Është shqyrtuar një metodë për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale johomogjene lineare të rendit më të lartë me koeficientë konstante me metodën e ndryshimit të konstantave të Lagranzhit. Metoda e Lagranzhit është gjithashtu e zbatueshme për zgjidhjen e çdo ekuacioni linear johomogjen nëse dihet sistemi themelor i zgjidhjeve. ekuacioni homogjen.

përmbajtja

Shihni gjithashtu:

Metoda e Lagranzhit (ndryshimi i konstanteve)

Konsideroni një ekuacion diferencial johomogjen linear me koeficientë konstante të rendit të n-të arbitrar:
(1) .
Metoda e ndryshimit të një konstante, të cilën e kemi konsideruar për një ekuacion të rendit të parë, është gjithashtu e zbatueshme për ekuacionet e rendit më të lartë.

Zgjidhja kryhet në dy faza. Në hapin e parë, hedhim anën e djathtë dhe zgjidhim ekuacionin homogjen. Si rezultat, marrim një zgjidhje që përmban n konstante arbitrare. Në fazën e dytë ne ndryshojmë konstantet. Kjo do të thotë, ne besojmë se këto konstante janë funksione të ndryshores së pavarur x dhe gjejmë formën e këtyre funksioneve.

Edhe pse këtu po shqyrtojmë ekuacione me koeficientë konstante, por Metoda e Lagranzhit është gjithashtu e zbatueshme për zgjidhjen e çdo ekuacioni linear johomogjen. Për këtë, megjithatë, duhet të njihet sistemi themelor i zgjidhjeve të ekuacionit homogjen.

Hapi 1. Zgjidhja e ekuacionit homogjen

Ashtu si në rastin e ekuacioneve të rendit të parë, së pari kërkojmë zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit homogjen, duke barazuar anën johomogjene të djathtë me zero:
(2) .
Zgjidhja e përgjithshme e këtij ekuacioni është:
(3) .
Këtu janë konstante arbitrare; - n zgjidhje lineare të pavarura të ekuacionit homogjen (2), të cilat formojnë një sistem themelor zgjidhjesh të këtij ekuacioni.

Hapi 2. Variacioni i konstantave - zëvendësimi i konstanteve me funksione

Në fazën e dytë do të merremi me variacionin e konstanteve. Me fjalë të tjera, ne do të zëvendësojmë konstantet me funksionet e ndryshores së pavarur x:
.
Kjo do të thotë, ne po kërkojmë një zgjidhje për ekuacionin origjinal (1) në formën e mëposhtme:
(4) .

Nëse zëvendësojmë (4) në (1), marrim një ekuacion diferencial për n funksione.

Në këtë rast, ne mund t'i lidhim këto funksione me ekuacione shtesë. Pastaj ju merrni n ekuacione nga të cilat mund të përcaktohen n funksione.
.
Ekuacionet shtesë mund të shkruhen në mënyra të ndryshme. Por ne do ta bëjmë këtë në mënyrë që zgjidhja të ketë formën më të thjeshtë. Për ta bërë këtë, kur diferenconi, duhet të barazoni me zero termat që përmbajnë derivate të funksioneve.

.
Le ta demonstrojmë këtë.
(5.1) .
Për të zëvendësuar zgjidhjen e propozuar (4) në ekuacionin origjinal (1), duhet të gjejmë derivatet e n rendeve të para të funksionit të shkruar në formën (4). Ne dallojmë (4) duke përdorur rregullat e diferencimit të shumës dhe produktit:
(6.1) .

Le të grupojmë anëtarët. Së pari, ne shkruajmë termat me derivate të , dhe më pas termat me derivate të :

.
Le të vendosim kushtin e parë për funksionet:
(5.2) .
Atëherë shprehja për derivatin e parë në lidhje me do të ketë një formë më të thjeshtë:
(6.2) .
Duke përdorur të njëjtën metodë, gjejmë derivatin e dytë:

Le të vendosim një kusht të dytë për funksionet:
Pastaj ,
Dhe kështu me radhë. Në kushte shtesë, ne barazojmë termat që përmbajnë derivate të funksioneve me zero.
Kështu, nëse zgjedhim ekuacionet shtesë të mëposhtme për funksionet: .
(5.k)

atëherë derivatet e parë në lidhje me do të kenë formën më të thjeshtë:
(6.k)
.

