Kur një nxënës kalon në shkollën e mesme, matematika ndahet në 2 lëndë: algjebër dhe gjeometri. Ka gjithnjë e më shumë koncepte, detyrat po bëhen më të vështira. Disa njerëz kanë vështirësi të kuptojnë thyesat. Humba mësimin e parë mbi këtë temë, dhe voila. thyesa? Një pyetje që do të mundojë gjatë gjithë jetës shkollore.

Koncepti i thyesës algjebrike

Le të fillojmë me një përkufizim. Nën thyesa algjebrike Kuptohen shprehjet P/Q, ku P është numëruesi dhe Q është emëruesi. Një numër, një shprehje numerike, një shprehje numerike-alfabetike mund të fshihet nën një hyrje alfabetike.

Para se të pyesni se si të zgjidhni thyesat algjebrike, së pari duhet të kuptoni se një shprehje e tillë është pjesë e një tërësie.

Si rregull, e tëra është 1. Numri në emërues tregon se në sa pjesë është ndarë njësia. Numëruesi është i nevojshëm për të gjetur se sa elementë janë marrë. Shiriti thyesor korrespondon me shenjën e ndarjes. Lejohet të regjistrohet një shprehje thyesore si një veprim matematikor "Ndarja". Në këtë rast, numëruesi është dividenti, emëruesi është pjesëtuesi.

Rregulli themelor për thyesat e zakonshme

Kur nxënësit e kalojnë këtë temë në shkollë, atyre u jepen shembuj për t'u përforcuar. Për t'i zgjidhur ato në mënyrë korrekte dhe për të gjetur mënyra të ndryshme për të dalë nga situata të vështira, duhet të zbatoni vetinë bazë të thyesave.

Duket kështu: Nëse shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me të njëjtin numër ose shprehje (përveç zeros), atëherë vlera e një thyese të zakonshme nuk do të ndryshojë. Një rast i veçantë i këtij rregulli është ndarja e të dy pjesëve të shprehjes në të njëjtin numër ose polinom. Transformime të tilla quhen barazi identike.

Më poshtë do të shqyrtojmë se si të zgjidhim mbledhjen dhe zbritjen e thyesave algjebrike, për të kryer shumëzimin, pjesëtimin dhe zvogëlimin e thyesave.

Veprime matematikore me thyesa

Konsideroni se si të zgjidhni vetinë kryesore të një thyese algjebrike, si ta zbatoni atë në praktikë. Nëse ju duhet të shumëzoni dy thyesa, t'i shtoni ato, të ndani njërën me tjetrën ose të zbrisni, duhet të ndiqni gjithmonë rregullat.

Pra, për veprimin e mbledhjes dhe zbritjes duhet gjetur një faktor shtesë për të sjellë shprehjet në një emërues të përbashkët. Nëse fillimisht thyesat janë dhënë me të njëjtat shprehje Q, atëherë duhet të hiqni këtë artikull. Kur gjendet një emërues i përbashkët, si të zgjidhen thyesat algjebrike? Shtoni ose zbritni numërues. Por! Duhet mbajtur mend se nëse ka një shenjë "-" përpara thyesës, të gjitha shenjat në numërues janë të kundërta. Ndonjëherë nuk duhet të kryeni asnjë zëvendësim dhe operacion matematikor. Mjafton të ndryshosh shenjën përpara thyesës.

Termi përdoret shpesh si reduktimi i fraksionit. Kjo do të thotë si vijon: nëse numëruesi dhe emëruesi ndahen me një shprehje të ndryshme nga uniteti (e njëjtë për të dy pjesët), atëherë fitohet një thyesë e re. Dividenti dhe pjesëtuesi janë më të vogla se më parë, por për shkak të rregullit bazë të thyesave, ato mbeten të barabarta me shembullin origjinal.

Qëllimi i këtij operacioni është të përftojë një shprehje të re të pareduktueshme. Ky problem mund të zgjidhet duke reduktuar numëruesin dhe emëruesin me pjesëtuesin më të madh të përbashkët. Algoritmi i funksionimit përbëhet nga dy pika:

1. Gjetja e GCD për të dy pjesët e një thyese.
2. Pjesëtimi i numëruesit dhe emëruesi me shprehjen e gjetur dhe marrja e një thyese të pakalueshme të barabartë me atë të mëparshme.

Tabela më poshtë tregon formulat. Për lehtësi, mund ta printoni dhe ta mbani me vete në një fletore. Sidoqoftë, në mënyrë që në të ardhmen, kur zgjidhni një test ose provim, të mos ketë vështirësi në pyetjen se si të zgjidhni thyesat algjebrike, këto formula duhet të mësohen përmendësh.

