Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Algjebër

Formulat e shkurtuara të shumëzimit përdoren për të transformuar shprehjet. Identitetet përdoren për të paraqitur një shprehje të tërë si një polinom dhe për të faktorizuar polinomet.

• 1 Sheshi i shumës(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
• 2 Diferenca në katror(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
• 3 Dallimi i katrorëve a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)
• 4 Kub i shumës(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 2
• 5 Kubi i ndryshimit(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 2
• 6 Shuma e kubeve a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
• 7 Dallimi i kubeve a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Formulat për katrorët

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)

Formulat për kube

\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

\((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)

\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)

Formulat për shkallën e katërt

\((a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\)

\((a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4\)

\(a^4 - b^4 = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)\);
rrjedh nga \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\).

Formulat e shkurtuara të shumëzimit

1. Katrori i shumës

2. Diferenca në katror

3. Shuma dhe ndryshimi i katrorëve

4. Shuma në fuqinë e tretë (kubi i shumës)

5. Diferenca me fuqinë e tretë (kubi i diferencës)

6. Shuma dhe ndryshimi i kubeve

7. Formulat e shkurtuara të shumëzimit për shkallën e katërt

8. Formulat e shkurtuara të shumëzimit për fuqinë e pestë

9. Formulat e shkurtuara të shumëzimit për fuqinë e gjashtë

10. Formulat e shkurtuara të shumëzimit për shkallën n, ku n- çdo numër natyror

11. Formulat e shkurtuara të shumëzimit për shkallën n, ku n- numër edhe pozitiv

12. Formulat e shkurtuara të shumëzimit për shkallën n, ku n- numër tek pozitiv

Gjatë llogaritjes së polinomeve algjebrike, për të thjeshtuar llogaritjet, përdorni formulat e shkurtuara të shumëzimit. Janë shtatë formula të tilla në total. Ju duhet t'i dini të gjitha përmendësh.

Duhet mbajtur mend gjithashtu se në vend të "a" dhe "b" në formula mund të ketë ose numra ose ndonjë polinom tjetër algjebrik.

Dallimi i katrorëve

Mbani mend!

Dallimi i katrorëve dy numra janë të barabartë me prodhimin e diferencës së këtyre numrave dhe shumës së tyre.

a 2 − b 2 = (a − b) (a + b)

• 15 2 − 2 2 = (15 − 2) (15 + 2) = 13 17 = 221
• 9a 2 − 4b 2 me 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

Sheshi i shumës

Mbani mend!

Katrori i shumës së dy numrave është i barabartë me katrorin e numrit të parë plus dyfishin e produktit të numrit të parë dhe të dytit plus katrorin e numrit të dytë.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Ju lutemi vini re se me këtë formulë të shkurtuar të shumëzimit është e lehtë gjeni katrorë me numra të mëdhenj pa përdorur një kalkulator ose shumëzim të gjatë. Le të shpjegojmë me një shembull:

Gjeni 112 2.

• Le ta zbërthejmë 112 në shumën e numrave katrorët e të cilëve i mbajmë mend mirë.
  112 = 100 + 1
• Shkruani shumën e numrave në kllapa dhe vendosni një katror mbi kllapa.
  112 2 = (100 + 12) 2
• Le të përdorim formulën për katrorin e shumës:
  112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 100 12 + 12 2 = 10,000 + 2,400 + 144 = 12,544

Mos harroni se formula e shumës katrore është gjithashtu e vlefshme për çdo polinom algjebrik.

• (8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Paralajmërim!

(a + b) 2 nuk është e barabartë me (a 2 + b 2)

Diferenca në katror

Mbani mend!

Katrori i diferencës së dy numrave është i barabartë me katrorin e numrit të parë minus dyfishin e produktit të të parit dhe të dytë plus katrorin e numrit të dytë.

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Vlen gjithashtu të kujtohet një transformim shumë i dobishëm:

(a − b) 2 = (b − a) 2

Formula e mësipërme mund të vërtetohet thjesht duke hapur kllapat:

(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2

Kub i shumës

Mbani mend!