Këtu.
(1) ;






.
Gjeni derivatin e n-të:
.
(6.n)
(7) .

Zëvendësoni në ekuacionin origjinal (1):
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
Le të marrim parasysh që të gjithë funksionet plotësojnë ekuacionin (2): ;
Atëherë shuma e termave që përmbajnë zero jep zero. Si rezultat marrim: .

Si rezultat, ne morëm një sistem ekuacionesh lineare për derivatet:
.
(5.n-1)

(7') Duke zgjidhur këtë sistem, gjejmë shprehje për derivatet në funksion të x. Duke u integruar, marrim:

Këtu janë konstante që nuk varen më nga x. Duke zëvendësuar në (4), marrim një zgjidhje të përgjithshme të ekuacionit origjinal.

Vini re se për të përcaktuar vlerat e derivateve, nuk kemi përdorur kurrë faktin që koeficientët a i janë konstante. Kjo është arsyeja pse


Metoda e Lagranzhit është e zbatueshme për të zgjidhur çdo ekuacion linear johomogjen

, nëse dihet sistemi themelor i zgjidhjeve të ekuacionit homogjen (2). Shembuj
Të zgjidhin ekuacionet duke përdorur metodën e ndryshimit të konstanteve (Lagranzh).
Zgjidhja e shembujve > > >

Shihni gjithashtu:

Në teorinë e ekuacioneve diferenciale, ekziston një metodë që pretendon të ketë një shkallë mjaft të lartë universaliteti për këtë teori.
Ne po flasim për metodën e ndryshimit të një konstante arbitrare, e zbatueshme për zgjidhjen e klasave të ndryshme të ekuacioneve diferenciale dhe të tyre
sistemeve Ky është pikërisht rasti kur teoria - nëse i nxjerrim provat e pohimeve jashtë kllapave - është minimale, por na lejon të arrijmë
rezultate domethënëse, prandaj theksi do të jetë në shembuj.

Ideja e përgjithshme e metodës është mjaft e thjeshtë për t'u formuluar. Le të jetë ekuacioni i dhënë (sistemi i ekuacioneve) i vështirë për t'u zgjidhur ose edhe i pakuptueshëm,
si ta zgjidhim. Megjithatë, është e qartë se duke eliminuar disa terma nga ekuacioni, ai zgjidhet. Pastaj ata e zgjidhin pikërisht këtë të thjeshtuar
ekuacioni (sistemi), marrim një zgjidhje që përmban një numër të caktuar konstante arbitrare - në varësi të renditjes së ekuacionit (numri
ekuacionet në sistem). Atëherë supozohet se konstantet në zgjidhjen e gjetur nuk janë në të vërtetë konstante zgjidhja e gjetur;
zëvendësohet në ekuacionin (sistemin) origjinal, merret një ekuacion diferencial (ose sistem ekuacionesh) për të përcaktuar "konstantet".
Ekziston një specifikë e caktuar në aplikimin e metodës së ndryshimit të një konstante arbitrare në probleme të ndryshme, por këto janë tashmë specifika që do të
demonstruar me shembuj.

Le të shqyrtojmë veçmas zgjidhjen e ekuacioneve johomogjene lineare të rendit më të lartë, d.m.th. ekuacionet e formës
.
Zgjidhja e përgjithshme e një ekuacioni linear johomogjen është shuma e zgjidhjes së përgjithshme të ekuacionit homogjen përkatës dhe një zgjidhjeje të veçantë
të këtij ekuacioni. Le të supozojmë se tashmë është gjetur një zgjidhje e përgjithshme për ekuacionin homogjen, domethënë, është ndërtuar një sistem themelor i zgjidhjeve (FSS).
. Atëherë zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit homogjen është e barabartë me .
Ne duhet të gjejmë ndonjë zgjidhje të veçantë për ekuacionin johomogjen. Për këtë qëllim, konstantet konsiderohen se varen nga një ndryshore.
Më pas ju duhet të zgjidhni sistemin e ekuacioneve
.
Teoria garanton që ky sistem ekuacionesh algjebrike në lidhje me derivatet e funksioneve ka një zgjidhje unike.
Kur gjenden vetë funksionet, konstantet e integrimit nuk shfaqen: në fund të fundit, kërkohet një zgjidhje e vetme.

