ความเท่าเทียมเป็นคุณสมบัติที่มีประโยชน์มากในเรขาคณิต ใน ชีวิตจริงด้านที่ขนานกันช่วยให้คุณสร้างสิ่งสวยงามและสมมาตรที่ใครๆ ก็ชอบได้ ดังนั้น เรขาคณิตจึงจำเป็นต้องมีวิธีตรวจสอบความขนานกันอยู่เสมอ เราจะพูดถึงสัญญาณของเส้นคู่ขนานในบทความนี้

คำจำกัดความของความเท่าเทียม

ให้เราเน้นคำจำกัดความที่คุณต้องรู้เพื่อพิสูจน์สัญญาณของความขนานของสองบรรทัด

เส้นจะเรียกว่าขนานกันหากไม่มีจุดตัดกัน นอกจากนี้ ในการแก้ปัญหา เส้นขนานมักจะรวมกับเส้นตัดขวาง

เส้นตัดคือเส้นที่ตัดเส้นคู่ขนานทั้งสองเส้น ในกรณีนี้จะมีการสร้างการนอนขวางมุมที่สอดคล้องกันและด้านเดียว คู่ของมุมที่ 1 และ 4 จะนอนขวางกัน 2 และ 3; 8 และ 6; 7 และ 5 สิ่งที่เกี่ยวข้องคือ 7 และ 2; 1 และ 6; 8 และ 4; 3 และ 5

ด้านเดียว 1 และ 2; 7 และ 6; 8 และ 5; 3 และ 4.

เมื่อจัดรูปแบบอย่างถูกต้อง จะมีเขียนว่า: “มุมตัดกันของเส้นขนานสองเส้น a และ b และเส้นตัดมุม c” เพราะสำหรับเส้นขนานสองเส้นนั้นสามารถมีเส้นตัดเป็นจำนวนอนันต์ได้ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องระบุว่าคุณหมายถึงเส้นตัดเส้นใด

นอกจากนี้ สำหรับการพิสูจน์ คุณจะต้องใช้ทฤษฎีบทมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม ซึ่งระบุว่ามุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุมสองมุมของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่ติดกับมุมนั้น

สัญญาณ

สัญญาณทั้งหมดของเส้นขนานนั้นขึ้นอยู่กับความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของมุมและทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม

ลงชื่อ 1

เส้นตรงสองเส้นจะขนานกันถ้ามุมที่ตัดกันเท่ากัน

พิจารณาเส้นตรง a และ b สองเส้นพร้อมเซคแคนต์ c มุมขวาง 1 และ 4 เท่ากัน สมมติว่าเส้นไม่ขนานกัน ซึ่งหมายความว่าเส้นตัดกันและต้องมีจุดตัด M จากนั้นจึงเกิดสามเหลี่ยม ABM ที่มีมุมภายนอก 1 มุมภายนอกจะต้องเท่ากับผลรวมของมุม 4 และ ABM โดยที่ไม่อยู่ติดกับมุมนั้นตามทฤษฎีบท ที่มุมภายนอกในรูปสามเหลี่ยม แต่ปรากฎว่ามุม 1 มากกว่ามุม 4 และสิ่งนี้ขัดแย้งกับเงื่อนไขของปัญหา ซึ่งหมายความว่าไม่มีจุด M เส้นไม่ตัดกันนั่นคือพวกมันขนานกัน

ข้าว. 1. การวาดภาพเพื่อพิสูจน์

ลงชื่อ 2

เส้นตรงสองเส้นจะขนานกันถ้ามุมที่ตรงกันที่แนวขวางเท่ากัน

พิจารณาเส้นตรง a และ b สองเส้นพร้อมเซคแคนต์ c มุมที่ตรงกัน 7 และ 2 เท่ากัน ลองสนใจมุม 3 กันก่อน. มันเป็นแนวตั้งกับมุม 7 ซึ่งหมายความว่ามุม 7 กับ 3 เท่ากัน ซึ่งหมายความว่ามุม 3 และ 2 ก็เท่ากันเช่นกัน<7=<2 и <7=<3. А угол 3 и угол 2 являются накрест лежащими. Следовательно, прямые параллельны, что и требовалось доказать.

