Что значит разложить на простые множители? Как это сделать? Что можно узнать по разложению числа на простые множители? Ответы на эти вопросы иллюстрируются конкретными примерами.

Определения:

Простым называют число, которое имеет ровно два различных делителя.

Составным называют число, которое имеет более двух делителей.

Разложить натуральное число на множители - значит представить его в виде произведения натуральных чисел.

Разложить натуральное число на простые множители - значит представить его в виде произведения простых чисел.

Замечания:

• В разложении простого числа один из множителей равен единице, а другой - самому этому числу.
• Говорить о разложении единицы на множители не имеет смысла.
• Составное число можно разложить на множители, каждый из которых отличен от 1.

	Разложим число 150 на множители. Например, 150 - это 15 умножить на 10. 15 - это составное число. Его можно разложить на простые множители 5 и 3. 10 - это составное число. Его можно разложить на простые множители 5 и 2. Записав вместо 15 и 10 их разложения на простые множители, мы получили разложение числа 150.
	Число 150 можно по-другому разложить на множители. Например, 150 - это произведение чисел 5 и 30. 5 - число простое. 30 - это число составное. Его можно представить как произведение 10 и 3. 10 - число составное. Его можно разложить на простые множители 5 и 2. Мы получили разложение числа 150 на простые множители другим способом.
	Заметим, что первое и второе разложение одинаковы. Они отличаются только порядком следования множителей. Принято записывать множители в порядке возрастания.
Всякое составное число можно разложить на простые множители единственным образом с точностью до порядка множителей.

При разложении больших чисел на простые множители используют запись в столбик:

	Наименьшее простое число, на которое делится 216 - это 2. Разделим 216 на 2. Получим 108.
	Полученное число 108 делится на 2. Выполним деление. Получим в результате 54.
	Согласно признаку делимости на 2 число 54 делится на 2. Выполнив деление, получим 27.
	Число 27 заканчивается на нечетную цифру 7 . Оно Не делится на 2. Следующее простое число - это 3. Разделим 27 на 3. Получим 9. Наименьшее простое Число, на которое делится 9, - это 3. Три - само является простым числом, оно делится на себя и на единицу. Разделим 3 на себя. В итоге мы получили 1.

• Число делится лишь на те простые числа, которые входят в состав его разложения.
• Число делится лишь на те составные числа, разложение которых на простые множители полностью в нем содержится.

Рассмотрим примеры:

	4900 делится на простые числа 2, 5 и 7. (они входят в разложение числа 4900), но не делится, например, на 13.
	11 550 75. Это так, потому что разложение числа 75 полностью содержится в разложении числа 11550. В результате деления будет произведение множителей 2, 7 и 11. 11550 не делится на 4 потому, что в разложении четырех есть лишняя двойка.

Найти частное от деления числа a на число b, если эти числа раскладываются на простые множители следующим образом a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

	Разложение числа b полностью содержится в разложении числа a.
	Результат деления a на b - это произведение оставшихся в разложении числа a трех чисел. Итак, ответ: 30.

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия. 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. - М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

1. Интернет-портал Matematika-na.ru ().
2. Интернет-портал Math-portal.ru ().

Домашнее задание

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012. № 127, № 129, № 141.
2. Другие задания: № 133, № 144.

Можно представить в виде произведения простых чисел.

Пример. Представим в виде произведения простых множителей числа 4, 6 и 8:

Правые части полученных равенств называются разложением на простые множители.

Это представление составного числа в виде произведения простых множителей.

Разложить составное число на простые множители - значит представить это число в виде произведения простых множителей.

Простые множители в разложении числа могут повторяться. Повторяющиеся простые множители можно записывать более компактно - в виде степени.

Пример.

24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 2 3 · 3

Примечание. Простые множители обычно записывают в порядке их возрастания.

Как разложить число на простые множители

Последовательность действий при разложении числа на простые множители:

1. Проверяем по таблице простых чисел, не является ли данное число простым.
2. Если нет, то последовательно подбираем самое маленькое простое число из таблицы простых чисел, на которое данное число делится без остатка, и выполняем деление.
3. Проверяем по таблице простых чисел, не является ли полученное частное простым числом.
4. Если нет, то последовательно подбираем самое маленькое простое число из таблицы простых чисел, на которое полученное частное делится нацело, и выполняем деление.
5. Повторяем пункты 3 и 4 до тех пор, пока в частном не получится единица.

Пример. Разложите число 102 на простые множители.