Në rastin e zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare johomogjene të rendit të parë të formës

algoritmi mbetet pothuajse i pandryshuar. Së pari ju duhet të gjeni FSR-në përkatëse sistem homogjen ekuacionet, krijojnë një matricë themelore
sistemi, kolonat e të cilit përfaqësojnë elementet e FSR. Më pas, hartohet ekuacioni
.
Kur zgjidhim sistemin, ne përcaktojmë funksionet, duke gjetur kështu një zgjidhje të veçantë për sistemin origjinal
(Matrica themelore shumëzohet me kolonën e funksioneve të gjetura).
E shtojmë në zgjidhjen e përgjithshme të sistemit përkatës të ekuacioneve homogjene, i cili është ndërtuar në bazë të FSR-së tashmë të gjetur.
Përftohet zgjidhja e përgjithshme e sistemit origjinal.

Shembuj.

Shembulli 1. Ekuacionet lineare johomogjene të rendit të parë.

Le të shqyrtojmë ekuacionin homogjen përkatës (shënojmë funksionin e dëshiruar):
.
Ky ekuacion mund të zgjidhet lehtësisht duke përdorur metodën e ndarjes së variablave:

.
Tani le të imagjinojmë zgjidhjen e ekuacionit origjinal në formë , ku funksioni ende nuk është gjetur.
Ne e zëvendësojmë këtë lloj zgjidhjeje në ekuacionin origjinal:
.
Siç mund ta shihni, termat e dytë dhe të tretë në anën e majtë anulojnë njëri-tjetrin - kjo është tipar karakteristik metoda e ndryshimit të një konstante arbitrare.

Këtu tashmë është një konstante vërtet arbitrare. Kështu,
.

Shembulli 2. ekuacioni i Bernulit.

Ne vazhdojmë në mënyrë të ngjashme me shembullin e parë - zgjidhim ekuacionin

metoda e ndarjes së variablave. Rezulton, kështu që ne kërkojmë një zgjidhje për ekuacionin origjinal në formë
.
Ne e zëvendësojmë këtë funksion në ekuacionin origjinal:
.
Dhe përsëri reduktimet ndodhin:
.
Këtu duhet të mbani mend që të siguroheni që kur pjesëtimi me zgjidhjen të mos humbasë. Dhe zgjidhja për atë origjinale korrespondon me rastin
ekuacionet Le ta kujtojmë atë. Pra,
.
Le ta shkruajmë.
Kjo është zgjidhja. Kur shkruani përgjigjen, duhet të tregoni edhe zgjidhjen e gjetur më parë, pasi nuk korrespondon me ndonjë vlerë përfundimtare
konstante

Shembulli 3. Ekuacione lineare johomogjene të rendit më të lartë.

Le të vërejmë menjëherë se ky ekuacion mund të zgjidhet më thjesht, por është i përshtatshëm për të demonstruar metodën duke e përdorur atë. Edhe pse disa avantazhe
Metoda e variacionit ka një konstante arbitrare edhe në këtë shembull.
Pra, duhet të filloni me FSR të ekuacionit homogjen përkatës. Le të kujtojmë se për të gjetur FSR, përpilohet një kurbë karakteristike
ekuacioni
.
Kështu, zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit homogjen
.
Konstantat e përfshira këtu duhet të jenë të ndryshme. Krijimi i një sistemi

Metoda e ndryshimit të një konstante arbitrare, ose metoda e Lagranzhit, është një mënyrë tjetër për të zgjidhur ekuacionet diferenciale lineare të rendit të parë dhe ekuacionin e Bernulit.

Ekuacionet diferenciale lineare të rendit të parë janë ekuacione të formës y’+p(x)y=q(x). Nëse ka një zero në anën e djathtë: y’+p(x)y=0, atëherë kjo është një linjë lineare homogjene Ekuacioni i rendit të parë. Prandaj, një ekuacion me anën e djathtë jozero, y’+p(x)y=q(x), është heterogjene ekuacioni linear Rendi i 1-rë.