Disa shembuj me zgjidhje

Nga pikëpamja teorike, shqyrtohet çështja se si të zgjidhen thyesat algjebrike. Shembujt e dhënë në artikull do t'ju ndihmojnë të kuptoni më mirë materialin.

1. Shndërroni thyesat dhe sillni në një emërues të përbashkët.

2. Shndërroni thyesat dhe sillni në një emërues të përbashkët.

Pas studimit të pjesës teorike dhe shqyrtimit të çështjeve praktike, nuk duhet të lindin më pyetje.

Ka kuptim të flasim veprimet me thyesat algjebrike. Veprimet e mëposhtme përcaktohen me thyesat algjebrike: mbledhje, zbritje, shumëzim, pjesëtim dhe ngritje në shkallë natyrore. Për më tepër, të gjitha këto veprime janë të mbyllura, në kuptimin që si rezultat i ekzekutimit të tyre, fitohet një thyesë algjebrike. Le të analizojmë secilën prej tyre me radhë.

Po, menjëherë vlen të përmendet se veprimet me thyesat algjebrike janë përgjithësime të veprimeve përkatëse me thyesat e zakonshme. Prandaj, rregullat përkatëse pothuajse fjalë për fjalë përkojnë me rregullat për kryerjen e mbledhjes dhe zbritjes, shumëzimit, pjesëtimit dhe ngritjes në një fuqi të thyesave të zakonshme.

Navigimi i faqes.

Mbledhja e thyesave algjebrike

Mbledhja e çdo thyese algjebrike përshtatet me njërën nga dy rastet e mëposhtme: në të parën shtohen thyesat me emërues të njëjtë, në të dytën me të ndryshëm. Le të fillojmë me rregullin e mbledhjes së thyesave me emërues të njëjtë.

Për të shtuar thyesa algjebrike me emërues të njëjtë, duhet të shtoni numëruesit dhe të lini emëruesin të njëjtë.

Rregulli i shprehur ju lejon të kaloni nga shtimi i thyesave algjebrike në shtimin e polinomeve që janë në numërues. Për shembull, .

Për të shtuar thyesat algjebrike me emërues të ndryshëm, duhet të veproni sipas rregullit të mëposhtëm: sillni ato në një emërues të përbashkët dhe më pas shtoni thyesat që rezultojnë me emërues të njëjtë.

Për shembull, kur mblidhen thyesat algjebrike dhe ato së pari duhet të sillen në një emërues të përbashkët, si rezultat ata do të marrin formën dhe përkatësisht pas së cilës kryhet mbledhja e këtyre thyesave me emërues të njëjtë: .

Zbritja

Hapi tjetër, zbritja e thyesave algjebrike, kryhet në të njëjtën mënyrë si mbledhja. Nëse emëruesit e thyesave algjebrike origjinale janë të njëjta, atëherë thjesht duhet të zbrisni polinomet në numërues dhe të lini emëruesin të njëjtë. Nëse emëruesit janë të ndryshëm, atëherë së pari kryhet reduktimi në një emërues të përbashkët, pas së cilës zbriten thyesat që rezultojnë me emërues të njëjtë.

Le të japim shembuj.

Le të zbresim thyesat algjebrike dhe , emëruesit e tyre janë të njëjtë, prandaj . Pjesa algjebrike që rezulton mund të reduktohet më tej: .

Tani zbritni thyesën nga thyesa. Këto janë thyesa algjebrike me emërues të ndryshëm, prandaj, së pari i sjellim në një emërues të përbashkët, i cili në këtë rast është 5 x (x-1) , kemi dhe . Mbetet për të bërë zbritjen:

Shumëzimi i thyesave algjebrike

Thyesat algjebrike mund të shumëzohen. Ky veprim kryhet në mënyrë të ngjashme me shumëzimin e thyesave të zakonshme sipas rregullit të mëposhtëm: për të shumëzuar thyesat algjebrike, duhet të shumëzoni numëruesit veç e veç, dhe veçmas emëruesit.

Le të marrim një shembull. Shumëzoni një thyesë algjebrike me një thyesë. Sipas rregullit të deklaruar, ne kemi . Mbetet për të kthyer fraksionin që rezulton në një fraksion algjebrik, për këtë, në këtë rast, duhet të kryeni shumëzimin e një monomi dhe një polinomi (dhe në rastin e përgjithshëm, shumëzimi i polinomeve) në numërues dhe emërues: .

Vlen të përmendet se para shumëzimit të thyesave algjebrike, është e dëshirueshme të faktorizohen polinomet që janë në numëruesit dhe emëruesit e tyre. Kjo është për shkak të mundësisë së zvogëlimit të fraksionit që rezulton. Për shembull,
.

