Gradul al N-lea dintr-un număr real, a notat că din orice nu număr negativ poți extrage rădăcina oricărui grad (al doilea, al treilea, al patrulea etc.), iar dintr-un număr negativ poți extrage rădăcina oricărui grad impar. Dar atunci ar trebui să vă gândiți la o funcție a formei , la graficul ei, la proprietățile sale. Aceasta este ceea ce vom face în acest paragraf. Mai întâi să vorbim despre funcția în cazul valorilor nenegative argument.

Să începem cu cazul pe care îl cunoașteți, când n = 2, adică. din funcția din fig. 166 prezintă graficul funcției și graficul funcției y = x 2, x>0. Ambele grafice reprezintă aceeași curbă - o ramură a unei parabole, situată doar diferit pe planul de coordonate. Să lămurim: aceste grafice sunt simetrice față de linia dreaptă y = x, deoarece constau din puncte care sunt simetrice între ele în raport cu linia dreaptă specificată. Uită-te: pe ramura considerată a parabolei y = x 2 se află punctele (0; 0), (1; 1), (2; 4), (3; 9), (4; 16), iar pe funcția grafic sunt punctele (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (16; 4).

Punctele (2; 4) și (4; 2), (3; 9) și (9; 3), (4; 16) și (16; 4) sunt simetrice față de dreapta y = x, (și punctele (0) ; 0 ) și (1; 1) se află pe această linie). Și, în general, pentru orice punct (a; a 2). graficul funcției y = x 2 este un punct (a 2 ; a) simetric față de acesta față de dreapta y = x pe graficul funcției și invers. Următoarea teoremă este adevărată.

Dovada. Pentru certitudine, presupunem că a și b sunt numere pozitive. Luați în considerare triunghiurile OAM și OVR (Fig. 167). Ele sunt egale, ceea ce înseamnă OP = OM și . Dar atunci întrucât dreapta y = x este bisectoarea unghiului AOB. Deci, triunghiul ROM este isoscel, OH este bisectoarea sa și, prin urmare, axa de simetrie. Punctele M și P sunt simetrice față de dreapta OH, ceea ce trebuia demonstrat.
Deci, graficul funcției poate fi obținut din graficul funcției y = x 2, x>0 folosind o transformare de simetrie în jurul dreptei y = x. În mod similar, graficul unei funcții poate fi obținut din graficul funcției y = x 3, x> 0 folosind o transformare de simetrie în jurul dreptei y = x; graficul unei funcții poate fi obținut din graficul unei funcții folosind o transformare de simetrie în jurul dreptei y = x etc. Să ne amintim că graficul unei funcții seamănă în aparență cu ramura unei parabole Cu cât n este mai mare, cu atât această ramură se grăbește în sus în interval și cu cât se apropie mai mult de axa x în vecinătatea punctului x = 0 (Fig. . 168).

Să formulăm o concluzie generală: graficul funcției este simetric cu graficul funcției raportat la dreapta y = x (Fig. 169).

Proprietățile funcției

1)
2) funcția nu este nici pară, nici impară;
3) crește cu
4) nelimitat de sus, limitat de jos;
5) nu are cea mai mare semnificație;
6) continuu;
7)

Acordați atenție unei circumstanțe curioase. Să luăm în considerare două funcții, ale căror grafice sunt prezentate în Fig. 169: Tocmai am enumerat șapte proprietăți pentru prima funcție, dar a doua funcție are absolut aceleași proprietăți. „Portretele” verbale a două funcții diferite sunt aceleași. Dar, să lămurim, sunt în continuare la fel.

Matematicienii nu au putut suporta o asemenea nedreptate atunci când diferite funcții cu grafice diferite sunt descrise verbal în același mod și au introdus conceptele de convexitate ascendentă și convexitate descendentă. Graficul funcției este convex în sus, în timp ce graficul funcției y = x n este convex în jos.

Se spune de obicei că o funcție continuă este convexă în jos dacă, prin conectarea oricăror două puncte ale graficului său cu un segment de linie dreaptă, se descoperă că partea corespunzătoare a graficului se află sub segmentul desenat (Fig. 170); o funcție continuă este convexă în sus dacă, prin conectarea oricăror două puncte ale graficului său cu un segment de linie dreaptă, se descoperă că partea corespunzătoare a graficului se află deasupra segmentului desenat (Fig. 171).

