Në këtë artikull, ne do t'i hedhim një vështrim nga afër pjesëtimi me mbetje. Le të fillojmë me një ide të përgjithshme rreth këtij veprimi, pastaj zbulojmë kuptimi i pjesëtimit të numrave natyrorë me një mbetje, dhe prezantoni kushtet e nevojshme. Pastaj përvijojmë gamën e problemeve të zgjidhura duke pjesëtuar numrat natyrorë me një mbetje. Si përfundim, le të ndalemi në të gjitha llojet e lidhjeve midis dividendit, pjesëtuesit, herësit jo të plotë dhe pjesës së mbetur.

Navigimi i faqes.

Përgjigje:

Dividenti është 79.

Duhet të theksohet gjithashtu se kontrollimi i rezultatit të pjesëtimit të numrave natyrorë me një mbetje kryhet duke kontrolluar vlefshmërinë e barazisë që rezulton a=b·c+d .

Gjetja e mbetjes nëse dividenti, pjesëtuesi dhe herësi jo i plotë janë të njohur

Në kuptimin e saj, pjesa e mbetur d është numri i elementeve që mbetet në grupin origjinal pas përjashtimit nga elementët a të tij b shumëfishuar c elementet secili. Prandaj, në bazë të sensit të shumëzimit të numrave natyrorë dhe kuptimit të zbritjes së numrave natyrorë, barazia d=a−b c. Në këtë mënyrë, pjesa e mbetur d e pjesëtimit të një numri natyror a me një numër natyror b është i barabartë me diferencën midis dividendit a dhe produktit të pjesëtuesit b dhe herësit jo të plotë c..

Lidhja që rezulton d=a−b·c ju lejon të gjeni pjesën e mbetur kur dividenti, pjesëtuesi dhe herësi jo i plotë janë të njohur. Le të shqyrtojmë një shembull zgjidhjeje.

Si ta mësoni një fëmijë të ndajë? Metoda më e thjeshtë është Mësoni ndarjen me kolonë. Kjo është shumë më e lehtë sesa të bësh llogaritje mendore, ndihmon të mos ngatërrohesh, të mos "humbësh" numrat dhe të zhvillosh një skemë mendore që do të funksionojë automatikisht në të ardhmen.

Në kontakt me

Si kryhet

Ndarja me mbetje është një metodë në të cilën një numër nuk mund të ndahet saktësisht në disa pjesë. Si rezultat i këtij operacioni matematikor, përveç të gjithë pjesës, mbetet një pjesë e pandarë.

Le të marrim një shembull të thjeshtë Si të ndahet me një mbetje:

Ka një kanaçe me 5 litra ujë dhe 2 kanaçe me 2 litra. Kur uji derdhet nga një kavanoz me pesë litra në një kavanoz me dy litra, 1 litër ujë i papërdorur do të mbetet në kavanozin me pesë litra. Kjo është pjesa e mbetur. Në mënyrë dixhitale duket kështu:

5:2=2 pushim (1). Nga është 1? 2x2=4, 5-4=1.

Tani merrni parasysh rendin e ndarjes në një kolonë me një mbetje. Kjo lehtëson vizualisht procesin e llogaritjes dhe ndihmon për të mos humbur numrat.

Algoritmi përcakton vendndodhjen e të gjithë elementëve dhe sekuencën e veprimeve me të cilat kryhet llogaritja. Si shembull, le të ndajmë 17 me 5.

Hapat kryesorë:

1. Hyrja e saktë. E ndashme (17) - e vendosur në anën e majtë. Në të djathtë të dividentit, shkruani pjesëtuesin (5). Midis tyre vizatohet një vijë vertikale (tregon shenjën e ndarjes), dhe më pas, nga kjo vijë, vizatohet një vijë horizontale, duke theksuar pjesëtuesin. Karakteristikat kryesore tregohen në portokalli.
2. Kërkimi për të gjithë. Tjetra, kryhet llogaritja e parë dhe më e thjeshtë - sa pjesëtues përshtaten në divident. Le të përdorim tabelën e shumëzimit dhe të kontrollojmë me radhë: 5*1=5 - përshtatet, 5*2=10 - përshtatet, 5*3=15 - përshtatet, 5*4=20 - nuk përshtatet. Pesë herë katër është më shumë se shtatëmbëdhjetë, që do të thotë se pesëshja e katërt nuk përshtatet. Kthehu te tre. Një kavanoz 17 litra përshtatet me 3 kavanoza prej pesë litrash. Rezultatin e shkruajmë në formën: 3 shkruajmë nën rresht, nën pjesëtues. 3 është një herës jo i plotë.
3. Përkufizimi i pjesës së mbetur. 3*5=15. 15 është shkruar nën divident. Ne tërheqim një vijë (tregon shenjën "="). Zbrisni numrin që rezulton nga dividenti: 17-15=2. Ne shkruajmë rezultatin më poshtë nën rreshtin - në një kolonë (prandaj emri i algoritmit). 2 është pjesa e mbetur.

