N-й степени из действительного числа, отметили, что из любого неотрицательного числа можно извлечь корень любой степени (второй, третьей, четвертой и т.д.), а из отрицательного числа можно извлечь корень любой нечетной степени. Но тогда следует подумать и о функции вида , о ее графике, о ее свойствах. Этим мы и займемся в нас стоящем параграфе. Сначала поговорим о функции в случае неотрицательных значений аргумента .
Начнем с известного вам случая, когда n =2, т.е. с функции На рис. 166 изображен график функции и график функции у = х 2 , х>0. Оба графика представляют собой одну и ту же кривую - ветвь параболы, только по-разному расположенную на координатной плоскости. Уточним: эти графики симметричны относительно прямой у = х, поскольку состоят из точек, симметричных друг другу относительно указанной прямой. Смотрите: на рассматриваемой ветви параболы у = х 2 есть точки (0; 0), (1; 1), (2; 4), (3; 9), (4; 16), а на графике функции точки (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (16; 4).
Точки (2; 4) и (4; 2), (3; 9) и (9; 3), (4; 16) и (16; 4) симметричны относительно прямой у = х, (а точки (0; 0) и (1; 1) лежат на этой прямой). И вообще, для любой точки (а; а 2) на графике функции у = х 2 есть симметричная ей относительно прямой у = x точка (а 2 ; а) на графике функции и обратно. Справедлива следующая теорема.
Доказательство.
Будем считать для определенности, что а и b - положительные числа. Рассмотрим треугольники ОАМ и ОВР (рис. 167). Они равны, значит, ОР = ОМ и . Но тогда и поскольку прямая у = х - биссектриса угла АОВ. Итак, треугольник РОМ - равнобедренный, ОН - его биссектриса, а значит, и ось симметрии. Точки М и Р симметричны относительно прямой ОН, что и требовалось доказать.
Итак, график функции можно получить из графика функции у = х 2 , х>0 с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х. Аналогично график функции можно получить из графика функции у = х 3 , х> 0 с помощью преобразования симметрии относительно прямой у=х; график функции можно получить из графика функции с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х и т.д. Напомним, что график функции напоминает по виду ветвь параболы Чем больше п, тем круче эта ветвь устремляется вверх на промежутке и тем ближе подходит к оси х в окрестности точки х=0 (рис. 168).
Сформулируем общий вывод: график функции симметричен графику функции , относительно прямой у = х(рис. 169).
Свойства функции
1)
2) функция не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает на
4) не ограничена сверху, ограничена снизу;
5) не имеет наибольшего значения;
6) непрерывна;
7)
Обратите внимание на одно любопытное обстоятельство. Рассмотрим две функции, графики которых изображены на рис. 169: Только что мы перечислили семь свойств для первой функции, но абсолютно теми же свойствами обладает и вторая функция. Словесные «портреты» двух различных функций одинаковы. Но, уточним, пока одинаковы.
Математики не смогли вынести такой несправедливости, когда разные функции, имеющие разные графики, словесно описываются одинаково, и ввели понятия выпуклости вверх и выпуклости вниз. График функции обращен выпуклостью вверх, тогда как график функции у = х п обращен выпуклостью вниз.
Обычно говорят, что непрерывная функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка (рис. 170); непрерывная функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка (рис. 171).
Свойство выпуклости мы будем в дальнейшем включать в процедуру чтения графика. Отметим его"(продолжив нумерацию описанных ранее свойств) для рассматриваемой функции:
8) функция выпукла вверх на луче
В предыдущей главе мы познакомились еще с одним свойством функции - дифференцируемостью, видели, что функция у = х п дифференцируема в любой точке, ее производная равна пх n-1 . Геометрически это означает, что в любой точке графика функции у = х п к нему можно провести касательную. Этим же свойством обладает и график функции : в любой его точке к графику можно провести касательную. Таким образом, мы можем отметить еще одно свойство функции
9) функция дифференцируема в любой точке х > 0.
Обратите внимание: о дифференцируемости функции в точке х = 0 речь не идет - в этой точке касательная к графику функции совпадает с осью у, т.е. перпендикулярна оси абсцисс.
Пример 1. Построить график функции
Решение.
1)Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (-1; -4) - пунктирные прямые х = -1 и у = -4 на рис. 172.
2) «Привяжем» функцию к новой системе координат. Это и будет требуемый график.
Пример 2.
Решить уравнение
Решение. Первый способ.