Vom include în continuare proprietatea convexității în procedura de citire a unui grafic. Să o notăm” (continuând numerotarea proprietăților descrise mai devreme) pentru funcția luată în considerare:

8) funcția este convexă în sus pe rază
În capitolul anterior, ne-am familiarizat cu o altă proprietate a unei funcții - derivabilitatea am văzut că funcția y = x n este derivabilă în orice punct, derivata ei este egală cu nx n-1; Din punct de vedere geometric, aceasta înseamnă că în orice punct al graficului funcției y = x n se poate desena o tangentă la ea. Graficul unei funcții are și el aceeași proprietate: în orice punct este posibil să se deseneze o tangentă la grafic. Astfel, putem observa încă o proprietate a funcției
9) funcția este diferențiabilă în orice punct x > 0.
Vă rugăm să rețineți: nu vorbim despre diferențiabilitatea funcției în punctul x = 0 - în acest punct tangenta la graficul funcției coincide cu axa y, adică. perpendicular pe axa x.
Exemplul 1. Reprezentați grafic o funcție
Soluţie. 1) Să trecem la un sistem de coordonate auxiliar cu originea în punctul (-1; -4) - linii punctate x = -1 și y = -4 în Fig. 172.
2) „Leagă” funcția la sistem nou coordonate Acesta va fi programul necesar.
Exemplul 2. Rezolvați ecuația

Soluţie. Prima cale. 1) Să introducem două funcții
2) Să diagramăm funcția

3) Să construim un grafic funcţie liniară y=2x (vezi Fig. 173).

4) Graficele construite se intersectează într-un punct A, iar din grafic putem presupune că coordonatele punctului A sunt următoarele: (1; 1). Verificarea arată că de fapt punctul (1; 1) aparține atât graficului funcției, cât și graficului funcției y=2-x. Aceasta înseamnă că ecuația noastră are o rădăcină: x = 1 - abscisa punctului A.

A doua cale.
Modelul geometric prezentat în Fig. 173, este ilustrat clar de următoarea afirmație, care vă permite uneori să rezolvați foarte elegant ecuația (și pe care am folosit-o deja în § 35 când rezolvam Exemplul 2):

Dacă funcția y=f(x) crește, iar funcția y=g(x) scade și dacă ecuația f(x)=g(x) are rădăcină, atunci există doar una.

Iată cum, pe baza acestei afirmații, putem rezolva ecuația dată:

1) rețineți că pentru x = 1 egalitatea este valabilă, ceea ce înseamnă că x = 1 este rădăcina ecuației (am ghicit această rădăcină);
2) funcția y=2-x scade, iar funcția crește; Aceasta înseamnă că ecuația dată are o singură rădăcină, iar această rădăcină este valoarea x = 1 găsită mai sus.

Răspuns: x = 1.

Până acum am vorbit despre funcție doar pentru valorile argumentelor nenegative. Dar dacă n este un număr impar, expresia are sens și pentru x<0. Значит, есть смысл поговорить о функции в случае нечетного п для любых значений х.

De fapt, la cele enumerate se va adăuga o singură proprietate:

dacă n este un număr impar (n = 3,5, 7,...), atunci este o funcție impară.

De fapt, astfel de transformări să fie adevărate pentru un exponent impar n. Deci, f(-x) = -f(x), iar aceasta înseamnă că funcția este impară.

Cum arată graficul unei funcții în cazul unui exponent impar n? Când așa cum se arată în fig. 169, este o ramură a graficului dorit. Adăugând la aceasta o ramură care este simetrică față de originea coordonatelor (care, reamintim, este tipică pentru orice funcție impară), obținem un grafic al funcției (Fig. 174). Rețineți că axa y este tangentă la grafic la x = 0.
Așa că hai să repetăm:
dacă n este un număr par, atunci graficul funcției are forma prezentată în Fig. 169;
dacă n este un număr impar, atunci graficul funcției are forma prezentată în Fig. 174.