Решение:

Начинаем поиск наименьшего простого делителя числа 102. Для этого последовательно подбираем самое маленькое простое число из таблицы простых чисел, на которое 102 разделится без остатка. Берём число 2 и пробуем разделить на него 102, получаем:

Число 102 разделилось на 2 без остатка, поэтому 2 - первый найденный простой множитель. Так как делимое равно делителю, умноженному на частное, то можно написать:

Переходим к следующему шагу. Проверяем по таблице простых чисел, не является ли полученное частное простым числом. Число 51 составное. Начиная с числа 2, подбираем из таблицы простых чисел наименьший простой делитель числа 51. Число 51 не делится нацело на 2. Переходим к следующему числу из таблицы простых чисел (к числу 3) и пробуем разделить на него 51, получаем:

Число 51 разделилось на 3, поэтому 3 - второй найденный простой множитель. Теперь мы можем и число 51 представить в виде произведения. Этот процесс можно записать так:

102 = 2 · 51 = 2 · 3 · 17

Проверяем по таблице простых чисел, не является ли полученное частное простым числом. Число 17 простое. Значит наименьшим простым числом, на которое делится 17, будет само это число:

Так как в частном у нас получилась единица, то разложение закончено. Таким образом, разложение числа 102 на простые множители имеет вид:

102 = 2 · 3 · 17

Ответ: 102 = 2 · 3 · 17.

В арифметике имеется ещё другая форма записи, облегчающая процесс разложения составных чисел. Она состоит в том, что весь процесс разложения записывают столбиком (в две колонки, разделённых вертикальной чертой). Слева от вертикальной черты, сверху вниз, записывают последовательно: данное составное число, затем получающиеся частные, а справа от черты - соответствующие наименьшие простые делители.

Пример. Разложить на простые множители число 120.

Решение:

Пишем число 120 и справа от него проводим вертикальную черту:

Справа от черты записываем самый маленький простой делитель числа 120:

Выполняем деление и получившееся частное (60) записываем под данным числом:

Подбираем наименьший простой делитель для 60, записываем его справа от вертикальной черты под предыдущим делителем и выполняем деление. Продолжаем процесс до тех пор, пока в частном не получится единица:

В частном у нас получилась единица, значит разложение закончено. После разложения в столбик множители следует выписать в строчку:

120 = 2 3 · 3 · 5.

Ответ: 120 = 2 3 · 3 · 5.

Составное число разлагается на простые множители единственным образом.

Это значит, что если, например, число 20 разложилось на две двойки и одну пятёрку, то оно и всегда будет так разлагаться независимо от того, начнём ли мы разложение с малых множителей или с больших. Принято начинать разложение с малых множителей, т. е. с двоек, троек и т. д.

Новое на сайте	|	contact@сайт
2018 − 2020		сайт

Что значит разложить на простые множители? Как это сделать? Что можно узнать по разложению числа на простые множители? Ответы на эти вопросы иллюстрируются конкретными примерами.

Определения:

Простым называют число, которое имеет ровно два различных делителя.

Составным называют число, которое имеет более двух делителей.

Разложить натуральное число на множители - значит представить его в виде произведения натуральных чисел.

Разложить натуральное число на простые множители - значит представить его в виде произведения простых чисел.

Замечания:

• В разложении простого числа один из множителей равен единице, а другой - самому этому числу.
• Говорить о разложении единицы на множители не имеет смысла.
• Составное число можно разложить на множители, каждый из которых отличен от 1.

	Разложим число 150 на множители. Например, 150 - это 15 умножить на 10. 15 - это составное число. Его можно разложить на простые множители 5 и 3. 10 - это составное число. Его можно разложить на простые множители 5 и 2. Записав вместо 15 и 10 их разложения на простые множители, мы получили разложение числа 150.
	Число 150 можно по-другому разложить на множители. Например, 150 - это произведение чисел 5 и 30. 5 - число простое. 30 - это число составное. Его можно представить как произведение 10 и 3. 10 - число составное. Его можно разложить на простые множители 5 и 2. Мы получили разложение числа 150 на простые множители другим способом.
	Заметим, что первое и второе разложение одинаковы. Они отличаются только порядком следования множителей. Принято записывать множители в порядке возрастания.
Всякое составное число можно разложить на простые множители единственным образом с точностью до порядка множителей.

При разложении больших чисел на простые множители используют запись в столбик:

	Наименьшее простое число, на которое делится 216 - это 2. Разделим 216 на 2. Получим 108.
	Полученное число 108 делится на 2. Выполним деление. Получим в результате 54.
	Согласно признаку делимости на 2 число 54 делится на 2. Выполнив деление, получим 27.
	Число 27 заканчивается на нечетную цифру 7 . Оно Не делится на 2. Следующее простое число - это 3. Разделим 27 на 3. Получим 9. Наименьшее простое Число, на которое делится 9, - это 3. Три - само является простым числом, оно делится на себя и на единицу. Разделим 3 на себя. В итоге мы получили 1.

• Число делится лишь на те простые числа, которые входят в состав его разложения.
• Число делится лишь на те составные числа, разложение которых на простые множители полностью в нем содержится.