Ky veprim diskutohet më në detaje në artikull.

Divizioni

Kalojmë te veprimet me thyesa algjebrike. Më pas është ndarja e thyesave algjebrike. Rregulli i mëposhtëm e zvogëlon ndarjen e thyesave algjebrike në shumëzim: për të pjesëtuar një thyesë algjebrike me një tjetër, duhet të shumëzoni thyesën e parë me reciprocitetin e të dytës.

Një thyesë algjebrike e anasjelltë me një thyesë të caktuar kuptohet si një thyesë me numëruesin dhe emëruesin të rirregulluar. Me fjalë të tjera, dy thyesa algjebrike konsiderohen reciprokisht të anasjellta nëse produkti i tyre është identikisht i barabartë me një (në analogji me).

Le të marrim një shembull. Le të bëjmë ndarjen . Reciprociteti i pjesëtuesit është . Në këtë mënyrë, .

Për informacion më të detajuar, referojuni artikullit të përmendur në paragrafin e mëparshëm Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave algjebrike.

Ngritja e një thyese algjebrike në një fuqi

Së fundi, kalojmë në veprimin e fundit me thyesat algjebrike - duke u ngritur në një fuqi natyrore. , si dhe mënyra se si e përkufizuam shumëzimin e thyesave algjebrike, na lejon të shkruajmë rregullin për ngritjen e një thyese algjebrike në një fuqi: ju duhet të ngrini veçmas numëruesin në këtë fuqi, dhe veçmas emëruesin.

Le të tregojmë një shembull të këtij veprimi. Le të ngremë një thyesë algjebrike në fuqinë e dytë. Sipas rregullit të mësipërm kemi . Mbetet për të ngritur monomin në numërues në një fuqi, dhe gjithashtu për të ngritur polinomin në emërues në një fuqi, e cila do të japë një pjesë algjebrike të formës .

Zgjidhja e shembujve të tjerë karakteristikë tregohet në artikullin për ngritjen e një thyese algjebrike në një fuqi.

Bibliografi.

• Algjebra: teksti shkollor për 8 qeliza. arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M. : Arsimi, 2008. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algjebër. klasën e 8-të. Në orën 14:00 Pjesa 1. Një libër shkollor për studentët e institucioneve arsimore / A. G. Mordkovich. - Botimi i 11-të, i fshirë. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 f.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematikë (një manual për aplikantët në shkollat ​​teknike): Proc. shtesa.- M.; Më e lartë shkolla, 1984.-351 f., ill.

E drejta e autorit nga studentë të zgjuar

Të gjitha të drejtat e rezervuara.
Mbrojtur nga ligji për të drejtën e autorit. Asnjë pjesë e faqes, duke përfshirë materialet e brendshme dhe dizajnin e jashtëm, nuk mund të riprodhohet në asnjë formë ose të përdoret pa lejen paraprake me shkrim të mbajtësit të së drejtës së autorit.

Pasi të kemi marrë informacionin fillestar për thyesat, le të kalojmë te veprimet me thyesat algjebrike. Me to, ju mund të kryeni çdo veprim deri në fuqizim. Kur ato ekzekutohen, ne përfundojmë me një thyesë algjebrike. Të gjitha pikat duhet të analizohen në mënyrë sekuenciale.

Veprimet me thyesat algjebrike janë të ngjashme me veprimet me thyesat e zakonshme. Prandaj, vlen të theksohet se rregullat janë të njëjta për çdo veprim të kryer mbi to.

Mbledhja e thyesave algjebrike

Mbledhja mund të kryhet në dy raste: me emërues të njëjtë, me emërues të ndryshëm.

Nëse duhet të shtoni thyesa me emërues të njëjtë, duhet të shtoni numëruesit dhe të lini emëruesin të pandryshuar. Ky rregull ju lejon të përdorni mbledhjen e thyesave dhe polinomeve që janë në numërues. Ne e kuptojmë atë

a 2 + a b a b - 5 + 2 a b + 3 a b - 5 + 2 b 4 - 4 a b - 5 = a 2 + a b + 2 a b + 3 + 2 b 4 - 4 a b - 5 = = a 2 + 3 a b - 1 + 2 b 4 a b - 5

Nëse ka numërues të një thyese me numërues të ndryshëm, atëherë është e nevojshme të zbatohet rregulli: përdorni reduktimin në një emërues të përbashkët, shtoni thyesat që rezultojnë.

Shembulli 1

Është e nevojshme të shtohen fraksionet x x 2 - 1 dhe 3 x 2 - x

Zgjidhje

Reduktojmë në një emërues të përbashkët të formës x 2 x x - 1 x + 1 dhe 3 x + 3 x (x - 1) (x + 1) .