Shënim! Kur pjesëtohet në këtë mënyrë, pjesa e mbetur duhet të jetë gjithmonë më e vogël se pjesëtuesi.

Kur pjesëtuesi është më i madh se dividenti

Ka raste kur pjesëtuesi është më i madh se dividenti. Thyesat dhjetore në programin për klasën e tretë nuk janë studiuar ende, por, duke ndjekur logjikën, përgjigja duhet të shkruhet në formën e një thyese - në rastin më të mirë një dhjetore, në rastin më të keq një e thjeshtë. Por (!) përveç programit, metoda e llogaritjes kufizon detyrën: është e nevojshme të mos ndahet, por të gjendet pjesa e mbetur! disa prej tyre nuk janë! Si të zgjidhet një problem i tillë?

Shënim! Ekziston një rregull për rastet kur pjesëtuesi është më i madh se dividenti: herësi jo i plotë është 0, pjesa e mbetur është e barabartë me dividentin.

Si ta ndani numrin 5 me numrin 6, duke theksuar pjesën e mbetur? Sa kavanoza 6 litra do të futen në një kavanoz 5 litra? sepse 6 është më e madhe se 5.

Sipas detyrës, është e nevojshme të mbushni 5 litra - nuk mbushet asnjë. Pra, mbeten të gjitha 5. Përgjigje: herësi jo i plotë = 0, mbetja = 5.

Ndarja fillon të studiohet në klasën e tretë të shkollës. Në këtë kohë, studentët duhet të jenë tashmë, gjë që u lejon atyre të ndajnë numrat dyshifrorë në njëshifror.

Zgjidheni problemin: 18 ëmbëlsira duhet t'u shpërndahen pesë fëmijëve. Sa karamele kanë mbetur?

Shembuj:

Gjeni herësin jo të plotë: 3*1=3, 3*2=6, 3*3=9, 3*4=12, 3*5=15. 5 - bust. Kthehemi në 4.

Pjesa e mbetur: 3*4=12, 14-12=2.

Përgjigje: herësi jo i plotë 4, kanë mbetur 2.

Ju mund të pyesni pse, kur pjesëtohet me 2, mbetja është ose 1 ose 0. Sipas tabelës së shumëzimit, midis shifrave që janë shumëfisha të dy ka një ndryshim për njësi.

Një detyrë tjetër: 3 byrekë duhet të ndahen në dy.

Ndani 4 byrekë në dy.

Ndani 5 byrekë në dy.

Puna me numra shumëshifrorë

Programi i klasës së 4-të ofron një proces më kompleks të ndarjes me një rritje të numrave të llogaritur. Nëse në klasën e tretë llogaritjet kryheshin në bazë të tabelës bazë të shumëzimit nga 1 deri në 10, atëherë nxënësit e klasës së katërt kryejnë llogaritjet me numra shumëshifrorë mbi 100.

Ky veprim është më i përshtatshëm për t'u kryer në një kolonë, pasi koeficienti jo i plotë do të jetë gjithashtu një numër dyshifror (në shumicën e rasteve), dhe algoritmi i kolonës lehtëson llogaritjet dhe i bën ato më vizuale.

Le të ndajmë numra shumëshifrorë deri në dyshifrorë: 386:25

Ky shembull ndryshon nga ata të mëparshëm në numrin e niveleve të llogaritjes, megjithëse llogaritjet kryhen sipas të njëjtit parim si më parë. Le të hedhim një vështrim më të afërt:

386 është dividenti, 25 është pjesëtuesi. Është e nevojshme të gjendet herësi jo i plotë dhe të nxirret pjesa e mbetur.

Niveli i parë

Pjesëtuesi është një numër dyshifror. Dividenti është treshifror. Ne zgjedhim dy shifrat e para të majta nga dividenti - kjo është 38. Ne i krahasojmë ato me pjesëtuesin. 38 mbi 25? Po, pra 38 mund të pjesëtohet me 25. Sa 25 të plota janë në 38?

25*1=25, 25*2=50. 50 është më i madh se 38, kthehu një hap prapa.

Përgjigje - 1. Shkruajmë njësinë në zonë jo plotësisht private.

38-25=13. Ne shkruajmë numrin 13 nën rresht.

Niveli i dytë

13 mbi 25? Jo - do të thotë që ju mund ta "ulni" numrin 6 duke e shtuar atë pranë 13, në të djathtë. Doli 136. A është 136 më shumë se 25? Po, kjo do të thotë që ju mund ta zbrisni atë. Sa herë përshtatet 25 në 136?

25*1=25, 25*2=50, 25*3=75, 25*4=100, 25*5=125, 256*=150. 150 është më e madhe se 136 - kthehu një hap prapa. Numrin 5 e shkruajmë në zonën herës jo të plotë, në të djathtë të njësisë.

Ne llogarisim pjesën e mbetur:

136-125=11. Ne shkruajmë nën rresht. 11 mbi 25? Jo, ndarja nuk është e mundur. A i ka mbetur shifra dividenti? Jo, nuk ka asgjë më shumë për të ndarë. Llogaritjet përfunduan.

