ข้างต้นเราได้ทำความคุ้นเคยกับกฎการกระจาย ตัวแปรสุ่ม- กฎการกระจายแต่ละข้ออธิบายคุณสมบัติของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มอย่างครอบคลุม และทำให้สามารถคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรสุ่มได้ อย่างไรก็ตาม ในประเด็นเชิงปฏิบัติหลายๆ ประเด็น ไม่จำเป็นต้องมีคำอธิบายที่สมบูรณ์เช่นนั้น และบ่อยครั้งก็เพียงพอแล้วที่จะระบุเฉพาะพารามิเตอร์ตัวเลขแต่ละตัวที่แสดงถึงคุณลักษณะที่สำคัญของการแจกแจง ตัวอย่างเช่น ค่าเฉลี่ยซึ่งค่าของตัวแปรสุ่มกระจัดกระจาย ตัวเลขบางตัวที่แสดงถึงขนาดของการกระจายนี้ ตัวเลขเหล่านี้มีจุดมุ่งหมายเพื่อแสดงคุณลักษณะที่สำคัญที่สุดของการแจกแจงในรูปแบบที่กระชับและเรียกว่า ลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม

ในบรรดาคุณลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม เราจะพิจารณาคุณลักษณะที่กำหนดตำแหน่งของตัวแปรสุ่มบนแกนตัวเลขเป็นหลัก เช่น ค่าเฉลี่ยบางส่วนของตัวแปรสุ่มซึ่งมีการจัดกลุ่มค่าที่เป็นไปได้ ลักษณะของตำแหน่งในทฤษฎีความน่าจะเป็นมีบทบาทที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ซึ่งบางครั้งเรียกง่ายๆ ว่าค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม

ให้เราสมมติว่า SV แบบแยกส่วนรับค่าต่างๆ x ( , x 2 ,..., x nด้วยความน่าจะเป็น รเจ หน้า 2,... ที่ ปตทเหล่านั้น. กำหนดโดยชุดการแจกจ่าย

เป็นไปได้ว่าในการทดลองเหล่านี้มีค่า x xสังเกต ยังไม่มีข้อความ(ครั้ง ความคุ้มค่า x 2 - N 2ครั้ง,...,มูลค่า x n - N nครั้งหนึ่ง. ในเวลาเดียวกัน + ยังไม่มีข้อความ 2 +... + ยังไม่มี =ยังไม่มี

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลการสังเกต

ถ้า เอ็นเยี่ยมมาก กล่าวคือ เอ็น-"เอ่อ.

อธิบายศูนย์กลางการกระจายสินค้า ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มที่ได้รับในลักษณะนี้จะเรียกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ให้เรากำหนดคำจำกัดความด้วยวาจา

คำจำกัดความ 3.8 ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (MO) discrete SV% คือตัวเลขเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดและความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้ (สัญลักษณ์ M;):

ตอนนี้ให้พิจารณากรณีที่จำนวนค่าที่เป็นไปได้ของ SV แบบแยกสามารถนับได้เช่น เรามี RR

สูตรสำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ยังคงเหมือนเดิม เฉพาะในขีดจำกัดบนของจำนวนเงินเท่านั้น nถูกแทนที่ด้วย oo นั่นคือ

ในกรณีนี้ เราได้รับซีรีส์ที่อาจแตกต่างออกไปแล้ว เช่น CB^ ที่สอดคล้องกันอาจไม่มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ตัวอย่างที่ 3.8 SV? กำหนดโดยชุดการจำหน่าย

มาหา MO ของ SV นี้กัน

สารละลาย.ตามคำนิยาม เหล่านั้น. ภูเขาไม่มีอยู่จริง

ดังนั้นในกรณีของค่า SV ที่นับได้เราจะได้คำจำกัดความต่อไปนี้

คำจำกัดความ 3.9 ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์หรือค่าเฉลี่ย SV แบบแยกส่วน,การมีจำนวนค่าที่นับได้คือตัวเลขเท่ากับผลรวมของชุดผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดด้วยความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน โดยมีเงื่อนไขว่าชุดนี้จะมาบรรจบกันอย่างแน่นอนนั่นคือ

หากอนุกรมนี้ลู่ออกหรือลู่เข้าตามเงื่อนไข ก็จะบอกว่า CB ^ ไม่มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ให้เราย้ายจาก SV แบบแยกไปเป็น SV แบบต่อเนื่องที่มีความหนาแน่น พี(เอ็กซ์)

