Vazifa № 1

Mantiq oddiy: endi trigonometrik funksiyalar murakkabroq argumentga ega bo'lishidan qat'i nazar, biz avvalgidek qilamiz!

Agar biz shakldagi tenglamani yechsak:

Keyin quyidagi javobni yozamiz:

Yoki (bundan buyon)

Ammo endi bizning rolimiz ushbu ibora bilan o'ynaydi:

Keyin biz yozishimiz mumkin:

Siz bilan bizning maqsadimiz - chap tomonning oddiy, hech qanday "nopok"siz turishiga ishonch hosil qilish!

Keling, ularni asta-sekin yo'q qilaylik!

Birinchidan, maxrajni olib tashlaymiz: buning uchun tengligimizni ko'paytiramiz:

Endi ikkala qismni bo'lish orqali undan xalos bo'laylik:

Endi sakkiztadan xalos bo'laylik:

Olingan ifodani 2 seriyali yechim sifatida yozish mumkin (kvadrat tenglamaga o'xshash, bu erda biz diskriminantni qo'shamiz yoki ayitamiz)

Biz eng katta salbiy ildizni topishimiz kerak! Biz tartibga solishimiz kerakligi aniq.

Keling, birinchi bo'limni ko'rib chiqaylik:

Agar biz olsak, ijobiy raqamlar bilan yakunlanishi aniq, lekin ular bizni qiziqtirmaydi.

Shuning uchun siz uni salbiy qabul qilishingiz kerak. Tinch qo'y, hamma narsa o'z holidagiday qo'sin; shunday bo'lsin.

Qachon ildiz torroq bo'ladi:

Va biz eng katta salbiyni topishimiz kerak !! Bu shuni anglatadiki, bu erda salbiy yo'nalishga borish endi mantiqiy emas. Va bu seriya uchun eng katta salbiy ildiz teng bo'ladi.

Endi ikkinchi seriyani ko'rib chiqamiz:

Va yana o'rniga: , keyin:

Qiziq emas!

Keyin ko'proq oshirishning ma'nosi yo'q! Keling, uni kamaytiraylik! Unda ruxsat bering:

Mos keladi!

Tinch qo'y, hamma narsa o'z holidagiday qo'sin; shunday bo'lsin. Keyin

Keyin - eng katta salbiy ildiz!

Javob:

Vazifa № 2

Murakkab kosinus argumentidan qat'i nazar, biz yana hal qilamiz:

Endi chap tomonda yana ifodalaymiz:

Ikkala tomonni ko'paytiring

Ikkala tomonni ham ajrating

Faqat uning belgisini minusdan ortiqchaga o'zgartirib, uni o'ngga siljitish qoladi.

Biz yana ikkita ildiz seriyasini olamiz, biri bilan, ikkinchisi esa.

Biz eng katta salbiy ildizni topishimiz kerak. Keling, birinchi epizodni ko'rib chiqaylik:

Biz birinchi salbiy ildizni olishimiz aniq, u 1 qatordagi eng katta salbiy ildizga teng bo'ladi va bo'ladi.

Ikkinchi seriya uchun

Birinchi salbiy ildiz ham olinadi va unga teng bo'ladi. Chunki, u holda tenglamaning eng katta manfiy ildizi hisoblanadi.

Javob: .

Vazifa № 3

Biz murakkab tangens argumentidan qat'i nazar, hal qilamiz.

Endi bu murakkab ko'rinmaydi, to'g'rimi?

Avvalgidek, biz chap tomonda ifodalaymiz:

Xo'sh, bu ajoyib, bu erda faqat bir qator ildizlar bor! Keling, yana eng katta salbiyni topamiz.

Agar qo'ysangiz, bu chiqishi aniq. Va bu ildiz tengdir.

Javob:

Endi quyidagi muammolarni o'zingiz hal qilishga harakat qiling.

Mustaqil hal qilish uchun uy vazifasi yoki 3 ta vazifa.

1. Tenglamani yechish.
   
2. Tenglamani yechish.
   Re-p-shi-th-mumkin bo'lgan eng kichik ildizda.
3. Tenglamani yechish.
   Re-p-shi-th-mumkin bo'lgan eng kichik ildizda.

Tayyormisiz? Keling, tekshiramiz. Men butun yechim algoritmini batafsil tasvirlab bermayman;

Xo'sh, hammasi to'g'rimi? Oh, bu yomon sinuslar, ular bilan har doim qandaydir muammo bor!

Xo'sh, endi siz oddiy trigonometrik tenglamalarni echishingiz mumkin!

Yechimlar va javoblarni ko'rib chiqing:

Vazifa № 1

ifoda qilaylik

Eng kichik musbat ildiz, agar, beri, keyin qo'ysak olinadi

Javob:

Vazifa № 2

Eng kichik musbat ildiz da olinadi.

Bu teng bo'ladi.

Javob: .

Vazifa № 3

Qachon biz bor, qachon bor.

Javob: .

Ushbu bilim sizga imtihonda duch keladigan ko'plab muammolarni hal qilishga yordam beradi.

Agar siz "5" bahoga ariza topshirmoqchi bo'lsangiz, u holda maqolani o'qishni davom ettirishingiz kerak o'rta daraja, Bu murakkabroq trigonometrik tenglamalarni echishga bag'ishlangan bo'ladi (topshiriq C1).

O'RTA DARAJA

Ushbu maqolada men tasvirlab beraman murakkabroq trigonometrik tenglamalarni yechish va ularning ildizlarini qanday tanlash kerak. Bu erda men quyidagi mavzular bo'yicha chizaman:

1. Boshlang'ich daraja uchun trigonometrik tenglamalar (yuqoriga qarang).

Murakkab trigonometrik tenglamalar ilg'or masalalar uchun asos bo'ladi. Ular tenglamaning o'zini umumiy shaklda echishni ham, ma'lum bir berilgan intervalga tegishli bu tenglamaning ildizlarini topishni ham talab qiladi.

Trigonometrik tenglamalarni yechish ikkita kichik vazifani bajaradi:

1. Tenglamani yechish
2. Ildiz tanlash

Shuni ta'kidlash kerakki, ikkinchisi har doim ham talab qilinmaydi, lekin ko'pchilik misollarda tanlov hali ham talab qilinadi. Ammo agar bu talab qilinmasa, biz sizga hamdard bo'lishimiz mumkin - bu tenglamaning o'zi juda murakkab ekanligini anglatadi.

C1 muammolarini tahlil qilish tajribam shuni ko'rsatadiki, ular odatda quyidagi toifalarga bo'linadi.

To'rtta murakkablikdagi vazifalar (ilgari C1)

1. Faktorlarga ajratuvchi tenglamalar.
2. Tenglamalar shaklga keltirildi.
3. O'zgaruvchini o'zgartirish orqali yechilgan tenglamalar.
4. Irratsionallik yoki maxraj tufayli ildizlarni qo'shimcha tanlashni talab qiladigan tenglamalar.

Oddiy qilib aytganda: agar qo'lga tushsangiz birinchi uch turdagi tenglamalardan biri, keyin o'zingizni omadli deb hisoblang. Ular uchun, qoida tariqasida, siz qo'shimcha ravishda ma'lum bir intervalga tegishli ildizlarni tanlashingiz kerak.

Agar siz 4-turdagi tenglamaga duch kelsangiz, unda siz kamroq omadlisiz: u bilan uzoqroq va ehtiyotkorlik bilan o'ylashingiz kerak, lekin ko'pincha bu ildizlarni qo'shimcha tanlashni talab qilmaydi. Shunga qaramay, men keyingi maqolada ushbu turdagi tenglamalarni tahlil qilaman va buni men birinchi uchta turdagi tenglamalarni echishga bag'ishlayman.

Faktorlarga ajratuvchi tenglamalar

Ushbu turdagi tenglamani hal qilish uchun eslash kerak bo'lgan eng muhim narsa

Amaliyot shuni ko'rsatadiki, qoida tariqasida, bu bilim etarli. Keling, ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik:

1-misol. Qisqartirish va ikki burchakli sinus formulalari yordamida faktorizatsiyaga tushirilgan tenglama

• Tenglamani yechish
• Ushbu tenglamaning kesim ustida joylashgan barcha ildizlarini toping

Bu erda, men va'da qilganimdek, kamaytirish formulalari ishlaydi:

Keyin mening tenglamam quyidagicha ko'rinadi:

Keyin mening tenglamam quyidagi shaklni oladi:

Qisqani ko'rmaydigan talaba aytishi mumkin: endi men ikkala tomonni ham qisqartiraman, eng oddiy tenglamani olaman va hayotdan zavqlanaman! Va u qattiq xato qiladi!

