu este necesar. Grafic nu este nimic complicat în asta! Ochilor le este frică, dar mâinile fac!

Primul lucru cu care vom începe este prin a construi două grafice:

Nu voi scrie un tabel pentru fiecare - sunt sigur că o puteți face perfect pe cont propriu (wow, sunt atât de multe exemple de rezolvat!).

L-ai vopsit? Acum construiți două grafice.

Să comparăm desenele noastre?

Este la fel și cu tine? Mare! Acum să aranjam punctele de intersecție și să folosim culoarea pentru a determina ce grafic ar trebui să avem mai mare în teorie, adică. Uite ce s-a întâmplat până la urmă:

Acum să ne uităm doar la unde graficul nostru selectat este mai mare decât graficul? Simțiți-vă liber să luați un creion și să pictați peste această zonă! Ea va fi soluția la inegalitatea noastră complexă!

La ce intervale de-a lungul axei suntem situati mai sus de? Corect,. Acesta este răspunsul!

Ei bine, acum poți gestiona orice ecuație, orice sistem și cu atât mai mult orice inegalitate!

SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor folosind grafice de funcții:

1. Să ne exprimăm
2. Să definim tipul funcției
3. Să construim grafice ale funcțiilor rezultate
4. Să găsim punctele de intersecție ale graficelor
5. Să scriem corect răspunsul (ținând cont de semnele ODZ și de inegalitate)
6. Să verificăm răspunsul (înlocuiți rădăcinile în ecuație sau sistem)

Pentru mai multe informații despre construirea graficelor de funcții, consultați subiectul „”.

RĂMĂSUL 2/3 ARTICOLE SUNT DISPONIBILE NUMAI STUDENTILOR YOUCLEVER!

Deveniți student YouClever,

Pregătiți-vă pentru examenul de stat unificat sau examenul de stat unificat la matematică la prețul „o ceașcă de cafea pe lună”,

Și, de asemenea, obțineți acces nelimitat la manualul „YouClever”, Programul de pregătire (registrul de lucru) „100gia”, nelimitat proces Examenul de stat unificatși OGE, 6000 de probleme cu analiza soluțiilor și a altor servicii YouClever și 100gia.

Metoda grafică este una dintre principalele metode de rezolvare a inegalităților pătratice. În articol vom prezenta un algoritm pentru utilizarea metodei grafice, apoi vom analiza cazuri speciale folosind exemple.

Esența metodei grafice

Metoda este aplicabilă pentru rezolvarea oricăror inegalități, nu numai a celor pătratice. Esența sa este următoarea: părțile dreaptă și stângă ale inegalității sunt considerate ca două funcții separate y = f (x) și y = g (x), graficele lor sunt reprezentate într-un sistem de coordonate dreptunghiular și uită-te la care dintre grafice este situat deasupra celuilalt și pe care intervale. Intervalele sunt estimate după cum urmează:

Definiția 1

• soluțiile inegalității f (x) > g (x) sunt intervale în care graficul funcției f este mai mare decât graficul funcției g;
• soluțiile inegalității f (x) ≥ g (x) sunt intervale în care graficul funcției f nu este mai mic decât graficul funcției g;
• soluții la inegalitatea f(x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• soluțiile inegalității f (x) ≤ g (x) sunt intervale în care graficul funcției f nu este mai mare decât graficul funcției g;
• Abcisele punctelor de intersecție ale graficelor funcțiilor f și g sunt soluții ale ecuației f (x) = g (x).

Să ne uităm la algoritmul de mai sus folosind un exemplu. Pentru a face acest lucru, luați inegalitatea pătratică a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) și deducem două funcții din acesta. Partea stângă a inegalității va corespunde cu y = a · x 2 + b · x + c (în acest caz f (x) = a · x 2 + b · x + c), iar partea dreaptă y = 0 ( în acest caz g (x) = 0).

Graficul primei funcții este o parabolă, a doua este o linie dreaptă, care coincide cu axa x O x. Să analizăm poziția parabolei în raport cu axa O x. Pentru a face acest lucru, să facem un desen schematic.

Ramurile parabolei sunt îndreptate în sus. Intersectează axa O x în puncte x 1Şi x 2. Coeficientul a în acest caz este pozitiv, deoarece acesta este responsabil pentru direcția ramurilor parabolei. Discriminantul este pozitiv, indicând faptul că trinomul pătratic are două rădăcini a x 2 + b x + c. Notăm rădăcinile trinomului ca x 1Şi x 2, și s-a acceptat că x 1< x 2 , deoarece un punct cu o abscisă este reprezentat pe axa O x x 1 la stânga punctului de abscisă x 2.

