Математику нельзя изучать,

наблюдая

как это делает сосед.

А. Нивен

Свойства

числовых

неравенств

(8 класс)

в, то в a. Свойство 2 Если а. Свойство 3 Если a Свойство 4 Если a Если а вс. Следствие: Если а и в – положительные числа и а " width="640"

Свойства числовых неравенств

Свойство 1 Если а в, то в a.

Свойство 2 Если а .

Свойство 3 Если a

Свойство 4 Если a

Если а вс.

Следствие: Если а и в – положительные числа и а

p, n m, n Сравнить: p и n , p и q, q и m. р m n q p m № 749 (б,г) б) a – 8 b – 8 и a b – 8 , ab, т. к. a b и a то a и b – отрицательные числа г) - 2а -2в и в - - 2а - 2в разделим на (-2), получим а а и в – отрицательные числа № 750(а, в) № 751(б, г, д) а) 18 -7, в) - 9 б) а 13 -12; -18 20,7 - 4,3; 9 -21; 3а 25 0. - 3 7. - 4,8а - 4,8в. № 764 (на повторение) - = а) - = 2; = 0 32х² - 12 – 25 + 45х² = 40; 77х² = 77; х = ± 1 20 – 3х – 6 - х² + 4 = 0; Ответ: х = ±1 х² + 3х – 18 = 0, Д = 81 , X= х₁ = - 6; х₂ = 3. " width="640"

Проверка домашнего задания

• № 747 m,n,p,q- некоторые числа.

Сравнить: p и n , p и q, q и m.

• № 749 (б,г)

б) a – 8 b – 8 и a b – 8 , ab, т. к. a b и a

то a и b – отрицательные числа

г) - 2а -2в и в -

2а - 2в разделим на (-2), получим а

а и в – отрицательные числа

• № 750(а, в) № 751(б, г, д)

а) 18 -7, в) - 9 б) а

13 -12; -18

20,7 - 4,3; 9 -21; 3а

25 0. - 3 7. - 4,8а - 4,8в.

• № 764 (на повторение)

32х² - 12 – 25 + 45х² = 40;

77х² = 77; х = ± 1 20 – 3х – 6 - х² + 4 = 0;

Ответ: х = ±1 х² + 3х – 18 = 0, Д = 81 ,

х₁ = - 6; х₂ = 3.

0 Неравенство верно для любого х " width="640"

Задание 1. Верно ли при любом х неравенство:

(6 + 2х) (6 – 2х)-х = 3 (2 х – 1)

х² + 6х + 9 – 6х + 3 = х² +120

Неравенство верно для любого х

в, то в в с 6. Если а и в - положительные числа и а " width="640"

Задание 2 Закончите математические высказывания: 1. Если А в, то в в с 6. Если а и в - положительные числа и а

Задание 3 - Диктант. Известно, что а . Используя свойства неравенств, запишите верное неравенство, которое получится, если:

• К обеим частям этого неравенства прибавить число 8
• К обеим частям этого неравенства прибавить число -3,4
• Обе части этого неравенства умножить на 4
• Обе части этого неравенства умножить на - 4,7
• Обе части этого неравенства разделить на 6
• Обе части этого неравенства разделить на -2
• Обе части этого неравенства умножить на 0,2 и вычесть 8
• Обе части этого неравенства умножить на - 6 и прибавить 5,2

-4,7в; 0,2а - 8 - 6а + 5,2 - 6в + 5,2. " width="640"

Отвeты

• а + 8
• а - 3,4
• - 4,7а -4,7в;
• 0,2а - 8
• - 6а + 5,2 - 6в + 5,2.

d, -7с б) , по теореме 4 в) 2с + 11 2d + 11, по теореме 3,4. № 752(а, б) а) а - 12,7в; б) № 757(а, б, г) Дано: 3 . Оцените значение выражения: а) 5а; б) –а; г) 5 – а. а) 15 б) - 3 -а -4 или -4 г) -4 -а -3, (+5) 5-4 5-а 5-3 1 " width="640"

Решение упражнений

• № 754(а, б, в)

а) с d, -7с

б) , по теореме 4

в) 2с + 11 2d + 11, по теореме 3,4.