Kubi i shumës së dy numrave është i barabartë me kubin e numrit të parë plus trefishin e produktit të katrorit të numrit të parë dhe të dytit plus trefishin e prodhimit të të parit me katrorin e të dytit plus kubin e të dytit .

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Si të mbani mend kubin e një shume

Është mjaft e lehtë të kujtosh këtë formulë me pamje "të frikshme".

• Mësoni se "një 3" vjen në fillim.
• Dy polinomet në mes kanë koeficient 3.
• Kujtoni se çdo numër me fuqinë zero është 1.
  (a 0 = 1, b 0 = 1) . Është e lehtë të vërehet se në formulë ka një rënie në shkallën "a" dhe një rritje në shkallën "b". Ju mund ta verifikoni këtë:

Paralajmërim!

(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a + b) 3 nuk është e barabartë me një 3 + b 3

Mbani mend!

Kubi i ndryshimit Kubi i ndryshimit

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Kjo formulë mbahet mend si ajo e mëparshme, por vetëm duke marrë parasysh alternimin e shenjave "+" dhe "−".

Termi i parë "a 3" paraprihet nga "+" (sipas rregullave të matematikës, ne nuk e shkruajmë atë). Kjo do të thotë se termi tjetër do të paraprihet nga "−", pastaj përsëri nga "+", etj.

(a − b) 3 =

+ a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Mbani mend!

Shuma e kubeve Shuma e kubeve

Nuk duhet ngatërruar me kubin e shumës!

është e barabartë me prodhimin e shumës së dy numrave dhe katrorit të pjesshëm të diferencës.

• a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2)
• Shuma e kubeve është prodhim i dy kllapave.
  Kllapa e parë është shuma e dy numrave.
  Kllapa e dytë është katrori jo i plotë i diferencës midis numrave. Katrori jo i plotë i diferencës është shprehja:

(a 2 − ab + b 2)

Ky katror është i paplotë, pasi në mes, në vend të prodhimit të dyfishtë, është prodhimi i zakonshëm i numrave.

Mbani mend!

Dallimi i kubeve Dallimi i kubeve

Nuk duhet ngatërruar me kubin e diferencës!

është e barabartë me produktin e ndryshimit të dy numrave dhe katrorit të pjesshëm të shumës.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Kini kujdes kur shkruani shenja.

Përdorimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit

• Duhet mbajtur mend se të gjitha formulat e dhëna më sipër përdoren gjithashtu nga e djathta në të majtë.
• Shumë shembuj në tekstet shkollore janë krijuar që ju të bashkoni përsëri një polinom duke përdorur formula.

a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

(ac − 4b)(ac + 4b) = a 2 c 2 − 16b 2

Ju mund të shkarkoni një tabelë me të gjitha formulat e shkurtuara të shumëzimit në seksionin " Ato përdoren për të thjeshtuar llogaritjet, si dhe për faktorizimin e polinomeve dhe për shumëzimin e shpejtë të polinomeve. Shumica e formulave të shkurtuara të shumëzimit mund të merren nga binomi i Njutonit - së shpejti do ta shihni këtë.

Formulat për katrorët përdoret më shpesh në llogaritje. Ato fillojnë të studiohen në kurrikulën shkollore duke filluar nga klasa e 7-të dhe deri në përfundim të studimeve, nxënësit e shkollës duhet të dinë përmendësh formulat e katrorëve dhe kubeve.

Formulat për kube

jo shumë komplekse dhe ju duhet t'i njihni ato kur reduktoni polinomet në formën standarde, për të thjeshtuar ngritjen e shumës ose ndryshimit të një ndryshoreje dhe një numri në kub. Formulat e treguara me të kuqe janë marrë nga ato të mëparshme duke grupuar terma të ngjashëm. Formulat për shkallën e katërt dhe të pestë V

kursi shkollor Pak njerëz do ta kenë të dobishme, por ka probleme në studimin e matematikës së lartë ku duhet të llogaritni koeficientët e fuqive.