Metoda e ndryshimit të një konstante arbitrare (metoda Lagrange) është si më poshtë:

1) Kërkojmë një zgjidhje të përgjithshme të ekuacionit homogjen y’+p(x)y=0: y=y*.

2) Në zgjidhjen e përgjithshme, ne e konsiderojmë C jo një konstante, por një funksion të x: C = C (x). Gjejmë derivatin e zgjidhjes së përgjithshme (y*)’ dhe shprehjen rezultuese e zëvendësojmë me y* dhe (y*)’ në kushtin fillestar. Nga ekuacioni që rezulton gjejmë funksionin C(x).

3) Në zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit homogjen, në vend të C, zëvendësojmë shprehjen e gjetur C(x).

Le të shohim shembuj të metodës së ndryshimit të një konstante arbitrare. Le të marrim të njëjtat detyra si në, të krahasojmë përparimin e zgjidhjes dhe të sigurohemi që përgjigjet e marra përkojnë.

1) y’=3x-y/x

Le ta rishkruajmë ekuacionin në formë standarde (ndryshe nga metoda e Bernulit, ku na duhej forma e shënimit vetëm për të parë që ekuacioni është linear).

y’+y/x=3x (I). Tani ne vazhdojmë sipas planit.

1) Zgjidhet ekuacioni homogjen y’+y/x=0. Ky është një ekuacion me variabla të ndashëm. Imagjinoni y’=dy/dx, zëvendësues: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. I shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit me dx dhe pjesëtojmë me xy≠0: dy/y=-dx/x. Le të integrojmë:

2) Në zgjidhjen e përgjithshme rezultuese të ekuacionit homogjen, ne do ta konsiderojmë C jo një konstante, por një funksion të x: C=C(x). Nga këtu

Ne i zëvendësojmë shprehjet që rezultojnë në kushtin (I):

Le të integrojmë të dyja anët e ekuacionit:

këtu C është tashmë një konstante e re.

3) Në zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit homogjen y=C/x, ku supozuam C=C(x), pra y=C(x)/x, në vend të C(x) zëvendësojmë shprehjen e gjetur x³. +C: y=(x³ +C)/x ose y=x²+C/x. Ne morëm të njëjtën përgjigje si gjatë zgjidhjes me metodën e Bernulit.

Përgjigje: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Këtu ekuacioni është shkruar tashmë në formë standarde, nuk ka nevojë ta transformojmë atë.

1) Të zgjidhet ekuacioni linear homogjen y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Le të integrojmë:

Për të marrë një formë më të përshtatshme shënimi, ne e marrim eksponentin e fuqisë së C si C e re:

Ky transformim u krye për ta bërë më të përshtatshëm gjetjen e derivatit.

2) Në zgjidhjen e përgjithshme rezultuese të ekuacionit linear homogjen, ne e konsiderojmë C jo një konstante, por një funksion të x: C=C(x). Në këtë kusht

Ne zëvendësojmë shprehjet që rezultojnë y dhe y në kushtin:

Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me

Ne integrojmë të dy anët e ekuacionit duke përdorur formulën e integrimit sipas pjesëve, marrim:

Këtu C nuk është më një funksion, por një konstante e zakonshme.

3) Në zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit homogjen

zëvendësoni funksionin e gjetur C(x):

Morëm të njëjtën përgjigje si kur zgjidhëm me metodën e Bernulit.

Metoda e ndryshimit të një konstante arbitrare është gjithashtu e zbatueshme për zgjidhje.

y’x+y=-xy².

E sjellim ekuacionin në formën standarde: y’+y/x=-y² (II).

1) Zgjidhet ekuacioni homogjen y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. I shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit me dx dhe pjesëtojmë me y: dy/y=-dx/x. Tani le të integrojmë:

Ne i zëvendësojmë shprehjet që rezultojnë në kushtin (II):

Le të thjeshtojmë:

Ne morëm një ekuacion me ndryshore të ndashme për C dhe x:

Këtu C është tashmë një konstante e zakonshme. Gjatë procesit të integrimit, ne kemi shkruar thjesht C në vend të C(x), në mënyrë që të mos mbingarkojmë shënimin. Dhe në fund u kthyem në C(x), për të mos ngatërruar C(x) me C-në e re.