ESDA OLING: SIZ HECH QACHON TRIGONOMETRIK TENNGLAMANING Ikkala tomonini noma’lum FUNKSIYA BO‘LGAN FUNKSIYA BO‘YICHA KISHAYTIRA OLAYSIZ! SHUNCHA SIZ ILDIZINGIZNI YO'qotasiz!

Xo'sh, nima qilish kerak? Ha, hamma narsa oddiy, hamma narsani bir tomonga siljiting va umumiy omilni chiqarib tashlang:

Xo'sh, biz buni omillarga kiritdik, shoshiling! Endi qaror qilaylik:

Birinchi tenglamaning ildizlari bor:

Va ikkinchisi:

Bu muammoning birinchi qismini yakunlaydi. Endi siz ildizlarni tanlashingiz kerak:

Bo'shliq quyidagicha:

Yoki shunday yozilishi ham mumkin:

Keling, ildizlarni olaylik:

Birinchidan, keling, birinchi epizod bilan ishlaylik (va hech bo'lmaganda oddiyroq!)

Bizning intervalimiz butunlay salbiy bo'lgani uchun, salbiy bo'lmaganlarni olishning hojati yo'q, ular hali ham salbiy bo'lmagan ildizlarni beradi.

Qabul qilaylik, keyin - bu juda ko'p, u urmaydi.

Bo'lsin, keyin - men uni boshqa urmadim.

Yana bir urinib ko'ring - keyin - ha, tushundim! Birinchi ildiz topildi!

Men yana otaman: keyin yana urdim!

Xo'sh, yana bir bor: : - bu allaqachon parvoz.

Demak, birinchi qatordan intervalga tegishli 2 ta ildiz bor: .

Biz ikkinchi seriya bilan ishlayapmiz (biz qurmoqdamiz qoida bo'yicha hokimiyatga):

Pastga oling!

Yana sog'indim!

Yana sog'indim!

Tushundim!

Parvoz!

Shunday qilib, mening intervalim quyidagi ildizlarga ega:

Bu boshqa barcha misollarni hal qilishda foydalaniladigan algoritm. Keling, yana bir misol bilan birga mashq qilaylik.

2-misol. Kamaytirish formulalari yordamida faktorlarga ajratilgan tenglama

• Tenglamani yeching

Yechim:

Yana mashhur qisqartirish formulalari:

Yana qisqartirishga urinmang!

Birinchi tenglamaning ildizlari bor:

Va ikkinchisi:

Endi yana ildizlarni qidirish.

Men ikkinchi qismdan boshlayman, men bu haqda hamma narsani oldingi misoldan bilaman! Ko'ring va intervalga tegishli ildizlar quyidagicha ekanligiga ishonch hosil qiling:

Endi birinchi qism va u oddiyroq:

Agar - mos

Agar bu ham yaxshi bo'lsa

Agar u allaqachon parvoz bo'lsa.

Keyin ildizlar quyidagicha bo'ladi:

Mustaqil ish. 3 ta tenglama.

Xo'sh, texnika sizga tushunarlimi? Trigonometrik tenglamalarni yechish endi unchalik qiyin emasmi? Keyin quyidagi muammolarni tezda o'zingiz hal qiling, keyin biz boshqa misollarni hal qilamiz:

1. Tenglamani yeching
   Ushbu tenglamaning intervaldan yuqorida joylashgan barcha ildizlarini toping.
2. Tenglamani yechish
   Kesim tepasida joylashgan tenglamaning ildizlarini ko'rsating
3. Tenglamani yechish
   Ushbu tenglamaning ular orasida joylashgan barcha ildizlarini toping.

Tenglama 1.

Va yana kamaytirish formulasi:

Ildizlarning birinchi seriyasi:

Ildizlarning ikkinchi seriyasi:

Biz bo'shliqni tanlashni boshlaymiz

Javob: , .

Tenglama 2. Mustaqil ishlarni tekshirish.

Faktorlarga juda qiyin guruhlash (men ikki burchakli sinus formulasidan foydalanaman):

keyin yoki

Bu umumiy yechim. Endi biz ildizlarni tanlashimiz kerak. Muammo shundaki, biz kosinusu to'rtdan biriga teng bo'lgan burchakning aniq qiymatini ayta olmaymiz. Shuning uchun, men shunchaki yoy kosinusidan xalos bo'lolmayman - bu sharmandalik!

Men nima qila olaman, shunday, shunday, keyin ekanligini aniqlash.

Jadval tuzamiz: interval:

Xo'sh, og'riqli qidiruvlar natijasida biz umidsizlikka uchragan xulosaga keldik, bizning tenglamamiz ko'rsatilgan intervalda bitta ildizga ega: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi

Tenglama 3: Mustaqil ish testi.

Qo'rqinchli ko'rinishdagi tenglama. Biroq, buni ikki burchakli sinus formulasini qo'llash orqali oddiygina hal qilish mumkin:

Keling, uni 2 ga kamaytiramiz:

Keling, birinchi atamani ikkinchi, uchinchisini to'rtinchi bilan guruhlaymiz va umumiy omillarni chiqaramiz:

Birinchi tenglamaning ildizi yo'qligi aniq va endi ikkinchisini ko'rib chiqaylik:

Umuman olganda, men bunday tenglamalarni echish haqida biroz keyinroq to'xtalib o'tmoqchi edim, lekin u paydo bo'lganligi sababli, qiladigan hech narsa yo'q, men buni hal qilishim kerak ...

Shakl tenglamalari:

Ushbu tenglama ikkala tomonni quyidagiga bo'lish orqali hal qilinadi:

Shunday qilib, bizning tenglama bir qator ildizlarga ega:

Intervalga tegishli bo'lganlarni topishimiz kerak: .

Oldin qilganimdek yana jadval tuzamiz:

Javob: .

Tenglamalar shaklga keltiriladi:

Xo'sh, endi tenglamalarning ikkinchi qismiga o'tish vaqti keldi, ayniqsa, men yangi turdagi trigonometrik tenglamalarning yechimi nimadan iboratligini allaqachon to'kib tashlaganim uchun. Ammo bu tenglama shaklda ekanligini takrorlash kerak

Ikkala tomonni kosinusga bo'lish yo'li bilan yechiladi:

1. Tenglamani yechish
   Kesim tepasida joylashgan tenglamaning ildizlarini ko'rsating.
2. Tenglamani yechish
   Ular orasida joylashgan tenglamaning ildizlarini ko'rsating.

1-misol.

Birinchisi juda oddiy. O'ngga siljiting va ikki burchakli kosinus formulasini qo'llang:

Ha! Shakl tenglamasi: . Men ikkala qismni ham ajrataman

Biz ildiz skriningini qilamiz:

Bo'shliq:

Javob:

2-misol.

Hammasi ham juda ahamiyatsiz: keling, o'ngdagi qavslarni ochamiz:

Asosiy trigonometrik identifikatsiya:

Ikki burchakli sinus:

Nihoyat, biz olamiz:

Ildiz skriningi: interval.

Javob: .

Xo'sh, texnikani qanday yoqtirasiz, bu juda murakkab emasmi? Umid qilamanki, yo'q. Biz darhol bron qilishimiz mumkin: ichida sof shakl tangens uchun tenglamaga darhol tushadigan tenglamalar juda kam uchraydi. Odatda, bu o'tish (kosinus bo'yicha bo'linish) yanada murakkab muammoning faqat bir qismidir. Mana sizga mashq qilish uchun bir misol:

• Tenglamani yechish
• Ushbu tenglamaning kesim ustida joylashgan barcha ildizlarini toping.

Keling, tekshiramiz:

Tenglamani darhol yechish mumkin, buning uchun ikkala tomonni quyidagilarga bo'lish kifoya:

Ildiz skriningi:

Javob: .

Qanday bo'lmasin, biz hozirgina ko'rib chiqqan turdagi tenglamalarga duch kelmadik. Biroq, biz buni kun deb atashga hali erta: biz tahlil qilmagan yana bir "qatlam" tenglamalar mavjud. Shunday qilib:

Trigonometrik tenglamalarni o'zgaruvchilarni o'zgartirish orqali yechish

Bu erda hamma narsa shaffof: biz tenglamaga diqqat bilan qaraymiz, uni iloji boricha soddalashtiramiz, almashtirishni amalga oshiramiz, uni hal qilamiz, teskari almashtirishni amalga oshiramiz! Bir so'z bilan aytganda, hamma narsa juda oson. Keling, amalda ko'rib chiqaylik:

Misol.