• № 752(а, б )

а) а - 12,7в;

№ 757(а, б, г)

• Дано: 3 . Оцените значение выражения:

а) 5а; б) –а; г) 5 – а.

а) 15

б) - 3 -а -4 или -4

г) -4 -а -3, (+5)

5-4 5-а 5-3

Домашнее задание

п.29, № 752(в, г),

№ 754(г, д, е),

№ 757(в, д)

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Свойства числовых неравенств (8 класс) Разработано учителем математики МОУ «СОШ» п. Аджером Корткеросского района Республики Коми Мишариной Альбиной Геннадьевной

Определение Действительное число а больше (меньше) действительного числа в, если их разность (а-в)- положительное (отрицательное) число. Пишут: а > в (а

Строгие неравенства а > 0 означает, что а – положительное число а в означает, что (а-в)- положительное число, т.е. (а-в) > 0 а

Нестрогие неравенства а ≥ 0 означает, что а больше нуля или равно нулю, т.е. а – неотрицательное число, или что а не меньше нуля а ≤ 0 означает, что а меньше нуля или равно нулю, т.е. а – неположительное число, или что а не больше нуля

Нестрогие неравенства а ≥ в означает, что а больше в или равно в, т.е. а-в – неотрицательное число, или что а не меньше в; а-в ≥ 0 а ≤ в означает, что а меньше в или равно в, т.е. а-в – неположительное число, или что а не больше в; а-в ≤ 0

Свойства числовых неравенств Свойства: 1) если а > в, в > с, то а > с 2) если а > в, то а+с > в+с 3) если а > в и m>0 , то а m> в m 4) если а > в и m в, то -а 3, 3 > -4, то 5 > -4 если 5 > 3, то 5+2 > 3+2 если 5 > 3 и 10 >0 , то 5 · 10 > 3 · 10, т.е. 50 > 30 если 5 > 3 и -2 3, то -5

Свойства числовых неравенств 6) если а > в, с >d , то а + с > в + d 7) если а > в > 0 и с >d > 0, то ас > в d 8) если а > в≥0, n є N , то аⁿ > вⁿ 9) если а > в > 0, то 1/а 3, 4 > 2, то 5 + 4 > 3 + 2, т.е. 7 > 5 7) если 5 > 3 > 0 и 4 > 2 > 0, то 5 · 4 > 3 · 2, т.е. 12 > 6 8) если 5 > 3≥0, 2є N , то 5 ² > 3 ² , т.е. 25 > 9 9) если 5 > 3 > 0, то 1/5

Известно, что 2,1 -3 · в > -3 · 3,8 -11,1 > -3в > - 11,4 - 11,4

Известно, что 2,1 -1 · в > -1 · 3,8 -3,7 > - в > - 3,8 - 3,8

Известно, что 2,1

Известно, что 2,1 0; в > о и а 1/в Значит, если 2,1 1: а > 1: 2,2 10/21 > 1: а > 5/11 Т.к. 110/231 > 1: а > 105/231 105/231

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

урок математики 6 класс тема Числовые неравенства

Открытый урок по теме Умножение и деление числовых неравенств по предмету математика в 6 классе. Урок построен в виде урока - практикума. План урока.1.Сообщение темы и постановка целей урока2. Пр...

«Числовые неравенства и их свойства»для учащихся 8 класса МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ТЕСТА ПО АЛГЕБРЕ

Тест по алгебре «Числовые неравенства и их свойства» предназначен для экспресс-анализа усвоения учащимися данной темы. Может использоваться как средство обучения или контроля для учащихся 8-9 кл...

Методическая разработка урока по алгебре 8 класса «Свойства числовых неравенств»

«Неравенства»

Презентация учителя математики 1 категории

МОУ ГООШ г.Калязина Тверская область

b , или a или a ≥ b , или же a ≤ b , установленных между числами, то говорят, что задано числовое неравенство." width="640"

Числовое неравенство

• Нера́венство - одно из фундаментальных понятий математики.

• Если два вещественных числа a и b соединены знаком неравенства ≠ или одним из отношений порядка a b , или

a или a ≥ b , или же a ≤ b , установленных между числами, то говорят, что задано числовое неравенство .