คำจำกัดความ 3.10 ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์หรือค่าเฉลี่ย ซีบีอย่างต่อเนื่องเรียกว่าเป็นจำนวนเท่ากับ

โดยมีเงื่อนไขว่าอินทิกรัลนี้มาบรรจบกันโดยสมบูรณ์

ถ้าอินทิกรัลนี้ลู่ออกหรือบรรจบกันอย่างมีเงื่อนไข ก็จะบอกว่าค่า SV ที่ต่อเนื่องนั้นไม่มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

หมายเหตุ 3.8.หากค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม J;

อยู่ในช่วงเท่านั้น ( ก; ข)ที่

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่คุณลักษณะเฉพาะตำแหน่งเดียวที่ใช้ในทฤษฎีความน่าจะเป็น บางครั้งมีการใช้ เช่น เป็นโหมดและค่ามัธยฐาน

คำจำกัดความ 3.11 แฟชั่น CB^ (การกำหนด มด)ค่าที่เป็นไปได้มากที่สุดเรียกว่าคือ ซึ่งความน่าจะเป็นนั้น พี ฉันหรือความหนาแน่นของความน่าจะเป็น พี(เอ็กซ์)ถึงคุณค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด

คำจำกัดความ 3.12 ค่ามัธยฐาน SV?, (ชื่อ พบ)คุณค่าของมันเรียกว่าสิ่งใด ป(ที>พบ) = P(? > พบ) = 1/2.

ในเชิงเรขาคณิต สำหรับ NE ที่ต่อเนื่อง ค่ามัธยฐานคือจุดขาดของจุดนั้นบนแกน โอ้,โดยพื้นที่ที่อยู่ทางซ้ายและขวาเท่ากันและเท่ากับ 1/2

ตัวอย่างที่ 3.9 NEเสื้อมีซีรีย์การจัดจำหน่าย

มาหาค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ รูปแบบ และค่ามัธยฐานของ SV กันดีกว่า

สารละลาย. เอ็มЪ,= 0-0.1 + 1 0.3 + 2 0.5 + 3 0.1 = 1.6 ล/โอ? = 2. ฉัน(?) ไม่มีอยู่จริง

ตัวอย่าง 3.10. CB% ต่อเนื่องมีความหนาแน่น

เรามาค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ค่ามัธยฐาน และโหมดกันดีกว่า

สารละลาย.

พี(เอ็กซ์)ถึงสูงสุดแล้ว แน่นอนว่าค่ามัธยฐานก็เท่ากันเนื่องจากพื้นที่ด้านขวาและด้านซ้ายของเส้นที่ผ่านจุดเท่ากัน

นอกจากคุณลักษณะของตำแหน่งแล้ว ยังมีการใช้คุณลักษณะเชิงตัวเลขจำนวนหนึ่งเพื่อวัตถุประสงค์ต่างๆ ในทฤษฎีความน่าจะเป็นอีกด้วย ในหมู่พวกเขา ช่วงเวลาเริ่มต้นและช่วงเวลาสำคัญมีความสำคัญเป็นพิเศษ

คำนิยาม 3.13 ช่วงเวลาเริ่มต้นของลำดับที่ k SV? เรียกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ค-ธองศาของปริมาณนี้: =ม(เสื้อ > k)

จากคำจำกัดความของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่องเป็นไปตามนั้น

หมายเหตุ 3.9.แน่นอนว่าช่วงเวลาเริ่มต้นของลำดับที่ 1 คือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ก่อนที่จะกำหนดช่วงเวลาสำคัญ เราจะแนะนำแนวคิดใหม่ของตัวแปรสุ่มแบบศูนย์กลาง

คำนิยาม 3.14 อยู่ตรงกลาง SV คือการเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่มจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เช่น

มันง่ายที่จะตรวจสอบสิ่งนั้น

การกำหนดศูนย์กลางของตัวแปรสุ่มนั้นเทียบเท่ากับการย้ายจุดกำเนิดไปที่จุด M; โมเมนต์ของตัวแปรสุ่มที่ศูนย์กลางเรียกว่า จุดศูนย์กลาง

คำจำกัดความ 3.15 ช่วงเวลากลางของลำดับที่ k SV% เรียกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ค-ธระดับของตัวแปรสุ่มที่ศูนย์กลาง:

จากคำจำกัดความของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นไปตามนั้น

แน่นอนว่า สำหรับตัวแปรสุ่มใดๆ ^ โมเมนต์ศูนย์กลางของลำดับที่ 1 มีค่าเท่ากับศูนย์: ซีเอ็กซ์= ม(? 0) = 0.