• Tenglamani yeching: .
• Ushbu tenglamaning kesim ustida joylashgan barcha ildizlarini toping.

Xo'sh, bu erda almashtirishning o'zi bizga o'zini taklif qiladi!

Keyin bizning tenglamamiz shunday bo'ladi:

Birinchi tenglamaning ildizlari bor:

Ikkinchisi esa shunday:

Endi intervalga tegishli ildizlarni topamiz

Javob: .

Keling, biroz murakkabroq misolni birgalikda ko'rib chiqaylik:

• Tenglamani yechish
• Berilgan tenglamaning ildizlarini yuqorida ular orasida yotgan holda ko'rsating.

Bu erda almashtirish darhol ko'rinmaydi, bundan tashqari, bu juda aniq emas. Avval o'ylab ko'raylik: nima qilishimiz mumkin?

Biz, masalan, tasavvur qilishimiz mumkin

Va ayni paytda

Keyin mening tenglamam quyidagi shaklni oladi:

Va endi diqqat, diqqat:

Tenglamaning ikkala tomonini quyidagilarga ajratamiz:

To'satdan siz va men kvadrat tenglama nisbatan! Keling, almashtiramiz, keyin biz olamiz:

Tenglama quyidagi ildizlarga ega:

Ildizlarning noxush ikkinchi seriyasi, lekin hech narsa qilish mumkin emas! Intervalda ildizlarni tanlaymiz.

Buni ham hisobga olishimiz kerak

O'shandan beri va keyin

Javob:

Muammolarni o'zingiz hal qilishdan oldin buni kuchaytirish uchun siz uchun yana bir mashq:

• Tenglamani yechish
• Bu tenglamaning ular orasida joylashgan barcha ildizlarini toping.

Bu erda siz ko'zingizni ochiq tutishingiz kerak: endi bizda nolga teng bo'lishi mumkin bo'lgan denominatorlar mavjud! Shuning uchun, ayniqsa, ildizlarga ehtiyot bo'lishingiz kerak!

Avvalo, mos almashtirishni amalga oshirishim uchun tenglamani qayta tartibga solishim kerak. Men tangensni sinus va kosinus nuqtai nazaridan qayta yozishdan ko'ra yaxshiroq narsani o'ylay olmayman:

Endi men asosiy trigonometrik identifikatsiyadan foydalanib, kosinusdan sinusga o'taman:

Va nihoyat, men hamma narsani umumiy maxrajga keltiraman:

Endi men tenglamaga o'tishim mumkin:

Lekin da (ya'ni, at).

Endi hamma narsa almashtirishga tayyor:

Keyin yoki

Biroq, e'tibor bering, agar bo'lsa, bir vaqtning o'zida!

Bundan kim azob chekadi? Tangens bilan bog'liq muammo shundaki, u kosinus nolga teng bo'lganda aniqlanmaydi (nolga bo'linish sodir bo'ladi).

Shunday qilib, tenglamaning ildizlari:

Endi biz oraliqda ildizlarni elakdan o'tkazamiz:

	- mos keladi
	- ortiqcha

Shunday qilib, bizning tenglamamiz oraliqda bitta ildizga ega va u tengdir.

Ko'ryapsizmi: maxrajning ko'rinishi (xuddi tangens kabi, ildizlar bilan muayyan qiyinchiliklarga olib keladi! Bu erda siz ko'proq ehtiyot bo'lishingiz kerak!).

Xo'sh, siz va men trigonometrik tenglamalarni tahlil qilishni deyarli tugatdik - ikkita muammoni mustaqil hal qilish uchun juda oz narsa qoldi; Mana ular.

1. Tenglamani yeching
   Ushbu tenglamaning kesim ustida joylashgan barcha ildizlarini toping.
2. Tenglamani yechish
   Kesim tepasida joylashgan bu tenglamaning ildizlarini ko'rsating.

Qaror qildingizmi? Bu juda qiyin emasmi? Keling, tekshiramiz:

1. Biz qisqartirish formulalari bo'yicha ishlaymiz:

   Tenglamaga almashtiring:

   O'zgartirishni osonlashtirish uchun keling, hamma narsani kosinuslar orqali qayta yozamiz:

   Endi almashtirish oson:

   Bu begona ildiz ekanligi aniq, chunki tenglamaning yechimlari yo'q. Keyin:

   Biz intervalda kerakli ildizlarni qidiramiz

   Javob: .

2. 
   Bu erda almashtirish darhol ko'rinadi:

   Keyin yoki

   	- mos keladi!	- mos keladi!
   	- mos keladi!	- mos keladi!
   	- juda ko'p!	- juda ko'p!

   Javob:

Xo'sh, hozir shunday! Ammo trigonometrik tenglamalarni yechish shu bilan tugamaydi; murakkab holatlar: tenglamalarda irratsionallik yoki har xil turdagi "murakkab maxrajlar" mavjud bo'lganda. Biz ilg'or daraja uchun maqolada bunday vazifalarni qanday hal qilishni ko'rib chiqamiz.

ILG'IY DARAJA

Oldingi ikki maqolada muhokama qilingan trigonometrik tenglamalarga qo'shimcha ravishda, biz yanada sinchkovlik bilan tahlil qilishni talab qiladigan boshqa tenglamalar sinfini ko'rib chiqamiz. Ushbu trigonometrik misollar irratsionallik yoki maxrajni o'z ichiga oladi, bu ularni tahlil qilishni qiyinlashtiradi. Biroq, siz ushbu tenglamalarni imtihon qog'ozining C qismida uchratishingiz mumkin. Biroq, har bir bulutning kumush qoplamasi bor: bunday tenglamalar uchun, qoida tariqasida, uning ildizlaridan qaysi biri ma'lum bir intervalga tegishli ekanligi haqidagi savol endi ko'tarilmaydi. Keling, butaning atrofida urmaylik, lekin to'g'ridan-to'g'ri trigonometrik misollarga o'tamiz.

1-misol.

Tenglamani yeching va segmentga tegishli ildizlarni toping.

Yechim:

Bizda nolga teng bo'lmasligi kerak bo'lgan maxraj bor! U holda bu tenglamani yechish sistemani yechish bilan bir xil bo'ladi

Keling, har bir tenglamani hal qilaylik:

Va endi ikkinchisi:

Endi seriyani ko'rib chiqamiz:

Bu variant bizga mos kelmasligi aniq, chunki bu holda bizning maxrajimiz nolga qaytariladi (ikkinchi tenglamaning ildizlari formulasiga qarang)

Agar, unda hamma narsa tartibda va maxraj nolga teng emas! U holda tenglamaning ildizlari quyidagicha bo'ladi: , .

Endi biz intervalga tegishli ildizlarni tanlaymiz.

	- mos emas	- mos keladi
	- mos keladi	- mos keladi
	haddan tashqari oshirib yuborish	haddan tashqari oshirib yuborish

Keyin ildizlar quyidagicha bo'ladi:

Ko'ryapsizmi, hatto maxraj ko'rinishidagi kichik buzilishning paydo bo'lishi ham tenglamaning echimiga sezilarli ta'sir ko'rsatdi: biz maxrajni bekor qiladigan bir qator ildizlarni tashladik. Agar siz mantiqiy bo'lmagan trigonometrik misollarga duch kelsangiz, ishlar yanada murakkablashishi mumkin.

2-misol.

Tenglamani yeching:

Yechim:

Xo'sh, hech bo'lmaganda siz ildizlarni olib tashlashingiz shart emas va bu yaxshi! Keling, birinchi navbatda, irratsionallikdan qat'i nazar, tenglamani yechamiz:

Xo'sh, hammasi shumi? Yo'q, afsuski, bu juda oson bo'lardi! Biz buni faqat eslashimiz kerak manfiy bo'lmagan raqamlar. Keyin:

Bu tengsizlikning yechimi:

Endi birinchi tenglamaning ildizlarining bir qismi tasodifan tengsizlik bajarilmaydigan joyga tugaydimi yoki yo'qligini aniqlash kerak.

Buning uchun siz yana jadvaldan foydalanishingiz mumkin:

	: , Lekin	Yo'q!
		Ha!
		Ha!

Shunday qilib, mening ildizlarimdan biri "tushib ketdi"! Agar siz uni qo'ysangiz, chiqadi. Keyin javobni quyidagicha yozish mumkin:

Javob:

Ko'ryapsizmi, ildiz yanada ko'proq e'tibor talab qiladi! Keling, buni yanada murakkablashtiraylik: endi u mening ildizim ostida tursin trigonometrik funktsiya.