Vom nota părțile parabolei situate deasupra axei O x cu roșu, dedesubt - cu albastru. Acest lucru ne va permite să facem desenul mai vizual.

Să selectăm spațiile care corespund acestor părți și să le marchem în imagine cu câmpuri de o anumită culoare.

Am marcat cu roșu intervalele (− ∞, x 1) și (x 2, + ∞), pe ele parabola fiind deasupra axei O x. Ele sunt a · x 2 + b · x + c > 0. Am marcat cu albastru intervalul (x 1 , x 2) , care este soluția inegalității a · x 2 + b · x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Să facem un scurt rezumat al soluției. Pentru a > 0 și D = b 2 − 4 a c > 0 (sau D " = D 4 > 0 pentru un coeficient par b) obținem:

• decizie inegalitatea pătratică a · x 2 + b · x + c > 0 este (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) sau în altă notație x< x 1 , x >x2;
• soluția inegalității pătratice a · x 2 + b · x + c ≥ 0 este (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) sau în altă notație x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• rezolvarea inegalității pătratice a x 2 + b x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• soluția inegalității pătratice a x 2 + b x + c ≤ 0 este [ x 1 , x 2 ] sau în altă notație x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

unde x 1 și x 2 sunt rădăcinile trinomului pătratic a · x 2 + b · x + c și x 1< x 2 .

În această figură, parabola atinge axa O x numai într-un punct, care este desemnat ca x 0 a > 0. D=0, prin urmare, trinomul pătrat are o rădăcină x 0.

Parabola este situată deasupra axei O x complet, cu excepția punctului de tangență al axei de coordonate. Să colorăm intervalele (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

Să notăm rezultatele. La a > 0Şi D=0:

• rezolvarea inegalității pătratice a x 2 + b x + c > 0 este (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) sau într-o altă notație x ≠ x 0;
• rezolvarea inegalității pătratice a x 2 + b x + c ≥ 0 este (− ∞ , + ∞) sau în altă notație x ∈ R;
• inegalitatea pătratică a x 2 + b x + c< 0 nu are soluții (nu există intervale la care parabola să fie situată sub axă O x);
• inegalitatea pătratică a x 2 + b x + c ≤ 0 are o soluție unică x = x 0(este dat de punctul de contact),

Unde x 0- rădăcina trinomului pătrat a x 2 + b x + c.

Să luăm în considerare al treilea caz, când ramurile parabolei sunt îndreptate în sus și nu ating axa O x. Ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, ceea ce înseamnă că a > 0. Trinomul pătrat nu are rădăcini reale deoarece D< 0 .

Nu există intervale pe grafic la care parabola ar fi sub axa x. Vom ține cont de acest lucru atunci când alegem o culoare pentru desenul nostru.

Se dovedește că atunci când a > 0Şi D< 0 rezolvarea inegalităților pătratice a x 2 + b x + c > 0Şi a x 2 + b x + c ≥ 0 este ansamblul tuturor numere reale, și inegalitățile a x 2 + b x + c< 0 Şi a x 2 + b x + c ≤ 0 nu au solutii.

Mai avem trei opțiuni de luat în considerare atunci când ramurile parabolei sunt îndreptate în jos. Nu este nevoie să ne oprim asupra acestor trei opțiuni în detaliu, deoarece atunci când înmulțim ambele părți ale inegalității cu - 1, obținem o inegalitate echivalentă cu un coeficient pozitiv pentru x 2.

Luarea în considerare a secțiunii anterioare a articolului ne-a pregătit pentru percepția unui algoritm de rezolvare a inegalităților folosind o metodă grafică. Pentru a efectua calcule, va trebui să folosim de fiecare dată un desen, care va reprezenta linia de coordonate O x și o parabolă care corespunde funcției pătratice y = a x 2 + b x + c. În cele mai multe cazuri, nu vom descrie axa O y, deoarece nu este necesară pentru calcule și va supraîncărca doar desenul.

Pentru a construi o parabolă, va trebui să știm două lucruri:

Definiția 2

• direcția ramurilor, care este determinată de valoarea coeficientului a;
• prezența punctelor de intersecție a parabolei și a axei absciselor, care sunt determinate de valoarea discriminantului trinomului pătratic a · x 2 + b · x + c .

