- (shpërndarja binomiale) Një shpërndarje që lejon llogaritjen e probabilitetit të ndodhjes së ndonjë ngjarjeje të rastësishme të përftuar si rezultat i vëzhgimeve të një numri ngjarjesh të pavarura, nëse probabiliteti i shfaqjes së përbërësve të tij elementar... ... Fjalori ekonomik

- (Shpërndarja Bernoulli) shpërndarja e probabilitetit të numrit të shfaqjeve të një ngjarjeje të caktuar gjatë provave të pavarura të përsëritura, nëse probabiliteti i ndodhjes së kësaj ngjarje në çdo provë është i barabartë me p(0 p 1). Pikërisht, numri? Dukuritë e kësaj ngjarje janë... ... Fjalori i madh enciklopedik

shpërndarja binomiale- - Temat e telekomunikacionit, konceptet bazë EN shpërndarje binomiale ...

- (Shpërndarja Bernoulli), shpërndarja e probabilitetit të numrit të shfaqjeve të një ngjarjeje të caktuar gjatë provave të pavarura të përsëritura, nëse probabiliteti i ndodhjes së kësaj ngjarje në çdo provë është i barabartë me p (0≤p≤1). Gjegjësisht, numri μ i dukurive të kësaj ngjarje... ... Fjalor Enciklopedik

shpërndarja binomiale- 1.49. Shpërndarja binomiale Shpërndarja e probabilitetit të diskretit ndryshore e rastësishme X, duke marrë çdo vlerë të plotë nga 0 në n, të tilla që për x = 0, 1, 2, ..., n dhe parametrat n = 1, 2, ... dhe 0< p < 1, где Источник … Fjalor-libër referues i termave të dokumentacionit normativ dhe teknik

Shpërndarja Bernoulli, shpërndarja e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme X, duke marrë vlera të plota me probabilitete, përkatësisht (koeficienti binomial; parametri p i B.r., i quajtur probabiliteti i një rezultati pozitiv, duke marrë vlerat ... Enciklopedia Matematikore

Shpërndarja e probabilitetit të numrit të shfaqjeve të një ngjarjeje të caktuar gjatë provave të pavarura të përsëritura. Nëse gjatë çdo prove probabiliteti që një ngjarje të ndodhë është i barabartë me p, me 0 ≤ p ≤ 1, atëherë numri μ i dukurive të kësaj ngjarjeje për n të pavarur... ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

- (Shpërndarja Bernoulli), shpërndarja e probabilitetit të numrit të shfaqjeve të një ngjarje të caktuar gjatë provave të pavarura të përsëritura, nëse probabiliteti i ndodhjes së kësaj ngjarje në çdo provë është i barabartë me p (0<или = p < или = 1). Именно, число м появлений … Shkenca natyrore. Fjalor Enciklopedik

Shpërndarja binomiale e probabilitetit- (shpërndarja binomiale) Një shpërndarje që vërehet në rastet kur rezultati i çdo eksperimenti të pavarur (vëzhgimi statistikor) merr një nga dy vlerat e mundshme: fitore ose humbje, përfshirje ose përjashtim, plus ose ... Fjalor ekonomik dhe matematikor

shpërndarja binomiale e probabilitetit- Një shpërndarje që vërehet në rastet kur rezultati i çdo eksperimenti të pavarur (vëzhgimi statistikor) merr një nga dy vlerat e mundshme: fitore ose disfatë, përfshirje ose përjashtim, plus ose minus, 0 ose 1. Kjo është... ... Udhëzues teknik i përkthyesit

libra

• Teoria e probabilitetit dhe statistikat matematikore në problema. Më shumë se 360 ​​probleme dhe ushtrime, D. A. Borzykh. Manuali i propozuar përmban detyra me nivele të ndryshme kompleksiteti. Megjithatë, theksi kryesor është në detyrat me kompleksitet mesatar. Kjo është bërë qëllimisht për të inkurajuar studentët që...
• Teoria e probabilitetit dhe statistikat matematikore në probleme Më shumë se 360 ​​probleme dhe ushtrime, D. Borzykh Manuali i propozuar përmban probleme me nivele të ndryshme kompleksiteti. Megjithatë, theksi kryesor është në detyrat me kompleksitet mesatar. Kjo është bërë qëllimisht për të inkurajuar studentët që...

Në këtë dhe në postimet e ardhshme do të shikojmë modelet matematikore të ngjarjeve të rastësishme. Modeli matematikështë një shprehje matematikore që përfaqëson një ndryshore të rastësishme. Për variabla diskrete të rastësishme, kjo shprehje matematikore njihet si funksioni i shpërndarjes.

Nëse problemi ju lejon të shkruani në mënyrë eksplicite një shprehje matematikore që përfaqëson një ndryshore të rastësishme, mund të llogarisni probabilitetin e saktë të cilësdo prej vlerave të saj. Në këtë rast, mund të llogaritni dhe listoni të gjitha vlerat e funksionit të shpërndarjes. Një shumëllojshmëri e shpërndarjeve të variablave të rastësishëm hasen në aplikime biznesi, sociologjike dhe mjekësore. Një nga shpërndarjet më të dobishme është binomi.

Shpërndarja binomiale përdoret për të simuluar situata të karakterizuara nga veçoritë e mëposhtme.

• Mostra përbëhet nga një numër fiks elementësh n, që përfaqëson rezultatet e një testi të caktuar.
• Çdo element i mostrës i përket njërës prej dy kategorive ekskluzive reciproke që shterojnë të gjithë hapësirën e mostrës. Zakonisht këto dy kategori quhen sukses dhe dështim.
• Probabiliteti i suksesit rështë konstante. Prandaj, probabiliteti i dështimit është 1 – fq.
• Rezultati (d.m.th. suksesi ose dështimi) i çdo prove nuk varet nga rezultati i një prove tjetër. Për të siguruar pavarësinë e rezultateve, elementët e mostrës zakonisht merren duke përdorur dy metoda të ndryshme. Çdo element në kampion është nxjerrë rastësisht nga një popullatë e pafundme pa rikthim ose nga një popullatë e fundme me rikthim.