Le të bëjmë shtimin dhe e marrim atë

x 2 x (x - 1) (x + 1) + 3 x + 3 x (x - 1) (x + 1) = x 2 + 3 x + 3 x (x - 1) (x + 1) = x 2 + 3 x + 3 x 3 - x

Përgjigje: x 2 + 3 x + 3 x 3 - x

Artikulli për mbledhjen dhe zbritjen e thyesave të tilla ka informacion të detajuar, i cili përshkruan në detaje çdo veprim të kryer në thyesa. Gjatë kryerjes së shtimit, mund të shfaqet një fraksion i kontraktueshëm.

Zbritja

Zbritja kryhet në të njëjtën mënyrë si mbledhja. Me të njëjtët emërues, veprimet kryhen vetëm në numërues, emëruesi mbetet i pandryshuar. Me emërues të ndryshëm kryhet reduktimi në një të përbashkët. Vetëm pas kësaj mund të filloni llogaritjet.

Shembulli 2

Le të kalojmë në zbritjen e thyesave a + 5 a 2 + 2 dhe 1 - 2 a 2 + a a 2 + 2.

Zgjidhje

Mund të shihet se emëruesit janë identikë, që do të thotë a + 5 a 2 + 2 - 1 - 2 a 2 + a a 2 + 2 = a + 5 - (1 - 2 a 2 + a) a 2 + 2 = 2 a 2 + 4 a 2 + 2 .

Le të zvogëlojmë thyesën 2 a 2 + 4 a 2 + 2 = 2 a 2 + 2 a 2 + 2 = 2.

Përgjigje: 2

Shembulli 3

Le të zbresim 4 5 · x dhe 3 x - 1 .

Zgjidhje

Emëruesit janë të ndryshëm, kështu që ne reduktojmë në një 5 x të përbashkët (x - 1) , marrim 4 5 x = 4 x - 1 5 x (x - 1) = 4 x - 4 5 x (x - 1) dhe 3 x - 1 = 3 5 x (x - 1) 5 x = 15 x 5 x (x - 1) .

Tani le të ekzekutojmë

4 5 x - 3 x - 1 = 4 x - 4 5 x (x - 1) - 15 x 5 x (x - 1) = 4 x - 4 - 15 x 5 x (x - 1) = = - 4 - 11 x 5 x (x - 1) = - 4 - 11 x 5 x 2 - 5 x

Përgjigje: - 4 - 11 x 5 x 2 - 5 x

Informacioni i detajuar tregohet në artikullin mbi mbledhjen dhe zbritjen e fraksioneve algjebrike.

Shumëzimi i thyesave algjebrike

Me thyesa, shumëzimi mund të kryhet ngjashëm me shumëzimin e thyesave të zakonshme: për të shumëzuar thyesat, është e nevojshme të shumëzohen numëruesit dhe emëruesit veç e veç.

Konsideroni një shembull të një plani të tillë.

Shembulli 4

Duke shumëzuar 2 x + 2 me x - x y y nga rregulli marrim se 2 x + 2 x - x y y = 2 (x - x y) (x + 2) y .

Tani ju duhet të kryeni transformime, domethënë të shumëzoni një monom me një polinom. Ne e kuptojmë atë

2 x - x y (x + 2) y = 2 x - 2 x y x y + 2 y

Thyesa duhet së pari të zbërthehet në polinome në mënyrë që të thjeshtohet thyesa. Pas kësaj, ju mund të bëni një ulje. Ne e kemi atë

2 x 3 - 8 x 3 x y - y 6 y 5 x 2 + 2 x = 2 x (x - 2) (x + 2) y (3 x - 1 ) 6 y 5 x (x + 2) = = 2 x (x - 2) (x + 2) 6 y 5 y (3 x - 1) x x + 2 = 12 (x - 2) y 4 3 x - 1 = 12 x y 4 - 24 y 4 3 x - 1

Një diskutim i hollësishëm i këtij veprimi mund të gjendet në artikullin shumëzimi dhe ndarja e thyesave.

Divizioni

Merrni parasysh ndarjen me thyesa algjebrike. Le të zbatojmë rregullin: për të ndarë thyesat, duhet të shumëzoni të parën me reciprocitetin e të dytës.

Një thyesë që është reciproke e një të dhënë është një thyesë me numëruesin dhe emëruesin të këmbyer. Domethënë kjo thyesë quhet reciproke.

Konsideroni një shembull.

Shembulli 5

Kryeni pjesëtimin x 2 - x y 9 y 2: 2 x 3 y .

Zgjidhje

Atëherë thyesa e anasjelltë 2 · x 3 · y do të shkruhet si 3 · y 2 · x. Pra, marrim se x 2 - x y 9 y 2: 2 x 3 y = x 2 - x y 9 y 2 3 y 2 x = x x - y 3 y 9 y 2 2 x = x - y 6 y .