Përgjigje: herësi jo i plotë është 15, me një mbetje 11.

Dhe nëse propozohet një pjesëtim i tillë, kur pjesëtuesi dyshifror është më i madh se dy shifrat e para të dividentit me shumë vlera? Në këtë rast, shifra e tretë (e katërt, e pestë dhe e mëpasshme) e dividentit merr pjesë menjëherë në llogaritje.

Ketu jane disa shembuj pjesëtimi me numra treshifrorë dhe katërshifrorë:

75 është një numër dyshifror. 386 - treshifror. Krahasoni dy shifrat e para në të majtë me pjesëtuesin. 38 mbi 75? Jo, ndarja nuk është e mundur. Ne marrim të tre numrat. 386 mbi 75? Po, ndarja është e mundur. Ne kryejmë llogaritjet.

75*1=75, 75*2=150, 75*3=225, 75*4=300, 75*5= 375, 75*6=450. 450 është më i madh se 386 - kthehemi një hap prapa. Shkruajmë 5 në zonën e herësit jo të plotë.

Gjeni pjesën e mbetur: 386-375=11. 11 mbi 75? Nr. A ka mbetur ndonjë shifër në divident? Nr. Llogaritjet përfunduan.

Përgjigje: koeficienti jo i plotë \u003d 5, në pjesën e mbetur - 11.

Ne kontrollojmë: 11 është më i madh se 35? Jo, ndarja nuk është e mundur. Ne zëvendësojmë numrin e tretë - a është 119 më i madh se 35? Po, ne mund të marrim masa.

35*1=35, 35*2=70, 35*3=105, 35*4=140. 140 është më i madh se 119 - kthehemi një hap prapa. Ne shkruajmë 3 në zonën e bilancit jo të plotë.

Gjeni pjesën e mbetur: 119-105=14. 14 mbi 35? Nr. A ka mbetur ndonjë shifër në divident? Nr. Llogaritjet përfunduan.

Përgjigje: herësi jo i plotë = 3, majtas - 14.

Po kontrolloni nëse 11 është më e madhe se 99? Jo - ne zëvendësojmë një shifër më shumë. 119 mbi 99? Po, le të fillojmë llogaritjet.

11<99, 119>99.

99*1=99, 99*2=198 - bust. Shkruajmë 1 në herësin jo të plotë.

Gjeni pjesën e mbetur: 119-99=20. njëzet<99. Опускаем 5. 205>99. Ne llogarisim.

99*1=99, 99*2=198, 99*3=297. Busti. Shkruajmë 2 në herësin jo të plotë.

Gjeni pjesën e mbetur: 205-198=7.

Përgjigje: herësi jo i plotë = 12, mbetja - 7.

Ndarja me mbetje - shembuj

Mësoni të ndani në një kolonë me një mbetje

konkluzioni

Kështu bëhen llogaritjet. Nëse jeni të kujdesshëm dhe ndiqni rregullat, atëherë nuk do të ketë asgjë të komplikuar këtu. Çdo student mund të mësojë të numërojë me një kolonë, sepse është e shpejtë dhe e përshtatshme.

Artikulli analizon konceptin e ndarjes së numrave të plotë me një mbetje. Do të vërtetojmë teoremën mbi pjesëtueshmërinë e numrave të plotë me një mbetje dhe do të shikojmë lidhjet ndërmjet pjesëtuesve dhe pjesëtuesve, herësve jo të plotë dhe mbetjeve. Konsideroni rregullat kur kryhet ndarja e numrave të plotë me mbetje, duke i shqyrtuar në detaje me shembuj. Në fund të zgjidhjes, ne do të kryejmë një kontroll.

Kuptimi i përgjithshëm i ndarjes së numrave të plotë me mbetje

Ndarja e numrave të plotë me një mbetje konsiderohet si një pjesëtim i përgjithësuar me një mbetje të numrave natyrorë. Kjo bëhet sepse numrat natyrorë janë një përbërës i numrave të plotë.

Pjesëtimi me një mbetje të një numri arbitrar thotë se numri i plotë a është i plotpjesëtueshëm me numrin b, i cili është i ndryshëm nga zero. Nëse b = 0 atëherë nuk kryhet pjesëtim me mbetje.

Si dhe pjesëtimi i numrave natyrorë me mbetje, kryhet pjesëtimi i numrave të plotë a dhe b, me b të ndryshëm nga zero, me c dhe d. Në këtë rast, a dhe b quhen divident dhe pjesëtues, dhe d është pjesa e mbetur e pjesëtimit, c është një herës i plotë ose i pjesshëm.

Nëse supozojmë se pjesa e mbetur është një numër i plotë jo negativ, atëherë vlera e tij nuk është më e madhe se moduli i numrit b. Le ta shkruajmë në këtë mënyrë: 0 ≤ d ≤ b . Ky zinxhir pabarazish përdoret kur krahasohen 3 ose më shumë numra.

Nëse c është një herës jo i plotë, atëherë d është pjesa e mbetur e pjesëtimit të një numri të plotë a me b, mund të rregulloni shkurtimisht: a: b \u003d c (mbetet d).