3) Në zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit homogjen y=C(x)/x zëvendësojmë funksionin e gjetur C(x):

Ne morëm të njëjtën përgjigje si kur e zgjidhëm duke përdorur metodën e Bernulit.

Shembuj të vetë-testimit:

1. Le ta rishkruajmë ekuacionin në formë standarde: y’-2y=x.

1) Zgjidhet ekuacioni homogjen y’-2y=0. y’=dy/dx, pra dy/dx=2y, shumëzoji të dyja anët e ekuacionit me dx, pjesëtoje me y dhe integro:

Nga këtu gjejmë y:

Ne zëvendësojmë shprehjet për y dhe y në kushtin (për shkurtësi do të përdorim C në vend të C(x) dhe C' në vend të C"(x)):

Për të gjetur integralin në anën e djathtë, ne përdorim formulën e integrimit sipas pjesëve:

Tani ne zëvendësojmë u, du dhe v në formulën:

Këtu C =konst.

3) Tani e zëvendësojmë homogjenin në tretësirë

Metoda e ndryshimit të konstantave arbitrare

Metoda e ndryshimit të konstanteve arbitrare për ndërtimin e një zgjidhjeje të një ekuacioni diferencial johomogjen linear

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = f(t)

konsiston në zëvendësimin e konstantave arbitrare c k në zgjidhjen e përgjithshme

z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)

ekuacioni homogjen përkatës

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = 0

për funksione ndihmëse c k (t) , derivatet e të cilit kënaqin sistemin linear algjebrik

Përcaktori i sistemit (1) është Wronskian i funksioneve z 1 ,z 2 ,...,z n , e cila siguron zgjidhshmërinë e saj unike në lidhje me .

Nëse janë antiderivativë për , të marra në vlera fikse të konstanteve të integrimit, atëherë funksioni

është një zgjidhje e ekuacionit origjinal linear diferencial johomogjen. Integrimi i një ekuacioni johomogjen në prani të një zgjidhjeje të përgjithshme të ekuacionit homogjen përkatës reduktohet në kuadratura.

Metoda e ndryshimit të konstanteve arbitrare për ndërtimin e zgjidhjeve për një sistem ekuacionesh diferenciale lineare në formë normale vektoriale

konsiston në ndërtimin e një zgjidhjeje të caktuar (1) në formë

Ku Z(t) është baza e zgjidhjeve të ekuacionit homogjen përkatës, të shkruar në formën e një matrice, dhe funksioni vektor, i cili zëvendësoi vektorin e konstantave arbitrare, përcaktohet nga relacioni. Zgjidhja e veçantë e kërkuar (me vlera fillestare zero në t = t 0 duket si

Për një sistem me koeficientë konstante, shprehja e fundit është thjeshtuar:

Matricë Z(t)Z− 1 (τ) thirrur Matrica Cauchy operatori L = A(t) .