Shkarkoni shënimin në ose format, shembuj në format

Shpërndarja binomiale përdoret për të vlerësuar numrin e sukseseve në një kampion të përbërë nga n vëzhgimet. Le të marrim porosinë si shembull. Për të bërë një porosi, klientët e Saxon Company mund të përdorin formularin elektronik interaktiv dhe ta dërgojnë atë në kompani. Sistemi i informacionit më pas kontrollon për gabime, informacione të paplota ose të pasakta në porosi. Çdo urdhër në fjalë shënohet dhe përfshihet në raportin ditor të përjashtimit. Të dhënat e mbledhura nga kompania tregojnë se probabiliteti i gabimeve në porosi është 0.1. Një kompani do të donte të dinte se cila është probabiliteti për të gjetur një numër të caktuar porosish të gabuara në një mostër të caktuar. Për shembull, le të themi se klientët plotësojnë katër formularë elektronikë. Sa është probabiliteti që të gjitha porositë të jenë pa gabime? Si të llogarisni këtë probabilitet? Me sukses do të kuptojmë një gabim gjatë plotësimit të formularit dhe të gjitha rezultatet e tjera do të konsiderohen si dështim. Kujtojmë që ne jemi të interesuar për numrin e porosive të gabuara në një mostër të caktuar.

Çfarë rezultatesh mund të vëzhgojmë? Nëse kampioni përbëhet nga katër rend, një, dy, tre ose të katër mund të jenë të pasakta dhe të gjitha mund të jenë të sakta. A mund të marrë ndonjë vlerë tjetër një ndryshore e rastësishme që përshkruan numrin e formularëve të plotësuar gabimisht? Kjo nuk është e mundur sepse numri i formularëve të pasaktë nuk mund të kalojë madhësinë e mostrës n ose të jetë negativ. Kështu, një ndryshore e rastësishme që i bindet ligjit të shpërndarjes binomiale merr vlera nga 0 në n.

Le të supozojmë se në një kampion prej katër rendesh vërehen rezultatet e mëposhtme:

Sa është probabiliteti për të gjetur tre urdhra të gabuar në një kampion prej katër renditjesh, sipas rendit të specifikuar? Meqenëse hulumtimi paraprak ka treguar se probabiliteti i një gabimi gjatë plotësimit të formularit është 0.10, probabilitetet e rezultateve të mësipërme llogariten si më poshtë:

Meqenëse rezultatet nuk varen nga njëra-tjetra, probabiliteti i sekuencës së specifikuar të rezultateve është i barabartë me: p*p*(1–p)*p = 0.1*0.1*0.9*0.1 = 0.0009. Nëse keni nevojë të llogarisni numrin e zgjedhjeve X n elemente, duhet të përdorni formulën e kombinimit (1):

ku n! = n * (n –1) * (n – 2) * … * 2 * 1 - faktorial i një numri n, dhe 0! = 1 dhe 1! = 1 sipas përkufizimit.

Kjo shprehje shpesh referohet si . Kështu, nëse n = 4 dhe X = 3, numri i sekuencave që përbëhen nga tre elementë të nxjerrë nga një madhësi kampion prej 4 përcaktohet nga formula e mëposhtme:

Prandaj, probabiliteti i zbulimit të tre porosive të gabuara llogaritet si më poshtë:

(Numri i sekuencave të mundshme) *
(probabiliteti i një sekuence të veçantë) = 4 * 0.0009 = 0.0036

Në mënyrë të ngjashme, mund të llogarisni probabilitetin që midis katër urdhrave të ketë një ose dy të gabuara, si dhe probabilitetin që të gjitha urdhrat të jenë të gabuara ose të gjitha të jenë të sakta. Megjithatë, me rritjen e madhësisë së mostrës n përcaktimi i probabilitetit të një sekuence të caktuar rezultatesh bëhet më i vështirë. Në këtë rast, duhet të aplikoni modelin e duhur matematikor që përshkruan shpërndarjen binomiale të numrit të zgjedhjeve X objekte nga një përzgjedhje që përmban n elementet.

Shpërndarja binomiale

Ku P(X)- probabiliteti X sukses për një madhësi të caktuar kampioni n dhe probabilitetin e suksesit r, X = 0, 1, … n.

Ju lutemi vini re se formula (2) është një zyrtarizim i përfundimeve intuitive. Ndryshore e rastësishme X, e cila i bindet shpërndarjes binomiale, mund të marrë çdo vlerë të plotë në rangun nga 0 në n. Puna rX(1 – p)n – X paraqet probabilitetin e një sekuence të caktuar që përbëhet nga X sukses në një madhësi kampion të barabartë me n. Vlera përcakton numrin e kombinimeve të mundshme që përbëhen nga X sukses në n testet. Prandaj, për një numër të caktuar testesh n dhe probabilitetin e suksesit r probabiliteti i një sekuence të përbërë nga X sukses, i barabartë

P(X) = (numri i sekuencave të mundshme) * (probabiliteti i një sekuence të caktuar) =

Le të shqyrtojmë shembuj që ilustrojnë zbatimin e formulës (2).