3-misol.

Avvalgidek: avval har birini alohida hal qilamiz, keyin nima qilganimiz haqida o‘ylaymiz.

Endi ikkinchi tenglama:

Endi eng qiyin narsa - bu ish yoki yo'qligini aniqlash salbiy qiymatlar arifmetik ildiz ostida, agar u erda birinchi tenglamaning ildizlarini almashtirsak:

Raqamni radian deb tushunish kerak. Radian taxminan daraja bo'lganligi sababli, radyanlar darajalar tartibida. Bu ikkinchi chorakning burchagi. Ikkinchi chorak kosinusning belgisi nima? Minus. Sinus haqida nima deyish mumkin? Bundan tashqari. Xo'sh, ifoda haqida nima deyishimiz mumkin:

Bu noldan kam!

Bu tenglamaning ildizi emasligini anglatadi.

Endi vaqt keldi.

Keling, bu raqamni nol bilan taqqoslaylik.

Kotangent - 1 chorakda kamayuvchi funktsiya (argument qanchalik kichik bo'lsa, kotangens shunchalik katta bo'ladi). radianlar taxminan darajaga teng. Xuddi o'sha payt

buyon, keyin va shuning uchun
,

Javob: .

Bu yanada murakkablashishi mumkinmi? Iltimos! Agar ildiz hali ham trigonometrik funktsiya bo'lsa va tenglamaning ikkinchi qismi yana trigonometrik funktsiya bo'lsa, qiyinroq bo'ladi.

Trigonometrik misollar qanchalik ko'p bo'lsa, quyida ko'ring:

4-misol.

Ildiz cheklangan kosinus tufayli mos emas

Endi ikkinchisi:

Shu bilan birga, ildizning ta'rifi bo'yicha:

Biz birlik doirasini esga olishimiz kerak: ya'ni sinus noldan kichik bo'lgan choraklarni. Bu kvartallar nima? Uchinchi va to'rtinchi. Keyin biz uchinchi yoki to'rtinchi chorakda joylashgan birinchi tenglamaning echimlari bilan qiziqamiz.

Birinchi seriya uchinchi va to'rtinchi choraklarning kesishmasida yotgan ildizlarni beradi. Ikkinchi qator - diametrik ravishda unga qarama-qarshi - birinchi va ikkinchi chorak chegarasida yotgan ildizlarni keltirib chiqaradi. Shuning uchun bu seriya biz uchun mos emas.

Javob: ,

Va yana "qiyin irratsionallik" bilan trigonometrik misollar. Bizda nafaqat trigonometrik funktsiya yana ildiz ostida, balki endi u maxrajda ham bor!

5-misol.

Xo'sh, hech narsa qilish mumkin emas - biz avvalgidek qilamiz.

Endi biz maxraj bilan ishlaymiz:

Men trigonometrik tengsizlikni yechmoqchi emasman, shuning uchun men aqlli ish qilaman: ildizlar qatorimni tengsizlikka almashtiraman:

Agar - juft bo'lsa, bizda:

chunki ko'rishning barcha burchaklari to'rtinchi chorakda yotadi. Va yana muqaddas savol: to'rtinchi chorakda sinusning belgisi nima? Salbiy. Keyin tengsizlik

Agar - g'alati bo'lsa, unda:

Burchak qaysi chorakda joylashgan? Bu ikkinchi chorakning burchagi. Keyin barcha burchaklar yana ikkinchi chorakning burchaklaridir. U erdagi sinus ijobiydir. Sizga kerak bo'lgan narsa! Shunday qilib, seriya:

Mos keladi!

Biz ildizlarning ikkinchi seriyasi bilan xuddi shu tarzda ishlaymiz:

Biz tengsizlikni almashtiramiz:

Agar - hatto, keyin

Birinchi chorak burchaklari. U erda sinus ijobiy, ya'ni seriya mos keladi. Endi agar - g'alati bo'lsa, unda:

ham mos keladi!

Xo'sh, endi biz javobni yozamiz!

Javob:

Xo'sh, bu, ehtimol, eng ko'p mehnat talab qiladigan ish edi. Endi men sizga o'zingiz hal qiladigan muammolarni taklif qilaman.

Trening

1. Tenglamaning segmentga tegishli barcha ildizlarini yeching va toping.

Yechimlar:

1. 
   Birinchi tenglama:
   yoki
   Ildizning ODZ:

   Ikkinchi tenglama:

   Intervalga tegishli ildizlarni tanlash

   Javob:

Yoki
yoki
Lekin

Keling, ko'rib chiqaylik: . Agar - hatto, keyin
- mos kelmaydi!
Agar - g'alati bo'lsa,: - mos keladi!
Bu bizning tenglamamiz quyidagi ildiz qatoriga ega ekanligini anglatadi:
yoki
Intervalda ildizlarni tanlash:

	- mos emas	- mos keladi
	- mos keladi	- juda ko'p
	- mos keladi	ko'p

Javob: , .

Yoki
Demak, tangens aniqlanmagan. Biz bu ildizlar seriyasini darhol tashlaymiz!

Ikkinchi qism:

Shu bilan birga, DZga ko'ra, bu talab qilinadi

Birinchi tenglamada topilgan ildizlarni tekshiramiz:

Agar belgi:

Tangens musbat bo'lgan birinchi chorak burchaklar. Mos emas!
Agar belgi:

To'rtinchi chorak burchak. U erda tangens manfiy. Mos keladi. Javobni yozamiz:

Javob: , .

Biz ushbu maqolada murakkab trigonometrik misollarni birgalikda ko'rib chiqdik, ammo siz tenglamalarni o'zingiz hal qilishingiz kerak.

XULOSA VA ASOSIY FORMULALAR

Trigonometrik tenglama - bu noma'lum trigonometrik funktsiya belgisi ostida bo'lgan tenglama.

Trigonometrik tenglamalarni yechishning ikkita usuli mavjud:

Birinchi usul - formulalardan foydalanish.

Ikkinchi yo'l trigonometrik doiradan o'tadi.

Burchaklarni o'lchash, ularning sinuslari, kosinuslari va boshqalarni topish imkonini beradi.

Yakkaxonning ixtisoslashtirilgan darajasiga tayyorgarlik davlat imtihoni matematikada. Trigonometriya bo'yicha foydali materiallar, katta hajmdagi nazariy videoma'ruzalar, muammolarning video tahlillari va o'tgan yillardagi topshiriqlar tanlovi.

Foydali materiallar

Video to'plamlar va onlayn kurslar

Trigonometrik formulalar

Trigonometrik formulalarning geometrik tasviri

Ark funktsiyalari. Eng oddiy trigonometrik tenglamalar

Trigonometrik tenglamalar

1. Muammolarni hal qilish uchun zarur nazariya.
2. a) $7\cos^2 x - \cos x - 8 = 0$ tenglamasini yeching.
   b) Bu tenglamaning $\left[ -\dfrac(7\pi)(2) oralig'iga tegishli barcha ildizlarini toping; -\dfrac(3\pi)(2) \right]$.
3. a) $\dfrac(6)(\cos^2 x) - \dfrac(7)(\cos x) + 1 = 0$ tenglamasini yeching.
   b) Bu tenglamaning $\left[ -3\pi intervaliga tegishli barcha ildizlarini toping; -\pi \right]$.
4. $\sin\sqrt(16 - x^2) = \dfrac12$ tenglamasini yeching.
5. a) $2\cos 2x - 12\cos x + 7 = 0$ tenglamasini yeching.
   b) Bu tenglamaning $\left[ -\pi intervaliga tegishli barcha ildizlarini toping; \dfrac(5\pi)(2) \right]$.
6. a) $\dfrac(5)(\mathrm(tg)^2 x) - \dfrac(19)(\sin x) + 17 = 0$ tenglamasini yeching.
   
7. $\dfrac(2\cos^3 x + 3 \cos^2 x + \cos x)(\sqrt(\mathrm(ctg)x)) = 0$ tenglamasini yeching.
8. $\dfrac(\mathrm(tg)^3x - \mathrm(tg)x)(\sqrt(-\sin x)) = 0$ tenglamasini yeching.
9. 
   b) Bu tenglamaning $\left[ -\dfrac(5\pi)(2) oralig'iga tegishli barcha ildizlarini toping; -\pi \o'ng)$.
10. a) $\cos 2x = \sin\left(\dfrac(3\pi)(2) - x\right)$ tenglamasini yeching.
    b) Bu tenglamaning $\left[ \dfrac(3\pi)(2) oralig'iga tegishli barcha ildizlarini toping; \dfrac(5\pi)(2) \right]$.
11. a) $2\sin^2\left(\dfrac(3\pi)(2) + x\right) = \sqrt3\cos x$ tenglamasini yeching.
    b) Bu tenglamaning $\left[ -\dfrac(7\pi)(2) oralig'iga tegishli barcha ildizlarini toping; -2\pi \right]$.