ข้าว. 2. การวาดภาพเพื่อพิสูจน์

ลงชื่อ 3

เส้นตรงสองเส้นจะขนานกันถ้าผลรวมของมุมด้านเดียวเป็น 180 องศา

ข้าว. 3. การวาดภาพเพื่อพิสูจน์

พิจารณาเส้นตรง a และ b สองเส้นพร้อมเซคแคนต์ c ผลรวมของมุมด้านเดียวที่ 1 และ 2 เท่ากับ 180 องศา ให้ความสนใจกับมุมที่ 1 และ 7 กัน. พวกมันอยู่ประชิดกัน. นั่นคือ:

$$<1+<7=180$$

$$<1+<2=180$$

ลบวินาทีจากนิพจน์แรก:

$$(<1+<7)-(<1+<2)=180-180$$

$$(<1+<7)-(<1+<2)=0$$

$$<1+<7-<1-<2=0$$

$$<7-<2=0$$

$<7=<2$ - а они являются соответственными. Значит, прямые параллельны.

เราได้เรียนรู้อะไรบ้าง?

เราวิเคราะห์รายละเอียดว่ามุมใดที่ได้รับเมื่อตัดเส้นคู่ขนานด้วยเส้นที่สามระบุและอธิบายรายละเอียดการพิสูจน์สัญญาณสามเส้นของเส้นคู่ขนาน

ทดสอบในหัวข้อ

การให้คะแนนบทความ

คะแนนเฉลี่ย: 4.1. คะแนนรวมที่ได้รับ: 220

ก่อนอื่น เรามาดูความแตกต่างระหว่างแนวคิดเรื่องเครื่องหมาย ทรัพย์สิน และสัจพจน์กันก่อน

คำจำกัดความ 1

เข้าสู่ระบบพวกเขาเรียกข้อเท็จจริงบางอย่างซึ่งสามารถกำหนดความจริงของการตัดสินเกี่ยวกับวัตถุที่น่าสนใจได้

ตัวอย่างที่ 1

เส้นจะขนานกันถ้าเส้นตัดขวางมีมุมขวางเท่ากัน

คำจำกัดความ 2

คุณสมบัติกำหนดไว้ในกรณีที่มีความเชื่อมั่นในความเป็นธรรมของคำพิพากษา

ตัวอย่างที่ 2

เมื่อเส้นขนานขนานกัน เส้นตัดขวางจะเกิดมุมขวางเท่ากัน

คำจำกัดความ 3

สัจพจน์พวกเขาเรียกข้อความที่ไม่ต้องมีหลักฐานและเป็นที่ยอมรับว่าเป็นความจริงหากไม่มี

วิทยาศาสตร์แต่ละอย่างมีสัจพจน์ที่ใช้การตัดสินและการพิสูจน์ในภายหลัง

สัจพจน์ของเส้นขนาน

บางครั้งสัจพจน์ของเส้นขนานได้รับการยอมรับว่าเป็นหนึ่งในคุณสมบัติของเส้นคู่ขนาน แต่ในขณะเดียวกัน การพิสูจน์ทางเรขาคณิตอื่นๆ ก็ขึ้นอยู่กับความถูกต้องของมัน

ทฤษฎีบท 1

ผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้นที่กำหนด สามารถวาดเส้นตรงได้เพียงเส้นเดียวบนระนาบซึ่งจะขนานกับเส้นที่กำหนด

สัจพจน์ไม่ต้องการการพิสูจน์

คุณสมบัติของเส้นขนาน

ทฤษฎีบท 2

คุณสมบัติ1. คุณสมบัติของการเคลื่อนที่ของเส้นคู่ขนาน:

เมื่อเส้นขนานหนึ่งในสองเส้นขนานกับเส้นที่สาม เส้นที่สองจะขนานกัน

คุณสมบัติต้องมีการพิสูจน์

การพิสูจน์:

ให้มีเส้นขนานสองเส้น $a$ และ $b$ เส้น $c$ ขนานกับเส้น $a$ ให้เราตรวจสอบว่าในกรณีนี้เส้นตรง $c$ จะขนานกับเส้นตรง $b$ หรือไม่

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เราจะใช้ข้อเสนอที่ตรงกันข้าม:

ลองจินตนาการว่าเป็นไปได้ที่เส้น $c$ จะขนานกับเส้นใดเส้นหนึ่ง เช่น เส้น $a$ และตัดกับอีกเส้นหนึ่ง เส้น $b$ ที่จุดใดจุดหนึ่ง $K$