Punctele de intersecție și tangență le vom nota în mod obișnuit la rezolvarea inegalităților nestricte și goale la rezolvarea celor stricte.

Având un desen finalizat, vă permite să treceți la următorul pas al soluției. Constă în determinarea intervalelor la care parabola este situată deasupra sau sub axa O x. Intervalele și punctele de intersecție sunt soluția inegalității pătratice. Dacă nu există puncte de intersecție sau de tangență și nu există intervale, atunci se consideră că inegalitatea specificată în condițiile problemei nu are soluții.

Acum să rezolvăm mai multe inegalități pătratice folosind algoritmul de mai sus.

Exemplul 1

Este necesar să se rezolve grafic inegalitatea 2 x 2 + 5 1 3 x - 2.

Soluţie

Să desenăm un grafic al funcției pătratice y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 . Coeficientul la x 2 pozitiv pentru că este egal 2 . Aceasta înseamnă că ramurile parabolei vor fi îndreptate în sus.

Să calculăm discriminantul trinomului pătratic 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 pentru a afla dacă parabola are puncte comune cu axa absciselor. Primim:

D = 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) = 400 9

După cum vedem, D este mai mare decât zero, prin urmare, avem două puncte de intersecție: x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 2 și x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 2, adică x 1 = − 3Şi x 2 = 1 3.

Rezolvăm o inegalitate nestrictă, prin urmare punem puncte obișnuite pe grafic. Să desenăm o parabolă. După cum puteți vedea, desenul are același aspect ca în primul șablon pe care l-am considerat.

Inegalitatea noastră are semnul ≤. Prin urmare, trebuie să evidențiem intervalele de pe grafic în care parabola este situată sub axa O x și să le adăugăm puncte de intersecție.

Intervalul de care avem nevoie este 3, 1 3. Adăugăm puncte de intersecție și obținem un segment numeric - 3, 1 3. Aceasta este soluția la problema noastră. Răspunsul poate fi scris ca o dublă inegalitate: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Răspuns:− 3 , 1 3 sau − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Exemplul 2

− x 2 + 16 x − 63< 0 metoda grafica.

Soluţie

Pătratul variabilei are un coeficient numeric negativ, deci ramurile parabolei vor fi îndreptate în jos. Să calculăm a patra parte a discriminantului D " = 8 2 − (− 1) · (− 63) = 64 − 63 = 1. Acest rezultat ne spune că vor exista două puncte de intersecție.

Să calculăm rădăcinile trinomului pătrat: x 1 = - 8 + 1 - 1 și x 2 = - 8 - 1 - 1, x 1 = 7 și x 2 = 9.

Se pare că parabola intersectează axa x în puncte 7 Şi 9 . Să marchem aceste puncte pe grafic ca goale, deoarece lucrăm cu o inegalitate strictă. După aceasta, desenați o parabolă care intersectează axa O x în punctele marcate.

Ne vor interesa intervalele la care parabola se află sub axa O x. Să marchem aceste intervale cu albastru.

Obținem răspunsul: soluția inegalității este intervalele (− ∞, 7) , (9, + ∞) .

Răspuns:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) sau în altă notație x< 7 , x > 9 .

În cazurile în care discriminantul unui trinom pătratic este zero, este necesar să se analizeze cu atenție dacă se include abscisa punctelor tangente în răspuns. Pentru a lua decizia corectă este necesar să se țină cont de semnul inegalității. În inegalitățile stricte, punctul de tangență al axei x nu este o soluție a inegalității, dar în cele nestrictive este o soluție.

Exemplul 3

Rezolvați inegalitatea pătratică 10 x 2 − 14 x + 4, 9 ≤ 0 metoda grafica.

Soluţie

Ramurile parabolei în acest caz vor fi îndreptate în sus. Va atinge axa O x în punctul 0, 7, deoarece

Să diagramăm funcția y = 10 x 2 − 14 x + 4, 9. Ramurile sale sunt îndreptate în sus, deoarece coeficientul at x 2 pozitiv și atinge axa x în punctul axei x 0 , 7 , pentru că D " = (− 7) 2 − 10 4, 9 = 0, de unde x 0 = 7 10 sau 0 , 7 .

Să punem un punct și să desenăm o parabolă.

Rezolvăm o inegalitate nestrictă cu semn ≤. Prin urmare. Ne vor interesa intervalele la care parabola se află sub axa x și punctul de tangență. Nu există intervale în figură care ne-ar satisface condițiile. Există doar un punct de contact 0, 7. Aceasta este soluția pe care o căutăm.

