Tizimlar chiziqli tenglamalar, buning uchun barcha erkin shartlar nolga teng deb ataladi bir hil :

Har qanday bir hil tizim doimo izchil bo'ladi, chunki u doimo mavjud nol (ahamiyatsiz ) yechim. Bir hil tizim qanday sharoitlarda notrivial yechimga ega bo'ladi degan savol tug'iladi.

5.2 teorema.Bir hil tizim, agar asosiy matritsaning darajasi uning noma'lumlari sonidan kam bo'lsa, noan'anaviy yechimga ega bo'ladi.

Natija. Kvadrat bir jinsli sistema, agar tizimning asosiy matritsasining determinanti nolga teng bo'lmasa, notrivial yechimga ega bo'ladi.

5.6-misol. Tizim notrivial yechimlarga ega bo'lgan l parametrining qiymatlarini aniqlang va ushbu echimlarni toping:

Yechim. Agar asosiy matritsaning determinanti nolga teng bo'lsa, ushbu tizim ahamiyatsiz echimga ega bo'ladi:

Shunday qilib, l=3 yoki l=2 bo'lganda tizim notrivial hisoblanadi. l=3 uchun sistemaning bosh matritsasining darajasi 1 ga teng. U holda faqat bitta tenglama qoldirib, shunday deb faraz qilsak. y=a Va z=b, olamiz x=b-a, ya'ni.

l=2 uchun sistemaning bosh matritsasining darajasi 2 ga teng. Keyin minorni asos qilib tanlab:

biz soddalashtirilgan tizimni olamiz

Bu erdan biz buni topamiz x=z/4, y=z/2. Ishonish z=4a, olamiz

Bir hil tizimning barcha yechimlari to'plami juda muhim ahamiyatga ega chiziqli xususiyat : X ustunlar bo'lsa 1 va X 2 - bir jinsli sistemaning yechimlari AX = 0, keyin ularning har qanday chiziqli birikmasi a X 1 + b X 2 ham ushbu tizimga yechim bo'ladi. Haqiqatan ham, beri AX 1 = 0 Va AX 2 = 0 , Bu A(a X 1 + b X 2) = a AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Aynan shu xossa tufayli, agar chiziqli tizim bir nechta yechimga ega bo'lsa, u holda bu yechimlarning cheksiz soni bo'ladi.

Chiziqli mustaqil ustunlar E 1 , E 2 , Ek, bir jinsli sistemaning yechimlari deyiladi asosiy yechimlar tizimi bir hil chiziqli tenglamalar tizimi, agar ushbu tizimning umumiy yechimini ushbu ustunlarning chiziqli birikmasi sifatida yozish mumkin bo'lsa:

Agar bir hil tizim mavjud bo'lsa n o'zgaruvchilar va tizimning asosiy matritsasining darajasi teng r, Bu k = n-r.

5.7-misol. Quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasi yechimlarining asosiy tizimini toping:

Yechim. Tizimning bosh matritsasining darajasini topamiz:

Shunday qilib, ushbu tenglamalar tizimining yechimlari to'plami o'lchamning chiziqli kichik fazosini hosil qiladi n-r= 5 - 2 = 3. Asos sifatida minorni tanlaymiz

Keyin, faqat asosiy tenglamalarni (qolganlari ushbu tenglamalarning chiziqli birikmasi bo'ladi) va asosiy o'zgaruvchilarni (qolganlarini, erkin o'zgaruvchilar deb ataladigan narsalarni o'ngga siljitamiz) qoldirib, biz soddalashtirilgan tenglamalar tizimini olamiz:

Ishonish x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, topamiz

Ishonish a= 1, b = c= 0, biz birinchi asosiy yechimni olamiz; ishonish b= 1, a = c= 0, biz ikkinchi asosiy yechimni olamiz; ishonish c= 1, a = b= 0, biz uchinchi asosiy yechimni olamiz. Natijada, eritmalarning oddiy fundamental tizimi shaklga ega bo'ladi

Fundamental sistemadan foydalanib, bir jinsli sistemaning umumiy yechimini quyidagicha yozish mumkin

X = aE 1 + bE 2 + cE 3. a

Chiziqli tenglamalarning bir jinsli sistemasi yechimlarining ayrim xossalarini qayd qilaylik AX=B va ularning mos keladigan bir jinsli tenglamalar tizimi bilan aloqasi AX = 0.

Geterogen sistemaning umumiy yechimimos keladigan bir jinsli sistemaning umumiy yechimi AX = 0 va bir jinsli boʻlmagan sistemaning ixtiyoriy xususiy yechimi yigʻindisiga teng.. Haqiqatan ham, ruxsat bering Y 0 - bir hil bo'lmagan tizimning ixtiyoriy maxsus yechimi, ya'ni. AY 0 = B, Va Y- geterogen tizimning umumiy yechimi, ya'ni. AY=B. Bir tenglikni boshqasidan ayirib, biz olamiz
A(Y-Y 0) = 0, ya'ni. Y-Y 0 - mos keladigan bir jinsli tizimning umumiy yechimi AX=0. Demak, Y-Y 0 = X, yoki Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Bir jinsli bo'lmagan sistema AX = B ko'rinishga ega bo'lsin 1 + B 2 . U holda bunday sistemaning umumiy yechimini X = X shaklida yozish mumkin 1 + X 2 , bu erda AX 1 = B 1 va AX 2 = B 2. Bu xususiyat umuman har qanday chiziqli tizimlarning (algebraik, differensial, funksional va boshqalar) universal xossasini ifodalaydi. Fizikada bu xususiyat deyiladi superpozitsiya printsipi, elektrotexnika va radiotexnika sohasida - superpozitsiya printsipi. Masalan, chiziqli elektr davrlari nazariyasida har qanday kontaktlarning zanglashiga olib keladigan tokni har bir energiya manbai tomonidan alohida-alohida keltirib chiqaradigan oqimlarning algebraik yig'indisi sifatida olish mumkin.

Chiziqli tenglama deyiladi bir hil, agar uning erkin muddati nolga teng bo'lsa, aks holda bir hil bo'lmasa. dan tashkil topgan tizim bir jinsli tenglamalar, bir hil deb ataladi va umumiy shaklga ega:

Ko'rinib turibdiki, har bir bir jinsli tizim izchil va nol (arzimas) yechimga ega. Shuning uchun, chiziqli tenglamalarning bir jinsli tizimlariga qo'llanganda, ko'pincha nolga teng bo'lmagan echimlar mavjudligi haqidagi savolga javob izlashga to'g'ri keladi. Bu savolga javobni quyidagi teorema sifatida shakllantirish mumkin.

Teorema . Bir hil chiziqli tenglamalar tizimi, agar uning darajasi noma'lumlar sonidan kichik bo'lsa, nolga teng bo'lmagan yechimga ega bo'ladi. .

Isbot: Faraz qilaylik, darajasi teng bo'lgan tizim nolga teng bo'lmagan yechimga ega. dan oshmagani aniq. Tizimda o'ziga xos yechim mavjud bo'lsa. Bir jinsli chiziqli tenglamalar tizimi har doim nol yechimga ega bo'lganligi sababli, nol yechim bu yagona yechim bo'ladi. Shunday qilib, nolga teng bo'lmagan echimlar faqat uchun mumkin.

Xulosa 1 : Tenglamalar soni noma'lumlar sonidan kam bo'lgan bir hil tenglamalar tizimi har doim nolga teng bo'lmagan yechimga ega.

Isbot: Agar tenglamalar tizimi mavjud bo'lsa, u holda tizimning darajasi tenglamalar sonidan oshmaydi, ya'ni. . Shunday qilib, shart qondiriladi va shuning uchun tizim nolga teng bo'lmagan yechimga ega.

Xulosa 2 : Noma'lumlari bo'lgan bir jinsli tenglamalar tizimi, agar uning determinanti nolga teng bo'lsa, nolga teng bo'lmagan yechimga ega bo'ladi.

Isbot: Faraz qilaylik, matritsasi determinantga ega bo'lgan chiziqli bir hil tenglamalar tizimi nolga teng bo'lmagan yechimga ega. Keyin, tasdiqlangan teoremaga ko'ra, va bu matritsaning yagona ekanligini anglatadi, ya'ni. .

Kroneker-Kapelli teoremasi: SNL, agar tizim matritsasi darajasi ushbu tizimning kengaytirilgan matritsasi darajasiga teng bo'lsa, izchil bo'ladi. Agar kamida bitta yechim bo'lsa, ur tizimi izchil deb ataladi.

Chiziqli algebraik tenglamalarning bir jinsli tizimi.

Agar barcha erkin hadlar 0 ga teng boʻlsa, n ta oʻzgaruvchiga ega boʻlgan m chiziqli tenglamalar sistemasi chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasi deb ataladi. u har doim kamida nol yechimga ega. Chiziqli bir hil tenglamalar tizimi, agar uning o'zgaruvchilar uchun koeffitsientlar matritsasi darajasi o'zgaruvchilar sonidan kam bo'lsa, nolga teng bo'lmagan yechimga ega bo'ladi, ya'ni. A darajasi uchun (n. Har qanday chiziqli birikma

Lin tizimi yechimlari. bir hil. ur-ii ham bu tizimning yechimidir.

E1, e2,...,ek chiziqli mustaqil yechimlar sistemasi, agar sistemaning har bir yechimi yechimlarning chiziqli birikmasi boʻlsa, fundamental deyiladi. Teorema: agar chiziqli bir hil tenglamalar tizimining o'zgaruvchilari uchun koeffitsientlar matritsasining r darajasi n o'zgaruvchilar sonidan kichik bo'lsa, u holda tizimning har bir fundamental yechimlari tizimi quyidagilardan iborat. n-r yechimlari. Shuning uchun chiziqli sistemaning umumiy yechimi. bir kun ur-th quyidagi shaklga ega: c1e1+c2e2+...+skek, bu yerda e1, e2,..., ek yechimlarning istalgan fundamental sistemasi, c1, c2,...,ck ixtiyoriy sonlar va k=n-r. n ta o‘zgaruvchili m chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy yechimi yig‘indiga teng

unga mos keladigan sistemaning umumiy yechimi bir hil. chiziqli tenglamalar va bu tizimning ixtiyoriy xususiy yechimi.

7. Chiziqli fazolar. Pastki bo'shliqlar. Asos, o'lcham. Chiziqli qobiq. Chiziqli fazo deyiladi n o'lchovli, agar unda chiziqli mustaqil vektorlar tizimi mavjud bo'lsa va ko'proq vektorlarning har qanday tizimi chiziqli bog'liq bo'lsa. Raqam chaqiriladi o'lcham (o'lchamlar soni) chiziqli fazo va bilan belgilanadi. Boshqacha qilib aytganda, fazoning o'lchami - bu fazoning chiziqli mustaqil vektorlarining maksimal soni. Agar shunday raqam mavjud bo'lsa, u holda fazo chekli o'lchovli deb ataladi. Agar kimdir uchun natural son n fazoda chiziqli mustaqil vektorlardan tashkil topgan sistema mavjud bo'lsa, bunday fazo cheksiz o'lchovli deb ataladi (yozma: ). Keyinchalik, agar boshqacha ko'rsatilmagan bo'lsa, chekli o'lchovli bo'shliqlar ko'rib chiqiladi.

n o'lchovli chiziqli fazoning asosi chiziqli mustaqil vektorlarning tartiblangan to'plamidir ( bazis vektorlari).

Vektorning bazis jihatidan kengayishi haqidagi 8.1-teorema. Agar n o'lchovli chiziqli fazoning asosi bo'lsa, u holda har qanday vektor bazaviy vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
va bundan tashqari, yagona yo'l bilan, ya'ni. koeffitsientlar yagona aniqlanadi. Boshqacha qilib aytganda, fazoning har qanday vektori asosga va bundan tashqari, o'ziga xos tarzda kengaytirilishi mumkin.

Darhaqiqat, kosmosning o'lchami . Vektorlar tizimi chiziqli mustaqil (bu asosdir). Bazisga har qanday vektor qo'shgandan so'ng, chiziqli bog'liq tizimni olamiz (chunki bu tizim n o'lchovli fazo vektorlaridan iborat). 7 ta chiziqli qaram va chiziqli mustaqil vektor xossasidan foydalanib, teoremaning xulosasini olamiz.

Bir hil tizim har doim izchil va ahamiyatsiz yechimga ega
. Nontrivial yechim mavjud bo'lishi uchun matritsaning darajasi bo'lishi kerak noma'lumlar sonidan kamroq edi:

.

Yechimlarning asosiy tizimi bir hil tizim
ustun vektorlari ko'rinishidagi yechimlar tizimini chaqiring
, kanonik asosga mos keladigan, ya'ni. ixtiyoriy konstantalar bo'lgan asos
navbatma-navbat bittaga teng, qolganlari esa nolga o'rnatiladi.

Keyin bir jinsli tizimning umumiy yechimi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Qayerda
- ixtiyoriy konstantalar. Boshqacha qilib aytganda, umumiy yechim asosiy yechimlar tizimining chiziqli birikmasidir.

Shunday qilib, agar erkin noma'lumlarga navbatma-navbat bittaning qiymati berilsa, qolganlari nolga teng bo'lsa, umumiy yechimdan asosiy echimlarni olish mumkin.

Misol. Keling, tizimga yechim topaylik

Qabul qilaylik, keyin biz quyidagi shaklda yechim olamiz:

Keling, asosiy echimlar tizimini tuzamiz:

.

Umumiy yechim quyidagicha yoziladi:

Bir jinsli chiziqli tenglamalar tizimining yechimlari quyidagi xususiyatlarga ega:

Boshqacha qilib aytganda, bir hil sistemaga yechimlarning har qanday chiziqli birikmasi yana yechim hisoblanadi.

Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yechish

Chiziqli tenglamalar tizimini echish bir necha asrlar davomida matematiklarni qiziqtirib kelgan. Birinchi natijalar 18-asrda olingan. 1750 yilda G. Kramer (1704–1752) kvadrat matritsalarning determinantlari haqidagi asarlarini nashr etdi va teskari matritsani topish algoritmini taklif qildi. 1809 yilda Gauss yo'q qilish usuli deb nomlanuvchi yangi yechim usulini belgilab berdi.

Gauss usuli yoki noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish usuli, elementar o'zgartirishlar yordamida tenglamalar tizimi bosqichli (yoki uchburchak) ekvivalent tizimga keltirilishidan iborat. Bunday tizimlar barcha noma'lumlarni ma'lum bir tartibda ketma-ket topish imkonini beradi.

Faraz qilaylik tizimda (1)
(bu har doim ham mumkin).

(1)

Birinchi tenglamani birma-bir deb atalmish bilan ko'paytirish mos raqamlar

va ko'paytirish natijasini tizimning mos tenglamalari bilan qo'shib, biz ekvivalent tizimga ega bo'lamiz, unda birinchisidan tashqari barcha tenglamalarda noma'lum bo'lmaydi. X 1

(2)

Keling, (2) sistemaning ikkinchi tenglamasini mos keladigan sonlarga ko'paytiramiz

,

va uni pastroqlari bilan qo'shib, biz o'zgaruvchini yo'q qilamiz uchinchidan boshlab barcha tenglamalardan.

Bu jarayonni davom ettirish, keyin
qadamni olamiz:

(3)

Agar raqamlardan kamida bittasi bo'lsa
nolga teng emas, u holda mos keladigan tenglik ziddiyatli va (1) sistema mos kelmaydi. Aksincha, har qanday qo'shma sanoq tizimi uchun
nolga teng. Raqam sistema (1) matritsasining darajasidan boshqa narsa emas.

Tizimdan (1) (3) ga o'tish deyiladi to'g'ri yo'nalishda Gauss usuli va (3) dan noma'lumlarni topish - teskari .

Izoh : O'zgartirishlarni tenglamalarning o'zi bilan emas, balki tizimning kengaytirilgan matritsasi bilan amalga oshirish qulayroqdir (1).

Misol. Keling, tizimga yechim topaylik

.

Tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz:

.

Birinchisini mos ravishda (-2), (-3), (-2) ga ko'paytiriladigan 2,3,4-satrlarga qo'shamiz:

.

Keling, 2 va 3-qatorlarni almashtiramiz, keyin hosil bo'lgan matritsada 2-qatorni 4-qatorga ko'paytiramiz. :

.

4-qatorga 3-qatorga ko'paytiriladi
:

.

Bu aniq
, shuning uchun tizim izchil. Olingan tenglamalar tizimidan

teskari almashtirish orqali yechim topamiz:

,
,
,
.

2-misol. Tizimga yechim toping:

.

Ko'rinib turibdiki, tizim nomuvofiqdir, chunki
, A
.

Gauss usulining afzalliklari :

Kramer usuliga qaraganda kamroq mehnat talab qiladi.

Tizimning mosligini aniq belgilaydi va yechim topishga imkon beradi.

Har qanday matritsalarning darajasini aniqlash imkonini beradi.

Federal davlat byudjeti oliy kasbiy ta'lim muassasasining Kaluga filiali

"N.E. nomidagi Moskva davlat texnika universiteti. Bauman"

(N.E. Bauman nomidagi Moskva davlat texnika universitetining Xarkov filiali)

Vlaykov N.D.

Bir hil SLAE larning yechimi

Mashqlarni o'tkazish bo'yicha ko'rsatmalar

analitik geometriya kursi bo'yicha

Kaluga 2011 yil

Dars maqsadlari 4-bet

Dars rejasi 4-bet

Kerakli nazariy ma'lumotlar 5-bet

Amaliy qism 10-bet

O'tilgan materialning o'zlashtirilishini nazorat qilish 13-bet

Uyga vazifa 14-bet

Soatlar soni: 2

Dars maqsadlari:

SLAE turlari va ularni yechish usullari haqida olingan nazariy bilimlarni tizimlashtirish.

Bir hil SLAElarni echish ko'nikmalariga ega bo'ling.

Dars rejasi:

Nazariy materialni qisqacha bayon qiling.

Bir hil SLAE ni yeching.

Bir jinsli SLAE ning asosiy yechimlar tizimini toping.

Bir hil SLAE ning maxsus yechimini toping.

Bir hil SLAE ni yechish algoritmini tuzing.

Joriy uy vazifangizni tekshiring.

Tekshirish ishlarini bajaring.

Keyingi seminar mavzusini taqdim eting.

Joriy uy vazifasini topshiring.

Kerakli nazariy ma'lumotlar.

Matritsa darajasi.

Def. Matritsaning darajasi - bu nolga teng bo'lmagan kichiklar orasidagi maksimal tartibga teng bo'lgan raqam. Matritsaning darajasi bilan belgilanadi.

Agar kvadrat matritsa yagona bo'lmasa, uning darajasi uning tartibiga teng bo'ladi. Agar kvadrat matritsa birlik bo'lsa, uning darajasi uning tartibidan kichikdir.

Diagonal matritsaning darajasi uning diagonali nolga teng bo'lmagan elementlari soniga teng.

Teor. Matritsa ko'chirilganda, uning darajasi o'zgarmaydi, ya'ni.
.

Teor. Matritsaning darajasi uning satrlari va ustunlarini elementar o'zgartirishlar bilan o'zgarmaydi.

Minor asosidagi teorema.

Def. Kichik
matritsalar Agar ikkita shart bajarilsa, asosiy deyiladi:

a) u nolga teng emas;

b) uning tartibi matritsaning darajasiga teng .

Matritsa bir nechta voyaga etmaganlar bo'lishi mumkin.

Matritsa satrlari va ustunlari , unda tanlangan asosiy minor joylashgan, asosiy deyiladi.

Teor. Minor asosidagi teorema. Matritsaning asosiy satrlari (ustunlari). , uning har qanday asosi voyaga etmaganlarga mos keladi
, chiziqli mustaqildir. Matritsaning har qanday satrlari (ustunlari). , tarkibiga kiritilmagan
, asos satrlarning (ustunlarning) chiziqli birikmalaridir.

Teor. Har qanday matritsa uchun uning darajasi chiziqli mustaqil satrlarning (ustunlarning) maksimal soniga teng.

Matritsaning darajasini hisoblash. Elementar transformatsiyalar usuli.

Elementar qator transformatsiyalaridan foydalanib, har qanday matritsani eshelon shakliga keltirish mumkin. Bosqichli matritsaning darajasi nolga teng bo'lmagan qatorlar soniga teng. Undagi asos minor bo'lib, har bir satrda chapdan nolga teng bo'lmagan birinchi elementlarga mos keladigan ustunlar bilan nolga teng bo'lmagan qatorlar kesishmasida joylashgan.

SLAU. Asosiy ta'riflar.

Def. Tizim

(15.1)

Raqamlar SLAE koeffitsientlari deyiladi. Raqamlar
tenglamalarning erkin shartlari deyiladi.

(15.1) shakldagi SLAE yozuvi koordinata deb ataladi.

Def. Agar SLAE bir hil deb ataladi
. Aks holda, u heterojen deb ataladi.

Def. SLAE yechimi noma'lum qiymatlar to'plami bo'lib, ular almashtirilganda tizimning har bir tenglamasi identifikatsiyaga aylanadi. SLAE ning har qanday maxsus yechimi uning maxsus yechimi deb ham ataladi.

SLAE ni hal qilish ikkita muammoni hal qilishni anglatadi:

SLAE yechimlari bor yoki yo'qligini bilib oling;

Agar mavjud bo'lsa, barcha echimlarni toping.

Def. Agar kamida bitta yechim bo'lsa, SLAE qo'shma deyiladi. Aks holda, u mos kelmaydigan deb ataladi.

Def. Agar SLAE (15.1) ning yechimi va yagona bo'lsa, u aniq deb ataladi va agar yechim yagona bo'lmasa, u noaniq deb ataladi.

Def. Agar (15.1) tenglama bo'lsa
,SLAE kvadrat deb ataladi.

SLAU ro'yxatga olish shakllari.

Koordinata shakliga qo'shimcha ravishda (15.1), SLAE yozuvlari ko'pincha uning boshqa ko'rinishlarida qo'llaniladi.

(15.2)

Munosabat SLAE yozuvining vektor shakli deb ataladi.

Agar matritsalar ko‘paytmasini asos qilib olsak, SLAE (15.1) ni quyidagicha yozish mumkin:

(15.3)

yoki
.

(15.3) ko'rinishdagi SLAE (15.1) yozuvi matritsa deb ataladi.

Bir hil SLAE.

Bir hil tizim
bilan chiziqli algebraik tenglamalar noma'lumlar - bu shakl tizimi

Bir hil SLAE har doim mos keladi, chunki har doim nol yechim mavjud.

Nolga teng bo'lmagan yechimning mavjudligi mezoni. Bir hil kvadrat SLAE uchun nolga teng bo'lmagan yechim mavjud bo'lishi uchun uning matritsasi yagona bo'lishi zarur va etarli.

Teor. Agar ustunlar
,
, …,
bir hil SLAE ning yechimlari bo'lsa, ularning har qanday chiziqli birikmasi ham ushbu tizimning yechimi hisoblanadi.

Natija. Agar bir hil SLAE nolga teng bo'lmagan yechimga ega bo'lsa, u holda u cheksiz miqdordagi yechimga ega.

Bunday yechimlarni topishga harakat qilish tabiiy
,
, …,
tizimlar shunday qilib, har qanday boshqa yechim ularning chiziqli birikmasi sifatida va bundan tashqari, o'ziga xos tarzda ifodalanadi.

Def. Har qanday to'plam
chiziqli mustaqil ustunlar
,
, …,
, ular bir hil SLAE ning eritmalaridir
, Qayerda - noma'lumlar soni va - uning matritsasi darajasi , bu bir hil SLAE ning asosiy yechimlar tizimi deyiladi.

Chiziqli tenglamalarning bir jinsli tizimlarini o'rganish va yechishda biz tizimning matritsasida minor asosini o'rnatamiz. Minor asosi asos ustunlariga va shuning uchun asos noma'lumlariga mos keladi. Qolgan noma'lumlarni bepul deb ataymiz.

Teor. Bir jinsli SLAE ning umumiy eritmasining tuzilishi haqida. Agar
,
, …,
- bir hil SLAE yechimlarining ixtiyoriy fundamental tizimi
, u holda uning har qanday yechimlari shaklda ifodalanishi mumkin

Qayerda , …,- ba'zilari doimiy.

Bu. bir hil SLAE ning umumiy yechimi shaklga ega

Amaliy qism.

Quyidagi turdagi SLAE yechimlarining mumkin bo'lgan to'plamlarini va ularning grafik talqinini ko'rib chiqing.

;
;
.

Ushbu tizimlarni Kramer formulalari va matritsa usuli yordamida hal qilish imkoniyatini ko'rib chiqing.

Gauss usulining mohiyatini tushuntiring.

Quyidagi muammolarni hal qiling.

Misol 1. Bir hil SLAE ni yeching. FSR ni toping.

.

Keling, tizimning matritsasini yozamiz va uni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz.

.

tizim cheksiz ko'p echimlarga ega bo'ladi. FSR quyidagilardan iborat bo'ladi
ustunlar.

Nolinchi qatorlarni olib tashlab, tizimni qayta yozamiz:

.

Biz asosiy kichikni yuqori chap burchakda ko'rib chiqamiz. Bu.
- asosiy noma'lumlar va
- bepul. ifoda qilaylik
bepul orqali
:

;

Keling, qo'ying
.

Nihoyat bizda:

- javobning koordinatali shakli yoki

- javobning matritsa shakli, yoki

- javobning vektor shakli (vektor - ustunlar FSR ustunlari).

Bir hil SLAE ni yechish algoritmi.

Quyidagi tizimlarning FSR va umumiy yechimini toping:

№2.225(4.39)

. Javob:

№2.223(2.37)

. Javob:

№2.227(2.41)

.

Javob:

.

Javob:

.

Bir hil SLAE ni yeching:

Navbatdagi seminar mavzusining taqdimoti.

Chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamalar sistemalarini yechish.

O'tilgan materialning o'zlashtirilishini nazorat qilish.

Sinov ishi 3-5 daqiqa. Jurnalda 10-raqamdan boshlab toq sonlar bilan 4 nafar talaba qatnashadi ; ;	Sinov ishi 3-5 daqiqa. Jurnalda 10-raqamdan boshlab toq sonlar bilan 4 nafar talaba qatnashadi
	Quyidagi amallarni bajaring:

Sinov ishi 3-5 daqiqa. Jurnalda 10-raqamdan boshlab toq sonlar bilan 4 nafar talaba qatnashadi Determinantni hisoblang:	Sinov ishi 3-5 daqiqa. Jurnalda 10-raqamdan boshlab toq sonlar bilan 4 nafar talaba qatnashadi
aniqlanmagan	Quyidagi amallarni bajaring:

Buning teskari matritsasini toping:

Uy vazifasi:

№ 2.224, 2.226, 2.228, 2.230, 2.231, 2.232.

1. Muammolarni hal qiling:

2.Quyidagi mavzular bo‘yicha ma’ruzalar ustida ishlash:

Chiziqli algebraik tenglamalar tizimlari (SLAE). Yozuvning koordinatali, matritsali va vektor shakllari. SLAE mosligi uchun Kronecker-Capelli mezoni. Heterojen SLAElar. Bir hil SLAE ning nolga teng bo'lmagan eritmasi mavjudligi mezoni. Bir jinsli SLAE eritmalarining xossalari. Bir jinsli SLAE yechimlarining fundamental tizimi, uning mavjudligi haqidagi teorema. Oddiy fundamental yechimlar tizimi. Bir jinsli SLAE ning umumiy yechimining tuzilishi haqidagi teorema. Bir jinsli bo'lmagan SLAE ning umumiy yechimining tuzilishi haqidagi teorema. Keling, ko'rib chiqaylik bir hil tizim

(15)

n o‘zgaruvchili m chiziqli tenglamalar:

Agar (15) sistemada m=n va bo'lsa, sistemada Kramer teoremasi va formulalaridan kelib chiqadigan faqat nol yechim mavjud.

Teorema 1. Bir hil tizim (15) agar uning matritsasining darajasi o'zgaruvchilar sonidan kam bo'lsa, noan'anaviy yechimga ega bo'ladi, ya'ni. . r(A)< n.

Isbot. (15) sistemaning notrivial yechimining mavjudligi tizim matritsasi ustunlarining chiziqli bog'liqligiga teng (ya'ni, x 1, x 2,..., x n raqamlari mavjud, hammasi nolga teng emas, shundayki (15) tengliklari to'g'ri).

Bazis minor teoremasiga ko'ra, matritsaning ustunlari chiziqli bog'liq  bo'lsa, bu matritsaning barcha ustunlari asosiy bo'lmaganda, ya'ni.  matritsaning bazis minorining r tartibi uning ustunlarining n sonidan kichik bo'lganda. Va hokazo.

Natija. Kvadratli bir jinsli sistemada |A|=0 bo'lganda trivial bo'lmagan  yechimlari mavjud.

Teorema 2. Agar x (1), x (2),…, x (s) ustunlar bir jinsli AX = 0 sistemaning yechimlari bo‘lsa, ularning har qanday chiziqli birikmasi ham shu sistemaning yechimi hisoblanadi.

Isbot. Yechimlarning har qanday kombinatsiyasini ko'rib chiqing:

Keyin AX=A()===0. va hokazo.

Xulosa 1. Agar bir hil sistema notrivial yechimga ega bo'lsa, unda cheksiz ko'p yechimlar mavjud.

Bu. Ax = 0 sistemaning x (1), x (2),..., x (s) yechimlarini topish kerak, shunda bu sistemaning boshqa har qanday yechimi ularning chiziqli birikmasi va ko’rinishida ifodalanadi. , bundan tashqari, o'ziga xos tarzda.

Ta'rif. Ax=0 sistemaning x (1), x (2),..., x (k) chiziqli mustaqil yechimlarining k=n-r (n - sistemadagi noma’lumlar soni, r=rg A) tizimi deyiladi. asosiy yechimlar tizimi bu tizim.

Teorema 3. n ta noma'lum va r=rg A bo'lgan bir jinsli Ax=0 sistema berilsin, u holda bu sistemaning k=n-r yechimlari x (1), x (2),..., x (k) to'plami mavjud bo'lib, a hosil qiladi. asosiy yechimlar tizimi.

Isbot. Umumiylikni yo'qotmasdan, biz A matritsaning asosiy minorini yuqori chap burchakda joylashgan deb taxmin qilishimiz mumkin. Keyin, bazis minor teoremasiga ko'ra, A matritsasining qolgan qatorlari bazis qatorlarining chiziqli birikmalaridir. Bu shuni anglatadiki, agar x 1, x 2,…, x n qiymatlari birinchi r tenglamani qanoatlantirsa, ya'ni. bazis minor satrlariga mos keladigan tenglamalar), keyin ular boshqa tenglamalarni ham qanoatlantiradi. Binobarin, (r+1)-dan boshlab barcha tenglamalarni bekor qilsak, tizim yechimlari to'plami o'zgarmaydi. Biz tizimni olamiz:

X r +1 , x r +2 ,…, x n erkin nomaʼlumlarni oʻng tomonga siljiymiz, asosiylarini esa x 1 , x 2 ,…, x r chap tomonda qoldiraylik:

(16)

Chunki bu holda barcha b i =0, keyin formulalar o'rniga

c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13), olamiz:

c j =-(c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r (13)

Agar x r +1 , x r +2 ,…, x n erkin nomaʼlumlarni ixtiyoriy qiymatlarga qoʻysak, u holda asosiy nomaʼlumlarga nisbatan yagona yechim mavjud boʻlgan yagona boʻlmagan matritsaga ega kvadrat SLAE ni olamiz. Shunday qilib, bir hil SLAE ning har qanday eritmasi x r +1, x r +2,…, x n erkin noma'lumlarning qiymatlari bilan yagona aniqlanadi. Erkin noma'lumlar qiymatlarining quyidagi k=n-r qatorini ko'rib chiqing:

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(Serial raqami qavs ichida ustun belgisi bilan ko'rsatilgan va qiymatlar qatori ustunlar shaklida yoziladi. Har bir seriyada =1, agar i=j bo'lsa va =0 bo'lsa, ij.

Erkin noma'lumlar qiymatlarining i-chi qatori ,,...,asosiy noma'lumlar qiymatlariga yagona tarzda mos keladi. Erkin va asosiy noma'lumlarning qiymatlari birgalikda tizimga yechim beradi (17).

E i =,i=1,2,…,k ustunlari (18) ekanligini ko'rsatamiz.

yechimlarning asosiy tizimini tashkil qiladi.

Chunki Ushbu ustunlar, qurilishi bo'yicha, Ax = 0 bir jinsli tizimning echimlari va ularning soni k ga teng, keyin yechimlarning chiziqli mustaqilligini isbotlash qoladi (16). Yechimlarning chiziqli birikmasi bo'lsin e 1 , e 2 ,…, e k(x (1) , x (2) ,…, x (k)), nol ustunga teng:

 1 e 1 +  2 e 2 +…+  k e k ( 1 X (1) + 2 X(2) +…+ k X(k) = 0)

U holda bu tenglikning chap tomoni r+1,r+2,...,n sonli komponentlari nolga teng bo'lgan ustundir. Lekin (r+1)-chi komponent  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1 ga teng. Xuddi shunday (r+2)-chi komponent  2 ,… ga, k-komponent  k ga teng. Shuning uchun  1 =  2 = …= k =0, bu yechimlarning chiziqli mustaqilligini bildiradi e 1 , e 2 ,…, e k ( x (1) , x (2) ,…, x (k)).

Tuzilgan asosiy yechimlar tizimi (18) deyiladi normal. Formula (13) tufayli u quyidagi ko'rinishga ega:

(20)

Xulosa 2. Mayli e 1 , e 2 ,…, e k-bir jinsli sistema eritmalarining normal fundamental sistemasi, u holda barcha eritmalar to‘plamini quyidagi formula bilan tasvirlash mumkin:

x=c 1 e 1 +s 2 e 2 +…+s k e k (21)

bu yerda s 1,s 2,…,s k – ixtiyoriy qiymatlarni qabul qilish.

Isbot. 2-teoremaga binoan (19) ustun Ax=0 bir jinsli sistemaning yechimidir. Bu sistemaning har qanday yechimi (17) shaklida ifodalanishi mumkinligini isbotlash qoladi. Ustunni ko'rib chiqing X=y r +1 e 1 +…+y n e k. Bu ustun r+1,...,n sonli elementlardagi y ustuni bilan mos tushadi va (16) ning yechimi hisoblanadi. Shuning uchun ustunlar X Va da mos keladi, chunki (16) tizimning yechimlari uning x r +1 ,…,x n erkin nomaʼlumlari va ustunlari qiymatlari toʻplami bilan yagona aniqlanadi. da Va X bu to'plamlar bir xil. Demak, da=X= y r +1 e 1 +…+y n e k, ya'ni. yechim da ustunlarning chiziqli birikmasidir e 1 ,…,y n normal FSR. Va hokazo.

Tasdiqlangan bayonot nafaqat oddiy FSR uchun, balki bir hil SLAE ning ixtiyoriy FSR uchun ham to'g'ri.

X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r - umumiy yechim chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemalari

Bu erda X 1, X 2,…, X n - r - har qanday fundamental yechimlar tizimi,

c 1 ,c 2 ,…,c n - r ixtiyoriy sonlar.

Misol. (78-bet)

Keling, bir hil bo'lmagan SLAE yechimlari o'rtasida bog'lanishni o'rnatamiz (1) va mos keladigan bir hil SLAE (15)

Teorema 4. Bir jinsli sistema (1) va mos keladigan bir jinsli sistema (15) ning har qanday yechimlari yig’indisi (1) sistemaning yechimidir.

Isbot. Agar c 1 ,…,c n (1) sistemaning yechimi, d 1 ,…,d n esa (15) sistemaning yechimi bo‘lsa, u holda c noma’lum sonlarni istalgan (masalan, i-chi) tenglamaga almashtirish. sistema (1) 1 +d 1 ,…,c n +d n , biz quyidagilarni olamiz:

B i +0=b i h.t.d.

Teorema 5. Bir jinsli sistemaning (1) ikkita ixtiyoriy yechimlari orasidagi farq bir jinsli sistemaning (15) yechimidir.

Isbot. Agar c 1 ,…,c n va c 1 ,…,c n (1) sistemaning yechimlari bo‘lsa, u holda c noma’lum sonlarni sistemaning istalgan (masalan, i-chi) tenglamasiga almashtirish (1) ) 1 -s 1 ,…,c n -s n , olamiz:

B i -b i =0 p.t.d.

Tasdiqlangan teoremalardan kelib chiqadiki, n ta o'zgaruvchili m chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasining umumiy yechimi mos keladigan bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy yechimi (15) va ma'lum bir yechimning ixtiyoriy soni yig'indisiga teng. bu tizim (15).

X neod. =X jami bitta +X tez-tez bir necha marta (22)

Bir jinsli bo'lmagan sistemaning muayyan yechimi sifatida, agar formulalarda c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i, r +1)-…-c n M j bo'lsa, olingan eritmani olish tabiiydir. (a in)) j=1,2,…,r ((13) barcha c r +1 ,…,c n sonlarni nolga tenglashtiring, ya’ni.

X 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

Ushbu maxsus yechimni umumiy yechimga qo'shish X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r Tegishli bir hil tizim, biz quyidagilarni olamiz:

X neod. =X 0 +C 1 X 1 +C 2 X 2 +…+S n - r X n - r (24)

Ikki o'zgaruvchiga ega ikkita tenglamalar tizimini ko'rib chiqing:

unda koeffitsientlardan kamida bittasi a ij 0.

Yechish uchun birinchi tenglamani 22 ga, ikkinchisini (-a 12) ga ko‘paytirish va ularni qo‘shish orqali x 2 ni yo‘q qilamiz: Birinchi tenglamani (-a 21) ga, ikkinchisini esa 11 ga ko‘paytirish orqali x 1 ni yo‘q qilamiz. va ularni qo'shish: Qavs ichidagi ifoda aniqlovchi hisoblanadi

Belgilangan holda ,, u holda tizim quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:, ya'ni, agar, u holda tizim yagona yechimga ega:,.

Agar D=0, va (yoki) bo'lsa, sistema mos kelmaydi, chunki ko'rinishga keltiriladi Agar D=D 1 =D 2 =0 bo'lsa, sistema noaniq, chunki shaklga qisqartiriladi