Video vazifalarni tahlil qilish

b) $\left[ \sqrt(3) segmentiga tegishli bu tenglamaning barcha ildizlarini toping; \sqrt(20) \right]$.

b) $\left[ -\dfrac(9\pi)(2) segmentiga tegishli bu tenglamaning barcha ildizlarini toping; -3\pi \right]$.

b) $\left[ -\sqrt(3) segmentiga tegishli bu tenglamaning barcha ildizlarini toping; \sqrt(30) \right]$.

a) $\cos 2x = 1 - \cos\left(\dfrac(\pi)(2) - x\right)$ tenglamasini yeching.
b) Bu tenglamaning $\left[ -\dfrac(5\pi)(2) oralig'iga tegishli barcha ildizlarini toping; -\pi \o'ng)$.

a) $\cos^2 (\pi - x) - \sin \left(x + \dfrac(3\pi)(2) \right) = 0$ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $\left[\dfrac(5\pi)(2) oralig'iga tegishli barcha ildizlarini toping; 4\pi \right]$.

b) Ushbu tenglamaning $\left[\log_5 2 intervaliga tegishli barcha ildizlarini toping; \log_5 20 \right]$.

a) $8 \sin^2 x + 2\sqrt(3) \cos \left(\dfrac(3\pi)(2) - x\right) = 9$ tenglamasini yeching.
b) Bu tenglamaning $\left[- \dfrac(5\pi)(2) intervaliga tegishli barcha ildizlarini toping; -\pi \right]$.

a) $2\log_3^2 (2 \cos x) - 5\log_3 (2 \cos x) + 2 = 0$ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $\left[\pi intervaliga tegishli barcha ildizlarini toping; \dfrac(5\pi)(2) \right]$.

a) $\left(\dfrac(1)(49) \right)^(\sin x) = 7^(2 \sin 2x)$ tenglamasini yeching.
b) Ushbu tenglamaning $\left[\dfrac(3\pi)(2) oralig'iga tegishli barcha ildizlarini toping; 3\pi \right]$.

a) $\sin x + \left(\cos \dfrac(x)(2) - \sin \dfrac(x)(2)\right)\left(\cos \dfrac(x)(2) tenglamasini yeching. + \sin \dfrac(x)(2)\right) = 0$.
b) Ushbu tenglamaning $\left[\pi intervaliga tegishli barcha ildizlarini toping; \dfrac(5\pi)(2)\right]$.

a) $\log_4 (\sin x + \sin 2x + 16) = 2$ tenglamasini yeching.
b) Bu tenglamaning $\left[ -4\pi intervaliga tegishli barcha ildizlarini toping; -\dfrac(5\pi)(2) \right]$.

O'tgan yillardagi topshiriqlar tanlovi

1. a) $\dfrac(\sin x)(\sin^2\dfrac(x)(2)) = 4\cos^2\dfrac(x)(2)$ tenglamasini yeching.
   b) $\left[ -\dfrac(9\pi)(2) segmentiga tegishli bu tenglamaning barcha ildizlarini toping; -3\pi \right]$. (Yagona davlat imtihoni 2018. Erta to'lqin)
2. a) $\sqrt(x^3 - 4x^2 - 10x + 29) = 3 - x$ tenglamasini yeching.
   b) $\left[ -\sqrt(3) segmentiga tegishli bu tenglamaning barcha ildizlarini toping; \sqrt(30) \right]$. (FOYDALANISH 2018. Erta to'lqin, zahira kuni)
3. a) $2 \sin^2 x + \sqrt2 \sin \left(x + \dfrac(\pi)(4)\right) = \cos x $ tenglamasini yeching.
   b) Bu tenglamaning $\left[ -2\pi segmentiga tegishli barcha ildizlarini toping; -\dfrac(\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Asosiy to'lqin)
4. a) $\sqrt6 \sin^2 x + \cos x = 2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(6) \right)$ tenglamasini yeching.
   b) $\left[ 3\pi segmentiga tegishli bu tenglamaning barcha ildizlarini toping; \dfrac(9\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Asosiy to'lqin)
5. a) $\sin x + 2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(6) \right) = \sqrt3 \sin 2x + 1$ tenglamasini yeching.
   b) $\left[ -\dfrac(7\pi)(2) segmentiga tegishli bu tenglamaning barcha ildizlarini toping; -2\pi \right]$. (USE-2018. Asosiy to'lqin)
6. a) $\cos^2 x + \sin x = \sqrt2 \sin\left(x + \dfrac(\pi)(4) \right)$ tenglamasini yeching.
   b) Bu tenglamaning $\left[ -4\pi segmentiga tegishli barcha ildizlarini toping; -\dfrac(5\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Asosiy to'lqin)
7. a) $2 \sin\left(2x + \dfrac(\pi)(3) \right) - \sqrt(3) \sin x = \sin 2x + \sqrt3$ tenglamasini yeching.
   
8. a) $2\sqrt3 \sin\left(x + \dfrac(\pi)(3) \right) - \cos 2x = 3\cos x - 1$ tenglamasini yeching.
   b) $\left[ 2\pi segmentiga tegishli bu tenglamaning barcha ildizlarini toping; \dfrac(7\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Asosiy to'lqin)
9. a) $2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(6) \right) - \cos x = \sqrt3\sin 2x - 1$ tenglamasini yeching.
   b) $\left[ \dfrac(5\pi)(2) segmentiga tegishli bu tenglamaning barcha ildizlarini toping; 4\pi \right]$. (USE-2018. Asosiy to'lqin)
10. a) $\sqrt2\sin\left(\dfrac(\pi)(4) + x \right) + \cos 2x = \sin x - 1$ tenglamasini yeching.
    b) $\left[ \dfrac(7\pi)(2) segmentiga tegishli bu tenglamaning barcha ildizlarini toping; 5\pi \right]$. (USE-2018. Asosiy to'lqin)
11. a) $\sqrt2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(4) \right) + \sqrt2\cos x = \sin 2x - 1$ tenglamasini yeching.
    b) $\left[ -\dfrac(5\pi)(2) segmentiga tegishli bu tenglamaning barcha ildizlarini toping; -\pi \right]$. (USE-2018. Asosiy to'lqin)
12. a) $2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(3) \right) + \cos 2x = \sqrt3\cos x + 1$ tenglamasini yeching.
    b) $\left[ -3\pi segmentiga tegishli bu tenglamaning barcha ildizlarini toping; -\dfrac(3\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Asosiy to'lqin)
13. 
    b) $\left[ \pi segmentiga tegishli bu tenglamaning barcha ildizlarini toping; \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Asosiy to'lqin)
14. 
    