• Если a b – это значит, что a – b – положительное число ;
• Если a - это значит, что a – b – отрицательное число ;

b, c d (или a Неравенства вида a d и c" width="640"

Неравенства одинакового и противоположного смысла

Неравенства

Неравенства противоположного смысла

Неравенства одинакового смысла

Неравенства вида

a b, c d (или a

Неравенства вида a d и

, Неравенства отношений ≥ , ≤ называют нестрогими называют строгими" width="640"

Строгие и нестрогие неравенства

Неравенства

Нестрогие

Строгие

Неравенства отношений ,

Неравенства отношений ≥ , ≤ называют нестрогими

называют строгими

b и b c , то a c Доказательство. 1) a b – по условию, т.е. a - b – положительное число. 2) b c – по условию, т.е. b - c – положительное число. 3) Сложив положительные числа a - b и b - c , получим положительное число. 4) Следовательно, (a - b) + (b - c) = a - c . Значит, a - c – положительное число, т.е a c " width="640"

Свойства числовых неравенств

• Свойство 1 .

Если a b и b c , то a c

• Доказательство.

1) a b – по условию, т.е. a - b – положительное число.

2) b c – по условию, т.е. b - c – положительное число.

3) Сложив положительные числа a - b и b - c , получим положительное число.

4) Следовательно, (a - b) + (b - c) = a - c . Значит, a - c – положительное число , т.е a c , что и требовалось доказать.

b означает, что на числовой прямой точка a расположена правее точки b , а неравенство b c - что точка b расположена правее точки c . Но тогда точка a расположена на прямой правее точки c , т.е. a c . Это свойство называют свойством транзитивности (Образно говоря, от пункта a мы добираемся до пункта c как бы транзитом, с промежуточной остановкой в пункте b) x c b a" width="640"

Обоснование свойства 1, при помощи числовой прямой

Неравенство a b означает, что на числовой прямой точка a расположена правее точки b , а неравенство b c - что точка b расположена правее точки c . Но тогда точка a расположена на прямой правее точки c , т.е. a c . Это свойство называют свойством транзитивности (Образно говоря, от пункта a мы добираемся до пункта c как бы транзитом, с промежуточной остановкой в пункте b)

b , то a + c b + c То есть, если к обеим частям неравенства прибавить одно и тоже число, то знак неравенства не изменится. Пример: 6 4 , если к обеим частям неравенства прибавить 2 , то знак неравенства не изменится. Получится такое выражение: 8 6. На основе первого свойства можно сделать вывод, что любое слагаемое можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный. Пример: 5

Свойство 2.

• Если a b , то a + c b + c

То есть, если к обеим частям неравенства прибавить одно и тоже число, то знак неравенства не изменится.

Пример:

6 4 , если к обеим частям неравенства прибавить 2 , то знак неравенства не изменится. Получится такое выражение: 8 6. На основе первого свойства можно сделать вывод, что любое слагаемое можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный. Пример :

5
b и m 0 , то a b m m То есть, если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства следует сохранить; Пример: a b , тогда a b Если а b и m 0 , то am bm То есть, если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства следует сохранить; Пример: a b , тогда 8a 8b Если а b и m 0 , то am . То есть, если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства следует изменить (, на Пример: a , тогда -9a -9b ; Если a b , то -a ; То есть, если изменить знаки у обеих частей неравенства, то надо изменить и знак неравенства. 8 8" width="640"

Свойство 3.

• Если a b и m 0 , то a b

То есть, если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства следует сохранить;

Пример: a b , тогда a b

• Если а b и m 0 , то am bm

То есть, если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства следует сохранить;

Пример: a b , тогда 8a 8b

• Если а b и m 0 , то am .