Рассмотрим примеры:

	4900 делится на простые числа 2, 5 и 7. (они входят в разложение числа 4900), но не делится, например, на 13.
	11 550 75. Это так, потому что разложение числа 75 полностью содержится в разложении числа 11550. В результате деления будет произведение множителей 2, 7 и 11. 11550 не делится на 4 потому, что в разложении четырех есть лишняя двойка.

Найти частное от деления числа a на число b, если эти числа раскладываются на простые множители следующим образом a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

	Разложение числа b полностью содержится в разложении числа a.
	Результат деления a на b - это произведение оставшихся в разложении числа a трех чисел. Итак, ответ: 30.

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия. 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. - М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

1. Интернет-портал Matematika-na.ru ().
2. Интернет-портал Math-portal.ru ().

Домашнее задание

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012. № 127, № 129, № 141.
2. Другие задания: № 133, № 144.

Встречали такой термин, как «простые числа» или «простые множители», но не знаете, что это такое? Также простые числа очень популярны в киноиндустрии, поэтому не редко их можно встретить в фильмах и сериалах. Давайте разберёмся, что такое простые числа в данной статье!

Простые числа – это целое положительное (натуральное) число, которое может быть разделено лишь на единицу и самого себя. Числа, которые имеют более двух натуральных делителей являются составными.

• Пример 1: простое число 7 может быть разделено лишь на 1 и на 7.
• Пример 2: составное число 6 может быть разделено на 1, 2, 3, 6.

Простые числа до 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Простые числа – очень популярная тема в математике, с ней связано огромное множество задач, теорем и т.д.

Простые множители – это множители (элементы произведения), являющиеся простыми числами. С простыми множителями связано несколько школьных заданий, которые могут вызвать проблемы даже у старшего поколения.

Разложите на простые множители числа…

Довольно популярная в математике задача. Наиболее распространённые примеры:

Разложите не простые множители числа 27, 54, 56, 65, 99, 162, 625, 1000. В первую очередь следует сказать, что самая распространённая ошибка при решении данной задачи – количество множителей не указано, их не обязательно именно 2! Если Вы совершили данную ошибку – можете попробовать решить задание самостоятельно.

Ответы:

• 27 = 3 х 3 х 3
• 54 = 2 х 3 х 3 х 3
• 56 = 2 х 2 х 2 х7
• 65 = 5 х 13
• 99 = 3 х 3 х 11
• 162 = 2 х 3 х 3 х 3 х 3
• 625 = 5 х 5 х 5 х 5
• 1000 = 2 х 2 х 2 х 5 х 5 х 5

Каждое натуральное число, кроме единицы, имеет два или более делителей. Например, число 7, делится без остатка только на 1 и на 7, то есть имеет два делителя. А у числа 8, делители 1, 2, 4, 8, то есть аж 4 делителя сразу.

Чем отличаются простые и составные числа

Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Числа, которые имеют только два делителя: единица и само это число, называются простыми числами.

Число 1 имеет только один делить, а именно само это число. Единица не относится ни к простым, ни к составным числам.

• Например, число 7 простое, а число 8 составное.

Первые 10 простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Число 2 единственное четное простое число, все остальные простые числа нечетные.

Число 78 составное, так как помимо 1 и самого себя, оно делится еще и на 2. При делении на 2 получим 39. То есть 78= 2*39. В таких случаях говорят, что число разложили на множители 2 и 39.

Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больше 1. С простым числом такой фокус не прокатит. Такие дела.

Разложение числа на простые множители

Как уже отмечалось выше, любое составное число, можно разложить на два множителя. Возьмем, к примеру, число 210. Это число можно разложить на два множителя 21 и 10. Но числа 21 и 10 тоже составные, разложим и их на два множителя. Получим 10 = 2*5, 21=3*7. И в итоге число 210 разложилось уже на 4 множителя: 2,3,5,7. Эти числа уже простые и их разложить нельзя. То есть мы разложили число 210 на простые множители.

При разложении составных чисел на простые множители, их обычно, записывают в порядке возрастания.

Следует запомнить, что любое составное число можно разложить на простые множители и причем единственным образом, с точностью до перестановки.

• Обычно, при разложении числа на простые множители пользуются признаками делимости.

Разложим число 378 на простые множители

Будем записывать числа, разделяя их вертикальной чертой. Число 378 делится на 2, так как оканчивается на 8. При делении получим число 189. Сумма цифр числа 189 делится на 3, значит и само число 189 делится на 3. В результате получим 63.

Число 63 тоже делится на 3, по признаку делимости. Получаем 21, число 21 снова можно разделить на 3, получим 7. Семерка делится только на себя, получаем единицу. На этом закончено деление. Справа после черты получились простые множители, на которые раскладывается число 378.

378|2
189|3
63|3
21|3