Mbetja kur pjesëtohen numrat a me b është e mundur zero, atëherë thonë se a pjesëtohet me b plotësisht, domethënë pa mbetje. Pjesëtimi pa mbetje konsiderohet rast i veçantë i pjesëtimit.

Nëse e pjesëtojmë zeron me një numër, si rezultat do të marrim zero. Pjesa e mbetur e ndarjes do të jetë gjithashtu zero. Kjo mund të shihet nga teoria e pjesëtimit të zeros me një numër të plotë.

Tani merrni parasysh kuptimin e ndarjes së numrave të plotë me një mbetje.

Dihet se numrat e plotë pozitivë janë natyrorë, atëherë kur pjesëtohen me mbetje do të fitohet i njëjti kuptim si kur pjesëtohen numrat natyrorë me mbetje.

Pjesëtimi i një numri të plotë negativ a me një numër të plotë pozitiv b ka kuptim. Le të shohim një shembull. Imagjinoni një situatë ku kemi një borxh artikujsh në shumën a që duhet të shlyhet nga b njerëz. Për ta bërë këtë, të gjithë duhet të kontribuojnë në mënyrë të barabartë. Për të përcaktuar masën e borxhit për secilin, është e nevojshme t'i kushtohet vëmendje vlerës së c. private. Pjesa e mbetur d tregon se numri i artikujve pas shlyerjes së borxheve është i njohur.

Le të marrim një shembull me mollët. Nëse 2 persona kanë nevojë për 7 mollë. Nëse llogarisim se secili duhet të kthejë 4 mollë, pas llogaritjes së plotë do t'i mbetet edhe 1 mollë. Le ta shkruajmë këtë si barazi: (− 7) : 2 = − 4 (о с t. 1) .

Pjesëtimi i çdo numri a me një numër të plotë nuk ka kuptim, por është i mundur si opsion.

Teorema e pjesëtueshmërisë për numrat e plotë me mbetje

Ne zbuluam se a është dividenti, pastaj b është pjesëtuesi, c është herësi i pjesshëm dhe d është mbetja. Ato janë të ndërlidhura. Ne do ta tregojmë këtë marrëdhënie duke përdorur barazinë a = b · c + d. Marrëdhënia ndërmjet tyre karakterizohet nga teorema e pjesëtueshmërisë me mbetjen.

Teorema

Çdo numër i plotë mund të përfaqësohet vetëm në terma të një numri të plotë dhe të një numri jo zero b në këtë mënyrë: a = b · q + r , ku q dhe r janë disa numra të plotë. Këtu kemi 0 ≤ r ≤ b.

Le të vërtetojmë mundësinë e ekzistencës së a = b · q + r .

Dëshmi

Nëse ka dy numra a dhe b, dhe a është i pjesëtueshëm me b pa mbetje, atëherë nga përkufizimi del se ka një numër q, se barazia a = b · q do të jetë e vërtetë. Atëherë barazia mund të konsiderohet e vërtetë: a = b q + r për r = 0.

Atëherë është e nevojshme të merret q e tillë që jepet nga pabarazia b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

Kemi që vlera e shprehjes a − b · q është më e madhe se zero dhe jo më e madhe se vlera e numrit b, prandaj rrjedh se r = a − b · q . Marrim se numri a mund të paraqitet si a = b · q + r.

Tani duhet të shqyrtojmë mundësinë e paraqitjes së a = b · q + r për vlerat negative të b.

Moduli i numrit rezulton pozitiv, atëherë marrim a = b q 1 + r, ku vlera q 1 është një numër i plotë, r është një numër i plotë që i përshtatet kushtit 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

Dëshmi e veçantisë

Supozojmë se a = b q + r , q dhe r janë numra të plotë me kushtin 0 ≤ r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 dhe r1 janë disa numra ku q 1 ≠ q, 0 ≤ r1< b .

Kur pabarazia zbritet nga ana e majtë dhe e djathtë, atëherë marrim 0 = b · (q − q 1) + r − r 1 , që është ekuivalente me r - r 1 = b · q 1 - q . Meqenëse moduli përdoret, marrim barazinë r - r 1 = b · q 1 - q.

Kushti i dhënë thotë se 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что q dhe q 1- e tërë, dhe q ≠ q 1, pastaj q 1 - q ≥ 1 . Prandaj kemi se b · q 1 - q ≥ b . Pabarazitë që rezultojnë r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

Nga kjo rezulton se numri a nuk mund të përfaqësohet në asnjë mënyrë tjetër, përveç me një shënim të tillë a = b · q + r.

Lidhja ndërmjet dividendit, pjesëtuesit, herësit të pjesshëm dhe mbetjes

Duke përdorur barazinë a \u003d b c + d, mund të gjeni dividentin e panjohur a kur pjesëtuesi b njihet me një herës jo të plotë c dhe mbetja d.

Shembulli 1

Përcaktoni dividentin nëse, kur pjesëtojmë, marrim - 21, një herës jo të plotë 5 dhe një mbetje 12.