Răspuns: Inegalitatea are o singură soluție 0, 7.

Exemplul 4

Rezolvați inegalitatea pătratică – x 2 + 8 x − 16< 0 .

Soluţie

Ramurile parabolei sunt îndreptate în jos. Discriminantul este zero. Punct de intersecție x 0 = 4.

Marcam punctul de tangență pe axa x și desenăm o parabolă.

Avem de-a face cu o inegalitate gravă. În consecință, ne interesează intervalele la care parabola este situată sub axa O x. Să le marchem cu albastru.

Punctul cu abscisa 4 nu este o soluție, deoarece parabola de la el nu este situată sub axa O x. În consecință, obținem două intervale (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

Răspuns: (− ∞, 4) ∪ (4, + ∞) sau în altă notație x ≠ 4.

Nu întotdeauna cu valoare negativă inegalitatea discriminantă nu va avea soluții. Există cazuri când soluția este mulțimea tuturor numerelor reale.

Exemplul 5

Rezolvați grafic inegalitatea pătratică 3 x 2 + 1 > 0.

Soluţie

Coeficientul a este pozitiv. Discriminantul este negativ. Ramurile parabolei vor fi îndreptate în sus. Nu există puncte de intersecție ale parabolei cu axa O x. Să ne uităm la desen.

Lucrăm cu inegalitate strictă, care are semnul >. Aceasta înseamnă că ne interesează intervalele la care parabola este situată deasupra axei x. Acesta este exact cazul când răspunsul este mulțimea tuturor numerelor reale.

Răspuns:(− ∞, + ∞) sau așa x ∈ R.

Exemplul 6

Este necesar să găsim o soluție la inegalitate − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0 grafic.

Soluţie

Ramurile parabolei sunt îndreptate în jos. Discriminantul este negativ, prin urmare, nu există puncte comune între parabolă și axa x. Să ne uităm la desen.

Lucrăm cu o inegalitate nestrictă cu semnul ≥, prin urmare, intervalele în care parabola este situată deasupra axei x sunt de interes pentru noi. Judecând după grafic, nu există astfel de lacune. Aceasta înseamnă că inegalitatea dată în condițiile problemei nu are soluții.

Răspuns: Fara solutii.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

L.A. Kustova

profesor de matematică

Voronezh, MBOU Lyceum No. 5

Proiect

„Avantajele metodei grafice pentru rezolvarea ecuațiilor și inegalităților.”

Clasă:

7-11

Articol:

Matematică

Obiectivul cercetării:

Descoperiavantajele metodei grafice de rezolvare a ecuaţiilor şi inegalităţilor.

Ipoteză:

Unele ecuații și inegalități sunt mai ușor și mai plăcut din punct de vedere estetic de rezolvat grafic.

Etape de cercetare:

Comparați metodele de soluție analitică și graficăecuații și inegalități.

Aflați în ce cazuri are avantaje metoda grafică.

Luați în considerare rezolvarea ecuațiilor cu modul și parametru.

Rezultatele cercetării:

1. Frumusețea matematicii este o problemă filozofică.

2.La rezolvarea unor ecuații și inegalități, o soluție graficăcel mai practic și mai atractiv.

3. Puteți aplica atractivitatea matematicii la școală folosind o soluție graficăecuații și inegalități.

„Științele matematice au atras o atenție deosebită încă din cele mai vechi timpuri,

În prezent, ei au primit și mai mult interes în influența lor asupra artei și industriei.”

Pafnutiy Lvovich Cebyshev.

Începând cu clasa a 7-a se au în vedere diverse metode de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților, inclusiv grafice. Cei care cred că matematica este o știință uscată, cred eu, își schimbă părerile când văd cât de frumos pot fi rezolvate unele tipuri.ecuații și inegalități. Permiteți-mi să vă dau câteva exemple:

1).Rezolvați ecuația: = .

O puteți rezolva analitic, adică ridicați ambele părți ale ecuației la a treia putere și așa mai departe.

Metoda grafică este convenabilă pentru această ecuație dacă trebuie pur și simplu să indicați numărul de soluții.

Sarcini similare sunt adesea întâlnite la rezolvarea blocului „geometrie” al OGE de clasa a 9-a.

