Lagranj konstantalarini o'zgartirish usuli bilan doimiy koeffitsientli yuqori tartibli chiziqli bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamalarni yechish usuli ko'rib chiqiladi. Lagranj usuli, agar asosiy yechimlar tizimi ma'lum bo'lsa, har qanday chiziqli bir hil bo'lmagan tenglamalarni echishda ham qo'llaniladi. bir jinsli tenglama.

Tarkib

Shuningdek qarang:

Lagrange usuli (konstantalarni o'zgartirish)

Ixtiyoriy n-tartibli doimiy koeffitsientli chiziqli bir jinsli differensial tenglamani ko'rib chiqing:
(1) .
Birinchi tartibli tenglama uchun biz ko'rib chiqqan doimiyni o'zgartirish usuli yuqori tartibli tenglamalar uchun ham qo'llaniladi.

Yechim ikki bosqichda amalga oshiriladi. Birinchi bosqichda biz o'ng tomonni olib tashlaymiz va bir hil tenglamani echamiz. Natijada n ixtiyoriy konstantadan iborat yechimga erishamiz. Ikkinchi bosqichda biz konstantalarni o'zgartiramiz. Ya'ni, bu konstantalar x mustaqil o'zgaruvchining funksiyalari ekanligiga ishonamiz va bu funksiyalarning shaklini topamiz.

Garchi biz bu erda doimiy koeffitsientli tenglamalarni ko'rib chiqsak ham, lekin Lagranj usuli har qanday chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamalarni yechishda ham qo'llaniladi. Buning uchun esa bir jinsli tenglamaning asosiy yechimlar sistemasi ma'lum bo'lishi kerak.

1-bosqich. Bir jinsli tenglamani yechish

Birinchi tartibli tenglamalarda bo'lgani kabi, biz birinchi navbatda bir jinsli tenglamaning o'ng tomonini nolga tenglashtirib, umumiy yechimni qidiramiz:
(2) .
Bu tenglamaning umumiy yechimi:
(3) .
Bu erda ixtiyoriy doimiylar; - bir xil (2) tenglamaning n chiziqli mustaqil yechimlari, bu tenglamaning asosiy yechimlar tizimini tashkil qiladi.

Qadam 2. Konstantalarni o'zgartirish - konstantalarni funksiyalar bilan almashtirish

Ikkinchi bosqichda biz konstantalarning o'zgarishi bilan shug'ullanamiz. Boshqacha qilib aytganda, biz doimiylarni mustaqil x o'zgaruvchining funktsiyalari bilan almashtiramiz:
.
Ya'ni, biz (1) asl tenglamaning yechimini quyidagi shaklda qidiramiz:
(4) .

Agar (4) ni (1) ga almashtirsak, n ta funksiya uchun bitta differensial tenglamani olamiz.

Bunday holda, biz ushbu funktsiyalarni qo'shimcha tenglamalar bilan bog'lashimiz mumkin. Keyin siz n ta funktsiyani aniqlash mumkin bo'lgan n ta tenglama olasiz.
.
Qo'shimcha tenglamalar turli yo'llar bilan yozilishi mumkin. Ammo biz buni yechim eng oddiy shaklga ega bo'lishi uchun qilamiz. Buning uchun farqlashda funksiyalarning hosilalarini o'z ichiga olgan atamalarni nolga tenglashtirish kerak.

.
Keling, buni namoyish qilaylik.
(5.1) .
Taklif etilayotgan yechimni (4) asl tenglamaga (1) almashtirish uchun (4) shaklda yozilgan funksiyaning birinchi n ta tartibli hosilalarini topishimiz kerak. Yig'indi va hosilani farqlash qoidalaridan foydalanib (4) farqlaymiz:
(6.1) .

Keling, a'zolarni guruhlaymiz. Birinchidan, ning hosilalari bilan atamalarni, keyin esa hosilalari bilan atamalarni yozamiz:

.
Funktsiyalarga birinchi shartni qo'yamiz:
(5.2) .
Shunda ga nisbatan birinchi hosila ifodasi soddaroq shaklga ega bo‘ladi:
(6.2) .
Xuddi shu usuldan foydalanib, biz ikkinchi hosilani topamiz:

Funktsiyalarga ikkinchi shart qo'yaylik:
Keyin ,
Va hokazo. Qo'shimcha shartlarda funksiya hosilalarini o'z ichiga olgan atamalarni nolga tenglashtiramiz.
Shunday qilib, funktsiyalar uchun quyidagi qo'shimcha tenglamalarni tanlasak: .
(5.k)

u holda birinchi hosilalar eng oddiy shaklga ega bo'ladi:
(6,k)
.