1. Le të supozojmë se probabiliteti për të plotësuar gabimisht formularin është 0.1. Sa është probabiliteti që nga katër formularët e plotësuar, tre të jenë të pasaktë? Duke përdorur formulën (2), ne gjejmë se probabiliteti i zbulimit të tre urdhrave të gabuar në një kampion të përbërë nga katër rend është i barabartë me

2. Le të supozojmë se probabiliteti i plotësimit të gabuar të formularit është 0.1. Sa është probabiliteti që nga katër formularët e plotësuar, të paktën tre të jenë të pasaktë? Siç tregohet në shembullin e mëparshëm, probabiliteti që midis katër formularëve të plotësuar, tre të jenë të pasaktë është 0.0036. Për të llogaritur probabilitetin që midis katër formularëve të plotësuar të paktën tre të jenë të pasaktë, duhet të shtoni probabilitetin që midis katër formularëve të plotësuar tre të jenë të pasaktë dhe probabilitetin që midis katër formularëve të plotësuar të gjithë të jenë të pasaktë. Probabiliteti i ngjarjes së dytë është

Kështu, probabiliteti që midis katër formularëve të plotësuar të paktën tre të jenë të pasaktë është i barabartë me

P(X > 3) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0,0036 + 0,0001 = 0,0037

3. Le të supozojmë se probabiliteti i plotësimit të gabuar të formularit është 0.1. Sa është probabiliteti që nga katër formularët e plotësuar, më pak se tre të jenë të pasaktë? Probabiliteti i kësaj ngjarje

P(X< 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

Duke përdorur formulën (2), ne llogarisim secilën nga këto probabilitete:

Prandaj, P(X< 3) = 0,6561 + 0,2916 + 0,0486 = 0,9963.

Probabiliteti P(X< 3) можно вычислить иначе. Для этого воспользуемся тем, что событие X < 3 является дополнительным по отношению к событию Х>3. Pastaj P(X< 3) = 1 – Р(Х> 3) = 1 – 0,0037 = 0,9963.

Ndërsa madhësia e kampionit rritet n llogaritjet e ngjashme me ato të kryera në shembullin 3 bëhen të vështira. Për të shmangur këto komplikime, shumë probabilitete binomiale janë tabeluar paraprakisht. Disa nga këto probabilitete janë paraqitur në Fig. 1. Për shembull, për të marrë probabilitetin që X= 2 në n= 4 dhe fq= 0.1, duhet të nxirrni nga tabela numrin në kryqëzimin e vijës X= 2 dhe kolona r = 0,1.

Oriz. 1. Probabiliteti binomial në n = 4, X= 2 dhe r = 0,1

Shpërndarja binomiale mund të llogaritet duke përdorur funksionin Excel =BINOM.DIST() (Fig. 2), i cili ka 4 parametra: numri i sukseseve - X, numri i testeve (ose madhësia e mostrës) - n, probabiliteti i suksesit - r, parametri integrale, e cila merr vlerën TRUE (në këtë rast, probabiliteti llogaritet jo më pak X ngjarje) ose FALSE (në këtë rast probabiliteti llogaritet pikërisht X ngjarje).

Oriz. 2. Parametrat e funksionit =BINOM.DIST()

Për tre shembujt e mësipërm, llogaritjet janë paraqitur në Fig. 3 (shih gjithashtu skedarin Excel). Çdo kolonë përmban një formulë. Numrat tregojnë përgjigjet për shembujt e numrit përkatës).

Oriz. 3. Llogaritja e shpërndarjes binomiale në Excel për n= 4 dhe fq = 0,1

Vetitë e shpërndarjes binomiale

Shpërndarja binomiale varet nga parametrat n Dhe r. Shpërndarja binomiale mund të jetë ose simetrike ose asimetrike. Nëse p = 0,05, shpërndarja binomiale është simetrike pavarësisht nga vlera e parametrit n. Megjithatë, nëse p ≠ 0.05, shpërndarja bëhet e anuar. Sa më afër vlera e parametrit r në 0.05 dhe sa më e madhe të jetë madhësia e kampionit n, aq më pak e theksuar është asimetria e shpërndarjes. Kështu, shpërndarja e numrit të formularëve të plotësuar gabimisht anon djathtas sepse fq= 0,1 (Fig. 4).

Oriz. 4. Histogrami i shpërndarjes binomiale në n= 4 dhe fq = 0,1

Pritja e shpërndarjes binomiale e barabartë me produktin e madhësisë së kampionit n mbi probabilitetin e suksesit r:

(3) M = E(X) =n.p.

Mesatarisht, me një seri mjaftueshëm të gjatë testesh në një kampion të përbërë nga katër urdhra, mund të ketë p = E(X) = 4 x 0.1 = 0.4 formularë të plotësuar gabimisht.

Devijimi standard i shpërndarjes binomiale

Për shembull, devijimi standard i numrit të formularëve të plotësuar gabimisht në një kontabilitet sistemi i informacionit barazohet me:

Përdoren materiale nga libri Levin et al. – M.: Williams, 2004. – f. 307–313

Teoria e probabilitetit është në mënyrë të padukshme e pranishme në jetën tonë. Ne nuk i kushtojmë vëmendje, por çdo ngjarje në jetën tonë ka një probabilitet ose një tjetër. Duke marrë parasysh numrin e madh të skenarëve të mundshëm, bëhet e nevojshme që ne të përcaktojmë më të mundshmit dhe më pak të mundshëm prej tyre. Është më e përshtatshme që të analizohen grafikisht të dhëna të tilla probabiliste. Shpërndarja mund të na ndihmojë me këtë. Binomi është një nga më të lehtat dhe më të saktat.

Përpara se të kalojmë drejtpërdrejt në matematikë dhe teorinë e probabilitetit, le të kuptojmë se kush ishte i pari që doli me këtë lloj shpërndarjeje dhe cila është historia e zhvillimit të aparatit matematikor për këtë koncept.

Histori

Koncepti i probabilitetit është i njohur që nga kohërat e lashta. Megjithatë, matematikanët e lashtë nuk i kushtuan shumë rëndësi dhe ishin në gjendje të vendosnin vetëm themelet për teorinë që më vonë u bë teoria e probabilitetit. Ata krijuan disa metoda kombinuese që ndihmuan shumë ata që më vonë krijuan dhe zhvilluan vetë teorinë.