2).Rezolvați ecuația cu parametrul:

││ x│- 4│= o

Nu cel mai bun exemplu complex, dar dacă rezolvați analitic, va trebui să deschideți parantezele modulului de două ori și pentru fiecare caz să luați în considerare posibilele valori ale parametrului. Grafic totul este foarte simplu. Desenăm grafice de funcții și vedem că:

Surse:

Program de calculatorGrafic avansat .

Lasă f(x,y)Şi g(x, y)- două expresii cu variabile XŞi lași domeniul de aplicare X. Apoi inegalitățile de formă f(x, y) > g(x, y) sau f(x, y) < g(x, y) numit inegalitatea cu două variabile .

Înţeles Variables x, y din multi X, la care inegalitatea devine adevărată inegalitatea numerică, se numește decizie si este desemnat (x, y). Rezolvați inegalitatea - asta înseamnă să găsești multe astfel de perechi.

Dacă fiecare pereche de numere (x, y) din setul de soluții la inegalitate, potriviți punctul M(x, y), obținem mulțimea punctelor de pe planul definit de această inegalitate. Îl sună graficul acestei inegalități . Graficul unei inegalități este de obicei o zonă pe un plan.

Pentru a descrie setul de soluții ale inegalității f(x, y) > g(x, y), procedați după cum urmează. Mai întâi, înlocuiți semnul inegalității cu un semn egal și găsiți o linie care are ecuația f(x,y) = g(x,y). Această linie împarte planul în mai multe părți. După aceasta, este suficient să luați un punct în fiecare parte și să verificați dacă inegalitatea este satisfăcută în acest moment f(x, y) > g(x, y). Dacă este executat în acest punct, atunci va fi executat în toată partea în care se află acest punct. Combinând astfel de piese, obținem multe soluții.

Sarcină. y > x.

Soluţie.În primul rând, înlocuim semnul inegalității cu un semn egal și construim o linie într-un sistem de coordonate dreptunghiular care are ecuația y = x.

Această linie împarte planul în două părți. După aceasta, luați câte un punct în fiecare parte și verificați dacă inegalitatea este satisfăcută în acest moment y > x.

Sarcină. Rezolvați grafic inegalitatea
X 2 + la 2 25 GBP.

Orez. 18.

Soluţie.În primul rând, înlocuiți semnul inegalității cu un semn egal și trageți o linie X 2 + la 2 = 25. Acesta este un cerc cu un centru la origine și o rază de 5. Cercul rezultat împarte planul în două părți. Verificarea satisfacabilității inegalității X 2 + la 2 £ 25 în fiecare parte, aflăm că graficul este un set de puncte pe un cerc și părți dintr-un plan în interiorul cercului.

Să fie date două inegalități f 1(x, y) > g 1(x, y)Şi f 2(x, y) > g 2(x, y).

Sisteme de mulțimi de inegalități cu două variabile

Sistemul de inegalități reprezintă te conjuncţia acestor inegalităţi. Soluție de sistem este orice sens (x, y), care transformă fiecare dintre inegalități într-o adevărată inegalitate numerică. Multe solutii sisteme inegalitățile este intersecția unor mulțimi de soluții ale inegalităților care formează un sistem dat.

Set de inegalități reprezintă te disjuncția acestora inegalităților Setați soluția este orice sens (x, y), care convertește cel puțin una dintre mulțimea de inegalități într-o inegalitate numerică adevărată. Multe solutii totalitate este o uniune de mulțimi de soluții ale inegalităților care formează o mulțime.

Sarcină. Rezolvați grafic sistemul de inegalități

Soluţie. y = xŞi X 2 + la 2 = 25. Rezolvăm fiecare inegalitate a sistemului.

Graficul sistemului va fi mulțimea de puncte din plan care sunt intersecția (hașurarea dublă) a mulțimilor de soluții ale primei și celei de-a doua inegalități.

Sarcină. Rezolvați grafic un set de inegalități

Soluţie.În primul rând, înlocuim semnul inegalității cu un semn egal și desenăm linii într-un sistem de coordonate y = x+ 4 și X 2 + la 2 = 16. Rezolvați fiecare inegalitate din populație. Graficul populației va fi un set de puncte din plan, care sunt unirea mulțimilor de soluții ale primei și celei de-a doua inegalități.

Exerciții pentru munca independentă

1. Rezolvați grafic inegalitățile: a) la> 2x; b) la< 2x + 3;

V) x 2+ y 2 > 9; G) x 2+ y 2 4 GBP.

2. Rezolvați grafic sisteme de inegalități:

a) b)