Zgjidhje

Është e nevojshme të llogaritet dividenti a me një pjesëtues të njohur b = - 21, një herës jo të plotë c = 5 dhe një mbetje d = 12. Duhet t'i referohemi barazisë a = b c + d, nga këtu marrim a = (− 21) 5 + 12. Në varësi të rendit të operacioneve, ne shumëzojmë - 21 me 5, pas së cilës marrim (- 21) 5 + 12 = - 105 + 12 = - 93.

Përgjigje: - 93 .

Marrëdhënia ndërmjet pjesëtuesit dhe herësit të pjesshëm dhe mbetjes mund të shprehet duke përdorur barazitë: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b dhe d = a − b · c . Me ndihmën e tyre, ne mund të llogarisim pjesëtuesin, herësin e pjesshëm dhe mbetjen. Kjo zbret në gjetjen e vazhdueshme të pjesës së mbetur të pjesëtimit të një numri të plotë a me b me një dividend të njohur, pjesëtues dhe koeficient të pjesshëm. Zbatohet formula d = a − b · c. Le të shqyrtojmë zgjidhjen në detaje.

Shembulli 2

Gjeni pjesën e mbetur të pjesëtimit të një numri të plotë - 19 me një numër të plotë 3 me një herës të njohur jo të plotë të barabartë me - 7 .

Zgjidhje

Për të llogaritur pjesën e mbetur të një pjesëtimi, ne aplikojmë një formulë të formës d = a - b c. Sipas kushtit, të gjitha të dhënat a = − 19 , b = 3 , c = − 7 janë të disponueshme. Nga këtu marrim d \u003d a - b c \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (diferenca - 19 - (- 21)... Ky shembull llogaritet nga rregulli i zbritjes numri i plotë negativ.

Përgjigje: 2 .

Të gjithë numrat e plotë pozitivë janë të natyrshëm. Nga kjo rezulton se pjesëtimi kryhet sipas të gjitha rregullave të pjesëtimit me një mbetje numrash natyrorë. Shpejtësia e pjesëtimit me një pjesë të mbetur të numrave natyrorë është e rëndësishme, pasi jo vetëm ndarja e atyre pozitive bazohet në të, por edhe rregullat për ndarjen e numrave të plotë arbitrar.

Metoda më e përshtatshme e ndarjes është një kolonë, pasi është më e lehtë dhe më e shpejtë për të marrë një të paplotë ose thjesht një koeficient me një mbetje. Le të shqyrtojmë zgjidhjen në më shumë detaje.

Shembulli 3

Ndani 14671 me 54.

Zgjidhje

Kjo ndarje duhet të bëhet në një kolonë:

Kjo do të thotë, herësi jo i plotë është i barabartë me 271, dhe pjesa e mbetur është 37.

Përgjigje: 14671: 54 = 271. (Push. 37)

Rregulli i pjesëtimit me një mbetje të një numri të plotë pozitiv me një numër të plotë negativ, shembuj

Për të kryer pjesëtimin me një mbetje të një numri pozitiv me një numër të plotë negativ, është e nevojshme të formulohet një rregull.

Përkufizimi 1

Herësi jo i plotë i pjesëtimit të një numri të plotë pozitiv a me një numër të plotë negativ b jep një numër që është i kundërt me hersin jo të plotë të pjesëtimit të moduleve të numrave a me b. Atëherë mbetja është mbetje kur a pjesëtohet me b.

Prandaj kemi që herësi jo i plotë i pjesëtimit të një numri të plotë pozitiv me një numër të plotë negativ konsiderohet një numër i plotë jo pozitiv.

Ne marrim algoritmin:

• pjesëtojmë modulin e dividendit me modulin e pjesëtuesit, atëherë marrim një herës jo të plotë dhe
• mbetje;
• shkruani numrin e kundërt.

Shqyrtoni shembullin e algoritmit për pjesëtimin e një numri të plotë pozitiv me një numër të plotë negativ.

Shembulli 4

Kryeni pjesëtimin me një mbetje prej 17 me - 5 .

Zgjidhje

Le të zbatojmë algoritmin e pjesëtimit me pjesën e mbetur të një numri të plotë pozitiv me një numër të plotë negativ. Është e nevojshme të ndani modulin 17 me - 5. Nga këtu marrim se herësi jo i plotë është 3, dhe pjesa e mbetur është 2.

Ne marrim se numri i dëshiruar nga pjesëtimi i 17 me - 5 \u003d - 3 me një mbetje të barabartë me 2.

Përgjigje: 17: (− 5) = − 3 (2 të mbetura).

Shembulli 5

Ndani 45 me - 15 .

Zgjidhje

Është e nevojshme të ndahet moduli i numrave. Numrin 45 e ndajmë me 15, marrim herësin 3 pa mbetje. Pra, numri 45 pjesëtohet me 15 pa mbetje. Në përgjigje marrim - 3, pasi ndarja u krye me modul.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

Përgjigje: 45: (− 15) = − 3 .