1) Введем в рассмотрение две функции
2) Построим график функции
3) Построим график линейной функции у=2-х (см. рис. 173).
4) Построенные графики пересекаются в одной точке А, причем по графику можно сделать предположение, что координаты точкиА таковы: (1; 1). Проверка показывает, что на самом деле точка (1; 1) принадлежит и графику функции , и графику функции у=2-x. Значит, наше уравнение имеет один корень: х = 1 - абсцисса точки А.
Второй способ.
Геометрическая модель, представленная на рис. 173, наглядно иллюстрирует следующее утверждение, которое иногда позволяет очень изящно решить уравнение (и которым мы уже воспользовались в § 35 при решении примера 2):
Если функция у=f(х) возрастает, а функция у=g(х) убывает и если уравнение f(х)=g(х) имеет корень, то он только один.
Вот как, опираясь на это утверждение, мы можем решить заданное уравнение:
1) заметим, что при х = 1 выполняется равенство , значит, х = 1 - корень уравнения (этот корень мы угадали);
2) функция y=2-x убывает, а функция возрастает; значит, корень у заданного уравнения только один, и этим корнем является найденное выше значение x = 1.
Ответ : x = 1.
До сих пор мы говорили о функции только для неотрицательных значений аргумента. Но ведь если п - нечетное число, выражение имеет смысл и для x <0. Значит, есть смысл поговорить о функции в случае нечетного п для любых значений х.
Собственно говоря, к перечисленным добавится только одно свойство:
если n - нечетное число (n = 3,5, 7,...), то - нечетная функция.
В самом деле, пусть для нечетного показателя n такие преобразования верны. Итак, f(-x) = -f(x), а это и означает нечетность функции.
Как же выглядит график функции в случае нечетного показателя n? При так, как показано на рис. 169, - это ветвь искомого графика. Добавив к ней ветвь, симметричную ей относительно начала координат (что, напомним, характерно для любой нечетной функции), получим график функции (рис. 174). Обратите внимание: ось у является касательной к графику в точке х = 0.
Итак, повторим еще раз:
если п - четное число, то график функции имеет вид, представленный на рис. 169;
если п - нечетное число, то график функции имеет вид, представленный на рис. 174.
Пример 3.
Построить и прочитать график функции у = f(x), где
Решение.
Сначала построим график функции и выделим его часть на луче (рис. 175).
Затем построим график функции и выделим его часть на открытом луче (рис. 176). Наконец, оба «кусочка» изобразим в одной системе координат - это и будет график функции у = f(x)(рис. 177).
Перечислим (опираясь на построенный график) свойства функции у = f(x):
1)
2) ни четна, ни нечетна;
3) убывает на луче , возрастает на луче
4) не ограничена снизу, ограничена сверху;
5) нет наименьшего значения, а (достигается в точке х = 1);
6) непрерывна;
7)
8) выпукла вниз при , выпукла вверх на отрезке , выпукла вниз при
9) функция дифференцируема всюду, кроме точек х = 0 и х = 1.
10) график функции имеет горизонтальную асимптоту это означает, напомним, что
Пример 4. Найти область определения функции:
Решение,
а) Под знаком корня четной степени должно находиться неотрицательное число, значит, задача сводится к решению неравенства
б) Под знаком корня нечетной степени может находиться любое число, значит, здесь на х не накладывается никаких ограничений, т.е. D(f) = R.
в) Выражение имеет смысл при условии а выражение Значит, должны одновременно выполняться два неравенства: т.е. задача сводится к решению системы неравенств:
Решая неравенство
Решим неравенство Разложим левую часть неравенства на множители: Левая часть неравенства обращается в 0 в точках -4 и 4. Отметим эти точки на числовой прямой (рис. 178). Числовая прямая разбивается указанными точками на три промежутка, причем на каждом промежутке выражение р(х)=(4-х)(4 + х) сохраняет постоянный знак (знаки указаны на рис. 178). Промежуток, на котором выполняется неравенство р(х)>0, заштрихован на рис. 178. По условию задачи нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство р(х) = 0. Таких точек две: х =-4, х =4 - они отмечены на рис. 178 темными кружочками. Таким образом, на рис. 178 представлена геометрическая модель решения второго неравенства системы.
Отметим найденные решения первого и второго неравенств системы на одной координатной прямой, использовав для первого - верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 179). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Таким промежутком является отрезок [-1, 4].
Ответ. D(f) = [-1,4].