15. a) $2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(4) \right) + \cos 2x = \sqrt2\cos x + 1$ tenglamasini yeching.
    b) $\left[ \pi segmentiga tegishli bu tenglamaning barcha ildizlarini toping; \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (FOYDALANISH 2018. Asosiy to'lqin, zahira kuni)
16. a) $2\cos x - \sqrt3 \sin^2 x = 2\cos^3 x$ tenglamasini yeching.
    b) $\left[ -\dfrac(7\pi)(2) segmentiga tegishli bu tenglamaning barcha ildizlarini toping; -2\pi \right]$. (FOYDALANISH 2018. Asosiy to'lqin, zahira kuni)
17. a) $2\cos x + \sin^2 x = 2\cos^3 x$ tenglamani yeching.
    b) $\left[ -\dfrac(9\pi)(2) segmentiga tegishli bu tenglamaning barcha ildizlarini toping; -3\pi \right]$. (FOYDALANISH 2018. Asosiy to'lqin, zahira kuni)
18. a) $2\sqrt2\sin \left(x + \dfrac(\pi)(3)\right) + 2\cos^2 x = 2 + \sqrt6 \cos x$ tenglamasini yeching.
    b) $\left[ -3\pi segmentiga tegishli bu tenglamaning barcha ildizlarini toping; -\dfrac(3\pi)(2) \right]$. (FOYDALANISH 2018. Asosiy to'lqin, zahira kuni)
19. a) $x - 3\sqrt(x - 1) + 1 = 0$ tenglamani yeching.
    b) $\left[ \sqrt(3) segmentiga tegishli bu tenglamaning barcha ildizlarini toping; \sqrt(20) \right]$. (FOYDALANISH 2018. Asosiy to'lqin, zahira kuni)
20. a) $2x\cos x - 8\cos x + x - 4 = 0$ tenglamani yeching.
    b) Ushbu tenglamaning $\left[ -\dfrac(\pi)(2);\ \pi \right]$ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (USE 2017, asosiy to'lqin, zahira kuni)
21. a) $\log_3 (x^2 - 2x) = 1$ tenglamasini yeching.
    b) Ushbu tenglamaning $\left[ \log_2 0(,)2;\ \log_2 5 \right]$ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (USE 2017, asosiy to'lqin, zahira kuni)
22. a) $\log_3 (x^2 - 24x) = 4$ tenglamasini yeching.
    b) Ushbu tenglamaning $\left[ \log_2 0(,)1;\ 12\sqrt(5) \right]$ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (USE 2017, asosiy to'lqin, zahira kuni)
23. a) $0(,)4^(\sin x) + 2(,)5^(\sin x) = 2$ tenglamani yeching.
    b) Ushbu tenglamaning $\left[ 2\pi;\ \dfrac(7\pi)(2) \right]$ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (USE-2017, asosiy to'lqin)
24. a) $\log_8 \left(7\sqrt(3) \sin x - \cos 2x - 10\right) = 0$ tenglamasini yeching.
    b) Ushbu tenglamaning $\left[ \dfrac(3\pi)(2);\ 3\pi \right]$ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (USE-2017, asosiy to'lqin)
25. a) $\log_4 \left(2^(2x) - \sqrt(3) \cos x - 6\sin^2 x\right) = x$ tenglamasini yeching.
    b) Ushbu tenglamaning $\left[ \dfrac(5\pi)(2);\ 4\pi \right]$ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (USE-2017, asosiy to'lqin)
26. a) $2\log_2^2 \left(\sin x\right) - 5 \log_2 \left(\sin x\right) - 3 = 0$ tenglamasini yeching.
    b) Ushbu tenglamaning $\left[ - 3\pi;\ - \dfrac(3\pi)(2) \right]$ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (USE-2017, asosiy to'lqin)
27. a) $81^(\cos x) - 12\cdot 9^(\cos x) + 27 = 0$ tenglamasini yeching.
    b) Ushbu tenglamaning $\left[ - 4\pi;\ - \dfrac(5\pi)(2) \right]$ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (USE-2017, asosiy to'lqin)
28. a) $8^x - 9 \cdot 2^(x + 1) + 2^(5 - x) = 0$ tenglamasini yeching.
    b) Ushbu tenglamaning $\left[ \log_5 2;\ \log_5 20 \right]$ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (USE 2017, erta to'lqin)
29. a) $2\log^2_9 x - 3 \log_9 x + 1 = 0$ tenglamasini yeching.
    b) Ushbu tenglamaning $\left[ \sqrt(10);\ \sqrt(99) \right]$ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (USE-2016, asosiy to'lqin, zahira kuni)
30. a) $6\log^2_8 x - 5 \log_8 x + 1 = 0$ tenglamani yeching.
    b) Ushbu tenglamaning $\left[ 2;\ 2(,)5 \right]$ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (USE-2016, asosiy to'lqin, zahira kuni)
31. a) $\sin 2x = 2\sin x + \sin \left(x + \dfrac(3\pi)(2) \right) + 1$ tenglamasini yeching.
    b) Ushbu tenglamaning $\left[ -4\pi;\ -\dfrac(5\pi)(2) \right]$ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (USE 2016, asosiy to'lqin, zahira kuni)
32. a) $2\cos^2 x + 1 = 2\sqrt(2) \cos \left(\dfrac(3\pi)(2) - x \right)$ tenglamasini yeching.
    b) Ushbu tenglamaning $\left[ \dfrac(3\pi)(2);\ 3\pi \right]$ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (USE-2016, asosiy to'lqin)
33. a) $2\log^2_2 (2\cos x) - 9 \log_2 (2\cos x) + 4 = 0$ tenglamasini yeching.
    b) Ushbu tenglamaning $\left[ -2\pi;\ -\dfrac(\pi)(2) \right]$ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (USE-2016, asosiy to'lqin)
34. a) $8^x - 7 \cdot 4^x - 2^(x + 4) + 112 = 0$ tenglamasini yeching.
    b) Ushbu tenglamaning $\left[ \log_2 5;\ \log_2 11 \right]$ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (Yagona davlat imtihoni 2016, erta to'lqin)
35. a) $\cos 2x + \cos^2 \left(\dfrac(3\pi)(2) - x \right) = 0,25$ tenglamasini yeching.
    b) Ushbu tenglamaning $\left[ -4\pi;\ -\dfrac(5\pi)(2) \right]$ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (Yagona davlat imtihoni 2016, erta to'lqin)
36. a) $\dfrac(13\sin^2 x - 5\sin x)(13\cos x + 12) = 0$ tenglamani yeching.
    b) Ushbu tenglamaning $\left[ -3\pi;\ -\dfrac(3\pi)(2) \right]$ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (Yagona davlat imtihoni 2016, erta to'lqin)
37. a) $\dfrac(\sin2x)(\sin\left(\dfrac(7\pi)(2) - x \right)) = \sqrt(2)$ tenglamasini yeching.
    b) Ushbu tenglamaning $\left$ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (USE-2015, asosiy to'lqin)
38. a) $4 \sin^2 x = \mathrm(tg) x$ tenglamasini yeching.
    b) Ushbu tenglamaning $\left[ - \pi;\ 0\right]$ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (USE-2015, asosiy to'lqin)
39. a) $3\cos 2x - 5\sin x + 1 = 0$ tenglamasini yeching.
    b) Ushbu tenglamaning $\left[ \pi;\ \dfrac(5\pi)(2)\right]$ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (USE-2015, asosiy to'lqin)
40. a) $\cos 2x - 5\sqrt(2)\cos x - 5 = 0$ tenglamasini yeching.
    b) Ushbu tenglamaning $\left[ -3\pi;\ -\dfrac(3\pi)(2)\right]$ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (USE-2015, asosiy to'lqin)
41. a) $\sin 2x + \sqrt(2) \sin x = 2\cos x + \sqrt(2)$ tenglamasini yeching.
    b) Ushbu tenglamaning $\left[ \pi;\ \dfrac(5\pi)(2)\right]$ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (Yagona davlat imtihoni 2015, erta to'lqin)
42. a) $2\cos^3 x - \cos^2 x + 2\cos x - 1 = 0$ tenglamasini yeching.
    b) Ushbu tenglamaning $\left[ 2\pi;\ \dfrac(7\pi)(2)\right]$ segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating. (Yagona davlat imtihoni 2015, erta to'lqin)
43. a) $\mathrm(tg)^2 x + (1 + \sqrt(3)) \mathrm(tg) x + \sqrt(3) = 0$ tenglamasini yeching.
    b) $\left[ \dfrac(5\pi)(2) segmentiga tegishli bu tenglamaning ildizlarini ko'rsating; \4\pi\o'ng]$. (USE-2014, asosiy to'lqin)
44. a) $2\sqrt(3) \cos^2\left(\dfrac(3\pi)(2) + x\right) - \sin 2x = 0$ tenglamasini yeching.
    b) $\left[ \dfrac(3\pi)(2) segmentiga tegishli bu tenglamaning ildizlarini ko'rsating; \3\pi\right]$. (USE-2014, asosiy to'lqin)
45. a) $\cos 2x + \sqrt(2) \sin\left(\dfrac(\pi)(2) + x\right) + 1 = 0$ tenglamasini yeching.
    b) Ushbu tenglamaning $\left[ -3\pi segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating; \ -\ dfrac (3 \ pi) (2) \ o'ng] $. (USE-2014, asosiy to'lqin)
46. a) $-\sqrt(2) \sin\left(-\dfrac(5\pi)(2) + x\right) \cdot \sin x = \cos x$ tenglamasini yeching.
    b) $\left[ \dfrac(9\pi)(2) segmentiga tegishli bu tenglamaning ildizlarini ko'rsating; \6\pi\right]$. (USE-2014, erta to'lqin)
47. a) $\sin 2x = \sin\left(\dfrac(\pi)(2) + x\right)$ tenglamasini yeching.
    b) $\left[ -\dfrac(7\pi)(2) segmentiga tegishli bu tenglamaning ildizlarini ko'rsating; \ -\ dfrac (5 \ pi) (2) \ o'ng] $. (USE-2013, asosiy to'lqin)
48. a) $6\sin^2 x + 5\sin\left(\dfrac(\pi)(2) - x\right) - 2 = 0$ tenglamasini yeching.
    b) Ushbu tenglamaning $\left[ -5\pi segmentiga tegishli ildizlarini ko'rsating; \ - \dfrac(7\pi)(2)\right]$. (USE-2012, ikkinchi to'lqin)

A) 2(\sin x-\cos x)=tgx-1 tenglamani yeching.

b) \left[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \right].