Përgjigje: x 2 - x y 9 y 2: 2 x 3 y = x - y 6 y

Ngritja e një thyese algjebrike në një fuqi

Nëse ekziston një fuqi natyrore, atëherë duhet të zbatohet rregulli i veprimit me ngritjen në një fuqi natyrore. Në llogaritjet e tilla, ne përdorim rregullin: kur ngrihet në një fuqi, duhet të ngrini numëruesin dhe emëruesin veçmas në fuqi, dhe më pas të shkruani rezultatin.

Shembulli 6

Shqyrtoni shembullin e thyesës 2 · x x - y . Nëse është e nevojshme ta ngrisim atë në një fuqi të barabartë me 2, atëherë kryejmë veprimet e mëposhtme: 2 x x - y 2 = 2 x 2 (x - y) 2 . Pastaj e ngremë monomin që rezulton në një fuqi. Pas përfundimit të hapave, marrim se thyesat do të marrin formën 4 x 2 x 2 - 2 x x y + y 2.

Zgjidhje e detajuar shembuj të ngjashëm diskutohet në artikullin për ngritjen e një thyese algjebrike në një fuqi.

Kur punoni me shkallën e një thyese, duhet mbajtur mend se numëruesi dhe emëruesi janë ngritur veçmas në një fuqi. Kjo thjeshton shumë procesin e zgjidhjes dhe thjeshtimit të mëtejshëm të thyesës. Vlen t'i kushtohet vëmendje shenjës përpara gradës. Nëse ka një shenjë minus, atëherë një pjesë e tillë duhet të kthehet për lehtësinë e llogaritjes.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Ky mësim diskuton konceptin e një thyese algjebrike. Një person ndeshet me fraksione në situatat më të thjeshta të jetës: kur është e nevojshme të ndahet një objekt në disa pjesë, për shembull, të pritet një tortë në mënyrë të barabartë për dhjetë persona. Natyrisht, të gjithë do të marrin një copë tortë. Në këtë rast, ne përballemi me konceptin e një fraksioni numerik, por një situatë është e mundur kur një objekt ndahet në një numër të panjohur pjesësh, për shembull, me x. Në këtë rast, lind koncepti i një shprehje të pjesshme. Ju tashmë jeni takuar me shprehje me numra të plotë (që nuk përmbajnë ndarje në shprehje me ndryshore) dhe vetitë e tyre në klasën 7. Më pas, ne do të shqyrtojmë konceptin e një fraksioni racional, si dhe vlerat e lejuara të variablave.

Shprehjet racionale ndahen në shprehje të plota dhe thyesore.

Përkufizimi.thyesa racionaleështë një shprehje thyesore e formës , ku janë polinomet. - emëruesi numërues.

Shembujshprehjet racionale:- shprehjet thyesore; janë shprehje me numra të plotë. Në shprehjen e parë, për shembull, numëruesi është , dhe emëruesi është .

Kuptimi thyesa algjebrike, si çdo shprehje algjebrike, varet nga vlera numerike e variablave që përfshihen në të. Në veçanti, në shembullin e parë vlera e fraksionit varet nga vlerat e variablave dhe, dhe në të dytin vetëm nga vlera e ndryshores.

Konsideroni detyrën e parë tipike: llogaritjen e vlerës thyesa racionale për vlera të ndryshme të variablave të përfshirë në të.

Shembulli 1 Llogaritni vlerën e thyesës për a), b), c)

Zgjidhje. Zëvendësoni vlerat e variablave në fraksionin e treguar: a), b), c) - nuk ekziston (sepse nuk mund të ndani me zero).

Përgjigje: a) 3; b) 1; c) nuk ekziston.

Siç mund ta shihni, ekzistojnë dy probleme tipike për çdo thyesë: 1) llogaritja e thyesës, 2) gjetja vlera të vlefshme dhe të pavlefshme ndryshore literale.

Përkufizimi.Vlerat e ndryshueshme të vlefshme janë vlerat e variablave për të cilat shprehja ka kuptim. Grupi i të gjitha vlerave të pranueshme të variablave quhet ODZ ose domain.

Vlera e ndryshoreve literale mund të jetë e pavlefshme nëse emëruesi i fraksionit për këto vlera është zero. Në të gjitha rastet e tjera, vlerat e variablave janë të vlefshme, pasi fraksioni mund të llogaritet.