Le të shqyrtojmë tani ekuacionin linear johomogjen
. (2)
Le të jetë y 1 ,y 2 ,.., y n një sistem themelor zgjidhjesh dhe le të jetë zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit homogjen përkatës L(y)=0. Ngjashëm me rastin e ekuacioneve të rendit të parë, ne do të kërkojmë një zgjidhje për ekuacionin (2) në formën
. (3)
Le të sigurohemi që ekziston një zgjidhje në këtë formë. Për ta bërë këtë, ne e zëvendësojmë funksionin në ekuacion. Për të zëvendësuar këtë funksion në ekuacion, gjejmë derivatet e tij. Derivati ​​i parë është i barabartë me
. (4)
Gjatë llogaritjes së derivatit të dytë, katër terma do të shfaqen në anën e djathtë të (4), kur llogaritet derivati ​​i tretë, do të shfaqen tetë terma, e kështu me radhë. Prandaj, për lehtësinë e llogaritjeve të mëtejshme, termi i parë në (4) është vendosur i barabartë me zero. Duke marrë parasysh këtë, derivati ​​i dytë është i barabartë me
. (5)
Për të njëjtat arsye si më parë, në (5) vendosëm edhe termin e parë të barabartë me zero. Së fundi, derivati ​​i n-të është
. (6)
Duke zëvendësuar vlerat e marra të derivateve në ekuacionin origjinal, kemi
. (7)
Termi i dytë në (7) është i barabartë me zero, pasi funksionet y j , j=1,2,..,n, janë zgjidhje të ekuacionit homogjen përkatës L(y)=0. Duke u kombinuar me atë të mëparshmin, marrim një sistem ekuacionesh algjebrike për gjetjen e funksioneve C" j (x)
(8)
Përcaktorja e këtij sistemi është përcaktorja Wronski e sistemit themelor të zgjidhjeve y 1 ,y 2 ,..,y n të ekuacionit homogjen përkatës L(y)=0 dhe për rrjedhojë nuk është e barabartë me zero. Rrjedhimisht, ekziston një zgjidhje unike për sistemin (8). Pasi e kemi gjetur atë, marrim funksionet C" j (x), j=1,2,…,n, dhe, rrjedhimisht, C j (x), j=1,2,…,n Duke i zëvendësuar këto vlera në (3), marrim një zgjidhje për një ekuacion linear johomogjen.
Metoda e përshkruar quhet metoda e ndryshimit të një konstante arbitrare ose metoda e Lagranzhit.

Shembulli nr. 1. Le të gjejmë zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Konsideroni ekuacionin homogjen përkatës y"" + 4y" + 3y = 0. Rrënjët e ekuacionit të tij karakteristik r 2 + 4r + 3 = 0 janë të barabarta me -1 dhe - 3. Prandaj, sistemi themelor i zgjidhjeve të një ekuacioni homogjen përbëhet nga funksionet y 1 = e - x dhe y 2 = e -3 x. Kërkojmë zgjidhje për ekuacionin johomogjen në formën y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. Për të gjetur derivatet C" 1 , C" 2 ne hartojmë një sistem ekuacionesh (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
duke zgjidhur të cilat, gjejmë , Duke integruar funksionet e fituara, kemi
Më në fund arrijmë

Shembulli nr. 2. Zgjidh ekuacionet diferenciale lineare të rendit të dytë me koeficientë konstante duke përdorur metodën e ndryshimit të konstantave arbitrare:

y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Zgjidhja:
Ky ekuacion diferencial i referohet ekuacioneve diferenciale lineare me koeficientë konstante.
Ne do të kërkojmë një zgjidhje të ekuacionit në formën y = e rx. Për ta bërë këtë, ne përpilojmë ekuacionin karakteristik të një ekuacioni diferencial linear homogjen me koeficientë konstante:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Rrënjët e ekuacionit karakteristik: r 1 = 4, r 2 = 2
Rrjedhimisht, sistemi themelor i zgjidhjeve përbëhet nga funksionet: y 1 =e 4x, y 2 =e 2x
Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit homogjen ka formën: y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
Kërkoni për një zgjidhje të veçantë me metodën e ndryshimit të një konstante arbitrare.
Për të gjetur derivatet e C" i krijojmë një sistem ekuacionesh:
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Le të shprehim C" 1 nga ekuacioni i parë:
C" 1 = -c 2 e -2x
dhe zëvendësojeni me të dytin. Si rezultat marrim:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Ne integrojmë funksionet e marra C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln (2e 2x +1) - 2x+ C * 2

Meqenëse y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x, shprehjet rezultuese i shkruajmë në formën:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Kështu, zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial ka formën:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
ose
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Le të gjejmë një zgjidhje të veçantë me kushtin:
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Duke zëvendësuar x = 0 në ekuacionin e gjetur, marrim:
y (0) = 2 ln (3) - 1 + ln (3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Gjejmë derivatin e parë të zgjidhjes së përgjithshme të fituar:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Duke zëvendësuar x = 0, marrim:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Ne marrim një sistem prej dy ekuacionesh:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
ose
C*1+C*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
ose
C*1+C*2=2
2C 1 + C 2 = 2
Nga: C 1 = 0, C * 2 = 2
Zgjidhja private do të shkruhet si:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + 2 e 2x