При решении геометрических задач полезно следовать такому алгоритму. Во время чтения условия задачи необходимо

• Сделать чертеж. Чертеж должен максимально соответствовать условию задачи, так его основная задача помочь найти ход решения
• Нанести все данные из условия задачи на чертеж
• Выписать все геометрические понятия, которые встречаются в задаче
• Вспомнить все теоремы, которые относятся к этим понятию
• Нанести на чертеж все соотношения между элементами геометрической фигуры, которые следуют из этих теорем

Например, если в задаче встречается слова биссектриса угла треугольника, нужно вспомнить определение и свойства биссектрисы и обозначить на чертеже равные или пропорциональные отрезки и углы.

В этой статье вы найдете основные свойства треугольника, которые необходимо знать для успешного решения задач.

ТРЕУГОЛЬНИК.

Площадь треугольника.

1. ,

здесь - произвольная сторона треугольника, - высота, опущенная на эту сторону.

2. ,

здесь и - произвольные стороны треугольника, - угол между этими сторонами:

3. Формула Герона:

Здесь - длины сторон треугольника, - полупериметр треугольника,

4. ,

здесь - полупериметр треугольника, - радиус вписанной окружности.

Пусть - длины отрезков касательных.

Тогда формулу Герона можно записать в таком виде:

5.

6. ,

здесь - длины сторон треугольника, - радиус описанной окружности.

Если на стороне треугольника взята точка, которая делит эту сторону в отношении m:n, то отрезок, соединяющий эту точку с вершиной противолежащего угла делит треугольник на два треугольника, площади которых относятся как m:n:

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Медиана треугольника

Это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.

Точка пересечения медиан правильного треугольника делит медиану на два отрезка, меньший из которых равен радиусу вписанной окружности, а больший - радиусу описанной окружности.

Радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности: R=2r

Длина медианы произвольного треугольника

,

здесь - медиана, проведенная к стороне , - длины сторон треугольника.

Биссектриса треугольника

Это отрезок биссектрисы любого угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с противоположной стороной.

Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

Все точки биссектрисы угла равноудалены от сторон угла.

Высота треугольника

Это отрезок перпендикуляра, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону, или ее продолжение. В тупоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины острого угла лежит вне треугольника.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

Чтобы найти высоту треугольника , проведенную к стороне , нужно любым доступным способом найти его площадь, а затем воспользоваться формулой:

Центр окружности, описанной около треугольника , лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

Радиус описанной окружности треугольника можно найти по таким формулам:

Здесь - длины сторон треугольника, - площадь треугольника.

,

где - длина стороны треугольника, - противолежащий угол. (Эта формула вытекает из теоремы синусов).

Неравенство треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух других.

Сумма длин любых двух сторон всегда больше длины третьей стороны:

Напротив большей стороны лежит больший угол; напротив большего угла лежит большая сторона:

Если , то и наоборот.

Теорема синусов:

стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

Теорема косинусов:

квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

Прямоугольный треугольник

- это треугольник, один из углов которого равен 90°.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Гипотенуза - это сторона, которая лежит против угла 90°. Гипотенуза является наибольшей стороной.

Теорема Пифагора:

квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов :

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен

,

здесь - радиус вписанной окружности, - катеты, - гипотенуза:

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы:

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе , равна половине гипотенузы.

Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса прямоугольного треугольника смотрите

Соотношение элементов в прямоугольном треугольнике:

Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, равен произведению проекций катетов на гипотенузу:

Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию катета на гипотенузу:

Катет, лежащий против угла равен половине гипотенузы:

Равнобедренный треугольник.

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию является медианой и высотой.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Угол при вершине.

И - боковые стороны,

И - углы при основании.

Высота, биссектриса и медиана.

Внимание! Высота, биссектриса и медиана, проведенные к боковой стороне не совпадают.

Правильный треугольник

(или равносторонний треугольник ) - это треугольник, все стороны и углы которого равны между собой.

Площадь правильного треугольника равна

где - длина стороны треугольника.

Центр окружности, вписанной в правильный треугольник , совпадает с центром окружности, описанной около правильного треугольника и лежит в точке пересечения медиан.

Точка пересечения медиан правильного треугольника делит медиану на два отрезка, меньший из которых равен радиусу вписанной окружности, а больший - радиусу описанной окружности.

Если один из углов равнобедренного треугольника равен 60°, то этот треугольник правильный.

Средняя линия треугольника

Это отрезок, соединяющий середины двух сторон.

На рисунке DE - средняя линия треугольника ABC.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине: DE||AC, AC=2DE

Внешний угол треугольника

Это угол, смежный какому либо углу треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.

Тригонометрические функции внешнего угла:

Признаки равенства треугольников:

1 . Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2 . Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3 Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Важно: поскольку в прямоугольном треугольнике два угла заведомо равны, то для равенства двух прямоугольных треугольников требуется равенство всего двух элементов: двух сторон, или стороны и острого угла.

Признаки подобия треугольников:

1 . Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами равны, то эти треугольники подобны.