Formulimi i rregullit të ndarjes me një mbetje është si më poshtë.

Përkufizimi 2

Për të marrë një herës jo të plotë c kur pjesëtoni një numër të plotë negativ   a me një pozitiv b, duhet të aplikoni të kundërtën e këtij numri dhe të zbrisni 1 prej tij, atëherë pjesa e mbetur d do të llogaritet me formulën: d = a − b · c.

Bazuar në rregull, mund të konkludojmë se kur pjesëtojmë, marrim një numër të plotë jo negativ. Për saktësinë e zgjidhjes, përdoret algoritmi për pjesëtimin e a me b me një mbetje:

• gjeni modulet e dividendit dhe pjesëtuesit;
• modulin e ndarjes;
• shkruaj të kundërtën e numrit të dhënë dhe zbrit 1 ;
• përdorni formulën për mbetjen d = a − b c.

Konsideroni një shembull të një zgjidhjeje ku zbatohet ky algoritëm.

Shembulli 6

Gjeni herësin e paplotë dhe pjesën e mbetur të pjesëtimit - 17 me 5.

Zgjidhje

Ndajmë modulin e numrave të dhënë. Ne marrim se kur pjesëtojmë, herësi është 3, dhe pjesa e mbetur është 2. Meqenëse kemi marrë 3, e kundërta është 3. Është e nevojshme të zbritet 1 .

− 3 − 1 = − 4 .

Vlera e dëshiruar është e barabartë me - 4 .

Për të llogaritur pjesën e mbetur, ju nevojitet a = − 17 , b = 5 , c = − 4 , pastaj d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 .

Kjo do të thotë se herësi jo i plotë i pjesëtimit është numri - 4 me një mbetje të barabartë me 3.

Përgjigje:(− 17) : 5 = − 4 (3 të mbetura).

Shembulli 7

Ndani numrin e plotë negativ - 1404 me pozitivin 26 .

Zgjidhje

Është e nevojshme të ndahet me një kolonë dhe me modul.

Morëm ndarjen e moduleve të numrave pa mbetje. Kjo do të thotë që ndarja kryhet pa mbetje, dhe herësi i dëshiruar = - 54.

Përgjigje: (− 1 404) : 26 = − 54 .

Rregulla e ndarjes me një mbetje të numrave të plotë negativë, shembuj

Është e nevojshme të formulohet një rregull ndarjeje me një pjesë të mbetur të numrave të plotë negativë.

Përkufizimi 3

Për të marrë një herës jo të plotë nga pjesëtimi i një numri të plotë negativ a me një numër të plotë negativ b, është e nevojshme të kryhen llogaritjet e modulit, pas së cilës shtoni 1, pastaj mund të llogarisim duke përdorur formulën d = a - b · c.

Nga kjo rezulton se herësi jo i plotë i pjesëtimit të numrave të plotë negativ do të jetë një numër pozitiv.

Ne e formulojmë këtë rregull në formën e një algoritmi:

• gjeni modulet e dividendit dhe pjesëtuesit;
• pjesëtojeni modulin e dividendit me modulin e pjesëtuesit për të marrë një herës jo të plotë me
• mbetje;
• duke i shtuar 1 herësit jo të plotë;
• llogaritja e mbetjes, bazuar në formulën d = a − b c .

Le ta shqyrtojmë këtë algoritëm me një shembull.

Shembulli 8

Gjeni herësin e paplotë dhe mbetjen kur pjesëtoni - 17 me - 5 .

Zgjidhje

Për korrektësinë e zgjidhjes zbatojmë algoritmin e pjesëtimit me mbetje. Së pari, ndani modulin e numrave. Nga këtu marrim se herësi jo i plotë \u003d 3, dhe pjesa e mbetur është 2. Sipas rregullit, është e nevojshme të shtohet herësi jo i plotë dhe 1. Marrim se 3 + 1 = 4 . Nga këtu marrim se herësi jo i plotë nga pjesëtimi i numrave të dhënë është 4.

Për të llogaritur pjesën e mbetur, ne do të zbatojmë formulën. Me kusht, ne kemi që a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4, atëherë, duke përdorur formulën, marrim d \u003d a - b c \u003d - 17 - (-5) 4 \u003d - 17 - (- 20) = − 17 + 20 = 3 . Përgjigja e dëshiruar, domethënë pjesa e mbetur, është 3, dhe herësi jo i plotë është 4.

Përgjigje:(− 17) : (− 5) = 4 (3 të mbetura).

Kontrollimi i rezultatit të pjesëtimit të numrave të plotë me një mbetje

Pas kryerjes së ndarjes së numrave me një mbetje, është e nevojshme të kryhet një kontroll. Ky kontroll përfshin 2 faza. Së pari, pjesa e mbetur d kontrollohet për jonegativitet, kushti 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Le të shohim shembuj.

Shembulli 9

Ndarja e prodhuar - 521 nga - 12. Koeficienti është 44, pjesa e mbetur është 7. Kryeni një kontroll.