Në gjysmën e dytë të shekullit të shtatëmbëdhjetë filloi formimi i koncepteve dhe metodave bazë të teorisë së probabilitetit. U prezantuan përkufizimet e variablave të rastësishëm dhe metodat për llogaritjen e probabilitetit të ngjarjeve të thjeshta dhe disa komplekse të pavarura dhe të varura. Ky interes për variablat dhe probabilitetet e rastësishme u diktua nga kumari: çdo person donte të dinte se cilat ishin shanset e tij për të fituar lojën.

Faza tjetër ishte aplikimi i metodave të analizës matematikore në teorinë e probabilitetit. Matematikanë të shquar si Laplace, Gauss, Poisson dhe Bernoulli morën këtë detyrë. Ishin ata që e avancuan këtë fushë të matematikës në një nivel të ri. Ishte James Bernoulli ai që zbuloi ligjin e shpërndarjes binomiale. Nga rruga, siç do të zbulojmë më vonë, në bazë të këtij zbulimi u bënë disa të tjera, të cilat bënë të mundur krijimin e ligjit të shpërndarjes normale dhe shumë të tjerë.

Tani, përpara se të fillojmë të përshkruajmë shpërndarjen binomiale, do të rifreskojmë pak kujtesën tonë për konceptet e teorisë së probabilitetit, të cilat ndoshta i kemi harruar tashmë nga shkolla.

Bazat e teorisë së probabilitetit

Ne do të shqyrtojmë sisteme të tilla, si rezultat i të cilave janë të mundshme vetëm dy rezultate: "sukses" dhe "dështim". Kjo është e lehtë për t'u kuptuar me një shembull: ne hedhim një monedhë, duke shpresuar se ajo do të dalë në krye. Probabilitetet e secilës prej ngjarjeve të mundshme (rënia e kokës - "sukses", rënia e kokës - "dështimi") janë të barabarta me 50 për qind nëse monedha është e balancuar në mënyrë të përsosur dhe nuk ka faktorë të tjerë që mund të ndikojnë në eksperiment.

Ishte ngjarja më e thjeshtë. Por ka edhe sisteme komplekse në të cilat kryhen veprime të njëpasnjëshme, dhe probabilitetet e rezultateve të këtyre veprimeve do të ndryshojnë. Për shembull, merrni parasysh sistemin e mëposhtëm: në një kuti, përmbajtjen e së cilës nuk mund ta shohim, ka gjashtë topa absolutisht identikë, tre palë ngjyra blu, të kuqe dhe të bardhë. Duhet të marrim disa topa në mënyrë të rastësishme. Prandaj, duke nxjerrë së pari një nga topat e bardhë, ne do të zvogëlojmë ndjeshëm gjasat që të marrim edhe një top të bardhë më pas. Kjo ndodh sepse numri i objekteve në sistem ndryshon.

Në seksionin tjetër, ne do të shikojmë konceptet më komplekse matematikore që na afrojnë më afër se çfarë nënkuptojnë fjalët "shpërndarje normale", "shpërndarje binomiale" dhe të ngjashme.

Elementet e statistikës matematikore

Në statistikat, e cila është një nga fushat e zbatimit të teorisë së probabilitetit, ka shumë shembuj ku të dhënat për analizë nuk jepen në mënyrë eksplicite. Kjo është, jo numerikisht, por në formën e ndarjes sipas karakteristikave, për shembull, sipas gjinisë. Për të aplikuar mjete matematikore në të dhëna të tilla dhe për të nxjerrë disa përfundime nga rezultatet e marra, është e nevojshme të konvertohen të dhënat origjinale në një format numerik. Në mënyrë tipike, për ta bërë këtë, një rezultati pozitiv i caktohet një vlerë prej 1, dhe një rezultati negativ i caktohet një vlerë prej 0. Kështu, marrim të dhëna statistikore që mund të analizohen duke përdorur metoda matematikore.

Hapi tjetër për të kuptuar se çfarë është një shpërndarje binomiale e një ndryshoreje të rastësishme është përcaktimi i variancës së ndryshores së rastësishme dhe pritshmërisë matematikore. Ne do të flasim për këtë në pjesën tjetër.

pritje

Në fakt, të kuptosh se çfarë është pritshmëria matematikore nuk është e vështirë. Konsideroni një sistem në të cilin ka shumë ngjarje të ndryshme me probabilitetet e tyre të ndryshme. Pritja matematikore do të quhet një vlerë e barabartë me shumën e produkteve të vlerave të këtyre ngjarjeve (në formën matematikore për të cilën folëm në pjesën e fundit) dhe probabilitetin e shfaqjes së tyre.

Pritshmëria matematikore e një shpërndarjeje binomiale llogaritet duke përdorur të njëjtën skemë: marrim vlerën e një ndryshoreje të rastësishme, e shumëzojmë atë me probabilitetin e një rezultati pozitiv dhe pastaj mbledhim të dhënat që rezultojnë për të gjitha variablat. Është shumë i përshtatshëm për t'i paraqitur këto të dhëna grafikisht - në këtë mënyrë diferenca midis pritjeve matematikore të vlerave të ndryshme perceptohet më mirë.

Në pjesën tjetër do t'ju tregojmë pak për një koncept tjetër - variancën e një ndryshoreje të rastësishme. Ai është gjithashtu i lidhur ngushtë me konceptin e shpërndarjes së probabilitetit binomial dhe është karakteristikë e tij.

Varianca e shpërndarjes binomiale

Kjo vlerë është e lidhur ngushtë me atë të mëparshmen dhe karakterizon gjithashtu shpërndarjen e të dhënave statistikore. Ai përfaqëson katrorin mesatar të devijimeve të vlerave nga pritshmëria e tyre matematikore. Kjo do të thotë, varianca e një ndryshoreje të rastësishme është shuma e diferencave në katror midis vlerës së një ndryshoreje të rastësishme dhe pritshmërisë së saj matematikore, shumëzuar me probabilitetin e kësaj ngjarjeje.