То есть, если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства следует изменить (, на

Пример: a , тогда -9a -9b ;

• Если a b , то -a ;

То есть, если изменить знаки у обеих частей неравенства, то надо изменить и знак неравенства.

b и c d , то a + c b + d. Доказательство. I способ. 1. а b и с d - по условию, значит, а - b и с - d - положительные числа. 2. Тогда и их сумма, т. е. (а - b) + (с - d) - положительное число. 3. Так как (a-b) + (c-d) = (a + c)-(b + d) , то и (а + с) - (b + d) - положительное число. Поэтому a + c b + d , что и требовалось доказать. II способ. 1.Так как а Ь, то а + с b + с – по свойству 2 . 2. Аналогично, так как с d , то с + b d + b . 3.Итак, а + с b + с, b + с b + d . Тогда, в силу свойства транзитивности, получаем, что а + с b + d , что и требовалось доказать." width="640"

Свойство 4.

• Если a b и c d , то a + c b + d.

Доказательство.

• I способ.

1. а b и с d - по условию, значит, а - b и с - d - положительные числа .

2. Тогда и их сумма, т. е. (а - b) + (с - d) - положительное число .

3. Так как (a-b) + (c-d) = (a + c)-(b + d) , то и (а + с) - (b + d) - положительное число . Поэтому a + c b + d , что и требовалось доказать.

• II способ.

1.Так как а Ь , то а + с b + с – по свойству 2 .

2. Аналогично, так как с d , то с + b d + b .

3.Итак, а + с b + с, b + с b + d . Тогда, в силу свойства транзитивности, получаем, что а + с b + d , что и требовалось доказать.

b , c d , то ac bd . То есть, при умножении неравенств одинакового смысла, у которых левые и правые части - положительные числа, получится неравенство того же смысла. Доказательство. 1.Так как a b и c 0 , то ac bc – по свойству 3. 2.Так как с d и b 0 , то cb db – по свойству 3. 3. Итак, ac bc , bc bd . Тогда ac bd - по свойству транзитивности, что и требовалось доказать." width="640"

Свойство 5.

Если a, b, c, d – положительные числа и a b , c d , то ac bd .

То есть, при умножении неравенств одинакового смысла, у которых левые и правые части - положительные числа, получится неравенство того же смысла.

Доказательство.

1.Так как a b и c 0 , то ac bc – по свойству 3.

2.Так как с d и b 0 , то cb db – по свойству 3.

3. Итак, ac bc , bc bd . Тогда ac bd - по свойству транзитивности , что и требовалось доказать.

b , то а n Ь n , где n - любое натуральное число. То есть, если обе части неравенства - неотрицательные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства. Дополнение: Если n - нечетное число, то для любых чисел а и b из неравенства а b следует неравенство того же смысла а n b n ." width="640"

Свойство 6.

• Если а и b - неотрицательные числа и а b , то а n Ь n , где n - любое натуральное число .

То есть, если обе части неравенства - неотрицательные числа , то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства.

• Дополнение:

Если n - нечетное число , то для любых чисел а и b из неравенства а b следует неравенство того же смысла а n b n .

b . Доказать, что Решение. Рассмотрим разность Имеем: По условию, а, b, а - b - положительные числа. Значит, - отрицательное число, т.е. откуда следует, что" width="640"

• Пусть a и b - положительные числа и a b .

Доказать, что

• Решение.

Рассмотрим разность

Имеем:

По условию, а, b, а - b - положительные числа. Значит,

- отрицательное число, т.е.

откуда следует, что

• Пусть а - положительное число .

Доказать, что

• Решение.

Получили неотрицательное число, значит,

Заметим, что

• Пусть а и b неотрицательные числа . Доказать, что
• Решение.

Составим разность левой и правой частей неравенства. Имеем

В этом случае, число

называют средним арифметическим чисел а и b ;

Число называют средним геометрическим чисел а и b .

Таким образом , среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического. Доказанное неравенство иногда называют неравенством Коши в честь французского математика XIX века Огюста Коши.

Замечание . Неравенство Коши имеет любопытное геометрическое истолкование. Пусть дан прямоугольный треугольник и пусть высота h, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки а и b (рис. 116). В геометрии доказано, что

(так что не случайно для этого выражения ввели термин «среднее геометрическое»). А что такое?

Это длина половины гипотенузы. Но из геометрии известно, что медиана m прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, как раз и равна половине гипотенузы. Таким образом, неравенство Коши означает, что медиана, проведенная к гипотенузе, т. е. ,

не меньше высоты, проведенной к гипотенузе (т.е.),

Очевидный геометрический факт (см. рис. 116).