Yechimni ko'rsatish

Yechim

A) Qavslarni ochib, barcha hadlarni chap tomonga siljitsak, 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0 tenglamani olamiz. \cos x \neq 0, 2 \sin x atamasi 2 tan x \cos x bilan almashtirilishi mumkinligini hisobga olib, tenglamani olamiz. 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0,

1) uni guruhlash orqali (1-tg x)(1-2 \cos x)=0 ko'rinishga keltirish mumkin. 1-tg x=0, tan x=1,

2) x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z; 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12,

b) x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z. Raqamli doiradan foydalanib, intervalga tegishli ildizlarni tanlang

\left[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \right].

x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi )4,

x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi )3,

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

A) Javob \frac\pi 4+\pi n,

b) \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )3, \frac(7\pi )3,

\frac(9\pi )4.

A) Vaziyat Tenglamani yeching

b)(2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0. Ushbu tenglamaning intervalga tegishli ildizlarini ko'rsating

Yechimni ko'rsatish

Yechim

A)\left(0;\,\frac(3\pi )2\right] ; ODZ:

ODZdagi dastlabki tenglama tenglamalar to'plamiga teng

\left[\!\!\begin(massiv)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end (massiv)\o'ng.

Birinchi tenglamani yechamiz. Buning uchun biz almashtirishni amalga oshiramiz \cos 4x=t, t \in [-1; 1]. Keyin \sin^24x=1-t^2.

Biz olamiz:

2(1-t^2)-3t=0,

2t^2+3t-2=0, t_1=\frac12,

t_2=-2, t_2\notin [-1; 1].

\cos 4x=\frac12,

4x=\pm\frac\pi 3+2\pi n,

x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.

Ikkinchi tenglamani yechamiz.

tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.

Birlik doirasidan foydalanib, biz ODZni qanoatlantiradigan echimlarni topamiz.

“+” belgisi 1 va 3 choraklarni belgilaydi, bunda tg x>0. Biz quyidagilarni olamiz: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z;

b) x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z. Intervalga tegishli ildizlarni topamiz

\left(0;\,\frac(3\pi )2\right]. x =\ frac \ pi (12), x=\frac(5\pi )(12); x=\pi ; x=\frac(13\pi )(12);

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

A) x=\frac(17\pi )(12). \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z;

b) \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z. \pi; \frac\pi (12); \frac(5\pi )(12); \frac(13\pi )(12);

\frac(17\pi )(12). Manba: “Matematika. Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik 2017. Profil darajasi

\frac(9\pi )4.

A)" Ed. F. F. Lisenko, S. Yu. Tenglamani yeching:

b)\cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3; Intervalga tegishli barcha ildizlarni sanab o'ting

Yechimni ko'rsatish

Yechim

A)\left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\o'ng]. Chunki\sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, Bu\sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6,

Demak, berilgan tenglama \cos^2x=\cos ^22x tenglamasiga ekvivalent bo'lib, u o'z navbatida \cos^2x-\cos ^2 2x=0 tenglamasiga ekvivalentdir. Lekin \cos ^2x-\cos ^22x=(\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x)

Va

\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, shuning uchun tenglama shaklni oladi(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot

(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,

(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.

Keyin yo 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, yoki 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.

Birinchi tenglamani \cos x uchun kvadrat tenglama sifatida yechib, biz quyidagilarga erishamiz:(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4. Shuning uchun yo \cos x=1 yoki\cos x=-\frac12. Agar \cos x=1, u holda x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Agar\sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, \cos x=-\frac12,

x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi , s \in \mathbb Z. Xuddi shunday, ikkinchi tenglamani yechishda biz \cos x=-1 yoki olamiz\cos x=\frac12. Agar \cos x=-1 bo'lsa, unda ildizlar x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z. Agar\sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, \cos x=\frac12,

x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.

Olingan echimlarni birlashtiramiz: x=m\pi , m \in \mathbb Z;

b) Raqamli aylana yordamida berilgan oraliqda joylashgan ildizlarni tanlaymiz.

Biz olamiz: x_1 =\frac(11\pi )3, x_2=4\pi , x_3 =\frac(13\pi )3.

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

A) m\pi, m\in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;

b) \frac(11\pi )3, 4\pi , \frac(13\pi )3.

Manba: “Matematika. Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik 2017. Profil darajasi." Ed. F. F. Lisenko, S. Yu.

\frac(9\pi )4.

A) Vaziyat 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi )2-x\right) )(1+tgx).

b) Ushbu tenglamaning intervalga tegishli ildizlarini ko'rsating \left(-2\pi ; -\frac(3\pi )2\o'ng).

Yechimni ko'rsatish

Yechim

A) 1. Qisqartirish formulasiga ko'ra, ctg\left(\frac(3\pi )2-x\right) =tgx. Tenglamani aniqlash sohasi x ning shunday qiymatlari bo'ladiki, \cos x \neq 0 va tan x \neq -1. Ikki burchakli kosinus formulasi yordamida tenglamani o'zgartiramiz 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Biz tenglamani olamiz:

5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx). Shu esta tutilsinki \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx), shuning uchun tenglama quyidagicha bo'ladi: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx). Bu yerdan \cos x =\frac(\dfrac65)(1+tgx),

\cos x+\sin x =\frac65. 2. Qaytarilish formulasi va kosinuslar yig‘indisi formulasidan foydalanib \sin x+\cos x ni o‘zgartiring: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\o'ng), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\o'ng)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\o'ng) =

\ frac65. Bu yerdan\cos \left(x-\frac\pi 4\o'ng) =\frac(3\sqrt 2)5. Ma'nosi, x-\frac\pi 4=

arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z, Ma'nosi, yoki

-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z. Shunung uchun

arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z, x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,

x =\frac\pi 4-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

b) Topilgan x qiymatlari ta'rif sohasiga tegishli. Avval k=0 va t=0 da tenglamaning ildizlari qayerga tushishini aniqlaymiz. Bular mos ravishda raqamlar bo'ladi a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5

Va

b=\frac\pi 4-arccos \frac(3\sqrt 2)5.<\frac{3\sqrt 2}2<1.

1. Yordamchi tengsizlikni isbotlaymiz: \frac(\sqrt 2)(2)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.

Haqiqatan ham, \frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10)<1^2=1, Shuni ham e'tiborga oling \left(\frac(3\sqrt 2)5\o'ng) ^2=\frac(18)(25)<1.

anglatadi (1) \frac(3\sqrt 2)5

2. Tengsizliklardan

0

\ frac65. Ark kosinus xususiyati bo'yicha biz quyidagilarni olamiz:<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,

0

arccos 1 \frac\pi 4+0

Xuddi shunday,<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5< -\frac\pi 4<\frac\pi 2,

0

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4

\frac\pi 4 k=-1 va t=-1 uchun a-2\pi va b-2\pi tenglamaning ildizlarini olamiz.\Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg).

Xuddi o'sha payt -2\pi 2\pi

K va t ning boshqa qiymatlari uchun tenglamaning ildizlari berilgan intervalga tegishli emas.

Darhaqiqat, agar k\geqslant 1 va t\geqslant 1 bo'lsa, unda ildizlar 2\pi dan katta bo'ladi. Agar k\leqslant -2 va t\leqslant -2 bo'lsa, u holda ildizlar kichikroq bo'ladi.

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

A) -\frac(7\pi )2.

b) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

Manba: “Matematika. Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik 2017. Profil darajasi." Ed. F. F. Lisenko, S. Yu.

\frac(9\pi )4.

A) Vaziyat -\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5.

b)\sin \left(\frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x).

Yechimni ko'rsatish

Yechim

A) Ushbu tenglamaning intervalga tegishli barcha ildizlarini toping;

Keling, tenglamani o'zgartiramiz:

\cos x =-\sin 2x,

\cos x+2 \sin x \cos x=0,

\cos x(1+2 \sin x)=0,

\cos x=0,

x =\frac\pi 2+\pi n, n\in \mathbb Z;

1+2 \sin x=0,

\sin x=-\frac12,

b) x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z.