Bu yerga .
(1) ;






.
n-chi hosilani toping:
.
(6.n)
(7) .

Dastlabki tenglamaga (1) almashtiring:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
Barcha funksiyalar (2) tenglamani qanoatlantirishini hisobga olamiz: ;
Keyin nolni o'z ichiga olgan shartlar yig'indisi nolni beradi. Natijada biz quyidagilarni olamiz: .

Natijada biz hosilalar uchun chiziqli tenglamalar tizimini oldik:
.
(5.n-1)

(7′) Bu sistemani yechib, hosilalarning x funksiyasi sifatida ifodalarini topamiz. Integratsiyalash natijasida biz quyidagilarni olamiz:

Bu erda endi x ga bog'liq bo'lmagan doimiylar mavjud. (4) ga almashtirib, biz asl tenglamaning umumiy yechimini olamiz.

Esda tutingki, hosilalarning qiymatlarini aniqlash uchun biz hech qachon a i koeffitsientlari doimiy ekanligidan foydalanmaganmiz. Shunung uchun


Lagranj usuli har qanday chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamalarni echishda qo'llaniladi

, agar (2) bir jinsli tenglamaning asosiy yechimlar tizimi ma'lum bo'lsa. Misollar
Konstantalarni o'zgartirish usuli (Lagranj) yordamida tenglamalarni yeching.
Misollar yechimi > > >

Shuningdek qarang:

Differensial tenglamalar nazariyasida ushbu nazariya uchun juda yuqori darajadagi universallikka ega ekanligini da'vo qiladigan usul mavjud.
Biz differentsial tenglamalarning turli sinflarini echishda qo'llaniladigan ixtiyoriy doimiyni o'zgartirish usuli haqida gapiramiz.
tizimlari Aynan shunday bo'ladi, agar nazariya - agar biz bayonotlarning dalillarini qavs ichida olsak - minimal bo'lsa-da, lekin bizga erishishga imkon beradi.
muhim natijalar, shuning uchun diqqat misollarga qaratiladi.

Usulning umumiy g'oyasini shakllantirish juda oddiy. Berilgan tenglama (tenglamalar tizimi) echilishi qiyin yoki hatto tushunarsiz bo'lsin,
uni qanday hal qilish kerak. Biroq, tenglamadan ba'zi atamalarni chiqarib tashlash orqali u yechilganligi aniq. Keyin ular buni soddalashtirilgan holda hal qilishadi
tenglama (tizim), biz ma'lum miqdordagi ixtiyoriy konstantalarni o'z ichiga olgan yechimni olamiz - tenglamaning tartibiga qarab (son
tizimdagi tenglamalar). Keyin topilgan yechimdagi konstantalar aslida topilgan yechim emas deb hisoblanadi;
dastlabki tenglamaga (tizimga) almashtiriladi, “doimiy”larni aniqlash uchun differentsial tenglama (yoki tenglamalar tizimi) olinadi.
Ixtiyoriy doimiyni o'zgartirish usulini turli masalalarga qo'llashda ma'lum bir o'ziga xoslik mavjud, ammo bu allaqachon o'ziga xos xususiyatlardir
misollar bilan ko‘rsatib berdi.