Në përgjithësi, kjo është gjithçka që duhet të dimë për variancën për të kuptuar se çfarë është një shpërndarje probabiliteti binomial. Tani le të kalojmë drejtpërdrejt në temën tonë kryesore. Domethënë, çfarë qëndron pas një fraze të tillë në dukje mjaft komplekse "ligji i shpërndarjes binomiale".

Shpërndarja binomiale

Le të kuptojmë së pari pse kjo shpërndarje është binomiale. Vjen nga fjala "binom". Ndoshta keni dëgjuar për binomin e Njutonit - një formulë që mund të përdoret për të zgjeruar shumën e çdo dy numrash a dhe b në çdo fuqi jo negative n.

Siç e keni menduar tashmë, formula binomiale e Njutonit dhe formula e shpërndarjes binomiale janë pothuajse të njëjtat formula. Me përjashtimin e vetëm që ka i dyti vlerë e aplikuar për sasi të veçanta, dhe i pari është vetëm një mjet i përgjithshëm matematikor, aplikimet e të cilit në praktikë mund të jenë të ndryshme.

Formulat e shpërndarjes

Funksioni i shpërndarjes binomiale mund të shkruhet si shuma e termave të mëposhtëm:

(n!/(n-k)!k!)*p k *q n-k

Këtu n është numri i eksperimenteve të pavarura të rastësishme, p është numri i rezultateve të suksesshme, q është numri i rezultateve të pasuksesshme, k është numri i eksperimentit (mund të marrë vlera nga 0 në n),! - emërtimi i faktorialit, një funksion i një numri vlera e të cilit është e barabartë me prodhimin e të gjithë numrave që vijnë përpara tij (për shembull, për numrin 4: 4!=1*2*3*4=24).

Përveç kësaj, funksioni i shpërndarjes binomiale mund të shkruhet si një funksion beta jo i plotë. Sidoqoftë, ky është një përkufizim më kompleks, i cili përdoret vetëm kur zgjidhen probleme komplekse statistikore.

Shpërndarja binomiale, shembujt e së cilës i pamë më lart, është një nga llojet më të thjeshta të shpërndarjeve në teorinë e probabilitetit. Ekziston edhe një shpërndarje normale, e cila është një lloj binomi. Përdoret më shpesh dhe është më e lehta për t'u llogaritur. Ekzistojnë gjithashtu shpërndarje Bernoulli, shpërndarje Poisson dhe shpërndarje të kushtëzuara. Të gjithë ata karakterizojnë grafikisht diapazonin e probabilitetit të një procesi të caktuar në kushte të ndryshme.

Në pjesën tjetër do të shqyrtojmë aspektet që lidhen me përdorimin e këtij aparati matematikor në jeta reale. Në pamje të parë, natyrisht, duket se kjo është vetëm një gjë tjetër matematikore, e cila, si zakonisht, nuk gjen zbatim në jetën reale dhe në përgjithësi nuk i nevojitet askujt përveç vetë matematikanëve. Megjithatë, kjo është larg nga rasti. Në fund të fundit, të gjitha llojet e shpërndarjeve dhe paraqitjet e tyre grafike u krijuan ekskluzivisht për qëllime praktike, dhe jo si një teka e shkencëtarëve.

Aplikimi

Sigurisht, aplikimi më i rëndësishëm i shpërndarjeve është në statistikë, sepse ato kërkojnë analiza komplekse të shumë të dhënave. Siç tregon praktika, shumë grupe të dhënash kanë afërsisht të njëjtat shpërndarje vlerash: rajonet kritike me vlera shumë të ulëta dhe shumë të larta, si rregull, përmbajnë më pak elementë se vlerat mesatare.

Analiza e grupeve të mëdha të të dhënave kërkohet jo vetëm në statistika. Është i domosdoshëm, për shembull, në kiminë fizike. Në këtë shkencë, përdoret për të përcaktuar shumë sasi që shoqërohen me dridhje dhe lëvizje të rastësishme të atomeve dhe molekulave.

Në pjesën tjetër do të kuptojmë se sa e rëndësishme është përdorimi i koncepteve statistikore si binomi shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme në jetën e përditshme për ty dhe mua.

Pse më duhet kjo?

Shumë njerëz ia bëjnë vetes këtë pyetje kur bëhet fjalë për matematikën. Meqë ra fjala, matematika nuk quhet kot mbretëresha e shkencave. Është baza e fizikës, kimisë, biologjisë, ekonomisë dhe në secilën nga këto shkenca përdoret edhe një shpërndarje: nëse është një shpërndarje binomiale diskrete apo normale, nuk ka rëndësi. Dhe nëse hedhim një vështrim më të afërt në botën përreth nesh, do të shohim se matematika përdoret kudo: në jetën e përditshme, në punë, madje edhe marrëdhëniet njerëzore mund të paraqiten në formën e të dhënave statistikore dhe të analizohen (kjo, meqë ra fjala , është ajo që punojnë në organizata të veçanta të përfshira në mbledhjen e informacionit).

Tani le të flasim pak se çfarë të bëni nëse keni nevojë të dini shumë më tepër për këtë temë sesa ato që kemi përshkruar në këtë artikull.

Informacioni që kemi dhënë në këtë artikull nuk është i plotë. Ka shumë nuanca në lidhje me formën që mund të marrë shpërndarja. Shpërndarja binomiale, siç kemi zbuluar tashmë, është një nga llojet kryesore mbi të cilat bazohen të gjitha statistikat matematikore dhe teoria e probabilitetit.

Nëse interesoheni, ose në lidhje me punën tuaj duhet të dini shumë më tepër për këtë temë, do t'ju duhet të studioni literaturë të specializuar. Ju duhet të filloni me një kurs universitar në analizën matematikore dhe të vazhdoni deri në seksionin mbi teorinë e probabilitetit. Njohja e serive do të jetë gjithashtu e dobishme, sepse një shpërndarje binomiale e probabilitetit nuk është gjë tjetër veçse një seri termash të njëpasnjëshme.

konkluzioni

Përpara se të përfundojmë artikullin, dëshirojmë t'ju tregojmë edhe një gjë interesante. Ka të bëjë drejtpërdrejt me temën e artikullit tonë dhe të gjithë matematikën në përgjithësi.