Shembulli 2

Zgjidhje. Që kjo shprehje të ketë kuptim, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që emëruesi i thyesës të mos jetë i barabartë me zero. Kështu, vetëm ato vlera të ndryshores për të cilat emëruesi do të jetë i barabartë me zero do të jenë të pavlefshme. Emëruesi i thyesës, pra zgjidhim ekuacionin linear:

Prandaj, për vlerën e ndryshores, thyesa nuk ka kuptim.

Përgjigje: -5.

Nga zgjidhja e shembullit, vijon rregulli për gjetjen e vlerave të pavlefshme të ndryshoreve - emëruesi i fraksionit është i barabartë me zero dhe gjenden rrënjët e ekuacionit përkatës.

Le të shohim disa shembuj të ngjashëm.

Shembulli 3 Përcaktoni në cilat vlera të një ndryshoreje një fraksion nuk ka kuptim .

Zgjidhje..

Përgjigju..

Shembulli 4 Përcaktoni për cilat vlera të ndryshores thyesa nuk ka kuptim.

Zgjidhje..

Ka formulime të tjera të këtij problemi - për të gjetur domain ose diapazoni i vlerave të vlefshme të shprehjes (ODZ). Kjo do të thotë - gjeni të gjitha vlerat e vlefshme të variablave. Në shembullin tonë, këto janë të gjitha vlerat përveç . Fusha e përkufizimit përshkruhet në mënyrë të përshtatshme në boshtin numerik.

Për ta bërë këtë, ne do të presim një pikë mbi të, siç tregohet në figurë:

Oriz. një

Në këtë mënyrë, fushë fraksioni do të jenë të gjithë numrat përveç 3.

Përgjigju..

Shembulli 5 Përcaktoni për cilat vlera të ndryshores thyesa nuk ka kuptim.

Zgjidhje..

Le të përshkruajmë zgjidhjen që rezulton në boshtin numerik:

Oriz. 2

Përgjigju..

Shembulli 6

Zgjidhje.. Kemi marrë barazinë e dy ndryshoreve, do të japim shembuj numerik: ose, etj.

Le ta paraqesim këtë zgjidhje në një grafik në sistemin e koordinatave karteziane:

Oriz. 3. Grafiku i një funksioni

Koordinatat e çdo pike që shtrihet në këtë grafik nuk përfshihen në zonën e vlerave të pranueshme të fraksionit.

Përgjigju..

Në shembujt e shqyrtuar, ne u përballëm me një situatë ku ndodhi një pjesëtim me zero. Tani merrni parasysh rastin kur lind një situatë më interesante me ndarjen e tipit.

Shembulli 7 Përcaktoni për cilat vlera të ndryshoreve fraksioni nuk ka kuptim.

Zgjidhje..

Rezulton se thyesa nuk ka kuptim kur . Por mund të argumentohet se nuk është kështu, sepse: .

Mund të duket se nëse shprehja përfundimtare është e barabartë me 8 për , atëherë shprehja origjinale gjithashtu mund të llogaritet, dhe, për rrjedhojë, ka kuptim për . Sidoqoftë, nëse e zëvendësojmë atë në shprehjen origjinale, marrim - nuk ka kuptim.

Përgjigju..

Për të kuptuar më në detaje këtë shembull, ne zgjidhim problemin e mëposhtëm: për cilat vlera fraksioni i treguar është i barabartë me zero?

Nga kursi algjebër i kurrikulës shkollore kalojmë tek specifikat. Në këtë artikull, ne do të studiojmë në detaje një lloj të veçantë të shprehjeve racionale - thyesat racionale, dhe gjithashtu analizoni se çfarë karakteristike është identike shndërrimet e thyesave racionale zhvillohen.

Vëmë re menjëherë se thyesat racionale në kuptimin në të cilin i përkufizojmë më poshtë quhen thyesa algjebrike në disa tekste algjebër. Kjo do të thotë, në këtë artikull do të kuptojmë të njëjtën gjë nën thyesat racionale dhe algjebrike.

Si zakonisht, ne fillojmë me një përkufizim dhe shembuj. Më pas, le të flasim për sjelljen e një thyese racionale në një emërues të ri dhe për ndryshimin e shenjave të anëtarëve të thyesës. Pas kësaj do të analizojmë se si kryhet reduktimi i thyesave. Së fundi, le të ndalemi në paraqitjen e një thyese racionale si një shumë e disa thyesave. I gjithë informacioni do të jepet me shembuj me përshkrime të hollësishme të zgjidhjeve.

Navigimi i faqes.

Përkufizimi dhe shembuj të thyesave racionale

Thyesat racionale studiohen në mësimet e algjebrës në klasën e 8-të. Ne do të përdorim përkufizimin e një fraksioni racional, i cili është dhënë në librin shkollor të algjebrës për klasat 8 nga Yu. N. Makarychev dhe të tjerët.