Keling, yuqori tartibli chiziqli bir hil bo'lmagan tenglamalarning yechimini alohida ko'rib chiqaylik, ya'ni. shakldagi tenglamalar
.
Chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimi mos keladigan bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi va ma'lum bir yechim yig'indisidir.
bu tenglamadan. Faraz qilaylik, bir hil tenglamaning umumiy yechimi allaqachon topilgan, ya'ni asosiy yechimlar tizimi (FSS) tuzilgan.
. U holda bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi ga teng bo'ladi.
Biz bir jinsli bo'lmagan tenglamaning har qanday maxsus yechimini topishimiz kerak. Buning uchun konstantalar o'zgaruvchiga bog'liq deb hisoblanadi.
Keyinchalik siz tenglamalar tizimini echishingiz kerak
.
Nazariya funksiyalarning hosilalariga nisbatan bu algebraik tenglamalar sistemasining yagona yechimga ega ekanligini kafolatlaydi.
Funktsiyalarning o'zini topishda integratsiya konstantalari paydo bo'lmaydi: axir, har qanday bitta yechim izlanadi.

Shaklning chiziqli bir hil bo'lmagan birinchi tartibli tenglamalar tizimlarini echishda

algoritm deyarli o'zgarishsiz qolmoqda. Avval siz mos keladigan FSR ni topishingiz kerak bir hil tizim tenglamalar, fundamental matritsa hosil qiling
ustunlari FSR elementlarini ifodalovchi tizim. Keyinchalik, tenglama tuziladi
.
Tizimni hal qilishda biz funktsiyalarni aniqlaymiz , Shunday qilib, asl tizimga ma'lum bir yechim topamiz
(asosiy matritsa topilgan funktsiyalar ustuniga ko'paytiriladi).
Biz uni allaqachon topilgan FSR asosida tuzilgan mos keladigan bir hil tenglamalar tizimining umumiy yechimiga qo'shamiz.
Dastlabki tizimning umumiy yechimi olinadi.

Misollar.

1-misol. Birinchi tartibli chiziqli bir jinsli tenglamalar.

Tegishli bir hil tenglamani ko'rib chiqamiz (kerakli funktsiyani belgilaymiz):
.
Ushbu tenglamani o'zgaruvchilarni ajratish usuli yordamida osongina echish mumkin:

.
Endi asl tenglamaning yechimini shaklda tasavvur qilaylik , bu erda funksiya hali topilmagan.
Ushbu turdagi yechimni asl tenglamaga almashtiramiz:
.
Ko'rib turganingizdek, chap tomondagi ikkinchi va uchinchi shartlar bir-birini bekor qiladi - bu xarakterli xususiyat ixtiyoriy doimiyni o'zgartirish usuli.

Bu erda u allaqachon haqiqiy ixtiyoriy doimiydir. Shunday qilib,
.

2-misol. Bernulli tenglamasi.

Biz birinchi misolga o'xshash tarzda harakat qilamiz - biz tenglamani hal qilamiz

o'zgaruvchilarni ajratish usuli. Ko'rinib turibdiki, biz shakldagi asl tenglamaning echimini qidiramiz
.
Ushbu funktsiyani asl tenglamaga almashtiramiz:
.
Va yana qisqarishlar sodir bo'ladi:
.
Bu erda siz eritma bilan bo'linishda yo'qolmasligiga ishonch hosil qilishni unutmasligingiz kerak. Va asl nusxaning echimi holatga mos keladi
tenglamalar Keling, eslaylik. Shunday qilib,
.
Keling, yozamiz.
Bu yechim. Javobni yozishda siz ilgari topilgan yechimni ham ko'rsatishingiz kerak, chunki u hech qanday yakuniy qiymatga mos kelmaydi
konstantalar

3-misol. Yuqori tartibli chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamalar.

Darhol ta'kidlaymizki, bu tenglamani oddiyroq hal qilish mumkin, ammo undan foydalanish usulini ko'rsatish qulay. Ba'zi afzalliklarga qaramay
Variatsiya usuli bu misolda ham ixtiyoriy konstantaga ega.
Shunday qilib, siz mos keladigan bir hil tenglamaning FSR dan boshlashingiz kerak. Eslatib o'tamiz, FSR ni topish uchun xarakterli egri chiziq tuziladi
tenglama
.
Shunday qilib, bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi
.
Bu yerga kiritilgan konstantalar har xil bo'lishi kerak. Tizimni yaratish

Ixtiyoriy doimiyni oʻzgartirish usuli yoki Lagranj usuli birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar va Bernulli tenglamasini yechishning yana bir usuli hisoblanadi.

Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar y’+p(x)y=q(x) ko’rinishdagi tenglamalardir. Agar o'ng tomonda nol bo'lsa: y’+p(x)y=0, u holda bu chiziqli bir hil 1-tartibli tenglama. Shunga ko‘ra, o‘ng tomoni nolga teng bo‘lmagan y’+p(x)y=q(x) tenglama bo‘ladi. heterojen chiziqli tenglama 1-buyurtma.

Ixtiyoriy doimiyni o'zgartirish usuli (Lagranj usuli) quyidagicha:

1) y’+p(x)y=0: y=y* bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini qidiramiz.

2) Umumiy yechimda C ni doimiy emas, balki x ning funksiyasi deb hisoblaymiz: C = C (x). Umumiy yechimning hosilasini (y*)’ topamiz va natijada olingan ifodani y* va (y*)’ ning boshlang‘ich shartiga almashtiramiz. Olingan tenglamadan C(x) funksiyani topamiz.

3) Bir jinsli tenglamaning umumiy yechimida S o‘rniga topilgan C(x) ifodani qo‘yamiz.

Ixtiyoriy doimiyni o'zgartirish usuliga misollarni ko'rib chiqamiz. Keling, xuddi shu vazifalarni olamiz, yechimning borishini taqqoslaymiz va olingan javoblar bir-biriga mos kelishiga ishonch hosil qilamiz.

1) y’=3x-y/x

Keling, tenglamani standart shaklda qayta yozamiz (Bernulli usulidan farqli o'laroq, bu erda biz tenglama chiziqli ekanligini ko'rish uchun yozuv shakli kerak edi).

y’+y/x=3x (I). Endi biz reja bo'yicha harakat qilamiz.

1) y’+y/x=0 bir jinsli tenglamani yeching. Bu ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega tenglama. y’=dy/dx ni tasavvur qiling, o‘rniga: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Tenglamaning ikkala tomonini dx ga ko'paytiramiz va xy≠0 ga bo'lamiz: dy/y=-dx/x. Keling, integratsiya qilaylik:

2) Bir jinsli tenglamaning olingan umumiy yechimida C ni doimiy emas, balki x ning funksiyasi deb hisoblaymiz: C=C(x). Bu yerdan

Olingan iboralarni (I) shartga almashtiramiz:

Tenglamaning ikkala tomonini integrallashtiramiz:

bu erda C allaqachon yangi doimiydir.

3) y=C/x bir jinsli tenglamaning umumiy yechimida biz C=C(x), ya’ni y=C(x)/x deb qabul qilganmiz, C(x) o‘rniga topilgan x³ ifodasini qo‘yamiz. +C: y=(x³ +C)/x yoki y=x²+C/x. Bernulli usuli bilan yechishdagidek javob oldik.

Javob: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Bu erda tenglama allaqachon standart shaklda yozilgan; uni o'zgartirishga hojat yo'q.

1) y’+y=0 bir jinsli chiziqli tenglamani yeching: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Keling, integratsiya qilaylik:

Belgilashning qulayroq shaklini olish uchun biz C ning ko'rsatkichini yangi C sifatida olamiz:

Bu transformatsiya hosilani topishni qulayroq qilish uchun amalga oshirildi.

2) Chiziqli bir jinsli tenglamaning olingan umumiy yechimida C ni doimiy emas, balki x ning funksiyasi deb hisoblaymiz: C=C(x). Bu shart ostida

Olingan y va y’ ifodalarini shartga almashtiramiz:

Tenglamaning ikkala tomonini ga ko'paytiring

Biz tenglamaning ikkala tomonini qismlar bo'yicha integratsiya formulasidan foydalanib integrallaymiz, biz quyidagilarni olamiz:

Bu yerda C endi funksiya emas, oddiy doimiydir.

3) Bir jinsli tenglamaning umumiy yechimida

topilgan C(x) funksiyasini almashtiring:

Bernulli usulida yechishdagidek javob oldik.

Ixtiyoriy doimiyni o'zgartirish usuli yechimga ham tegishli.

y'x+y=-xy².

Tenglamani standart shaklga keltiramiz: y’+y/x=-y² (II).