Exemplul 3. Construiți și citiți un grafic al funcției y = f(x), unde
Soluţie. Mai întâi, să construim un grafic al funcției și să evidențiem o parte din acesta pe rază (Fig. 175).
Apoi vom construi un grafic al funcției și vom selecta partea acesteia pe fasciculul deschis (Fig. 176). În cele din urmă, vom reprezenta ambele „piese” în același sistem de coordonate - acesta va fi graficul funcției y = f(x) (Fig. 177).
Să enumerăm (pe baza graficului trasat) proprietățile funcției y = f(x):

1)
2) nici par, nici impar;
3) scade pe rază, crește pe rază
4) nelimitat de jos, limitat de sus;
5) nu există o valoare minimă, a (realizat la punctul x = 1);
6) continuu;
7)
8) convex în jos la , convex în sus pe segmentul , convex în jos la
9) funcția este diferențiabilă peste tot, cu excepția punctelor x = 0 și x = 1.
10) graficul funcției are o asimptotă orizontală, ceea ce înseamnă, reamintim că

Exemplul 4. Găsiți domeniul unei funcții:

Soluţie, a) Sub semnul rădăcinii de gradul par trebuie să existe un număr nenegativ, ceea ce înseamnă că problema se rezumă la rezolvarea inegalității
b) Orice număr poate fi sub semnul unei rădăcini impare, ceea ce înseamnă că aici nu sunt impuse restricții pentru x, adică. D(f) = R.
c) Expresia are sens cu condiția ca o expresie să însemne că două inegalități trebuie satisfăcute simultan: aceste. problema se rezumă la rezolvarea sistemului de inegalități:

Rezolvarea inegalității
Să rezolvăm inegalitatea Să factorizăm partea stângă a inegalității: Partea stângă a inegalității se transformă în 0 la punctele -4 și 4. Să marchem aceste puncte pe dreapta numerică (Fig. 178). Linia numerică se împarte la punctele indicate în trei intervale, iar la fiecare interval expresia p(x) = (4-x)(4 + x) păstrează un semn constant (semnele sunt indicate în Fig. 178). Intervalul peste care se aplică inegalitatea p(x)>0 este umbrit în Fig. 178. După condițiile problemei, ne interesează și acele puncte x la care se realizează egalitatea p(x) = 0 Există două astfel de puncte: x = -4, x = 4 - sunt marcate în Fig . 178 de cearcăne. Astfel, în fig. 178 prezintă un model geometric pentru rezolvarea celei de-a doua inegalități a sistemului.

Să marchem soluțiile găsite la prima și a doua inegalități ale sistemului pe aceeași linie de coordonate, folosind hașura superioară pentru prima și hașura inferioară pentru a doua (Fig. 179). Soluția sistemului de inegalități va fi intersecția soluțiilor inegalităților sistemului, i.e. intervalul în care ambele hașuri coincid. Un astfel de decalaj este segmentul [-1, 4].

Răspuns. D(f) = [-1,4].

A.G. Mordkovich Algebra clasa a X-a

Calendar-planificare tematică în matematică, videoîn matematică online, Matematică la școală

Municipal instituție de învățământ

medie școală gimnazială №1

Artă. Bryukhovetskaya

municipalitate districtul Bryukhovetsky

Profesor de matematică

Gucenko Angela Viktorovna

2014

Funcția y =
, proprietățile și graficul acestuia

Tip de lecție: învăţarea de materiale noi

Obiectivele lecției:

Probleme rezolvate la lecție:

învață elevii să lucreze independent;

face presupuneri și presupuneri;

să poată generaliza factorii studiati.

Echipament: tablă, cretă, proiector multimedia, fișe

Momentul lecției.

Stabilirea temei lecției împreună cu elevii -1 min.

Determinarea scopurilor și obiectivelor lecției împreună cu elevii -1 min.

Actualizarea cunoștințelor (studiu frontal) –3 min.

Lucrare orala -3 min.

Explicarea noului material bazat pe crearea de situații problematice -7 min.

Fizminutka –2 min.

Trasarea unui grafic împreună cu clasa, întocmirea construcției în caiete și determinarea proprietăților unei funcții, lucrul cu un manual -10 min.

Consolidarea cunoștințelor dobândite și exersarea abilităților de transformare a graficelor -9 min .

Rezumând lecția, oferind feedback -3 min.

Teme pentru acasă -1 min.

Total 40 de minute.