เราได้รับความขัดแย้งตามสัจพจน์ของเส้นคู่ขนาน ซึ่งส่งผลให้เกิดสถานการณ์ที่เส้นสองเส้นตัดกันที่จุดหนึ่ง ยิ่งไปกว่านั้น ขนานกับเส้น $a$ เดียวกัน สถานการณ์นี้เป็นไปไม่ได้ ดังนั้น เส้น $b$ และ $c$ ไม่สามารถตัดกันได้

ดังนั้น ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าหากเส้นขนานเส้นใดเส้นหนึ่งจากสองเส้นขนานกับเส้นที่สาม เส้นที่สองก็จะขนานกับเส้นที่สาม

ทฤษฎีบท 3

คุณสมบัติ 2.

ถ้าเส้นคู่ขนานเส้นใดเส้นหนึ่งจากสองเส้นตัดกันด้วยหนึ่งในสาม เส้นที่สองก็จะตัดกันด้วย

การพิสูจน์:

ให้มีเส้นขนานสองเส้น $a$ และ $b$ นอกจากนี้ ให้มีเส้นตรง $c$ ที่ตัดกับเส้นคู่ขนานเส้นใดเส้นหนึ่ง เช่น เส้น $a$ จำเป็นต้องแสดงว่าเส้น $c$ ตัดกับเส้นที่สองเช่นกัน นั่นคือเส้น $b$

ลองสร้างการพิสูจน์โดยขัดแย้งกัน

สมมติว่าเส้น $c$ ไม่ตัดกับเส้น $b$ จากนั้นเส้นสองเส้น $a$ และ $c$ ผ่านจุด $K$ ซึ่งไม่ได้ตัดกับเส้น $b$ นั่นคือขนานกัน แต่สถานการณ์นี้ขัดแย้งกับสัจพจน์ของเส้นคู่ขนาน ซึ่งหมายความว่าสมมติฐานไม่ถูกต้อง และเส้น $c$ จะตัดกันเส้น $b$

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

คุณสมบัติของมุมซึ่งประกอบเป็นเส้นขนานสองเส้นและเส้นตัดฉาก: มุมตรงข้ามเท่ากันมุมที่ตรงกันจะเท่ากัน * ผลรวมของมุมด้านเดียวคือ $180^(\circ)$

ตัวอย่างที่ 3

ให้เส้นขนานสองเส้นและเส้นที่สามตั้งฉากกับหนึ่งในนั้น พิสูจน์ว่าเส้นนี้ตั้งฉากกับเส้นขนานอีกเส้นหนึ่ง

การพิสูจน์.

ขอให้เรามีเส้นตรง $a \parallel b$ และ $c \perp a$

เนื่องจากเส้น $c$ ตัดกับเส้น $a$ ดังนั้น ตามคุณสมบัติของเส้นคู่ขนาน มันจะตัดเส้น $b$ ด้วย

เส้นตัดขวาง $c$ ซึ่งตัดกับเส้นขนาน $a$ และ $b$ ทำให้เกิดมุมภายในที่เท่ากัน

เพราะ $c \perp a$ จากนั้นมุมจะเป็น $90^(\circ)$

ดังนั้น $c \perp b$

หลักฐานเสร็จสมบูรณ์

หน้า 1 จาก 2 หน้า

คำถามที่ 1.พิสูจน์ว่าเส้นตรงสองเส้นขนานกับหนึ่งในสามขนานกัน
คำตอบ. ทฤษฎีบท 4.1 เส้นตรงสองเส้นขนานกับหนึ่งในสามขนานกัน
การพิสูจน์.ให้เส้น a และ b ขนานกับเส้น c สมมติว่า a และ b ไม่ขนานกัน (รูปที่ 69) จากนั้นพวกมันจะไม่ตัดกันที่จุด C ซึ่งหมายความว่าเส้นสองเส้นผ่านจุด C ขนานกับเส้น c แต่นี่เป็นไปไม่ได้ เนื่องจากเมื่อผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้นที่กำหนด คุณสามารถวาดเส้นตรงขนานกับเส้นที่กำหนดได้ไม่เกินหนึ่งเส้น ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