Zgjidhje

Meqenëse pjesa e mbetur është një numër pozitiv, vlera e tij është më e vogël se moduli i pjesëtuesit. Pjesëtuesi është -12, pra moduli i tij është 12. Mund të kaloni në pikën tjetër të kontrollit.

Me kusht, kemi që a = - 521 , b = - 12 , c = 44 , d = 7 . Nga këtu llogarisim b c + d , ku b c + d = − 12 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521 . Nga kjo rrjedh se barazia është e vërtetë. Kontrolli i kaluar.

Shembulli 10

Kontrollo ndarjen (− 17) : 5 = − 3 (e mbetur − 2). A është e vërtetë barazia?

Zgjidhje

Kuptimi i fazës së parë është se është e nevojshme të kontrollohet ndarja e numrave të plotë me një mbetje. Kjo tregon se veprimi është kryer gabimisht, pasi pjesa e mbetur është dhënë, e barabartë me - 2. Pjesa e mbetur nuk është një numër negativ.

Kemi që kushti i dytë është i plotësuar, por i pamjaftueshëm për këtë rast.

Përgjigje: nr.

Shembulli 11

Numri - 19 pjesëtuar me - 3 . Koeficienti i pjesshëm është 7 dhe pjesa e mbetur është 1. Kontrolloni nëse kjo llogaritje është e saktë.

Zgjidhje

Jepet një mbetje prej 1. Ai është pozitiv. Vlera është më e vogël se moduli ndarës, që do të thotë se është kryer faza e parë. Le të kalojmë në fazën e dytë.

Le të llogarisim vlerën e shprehjes b · c + d . Me kusht, ne kemi që b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1, prandaj, duke zëvendësuar vlerat numerike, marrim b c + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20. Nga kjo rrjedh se barazia a = b · c + d nuk plotësohet, pasi kushti është dhënë a = - 19 .

Kjo nënkupton se ndarja është bërë me gabim.

Përgjigje: nr.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Çfarë bën klasa e tretë në matematikë? Ndarja me mbetje, shembuj dhe detyra - kjo është ajo që studiohet në mësime. Ndarja me një mbetje dhe algoritmi për llogaritjet e tilla do të diskutohen në artikull.

Veçoritë

Merrni parasysh temat e përfshira në programin që po studion klasa e tretë. Ndarja me mbetje është një seksion i veçantë i matematikës. Për çfarë bëhet fjalë? Nëse dividenti nuk është i pjesëtueshëm në mënyrë të barabartë me pjesëtuesin, atëherë pjesa e mbetur mbetet. Për shembull, ne ndajmë 21 me 6. Rezulton 3, por pjesa e mbetur mbetet 3.

Në rastet kur, gjatë pjesëtimit të numrave natyrorë, mbetja është e barabartë me zero, thonë se pjesëtimi është bërë me një numër të plotë. Për shembull, nëse 25 pjesëtohet me 5, rezultati është 5. Pjesa e mbetur është zero.

Zgjidhja e shembujve

Për të kryer ndarjen me një mbetje, përdoret një shënim specifik.

Le të japim shembuj në matematikë (klasa 3). Ndarja me një mbetje mund të lihet jashtë. Mjafton të shkruani në një rresht: 13:4=3 (mbetja 1) ose 17:5=3 (mbetja 2).

Le të analizojmë gjithçka në më shumë detaje. Për shembull, kur 17 ndahet me tre, fitohet numri i plotë pesë, përveç kësaj, pjesa e mbetur është dy. Cila është procedura për zgjidhjen e një shembulli të tillë për pjesëtimin me mbetje? Së pari ju duhet të gjeni numrin maksimal deri në 17, i cili mund të ndahet pa mbetje me tre. Më i madhi do të jetë 15.

Tjetra, 15 ndahet me numrin tre, rezultati i veprimit do të jetë numri pesë. Tani ne zbresim numrin që gjetëm nga pjesëtueshmja, domethënë, zbresim 15 nga 17, marrim dy. Veprimi i detyrueshëm është pajtimi i pjesëtuesit dhe i mbetur. Pas verifikimit regjistrohet domosdoshmërisht përgjigja e veprimit të ndërmarrë. 17:3=15 (e mbetura 2).

Nëse pjesa e mbetur është më e madhe se pjesëtuesi, veprimi nuk është kryer si duhet. Është sipas këtij algoritmi që kryhet ndarja e klasës 3 me një mbetje. Shembujt fillimisht analizohen nga mësuesi në dërrasën e zezë, më pas fëmijët ftohen të testojnë njohuritë e tyre duke kryer punë të pavarur.

Shembull shumëzimi

Një nga temat më të vështira me të cilën përballet klasa e tretë është ndarja me mbetje. Shembujt mund të jenë kompleks, veçanërisht kur kërkohen llogaritje shtesë të kolonave.

Le të themi se ju duhet të pjesëtoni numrin 190 me 27 për të marrë mbetjen minimale. Le të përpiqemi ta zgjidhim problemin duke përdorur shumëzimin.