Progresul lecției.

Stabilirea temei lecției împreună cu elevii (1 min).

Tema lecției este determinată de elevi folosind întrebări de ghidare:

funcţie- munca efectuată de un organ, organismul în ansamblu.

funcţie- posibilitatea, opțiunea, priceperea unui program sau dispozitiv.

funcţie- sarcina, gama de activitati.

funcţie personaj dintr-o operă literară.

funcţie- tip de subrutină în informatică

funcţieîn matematică – legea dependenței unei cantități de alta.

Determinarea scopurilor și obiectivelor lecției împreună cu elevii (1 min).

Profesorul, cu ajutorul elevilor, formulează și pronunță scopurile și obiectivele acestei lecții.

Actualizarea cunoștințelor (studiu frontal – 3 min).

Lucru oral – 3 min.

Lucru frontal.

(A și B aparțin, C nu)

Explicarea materialului nou (pe baza creării de situații problematice – 7 min).

Situatie problematica: descrie proprietățile unei funcții necunoscute.

Împărțiți clasa în echipe de 4-5 persoane, distribuiți formulare pentru a răspunde la întrebările adresate.

Formularul nr. 1

y=0, cu x=?

Domeniul de aplicare al funcției.

Set de valori ale funcției.

Unul dintre reprezentanții echipei răspunde la fiecare întrebare, restul echipelor votează „pentru” sau „împotrivă” cu cartonașe de semnalizare și, dacă este necesar, completează răspunsurile colegilor de clasă.

Împreună cu clasa, trageți o concluzie despre domeniul definiției, setul de valori și zerourile funcției y=.

Situatie problematica : încercați să construiți un grafic al unei funcții necunoscute (există o discuție în echipe, se caută o soluție).

Profesorul reamintește algoritmul pentru construirea graficelor de funcții. Elevii din echipe încearcă să descrie graficul funcției y= pe formulare, apoi schimbă formulare între ei pentru autotestare și testare reciprocă.

Fizminutka (Clown)

Construirea unui grafic împreună cu clasa cu designul în caiete – 10 min.

După o discuție generală, sarcina de a construi un grafic al funcției y= este finalizată individual de fiecare elev într-un caiet. În acest moment, profesorul oferă asistență diferențiată elevilor. După ce elevii termină sarcina, graficul funcției este afișat pe tablă și elevii sunt rugați să răspundă la următoarele întrebări:

Concluzie: Împreună cu elevii, trageți o concluzie despre proprietățile funcției și citiți-le din manual:

Consolidarea cunoștințelor dobândite și exersarea abilităților de transformare grafică – 9 min.

Elevii lucrează pe cardul lor (după opțiuni), apoi se schimbă și se verifică reciproc. Ulterior, graficele sunt afișate pe tablă, iar elevii își evaluează munca comparând-o cu tabla.

Cardul nr. 1

Cardul nr. 2

Concluzie: despre transformările grafice

1) transfer paralel de-a lungul axei op-amp

2) deplasarea de-a lungul axei OX.

9. Rezumarea lecției, oferirea de feedback – 3 min.

Slide-uri – introduceți cuvintele lipsă

Domeniul de definire al acestei funcții, cu excepția tuturor numerelor ...(negativ).

Graficul funcției este situat în... (eu) sferturi.

Când argumentul x = 0, valoarea... (funcții) y =... (0).

Cea mai mare valoare a funcției... (nu exista) cea mai mică valoare - …(egale cu 0)

10. Tema pentru acasă (cu comentarii – 1 min).

Conform manualului- §13

Conform cărții cu probleme– Nr. 13.3, Nr. 74 (repetarea ecuațiilor pătratice incomplete)

Se consideră funcția y=√x. Graficul acestei funcții este prezentat în figura de mai jos.

Graficul funcției y=√x

După cum puteți vedea, graficul seamănă cu o parabolă rotită, sau mai degrabă cu una dintre ramurile sale. Obținem o ramură a parabolei x=y^2. Din figură reiese clar că graficul atinge axa Oy o singură dată, în punctul cu coordonatele (0;0).
Acum merită remarcat principalele proprietăți ale acestei funcții.

Proprietățile funcției y=√x

1. Domeniul de definire al unei funcții este o rază)