Më sipër u njohëm me ligjet e shpërndarjes variablat e rastësishëm. Çdo ligj i shpërndarjes përshkruan në mënyrë shteruese vetitë e probabiliteteve të një ndryshoreje të rastësishme dhe bën të mundur llogaritjen e probabiliteteve të çdo ngjarje të lidhur me një ndryshore të rastësishme. Megjithatë, në shumë çështje praktike nuk ka nevojë për një përshkrim kaq të plotë dhe shpesh është e mjaftueshme të tregohen vetëm parametrat numerikë individualë që karakterizojnë tiparet thelbësore të shpërndarjes. Për shembull, mesatarja, rreth së cilës shpërndahen vlerat e një ndryshoreje të rastësishme, është një numër që karakterizon madhësinë e kësaj përhapjeje. Këta numra synojnë të shprehin në një formë koncize tiparet më domethënëse të shpërndarjes dhe quhen karakteristikat numerike të një ndryshoreje të rastësishme.

Ndër karakteristikat numerike të ndryshoreve të rastësishme, para së gjithash, ata konsiderojnë karakteristika që fiksojnë pozicionin e një ndryshoreje të rastësishme në boshtin e numrave, d.m.th. ndonjë vlerë mesatare e një ndryshoreje të rastësishme rreth së cilës grupohen vlerat e saj të mundshme. Nga karakteristikat e pozicionit në teorinë e probabilitetit, rolin më të madh e luan vlera e pritur, e cila nganjëherë quhet thjesht vlera mesatare e ndryshores së rastit.

Le të supozojmë se SW diskrete?, merr vlerat x ( , x 2 ,..., x f me probabilitete R j, p 2 ,...y Ptv ato. dhënë nga seria e shpërndarjes

Është e mundur që në këto eksperimente vlera x x vëzhguar N( herë, vlera x 2 - N 2 herë,..., vlera x n - N n një herë. Në të njëjtën kohë + N 2 +... + N n =N.

Mesatarja aritmetike e rezultateve të vëzhgimit

Nese nje N i madh, d.m.th. N- "Oh, atëherë

duke përshkruar qendrën e shpërndarjes. Vlera mesatare e një ndryshoreje të rastësishme e marrë në këtë mënyrë do të quhet pritshmëri matematikore. Le të japim një formulim verbal të përkufizimit.

Përkufizimi 3.8. pritje matematikore (MO) SV% diskrete është një numër i barabartë me shumën e produkteve të të gjitha vlerave të tij të mundshme dhe probabiliteteve të këtyre vlerave (shënimi M;):

Tani merrni parasysh rastin kur numri i vlerave të mundshme të CV-së diskrete? është i numërueshëm, d.m.th. ne kemi RR

Formula për pritshmërinë matematikore mbetet e njëjtë, vetëm në kufirin e sipërm të shumës P zëvendësohet me oo, d.m.th.

Në këtë rast, ne marrim tashmë një seri që mund të ndryshojë, d.m.th. CV-ja përkatëse ^ mund të mos ketë një pritshmëri matematikore.

Shembulli 3.8. CB?, dhënë nga seria e shpërndarjes

Le të gjejmë MO të kësaj SW.

Zgjidhje. Sipas përkufizimit. ato. Mt, nuk ekziston.

Kështu, në rastin e një numri të numërueshëm vlerash SW, marrim përkufizimin e mëposhtëm.

Përkufizimi 3.9. pritje matematikore, ose vlera mesatare, SW diskrete, që ka një numër të numërueshëm vlerash, quhet një numër i barabartë me shumën e një serie prodhimesh të të gjitha vlerave të tij të mundshme dhe probabiliteteve përkatëse, me kusht që kjo seri të konvergjojë absolutisht, d.m.th.

Nëse kjo seri divergon ose konvergon me kusht, atëherë themi se CV ^ nuk ka pritshmëri matematikore.

Le të kalojmë nga JP diskrete në të vazhdueshme me dendësinë p(x).

Përkufizimi 3.10. pritje matematikore, ose vlera mesatare, JP e vazhdueshme quhet një numër i barabartë me

me kusht që ky integral të konvergjojë absolutisht.

Nëse ky integral divergon ose konvergon me kusht, atëherë ata thonë se CB-ja e vazhdueshme nuk ka pritshmëri matematikore.

Vërejtje 3.8. Nëse të gjitha vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme J;

i përkasin vetëm intervalit ( a; b) pastaj

Pritshmëria matematikore nuk është e vetmja karakteristikë e pozicionit e përdorur në teorinë e probabilitetit. Ndonjëherë përdoren të tilla si modaliteti dhe mesatarja.

Përkufizimi 3.11. Moda CB ^ (emërtimi Mot,) quhet vlera më e mundshme e tij, d.m.th. një për të cilin probabiliteti pi ose dendësia e probabilitetit p(x) arrin vlerën më të lartë.

Përkufizimi 3.12. mesatare SV?, (emërtimi u takua) quhet një vlerë e tillë për të cilën P(t> Met) = P(? > u takua) = 1/2.

Gjeometrikisht, për një JP të vazhdueshme, mediana është abshisa e asaj pike në bosht Oh, për të cilat sipërfaqet në të majtë dhe në të djathtë të saj janë të njëjta dhe të barabarta me 1/2.

Shembulli 3.9. JPt,ka një numër shpërndarjeje

Le të gjejmë pritshmërinë matematikore, mënyrën dhe mesataren e SW

Zgjidhje. Mb,= 0-0,1 + 1 0,3 + 2 0,5 + 3 0,1 = 1,6. L/o? = 2. Unë(?) nuk ekziston.