Zgjedhim një numër që kur shumëzohet do të japë një shifër sa më të afërt me numrin 190. Nëse shumëzojmë 27 me 6, marrim numrin 162. Zbrisni numrin 162 nga 190, pjesa e mbetur do të jetë 28. U kthye të jetë më shumë se pjesëtuesi origjinal. Prandaj, numri gjashtë nuk është i përshtatshëm për shembullin tonë si shumëzues. Vazhdojmë zgjidhjen e shembullit, duke marrë numrin 7 për shumëzim.

Duke shumëzuar 27 me 7, marrim produktin 189. Më pas, do të kontrollojmë korrektësinë e zgjidhjes, për këtë zbresim rezultatin e marrë nga 190, domethënë, zbresim numrin 189. Pjesa e mbetur do të jetë 1, që është qartësisht më pak se 27. Kështu zgjidhen shprehjet e ndërlikuara në shkollë (klasa e tretë, pjesëtimi me mbetje). Shembujt gjithmonë përfshijnë një rekord përgjigjeje. E gjithë shprehja matematikore mund të formulohet si më poshtë: 190:27=7 (mbetja 1). Llogaritjet e ngjashme mund të bëhen në një kolonë.

Kështu funksionon ndarja e klasës 3 me një mbetje. Shembujt e dhënë më sipër do të ndihmojnë për të kuptuar algoritmin për zgjidhjen e problemeve të tilla.

konkluzioni

Në mënyrë që nxënësit e shkollave fillore të formojnë aftësitë e sakta llogaritëse, mësuesi gjatë orëve të matematikës duhet t'i kushtojë vëmendje shpjegimit të algoritmit të veprimeve të fëmijës kur zgjidh detyrat për ndarje me një mbetje.

Sipas standardeve të reja arsimore të shtetit federal, vëmendje e veçantë i kushtohet një qasjeje individuale ndaj të mësuarit. Mësuesi duhet të zgjedhë detyrat për secilin fëmijë, duke marrë parasysh aftësitë e tij individuale. Në çdo fazë të mësimit të rregullave të ndarjes me një mbetje, mësuesi duhet të kryejë kontroll të ndërmjetëm. Ai i lejon atij të identifikojë problemet kryesore që lindin me asimilimin e materialit për secilin student, njohuritë dhe aftësitë e duhura në kohë, të eliminojë problemet e shfaqura dhe të marrë rezultatin e dëshiruar.

Ndarja me mbetjeështë pjesëtimi i një numri me një tjetër në mënyrë që mbetja të mos jetë zero.

Nuk është gjithmonë e mundur të kryhet pjesëtimi, pasi ka raste kur një numër nuk pjesëtohet me një tjetër. Për shembull, numri 11 nuk ndahet me 3, pasi nuk ka një numër të tillë natyror që, kur shumëzohet me 3, do të jepte 11.

Kur pjesëtimi nuk mund të kryhet, është rënë dakord që të ndahet jo e gjithë pjesëtueshmja, por vetëm pjesa më e madhe e saj, e cila mund të ndahet vetëm në pjesëtues. AT ky shembull pjesa më e madhe e dividentit që mund të ndahet me 3 është 9 (si rezultat marrim 3), pjesa më e vogël e mbetur e dividentit - 2 nuk do të ndahet me 3.

Duke folur për pjesëtimin 11 me 3, 11 quhet ende i pjesëtueshëm, 3 është pjesëtues, rezultati i pjesëtimit është numri 3, ata e quajnë private jo të plota, dhe numri 2 - pjesa e mbetur e ndarjes. Vetë pjesëtimi në këtë rast quhet pjesëtim me mbetje.

Një herës jo i plotë quhet numri më i madh, e cila, kur shumëzohet me një pjesëtues, jep një produkt që nuk e kalon dividentin. Diferenca midis dividendit dhe këtij produkti quhet mbetje. Pjesa e mbetur është gjithmonë më e vogël se pjesëtuesi, përndryshe mund të ndahet edhe me pjesëtuesin.

Ndarja me mbetje mund të shkruhet kështu:

11: 3 = 3 (e mbetura 2)

Nëse, kur një numër natyror pjesëtohet me një tjetër, mbetja është 0, atëherë numri i parë thuhet se është i plotpjesëtueshëm me të dytin. Për shembull, 4 pjesëtohet në mënyrë të barabartë me 2. Numri 5 as që pjesëtohet me 2. E gjithë fjala zakonisht hiqet për shkurtim dhe thonë: ky numër pjesëtohet me një tjetër, p.sh.: 4 pjesëtohet me 2, dhe 5 nuk pjesëtohet me 2.

Kontrollimi i ndarjes me një mbetje

Ju mund ta kontrolloni rezultatin e pjesëtimit me një mbetje në mënyrën e mëposhtme: shumëzoni herësin e paplotë me pjesëtuesin (ose anasjelltas) dhe shtoni pjesën e mbetur në produktin që rezulton. Nëse rezultati është një numër i barabartë me dividentin, atëherë ndarja me një mbetje bëhet saktë:

11: 3 = 3 (e mbetura 2)