2 . Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

3 . Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

Важно: в подобных треугольниках сходственные стороны лежат против равных углов.

Теорема Менелая

Пусть прямая пересекает треугольник , причем – точка ее пересечения со стороной , – точка ее пересечения со стороной , и – точка ее пересечения с продолжением стороны . Тогда

Некоторый треугольник , в котором все стороны не одинаковой длины, принято называть разносторонними .

Треугольник, с двумя одинаковыми сторонами обозначают как равнобедренный . Одинаковые стороны принято именовать боковыми , третью сторону - основанием. В равной мере будет верным и такое определение основания треугольника - это сторона равнобедренного треугольника, которая не равна двум другим сторонам.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равновелики. Высота , медиана , биссектриса равнобедренного треугольника, прочерченные к его основанию, совмещаются.

Треугольник , со всеми одинаковыми сторонами, обозначают как равносторонние или правильные . В равностороннем треугольнике все углы по 60°, а центры вписанной и описанной окружности совмещены.

Типы треугольников в зависимости от параметров углов.

Треугольник , в котором только углы меньше 90 0 (острые), именуют остроугольным .

Треугольник, в котором представлен угол 90 0 , именуют прямоугольным . Стороны треугольника, формирующие прямой угол, принято обозначать катетами , а сторона расположенная напротив прямого угла - гипотенузой .

Сегодня мы отправляемся в страну Геометрия, где познакомимся с различными видами треугольников.

Рассмотрите геометрические фигуры и найдите среди них «лишнюю» (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

Мы видим, что фигуры № 1, 2, 3, 5 - четырехугольники. Каждая из них имеет свое название (рис. 2).

Рис. 2. Четырехугольники

Значит, «лишней» фигурой является треугольник (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Точки называются вершинами треугольника , отрезки - его сторонами . Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла.

Основными признаками треугольника являются три стороны и три угла. По величине угла треугольники бывают остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.

Треугольник называется остроугольным, если все три угла его острые, то есть меньше 90° (рис. 4).

Рис. 4. Остроугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов равен 90° (рис. 5).

Рис. 5. Прямоугольный треугольник

Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов тупой, то есть больше 90° (рис. 6).

Рис. 6. Тупоугольный треугольник

По числу равных сторон треугольники бывают равносторонние, равнобедренные, разносторонние.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны (рис. 7).

Рис. 7. Равнобедренный треугольник

Эти стороны называются боковыми , третья сторона - основанием . В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Равнобедренные треугольники бывают остроугольными и тупоугольными (рис. 8).

Рис. 8. Остроугольный и тупоугольный равнобедренные треугольники

Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны (рис. 9).

Рис. 9. Равносторонний треугольник

В равностороннем треугольнике все углы равны . Равносторонние треугольники всегда остроугольные.

Разносторонним называется треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину (рис. 10).

Рис. 10. Разносторонний треугольник

Выполните задание. Распределите данные треугольники на три группы (рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к заданию

Сначала распределим по величине углов.

Остроугольные треугольники: № 1, № 3.

Прямоугольные треугольники: № 2, № 6.

Тупоугольные треугольники: № 4, № 5.

Эти же треугольники распределим на группы по числу равных сторон.

Разносторонние треугольники: № 4, № 6.

Равнобедренные треугольники: № 2, № 3, № 5.

Равносторонний треугольник: № 1.

Рассмотрите рисунки.

Подумайте, из какого куска проволоки сделали каждый треугольник (рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к заданию

Можно рассуждать так.

Первый кусок проволоки разделен на три равные части, поэтому из него можно сделать равносторонний треугольник. На рисунке он изображен третьим.

Второй кусок проволоки разделен на три разные части, поэтому из него можно сделать разносторонний треугольник. На рисунке он изображен первым.

Третий кусок проволоки разделен на три части, где две части имеют одинаковую длину, значит, из него можно сделать равнобедренный треугольник. На рисунке он изображен вторым.

Сегодня на уроке мы познакомились с различными видами треугольников.

Список литературы

1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. - М.: «Просвещение», 2012.
2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. - М.: «Просвещение», 2012.
3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. - М.: Просвещение, 2012.
4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. - М.: «Просвещение», 2011.
5. «Школа России»: Программы для начальной школы. - М.: «Просвещение», 2011.
6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. - М.: Просвещение, 2012.
7. В.Н. Рудницкая. Тесты. - М.: «Экзамен», 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Домашнее задание

1. Закончите фразы.

а) Треугольником называется фигура, которая состоит из …, не лежащих на одной прямой, и …, попарно соединяющих эти точки.

б) Точки называются … , отрезки - его … . Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника ….

в) По величине угла треугольники бывают … , … , … .

г) По числу равных сторон треугольники бывают … , … , … .

2. Начертите

а) прямоугольный треугольник;

б) остроугольный треугольник;

в) тупоугольный треугольник;

г) равносторонний треугольник;

д) разносторонний треугольник;

е) равнобедренный треугольник.