Shumë njerëz thonë se matematika është një shkencë e padobishme dhe asgjë që ata kanë studiuar në shkollë nuk ishte e dobishme për ta. Por njohuria nuk është kurrë e tepërt, dhe nëse diçka nuk është e dobishme për ju në jetë, do të thotë që thjesht nuk e mbani mend atë. Nëse keni njohuri, ata mund t'ju ndihmojnë, por nëse nuk keni, atëherë nuk mund të prisni ndihmë prej tyre.

Pra, ne shikuam konceptin e shpërndarjes binomiale dhe të gjitha përkufizimet që lidhen me të dhe folëm se si zbatohet në jetën tonë.

Kapitulli 7.

Ligjet specifike të shpërndarjes së variablave të rastit

Llojet e ligjeve të shpërndarjes së ndryshoreve diskrete të rastit

Le të marrë vlerat një ndryshore e rastësishme diskrete X 1 , X 2 , …, x n,…. Probabilitetet e këtyre vlerave mund të llogariten duke përdorur formula të ndryshme, për shembull, duke përdorur teoremat bazë të teorisë së probabilitetit, formulën e Bernoulli ose disa formula të tjera. Për disa nga këto formula, ligji i shpërndarjes ka emrin e vet.

Ligjet më të zakonshme të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete janë ligji i shpërndarjes binomiale, gjeometrike, hipergjeometrike dhe Poisson.

Ligji i shpërndarjes binomiale

Le të prodhohet n gjykime të pavarura, në secilën prej të cilave ngjarja mund të shfaqet ose jo A. Probabiliteti që kjo ngjarje të ndodhë në çdo provë të vetme është konstante, nuk varet nga numri i provës dhe është e barabartë me r=R(A). Prandaj probabiliteti që ngjarja të mos ndodhë A në çdo test është gjithashtu konstante dhe e barabartë q=1–r. Merrni parasysh variablin e rastësishëm X e barabartë me numrin e dukurive të ngjarjes A V n testet. Natyrisht, vlerat e kësaj sasie janë të barabarta

X 1 =0 – ngjarje A V n testet nuk u shfaqën;

X 2 = 1 - ngjarje A V n u shfaq një herë në gjyqe;

X 3 =2 – ngjarje A V n testet u shfaqën dy herë;

…………………………………………………………..

x n +1 = n- ngjarje A V n gjithçka u shfaq gjatë testeve n një herë.

Probabilitetet e këtyre vlerave mund të llogariten duke përdorur formulën Bernoulli (4.1):

Ku për të=0, 1, 2, …,n .

Ligji i shpërndarjes binomiale X, e barabartë me numrin sukses në n Testet e Bernoulli, me probabilitet suksesi r.

Pra, një ndryshore e rastësishme diskrete ka një shpërndarje binomiale (ose shpërndahet sipas ligjit binomial) nëse vlerat e saj të mundshme janë 0, 1, 2, ..., n, dhe probabilitetet përkatëse llogariten duke përdorur formulën (7.1).

Shpërndarja binomiale varet nga dy parametrave r Dhe n.

Seria e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme e shpërndarë sipas ligjit binomial ka formën:

X			…	k	…	n
R			…		…

Shembull 7.1 . Tre të shtëna të pavarura janë qëlluar në objektiv. Probabiliteti për të goditur çdo goditje është 0.4. Ndryshore e rastësishme X– numri i goditjeve në objektiv. Ndërtoni serinë e tij të shpërndarjes.

Zgjidhje. Vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme X janë X 1 =0; X 2 =1; X 3 =2; X 4 = 3. Le të gjejmë probabilitetet përkatëse duke përdorur formulën e Bernulit. Nuk është e vështirë të tregohet se përdorimi i kësaj formule këtu është plotësisht i justifikuar. Vini re se probabiliteti për të mos goditur objektivin me një gjuajtje do të jetë i barabartë me 1-0.4=0.6. marrim

Seria e shpërndarjes ka formën e mëposhtme:

X
R	0,216	0,432	0,288	0,064

Është e lehtë të verifikohet se shuma e të gjitha probabiliteteve është e barabartë me 1. Vetë ndryshorja e rastësishme X shpërndahet sipas ligjit binomial. ■

Le të gjejmë pritshmërinë matematikore dhe variancën e një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë sipas ligjit binomial.

Gjatë zgjidhjes së shembullit 6.5, u tregua se pritshmëria matematikore e numrit të dukurive të ngjarjes A V n gjykime të pavarura, nëse ka gjasa të ndodhin A në çdo test është konstante dhe e barabartë r, e barabartë n· r

Ky shembull përdori një ndryshore të rastësishme të shpërndarë sipas ligjit binomial. Prandaj, zgjidhja e Shembullit 6.5 është në thelb një provë e teoremës së mëposhtme.

Teorema 7.1. Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme diskrete të shpërndarë sipas ligjit binomial është e barabartë me produktin e numrit të provave dhe probabilitetit të "suksesit", d.m.th. M(X)=n· r.

Teorema 7.2. Varianca e një ndryshoreje të rastësishme diskrete të shpërndarë sipas ligjit binomial është e barabartë me produktin e numrit të provave nga probabiliteti i "suksesit" dhe probabiliteti i "dështimit", d.m.th. D(X)=nрq.

Asimetria dhe kurtoza e një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë sipas ligjit binomial përcaktohen nga formulat

Këto formula mund të merren duke përdorur konceptin e momenteve fillestare dhe qendrore.

Ligji i shpërndarjes binomiale qëndron në themel të shumë situatave të jetës reale. Për vlera të mëdha n Shpërndarja binomiale mund të përafrohet duke përdorur shpërndarje të tjera, në veçanti shpërndarjen Poisson.