คำถามที่ 2.อธิบายว่ามุมใดเรียกว่ามุมภายในด้านเดียว มุมใดที่เรียกว่ามุมขวางภายใน?
คำตอบ.คู่ของมุมที่เกิดขึ้นเมื่อเส้น AB และ CD ตัดกับเส้นตัดขวาง AC มีชื่อพิเศษ
หากจุด B และ D อยู่ในครึ่งระนาบเดียวกันสัมพันธ์กับเส้นตรง AC ดังนั้นมุม BAC และ DCA จะเรียกว่ามุมภายในด้านเดียว (รูปที่ 71, a)
หากจุด B และ D อยู่ในระนาบครึ่งระนาบที่ต่างกันสัมพันธ์กับเส้นตรง AC ดังนั้นมุม BAC และ DCA จะเรียกว่ามุมขวางภายใน (รูปที่ 71, b)

ข้าว. 71

คำถามที่ 3.พิสูจน์ว่าถ้ามุมภายในของคู่หนึ่งเท่ากัน มุมภายในของอีกคู่หนึ่งก็จะเท่ากันด้วย และผลรวมของมุมภายในของแต่ละคู่คือ 180°
คำตอบ.เส้นตัด AC ประกอบขึ้นโดยมีเส้น AB และ CD เป็นมุมด้านเดียวภายในสองคู่ และมุมขวางภายในสองคู่ มุมขวางภายในของคู่หนึ่ง เช่น มุม 1 และมุม 2 อยู่ติดกับมุมขวางภายในของอีกคู่หนึ่ง: มุม 3 และมุม 4 (รูปที่ 72)

ข้าว. 72

ดังนั้น ถ้ามุมภายในของคู่หนึ่งเท่ากัน มุมภายในของอีกคู่หนึ่งก็จะเท่ากันด้วย
มุมขวางภายในคู่หนึ่ง เช่น มุม 1 และมุม 2 และมุมด้านเดียวภายในคู่หนึ่ง เช่น มุม 2 และมุม 3 มีมุมหนึ่งมุมเหมือนกัน - มุม 2 และมีมุมอีกสองมุมอยู่ติดกัน : มุม 1 และมุม 3
ดังนั้น ถ้ามุมตามขวางภายในเท่ากัน ผลรวมของมุมภายในจะเป็น 180° และในทางกลับกัน ถ้าผลรวมของมุมภายในที่ตัดกันเท่ากับ 180° มุมภายในที่ตัดกันจะเท่ากัน Q.E.D.

คำถามที่ 4.พิสูจน์การทดสอบเส้นขนาน
คำตอบ. ทฤษฎีบท 4.2 (ทดสอบเส้นขนาน)ถ้ามุมขวางภายในเท่ากันหรือผลรวมของมุมด้านเดียวภายในเท่ากับ 180° แล้วเส้นตรงจะขนานกัน
การพิสูจน์.ให้เส้นตรง a และ b สร้างมุมขวางภายในเท่ากันกับเส้นตัด AB (รูปที่ 73, a) สมมติว่าเส้น a และ b ไม่ขนานกัน ซึ่งหมายความว่าเส้นตรงตัดกันที่จุด C (รูปที่ 73, b)

ข้าว. 73

เส้นตัด AB แบ่งระนาบออกเป็นสองระนาบครึ่ง จุด C อยู่ในจุดใดจุดหนึ่ง ลองสร้างสามเหลี่ยม BAC 1 ซึ่งเท่ากับสามเหลี่ยม ABC โดยมีจุดยอด C 1 ในอีกครึ่งระนาบ ตามเงื่อนไข มุมขวางภายในของ a, b และเส้นตัด AB จะเท่ากัน เนื่องจากมุมที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยม ABC และ BAC 1 ที่มีจุดยอด A และ B เท่ากัน จึงเกิดขึ้นพร้อมกับมุมภายในที่วางขวางตามขวาง ซึ่งหมายความว่าเส้น AC 1 เกิดขึ้นพร้อมกับเส้น a และเส้น BC 1 เกิดขึ้นพร้อมกับเส้น b ปรากฎว่าเส้นตรง a และ b สองเส้นที่ต่างกันผ่านจุด C และ C 1 และนี่เป็นไปไม่ได้ ซึ่งหมายความว่าเส้น a และ b ขนานกัน
ถ้าเส้น a และ b และเส้นตัดขวาง AB มีผลรวมของมุมด้านเดียวภายในเท่ากับ 180° ตามที่เราทราบ มุมภายในที่วางขวางจะเท่ากัน ซึ่งหมายความว่า จากสิ่งที่พิสูจน์แล้วข้างต้น เส้น a และ b ขนานกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