Shembulli 3.10. % CB e vazhdueshme ka dendësi

Le të gjejmë pritshmërinë matematikore, mesataren dhe modalitetin.

Zgjidhje.

p(x) arrin një maksimum, atëherë Natyrisht, mediana është gjithashtu e barabartë, pasi zonat në anën e djathtë dhe të majtë të vijës që kalon nëpër pikë janë të barabarta.

Përveç karakteristikave të pozicionit në teorinë e probabilitetit, përdoren edhe një sërë karakteristikash numerike për qëllime të ndryshme. Midis tyre, momentet - fillestare dhe qendrore - kanë një rëndësi të veçantë.

Përkufizimi 3.13. Momenti fillestar i rendit të k-të SW?, quhet pritshmëri matematikore k-të shkalla e kësaj vlere: =M(t > k).

Nga përkufizimet e pritshmërisë matematikore për ndryshoret e rastësishme diskrete dhe të vazhdueshme rrjedh se

Vërejtje 3.9. Natyrisht, momenti fillestar i rendit të parë është pritshmëria matematikore.

Përpara se të përcaktojmë momentin qendror, ne prezantojmë një koncept të ri të një ndryshoreje të rastësishme të përqendruar.

Përkufizimi 3.14. Në qendër CV është devijimi i një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore, d.m.th.

Është e lehtë ta verifikosh këtë

Përqendrimi i një ndryshoreje të rastësishme, padyshim, është e barabartë me transferimin e origjinës në pikën M;. Momentet e një ndryshoreje të rastësishme të përqendruar quhen momente qendrore.

Përkufizimi 3.15. Momenti qendror i rendit kth SW % quhet pritshmëri matematikore k-të shkallët e një ndryshoreje të rastësishme të përqendruar:

Nga përkufizimi i pritjes matematikore rezulton se

Natyrisht, për çdo ndryshore të rastësishme ^ momenti qendror i rendit të parë është i barabartë me zero: me x= M(? 0) = 0.

Me rëndësi të veçantë për praktikën është pika e dytë qendrore nga 2. Quhet dispersion.

Përkufizimi 3.16. dispersion CB?, quhet pritshmëria matematikore e katrorit të vlerës së qendrës përkatëse (shënim D?)

Për të llogaritur variancën, formulat e mëposhtme mund të merren drejtpërdrejt nga përkufizimi:

Duke transformuar formulën (3.4), mund të marrim formulën e mëposhtme për llogaritjen D.L.

Dispersioni i SW është një karakteristikë duke u shpërndarë, përhapja e vlerave të një ndryshoreje të rastësishme rreth pritshmërisë së saj matematikore.

Varianca ka dimensionin e katrorit të një ndryshoreje të rastësishme, e cila nuk është gjithmonë e përshtatshme. Prandaj, për qartësi, si një karakteristikë e shpërndarjes, është e përshtatshme të përdoret një numër, dimensioni i të cilit përkon me dimensionin e një ndryshoreje të rastësishme. Për ta bërë këtë, merrni rrënjën katrore të dispersionit. Vlera që rezulton quhet devijimi standard ndryshore e rastësishme. Do ta shënojmë si a: a = l / w.

Për një CB jo negative?, ndonjëherë përdoret si karakteristikë koeficienti i variacionit, e barabartë me raportin e devijimit standard ndaj pritjes matematikore:

Duke ditur pritshmërinë matematikore dhe devijimin standard të një ndryshoreje të rastësishme, mund të merrni një ide të përafërt të gamës së vlerave të saj të mundshme. Në shumë raste, mund të supozojmë se vlerat e ndryshores së rastësishme % vetëm herë pas here shkojnë përtej intervalit M; ± Për. Ky rregull për shpërndarjen normale, të cilin do ta arsyetojmë më vonë, quhet rregulli tre sigma.

Pritshmëria dhe varianca matematikore janë karakteristikat numerike më të përdorura të një ndryshoreje të rastësishme. Nga përkufizimi i pritjes dhe variancës matematikore, vijojnë disa veti të thjeshta dhe mjaft të dukshme të këtyre karakteristikave numerike.

Protozoarvetitë e pritjes dhe shpërndarjes matematikore.

1. Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje jo të rastësishme Me e barabartë me vlerën e c: M(s) = s.

Në të vërtetë, që nga vlera Me merr vetëm një vlerë me probabilitet 1, pastaj М(с) = Me 1 = s.

2. Varianca e ndryshores jo të rastësishme c është e barabartë me zero, d.m.th. D(c) = 0.

Vërtet, Dc \u003d M (s - Ms) 2 \u003d M (s- c) 2 = M( 0) = 0.

3. Një shumëzues jo i rastësishëm mund të hiqet nga shenja e pritjes: M(c^) = c M(?,).

Le të tregojmë vlefshmërinë e kësaj vetie në shembullin e një RV diskrete.

Le të jepet RV nga seria e shpërndarjes

Pastaj

Rrjedhimisht,

Vetia vërtetohet në mënyrë të ngjashme për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme.

4. Një shumëzues jo i rastësishëm mund të hiqet nga shenja e variancës në katror:

Sa më shumë momente të një ndryshoreje të rastësishme të dihen, aq më e detajuar kemi idenë e ligjit të shpërndarjes.

Në teorinë e probabilitetit dhe aplikimet e saj, përdoren dy karakteristika të tjera numerike të një ndryshoreje të rastësishme, bazuar në momentet qendrore të rendit të tretë dhe të katërt - koeficienti i asimetrisë)