Ky përkufizim nuk specifikon nëse polinomet në numëruesin dhe emëruesin e një thyese racionale duhet të jenë polinome të formës standarde apo jo. Prandaj, do të supozojmë se thyesat racionale mund të përmbajnë polinome standarde dhe jo standarde.

Këtu janë disa shembuj të thyesave racionale. Pra, x/8 dhe - thyesat racionale. Dhe thyesat dhe nuk i përshtaten përkufizimit të tingëlluar të një thyese racionale, pasi në të parën numëruesi nuk është polinom, dhe në të dytën edhe numëruesi edhe emëruesi përmbajnë shprehje që nuk janë polinome.

Shndërrimi i numëruesit dhe emëruesit të një thyese racionale

Numëruesi dhe emëruesi i çdo thyese janë shprehje matematikore të vetë-mjaftueshme, në rastin e thyesave racionale janë polinome, në një rast të veçantë janë monomë dhe numra. Prandaj, me numëruesin dhe emëruesin e një thyese racionale, si me çdo shprehje, mund të kryhen shndërrime identike. Me fjalë të tjera, shprehja në numëruesin e një thyese racionale mund të zëvendësohet me një shprehje që është identike e barabartë me të, ashtu si emëruesi.

Në numëruesin dhe emëruesin e një thyese racionale mund të kryhen shndërrime identike. Për shembull, në numërues, ju mund të gruponi dhe zvogëloni terma të ngjashëm, dhe në emërues, produkti i disa numrave mund të zëvendësohet me vlerën e tij. Dhe meqenëse numëruesi dhe emëruesi i një fraksioni racional janë polinome, është e mundur të kryhen transformime karakteristike të polinomeve me to, për shembull, reduktimi në një formë standarde ose paraqitje si produkt.

Për qartësi, merrni parasysh zgjidhjet e disa shembujve.

Shembull.

Shndërroni thyesën racionale kështu që numëruesi është një polinom i formës standarde, dhe emëruesi është prodhimi i polinomeve.

Zgjidhje.

Reduktimi i thyesave racionale në një emërues të ri përdoret kryesisht kur mblidhen dhe zbriten thyesat racionale.

Ndryshimi i shenjave para një thyese, si dhe në numëruesin dhe emëruesin e saj

Vetia themelore e një thyese mund të përdoret për të ndryshuar shenjat e termave të thyesës. Në të vërtetë, shumëzimi i numëruesit dhe emëruesit të një thyese racionale me -1 është i barabartë me ndryshimin e shenjave të tyre, dhe rezultati është një thyesë që është identike e barabartë me atë të dhënë. Një transformim i tillë duhet të përdoret mjaft shpesh kur punoni me thyesa racionale.

Kështu, nëse ndryshoni njëkohësisht shenjat e numëruesit dhe emëruesit të një thyese, do të merrni një thyesë të barabartë me atë origjinale. Kjo deklaratë korrespondon me barazinë.

Le të marrim një shembull. Një thyesë racionale mund të zëvendësohet nga një thyesë identike e barabartë me shenja të kundërta të numëruesit dhe emëruesit të formës.

Me thyesa, mund të kryhet një transformim tjetër identik, në të cilin shenja ndryshohet ose në numërues ose në emërues. Le të kalojmë mbi rregullin e duhur. Nëse zëvendësoni shenjën e një thyese së bashku me shenjën e numëruesit ose të emëruesit, ju merrni një thyesë që është identike e barabartë me origjinalin. Deklarata e shkruar korrespondon me barazitë dhe .

Nuk është e vështirë të vërtetohen këto barazi. Vërtetimi bazohet në vetitë e shumëzimit të numrave. Le të vërtetojmë të parën prej tyre: . Me ndihmën e transformimeve të ngjashme vërtetohet edhe barazia.

Për shembull, një fraksion mund të zëvendësohet me një shprehje ose .

Për të përfunduar këtë nënseksion, ne paraqesim dy barazi më të dobishme dhe . Kjo do të thotë, nëse ndryshoni shenjën vetëm të numëruesit ose vetëm të emëruesit, atëherë thyesa do të ndryshojë shenjën e saj. Për shembull, dhe .

Shndërrimet e konsideruara, të cilat lejojnë ndryshimin e shenjës së termave të një thyese, përdoren shpesh gjatë transformimit të shprehjeve racionale të pjesshme.

Reduktimi i thyesave racionale

Shndërrimi i mëposhtëm i thyesave racionale, i quajtur reduktimi i thyesave racionale, bazohet në të njëjtën veti bazë të një thyese. Ky transformim korrespondon me barazinë , ku a , b dhe c janë disa polinome, dhe b dhe c janë jo zero.