จุดศูนย์กลางประการที่สองมีความสำคัญเป็นพิเศษสำหรับการปฏิบัติ กับ 2เรียกว่าการกระจายตัว

คำนิยาม 3.16 ความแปรปรวน SV? เรียกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของกำลังสองของปริมาณที่อยู่ตรงกลางที่สอดคล้องกัน (สัญกรณ์ ง?)

ในการคำนวณความแปรปรวน คุณสามารถรับสูตรต่อไปนี้ได้โดยตรงจากคำจำกัดความ:

สูตรการแปลง (3.4) เราสามารถรับสูตรต่อไปนี้สำหรับการคำนวณ ดีแอล;.

การกระจายตัวของ SV เป็นลักษณะเฉพาะ การกระจายตัวการกระเจิงของค่าของตัวแปรสุ่มรอบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ความแปรปรวนมีมิติกำลังสองของตัวแปรสุ่มซึ่งไม่สะดวกเสมอไป ดังนั้น เพื่อความชัดเจน จึงสะดวกที่จะใช้ตัวเลขที่มีมิติตรงกับมิติของตัวแปรสุ่มเป็นคุณลักษณะของการกระจายตัว เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แยกออกจากการกระจายตัว รากที่สอง- ค่าผลลัพธ์ที่เรียกว่า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวแปรสุ่ม เราจะแสดงว่า a: a = l/s

สำหรับ SV ที่ไม่เป็นลบ? บางครั้งใช้เป็นลักษณะเฉพาะ ค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเท่ากับอัตราส่วนของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานต่อค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

เมื่อทราบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม คุณจะได้แนวคิดโดยประมาณเกี่ยวกับช่วงของค่าที่เป็นไปได้ ในหลายกรณี เราสามารถสรุปได้ว่าค่าของตัวแปรสุ่ม % บางครั้งอยู่นอกช่วง M เท่านั้น ± สำหรับ เรียกว่ากฎสำหรับการแจกแจงแบบปกติซึ่งเราจะอธิบายในภายหลัง กฎสามซิกมา

ความคาดหวังและความแปรปรวนเป็นคุณลักษณะเชิงตัวเลขที่ใช้บ่อยที่สุดของตัวแปรสุ่ม จากคำจำกัดความของความคาดหวังและการกระจายตัวทางคณิตศาสตร์ มีคุณสมบัติที่เรียบง่ายและชัดเจนบางประการของคุณลักษณะตัวเลขเหล่านี้ตามมา

โปรโตซัวคุณสมบัติของความคาดหวังและการกระจายทางคณิตศาสตร์

1. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าที่ไม่สุ่ม กับเท่ากับค่า c เอง: M(s) = ส.

แท้จริงแล้วตั้งแต่คุณค่า กับรับเพียงค่าเดียวที่มีความน่าจะเป็น 1 แล้ว M(c) = กับ 1 = ส

2. ความแปรปรวนของปริมาณที่ไม่สุ่ม c เท่ากับศูนย์ นั่นคือ ด(ค) = 0.

จริงหรือ, Dc = M(s - Mc) 2 = M(s- ค) 2 = ม( 0) = 0.

3. ตัวคูณที่ไม่สุ่มสามารถนำออกมาเป็นสัญญาณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ได้: ม(ค^) = คเอ็ม(?,).

ให้เราแสดงให้เห็นถึงความถูกต้องของคุณสมบัตินี้โดยใช้ตัวอย่างของ SV ที่ไม่ต่อเนื่อง

ให้ SV ได้รับจากอนุกรมการแจกแจง

แล้ว

เพราะฉะนั้น,

คุณสมบัตินี้ได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกันสำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

4. ตัวคูณที่ไม่สุ่มสามารถนำออกจากเครื่องหมายของการกระจายตัวกำลังสอง:

ยิ่งทราบโมเมนต์ของตัวแปรสุ่มมากเท่าไร เราก็จะมีความเข้าใจกฎการกระจายที่ละเอียดมากขึ้นเท่านั้น

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและการประยุกต์ จะใช้คุณลักษณะเชิงตัวเลขอีกสองประการของตัวแปรสุ่ม ขึ้นอยู่กับโมเมนต์ศูนย์กลางของลำดับที่ 3 และ 4 - สัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตร)