FEDERAL TA'LIM AGENTLIGI

TA'LIMNI RIVOJLANISH INSTITUTI

"Parametrli tenglamalar va tengsizliklarni echishning grafik usullari"

Bajarildi

matematika o'qituvchisi

Shahar ta'lim muassasasi 62-son umumiy o'rta maktab

Lipetsk 2008 yil

KIRISH.................................................. ....... ................................................. ............. .3

X;da) 4

1.1. Parallel uzatish................................................. ... ........................... 5

1.2. Burilish................................................. ................................................................ ...... 9

1.3. Gomotetika. To'g'ri chiziqqa siqish................................................. ...... ................. 13

1.4. Tekislikdagi ikkita to'g'ri chiziq................................................. ....... ....................... 15

2. GRAFIK TEXNIKALAR. KOORDINAT TASIZLIK ( X;A) 17

Xulosa................................................................. .......................................... 20

BIBLIOGRAFIK RO'YXAT................................................. ...................... 22

KIRISH

Nostandart tenglamalar va tengsizliklarni echishda maktab o'quvchilari duch keladigan muammolar ushbu muammolarning nisbiy murakkabligi va maktab, qoida tariqasida, standart muammolarni hal qilishga qaratilganligi bilan bog'liq.

Ko'pgina maktab o'quvchilari parametrni "muntazam" raqam sifatida qabul qilishadi. Haqiqatan ham, ba'zi muammolarda parametrni doimiy qiymat deb hisoblash mumkin, ammo bu doimiy qiymat noma'lum qiymatlarni oladi! Shuning uchun muammoni ushbu doimiyning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari uchun ko'rib chiqish kerak. Boshqa masalalarda noma'lumlardan birini parametr sifatida sun'iy ravishda e'lon qilish qulay bo'lishi mumkin.

Boshqa maktab o'quvchilari parametrga noma'lum miqdor sifatida qarashadi va xijolat bo'lmasdan parametrni o'zlarining javoblarida o'zgaruvchi sifatida ifodalashlari mumkin. X.

Bitiruv marosimida va kirish imtihonlari Parametrlar bilan bog'liq muammolarning asosan ikki turi mavjud. Ularni so'zlari bilan darhol farqlashingiz mumkin. Birinchidan: "Har bir parametr qiymati uchun qandaydir tenglama yoki tengsizlikning barcha echimlarini toping." Ikkinchisi: "Parametrning barcha qiymatlarini toping, ularning har biri uchun ma'lum bir tenglama yoki tengsizlik uchun ma'lum shartlar bajariladi." Shunga ko'ra, bu ikki turdagi masalalardagi javoblar mohiyatan farq qiladi. Birinchi turdagi masalaga javob parametrning barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini ko'rsatadi va bu qiymatlarning har biri uchun tenglamaning echimlari yoziladi. Ikkinchi turdagi masalaga javob muammoda ko'rsatilgan shartlar bajarilgan barcha parametr qiymatlarini ko'rsatadi.

Parametrning berilgan belgilangan qiymati uchun parametrli tenglamaning yechimi noma'lumning shunday qiymati bo'lib, uni tenglamaga almashtirganda, ikkinchisi to'g'ri sonli tenglikka aylanadi. Parametrli tengsizlikning yechimi ham xuddi shunday aniqlanadi. Parametrli tenglamani (tengsizlikni) yechish, parametrning har bir ruxsat etilgan qiymati uchun berilgan tenglamaning (tengsizlik) barcha yechimlari to'plamini topishni anglatadi.

1. GRAFIK TEXNIKALAR. KOORDINAT TASIZLIK ( X;da)

Parametrli masalalarni yechishning asosiy analitik usullari va usullari bilan bir qatorda vizual va grafik talqinlardan foydalanish usullari mavjud.

Muammoni hal qilishda parametr qanday rolga ega ekanligiga qarab (teng bo'lmagan yoki o'zgaruvchiga teng) ikkita asosiy grafik texnikani ajratish mumkin: birinchisi, koordinata tekisligida grafik tasvirni qurish. (X;y), ikkinchisi - yoqilgan (X; A).

(x; y) tekislikda funksiya y =f (X; A) parametrga qarab egri chiziqlar oilasini belgilaydi A. Ma'lumki, har bir oila f muayyan xususiyatlarga ega. Biz, birinchi navbatda, oilaning bir egri chizig'idan ikkinchisiga o'tish uchun qanday tekislik o'zgarishi (parallel tarjima, aylanish va boshqalar) ishlatilishi mumkinligi bilan qiziqamiz. Ushbu o'zgarishlarning har biriga alohida paragraf ajratiladi. Bizningcha, bunday tasniflash qaror qabul qiluvchiga kerakli grafik tasvirni topishni osonlashtiradi. E'tibor bering, bu yondashuv bilan yechimning mafkuraviy qismi qaysi raqam (to'g'ri chiziq, aylana, parabola va boshqalar) egri chiziqlar oilasining a'zosi bo'lishiga bog'liq emas.

Albatta, oilaning grafik tasviri har doim ham emas y =f (X;A) oddiy transformatsiya bilan tavsiflanadi. Shuning uchun, bunday holatlarda, bir xil oilaning egri chiziqlari qanday bog'liqligiga emas, balki egri chiziqlarning o'ziga e'tibor qaratish foydalidir. Boshqacha qilib aytganda, biz muammoning boshqa turini ajratib ko'rsatishimiz mumkin, bunda yechim g'oyasi birinchi navbatda butun oila emas, balki o'ziga xos geometrik figuralarning xususiyatlariga asoslanadi. Qaysi raqamlar (aniqrog'i, bu raqamlarning oilalari) bizni birinchi navbatda qiziqtiradi? Bu to'g'ri chiziqlar va parabolalar. Bu tanlov maktab matematikasida chiziqli va kvadratik funktsiyalarning maxsus (asosiy) pozitsiyasi bilan bog'liq.

Grafik usullar haqida gapiradigan bo'lsak, tanlov imtihonlari amaliyotidan "tug'ilgan" bitta muammodan qochish mumkin emas. Biz grafik mulohazalarga asoslangan qarorning qat'iyligi va shuning uchun qonuniyligi masalasini nazarda tutyapmiz. Shubhasiz, rasmiy nuqtai nazardan, tahliliy jihatdan qo'llab-quvvatlanmagan "rasm" dan olingan natija qat'iy ravishda olinmagan. Biroq, o'rta maktab o'quvchisi rioya qilishi kerak bo'lgan qat'iylik darajasini kim, qachon va qayerda belgilaydi? Bizning fikrimizcha, o‘quvchiga qo‘yiladigan matematik qat’iylik darajasiga qo‘yiladigan talablar sog‘lom fikr bilan belgilanishi kerak. Biz bunday nuqtai nazarning sub'ektivlik darajasini tushunamiz. Bundan tashqari, grafik usul aniqlik vositalaridan biridir. Va ko'rinish aldamchi bo'lishi mumkin..gif" width="232" height="28"> faqat bitta yechimga ega.

Yechim. Qulaylik uchun biz lg ni belgilaymiz b = a. Keling, asl tenglamaga ekvivalent yozamiz: https://pandia.ru/text/78/074/images/image004_56.gif" width="125" height="92">

Funksiya grafigini qurish ta'rif sohasi bilan va (1-rasm). Olingan grafik to'g'ri chiziqlar oilasidir y = a faqat bitta nuqtada kesishishi kerak. Rasmda ko'rsatilgandek, bu talab faqat qachon bajariladi a > 2, ya'ni lg b> 2, b> 100.

Javob. https://pandia.ru/text/78/074/images/image010_28.gif" width="15 height=16" height="16"> tenglamaning yechimlari sonini aniqlang .

Yechim. 102" height="37" style="vertical-align:top"> funksiyani chizamiz.

Keling, ko'rib chiqaylik. Bu OX o'qiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziq.

Javob..gif" width="41" height="20">, keyin 3 ta yechim;

bo'lsa, u holda 2 ta yechim;

bo'lsa, 4 ta yechim.

Keling, yangi vazifalar qatoriga o'tamiz..gif" width="107" height="27 src=">.

Yechim. Keling, to'g'ri chiziq quraylik da= X+1 (3-rasm)..gif" width="92" height="57">

tenglamaga ekvivalent bo'lgan bitta yechimga ega ( X+1)2 = x + A bitta ildizga ega..gif" width="44 height=47" height="47"> asl tengsizlikning yechimi yo'q. Esda tutingki, hosila bilan tanish bo'lgan kishi bu natijani boshqacha olishi mumkin.

Keyinchalik, "yarim parabola" ni chapga siljitib, biz grafiklar paydo bo'lgan oxirgi daqiqani tuzatamiz. da = X+ 1 va ikkita umumiy nuqtaga ega (III pozitsiya). Ushbu tartib talab bilan ta'minlanadi A= 1.

Segment uchun [ X 1; X 2], qaerda X 1 va X 2 – grafiklarning kesishish nuqtalarining abstsissalari, asl tengsizlikning yechimi bo'ladi..gif" width="68 height=47" height="47">, keyin

"Yarim parabola" va to'g'ri chiziq faqat bitta nuqtada kesishganda (bu holatga mos keladi) a > 1), keyin yechim segment bo'ladi [- A; X 2"], qaerda X 2" - ildizlarning eng kattasi X 1 va X 2 (IV pozitsiya).

4-misol..gif" width="85" height="29 src=">.gif" width="75" height="20 src="> . Bu erdan olamiz .

Keling, funktsiyalarni ko'rib chiqaylik va . Ulardan faqat bittasi egri chiziqlar oilasini belgilaydi. Endi biz almashtirish shubhasiz foyda keltirganini ko'ramiz. Bunga parallel ravishda shuni ta'kidlaymizki, oldingi muammoda shunga o'xshash almashtirishdan foydalanib, siz "yarim parabola" harakatini emas, balki to'g'ri chiziqni amalga oshirishingiz mumkin. Keling, rasmga murojaat qilaylik. 4. Shubhasiz, agar “yarim parabola” cho‘qqisining abssissasi birdan katta bo‘lsa, ya’ni –3 A > 1, , u holda tenglamaning ildizlari yo'q..gif" width="89" height="29"> va monotonlikning boshqa xarakteriga ega.

Javob. Agar tenglama bitta ildizga ega bo'lsa; agar https://pandia.ru/text/78/074/images/image039_10.gif" width="141" height="81 src=">

yechimlari bor.

Yechim. To'g'ridan-to'g'ri oilalar https://pandia.ru/text/78/074/images/image041_12.gif" width="61" height="52">..jpg" width="259" height="155" ekanligi aniq. " >

Ma'nosi k1(0;0) juftlikni sistemaning birinchi tenglamasiga qo‘yish orqali topamiz. Bu yerdan k1 =-1/4. Ma'nosi k 2 tizimdan talab qilib olamiz

https://pandia.ru/text/78/074/images/image045_12.gif" width="151" height="47"> qachon k> 0 bitta ildizga ega. Bu yerdan k2= 1/4.

Javob. .

Keling, bir fikr bildiraylik. Ushbu nuqtaning ba'zi misollarida biz standart masalani hal qilishimiz kerak: chiziq oilasi uchun uning egri chiziq bilan teginish momentiga mos keladigan burchak koeffitsientini toping. Buni hosila yordamida umumiy shaklda qanday qilishni ko'rsatamiz.

Agar (x0; y 0) = aylanish markazi, keyin koordinatalar (X 1; da 1) egri chiziq bilan teginish nuqtalari y =f(x) tizimini yechish orqali topish mumkin

Kerakli nishab k ga teng.

6-misol. Parametrning qaysi qiymatlari uchun tenglama yagona yechimga ega?

Yechim..gif" eni="160" balandligi="29 src=">..gif" kengligi="237" balandligi="33">, yoyi AB.

OA va OB oʻrtasida oʻtuvchi barcha nurlar AB yoyini bir nuqtada kesishadi, shuningdek, AB OB yoyni va OM (tangens) yoylarini bir nuqtada kesishadi..gif" width="16" height="48 src=">. Burchak tangens koeffitsienti ga teng

Shunday qilib, to'g'ridan-to'g'ri oilalar https://pandia.ru/text/78/074/images/image059_7.gif" width="139" height="52">.

Javob. .

7-misol..gif" width="160" height="25 src="> yechim bormi?

Yechim..gif" width="61" height="24 src="> va ga kamayadi. Nuqta - maksimal nuqta.

Funksiya https://pandia.ru/text/78/074/images/image062_7.gif" width="153" height="28"> nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqlar turkumi AB yoyidir. OA va OB to'g'ri chiziqlar orasiga joylashadigan chiziqlar masala shartlarini qanoatlantiradi..gif" width="17" height="47 src=">.

Javob..gif" width="15" height="20">hech qanday yechim yo'q.

1.3. Gomotetika. To'g'ri chiziqqa siqish.

8-misol. Tizimda nechta yechim bor?

https://pandia.ru/text/78/074/images/image073_1.gif" width="41" height="20 src="> tizimda hech qanday yechim yo'q. Ruxsat etilgan uchun a > 0 birinchi tenglamaning grafigi uchlari bo'lgan kvadrat ( A; 0), (0;-A), (-a;0), (0;A). Shunday qilib, oila a'zolari gomotetik kvadratlardir (homotetiya markazi O (0; 0) nuqta).

Keling, rasmga murojaat qilaylik. 8..gif" width="80" height="25">kvadratning har bir tomonida aylana bilan ikkita umumiy nuqta bor, ya'ni tizim sakkizta yechimga ega bo'ladi. Doira kvadrat ichiga chizilgan bo'lib chiqsa, ya'ni yana to'rtta yechim bo'ladi .

Javob. Agar A< 1 или https://pandia.ru/text/78/074/images/image077_1.gif" width="56" height="25 src=">, keyin to'rtta yechim bor; bo'lsa, sakkizta yechim mavjud.

9-misol. Parametrning barcha qiymatlarini toping, ularning har biri uchun tenglama https://pandia.ru/text/78/074/images/image081_0.gif" width="181" height="29 src=">. ..jpg" width="195" height="162"> funksiyasini ko'rib chiqaylik

Yarim doira radiusi katta va kichik bo'lsa, ildizlar soni 8 raqamiga to'g'ri keladi, ya'ni. borligiga e'tibor bering.

Javob. yoki .

1.4. Bir tekislikda ikkita to'g'ri chiziq

Aslida, ushbu paragrafning muammolarini hal qilish g'oyasi tadqiqot masalasiga asoslanadi nisbiy pozitsiya ikkita to'g'ri chiziq: Va . Ushbu muammoning echimini umumiy shaklda ko'rsatish oson. Biz to'g'ridan-to'g'ri aniq tipik misollarga murojaat qilamiz, bu bizning fikrimizcha, zarar etkazmaydi umumiy tomoni savol.

10-misol. Nima uchun a va b tizim qiladi

https://pandia.ru/text/78/074/images/image094_0.gif" width="160" height="25 src=">..gif" width="67" height="24 src="> , t..gif" eni="116" balandligi="55">

Tizimning tengsizligi chegara bilan yarim tekislikni belgilaydi da= 2x– 1 (10-rasm). Agar to'g'ri chiziq bo'lsa, natijada tizim yechimga ega ekanligini tushunish oson ah +tomonidan = 5 yarim tekislikning chegarasini kesib o'tadi yoki unga parallel bo'lib, yarim tekislikda yotadi. da– 2x + 1 < 0.

Keling, vaziyatdan boshlaylik b = 0. Keyin tenglama o'xshab ko'rinadi Oh+ tomonidan = 5 chiziqni aniq kesib o'tadigan vertikal chiziqni belgilaydi y = 2X - 1. Biroq, bu bayonot faqat ..gif" width="43" height="20 src="> tizimda ..gif" width="99" height="48"> yechimlari mavjud bo'lgandagina to'g'ri bo'ladi. Bunda chiziqlarning kesishish shartiga , ya'ni ..gif" width="52" height="48">.gif" width="41" height="20"> va , yoki va , da erishiladi. yoki va https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" height="24 src=">.

− xOa koordinata tekisligida funksiya grafigini tuzamiz.

− To‘g‘ri chiziqlarni ko‘rib chiqing va Oa o‘qining oraliqlarini tanlang, bu to‘g‘ri chiziqlar quyidagi shartlarni qondiradi: a) https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0 funksiya grafigini kesib o‘tmaydi. .gif" width="69" height ="24"> bir nuqtada, c) ikki nuqtada, d) uch nuqtada va hokazo.

- Agar vazifa x ning qiymatlarini topish bo'lsa, u holda a qiymatining har bir topilgan oraliqlari uchun x ni a shaklida ifodalaymiz.

Parametrning teng o'zgaruvchi sifatida ko'rinishi grafik usullarda aks ettirilgan..jpg" width="242" height="182">

Javob. a = 0 yoki a = 1.

XULOSA

Umid qilamizki, tahlil qilingan muammolar tavsiya etilgan usullarning samaradorligini ishonchli tarzda namoyish etadi. Biroq, afsuski, ushbu usullarni qo'llash doirasi grafik tasvirni yaratishda duch keladigan qiyinchiliklar bilan cheklangan. Haqiqatan ham shunchalik yomonmi? Ko'rinishidan, yo'q. Darhaqiqat, ushbu yondashuv bilan, miniatyura tadqiqotining modeli sifatida parametrli muammolarning asosiy didaktik qiymati yo'qoladi. Biroq, yuqoridagi fikrlar o'qituvchilarga qaratilgan va abituriyentlar uchun formula juda maqbuldir: maqsad vositalarni oqlaydi. Bundan tashqari, shuni aytish mumkinki, ko'p sonli universitetlarda parametrlar bilan raqobatbardosh masalalarni tuzuvchilar rasmdan holatgacha bo'lgan yo'ldan borishadi.

Ushbu masalalarda biz tenglamalar yoki tengsizliklarning chap va o'ng tomonlariga kiritilgan funksiyalarning grafiklarini qog'ozga chizganimizda, biz uchun ochiladigan parametrli masalalarni yechish imkoniyatlarini muhokama qildik. Parametr o'zboshimchalik bilan qiymatlarni qabul qilishi mumkinligi sababli, ko'rsatilgan grafiklardan biri yoki ikkalasi tekislikda ma'lum bir tarzda harakatlanadi. Aytishimiz mumkinki, parametrning turli qiymatlariga mos keladigan butun grafiklar oilasi olinadi.

Keling, ikkita tafsilotni qattiq ta'kidlaylik.

Birinchidan, biz "grafik" yechim haqida gapirmayapmiz. Barcha qiymatlar, koordinatalar, ildizlar tegishli tenglamalar va tizimlarning echimi sifatida qat'iy, analitik tarzda hisoblanadi. Xuddi shu narsa grafiklarga teginish yoki kesishish holatlariga ham tegishli. Ular ko'z bilan emas, balki diskriminantlar, derivativlar va sizda mavjud bo'lgan boshqa vositalar yordamida aniqlanadi. Rasm faqat yechim beradi.

Ikkinchidan, agar siz ko'rsatilgan grafiklar bilan bog'liq muammoni hal qilishning hech qanday usulini topa olmasangiz ham, muammoni tushunishingiz sezilarli darajada kengayadi, siz o'z-o'zini sinab ko'rish uchun ma'lumot olasiz va muvaffaqiyatga erishish imkoniyati sezilarli darajada oshadi. Turli parametr qiymatlari uchun muammoda nima sodir bo'lishini aniq tushunib, siz to'g'ri echim algoritmini topishingiz mumkin.

Shuning uchun biz bu so'zlarni shoshilinch bir taklif bilan yakunlaymiz: agar eng murakkab masalada ham grafiklarni qanday chizishni biladigan funktsiyalar mavjud bo'lsa, buni albatta bajaring, pushaymon bo'lmaysiz.

BIBLIOGRAFIK RO'YXAT

1. Cherkasov,: O'rta maktab o'quvchilari va universitetlarga abituriyentlar uchun qo'llanma [Matn] /, . – M.: AST-PRESS, 2001. – 576 b.

2. Gorshtein, parametrlari bilan [Matn]: 3-nashr, kengaytirilgan va qayta ko'rib chiqilgan / , . – M.: Ilexa, Xarkov: Gimnaziya, 1999. – 336 b.

Biz sof algebraik tarzda hisoblashga odatlangan ko'plab vazifalarni funktsiya grafiklari yordamida hal qilish osonroq va tezroq bo'lishi mumkin; Siz “qanday qilib?” deysiz. biror narsani chizish va nimani chizish kerak? Ishoning, ba'zida bu qulayroq va osonroq. Boshlaylikmi? Keling, tenglamalardan boshlaylik!

Tenglamalarning grafik yechimi

Chiziqli tenglamalarning grafik yechimi

Siz allaqachon bilganingizdek, chiziqli tenglamaning grafigi to'g'ri chiziqdir, shuning uchun bu turning nomi. Chiziqli tenglamalarni algebraik tarzda echish juda oson - biz barcha noma'lumlarni tenglamaning bir tomoniga o'tkazamiz, biz bilgan hamma narsani boshqasiga o'tkazamiz va voila! Biz ildizni topdik. Endi men sizga buni qanday qilishni ko'rsataman grafik jihatdan.

Shunday qilib, sizda tenglama mavjud:

Uni qanday hal qilish kerak?
Variant 1, va eng keng tarqalgani noma'lumlarni bir tomonga, ma'lumlarni boshqa tomonga o'tkazishdir, biz quyidagilarni olamiz:

Endi quraylik. Nima oldingiz?

Sizningcha, bizning tenglamamizning ildizi nima? To'g'ri, grafiklarning kesishish nuqtasining koordinatasi:

Bizning javobimiz

Bu grafik yechimning butun donoligi. Osonlik bilan tekshirishingiz mumkin, tenglamamizning ildizi raqamdir!

Yuqorida aytib o'tganimdek, bu algebraik yechimga yaqin bo'lgan eng keng tarqalgan variant, lekin siz uni boshqa yo'l bilan hal qilishingiz mumkin. Muqobil yechimni ko'rib chiqish uchun tenglamamizga qaytaylik:

Bu safar biz hech narsani u yoqdan bu tomonga siljitmaymiz, balki to'g'ridan-to'g'ri grafiklarni tuzamiz, chunki ular hozir mavjud:

Qurilganmi? Ko'raylikchi!

Bu safar qanday yechim bor? Bu to'g'ri. Xuddi shu narsa - grafiklarning kesishish nuqtasining koordinatasi:

Va yana, bizning javobimiz.

Ko'rib turganingizdek, bilan chiziqli tenglamalar hamma narsa juda oddiy. Murakkabroq narsani ko'rib chiqish vaqti keldi... Masalan, kvadrat tenglamalarning grafik yechimi.

Kvadrat tenglamalarning grafik yechimi

Demak, endi kvadrat tenglamani yechishni boshlaylik. Aytaylik, siz ushbu tenglamaning ildizlarini topishingiz kerak:

Albatta, endi siz diskriminant orqali yoki Vyeta teoremasiga ko'ra hisoblashni boshlashingiz mumkin, lekin ko'p odamlar asabiylashib, ko'paytirish yoki kvadratlashtirishda xatolarga yo'l qo'yishadi, ayniqsa misol katta raqamlar bilan bo'lsa va siz bilganingizdek, siz g'alaba qozondingiz. 'imtihon uchun kalkulyator yo'q... Shuning uchun, keling, bu tenglamani yechishda biroz bo'shashib, chizishga harakat qilaylik.

Ushbu tenglamaning yechimlarini turli usullar bilan grafik tarzda topish mumkin. Keling, turli xil variantlarni ko'rib chiqaylik va siz qaysi birini ko'proq yoqtirishingizni tanlashingiz mumkin.

1-usul. To'g'ridan-to'g'ri

Bu tenglama yordamida oddiygina parabola quramiz:

Buni tezda amalga oshirish uchun men sizga bir kichik maslahat beraman: Parabolaning uchini aniqlash orqali qurilishni boshlash qulay. Quyidagi formulalar parabolaning uchining koordinatalarini aniqlashga yordam beradi:

Siz aytasiz: "To'xtang! ning formulasi diskriminantni topish formulasiga juda o'xshaydi," ha, shunday va bu uning ildizlarini topish uchun "to'g'ridan-to'g'ri" parabolani qurishning katta kamchiligidir. Biroq, keling, oxirigacha hisoblaylik, keyin men buni qanday qilishni ko'rsataman (ko'p!) osonroq!

Hisobladingizmi? Parabolaning tepasi uchun qanday koordinatalarni oldingiz? Keling, buni birgalikda aniqlaymiz:

Aynan bir xil javobmi? Juda qoyil! Va endi biz cho'qqining koordinatalarini allaqachon bilamiz, lekin parabolani qurish uchun bizga ko'proq ... nuqta kerak. Sizningcha, bizga qancha minimal ball kerak? To'g'ri, .

Siz parabola o'z cho'qqisiga nisbatan simmetrik ekanligini bilasiz, masalan:

Shunga ko'ra, bizga parabolaning chap yoki o'ng shoxiga yana ikkita nuqta kerak va kelajakda biz ushbu nuqtalarni qarama-qarshi tomonda nosimmetrik tarzda aks ettiramiz:

Keling, parabolamizga qaytaylik. Bizning holatimiz uchun, davr. Bizga yana ikkita ochko kerak, shuning uchun ijobiylarini olishimiz mumkinmi yoki salbiyni olishimiz mumkinmi? Qaysi nuqtalar siz uchun qulayroq? Men uchun ijobiylar bilan ishlash qulayroq, shuning uchun men va da hisoblayman.

Endi bizda uchta nuqta bor, biz oxirgi ikki nuqtani uning cho'qqisiga nisbatan aks ettirib, parabolamizni osongina qurishimiz mumkin:

Sizningcha, tenglamaning yechimi qanday? To'g'ri, nuqtalar qaysi, ya'ni va. Chunki.

Va agar shunday desak, u ham teng bo'lishi kerak degan ma'noni anglatadi, yoki.

Shunchaki? Biz tenglamani murakkab grafik usulda yechishni tugatdik, aks holda ko'proq bo'ladi!

Albatta, siz bizning javobimizni algebraik tarzda tekshirishingiz mumkin - Vieta teoremasi yoki Diskriminant yordamida ildizlarni hisoblashingiz mumkin. Nima oldingiz? Xuddi shu? Ko'ryapsizmi! Endi juda oddiy grafik yechimni ko'rib chiqamiz, ishonchim komilki, sizga juda yoqadi!

Usul 2. Bir nechta funktsiyalarga bo'lingan

Keling, bir xil tenglamamizni olaylik: , lekin biz uni biroz boshqacha yozamiz, ya'ni:

Buni shunday yoza olamizmi? Biz qila olamiz, chunki transformatsiya ekvivalentdir. Keling, batafsilroq ko'rib chiqaylik.

Keling, ikkita funktsiyani alohida tuzamiz:

1. - grafik oddiy parabola bo'lib, uni formulalar yordamida cho'qqisini aniqlamasdan va boshqa nuqtalarni aniqlash uchun jadval tuzmasdan ham osongina qurishingiz mumkin.
2. - grafik to'g'ri chiziq bo'lib, siz hatto kalkulyatorga murojaat qilmasdan ham boshingizdagi qiymatlarni taxmin qilish orqali osongina qurishingiz mumkin.

Qurilganmi? Keling, men olgan narsalar bilan taqqoslaylik:

Sizningcha, bu holatda tenglamaning ildizlari nima? To'g'ri! Ikki grafikning kesishishi natijasida olingan koordinatalar, ya'ni:

Shunga ko'ra, bu tenglamaning yechimi:

Siz nima deysiz? Qabul qiling, bu yechim usuli avvalgisiga qaraganda ancha oson va hatto diskriminant orqali ildizlarni qidirishdan ham osonroq! Agar shunday bo'lsa, ushbu usul yordamida quyidagi tenglamani echishga harakat qiling:

Nima oldingiz? Grafiklarimizni solishtiramiz:

Grafiklar javoblar quyidagicha ekanligini ko'rsatadi:

Siz boshqardingizmi? Juda qoyil! Keling, biroz murakkabroq tenglamalarni, ya'ni aralash tenglamalarni, ya'ni har xil turdagi funktsiyalarni o'z ichiga olgan tenglamalarni echishni ko'rib chiqaylik.

Aralash tenglamalarning grafik yechimi

Endi quyidagi muammolarni hal qilishga harakat qilaylik:

Albatta, siz hamma narsani umumiy maxrajga olib kelishingiz, ODZni hisobga olishni unutmasdan, natijada paydo bo'lgan tenglamaning ildizlarini topishingiz mumkin, lekin biz avvalgi barcha holatlarda bo'lgani kabi, yana grafik tarzda echishga harakat qilamiz.

Bu safar quyidagi 2 ta grafikni tuzamiz:

1. - grafik giperbola
2. - grafik to'g'ri chiziq bo'lib, uni hatto kalkulyatorga murojaat qilmasdan ham boshingizdagi qiymatlarni taxmin qilish orqali osongina qurishingiz mumkin.

Tushundingizmi? Endi qurishni boshlang.

Mana menda nima bor:

Ushbu rasmga qarab, ayting-chi, bizning tenglamamizning ildizlari nima?

To'g'ri va. Mana tasdiq:

Bizning ildizlarimizni tenglamaga kiritishga harakat qiling. Ishladimi?

Bu to'g'ri! Qabul qiling, bunday tenglamalarni grafik tarzda yechish juda yoqimli!

Tenglamani grafik tarzda o'zingiz hal qilishga harakat qiling:

Men sizga maslahat beraman: tenglamaning bir qismini o'ng tomonga o'tkazing, shunda tuziladigan eng oddiy funktsiyalar har ikki tomonda bo'ladi. Maslahat oldingizmi? Harakat qiling!

Endi nima borligini bilib olaylik:

Mos ravishda:

1. - kubik parabola.
2. - oddiy to'g'ri chiziq.

Xo'sh, quraylik:

Siz allaqachon yozganingizdek, bu tenglamaning ildizi -.

Ko'p sonli misollarni ko'rib chiqib, ishonchim komilki, siz tenglamalarni grafik usulda yechish qanchalik oson va tez ekanligini tushungansiz. Tizimlarni shu tarzda qanday hal qilishni aniqlash vaqti keldi.

Tizimlarning grafik yechimi

Tizimlarni grafik echish mohiyatan tenglamalarni grafik yechishdan farq qilmaydi. Shuningdek, biz ikkita grafik tuzamiz va ularning kesishish nuqtalari ushbu tizimning ildizlari bo'ladi. Bitta grafik bitta tenglama, ikkinchi grafik boshqa tenglama. Hammasi juda oddiy!

Keling, eng oddiy narsadan boshlaylik - chiziqli tenglamalar tizimini echish.

Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechish

Aytaylik, bizda quyidagi tizim mavjud:

Birinchidan, uni shunday o'zgartiramizki, chap tomonda u bilan bog'liq bo'lgan hamma narsa, o'ngda esa - u bilan bog'liq bo'lgan hamma narsa bor. Boshqacha qilib aytganda, bu tenglamalarni funksiya sifatida odatdagi shaklda yozamiz:

Endi biz ikkita to'g'ri chiziq quramiz. Bizning holatimizda qanday yechim bor? To'g'ri! Ularning kesishish nuqtasi! Va bu erda siz juda ehtiyot bo'lishingiz kerak! O'ylab ko'ring, nega? Sizga bir maslahat beraman: biz tizim bilan shug'ullanmoqdamiz: tizimda ikkalasi ham bor va ... Maslahat oldingizmi?

Bu to'g'ri! Tizimni yechishda biz faqat tenglamalarni yechishdagi kabi emas, balki ikkala koordinataga ham qarashimiz kerak! Yana bir muhim jihat shundaki, ularni to'g'ri yozib, qayerda ma'no bor va qayerda ma'no borligini chalkashtirmaslik! Siz yozdingizmi? Endi hamma narsani tartibda taqqoslaylik:

Va javoblar: va. Tekshiring - topilgan ildizlarni tizimga almashtiring va biz uni grafik tarzda to'g'ri hal qilganimizga ishonch hosil qiling?

Nochiziqli tenglamalar sistemalarini yechish

Agar bizda bitta to'g'ri chiziq o'rniga bo'lsa-chi? kvadrat tenglama? Hammasi joyida! Siz shunchaki to'g'ri chiziq o'rniga parabola qurasiz! Menga ishonmaysizmi? Quyidagi tizimni hal qilishga harakat qiling:

Keyingi qadamimiz nima? To'g'ri, grafiklarni yaratish biz uchun qulay bo'lishi uchun uni yozib qo'ying:

Va endi hamma narsa mayda-chuydalar masalasi - uni tezda yarating va mana sizning yechimingiz! Biz quramiz:

Grafiklar bir xil chiqdimi? Endi rasmda tizimning yechimlarini belgilang va aniqlangan javoblarni to'g'ri yozing!

Hammasini qildingizmi? Mening qaydlarim bilan solishtiring:

Hammasi to'g'rimi? Juda qoyil! Siz allaqachon yong'oq kabi vazifalarni bajaryapsiz! Agar shunday bo'lsa, keling, sizga murakkabroq tizimni beraylik:

Biz nima qilyapmiz? To'g'ri! Biz tizimni qurish qulay bo'lishi uchun yozamiz:

Men sizga bir oz maslahat beraman, chunki tizim juda murakkab ko'rinadi! Grafiklarni qurishda ularni "ko'proq" quring va eng muhimi, kesishish nuqtalarining soniga hayron bo'lmang.

Xo'sh, ketaylik! Nafas olinganmi? Endi qurishni boshlang!

Xo'sh, qanday qilib? Chiroylimi? Qancha kesishish nuqtasini oldingiz? Menda uchtasi bor! Grafiklarimizni solishtiramiz:

Shuningdek? Endi tizimimizning barcha yechimlarini diqqat bilan yozing:

Endi tizimga yana qarang:

Buni atigi 15 daqiqada hal qilganingizni tasavvur qila olasizmi? Qabul qiling, matematika hali ham oddiy, ayniqsa iboraga qaraganingizda xato qilishdan qo'rqmaysiz, shunchaki uni oling va uni hal qiling! Siz ajoyibsiz!

Tengsizliklarning grafik yechimi

Chiziqli tengsizliklarning grafik yechimi

Oxirgi misoldan keyin siz hamma narsani qilishingiz mumkin! Endi nafas oling - oldingi bo'limlarga qaraganda, bu juda oson bo'ladi!

Biz odatdagidek chiziqli tengsizlikning grafik yechimidan boshlaymiz. Masalan, bu:

Birinchidan, eng oddiy o'zgarishlarni amalga oshiramiz - mukammal kvadratlar qavslarini oching va shunga o'xshash atamalarni keltiring:

Tengsizlik qat'iy emas, shuning uchun u intervalga kiritilmaydi va yechim o'ngdagi barcha nuqtalar bo'ladi, chunki ko'proq, ko'proq va hokazo:

Javob:

Bo'ldi shu! Osonmi? Ikki o‘zgaruvchili oddiy tengsizlikni yechamiz:

Funksiyani koordinatalar sistemasida chizamiz.

Siz bunday jadvalni oldingizmi? Endi bizda qanday tengsizlik borligini diqqat bilan ko'rib chiqaylik? Ozroq? Bu bizning to'g'ri chiziqning chap tomonidagi hamma narsani bo'yashimizni anglatadi. Agar ko'proq bo'lsa-chi? To'g'ri, biz to'g'ri chiziqning o'ng tomonidagi hamma narsani bo'yab qo'yamiz. Bu oddiy.

Ushbu tengsizlikning barcha yechimlari to'q sariq rangga bo'yalgan. Hammasi shunday, ikkita o'zgaruvchili tengsizlik echildi. Demak, soyali maydondan istalgan nuqtaning koordinatalari yechimlardir.

Kvadrat tengsizliklarning grafik yechimi

Endi biz kvadrat tengsizliklarni grafik tarzda qanday yechish kerakligini tushunamiz.

Ammo ishga kirishishdan oldin kvadrat funktsiyaga oid ba'zi materiallarni ko'rib chiqaylik.

Diskriminant nima uchun javobgar? To'g'ri, grafikning o'qga nisbatan pozitsiyasi uchun (agar buni eslamasangiz, kvadratik funktsiyalar haqidagi nazariyani albatta o'qing).

Qanday bo'lmasin, siz uchun bir oz eslatma:

Xotiramizdagi barcha materiallarni yangilaganimizdan so'ng, keling, ishga kirishamiz - tengsizlikni grafik tarzda hal qilamiz.

Men sizga darhol aytaman, uni hal qilishning ikkita varianti bor.

Variant 1

Biz parabolani funktsiya sifatida yozamiz:

Formulalardan foydalanib, biz parabola cho'qqisining koordinatalarini aniqlaymiz (aynan kvadrat tenglamalarni echishda bo'lgani kabi):

Hisobladingizmi? Nima oldingiz?

Keling, yana ikkita turli nuqtani olamiz va ular uchun hisoblaymiz:

Keling, parabolaning bitta shoxini qurishni boshlaylik:

Biz nuqtalarimizni parabolaning boshqa tarmog'iga simmetrik tarzda aks ettiramiz:

Endi tengsizligimizga qaytaylik.

Bizga mos ravishda noldan kichik bo'lishi kerak:

Bizning tengsizligimizda belgi qat'iy kamroq bo'lganligi sababli, biz oxirgi nuqtalarni istisno qilamiz - "teshilish".

Javob:

Uzoq yo'l, to'g'rimi? Endi men sizga bir xil tengsizlik misolidan foydalanib, grafik echimning soddaroq versiyasini ko'rsataman:

Variant 2

Biz tengsizligimizga qaytamiz va kerakli intervallarni belgilaymiz:

Qabul qilaman, bu juda tez.

Keling, javobni yozamiz:

Keling, algebraik qismni soddalashtiradigan yana bir yechimni ko'rib chiqaylik, lekin asosiy narsa chalkashmaslikdir.

Chap va o'ng tomonlarni ko'paytiring:

Quyidagi kvadrat tengsizlikni o'zingiz xohlagan usulda yechishga harakat qiling: .

Siz boshqardingizmi?

Mening grafigim qanday bo'lganiga qarang:

Javob: .

Aralash tengsizliklarning grafik yechimi

Endi murakkabroq tengsizliklarga o'tamiz!

Bu sizga qanday yoqadi:

Bu qo'rqinchli, shunday emasmi? Rostini aytsam, men buni algebraik tarzda qanday hal qilishni bilmayman ... Lekin bu kerak emas. Grafik jihatdan bu borada murakkab narsa yo'q! Ko'zlar qo'rqadi, lekin qo'llar qiladi!

Biz boshlashimiz kerak bo'lgan birinchi narsa ikkita grafikni qurishdir:

Men har biri uchun jadval yozmayman - ishonchim komilki, siz buni o'zingiz qilishingiz mumkin (voy, hal qilish uchun juda ko'p misollar bor!).

Siz uni bo'yadingizmi? Endi ikkita grafik tuzing.

Keling, chizmalarimizni solishtiraylikmi?

Siz bilan ham shundaymi? Ajoyib! Keling, kesishish nuqtalarini tartibga solamiz va nazariy jihatdan qaysi grafik kattaroq bo'lishi kerakligini aniqlash uchun rangdan foydalanamiz. Oxiri nima bo'lganiga qarang:

Endi biz tanlagan grafigimiz grafikdan qayerda balandroq ekanligini ko'rib chiqaylik? Qalam olib, bu joyni bo'yashingiz mumkin! U bizning murakkab tengsizligimiz uchun yechim bo'ladi!

O'q bo'ylab qaysi oraliqlarda biz yuqorida joylashganmiz? To'g'ri, . Bu javob!

Xo'sh, endi siz har qanday tenglamani, har qanday tizimni va undan ham ko'proq har qanday tengsizlikni boshqarishingiz mumkin!

ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA

Funksiya grafiklari yordamida tenglamalarni yechish algoritmi:

1. Keling, buni orqali ifoda qilaylik
2. Funktsiya turini aniqlaymiz
3. Olingan funksiyalarning grafiklarini tuzamiz
4. Grafiklarning kesishish nuqtalarini topamiz
5. Javobni to'g'ri yozamiz (ODZ va tengsizlik belgilarini hisobga olgan holda)
6. Javobni tekshiramiz (tenglama yoki tizimning ildizlarini almashtiring)

Funktsiya grafiklarini qurish haqida ko'proq ma'lumot olish uchun "" mavzusiga qarang.

QOGAN 2/3 MAQOLALAR FAQAT SIZLARGA MUMKIN!

YouClever talabasi bo'ling,

Yagona davlat imtihoniga yoki matematika bo'yicha yagona davlat imtihoniga "oyiga bir chashka qahva" narxiga tayyorlaning.

Shuningdek, "YouClever" darsligiga, "100gia" tayyorgarlik dasturiga (ishchi kitobiga) cheksiz kirish huquqiga ega bo'ling, cheksiz Yagona davlat ekspertizasi va OGE, 6000 yechimlarni tahlil qilish va boshqa xizmatlar YouClever va 100gia muammolari.

Grafik usul kvadrat tengsizliklarni yechishning asosiy usullaridan biridir. Maqolada biz grafik usuldan foydalanish algoritmini taqdim etamiz, so'ngra misollar yordamida maxsus holatlarni ko'rib chiqamiz.

Grafik usulning mohiyati

Usul faqat kvadratik tengsizliklarni emas, balki har qanday tengsizliklarni echishda qo'llaniladi. Uning mohiyati shundan iboratki: tengsizlikning o'ng va chap tomonlari ikkita alohida funksiya sifatida qaraladi y = f (x) va y = g (x), ularning grafiklari to'rtburchaklar koordinatalar tizimida chiziladi va grafiklardan qaysi biri ekanligini ko'rib chiqing. ikkinchisining ustida joylashgan va qaysi intervallarda. Intervallar quyidagicha baholanadi:

Ta'rif 1

• f (x) > g (x) tengsizlikning yechimlari f funksiya grafigi g funksiya grafigidan yuqori bo lgan oraliqlar;
• f (x) ≥ g (x) tengsizlikning yechimlari f funksiya grafigi g funksiya grafigidan past bo‘lmagan oraliqlar;
• f(x) tengsizligi yechimlari< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• f (x) ≤ g (x) tengsizlikning yechimlari f funksiya grafigi g funksiya grafigidan yuqori bo‘lmagan oraliqlar;
• f va g funksiyalar grafiklarining kesishish nuqtalarining abssissalari f (x) = g (x) tenglamaning yechimlaridir.

Keling, misol yordamida yuqoridagi algoritmni ko'rib chiqaylik. Buning uchun a x 2 + b x + c kvadrat tengsizlikni oling< 0 (≤ , >, ≥) va undan ikkita funksiya hosil qiling. Tengsizlikning chap tomoni y = a · x 2 + b · x + c (bu holda f (x) = a · x 2 + b · x + c), o'ng tomoni y = 0 () ga mos keladi. bu holda g (x) = 0).

Birinchi funksiyaning grafigi parabola, ikkinchisi x o'qi O x bilan mos keladigan to'g'ri chiziqdir. Parabolaning O x o'qiga nisbatan o'rnini tahlil qilaylik. Buning uchun sxematik chizma tuzamiz.

Parabolaning shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan. U O x o'qini nuqtalarda kesib o'tadi x 1 Va x 2. Bu holda a koeffitsienti ijobiydir, chunki u parabola shoxlarining yo'nalishi uchun javobgardir. Diskriminant musbat bo'lib, kvadrat uchburchakning ikkita ildizi borligini ko'rsatadi a x 2 + b x + c. Biz trinomialning ildizlarini deb belgilaymiz x 1 Va x 2, va bu qabul qilindi x 1< x 2 , chunki O x o'qida abscissali nuqta tasvirlangan x 1 abscissa nuqtasining chap tomoniga x 2.

Biz parabolaning O x o'qi ustida joylashgan qismlarini qizil rangda, pastda - ko'k bilan belgilaymiz. Bu bizga rasmni yanada ingl.

Keling, ushbu qismlarga mos keladigan joylarni tanlaymiz va ularni rasmda ma'lum rangdagi maydonlar bilan belgilaymiz.

Biz (− ∞, x 1) va (x 2, + ∞) oraliqlarni qizil rang bilan belgiladik, ularda parabola O x o'qi ustida joylashgan. Ular a · x 2 + b · x + c > 0. a · x 2 + b · x + c tengsizligining yechimi bo'lgan (x 1 , x 2) intervalni ko'k rang bilan belgiladik.< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Keling, yechim haqida qisqacha ma'lumot beraylik. a > 0 va D = b 2 − 4 a c > 0 (yoki teng koeffitsient b uchun D " = D 4 > 0) uchun biz quyidagilarni olamiz:

• qaror kvadratik tengsizlik a · x 2 + b · x + c > 0 - (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) yoki boshqa belgida x< x 1 , x >x2;
• a · x 2 + b · x + c ≥ 0 kvadrat tengsizlikning yechimi (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) yoki boshqa yozuvda x ≤ x 1, x ≥ x 2;
• a x 2 + b x + c kvadrat tengsizlikni yechish< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• a x 2 + b x + c ≤ 0 kvadrat tengsizlikning yechimi [ x 1, x 2 ] yoki boshqa yozuvda x 1 ≤ x ≤ x 2,

bu yerda x 1 va x 2 kvadrat uch a x 2 + b x + c va x 1 ning ildizlaridir.< x 2 .

Ushbu rasmda parabola O x o'qiga faqat bir nuqtada tegadi, bu esa sifatida belgilanadi x 0 a > 0. D=0, shuning uchun kvadrat uchburchak bir ildizga ega x 0.

Parabola koordinata o'qining teginish nuqtasi bundan mustasno, O x o'qidan butunlay yuqorida joylashgan. Keling, intervallarni ranglaymiz (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

Keling, natijalarni yozamiz. At a > 0 Va D=0:

• kvadrat tengsizlikni yechish a x 2 + b x + c > 0(− ∞ , x 0) ∪ (x 0, + ∞) yoki boshqa belgida x ≠ x 0;
• kvadrat tengsizlikni yechish a x 2 + b x + c ≥ 0 hisoblanadi (− ∞ , + ∞) yoki boshqa belgida x ∈ R;
• kvadratik tengsizlik a x 2 + b x + c< 0 yechimlari yo'q (parabola o'qdan pastda joylashgan oraliqlar yo'q O x);
• kvadratik tengsizlik a x 2 + b x + c ≤ 0 o‘ziga xos yechimga ega x = x 0(aloqa nuqtasi tomonidan beriladi),

Qayerda x 0- kvadrat trinomialning ildizi a x 2 + b x + c.

Parabola shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan va o'qga tegmagan uchinchi holatni ko'rib chiqaylik. O x. Parabolaning shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan, bu shuni anglatadiki a > 0. Kvadrat trinomialning haqiqiy ildizlari yo'q, chunki D< 0 .

Grafikda parabola x o'qi ostida bo'ladigan intervallar yo'q. Rasmimiz uchun rang tanlashda buni hisobga olamiz.

Ma'lum bo'lishicha, qachon a > 0 Va D< 0 kvadrat tengsizliklarni yechish a x 2 + b x + c > 0 Va a x 2 + b x + c ≥ 0 hammasining to'plamidir haqiqiy raqamlar, va tengsizliklar a x 2 + b x + c< 0 Va a x 2 + b x + c ≤ 0 yechimlari yo'q.

Parabola shoxlari pastga yo'naltirilganda bizda uchta variantni ko'rib chiqish kerak. Bu uchta variant ustida batafsil to‘xtalib o‘tishning hojati yo‘q, chunki tengsizlikning har ikki tomonini - 1 ga ko‘paytirsak, x 2 uchun musbat koeffitsientli ekvivalent tengsizlikka erishamiz.

Maqolaning oldingi qismini ko'rib chiqish bizni tengsizliklarni grafik usul yordamida yechish algoritmini idrok etishga tayyorladi. Hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun biz har safar O x koordinata chizig'ini va kvadrat funktsiyaga mos keladigan parabolani tasvirlaydigan chizmadan foydalanishimiz kerak. y = a x 2 + b x + c. Ko'pgina hollarda, biz O y o'qini tasvirlamaymiz, chunki u hisob-kitoblar uchun kerak emas va faqat chizmani ortiqcha yuklaydi.

Parabola qurish uchun biz ikkita narsani bilishimiz kerak:

Ta'rif 2

• a koeffitsienti qiymati bilan belgilanadigan shoxlarning yo'nalishi;
• kvadratik trinomial diskriminantning qiymati bilan aniqlanadigan parabola va abscissa o'qining kesishish nuqtalarining mavjudligi. a · x 2 + b · x + c.

Qattiq bo'lmagan tengsizliklarni yechishda kesishish va tangens nuqtalarini odatiy tarzda, qat'iylarni yechishda esa bo'sh nuqtalarni belgilaymiz.

Tugallangan chizmaga ega bo'lish sizga yechimning keyingi bosqichiga o'tish imkonini beradi. Bu parabolaning O x o'qi ustida yoki pastda joylashgan oraliqlarini aniqlashni o'z ichiga oladi. Intervallar va kesishish nuqtalari kvadrat tengsizlikning yechimidir. Agar kesishish yoki teginish nuqtalari bo'lmasa va intervallar bo'lmasa, masalaning shartlarida ko'rsatilgan tengsizlikning yechimlari yo'q deb hisoblanadi.

Endi yuqoridagi algoritm yordamida bir nechta kvadrat tengsizliklarni yechamiz.

1-misol

2 x 2 + 5 1 3 x - 2 tengsizlikni grafik usulda yechish kerak.

Yechim

y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 kvadrat funktsiyaning grafigini chizamiz. Koeffitsient at x 2 ijobiy, chunki u tengdir 2 . Bu parabolaning shoxlari yuqoriga yo'naltirilishini anglatadi.

Parabolaning abscissa o'qi bilan umumiy nuqtalari bor yoki yo'qligini bilish uchun kvadrat uch a'zoning 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 diskriminantini hisoblaylik. Biz olamiz:

D = 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) = 400 9

Ko'rib turganimizdek, D noldan katta, shuning uchun biz ikkita kesishgan nuqtaga egamiz: x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 2 va x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 2, ya'ni, x 1 = - 3 Va x 2 = 1 3.

Biz qat'iy bo'lmagan tengsizlikni hal qilamiz, shuning uchun biz grafikga oddiy nuqtalarni qo'yamiz. Keling, parabolani chizamiz. Ko'rib turganingizdek, chizma biz ko'rib chiqqan birinchi shablondagi kabi ko'rinishga ega.

Bizning tengsizligimiz ≤ belgisiga ega. Shuning uchun biz grafikdagi parabola O x o'qi ostida joylashgan intervallarni ajratib ko'rsatishimiz va ularga kesishish nuqtalarini qo'shishimiz kerak.

Bizga kerak bo'lgan interval 3, 1 3. Biz unga kesishish nuqtalarini qo'shamiz va raqamli segmentni olamiz - 3, 1 3. Bu bizning muammomizning yechimi. Javobni ikki tomonlama tengsizlik sifatida yozish mumkin: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Javob:− 3 , 1 3 yoki − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

2-misol

− x 2 + 16 x − 63< 0 grafik usul.

Yechim

O'zgaruvchining kvadrati manfiy raqamli koeffitsientga ega, shuning uchun parabolaning shoxlari pastga yo'naltiriladi. Diskriminantning to'rtinchi qismini hisoblaymiz D " = 8 2 − (− 1) · (− 63) = 64 − 63 = 1. Bu natija bizga ikkita kesishish nuqtasi bo'lishini aytadi.

Kvadrat trinomiyaning ildizlarini hisoblaymiz: x 1 = - 8 + 1 - 1 va x 2 = - 8 - 1 - 1, x 1 = 7 va x 2 = 9.

Ma’lum bo‘lishicha, parabola x o‘qini nuqtalarda kesib o‘tadi 7 Va 9 . Grafikdagi bu nuqtalarni bo'sh deb belgilaymiz, chunki biz qat'iy tengsizlik bilan ishlaymiz. Shundan so'ng, belgilangan nuqtalarda O x o'qini kesib o'tuvchi parabolani chizing.

Bizni parabolaning O x o'qi ostida joylashgan oraliqlari qiziqtiradi. Keling, bu intervallarni ko'k rang bilan belgilaymiz.

Javobni olamiz: tengsizlikning yechimi (− ∞, 7) , (9, + ∞) oraliqlaridir.

Javob:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) yoki boshqa belgida x< 7 , x > 9 .

Kvadrat uch a'zoning diskriminanti nolga teng bo'lgan hollarda, javobga teginish nuqtalarining abtsissasini kiritish yoki yo'qligini diqqat bilan ko'rib chiqish kerak. To'g'ri qaror qabul qilish uchun tengsizlik belgisini hisobga olish kerak. Qattiq tengsizliklarda x o'qining teginish nuqtasi tengsizlikning yechimi emas, lekin qat'iy bo'lmaganlarda shunday bo'ladi.

3-misol

Kvadrat tengsizlikni yeching 10 x 2 - 14 x + 4, 9 ≤ 0 grafik usul.

Yechim

Bu holda parabolaning shoxlari yuqoriga yo'naltiriladi. U 0, 7 nuqtada O x o'qiga tegadi, chunki

Keling, funktsiyani chizamiz y = 10 x 2 - 14 x + 4,9. Uning shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan, chunki at koeffitsienti x 2 musbat va u x o'qi nuqtasida x o'qiga tegadi 0 , 7 , chunki D " = (− 7) 2 - 10 4, 9 = 0, bu erdan x 0 = 7 10 yoki 0 , 7 .

Keling, nuqta qo'yib, parabola chizamiz.

Qat'iy bo'lmagan tengsizlikni ≤ belgisi bilan yechamiz. Shuning uchun. Bizni parabola x o'qi va teginish nuqtasi ostida joylashgan oraliqlar qiziqtiradi. Rasmda bizning shartlarimizni qondiradigan intervallar yo'q. Faqat 0, 7 aloqa nuqtasi mavjud. Bu biz izlayotgan yechim.

Javob: Tengsizlik faqat bitta yechimga ega 0, 7.

4-misol

Kvadrat tengsizlikni yeching – x 2 + 8 x − 16< 0 .

Yechim

Parabolaning shoxlari pastga yo'naltirilgan. Diskriminant nolga teng. Kesishish nuqtasi x 0 = 4.

X o'qidagi teginish nuqtasini belgilaymiz va parabola chizamiz.

Biz jiddiy tengsizlikka duch kelyapmiz. Binobarin, bizni parabola O x o'qi ostida joylashgan oraliqlar qiziqtiradi. Keling, ularni ko'k rang bilan belgilaymiz.

Abscissa 4 bo'lgan nuqta yechim emas, chunki undagi parabola O x o'qi ostida joylashgan emas. Natijada, biz ikkita intervalni olamiz (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

Javob: (− ∞, 4) ∪ (4, + ∞) yoki boshqa belgida x ≠ 4.

Har doim ham emas salbiy qiymat diskriminant tengsizlik hech qanday yechimga ega bo'lmaydi. Yechim barcha haqiqiy sonlar to'plami bo'lgan holatlar mavjud.

5-misol

3 x 2 + 1 > 0 kvadrat tengsizlikni grafik usulda yeching.

Yechim

a koeffitsienti ijobiy. Diskriminant salbiy. Parabolaning shoxlari yuqoriga yo'naltiriladi. Parabolaning O x o'qi bilan kesishish nuqtalari yo'q. Keling, rasmni ko'rib chiqaylik.

Biz > belgisiga ega bo'lgan qat'iy tengsizlik bilan ishlaymiz. Bu bizni parabolaning x o'qi ustida joylashgan oraliqlari bilan qiziqtirganligini anglatadi. Bu javob barcha haqiqiy sonlar to'plami bo'lsa, aynan shunday bo'ladi.

Javob:(− ∞, + ∞) yoki shunga o'xshash x ∈ R.

6-misol

Tengsizlikka yechim topish kerak − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0 grafik jihatdan.

Yechim

Parabolaning shoxlari pastga yo'naltirilgan. Diskriminant manfiy, shuning uchun parabola va x o'qi o'rtasida umumiy nuqtalar yo'q. Keling, rasmni ko'rib chiqaylik.

Biz ≥ belgisi bilan qat'iy bo'lmagan tengsizlik bilan ishlayapmiz, shuning uchun parabola x o'qi ustida joylashgan oraliqlar bizni qiziqtiradi. Grafikga qaraganda, bunday bo'shliqlar yo'q. Demak, masala sharoitida berilgan tengsizlikning yechimlari yo‘q.

Javob: Yechim yo'q.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

L.A. Kustova

matematika o'qituvchisi

Voronej, 5-sonli MBOU litseyi

Loyiha

“Tenglamalar va tengsizliklarni echishning grafik usulining afzalliklari”.

Sinf:

7-11

Element:

Matematika

Tadqiqot maqsadi:

Aniqlashtenglamalar va tengsizliklarni echishning grafik usulining afzalliklari.

Gipoteza:

Ba'zi tenglamalar va tengsizliklarni grafik tarzda yechish osonroq va estetik jihatdan yoqimliroq.

Tadqiqot bosqichlari:

Analitik va grafik yechim usullarini solishtiringtenglamalar va tengsizliklar.

Qanday hollarda grafik usulning afzalliklari borligini aniqlang.

Modulli va parametrli tenglamalarni yechishni ko'rib chiqing.

Tadqiqot natijalari:

1.Matematikaning go'zalligi falsafiy muammodir.

2.Ba'zi tenglamalar va tengsizliklarni yechishda grafik yechimeng amaliy va jozibali.

3. Siz maktabda matematikaning jozibadorligini grafik yechim yordamida qo'llashingiz mumkintenglamalar va tengsizliklar.

“Matematika fanlari qadim zamonlardan beri alohida e’tiborni tortgan.

Ayni paytda ular san'at va sanoatga ta'siriga yanada ko'proq qiziqish bildirishdi.

Pafnutiy Lvovich Chebishev.

7-sinfdan boshlab tenglamalar va tengsizliklarni echishning turli usullari, shu jumladan grafik usullari ko'rib chiqiladi. Matematikani quruq fan deb o'ylaydiganlar, menimcha, ba'zi turlarni qanday chiroyli tarzda yechish mumkinligini ko'rib, o'z fikrlarini o'zgartiradilar.tenglamalar va tengsizliklar. Sizga bir nechta misollar keltiraman:

1).Tenglamani yeching: = .

Siz uni analitik tarzda hal qilishingiz mumkin, ya'ni tenglamaning ikkala tomonini uchinchi darajaga ko'taring va hokazo.

Agar siz shunchaki echimlar sonini ko'rsatishingiz kerak bo'lsa, grafik usul ushbu tenglama uchun qulaydir.

Shunga o'xshash vazifalar 9-sinf OGE ning "geometriya" blokini echishda tez-tez uchraydi.

2).Parametrli tenglamani yeching:

││ x│- 4│= a

Eng yaxshisi emas murakkab misol, lekin agar siz analitik tarzda hal qilsangiz, modul qavslarini ikki marta ochishingiz kerak bo'ladi va har bir holat uchun parametrning mumkin bo'lgan qiymatlarini ko'rib chiqing. Grafik jihatdan hamma narsa juda oddiy. Biz funktsiya grafiklarini chizamiz va buni ko'ramiz:

Manbalar:

Kompyuter dasturiKengaytirilgan grafika .

Mayli f(x,y) Va g(x, y)- o'zgaruvchilar bilan ikkita ifoda X Va da va qamrovi X. Keyin shaklning tengsizliklari f(x, y) > g(x, y) yoki f(x, y) < g(x, y) chaqirdi ikki o'zgaruvchili tengsizlik .

O'zgaruvchilarning ma'nosi x, y ko'pchilikdan X, bunda tengsizlik haqiqatga aylanadi raqamli tengsizlik, deyiladi qaror va belgilanadi (x, y). Tengsizlikni yechish - bu shunday ko'plab juftlarni topishni anglatadi.

Har bir juft raqam bo'lsa (x, y) yechimlar to‘plamidan tengsizlikka, nuqtani moslashtiring M(x, y), biz ushbu tengsizlik bilan belgilangan tekislikdagi nuqtalar to'plamini olamiz. Uni chaqirishadi bu tengsizlikning grafigi . Tengsizlik grafigi odatda tekislikdagi maydondir.

Tengsizlikning yechimlari to‘plamini tasvirlash f(x, y) > g(x, y), quyidagicha davom eting. Birinchidan, tengsizlik belgisini tenglik belgisi bilan almashtiring va tenglamaga ega bo'lgan chiziqni toping f(x,y) = g(x,y). Bu chiziq samolyotni bir necha qismlarga ajratadi. Shundan so'ng, har bir qismda bitta nuqtani olish va bu nuqtada tengsizlik qanoatlantirilishini tekshirish kifoya. f(x, y) > g(x, y). Agar u shu nuqtada bajarilsa, u holda bu nuqta joylashgan butun qismda bajariladi. Bunday qismlarni birlashtirib, biz ko'plab echimlarni olamiz.

Vazifa. y > x.

Yechim. Birinchidan, biz tengsizlik belgisini tenglik belgisi bilan almashtiramiz va to'rtburchaklar koordinatalar tizimida tenglamaga ega bo'lgan chiziqni quramiz. y = x.

Bu chiziq tekislikni ikki qismga ajratadi. Shundan so'ng, har bir qismdan bitta nuqtani oling va bu nuqtada tengsizlik qanoatlantiriladimi yoki yo'qligini tekshiring y > x.

Vazifa. Tengsizlikni grafik tarzda yeching
X 2 + da 2 £ 25.

Guruch. 18.

Yechim. Birinchidan, tengsizlik belgisini teng belgi bilan almashtiring va chiziq chizing X 2 + da 2 = 25. Bu koordinata boshida va radiusi 5 ga teng bo'lgan aylana. Olingan doira tekislikni ikki qismga bo'ladi. Tengsizlikning qoniqarliligini tekshirish X 2 + da Har bir qismda 2 £ 25, biz grafik doiradagi nuqtalar to'plami va aylana ichidagi tekislikning qismlari ekanligini topamiz.

Ikki tengsizlik berilgan bo'lsin f 1(x, y) > g 1(x, y) Va f 2(x, y) > g 2(x, y).

Ikki o'zgaruvchili tengsizliklar to'plamlari tizimlari

Tengsizliklar tizimi ifodalaydi o'zingiz bu tengsizliklarning birikmasi. Tizimli yechim har bir ma'nodir (x, y), bu tengsizliklarning har birini haqiqiy sonli tengsizlikka aylantiradi. Ko'p echimlar tizimlari tengsizliklar - berilgan tizimni tashkil etuvchi tengsizliklar yechimlari to'plamlarining kesishishi.

Tengsizliklar to'plami ifodalaydi o'zingiz bularni ajratish tengsizliklar Jamiyatning yechimi bilan har bir ma'nodir (x, y), bu tengsizliklar to'plamidan kamida bittasini haqiqiy sonli tengsizlikka aylantiradi. Ko'p echimlar umumiylik to‘plamni tashkil etuvchi tengsizliklar yechimlari to‘plamidir.

Vazifa. Tengsizliklar sistemasini grafik usulda yeching

Yechim. y = x Va X 2 + da 2 = 25. Tizimning har bir tengsizligini yechamiz.

Tizimning grafigi tekislikdagi birinchi va ikkinchi tengsizliklar yechimlari to'plamlarining kesishishi (ikki marta chiziqli) bo'lgan nuqtalar to'plami bo'ladi.

Vazifa. Tengsizliklar to‘plamini grafik tarzda yeching

Yechim. Birinchidan, tengsizlik belgisini teng belgi bilan almashtiramiz va bir xil koordinatalar tizimida chiziqlar chizamiz y = x+ 4 va X 2 + da 2 = 16. Populyatsiyadagi har bir tengsizlikni yeching. Aholi grafigi tekislikdagi nuqtalar to'plami bo'lib, ular birinchi va ikkinchi tengsizliklar yechimlari to'plamlarining birlashmasi bo'ladi.

Mustaqil ishlash uchun mashqlar

1. Tengsizliklarni grafik usulda yeching: a) da> 2x; b) da< 2x + 3;

V) x 2+ y 2 > 9; G) x 2+ y 2 £4.

2. Tengsizliklar tizimini grafik usulda yeching:

a) b)