Nga barazia e mësipërme, bëhet e qartë se reduktimi i një thyese racionale nënkupton heqjen e faktorit të përbashkët në numëruesin dhe emëruesin e tij.

Shembull.

Zvogëloni thyesën racionale.

Zgjidhje.

Faktori i përbashkët 2 është menjëherë i dukshëm, le ta zvogëlojmë (kur shkruajmë, është e përshtatshme të kryqëzohen faktorët e zakonshëm me të cilët bëhet zvogëlimi). Ne kemi . Meqenëse x 2 \u003d x x dhe y 7 \u003d y 3 y 4 (shih nëse është e nevojshme), është e qartë se x është një faktor i përbashkët i numëruesit dhe emëruesit të fraksionit që rezulton, si y 3 . Le të reduktojmë me këta faktorë: . Kjo plotëson reduktimin.

Më sipër, ne kryem reduktimin e një thyese racionale në mënyrë sekuenciale. Dhe ishte e mundur të kryhej zvogëlimi në një hap, duke reduktuar menjëherë fraksionin me 2·x·y 3 . Në këtë rast, zgjidhja do të duket si kjo: .

Përgjigje:

.

Kur zvogëloni thyesat racionale, problemi kryesor është se faktori i përbashkët i numëruesit dhe emëruesit nuk është gjithmonë i dukshëm. Për më tepër, ajo nuk ekziston gjithmonë. Për të gjetur një faktor të përbashkët ose për t'u siguruar që ai nuk ekziston, duhet të faktorizoni numëruesin dhe emëruesin e një thyese racionale. Nëse nuk ka faktor të përbashkët, atëherë fraksioni racional origjinal nuk ka nevojë të zvogëlohet, përndryshe, zvogëlimi kryhet.

Në procesin e zvogëlimit të fraksioneve racionale, mund të shfaqen nuanca të ndryshme. Hollësitë kryesore me shembuj dhe detaje diskutohen në artikullin reduktimi i thyesave algjebrike.

Duke përfunduar bisedën për reduktimin e thyesave racionale, vërejmë se ky transformim është identik dhe vështirësia kryesore në zbatimin e tij qëndron në faktorizimin e polinomeve në numërues dhe emërues.

Paraqitja e një thyese racionale si një shumë e thyesave

Mjaft specifik, por në disa raste shumë i dobishëm, është shndërrimi i një thyese racionale, e cila konsiston në paraqitjen e saj si shumë e disa thyesave, ose si shumë e një shprehjeje me numër të plotë dhe një thyese.

Një thyesë racionale, në numëruesin e së cilës ka një polinom, i cili është shuma e disa monomëve, gjithmonë mund të shkruhet si shumë e thyesave me emërues të njëjtë, në numëruesit e të cilave janë monomët përkatës. Për shembull, . Ky paraqitje shpjegohet me rregullin e mbledhjes dhe zbritjes së thyesave algjebrike me emërues të njëjtë.

Në përgjithësi, çdo thyesë racionale mund të përfaqësohet si një shumë e thyesave në mënyra të ndryshme. Për shembull, thyesa a/b mund të përfaqësohet si shuma e dy thyesave - një fraksion arbitrar c/d dhe një fraksion i barabartë me diferencën midis thyesave a/b dhe c/d. Kjo deklaratë është e vërtetë, që nga barazia . Për shembull, një thyesë racionale mund të përfaqësohet si një shumë e thyesave në mënyra të ndryshme: Ne paraqesim thyesën origjinale si shumën e një shprehjeje me numër të plotë dhe një fraksioni. Pasi pjesëtojmë numëruesin me emëruesin me një kolonë, marrim barazinë . Vlera e shprehjes n 3 +4 për çdo numër të plotë n është një numër i plotë. Dhe vlera e një thyese është një numër i plotë nëse dhe vetëm nëse emëruesi i saj është 1, −1, 3, ose −3. Këto vlera korrespondojnë me vlerat n=3, n=1, n=5 dhe n=−1 respektivisht.

Përgjigje:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliografi.

• Algjebra: teksti shkollor për 8 qeliza. arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M. : Arsimi, 2008. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algjebër. klasa e 7-të. Në orën 14:00 Pjesa 1. Një libër shkollor për studentët e institucioneve arsimore / A. G. Mordkovich. - Botimi i 13-të, Rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 f.: ill. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich A.G. Algjebër. klasën e 8-të. Në orën 14:00 Pjesa 1. Një libër shkollor për studentët e institucioneve arsimore / A. G. Mordkovich. - Botimi i 11-të, i fshirë. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 f.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematikë (një manual për aplikantët në shkollat ​​teknike): Proc. shtesa.- M.; Më e lartë shkolla, 1984.-351 f., ill.