1) y’+y/x=0 bir jinsli tenglamani yeching. dy/dx=-y/x. Tenglamaning ikkala tomonini dx ga ko'paytiramiz va y ga bo'lamiz: dy/y=-dx/x. Endi integratsiya qilaylik:

Olingan ifodalarni (II) shartga almashtiramiz:

Keling, soddalashtiramiz:

Biz C va x uchun ajratiladigan o'zgaruvchilar bilan tenglama oldik:

Bu erda C allaqachon oddiy doimiydir. Integratsiya jarayonida biz belgilarni ortiqcha yuklamaslik uchun C(x) o'rniga oddiygina C ni yozdik. Va oxirida biz C(x) ni yangi C bilan aralashtirib yubormaslik uchun C(x) ga qaytdik.

3) y=C(x)/x bir jinsli tenglamaning umumiy yechimida topilgan C(x) funksiyani almashtiramiz:

Bernulli usuli yordamida yechishdagidek javob oldik.

O'z-o'zini tekshirishga misollar:

1. Tenglamani standart shaklda qayta yozamiz: y’-2y=x.

1) y’-2y=0 bir jinsli tenglamani yeching. y’=dy/dx, demak, dy/dx=2y, tenglamaning har ikki tomonini dx ga ko‘paytiring, y ga bo‘ling va integrallang:

Bu yerdan biz y ni topamiz:

Shartga y va y’ ifodalarini almashtiramiz (qisqalik uchun C(x) o‘rniga C va C”(x) o‘rniga C’ dan foydalanamiz):

O'ng tomondagi integralni topish uchun biz qismlar bo'yicha integrallash formulasidan foydalanamiz:

Endi formulada u, du va v ni almashtiramiz:

Bu erda C =const.

3) Endi biz eritmaga bir hilni almashtiramiz

Ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli

Chiziqli bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamaning yechimini qurish uchun ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli.

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = f(t)

ixtiyoriy konstantalarni almashtirishdan iborat c k umumiy yechimda

z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)

mos keladigan bir jinsli tenglama

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = 0

yordamchi funktsiyalar uchun c k (t) , uning hosilalari chiziqli algebraik tizimni qanoatlantiradi

(1) sistemaning determinanti funksiyalarning Vronskianidir z 1 ,z 2 ,...,z n ga nisbatan o'ziga xos echilishini ta'minlaydi.

Agar integratsiya konstantalarining belgilangan qiymatlarida qabul qilingan ga qarshi hosilalar bo'lsa, u holda funktsiya

asl chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning yechimidir. Tegishli bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi mavjud bo'lgan bir jinsli bo'lmagan tenglamaning integrallashi shunday qilib kvadraturalarga keltiriladi.

Chiziqli differensial tenglamalar sistemasini vektor normal shakldagi yechimlarni qurish uchun ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli.

shaklida ma'lum bir yechim (1) qurishdan iborat

Qayerda Z(t) matritsa shaklida yozilgan mos bir jinsli tenglama yechimlarining asosi bo'lib, ixtiyoriy konstantalar vektori o'rnini egallagan vektor funksiya , munosabat bilan aniqlanadi. Kerakli aniq yechim (nol boshlang'ich qiymat bilan t = t 0 ga o'xshaydi

Doimiy koeffitsientli tizim uchun oxirgi ifoda soddalashtirilgan:

Matritsa Z(t)Z− 1 (t) chaqirdi Koshi matritsasi operator L = A(t) .