3. Составьте задание по теме урока для своих товарищей.

С наименьшим числом углов и сторон. Треугольник образуется замкнутой ломаной , состоящей из трёх звеньев, и той частью плоскости, которая находится внутри ломаной.

В тексте треугольники обозначаются символом Δ и тремя прописными латинскими буквами, стоящими при вершинах - ΔABC :

В треугольнике ABC точки A , B и C - это вершины треугольника , отрезки AB , BC и CA - стороны треугольника . Углы, образованные сторонами треугольника, называются углами треугольника .

Нижнюю сторону треугольника обычно называют основанием . В треугольнике ABC сторона AC - основание.

Виды треугольников

Треугольники различаются между собой, во-первых, по характеру углов, во-вторых, по характеру сторон.

По характеру углов треугольник называется:

• Остроугольным , если все его углы являются острыми.
• Прямоугольным , если один угол прямой. В прямоугольном треугольнике стороны, образующие прямой угол, называются катетами , а сторона, лежащая напротив прямого угла - гипотенузой .
• Тупоугольным , если один из его углов тупой.

По характеру сторон треугольник называется:

• Разносторонним , если все его стороны имеют различную длину.
• Равнобедренным , если две его стороны равны между собой. Равные стороны называются боковыми сторонами , а третья сторона - основанием . В равнобедренных треугольниках углы при основании равны.
• Равносторонним , если все три его стороны равны между собой. В равносторонних треугольниках все три угла равны.

Равные стороны стороны на чертежах отмечаются одинаковым количеством чёрточек.

Треугольник. Остроугольный, тупоугольный и прямоугольный треугольник.

Катеты и гипотенуза. Равнобедренный и равносторонний треугольник.

Сумма углов треугольника.

Внешний угол треугольника. Признаки равенства треугольников.

Замечательные линии и точки в треугольнике: высоты, медианы,

биссектрисы,срединны e перпендикуляры, ортоцентр,

центр тяжести, центр описанного круга, центр вписанного круга.

Теорема Пифагора. Соотношение сторон в произвольномтреугольнике.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.

Если все три угла острые (рис.20 ), то это остроугольный треугольник . Если один из углов прямой ( C, рис.21), то это прямоугольный треугольник ; стороны a , b , образующие прямой угол, называются катетами ; сторона c , противоположная прямому углу, называется гипотенузой . Если один из углов тупой ( B, рис.22), то это тупоугольный треугольник.


Треугольник ABC (рис.23) - равнобедренный , если две его стороны равны (a = c ); эти равные стороны называются боковыми , третья сторона называется основанием треугольника. Треугольник ABC (рис.24) – равносторонний , если все его стороны равны (a = b = c ). В общем случае (a ≠ b ≠ c ) имеем неравносторонний треугольник.

Основные свойства треугольников. В любом треугольнике:

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.

3. Сумма углов треугольника равна 180 º .

Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем

треугольнике равен 60 º.

4. Продолжая одну из сторон треугольника (AC, рис.25), получаем внешний

угол BCD. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,

не смежных с ним : BCD = A + B.

5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше

их разности (a < b + c , a > b – c ;b < a + c , b > a – c ;c < a + b ,c > a – b ).

Признаки равенства треугольников.

Треугольники равны, если у них соответственно равны:

a ) две стороны и угол между ними;

b ) два угла и прилегающая к ним сторона;

c ) три стороны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Д ва прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий:

1) равны их катеты;

2) катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого;

3) гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого;

4) катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого;

5) катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.

Замечательные линии и точки в треугольнике.

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону ( или её продолжение ). Эта сторона называется основанием треугольника . Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке , называемой ортоцентром треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника (точка O , рис.26) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника (точка O , рис.27) – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Медиана – это отрезок , соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника (AD , BE , CF , рис.28) пересекаются в одной точке O , всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника (AD , BE , CF , рис.29) пересекаются в одной точке О, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанного круга (см. раздел «Вписанные и описанные многоугольники»).

Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам ; например, на рис.29 AE : CE = AB : BC .

Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС (KO , MO , NO , рис.30 ) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга (точки K , M , N – середины сторон треугольника ABC ).

В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном - в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Доказательство теоремы Пифагора с очевидностью следует из рис.31. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами a , b и гипотенузой c .

Построим квадрат AKMB , используя гипотенузу AB как сторону. Затем продолжим стороны прямоугольного треугольника ABC так, чтобы получить квадрат CDEF , сторона которого равна a + b . Теперь ясно, что площадь квадрата CDEF равна (a + b ) 2 . С другой стороны, эта площадь равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников и квадрата AKMB , то есть

c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab ,

отсюда ,

c 2 + 2 ab = (a + b ) 2 ,

и окончательно имеем:

c 2 = a 2 + b 2 .

Соотношение сторон в произвольном треугольнике.

В общем случае (для произвольного треугольника) имеем:

c 2 = a 2 + b 2 – 2ab · cos C,

где C – угол между сторонами a и b .