คำถามที่ 5.อธิบายว่ามุมใดเรียกว่ามุมที่สอดคล้องกัน พิสูจน์ว่าถ้ามุมขวางภายในเท่ากัน มุมที่ตรงกันก็จะเท่ากันด้วย และในทางกลับกัน

คำตอบ.หากมุมขวางภายในคู่หนึ่งถูกแทนที่ด้วยมุมแนวตั้ง เราจะได้มุมคู่หนึ่งที่เรียกว่ามุมที่สอดคล้องกันของเส้นเหล่านี้ที่มีเส้นตัดขวาง ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องอธิบาย
จากความเท่าเทียมกันของมุมภายในที่วางขวางจะเป็นไปตามความเท่าเทียมกันของมุมที่สอดคล้องกันและในทางกลับกัน สมมติว่าเรามีเส้นขนานสองเส้น (เนื่องจากตามเงื่อนไข มุมภายในที่วางขวางกันจะเท่ากัน) และเส้นตัดขวางซึ่งประกอบเป็นมุม 1, 2, 3 มุมที่ 1 และ 2 เท่ากันกับมุมภายในที่วางขวางกัน และมุมที่ 2 และ 3 เท่ากับแนวตั้ง เราได้รับ: \(\angle\)1 = \(\angle\)2 และ \(\angle\)2 = \(\angle\)3 โดยสมบัติการผ่านของเครื่องหมายเท่ากับ จะได้ว่า \(\angle\)1 = \(\angle\)3 ข้อความสนทนาสามารถพิสูจน์ได้ในลักษณะเดียวกัน
จากนี้เราจะได้สัญญาณว่าเส้นตรงขนานกันในมุมที่สอดคล้องกัน กล่าวคือ: เส้นตรงจะขนานกันถ้ามุมที่ตรงกันเท่ากัน Q.E.D.

คำถามที่ 6.พิสูจน์ว่าเมื่อถึงจุดที่ไม่อยู่บนเส้นที่กำหนด คุณสามารถลากเส้นขนานกับจุดนั้นได้ เส้นขนานกับเส้นที่กำหนดสามารถลากผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้นนี้ได้กี่เส้น

คำตอบ.ปัญหา (8) ให้เส้น AB และจุด C ที่ไม่อยู่บนเส้นนี้ พิสูจน์ว่าผ่านจุด C คุณสามารถวาดเส้นขนานกับเส้น AB ได้
สารละลาย. เส้น AC แบ่งระนาบออกเป็นสองระนาบครึ่ง (รูปที่ 75) จุด B อยู่ในหนึ่งในนั้น ขอให้เราเพิ่มมุม ACD จาก CA ครึ่งเส้นไปยังอีกครึ่งระนาบ ซึ่งเท่ากับมุม CAB จากนั้นเส้น AB และ CD จะขนานกัน ที่จริงแล้ว สำหรับเส้นเหล่านี้และเส้นตัดขวาง AC มุมภายใน BAC และ DCA จะอยู่ในแนวขวาง และเนื่องจากมันเท่ากัน เส้น AB และ CD จึงขนานกัน Q.E.D.
เมื่อเปรียบเทียบคำแถลงของปัญหา 8 และสัจพจน์ IX (คุณสมบัติหลักของเส้นขนาน) เราได้ข้อสรุปที่สำคัญ: ผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้นที่กำหนดคุณสามารถวาดเส้นขนานกับจุดนั้นได้เพียงเส้นเดียวเท่านั้น

คำถามที่ 7.พิสูจน์ว่าหากเส้นตรงสองเส้นตัดกันด้วยเส้นที่สาม มุมภายในที่ตัดกันจะเท่ากัน และผลรวมของมุมด้านเดียวภายในคือ 180°