Shpërndarja Poisson

Le të ketë n Testet Bernoulli, me numrin e testeve n mjaft e madhe. Më herët u tregua se në këtë rast (nëse, për më tepër, probabiliteti r ngjarjet A shumë i vogël) për të gjetur probabilitetin që ngjarja A shfaqen T Pasi të jeni në teste, mund të përdorni formulën Poisson (4.9). Nëse ndryshorja e rastit X nënkupton numrin e dukurive të ngjarjes A V n Bernoulli teston, pastaj probabilitetin që X do të marrë vlerën k mund të llogaritet duke përdorur formulën

, (7.2)

Ku λ = nр.

Ligji i shpërndarjes Poisson quhet shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme diskrete X, për të cilat vlerat e mundshme janë numra të plotë numra jonegativë, dhe probabilitetet r t këto vlera gjenden duke përdorur formulën (7.2).

Madhësia λ = nр thirrur parametri Shpërndarjet Poisson.

Një ndryshore e rastësishme e shpërndarë sipas ligjit të Poisson-it mund të marrë një numër të pafund vlerash. Meqenëse për këtë shpërndarje probabiliteti r Ndodhja e një ngjarjeje në çdo gjykim është e vogël, atëherë kjo shpërndarje quhet ndonjëherë ligji i ngjarjeve të rralla.

Seria e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme e shpërndarë sipas ligjit të Poisson-it ka formën

X					…	T	…
R					…		…

Është e lehtë të verifikohet se shuma e probabiliteteve të rreshtit të dytë është e barabartë me 1. Për ta bërë këtë, duhet të mbani mend se funksioni mund të zgjerohet në një seri Maclaurin, e cila konvergjon për çdo X. Në këtë rast kemi

. (7.3)

Siç u përmend, ligji i Poisson zëvendëson ligjin binomial në disa raste kufizuese. Një shembull është ndryshorja e rastësishme X, vlerat e të cilave janë të barabarta me numrin e dështimeve gjatë një periudhe të caktuar kohore gjatë përdorimit të përsëritur të një pajisjeje teknike. Supozohet se kjo është një pajisje shumë e besueshme, d.m.th. Probabiliteti i dështimit në një aplikacion është shumë i vogël.

Përveç rasteve të tilla kufizuese, në praktikë ekzistojnë variabla të rastësishme të shpërndara sipas ligjit të Poisson-it që nuk shoqërohen me shpërndarjen binomiale. Për shembull, shpërndarja Poisson përdoret shpesh kur merret me numrin e ngjarjeve që ndodhin në një periudhë kohore (numri i thirrjeve të marra në një central telefonik gjatë një ore, numri i makinave që vijnë në një lavazh gjatë një dite, numri i ndalesave të makinës në javë, etj.). Të gjitha këto ngjarje duhet të formojnë të ashtuquajturën rrjedhën e ngjarjeve, që është një nga konceptet bazë të teorisë së radhës. Parametri λ karakterizon intensitetin mesatar të rrjedhës së ngjarjeve.

Shembull 7.2 . Në fakultet janë 500 studentë. Sa është probabiliteti që 1 shtatori të jetë ditëlindja e tre studentëve të këtij departamenti?

Zgjidhje . Që nga numri i nxënësve n=500 është mjaft i madh dhe r– probabiliteti për të lindur më 1 shtator për cilindo nga nxënësit është i barabartë me , d.m.th. është mjaft i vogël, atëherë mund të supozojmë se ndryshorja e rastësishme X– numri i nxënësve të lindur më 1 shtator shpërndahet sipas ligjit të Poisson-it me parametrin λ = n.p.= =1,36986. Pastaj, sipas formulës (7.2) marrim

Teorema 7.3. Lëreni ndryshoren e rastësishme X shpërndahet sipas ligjit të Poisson-it. Atëherë pritshmëria dhe varianca e tij matematikore janë të barabarta me njëra-tjetrën dhe të barabarta me vlerën e parametrit λ , d.m.th. M(X) = D(X) = λ = n.p..

Dëshmi. Nga përkufizimi i pritjes matematikore, duke përdorur formulën (7.3) dhe serinë e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë sipas ligjit të Poisson-it, marrim

Përpara se të gjejmë variancën, së pari gjejmë pritshmërinë matematikore të katrorit të ndryshores së rastësishme në shqyrtim. marrim

Nga këtu, sipas përkufizimit të shpërndarjes, ne marrim

Teorema është vërtetuar.

Duke përdorur konceptet e momenteve fillestare dhe qendrore, mund të tregohet se për një variabël të rastësishëm të shpërndarë sipas ligjit të Poisson, koeficientët e anshmërisë dhe kurtozës përcaktohen nga formulat

Nuk është e vështirë ta kuptosh këtë, meqenëse përmbajtja semantike e parametrit λ = n.p.është pozitive, atëherë një ndryshore e rastësishme e shpërndarë sipas ligjit të Poisson-it ka gjithmonë anshmëri dhe kurtozë pozitive.

Shpërndarja binomiale është një nga shpërndarjet më të rëndësishme të probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme që ndryshon në mënyrë diskrete. Shpërndarja binomiale është shpërndarja e probabilitetit të numrit m ndodhja e një ngjarjeje A V n vëzhgime të pavarura reciproke. Shpesh një ngjarje A quhet "sukses" i një vëzhgimi, dhe ngjarja e kundërt quhet "dështim", por ky emërtim është shumë i kushtëzuar.

Kushtet binomiale të shpërndarjes:

• në total të kryera n gjykimet në të cilat ngjarja A mund të ndodhë ose jo;
• ngjarje A në çdo provë mund të ndodhë me të njëjtën probabilitet fq;
• testet janë reciprokisht të pavarura.