А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс
Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе
Муниципальное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №1
ст. Брюховецкой
муниципального образования Брюховецкий район
Учитель математики
Гученко Анжела Викторовна
2014 год
Функция у =
, ее свойства и график
Тип урока: изучение нового материала
Цели урока:
Задачи, решаемые на уроке:
научить учащихся самостоятельно работать;
высказывать предположения и догадки;
уметь делать обобщение изучаемых факторов.
Оборудование: доска, мел, мультимедийный проектор, раздаточный материал
Хронометраж урока.
Определение темы урока совместно с учащимися – 1мин.
Определение целей и задач урока совместно с учащимися – 1мин.
Актуализация знаний (фронтальный опрос) – 3мин.
Устная работа - 3мин.
Объяснение нового материала, построенное на создании проблемных ситуаций - 7мин.
Физминутка – 2мин.
Построение графика вместе с классом с оформлением построения в тетрадях и определением свойств функции, работа с учебником – 10мин.
Закрепление полученных знаний и отработка навыков преобразований графиков – 9мин .
Подведение итогов урока, установление обратной связи – 3мин.
Задание на дом – 1мин.
Итого 40 минут.
Ход урока.
Определение темы урока совместно с учащимися (1мин).
Тема урока определяется учащимися при помощи наводящих вопросов:
функция - работа, производимая органом, организмом в целом.
функция - возможность, опция, умение программы или прибора.
функция - обязанность, круг деятельности.
функция персонажа в литературном произведении.
функция - вид подпрограммы в информатике
функция в математике - закон зависимости одной величины от другой.
Определение целей и задач урока совместно с учащимися (1мин).
Учитель при помощи учащихся формулирует и проговаривает цели и задачи данного урока.
Актуализация знаний (фронтальный опрос – 3мин).
Устная работа – 3 мин.
Фронтальная работа.
(А и В принадлежат, С нет)
Объяснение нового материала (построено на создании проблемных ситуаций – 7мин).
Проблемная ситуация: описать свойства неизвестной функции.
Разбить класс на команды по 4-5 человек, раздать бланки для ответов на поставленные вопросы
Бланк №1
у=0, при х=?
Область определения функции.
Множество значений функции.
На каждый вопрос отвечает один из представителей команды, остальные команды голосуют «за» или «против» сигнальными карточками и, если нужно, дополняют ответы одноклассников.
Вместе с классом сделать вывод об области определения, множестве значений, нулях функции у=.
Проблемная ситуация : попробовать построить график неизвестной функции (идет обсуждение в командах, поиск решения).
С учителем вспоминается алгоритм построения графиков функций. Учащиеся командами пробуют изобразить график функции у= на бланках, затем обмениваются бланками друг с другом для само- и взаимопроверки.
Физминутка (Клоунада)
Построение графика вместе с классом с оформлением построения в тетрадях – 10мин.
После общего обсуждения выполняется задание построения графика функции у= индивидуально каждым учеником в тетради. Учитель в это время оказывает дифференцированную помощь учащимся. После выполнения задания учащимися на доске показывается график функции и учащимся предлагается ответить на следующие вопросы:
Вывод: вместе с учащимися сделать еще раз вывод о свойствах функции и прочитать их по учебнику:
Закрепление полученных знаний и отработка навыков преобразования графика – 9мин.
Учащиеся работают по своей карточке (по вариантам), затем меняются и проверяют друг друга. После на доске показываются графики, и учащиеся оценивают свою работу, сравнивая с доской.
Карточка №1
Карточка №2
Вывод: о преобразованиях графика
1) параллельный перенос вдоль оси ОУ
2) сдвиг вдоль оси ОХ.
9. Подведение итогов урока, установление обратной связи – 3мин.
СЛАЙДЫ – вставить пропущенные слова
Область определения данной функции, все числа, кроме…(отрицательных).
График функции расположен в … (I) четверти.
При значении аргумента х = 0, значение… (функции) у = …(0).
Наибольшее значение функции… (не существует), наименьшее значение - …(равно 0)
10. Задание на дом (с комментариями – 1 мин).
По учебнику - §13
По задачнику – №13.3, №74 (повторение неполных квадратных уравнений)
Рассмотрим функцию y=√x. График этой функции показан на рисунке ниже.
График функции y=√x
Как видите, график напоминает повернутую параболу, точнее одну из её ветвей. Мы получаем ветвь параболы x=y^2. Из рисунка видно, что график лишь один раз касается оси Оу, в точке с координатами (0;0).
Теперь стоит отметить основные свойства этой функции.
Свойства функции y=√x
1. Область определения функции явяется луч }