คำตอบ. ทฤษฎีบท 4.3(บทสนทนาของทฤษฎีบท 4.2) ถ้าเส้นขนานสองเส้นตัดกับเส้นที่สาม มุมภายในที่ตัดกันจะเท่ากัน และผลรวมของมุมด้านเดียวภายในคือ 180°
การพิสูจน์.ให้ a และ b เป็นเส้นขนาน และ c เป็นเส้นที่ตัดกันที่จุด A และ B ให้เราลากเส้น a 1 ถึงจุด A เพื่อให้มุมขวางภายในที่เกิดจากเส้นตัดขวาง c โดยมีเส้น a 1 และ b เท่ากัน (รูปที่ 76)
ตามหลักการความขนานของเส้นตรง เส้น a 1 และ b ขนานกัน และเนื่องจากมีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวที่ผ่านจุด A ซึ่งขนานกับเส้น b ดังนั้นเส้น a จึงเกิดขึ้นพร้อมกับเส้น 1
ซึ่งหมายความว่ามุมขวางภายในเกิดขึ้นจากแนวขวางด้วย
เส้นขนาน a และ b เท่ากัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

คำถามที่ 8.พิสูจน์ว่าเส้นตรงสองเส้นที่ตั้งฉากกับหนึ่งในสามนั้นขนานกัน ถ้าเส้นตรงตั้งฉากกับเส้นขนานเส้นใดเส้นหนึ่งจากสองเส้น เส้นนั้นจะตั้งฉากกับอีกเส้นหนึ่งด้วย
คำตอบ.จากทฤษฎีบท 4.2 จะได้ว่าเส้นตรงสองเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นที่สามนั้นขนานกัน
สมมุติว่าเส้นตรงสองเส้นตั้งฉากกับเส้นที่สาม ซึ่งหมายความว่าเส้นเหล่านี้ตัดกับเส้นที่สามที่มุมเท่ากับ 90°
จากคุณสมบัติของมุมที่เกิดขึ้นเมื่อเส้นขนานตัดกับเส้นตัดขวาง จะตามมาว่าหากเส้นตรงตั้งฉากกับเส้นคู่ขนานเส้นใดเส้นหนึ่ง เส้นนั้นจะตั้งฉากกับอีกเส้นหนึ่งด้วย

คำถามที่ 9.พิสูจน์ว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180°

คำตอบ. ทฤษฎีบท 4.4ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180°
การพิสูจน์.ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมที่กำหนด ให้เราลากเส้นผ่านจุดยอด B ขนานกับเส้น AC ทำเครื่องหมายจุด D ไว้บนนั้นเพื่อให้จุด A และ D อยู่บนด้านตรงข้ามของเส้นตรง BC (รูปที่ 78)
มุม DBC และ ACB เท่ากันทุกประการกับมุมขวางภายในที่เกิดจากเส้นตัดขวาง BC กับเส้นขนาน AC และ BD ดังนั้น ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมที่จุดยอด B และ C เท่ากับมุม ABD
และผลรวมของมุมทั้งสามมุมของสามเหลี่ยมจะเท่ากับผลรวมของมุม ABD และ BAC เนื่องจากมุมเหล่านี้เป็นมุมภายในด้านเดียวสำหรับ AC และ BD และซีแคนต์ AB ขนาน ผลรวมของมันคือ 180° ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

คำถามที่ 10.พิสูจน์ว่าสามเหลี่ยมใดๆ มีมุมแหลมอย่างน้อยสองมุม
คำตอบ.ที่จริงแล้ว ให้เราสมมติว่ารูปสามเหลี่ยมนั้นมีมุมแหลมเพียงมุมเดียวหรือไม่มีมุมแหลมเลย สามเหลี่ยมนี้มีมุมสองมุม แต่ละมุมมีอย่างน้อย 90° ผลรวมของมุมทั้งสองนี้ไม่น้อยกว่า 180° แต่นี่เป็นไปไม่ได้ เนื่องจากผลรวมของมุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมคือ 180° Q.E.D.

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อรับข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

1. สัญญาณแรกของความเท่าเทียม

ถ้าเมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกันหนึ่งในสาม มุมภายในที่วางขวางตามขวางเท่ากัน เส้นเหล่านี้จะขนานกัน

ให้เส้น AB และ CD ตัดกันด้วยเส้น EF และ ∠1 = ∠2 ลองใช้จุด O - ตรงกลางของส่วน KL ของเส้นตัด EF (รูปที่)

ให้เราลด OM ตั้งฉากจากจุด O ลงบนเส้น AB แล้วทำต่อจนกระทั่งมันตัดกับเส้น CD, AB ⊥ MN ลองพิสูจน์ว่า CD ⊥ MN

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้พิจารณารูปสามเหลี่ยมสองรูป: MOE และ NOK สามเหลี่ยมเหล่านี้มีค่าเท่ากัน แท้จริงแล้ว: ∠1 = ∠2 ตามทฤษฎีบท; ОK = ОL - โดยการก่อสร้าง;