Birlik doirasi yordamida segmentga tegishli ildizlarni topamiz. Ko'rsatilgan intervalda bitta raqam mavjud

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

A) \frac\pi 2. \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z;

b) Ko'rsatilgan intervalda bitta raqam mavjud

Manba: “Matematika. Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik 2017. Profil darajasi." Ed. F. F. Lisenko, S. Yu.

\frac(9\pi )4.

(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z;

DZ ga kiritilmagan. Ma'nosi,

\sin x \neq 1. Tenglamaning ikkala tomonini koeffitsientga bo'ling(\sin x-1), noldan farq qiladi. Biz tenglamani olamiz\frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)), yoki tenglama 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x). Chap tomonda kamaytirish formulasini va o'ng tomonda kamaytirish formulasini qo'llash orqali biz tenglamani olamiz. 2 \cos ^2 x=1-\cos x. Bu tenglama almashtirish orqali\cos x=t, Qayerda-1 \leqslant t \leqslant 1 kvadratga kamaytiring: 2t^2+t-1=0, kimning ildizlari Bular mos ravishda raqamlar bo'ladi t_1=-1 t_2=\frac12. X o'zgaruvchisiga qaytsak, biz olamiz\cos x = \frac12 yoki\cos x=-1, qayerda x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k,

b) k \in \mathbb Z.

Keling, tengsizliklarni hal qilaylik

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,

2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,) 3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , m, x=\pi +2\pi k,

1) n, -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m\leqslant -\ frac56 ,

-\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12)..

2) \left [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\o'ng] -\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12, -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6),

-\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12). Diapazonda butun sonlar mavjud emas

3) \left[ -\frac7(12) ; -\frac1(12)\o'ng]. -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi )2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.

Bu tengsizlik k=-1, keyin x=-\pi bilan qanoatlantiriladi.

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

A) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, 3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , m, k \in \mathbb Z;

b) -\pi .

Muammoingizning batafsil yechimiga buyurtma berishingiz mumkin!!!

Trigonometrik funksiya (`sin x, cos x, tan x` yoki `ctg x`) belgisi ostida noma`lumni o`z ichiga olgan tenglik trigonometrik tenglama deyiladi va biz ularning formulalarini keyinroq ko`rib chiqamiz.

Eng oddiy tenglamalar `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a` deb ataladi, bu erda `x` - topiladigan burchak, `a` - istalgan son. Keling, ularning har biri uchun ildiz formulalarini yozamiz.

1. `sin x=a` tenglama.

`|a|>1` uchun uning yechimlari yo'q.

Qachon `|a| \leq 1` cheksiz sonli yechimlarga ega.

Ildiz formulasi: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. `cos x=a` tenglama

`|a|>1` uchun - sinus holatida bo'lgani kabi, haqiqiy sonlar orasida yechimlari yo'q.

Qachon `|a| \leq 1` cheksiz sonli yechimlarga ega.

Ildiz formulasi: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Grafiklarda sinus va kosinus uchun maxsus holatlar.

3. `tg x=a` tenglama

Har qanday `a` qiymatlari uchun cheksiz ko'p echimlarga ega.

Ildiz formulasi: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. `ctg x=a` tenglama

Shuningdek, "a" ning har qanday qiymatlari uchun cheksiz ko'p echimlar mavjud.

Ildiz formulasi: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Jadvaldagi trigonometrik tenglamalarning ildizlari uchun formulalar

Sinus uchun:
Kosinus uchun:
Tangens va kotangens uchun:
Teskari trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan tenglamalarni yechish formulalari:

Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari

Har qanday trigonometrik tenglamani yechish ikki bosqichdan iborat:

• uni eng oddiyga aylantirish yordamida;
• yuqorida yozilgan ildiz formulalari va jadvallar yordamida olingan eng oddiy tenglamani yeching.

Keling, misollar yordamida asosiy yechim usullarini ko'rib chiqaylik.

Algebraik usul.

Bu usul o'zgaruvchini almashtirish va uni tenglikka almashtirishni o'z ichiga oladi.

Misol. Tenglamani yeching: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

almashtiring: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, keyin `2y^2-3y+1=0`,

biz ildizlarni topamiz: `y_1=1, y_2=1/2`, undan ikkita holat kelib chiqadi:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Javob: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizatsiya.

Misol. Tenglamani yeching: `sin x+cos x=1`.

Yechim. Tenglikning barcha shartlarini chapga siljiymiz: `sin x+cos x-1=0`. dan foydalanib, biz chap tomonni aylantiramiz va faktorlarga ajratamiz:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Javob: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Bir jinsli tenglamaga keltirish

Birinchidan, ushbu trigonometrik tenglamani ikkita shakldan biriga qisqartirishingiz kerak:

`a sin x+b cos x=0` (birinchi darajali bir jinsli tenglama) yoki `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ikkinchi darajali bir jinsli tenglama).

Keyin ikkala qismni birinchi holat uchun "cos x \ne 0" ga, ikkinchisi uchun "cos^2 x \ne 0" ga bo'ling. Biz `tg x` uchun tenglamalarni olamiz: `a tg x+b=0` va `a tg^2 x + b tg x +c =0`, ularni ma'lum usullar yordamida yechish kerak.

Misol. Tenglamani yeching: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Yechim. O'ng tomonni `1=sin^2 x+cos^2 x` shaklida yozamiz:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Bu ikkinchi darajali bir hil trigonometrik tenglama bo'lib, biz uning chap va o'ng tomonlarini `cos^2 x \ne 0` ga ajratamiz, biz quyidagilarni olamiz:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. `t^2 + t - 2=0` ga olib keladigan `tg x=t` almashtirishni kiritamiz. Bu tenglamaning ildizlari `t_1=-2` va `t_2=1`. Keyin:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Javob. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Yarim burchakka o'tish

Misol. Tenglamani yeching: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Yechim. Ikki burchakli formulalarni qo‘llaymiz, natijada: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Yuqorida tavsiflangan algebraik usulni qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Javob. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Yordamchi burchakning kiritilishi

`a sin x + b cos x =c` trigonometrik tenglamada a,b,c koeffitsientlar va x o'zgaruvchi bo'lib, ikkala tomonni `sqrt (a^2+b^2)` ga bo'ling:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Chap tarafdagi koeffitsientlar sinus va kosinus xossalariga ega, ya'ni kvadratlari yig'indisi 1 ga teng, modullari esa 1 dan katta emas. Ularni quyidagicha belgilaymiz: `\frac a(sqrt (a^2). +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, keyin:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Keling, quyidagi misolni batafsil ko'rib chiqaylik:

Misol. Tenglamani yeching: `3 sin x+4 cos x=2`.

Yechim. Tenglikning ikkala tomonini `sqrt (3^2+4^2)` ​​ga ajratsak, biz quyidagilarga erishamiz:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt) (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` ni belgilaymiz. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` bo`lgani uchun yordamchi burchak sifatida `\varphi=arcsin 4/5` ni olamiz. Keyin tengligimizni quyidagi shaklda yozamiz:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Sinus uchun burchaklar yig'indisi formulasini qo'llagan holda, biz tengligimizni quyidagi shaklda yozamiz:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Javob. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Kasrli ratsional trigonometrik tenglamalar

Bular soni va maxraji trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan kasrlar bilan tenglikdir.

Misol. Tenglamani yeching. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Yechim. Tenglikning o'ng tomonini `(1+cos x)` ga ko'paytiring va bo'ling. Natijada biz quyidagilarni olamiz:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Maxraj nolga teng bo'lmasligini hisobga olsak, Z`da `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \ni olamiz.

Kasrning ayiruvchisini nolga tenglashtiramiz: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Keyin `sin x=0` yoki `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` ekanligini hisobga olsak, yechimlar `x=2\pi n, n \da Z` va `x=\pi /2+2\pi n` bo`ladi. , `n \in Z`.

Javob. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometriya, xususan, trigonometrik tenglamalar geometriya, fizika va texnikaning deyarli barcha sohalarida qo'llaniladi. O'qish 10-sinfda boshlanadi, har doim yagona davlat imtihoniga topshiriqlar mavjud, shuning uchun trigonometrik tenglamalarning barcha formulalarini eslab qolishga harakat qiling - ular sizga albatta foydali bo'ladi!

Biroq, ularni eslab qolishning hojati yo'q, asosiysi, mohiyatini tushunish va uni chiqarib olishdir. Bu ko'rinadigan darajada qiyin emas. Videoni tomosha qilib o'zingiz ko'ring.