Огюсте́н Луи́ Коши́

• Учебник «Алгебра» А.Г. Мордкович 8 класс
• http://ru.wikipedia.org/wiki
• Яндекс картинки

В курсе алгебры 8 класса важную роль играет тема «Неравенства». Поэтому крайне важно ее глубокое изучение. На основе данной теории решается ряд сложнейших задач, причем, не только в курсе алгебры, но и в других науках.

Данная презентация предназначена для изучения свойств числовых неравенств. Причем, до того урока, на котором будет рассмотрена данная презентация, следует провести урок, где будут даны сами свойства. Для этого можно здесь же взять презентацию «Свойства числовых неравенств. Часть1», где дана вся теория по данной теме. Здесь же вы можете найти много разных примеров, где применимы изученные свойства. Итак, подробнее.

слайды 1-2 (Тема презентации "Свойства числовых неравенств. Часть 2", свойство)

Первый пример показывает, как доказать неравенство с помощью определения понятия неравенства и некоторый операций с дробями.

Следующий пример также показывает доказательство неравенства, которое немного сложнее. Чтобы доказать неравенство, нужно применить знания и умения того, как складываются дроби с числами. То есть нужно уметь приводить дроби к общему знаменателю и складывать их. И опять же в ход идет определение, которое говорит, что если из левой части неравенства вычесть правую при знаке больше, то должно получиться положительное значение, к чему автор и приходит в результате. А значит, неравенство доказано.

слайды 3-4 (свойства)

В третьем примере требуется отыскать оценки чисел, которых дается семь штук, если даны какие-то определенные условия. Если идти по порядку, то можно заметить, что при решении этих примеров применяются сразу несколько свойств. Это свойство умножения неравенства на положительное и отрицательное число, сложение и вычитание двух неравенств, возведение в степень. Каждый пример автор рассматривает довольно подробно, что позволяет хорошенько усвоить предлагаемый материал и закрепить его на примерах.

слайды 5-6 (свойства)

Следующий, четвертый пример уже сложнее предыдущих. Здесь присутствует квадратный корень. При доказательстве автор снова использует определение неравенств. Другими словами, он находит разность между левой и правой частями неравенства и определяет знак. В ходе доказательства, когда найден общий знаменатель, в числителе получается выражение, которое можно свернуть по формуле квадрата разности двух выражений.

В результате получается положительное выражение, что подтверждает знак неравенства. Но тут знак нестрогий, поэтому автор проверяет условие равенства. В итоге получается, что для того, чтобы выражения были равны, оба данный в условии числа должны быть равными, но по условию этого не оговаривается. Поэтому неравенство имеет знак строго больше при разных значениях чисел a и b.

слайды 7-8 (свойства)

Далее автор этот пример демонстрирует наглядно. То есть левая часть данного неравенства является средним арифметическим заданных чисел, а правая - средним геометрическим этих же самых чисел. Отсюда следует, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического. А это и есть неравенство Коши. Здесь же автор обращает внимание на замечание, которое продемонстрировано на рисунке.

В последнем, пятом примере автор предлагает сравнить числа. Но эти числа не простые. Здесь имеется сумма, где одним из слагаемых является квадратный корень числа. Поэтому здесь без свойств никак не обойтись, чтобы выполнить задание. В данном примере два случая. В первом случае автор предлагает оба числа возвести в квадрат, что позволяется свойствами, изученными ранее. В результате получаются новые числа, которые отличаются тем, что к одному и тому же числу 9 прибавляется разное число. Остается сравнить уже эти два числа. Во втором же случае автор предлагает сравнить слагаемые попарно из обеих частей неравенства. Получается, что первое и второе слагаемые первого числа меньше соответственно первого и второго слагаемых второго числа. Поэтому знак очевиден.

слайд 9 (свойства)

Презентация может быть использована на уроке изучения нового материала в качестве примера, где могут применяться изученные свойства. Также презентация подходит для урока закрепления изученного на прошлом уроке материала. Подойдет она и для факультативного или внеклассного занятия. По желанию учителя презентация может быть дополнена.