∠MOL = ∠NOK เช่น มุมแนวตั้ง ดังนั้น ด้านและมุมสองมุมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมหนึ่งจะเท่ากับด้านและมุมสองมุมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งตามลำดับ ดังนั้น ΔMOL = ΔNOK และด้วยเหตุนี้ ∠LMO = ∠KNO
แต่ ∠LMO ตรง ซึ่งหมายความว่า ∠KNO ก็ตรงเช่นกัน ดังนั้น เส้น AB และ CD จึงตั้งฉากกับเส้น MN เดียวกัน ดังนั้นเส้นทั้งสองจึงขนานกัน ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

บันทึก. จุดตัดของเส้นตรง MO และ CD สามารถกำหนดได้โดยการหมุนสามเหลี่ยม MOL รอบจุด O 180°

2. สัญญาณที่สองของความเท่าเทียม

ลองดูว่าเส้นตรง AB และ CD ขนานกันหรือไม่ เมื่อพวกมันตัดกันเส้นตรงที่สาม EF แล้วมุมที่สอดคล้องกันจะเท่ากัน

ปล่อยให้มุมที่สอดคล้องกันบางมุมเท่ากัน เช่น ∠ 3 = ∠2 (รูปที่.);

∠3 = ∠1 เป็นมุมแนวตั้ง นี่หมายความว่า ∠2 จะเท่ากับ ∠1 แต่มุมที่ 2 กับ 1 ตัดกันมุมภายใน และเรารู้อยู่แล้วว่าถ้าเมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกับเส้นที่สาม มุมภายในที่ตัดกันเท่ากัน เส้นเหล่านี้จะขนานกัน ดังนั้น AB || ซีดี.

ถ้าเมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกันหนึ่งในสาม มุมที่ตรงกันจะเท่ากัน เส้นทั้งสองนี้จะขนานกัน

การสร้างเส้นคู่ขนานโดยใช้ไม้บรรทัดและรูปสามเหลี่ยมจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัตินี้ ทำได้ดังนี้

มาแนบสามเหลี่ยมเข้ากับไม้บรรทัดดังแสดงในรูป เราจะย้ายสามเหลี่ยมเพื่อให้ด้านใดด้านหนึ่งเลื่อนไปตามไม้บรรทัด และเราจะลากเส้นตรงหลายๆ เส้นไปตามด้านอื่นๆ ของสามเหลี่ยม เส้นเหล่านี้จะขนานกัน

3. สัญญาณที่สามของความเท่าเทียม

ขอให้เรารู้ว่าเมื่อเส้นตรงสองเส้น AB และ CD ตัดกับเส้นตรงเส้นที่สาม ผลรวมของมุมด้านเดียวภายในจะเท่ากับ 2 ง(หรือ 180°) เส้นตรง AB และ CD ในกรณีนี้จะขนานกันหรือไม่ (รูปที่)

ให้ ∠1 และ ∠2 เป็นมุมด้านเดียวภายในแล้วรวมกันได้ 2 ง.

แต่ ∠3 + ∠2 = 2 งเป็นมุมที่อยู่ติดกัน ดังนั้น ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2

ดังนั้น ∠1 = ∠3 และมุมภายในเหล่านี้อยู่ในแนวขวาง ดังนั้น AB || ซีดี.

ถ้าเมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกันหนึ่งในสาม ผลรวมของมุมด้านเดียวภายในจะเท่ากับ 2 d (หรือ 180°) ดังนั้น เส้นทั้งสองนี้จะขนานกัน

สัญญาณของเส้นคู่ขนาน:

1. ถ้าเมื่อเส้นสองเส้นตัดกันหนึ่งในสาม มุมภายในที่วางขวางตามขวางเท่ากัน เส้นเหล่านี้จะขนานกัน

2. หากเมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกันหนึ่งในสาม มุมที่ตรงกันจะเท่ากัน เส้นตรงทั้งสองนี้จะขนานกัน

3. ถ้าเมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกันหนึ่งในสาม ผลรวมของมุมด้านเดียวภายในคือ 180° แล้วเส้นทั้งสองนี้จะขนานกัน