Formulat për gradën

n shkruhen përmes koeficientëve binomialë duke përdorur faktorialët e mëposhtëm

Shembuj të përdorimit të formulave të shkurtuara të shumëzimit

Bëja shaka - të gjithë janë të mençur me një makinë llogaritëse, pa të... (të mos flasim për gjëra të trishta).

Pa një makinë llogaritëse dhe duke ditur rregullat e mësipërme, ne gjejmë katrorin e një numri duke përdorur rregullin

Shembulli 2. Gjeni 99^2.

Zgjidhje. Le të zbatojmë formulën e dytë

Shembulli 3: Shprehja në katror
(x+y-3).

Zgjidhje. Ne mendërisht e konsiderojmë shumën e dy termave të parë si një term dhe, duke përdorur formulën e dytë për shumëzim të shkurtuar, kemi

Shembulli 4. Gjeni ndryshimin e katrorëve
11^2-9^2.

Zgjidhje. Meqenëse numrat janë të vegjël, thjesht mund të zëvendësoni vlerat e katrorëve

Por qëllimi ynë është krejtësisht i ndryshëm - të mësojmë se si të përdorim formulat e shkurtuara të shumëzimit për të thjeshtuar llogaritjet. Për këtë shembull, ne zbatojmë formulën e tretë

Shembulli 5. Gjeni ndryshimin e katrorëve
17^2-3^2 .

Zgjidhje. Në këtë shembull, tashmë do të dëshironi të studioni rregullat për të reduktuar llogaritjet në një rresht

Siç mund ta shihni, ne nuk bëmë asgjë të habitshme.

Shembulli 6: Thjeshtoni një shprehje
(x-y)^2-(x+y)^2.

Zgjidhje. Ju mund të vendosni katrorët dhe më vonë të gruponi terma të ngjashëm. Sidoqoftë, mund të zbatohet drejtpërdrejt ndryshimi i katrorëve

E thjeshtë dhe pa zgjidhje të gjata.

Shembulli 7. Kuboni një polinom
x^3-4.

Zgjidhje . Le të zbatojmë formulën 5 të shkurtuar të shumëzimit

Shembulli 8. Shkruani si diferencë katrorësh ose shumën e tyre
a) x^2-8x+7
b) x^2+4x+29

Zgjidhje. a) Riorganizoni termat

b) Thjeshtoni bazuar në argumentet e mëparshme

Shembulli 9. Zgjero thyesa racionale

Zgjidhje. Le të zbatojmë formulën e diferencës së katrorëve

Le të krijojmë një sistem ekuacionesh për të përcaktuar konstantet

Le të shtojmë të dytën në ekuacionin e parë të trefishuar. Vlerën e gjetur e zëvendësojmë në ekuacionin e parë

Zbërthimi më në fund do të marrë formën

Zgjerimi i një thyese racionale është shpesh i nevojshëm përpara se të integrohet për të zvogëluar fuqinë e emëruesit.

Shembulli 10. Duke përdorur binomin e Njutonit, shkruani
shprehja (x-a)^7.

Zgjidhje. Ju ndoshta tashmë e dini se çfarë është një binom i Njutonit. Nëse jo, më poshtë janë koeficientët binomialë

Ato formohen si më poshtë: njësitë shkojnë përgjatë skajit, koeficientët midis tyre në vijën fundore formohen duke përmbledhur ato të sipërme ngjitur. Nëse kërkojmë një ndryshim deri diku, atëherë shenjat në orar alternojnë nga plus në minus. Kështu, për rendin e shtatë marrim paraqitjen e mëposhtme

Shikoni gjithashtu me kujdes se si ndryshojnë treguesit - për variablin e parë ato zvogëlohen me një në çdo term pasues, përkatësisht, për të dytën rriten me një. Në total, treguesit duhet të jenë gjithmonë të barabartë me shkallën e dekompozimit (=7).

Unë mendoj se bazuar në materialin e mësipërm do të jeni në gjendje të zgjidhni problema duke përdorur binomin e Njutonit. Mësoni formulat e shkurtuara të shumëzimit dhe zbatojini ato kudo që mund të thjeshtojnë llogaritjet dhe kurseni kohë në detyra.