Keling, chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamani ko'rib chiqaylik
. (2)
y 1 ,y 2 ,.., y n fundamental yechimlar sistemasi va mos keladigan bir jinsli L(y)=0 tenglamaning umumiy yechimi bo‘lsin. Birinchi tartibli tenglamalar holatiga o'xshab, (2) tenglamaning yechimini ko'rinishda izlaymiz.
. (3)
Keling, ushbu shakldagi yechim mavjudligiga ishonch hosil qilaylik. Buning uchun funksiyani tenglamaga almashtiramiz. Bu funksiyani tenglamaga almashtirish uchun uning hosilalarini topamiz. Birinchi hosila ga teng
. (4)
Ikkinchi hosilani hisoblashda (4) ning o'ng tomonida to'rtta atama paydo bo'ladi, uchinchi hosilani hisoblashda sakkizta atama paydo bo'ladi va hokazo. Shuning uchun keyingi hisob-kitoblar qulayligi uchun (4) ning birinchi hadi nolga tenglashtiriladi. Buni hisobga olsak, ikkinchi hosila teng
. (5)
Avvalgi kabi sabablarga ko'ra (5) da biz birinchi hadni nolga tenglashtirdik. Nihoyat, n-chi hosila
. (6)
Olingan lotin qiymatlarini asl tenglamaga almashtirib, biz bor
. (7)
(7) dagi ikkinchi had nolga teng, chunki y j , j=1,2,...,n funksiyalar mos L(y)=0 bir jinsli tenglamaning yechimlaridir. Oldingi bilan birlashtirib, biz C" j (x) funktsiyalarini topish uchun algebraik tenglamalar tizimini olamiz.
(8)
Bu sistemaning determinanti L(y)=0 mos keladigan bir jinsli tenglamaning y 1 ,y 2 ,..,y n asosiy yechimlar sistemasining Vronski determinantidir va shuning uchun nolga teng emas. Shunday qilib, tizim (8) uchun yagona yechim mavjud. Uni topib, biz C" j (x), j=1,2,…,n funktsiyalarini olamiz va shuning uchun C j (x), j=1,2,...,n bu qiymatlarni o'rniga qo'yamiz. (3), biz chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamaning yechimini olamiz.
Taqdim etilgan usul ixtiyoriy doimiyni o'zgartirish usuli yoki Lagranj usuli deb ataladi.

Misol № 1. y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x tenglamaning umumiy yechimini topamiz. Mos keladigan bir jinsli y"" + 4y" + 3y = 0 tenglamani ko'rib chiqamiz. Uning xarakteristik tenglamasining ildizlari r 2 + 4r + 3. = 0 -1 va - 3 ga teng. Demak, bir jinsli tenglamaning asosiy yechimlar sistemasi y 1 = e - x va y 2 = e -3 x funksiyalardan iborat. Bir jinsli bo'lmagan tenglamaning yechimini y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x ko'rinishda qidiramiz. C" 1 , C" 2 hosilalarini topish uchun (8) tenglamalar tizimini tuzamiz.
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
yechish, biz topamiz , Olingan funksiyalarni integrallash, biz bor
Nihoyat, olamiz

Misol № 2. O'zgarmas koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarni ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usulidan foydalanib yeching:

y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Yechim:
Bu differentsial tenglama doimiy koeffitsientli chiziqli differensial tenglamalarga tegishli.
Tenglama yechimini y = e rx ko’rinishda izlaymiz. Buning uchun biz doimiy koeffitsientli chiziqli bir hil differentsial tenglamaning xarakteristik tenglamasini tuzamiz:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Xarakteristik tenglamaning ildizlari: r 1 = 4, r 2 = 2
Demak, asosiy yechimlar sistemasi quyidagi funksiyalardan iborat: y 1 =e 4x, y 2 =e 2x.
Bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko‘rinishga ega: y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
Ixtiyoriy doimiyni o'zgartirish usuli bilan ma'lum bir yechimni qidiring.
C" i ning hosilalarini topish uchun biz tenglamalar tizimini tuzamiz:
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C' 1 (4e 4x) + C' 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Birinchi tenglamadan C" 1 ni ifodalaymiz:
C" 1 = -c 2 e -2x
va uni ikkinchisiga almashtiring. Natijada biz quyidagilarni olamiz:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Olingan C" i funktsiyalarini birlashtiramiz:
C 1 = 2ln (e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x bo‘lgani uchun hosil bo‘lgan ifodalarni quyidagi ko‘rinishda yozamiz:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Shunday qilib, differentsial tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko'rinishga ega:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
yoki
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Keling, quyidagi shart bo'yicha ma'lum bir yechim topamiz:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Topilgan tenglamaga x = 0 ni almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Olingan umumiy yechimning birinchi hosilasini topamiz:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
x = 0 ni almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Biz ikkita tenglama tizimini olamiz:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
yoki
C*1+C*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
yoki
C*1+C*2=2
2C 1 + C 2 = 2
Kimdan: C 1 = 0, C * 2 = 2
Shaxsiy yechim quyidagicha yoziladi:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x