Probabiliteti që në n ngjarje testuese A do të vijë pikërisht m herë, mund të llogaritet duke përdorur formulën e Bernoulli:

Ku fq- probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje A;

q = 1 - fq- probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes së kundërt.

Le ta kuptojmë pse shpërndarja binomiale lidhet me formulën e Bernulit në mënyrën e përshkruar më sipër? . Ngjarja - numri i sukseseve në n testet ndahen në një numër opsionesh, në secilën prej të cilave arrihet suksesi m testet, dhe dështimi - në n - m testet. Le të shqyrtojmë një nga këto opsione - B1 . Duke përdorur rregullin për shtimin e probabiliteteve, ne shumëzojmë probabilitetet e ngjarjeve të kundërta:

,

dhe nëse shënojmë q = 1 - fq, Kjo

.

Çdo opsion tjetër në të cilin m sukses dhe n - m dështimet. Numri i opsioneve të tilla është i barabartë me numrin e mënyrave në të cilat mundeni n test marr m sukses.

Shuma e të gjitha probabiliteteve m numrat e ngjarjeve A(numrat nga 0 në n) është e barabartë me një:

ku çdo term përfaqëson një term në binomin e Njutonit. Prandaj, shpërndarja në shqyrtim quhet shpërndarje binomiale.

Në praktikë, shpesh është e nevojshme të llogariten probabilitetet "jo më shumë se m sukses në n teste" ose "të paktën m sukses në n teste". Për këtë përdoren formulat e mëposhtme.

Funksioni integral, pra probabiliteti F(m) çfarë ka n ngjarje vëzhguese A nuk do të vijë më m një herë, mund të llogaritet duke përdorur formulën:

Nga ana tjetër probabiliteti F(≥m) çfarë ka n ngjarje vëzhguese A do të vijë jo më pak m një herë, llogaritet me formulën:

Ndonjëherë është më e përshtatshme për të llogaritur probabilitetin që n ngjarje vëzhguese A nuk do të vijë më m herë, përmes probabilitetit të ngjarjes së kundërt:

.

Cila formulë të përdoret varet nga ajo se cila prej tyre ka shumën që përmban më pak terma.

Karakteristikat e shpërndarjes binomiale llogariten duke përdorur formulat e mëposhtme .

Pritshmëria matematikore: .

Dispersioni: .

Devijimi standard: .

Shpërndarja binomiale dhe llogaritjet në MS Excel

Probabiliteti binomial P n ( m) dhe vlerat e funksionit integral F(m) mund të llogaritet duke përdorur funksionin MS Excel BINOM.DIST. Dritarja për llogaritjen përkatëse shfaqet më poshtë (klikoni majtas për ta zmadhuar).

MS Excel kërkon që të futni të dhënat e mëposhtme:

• numri i sukseseve;
• numri i testeve;
• probabiliteti i suksesit;
• integrale - vlera logjike: 0 - nëse duhet të llogarisni probabilitetin P n ( m) dhe 1 - nëse probabiliteti F(m).

Shembulli 1. Menaxheri i kompanisë përmblodhi informacionin mbi numrin e kamerave të shitura gjatë 100 ditëve të fundit. Tabela përmbledh informacionin dhe llogarit probabilitetet që një numër i caktuar kamerash të shiten në ditë.

Dita përfundon me fitim nëse shiten 13 ose më shumë kamera. Probabiliteti që dita të funksionojë me fitim:

Probabiliteti që një ditë do të punohet pa fitim:

Le të jetë probabiliteti që një ditë të punohet me fitim të jetë konstante dhe e barabartë me 0.61, dhe numri i kamerave të shitura në ditë nuk varet nga dita. Pastaj mund të përdorim shpërndarjen binomiale, ku ndodh ngjarja A- dita do të punohet me fitim, - pa fitim.

Probabiliteti që të gjitha 6 ditët të përpunohen me fitim:

.

Ne marrim të njëjtin rezultat duke përdorur funksionin MS Excel BINOM.DIST (vlera e vlerës integrale është 0):

P 6 (6 ) = BINOM.DIST(6; 6; 0.61; 0) = 0.052.

Probabiliteti që nga 6 ditë 4 ose më shumë ditë do të punohen me fitim:

Ku ,

,

Duke përdorur funksionin MS Excel BINOM.DIST, ne llogarisim probabilitetin që nga 6 ditë jo më shumë se 3 ditë të përfundojnë me fitim (vlera e vlerës integrale është 1):

P 6 (≤3 ) = BINOM.DIST(3; 6; 0.61; 1) = 0.435.

Probabiliteti që të gjitha 6 ditët të përpunohen me humbje:

,

Mund të llogarisim të njëjtin tregues duke përdorur funksionin MS Excel BINOM.DIST:

P 6 (0 ) = BINOM.DIST(0; 6; 0.61; 0) = 0.0035.

Zgjidheni problemin vetë dhe më pas shikoni zgjidhjen

Shembulli 2. Në urnë ka 2 topa të bardhë dhe 3 topa të zinj. Nga urna nxirret një top, vendoset ngjyra dhe vendoset përsëri. Përpjekja përsëritet 5 herë. Numri i shfaqjes së topave të bardhë është një ndryshore e rastësishme diskrete X, të shpërndara sipas ligjit binomial. Hartoni një ligj të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme. Përcaktoni mënyrën, pritjen matematikore dhe shpërndarjen.

Le të vazhdojmë të zgjidhim problemet së bashku

Shembulli 3. Nga shërbimi korrier shkuam në faqet n= 5 korrierë. Çdo korrier ka të ngjarë fq= 0.3, pavarësisht nga të tjerët, është vonë për objektin. Ndryshore diskrete e rastësishme X- numri i korrierëve të vonuar. Ndërtoni një seri shpërndarjeje për këtë ndryshore të rastësishme. Gjeni pritshmërinë e tij matematikore, variancën, devijimin standard. Gjeni probabilitetin që të paktën dy korrierë të vonohen për objektet.