4. หากเส้นสองเส้นขนานกับเส้นที่สาม เส้นทั้งสองจะขนานกัน

5. หากเส้นสองเส้นตั้งฉากกับเส้นที่สาม เส้นทั้งสองจะขนานกัน

สัจพจน์แห่งความเท่าเทียมของยุคลิด

งาน. ผ่านจุด M ที่อยู่นอกเส้น AB ให้ลากเส้นขนานกับเส้น AB

การใช้ทฤษฎีบทที่ได้รับการพิสูจน์แล้วเกี่ยวกับสัญญาณของความขนานของเส้นปัญหานี้สามารถแก้ไขได้หลายวิธี

สารละลาย.ขั้นตอนที่ 1 (วาด 199)

เราวาด MN⊥AB และผ่านจุด M เราวาด CD⊥MN;

เราได้ CD⊥MN และ AB⊥MN

ตามทฤษฎีบท (“หากเส้นตรงสองเส้นตั้งฉากกับเส้นเดียวกัน เส้นทั้งสองจะขนานกัน”) เราสรุปได้ว่า CD || เอบี

วิธีที่ 2 (วาด 200)

เราวาด MK ที่ตัดกัน AB ที่มุมใด ๆ α และผ่านจุด M เราวาดเส้นตรง EF สร้างมุม EMK โดยมีเส้นตรง MK เท่ากับมุม α จากทฤษฎีบท () เราสรุปได้ว่า EF || เอบี

เมื่อแก้ไขปัญหานี้แล้ว เราถือว่าพิสูจน์ได้ว่าผ่านจุด M ใดๆ ที่อยู่นอกเส้นตรง AB ก็เป็นไปได้ที่จะวาดเส้นตรงขนานกับจุดนั้น คำถามเกิดขึ้น: มีเส้นขนานกับเส้นที่กำหนดและผ่านจุดที่กำหนดได้กี่เส้น?

การฝึกปฏิบัติในการก่อสร้างช่วยให้เราสามารถสรุปได้ว่ามีเส้นตรงเพียงเส้นเดียว เนื่องจากด้วยการวาดที่ดำเนินการอย่างระมัดระวัง เส้นตรงที่วาดในรูปแบบต่างๆ ผ่านจุดเดียวกันขนานไปกับการรวมเส้นตรงเดียวกัน

ตามทฤษฎีแล้ว คำตอบสำหรับคำถามที่ตั้งไว้นั้นได้รับจากสิ่งที่เรียกว่าสัจพจน์ความเท่าเทียมของยุคลิด มีการกำหนดไว้ดังนี้:

เมื่อผ่านจุดที่อยู่นอกเส้นที่กำหนด จะสามารถลากเส้นขนานกับเส้นนี้ได้เพียงเส้นเดียวเท่านั้น

ในแผนภาพ 201 เส้นตรง SC จะถูกลากผ่านจุด O ขนานกับ AB เส้นตรง

เส้นตรงอื่นๆ ที่ผ่านจุด O จะไม่ขนานกับเส้น AB อีกต่อไป แต่จะตัดกัน

สัจพจน์ที่ Euclid นำมาใช้ใน Elements ของเขา ซึ่งระบุว่าบนระนาบ โดยผ่านจุดที่อยู่นอกเส้นที่กำหนด จะสามารถลากเส้นตรงเพียงเส้นเดียวขนานกับเส้นนี้ได้ เรียกว่า สัจพจน์แห่งความเท่าเทียมของยุคลิด.

กว่าสองพันปีหลังจากยุคลิด นักคณิตศาสตร์หลายคนพยายามพิสูจน์ข้อเสนอทางคณิตศาสตร์นี้ แต่ความพยายามของพวกเขากลับไม่ประสบผลสำเร็จเสมอไป เฉพาะในปี ค.ศ. 1826 นักวิทยาศาสตร์ชาวรัสเซียผู้ยิ่งใหญ่ ศาสตราจารย์แห่งมหาวิทยาลัยคาซาน Nikolai Ivanovich Lobachevsky พิสูจน์ว่าการใช้สัจพจน์อื่น ๆ ทั้งหมดของ Euclid ข้อเสนอทางคณิตศาสตร์นี้ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าควรได้รับการยอมรับว่าเป็นสัจพจน์จริงๆ N.I. Lobachevsky ได้สร้างเรขาคณิตใหม่ซึ่งตรงกันข้ามกับเรขาคณิตของ Euclid เรียกว่าเรขาคณิต Lobachevsky